ELC-33103 Teoría de Control
Modelación M d l ió Matemática M t áti de d Sistemas Físicos Prof. Francisco M. González-Longatt
[email protected] http://www.giaelec.org/fglongatt/SP.htm TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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1. Introducción • En el análisis y diseño de sistemas de control, un paso sumamente importante; es la modelación matemática del proceso físico a ser controlado. p mediante • La modelación consiste en la representación una abstracción matemática de una situación física real. • Siendo el modelo, la serie de ecuaciones que definen el comportamiento que se desea emular.
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1. Introducción • El proceso de crear un modelo no es sencillo. • Por el contrario en situaciones puede considerarse un proceso complejo y casi infinito que requiere ser acotado. • Se debe definir el conjunto de variables que describen las características dinámicas del fenómeno. • Por ejemplo, cuando se considera un circuito eléctrico, en éste típicamente las variables de interés son voltaje o corriente. TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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1. Introducción • Las variables que definen las características dinámicas del sistema, están interrelacionadas entre si a través de leyes físicas, las cuales conllevan a la formulación matemática de las ecuaciones del modelo.
V
El voltaje (V) varia proporcionalmente con la corriente (I)
X X X X X X
X
X
V = RI
X
X
X X X
I TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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1. Introducción • En función del fenómeno dominante, dentro del interés, el énfasis en el modelado cambia. • El tipo de fenómeno puede llevar al uso de ecuaciones del sistema,, lineales o no lineales,, variantes o invariantes con el tiempo.
V
El voltaje (V) varia proporcionalmente con la corriente (I)
X X X X X X
X
X
V = RI
X
X
X X X
I TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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1. Introducción • Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas formas distintas. • La conveniencia del modelo depende de circunstancias especificas. p f + i (t )
v(t )
−
L
di(t ) v(t ) = L dt TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
+ I
V jω L
−
V = jωLI Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt,
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1. Introducción Simplicidad Contra Precisión • Mejorar a precisión de un modelo matemático, matemático aumenta la complejidad. • Debe haber un equilibrio entre simplicidad y precisión de los resultados.
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1. Introducción Sistemas Lineales • Cumple con el principio de superposición. superposición • Permite obtener la respuesta a varias entradas por el calculo tratando una entrada a la vez y sumando los resultados 2
1
1
1.5
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
0 -0.5 -1
-0.4
-0.4
-1.5
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8 -1
1 0.5
-1
0
1
2
3
x1 (t )
4
5
6
7
-2
0
x(t ) TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
1
2
3
4
x 2 (t )
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
x (t ) = x1 (t ) + x 2 (t )
y (t ) Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt,
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1. Introducción 1 1
0.8 0.8
0.6 0.6
0.4 0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
x1 (t )
-0.2
y1 (t )
-0 0.4 4 -0.6 -0.8 -1
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
x 2 (t )
-0.4 -0.6 -0.8 -1 1
0
1
2
3
4
5
6
7
y 2 (t )
-1
2
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
2
3
4
5
6
7
x (t ) = x1 (t ) + x 2 (t ) TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
3
4
5
6
7
0
1
2
3
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5
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-0.8
1.5
1
2
-0.6
2
0
1
-0.4
1.5
-2
0
-2
y (t ) = y1 (t ) + y 2 (t ) 0
1
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1. Introducción Sistemas Lineales Invariante con el Tiempo • Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes son contantes o son funciones solo de la variable independiente. p
dyy (t ) = f (t ) dt
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1. Introducción Sistemas Lineales Invariantes con el Tiempo • Sistemas dinámicos formados por parámetros concentrados lineales e invariantes en el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo (de coeficientes constantes).
di (t ) L + Ri (t ) = v(t ) dt
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R +
v(t )
L
i (t )
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1. Introducción Sistemas Lineales Variantes con el Tiempo • Sistemas dinámicos formados por parámetros concentrados lineales y invariantes en el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo (de coeficientes variables en el tiempo).
di (t ) L + R(t )i (t ) = v(t ) dt
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1. Introducción Sistemas NO Lineales • NO se aplica el principio de superposicion. superposicion • La respuesta a varias entradas no puede ser obtenida por la suma suma. • Es típico de componentes saturables en sistemas mecánicos, hidráulicos, etc. 2 2 2 d y (t ) ⎛ d y (t ) ⎞ ⎟ + y = Asen(ωt ) +⎜ dt 2
⎜ dt 2 ⎟ ⎝ ⎠
d 2 x(t ) dx(t ) 2 + − 1 +x=0 x 2 dt dt d 2 x(t ) dx(t ) 3 + + x + x =0 2 dt dt
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(
)
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1. Introducción Salida
Entrada
No linealidad de Saturación Salida
No li N linealidad lid d de d Zona Muerta
Entrada
No linealidad de Ley Cuadrática TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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2. Respuesta Impulsiva • Un mecanismo ampliamente aceptado en los sistemas de control, y que se ha extendido a otras especialidades, para la modelación de los sistemas lineales, es el uso de la función de transferencia. • La clásica forma de la función de transferencia, efectúa la relaciones entre las variables de entradasalida del sistema.
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2. Respuesta Impulsiva • Una forma de obtener la función de transferencia de un sistema lineal, es empleando la denominada respuesta impulsiva o respuesta al impulso. x(t)
δ (t )
t
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2. Respuesta Impulsiva • Esto se basa en considerar un sistema lineal e invariante en el tiempo, cuya entrada es x(t), y la salida es y(t).
x(t )
y (t ) Sistema Lineal e Invariante en el Tiempo
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2. Respuesta Impulsiva • El sistema se puede caracterizar por su respuesta al impulso g(t), que se define como la salida del sistema cuando la entrada es un impulso unitario δ(t). x(t) ()
δ (t )
x(t ) t
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y (t )
y (t ) = g (t )
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2. Respuesta Impulsiva • Una vez conocida la respuesta ante la entrada de impulso del sistema lineal, la salida del sistema y(t) para cualquier entrada x(t) se puede encontrar mediante la función de transferencia.
x(t )
y (t ) Función de Transferencia
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2. Respuesta Impulsiva • En el caso más simple, de un sistema lineal e invariante en el tiempo de una entrada y una salida, la función de transferencia se define como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso con todas las condiciones iníciales iguales a cero.
y (t ) = g (t ) Respuesta Impulsiva
Función ió de d Transferencia f i TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
G (s ) = L[g (t )] Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt,
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2. Respuesta Impulsiva • Considere que G(s) representa la función de transferencia del sistema de una entrada y una salida; siendo x(t) la entrada y y(t) la salida, y sea g(t) la respuesta al impulso.
x(t ) Respuesta Impulsiva
Función de Transferencia TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
y (t )
y (t ) = g (t ) G (s ) = L[g (t )] Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt,
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2. Respuesta Impulsiva • Entonces la función de transferencia de G(s) se define como:
G (s ) = L[g (t )]
• La función de transferencia G(s) se relaciona con la transformada de Laplace de la entrada y la salida de la siguiente forma:
Y (s ) G (s ) = X (s )
Senal Entrada
X (s )
Sistema de Control
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Senal Salida
Y (s )
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2. Respuesta Impulsiva • Con todas las condiciones iniciales son supuestas a cero, Y(s) y X(s) son las transformadas de Laplace de y(t) y x(t) respectivamente. X (s ) Y (s ) G (s ) Diagrama de bloque mostrando la función de transferencia, y señales de entrada y salida
• P Pese a que la l función f ió de d transferencia f i de d un sistema i lineal se define en términos de la respuesta impulsiva, en la práctica, la relación entrada entrada-salida, salida, de un sistema lineal e invariante en el tiempo, en tiempo continuo, se describe muy frecuentemente mediante una ecuación ió diferencial. dif i l TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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2. Respuesta Impulsiva • Considere que la relación entrada/salida de un sistema lineal invariante con el tiempo se describe mediante la siguiente ecuación diferencial de n-ésimo orden con coeficientes reales constante: d n y (t ) dt
n
+ a n −1
d n −1 y (t ) dt n −1
d m x(t ) d m −1 x(t ) dx(t ) dy (t ) + K + a1 + a0 y (t ) = bm + + K + + b0 x(t ) b b m −1 1 m m −1 dt dt dt dt
• En donde los coeficientes de las ecuación: a0, a1, a2, …an-1, y b0, b1, b2, …, bm, son reales. x(t ) TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
y (t )
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2. Respuesta Impulsiva • Cuando la entrada del sistema x(t) sea especificada (t≥0), las condiciones iniciales del sistema son conocida, la respuesta del sistema y(t) para t≥0, puede ser determinada, a partir de la resolución de la ecuación diferencial antes plateada. • Este procedimiento puede ser algo consumidor de tiempo, y en etapa de análisis y diseño, resulta ser algo molesto. Resolver la Ecuación Diferencial d n y (t ) dt
n
+ a n −1
d n −1 y (t ) dt n −1
dy (t ) d m x(t ) d m −1 x(t ) dx(t ) + K + a1 + a0 y (t ) = bm + b + K + b + b0 x(t ) m −1 1 m m −1 dt dt dt dt
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2. Respuesta Impulsiva • S han desarrollado programas computacionales para efectuar una resolución eficiente de ecuaciones diferenciales • La filosofía básica de la teoría de control lineal es el desarrollo de herramientas de análisis y diseño que eviten la solución exacta de las ecuaciones diferenciales del sistema. • Excepto en los casos en que se desea las soluciones mediante di simulación i l ió en computadora d para examinar i la presentación final del desempeño del sistema. TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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2. Respuesta Impulsiva • Para obtener la función de transferencia del sistema lineal invariante en el tiempo, representado por: d n y (t ) dt
n
+ a n −1
d n −1 y (t ) dt n −1
dy (t ) d m x(t ) d m −1 x(t ) dx(t ) + K + a1 + a0 y (t ) = bm + + K + + b0 x(t ) b b 1 m −1 m m −1 dt dt dt dt
• Se debe tomar la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación y se asumen condiciones iníciales igual a cero. n ⎡ d n y (t ) ⎤ n n − k ( k −1 ) L⎢ = s Y (s ) − ∑ s y (0 ± ) n ⎥ k =1 ⎣ dt ⎦
Condiciones i í i l nulas iníciales l TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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2. Respuesta Impulsiva • Para obtener la función de transferencia del sistema lineal invariante en el tiempo, representado por: d n y (t ) dt
(s
n
+ a n −1
d n −1 y (t ) dt n −1
dy (t ) d m x(t ) d m −1 x(t ) dx(t ) + K + a1 + a0 y (t ) = bm + + K + + b0 x(t ) b b m −1 1 m m −1 dt dt dt dt
• Haciendo lo antes descrito resulta: n
)
(
)
+ an −1s n −1 + K + a1s + a 0 Y (s ) = bm s m + bm−1s m+1 + K + b1s + b0 X (s )
TEORÍA DE CONTROL TEORIA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos Introducción
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2. Respuesta Impulsiva • La función de transferencia G(s) es la relación entrada salida en términos de transformada de Laplace:
+ K + b1s + b0 Y (s ) bm s + bm −1s G (s ) = = n X (s ) s + an −1s n −1 + K + a1s + a 0 m
X (s ) TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
m +1
Y (s ) Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt,
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2. Respuesta Impulsiva • La función de transferencia es una definición que solo aplica en sistemas líneas e invariantes en el tiempo, y que no esta definida en el caso de los sistemas no lineales. • La función de transferencia, relaciona las entradas y salidas del sistema lineal e invariante en el tiempo, en términos de los parámetros del sistema,
X (s ) TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
G (s )
Y (s ) Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt,
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2. Respuesta Impulsiva • Es una propiedad del sistema en sí, independientemente de la entrada o la excitación.
X (s )
G (s )
Y (s )
Y (s ) bm s m + bm −1s m +1 + K + b1s + b0 G (s ) = = n n −1 X (s ) s + an −1s + K + a1s + a 0
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2. Respuesta Impulsiva • La función de transferencia de un sistema lineal e invariante al tiempo, es un concepto que presenta la dinámica de un sistema de ecuación algebraica, de s. • La ppotencia s más alta en denominador de la función de transferencia es igual al orden del término de la derivada más alta de la salida. X (s )
Y (s )
Y (s ) bm s m + bm −1s m +1 + K + b1s + b0 G (s ) = = n X (s ) s + an −1s n −1 + K + a1s + a 0 TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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3. Sistema Mecánico de Traslación • En general este sistema consta de resorte (k), masa (M) y amortiguador (f), aunque puede presentar estos elementos. Resorte
k
x(t )
Masa
M
Amortiguador
f
y (t ) Sistema Mecánico de Traslación: Masa-Resorte-Pistón
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3. Sistema Mecánico de Traslación • El amortiguador es un elemento que provee fricción o amortiguamiento. • Se desea obtener la función de transferencia, en donde la entrada x(t) ( ) = Fin es la fuerza,, y la salida es el desplazamiento y(t). k
x(t ) ENTRADA Fuerza
M
f
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SALIDA Desplazamiento
y (t )
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3. Sistema Mecánico de Traslación Diagrama de Cuerpo Libre
x'
Ma = − Fresorte − Famortig + Fin
r Famortiguador r Fresorte t y'
Sentido positivo en la dirección de la entrada
+
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r r Fent entrada ada = x (t ) Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt,
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3. Sistema Mecánico de Traslación • Se procede a plantear la ecuación diferencial que rige el sistema; por la Ley de Newton se conoce:
Ma = − Fresorte − Famortig + Fin
• Para el caso del resorte se tiene:
Fresorte = ky (t )
k
x(t ) M
f
y (t )
Fpiston
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dy(t ) = fv = f dt Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt,
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3. Sistema Mecánico de Traslación • La fuerza de entrada es Fin = x(t), entonces resulta:
d y (t ) 2
ddy ( ) ( ) f M = − − ky t + x t dt dt 2 • Aplicando la transformada de Laplace en la ecuación anterior:
⎡ d 2 y (t ) ⎤ dy ⎤ ⎡ d L ⎢M = −L⎢ f − L[ky(t )] + L[x(t )] ⎥ 2 ⎥ dt ⎥⎦ ⎣ dt ⎦ ⎢⎣ M [s Y (s ) − sy(0) − y ' (0)] = − f [sY (s ) − y(0)] − kY (s ) + X (s ) 2
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3. Sistema Mecánico de Traslación • Si las condiciones iniciales son nulas: y(0) = 0, y’(0) = 0, entonces se tiene:
[
]
M s Y (s ) = − f [sY (s )] − kY (s ) + X (s ) 2
• De tal modo, la función de transferencia del sistema mecánico queda dada por:
1 G (s ) = 2 Ms + fs f +k TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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4. Sistema Mecánico de Rotación • El sistema mecánico de rotación consiste de una carga inercial (J) y un amortiguador viscoso.
T (t )
ω (t ) J
Sistema Mecánico de Rotación: Momento de Inercia-Amortiguamiento Viscoso TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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4. Sistema Mecánico de Rotación • El sistema mecánico de rotación consiste de una carga inercial y un amortiguador viscoso. Amortiguador Carga Inercial
T (t )
ω (t ) J
Sistema Mecánico de Rotación: Momento de Inercia-Amortiguamiento Viscoso TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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4. Sistema Mecánico de Rotación • El sistema mecánico de rotación consiste de una SALIDA carga inercial y un amortiguador viscoso. Velocidad V l id d Angular A l ENTRADA Torque
T (t )
ω (t ) J
Sistema Mecánico de Rotación: Momento de Inercia-Amortiguamiento Viscoso TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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4. Sistema Mecánico de Rotación • En este sistema, se considera que la entrada corresponde al torque T(t), que es aplicado y la salida es la velocidad angular ω(t). • El comportamiento p dinámico de este sistema mecánico de rotación puede ser modelado por medio de las leyes de Newton aplicada al movimiento circular.
Jα =
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∑T
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4. Sistema Mecánico de Rotación • En forma simple dice: ((Momento de inercia)) × ((Aceleración angular) g ) = ((sumatoria de los torques) q )
• En este sistema, existe el torque aplicado Tin(t), y además los torques asociados a la masa Tmasa(t), y el torque asociado al amortiguador Tamortig(t):
Tin = Tmasa + Tamortig
• Considerando la definición de los diferentes torques:
dω (t ) Tmasa = J dt Tamortig = fω (t )
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4. Sistema Mecánico de Rotación • Siendo J el momento de inercia del cuerpo giratorio, ω su velocidad angular y f el coeficiente de fricción viscosa. p • Ahora se pprocede a sustituir las respectivas definiciones:
dω (t ) Tin = J + fω (t ) dt
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4. Sistema Mecánico de Rotación • Para obtener la función de transferencia del sistema, se procede a calcular la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación anterior que describe la dinámica. dω (t )
Tin = J
+ fω (t )
dt ⎡ dω (t ) ⎤
L[Tin ] = L ⎢ J + L[ fω (t )] ⎥ dt ⎦ ⎣ • Sea,, cada una de las transformadas de Laplace: p
Ω(s ) = L[ω (t )] τ (s ) = L[T (t )]
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4. Sistema Mecánico de Rotación • Se tiene que:
JsΩ(s ) − ω (0) + fΩ(s ) = τ (s )
• Asumiendo las condiciones iniciales iguales a cero; ω(0) = 0, 0 se tiene que:
1 Ω(s ) = G(s ) = τ (s ) Js + f
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5. Sistema eléctrico de un circuito RLC Serie • Sea un circuito RLC serie como el que se muestra en la Figura.
L
R
+
+
vin (t ) −
i (t )
C
vout (t ) −
Sistema Eléctrico: Circuito RLC serie TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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5. Sistema eléctrico de un circuito RLC Serie • Sea la señal de entrada vin(t) y vout(t) el voltaje de salida el cual es medido sobre el capacitor. SALIDA Voltaje en el Capacitor
ENTRADA Voltaje Aplicado
L
R
+
+
vin (t ) −
i (t )
C
vout (t ) −
Sistema Eléctrico: Circuito RLC serie TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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5. Sistema eléctrico de un circuito RLC Serie • Se procede a establecer la ecuación que rige el comportamiento dinámico eléctrico de este circuito. T di (t ) 1 + Ri (t ) + i (t )dt vin (t ) = L dt C L R
∫ 0
+
+
vin (t )
i (t )
−
C
vout (t ) − T
1 vout (t ) = i (t )dt C
∫ 0
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5. Sistema eléctrico de un circuito RLC Serie • Se procede a establecer la ecuación que rige el comportamiento dinámico eléctrico de este circuito. • Para ello se toma en consideración la Ley de Voltajes de Kirchoff. di (t ) 1 + Ri (t ) + i (t )dt vin (t ) = L dt C T
∫ 0
1 vout (t ) = i (t )dt C
∫ 0
+
+
vin (t ) −
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L
R
T
i (t )
C
vout (t ) −
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5. Sistema eléctrico de un circuito RLC Serie • Aplicando la transformada de Laplace en ambas expresiones, y en ambos lados se tiene, y asumiendo que las condiciones iniciales son cero: T ⎡ ⎤ 1 ⎡ di (t ) ⎤ L[vin (t )] = L ⎢ L + L[Ri (t )] + L ⎢ i (t )dt ⎥ ⎥ ⎢C 0 ⎥ ⎣ dt ⎦ ⎣ ⎦ ⎡1 T ⎤ L[vout (t )] = L ⎢ i (t )dt ⎥ ⎢C 0 ⎥ ⎣ ⎦
∫
∫
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5. Sistema eléctrico de un circuito RLC Serie • De tal modo resulta: 1 Vin (s ) = LsI (s ) + RI (s ) + I (s ) sC 1 Vout (s ) = I (s ) sC
l t queda d ddefinida fi id lla ffunción ió dde ttransferencia f i • Fi Finalmente como:
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6. Sistema Rotacional • Se desea obtener un modelo dinámico para un sistema rotacional desarrollando un diagrama que muestre la dirección de la velocidad angular y la correspondiente expresión para todos los torques. • Considerando el sistema rotacional que se describe en la figura siguiente. T (t )
K J1
J2
ω2 (t )
ω1 (t ) B1 TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
B2 Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt,
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6. Sistema Rotacional • Escribir un conjunto de ecuaciones diferenciales (en términos de las velocidades angulares) que proporcionara un modelo valido para el sistema. T (t )
K J1
J2
ω1 (t ) B1
TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
ω2 (t ) B2
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6. Sistema Rotacional T (t )
K
J1
J2
ω2 (t )
ω1 (t ) B1
B2
• Considerando la suma de los torques, torques mediante la aplicación de las leyes de Newton para el movimiento rotacional se tiene: t dω1 (t ) T (t ) = J1 + B1ω1 (t ) + K [ω1 (t ) − ω 2 (t )]dt + Ts (0 ) 0 dt t dω 2 (t ) 0 = J2 + B2ω 2 (t ) + K [ω 2 (t ) − ω1 (t )]dt − Ts (0 ) 0 dt
∫
∫
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7. Ejemplo Sistema de Traslación • Considerando el sistema de la Figura siguiente.
y2 (t )
B 2
B 2
k2
M2 k1
Sistema trasnacional de varias masas TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
M1
y1 (t ) Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt,
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7. Ejemplo Sistema de Traslación • Escribir un conjunto de ecuaciones diferenciales para describir el sistema en términos del desplazamiento y1 y y2. p qque y1 y y2 son cero en la pposición de reposo p • Suponer con todos los resortes y masas incluidos, pero f = 0. y2 (t )
B 2
B 2
k2
M2 k1
M1 TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
y1 (t ) Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt,
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7. Ejemplo Sistema de Traslación • Con las posiciones de referencia determinadas tal como se ha especificado, un desplazamiento inicial del resorte superior produce una fuerza que es igual y opuesta a M1g + M2g, y un desplazamiento inicial del resorte inferior produce una fuerza que compensa a M1g. Así, la ecuación se expresa f (t ) = M 1 0 = M2
d 2 y1 (t ) 2
dt d 2 y 2 (t ) dt 2
+ K1 [ y1 (t ) − y 2 (t )]
dy 2 (t ) + K1 [ y 2 (t ) − y1 (t )] + K 2 y 2 (t ) + B dt
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8. Ejemplo Mecánico de Traslación • Considere el sistema mecánico trasnacional de la siguiente figura, donde se ha supuesto que la superficie es libre de rozamiento.
x(t ) k
f (t )
M
B
Sistema mecánico de traslación TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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8. Ejemplo Mecánico de Traslación • Se construye el diagrama de cuerpo libre, como se muestra a continuación. x(t )
k
M
f (t )
f (t )
B
dv(t ) M dt
M
B (t ) Bv TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
t
k v(t )dt + f a (0 )
∫ 0
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8. Ejemplo Mecánico de Traslación • Observe que la dirección x(t) supuesta de las fuerzas producidas por los elementos pasivos se muestran en una dirección opuesta a la velocidad v(t), que se ha asumido.
dv (t ) f (t ) = M + Bv(t ) + K v(t )dt + f s (0 ) d dt t
∫ o
• Donde la velocidad v(t) ( ) es la variable dependiente p y f(t) es una fuerza de entrada no especificada.
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9. Ejemplo Sistema Mecánico de Traslación: Varias Masas • Considere un sistema mecánico de dos masas, con acoplamiento a través de resortes y elementos viscosos. p qque no hayy rozamiento asociado con las • Se supone superficies. La suma de las fuerzas en ambas masas proporciona dos ecuaciones en términos de dos variables dependientes. v1 (t )
f (t )
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v2 (t ) k
M1
B
M2
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9. Ejemplo Sistema Mecánico de Traslación: Varias Masas v1 (t ) f (t )
M1
v2 (t ) dv M1 1 dt fa
fa
fb
fb
M1
M2
M2
dv2 dt
M2
t
f a = k [v1 (t ) − v2 (t )]dt + f s (0)
∫ 0
f b = B[v1 (t ) − v2 (t )]
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9. Ejemplo Sistema Mecánico de Traslación: Varias Masas dv1 (t ) f (t ) = M 1 + B[v1 (t ) − v2 (t )] + k [v1 (t ) − v2 (t )]dt + f s (0 ) dt t
∫ 0
t
B[v1 (t ) − v2 (t )] + k [v1 (t ) − v2 (t )]dt + f s (0 ) = M 2
∫
d 2 v2 (t ) dt 2
0
v1 (t ) f (t )
M1
v2 (t ) dv M1 1 dt fa
fa
M2
fb
fb
M2
dv2 dt
t
f a = k [v1 (t ) − v2 (t )]dt + f s (0)
∫ 0
f b = B[v1 (t ) − v2 (t )] TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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10. Diagrama de Bloque • El diagrama de un sistema es una representación gráfica de las funciones realizadas por cada componente y el flujo de las señales de tal forma indica las relaciones e interacciones de los componentes. • En un diagrama de bloques todas las variantes del sistema son enlazadas entre si a través de bloques funcionales. • Un U bloque bl f i l es un símbolo funcional í b l de d la l operación ió matemática que el bloque produce en la salida, sobre la señal que tienen a la entrada. entrada TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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10. Diagrama de Bloque • Un bloque funcional es un símbolo de la operación matemática que el bloque produce en la salida, sobre la señal que tienen a la entrada. Y (s ) Salida G (s ) = = X (s ) Entrada X (s )
Y (s )
G (s )
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10.1 Detector de error • El detector de error produce una señal que es la diferencia de entrada y la señal de realimentación del sistema de control. R(s )
+
E (s ) −
C (s )
• El símbolo positivo o negativo en la punta de la flecha indica si la señal ha se ser sumada o restada.
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10. Diagrama de Bloque • Un punto de bifurcación es el punto desde el cual la señal de salida de uno o varios bloques es tomada y desviada hacia el punto de suma.
R(s ) +
E (s )
G (s )
C (s )
−
H (s )
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10. Diagrama de Bloque • La relación entre la señal de realimentación B(s) y la señal de error actuante E(s) ( ) se denomina ffunción de transferencia de lazo abierto. R(s ) +
E (s )
G (s )
C (s )
−
B(s )
H (s )
E (s ) B(s )
Función de Transferencia Lazo Abierto TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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10. Diagrama de Bloque R(s ) + B(s )
E (s )
G (s )
C (s )
−
H (s )
B (s ) = G (s )H (s ) = Funcion de Transferencia de Lazo Abierto E (s ) B (s ) Senal de Realimentacion = G (s )H (s ) = E (s ) Error actuante C (s ) = G (s )Funcion de Transferencia de Paso Directo E (s ) TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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10. Diagrama de Bloque • La relación entre la salida C(s) y la señal de error actuante E(s) se denomina función de transferencia.
R(s ) +
B(s )
E (s )
G (s )
C (s )
−
H (s )
C (s ) = G (s )E (s ) E (s ) = R(s ) − B(s ) B(s ) = H (s )C (s ) TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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10. Diagrama de Bloque E (s ) = R(s ) − B(s ) Senal de Entrada
R(s ) + B(s )
E (s )
C (s ) = G (s )E (s )
G (s )
−
Realimentacion
H (s ) B(s ) = H (s )C (s )
G (s ) C (s ) = R(s ) 1 + G (s )H (s ) TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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11. Sistema de Lazo Cerrado Sometido a una Perturbación N (s )
R(s ) +
E (s )
G1 (s )
+
+
G2 (s )
C (s )
−
H (s )
• Cuando un sistema lineal están presente dos o mas señales cada entrada puede ser tratada i d independientemente di t t de d la l otra t o se pueden d sumar las l salidas correspondientes a cada una de las entradas independientes p ppara obtener la salida total. TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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11. Sistema de Lazo Cerrado Sometido a una Perturbación • Sea CN(s) la respuesta producida solo por la perturbación.
C N (s ) G2 (s ) = N (s ) 1+ G1 (s )G2 (s )H (s )
• Por otra parte, sea CR(s) la salida debido solamente a la entrada R(s).
C R (s ) G1 (s )G2 (s ) = R(s ) 1 + G1 (s )G2 (s )H (s )
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11. Sistema de Lazo Cerrado Sometido a una Perturbación • Finalmente, se tiene: C (s ) = C R (s ) + C N (s )
G2 (s ) [G1 (s )R(s ) + N (s )] C (s ) = 1 + G1 (s )G2 (s )H (s )
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12. Reducción de Diagramas de Bloques • Se pueden conectar los bloques en serie solamente si la salida de un bloque no es afectada por la del bloque siguiente. g entre los componentes, p , es • Si hayy efectos de carga necesario combinarlos en un bloque único. • Cualquier cantidad de bloques en cascada que representen componentes sin carga puede sustituirse con un solo bloque, cuya función de transferencia sea simplemente i l ell producto d d las de l f i funciones d de transferencia individuales. TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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12. Reducción de Diagramas de Bloques • La función de transferencia puede ser obtenida eliminando la salida y entrada intermedia. X 1 (s )
X 2 (s )
X 3 (s )
• Por definición de conoce que: X 3 (s ) X 2 (s ) G2 (s ) = G1 (s ) = X 2 (s ) X 1 (s ) • De tal modo que se desea estimar una función de transferencia correspondiente a la asociación de los dos bloques en cascada. TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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12. Reducción de Diagramas de Bloques X 2 (s )
X 1 (s )
X 3 (s )
X 3 (s ) G (s ) = X 1 (s ) G (s ) = G1 (s )G2 (s ) X 1 (s )
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X 3 (s )
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12. Reducción de Diagramas de Bloques • En el caso de un diagrama de bloques complicado (como son normalmente lo sistemas reales) que contenga muchos lazos de realimentación, el proceso de simplificación se realiza mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas del álgebra de los diagramas de bloques. • Algunas de estas reglas importantes aparecen en la Tabla siguiente, sin embargo, todas son simple propiedades de señales que son fácilmente deducibles.
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12. Reducción de Diagramas de Bloques Diagrama de bloque original
Diagrama de bloques equivalente A−
G
A
+
AG − B
A
−
−
B G
B
A
AG
G
A
+
AG
A
G
AG
A
A
+ −
G1
B
A
1 + A G1 −
AG − B
G
1 G
G
AG
G
AG
AG
G
A
AG
B G
1 G
G1
A
G2
B
G G22
A
+ −
G1
B A
G1 1 + G1G2
B
G G22
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12. Reducción de Diagramas de Bloques • Se pueden representar en un único bloque cualquier cantidad de bloques en cascada que representen componentes que no carga, cuya función de transferencia es simplemente el producto de las funciones de transferencias individuales. – Al simplificar bloques se puede tomar en cuenta: – El producto de las funciones de transferencia en la dirección de alimentación directa debe mantenerse constante. – El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe mantenerse constante. TEORÍA DE CONTROL Modelación Matemática de Sistemas Físicos
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13. Ejemplo de Reducción de Bloques: Tomado de Ogata • Considere el sistema que aparece representado en el siguiente diagrama de bloques. H2 R + −
+ +
G1
+
−
G2
G3
C
H1
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13. Ejemplo de Reducción de Bloques: Tomado de Ogata • Se desea efectuar la reducción del diagrama de bloques. • Inicialmente se procede a mover el punto de suma del lazo de realimentación negativa g que contiene H2, q hacia fuera del lazo de realimentación positiva que H2 contiene H1. G1 R + −
−
+
+ +
G2
G1
G3
C
H1
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13. Ejemplo de Reducción de Bloques: Tomado de Ogata • Se procede a eliminar el lazo de realimentación positiva se obtiene: H2 G1 R + −
−
+
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G1G2 1 − G1G2 H1
G3
C
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13. Ejemplo de Reducción de Bloques: Tomado de Ogata • La eliminación del lazo que contiene H2/Gl produce: R + −
R
G1G2 G3 1 − G1G2 H 1 + G2 G3 H 2
G1G2 G3 1 − G1G2 H1 + G2 G3 H 2 + G1G2 G3
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C
C
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