ELC-33103 Teoría de Control
Introducción a la Representación en Variable de Estado Prof. Francisco M. Gonzalez-Longatt
[email protected] http://www.giaelec.org/fglongatt/SP.htm TEORIA DE CONTROL Introducción a Representación en Espacio de Estado
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1. Teoría de Control Moderna • La tendencia moderna en los sistemas de ingeniería es hacia una mayor complejidad, debido principalmente a los requerimientos de las tareas complejas y la elevada precisión. • Los sistemas complejos pueden tener entradas y salidas múltiples y pueden variar en el tiempo. • Desde 1960 se ha desarrollado la teoría de control moderna, que es un nuevo enfoque del análisis y di ñ de diseño d sistemas i d controll complejos. de l j
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1. Teoría de Control Moderna • Este enfoque nuevo se basa en el concepto de estado. estado • El concepto por sí mismo no es nuevo. • Ha existido durante largo tiempo en el campo de la dinámica clásica y en otros medios.
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2. Teoría Convencional vs. Moderna • La teoría de control moderna se aplica a sistemas con entradas y salidas múltiples, que pueden ser lineales o no lineales. • La teoría moderna es esencialmente un enfoque f q en el dominio del tiempo.
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2. Teoría Convencional vs. Moderna • La teoría convencional sólo se aplica a sistemas lineales con una entrada y una salida e invariantes con el tiempo. • La teoría de control convencional es un enfoque q complejo en el dominio de la frecuencia.
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3. Estado • El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables (denominadas variables de estado) de modo que el conocimiento de estas variables en t ≥ t0, junto con el conocimiento de la entrada para t = t0, determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t ≥ t0 . • El concepto de estado de ningún modo está limitado a los sistemas físicos. físicos
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4. Variable de Estado • Las variables de estado de un sistema dinámico son las que forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico. • Si se necesitan al menos n variables x1,,x2, . . . , xn, para describir por completo el comportamiento de un sistema dinámico (por lo cual una vez que se proporciona la entrada para t ≥ t0 y se especifica el estado inicial en t = t0, el estado futuro del sistema se determina por completo), completo) tales n variables son un conjunto de variables de estado.
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4. Variable de Estado • Las variables de estado no necesitan ser cantidades medibles u observables físicamente. • Las variables que no representan cantidades físicas y aquellas q qque no son medibles ni observables ppueden seleccionarse como variables de estado. • La libertad al elegir las variables de estado es una ventaja de los métodos de espacio de estados.
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4. Variable de Estado • En la práctica es conveniente elegir cantidades que se midan con facilidad para las variables de estado, si es posible, debido a que las leyes del control óptimo requerirán la realimentación de todas las variables de estado con una ponderación conveniente.
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5. Vector de Estado • Si se necesitan n variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas n variables de estado se consideran los n componentes de un vector x. • Este vector se denomina vector de estado. • El vector de estado determina de manera única el estado del sistema x(t) para cualquier tiempo t ≥ t0, una vez que se obtiene el estado en t ≥= t0 y se especifica ifi la l entrada d u(t) ( ) para t ≥ t0.
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6. Espacio de Estados • El espacio de n dimensiones cuyos ejes de coordenadas están formados por el eje x1, el eje x2, ... , el eje xn, se denomina espacio de estados. q estado ppuede representarse p mediante un • Cualquier punto en el espacio de estados.
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7. Ecuaciones de Estado • En el análisis en el espacio de estados, hay tres tipos de variables involucrados en el modelado de sistemas dinámicos: – Variables de entrada, – Variables de salida y – Variables de estado.
• No es única la representación de estado para un sistema determinado, excepto en que la cantidad de variables i bl de d estado t d es igual i l para cualquiera l i d las de l diferentes representaciones en el espacio de estados del mismo sistema. sistema TEORIA DE CONTROL Introducción a Representación en Espacio de Estado
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7. Ecuaciones de Estado • Suponga que un sistema de entradas y salidas múltiples contiene n integradores. • También suponga que existen r entradas u1, u2(t),ur(t) y m salidas y1((t), ), y2((t), ), . . . , ym((t). ) • Definan salidas de los integradores como variables de estado: xl(t), x2(t), , . . ,xn(t).
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7. Ecuaciones de Estado • A continuación el sistema se describe mediante:
x&1 (t ) = f1 (x1 , x2 , K xn , u1 , u2 , K ur , t ) x&2 (t ) = f 2 (x1 , x2 , K xn , u1 , u2 , K ur , t ) x&n (t ) = f n ( x1 , x2 , K xn , u1 , u2 , K ur , t )
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7. Ecuaciones de Estado • Las salidas del sistema, y1, y2, …, ym(t) mediante:
y1 (t ) = g1 ( x1 , x2 , K xn , u1 , u2 , K ur , t )
y2 (t ) = g 2 ( x1 , x2 , K xn , u1 , u2 , K ur , t ) ym (t ) = g m (x1 , x2 , K xn , u1 , u2 , Kur , t )
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7. Ecuaciones de Estado • Se definen:
⎡ f1 ( x1 , x2 , K xn , u1 , u2 , K ur , t ) ⎤ ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎢ f (x , x , K x , u , u , K u , t )⎥ ⎢ x (t )⎥ n 1 2 r ⎢ 2 1 2 ⎥ 2 ⎢ ⎥ ( ) f x, u , t x(t ) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ f n ( x1 , x2 , K xn , u1 , u2 , K ur , t )⎦ ⎣ ( ) x t ⎣ n ⎦
⎡ y1 (t ) ⎤ ⎢ y (t ) ⎥ 2 ⎢ ⎥ y (t ) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ym (t )⎦
⎡u1 (t ) ⎤ ⎡ g1 ( x1 , x2 , K xn , u1 , u2 , K ur , t ) ⎤ ⎢u (t )⎥ ⎢ g ( x , x , K x , u , u , K u , t )⎥ n 1 2 r ⎥ u(t ) = ⎢ 2 ⎥ g(x, u, t )⎢ 2 1 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ( ) g x , x , K x , u , u , K u , t n 1 2 r ⎣ n 1 2 ⎦ ⎣ur (t )⎦
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7. Ecuaciones de Estado • De tal modo que las ecuaciones anteriores pueden ser expresadas en una forma mas compacta por medio de:
x& (t ) = f (x, u, t ) y (t ) = g(x, u, t )
• La primera es la ecuación de estado y la seguda es la ecuación de la salida. • Si las funciones vectoriales f y/o g involucran explícitamente el tiempo t, el sistema se denomina sistema variante con el tiempo. p TEORIA DE CONTROL Introducción a Representación en Espacio de Estado
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7. Ecuaciones de Estado • Si se linealizan las ecuaciones alrededor del estado de operación, se tienen las siguientes ecuaciones de estado y de salida linealizadas:
x& (t ) = A(t )x(t ) + B(t )u(t ) y (t ) = C(t )x(t ) + D(t )u(t ) • • • • •
en donde: d d A(t) se denomina matriz de estado B(t) matriz t i de d entrada t d C(t) matriz de salida D(t) matriz de transmisión directa. directa
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7. Ecuaciones de Estado
x& (t ) = A(t )x(t ) + B(t )u(t ) y (t ) = C(t )x(t ) + D(t )u(t ) u(t )
+
t
x&(t )
t
x(t) dt
+
+
t
+
y(t )
t
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7. Ecuaciones de Estado • Si las funciones vectoriales f y g no involucran el tiempo t explícitamente, el sistema se denomina sistema invariante con el tiempo.
x& (t ) = Ax(t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
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8. Ejemplo • Considere el sistema mecánico de traslación. k
u (t )
m f
y (t )
• S Supone que ell sistema i es lineal. li l • La fuerza externa u(t) es la entrada para el sistema, y ell desplazamiento d l i t y(t) (t) de d la l masa es la l salida. lid TEORIA DE CONTROL Introducción a Representación en Espacio de Estado
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8. Ejemplo • El desplazamiento y(t) se mide a partir de la posición de equilibrio en ausencia de una fuerza externa. • Este sistema tiene una sola entrada y una sola salida. x'
m&y& = − Fresorte − Famortig + u
r Famortiguador r Fresorte y'
r r (t ) Fentrada = x d TEORIA DE CONTROL Introducción a Representación en Espacio de Estado
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8. Ejemplo
m&y& + by& + kyy = u • Este sistema es de segundo orden, lo cual significa que el sistema contiene dos integradores. integradores • Se definen las variables de estado x1(t) y x2(t) como
x1 (t ) = y (t ) x2 (t ) = y& (t )
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8. Ejemplo • De tal modo, que se logra:
x&1 = x2 1 1 x&2 = (− ky − by& ) + u m m • O,
x&1 = x2 k b 1 x&2 = − x1 − x2 + u m m m TEORIA DE CONTROL Introducción a Representación en Espacio de Estado
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8. Ejemplo • La ecuación de salida resulta ser: • En forma matricial:
⎡ x&1 ⎤ ⎡ 0 ⎢ x& ⎥ = ⎢− k ⎣ 2 ⎦ ⎢⎣ m
Y = x1 1 ⎤⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤ b ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 1 ⎥u − ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎢ ⎥ m⎦ ⎣m⎦
⎡ x1 ⎤ Y = [1 0]⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦ TEORIA DE CONTROL Introducción a Representación en Espacio de Estado
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8. Ejemplo • Observando la representación estándar de las ecuaciones de estado resulta:
x& (t ) = Ax(t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
• Donde: ⎡ 0 A=⎢ k ⎢⎣− m
1 ⎤ b⎥ − ⎥ m⎦
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⎡0⎤ B=⎢1⎥ ⎢⎣ m ⎥⎦
C = [1 0]
D=0
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8. Ejemplo • La representación en diagramas de bloque del sistema mecánico.
u
1 m
+ +
− −
x&2
x2
∫
∫
x1 = y
b m k m
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9. Ejemplo • Considere el sistema RLC serie:
vi (t )
+
−
R
i (t ) L
+ C vc (t )
−
• Se establecen las ecuaciones que definen el comportamiento t i t del d l sistema. it TEORIA DE CONTROL Introducción a Representación en Espacio de Estado
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9. Ejemplo • La ecuación de la malla resulta ser:
di (t ) vi (t ) = L + Ri(t ) + vc (t ) dt
• La diferencia de potencial en el capacitor esta relacionado con la corriente por:
dvc (t ) i (t ) = C dt
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9. Ejemplo • Se reagrupan las ecuaciones pata despejar las respectivas derivadas;
di(t ) vi (t ) = L + Ri (t ) + vc (t ) dt
dvc (t ) i (t ) = C dt
di (t ) R R 1 = − i (t ) − vc (t ) + vc (t ) L L L dt dvc (t ) 1 = i (t ) dt C
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9. Ejemplo • Expresando las relaciones combinadas en notación matricial resulta: R R di(t ) 1 = − i (t ) − vc (t ) + vi (t ) dt L L L
dvc (t ) 1 = i (t ) dt C
⎡ R − & i ⎡ ⎤ ⎢ L ⎢v ⎥ = ⎢ 1 ⎣ &c ⎦ ⎢ ⎣ C TEORIA DE CONTROL Introducción a Representación en Espacio de Estado
R⎤ − ⎥⎡ i ⎤ ⎡ 1 ⎤ L ⎥ ⎢v ⎥ + ⎢ L ⎥ vi 0 ⎥ ⎣ c ⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎦ Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt,
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