El uso de la teselación de Truchet para implementar un recurso de divulgación sobre caos en el Festival Matemático

El uso de la teselación de Truchet para implementar un recurso de divulgación sobre caos en el Festival Matemático Héctor Alonso Cote Chavarría y Paloma Zubieta López Instituto de Matemáticas, UNAM [email protected] . [email protected] Cartel  para  el  XX  Congreso  Nacional  de  Divulgación  de  la  Ciencia  y  la  Tecnología:   “La  comunicación  pública  de  la  ciencia  para  una  sociedad  del  conocimiento”,   Centro  de  Convenciones  y  Exposiciones  de  Morelia  Michoacán,  México,  18-­‐20  de   noviembre  de  2014.”   Palabras clave: Feria de ciencias, culturización matemática, educación no formal, recurso de divulgación, evaluación. Resumen Este trabajo de comunicación pública de la ciencia considera el diseño, implementación y evaluación del recurso didáctico “El hermoso azaroso” para la feria de ciencias conocida como Festival Matemático. Por medio de la teselación de Truchet, la actividad busca ampliar —entre el público— la concepción general del caos, cuyo concepto no se comprende en toda su amplitud. La situación de las matemáticas en nuestro país es crítica y necesaria. Con el fin de contribuir a su popularización, la Sección de Difusión y Divulgación del Instituto de Matemáticas de la UNAM organiza anualmente el Festival Matemático, evento masivo que presenta una variedad de actividades y talleres con carácter lúdico. Se pretende estructurar cada recurso de divulgación a partir de ciertas características; entre ellas, que tenga al menos un objetivo conceptual claro y que despierte el interés a un mayor número de personas. “El hermoso azaroso” nace de la necesidad de mostrar al público que el caos, contrario al sentido común, no necesariamente implica desorden, desastre o conflicto. Además, está presente en muchos aspectos de nuestra vida cotidiana. Para diseñar esta actividad, fue necesario establecer el concepto matemático que la estructurara. Se realizó una investigación bibliográfica que permitió jerarquizar los conceptos relacionados con el caos e identificar aquellas características principales, comprensibles para todo tipo de personas. Al incluir las teselaciones de Truchet —mosaicos que pueden generar patrones con diseños irrepetibles— se consiguió que el recurso fuera atractivo en el formato del Festival y se pudo determinar el objetivo: comprender de manera general las características principales del caos. Una segunda parte de este trabajo corresponde a la implementación y la evaluación de la actividad inédita ante el público. Se presentan resultados de las pruebas con “El hermoso azaroso” en eventos de formatos y públicos distintos, a partir de los cuales se realizaron ajustes para favorecer la comprensión de los conceptos involucrados. Además, se analizan una serie de entrevistas donde se confirma cómo el recurso didáctico, incide en el concepto del caos. A través de este trabajo, se encontró que la actividad consigue su objetivo principal: modifica el concepto del caos en los participantes. Se considera que una metodología semejante podría servir para implementar con éxito otras actividades y se concluye que el diseño cumple con las características del formato del Festival para la enseñanza no formal. 1    

Antecedentes Entre los objetivos de la educación en nuestros días destaca el modelar individuos críticos, analíticos y capaces de mejorar y relacionarse con su entorno de manera óptima, obteniendo con ello, una mejor calidad de vida. Actualmente, los métodos de enseñanza se han diversificado adaptándose a las necesidades del mundo moderno y de la sociedad del conocimiento. La educación no formal tiene una función importante como medio de culturización de los individuos al hacer posible la reconciliación de las personas con los conocimientos científicos necesarios para su desarrollo. Asimismo, complementa la enseñanza tradicional proporcionando, entre otras cosas, una visión panorámica y contemporánea que favorece la apropiación social de los conocimientos científicos1. Cuando se busca incrementar las oportunidades de aprendizaje para la población en general, la enseñanza no formal juega un papel primordial pues permite el acceso del público general a diversos conocimientos y así, logra que estas personas puedan desarrollar un mejor entendimiento de su entorno. La educación no formal fomenta las capacidades de observación y deducción que sirven de herramientas para resolución de problemas en la vida cotidiana. Más aún, es capaz de estimular la curiosidad e inspirar vocaciones en las personas. Las ferias científicas son un medio de educación no formal donde se brinda la oportunidad a los asistentes de adquirir nuevos conocimientos al tiempo que se reafirman y corrigen los previos. En ellas, por medio de actividades lúdicas aptas para todo público, se logran distintos objetivos como sorprender, inspirar y motivar a las personas para adentrarse en el conocimiento científico. Dichas actividades buscan presentar ideas básicas sobre los contenidos conceptuales, al procurar que su transmisión ocurra sin deformaciones y de manera eficiente. 2    

Estas ferias tienen un papel relevante como medio de divulgación, pues aclaran muchas de las dudas y mal entendidos con respecto a diversos temas científicos; también pretenden acercar los conocimientos—en principio asequibles al especialista en ciencias—, al público. La situación reciente de la enseñanza de las ciencias en México es preocupante. La prueba PISA, realizada en 20122, evaluó la capacidad de los estudiantes de nivel secundaria para usar lo aprendido en clase y aplicarlo en contextos familiares. Los resultados de la prueba muestran que el 47% de los estudiantes no alcanzan el nivel básico de competencia en ciencias, lo mismo ocurre con el 55% en matemáticas. Además, se dio a conocer que la capacidad del país para brindar a todos sus alumnos la oportunidad de tener un “rendimiento de excelencia” es baja, pues sólo el 3.8% de los estudiantes logran sobre ponerse a un contexto de desventaja social, contra el promedio de 6.5% de la OCDE. Con la finalidad de ayudar a combatir el rezago educativo y cultural en el país, la Sección de Difusión y Divulgación del Instituto de Matemáticas de la UNAM organiza anualmente el Festival Matemático. Este evento es un medio de educación no formal en el que se realizan actividades gratuitas en forma de juego, cuyo objetivo principal es la popularización de la cultura matemática, y por tanto, se consigue acercar al público a las matemáticas. Las actividades del Festival Matemático intentan conseguir la transmisión de los conceptos centrales, formando un conjunto lúdico, fundamentado en dos de los objetivos principales de la divulgación: la claridad y la fidelidad científica. El Hermoso Azaroso es una actividad inédita desarrollada para el Festival Matemático, basada conceptualmente en las teselaciones de Truchet y cuyo tema principal es el caos. Las teselas son formas geométricas con las que se construyen mosaicos— teselaciones para los matemáticos— que, sin traslaparse entre sí, llenan todo el plano y no dejan huecos. Las teselaciones de Truchet3 están formadas por teselas cuadradas que tienen una decoración con simetría en dos colores: blanco y negro. Si bien, cada una de las teselas de Truchet posee simetría, las teselaciones que se pueden formar con ellas tienen la 3    

posibilidad de ser o no simétricas. En el Festival utilizamos las teselas de Truchet diseñadas en 1987 por el metalurgista e historiador de la ciencia Cyril Stanley Smith4. El segundo concepto que fundamenta al Hermoso Azaroso es el caos. El cual, es estudiado en diversas disciplinas, como las matemáticas, la física, la biología o la economía. En matemáticas, el concepto del caos pertenece al campo de los sistemas dinámicos discretos, donde se estudian los cambios que sufren diversos tipos de sistemas en el tiempo5. El caos se presenta en un sistema cuando, dadas ciertas condiciones iniciales, no es posible conocer el resultado que se obtendrá después de un tiempo. Muchas situaciones de la vida cotidiana poseen estas características pero el concepto comúnmente no es comprendido en toda su amplitud por el público en general. Objetivo Se platea la hipótesis de que con frecuencia las personas malentienden el concepto de caos al relacionarlo con palabras como problemas, desorden o desastre. Por tal motivo, el Hermoso Azaroso intenta ampliar la visión general del caos en el público asistente al Festival Matemático. Por medio de la observación y comparación de diversos mosaicos de Truchet se consigue distinguir con claridad dos propiedades que caracterizan al caos. En este trabajo, se implementó dicha actividad dentro del formato del Festival para la enseñanza no formal y se muestran los resultados sobre la modificación y la posible ampliación del concepto de caos en el público. Material y Métodos En un inicio, se realizó la recopilación de información sobre el tema de caos. Con ello, se obtuvo el panorama histórico del concepto comenzando por la descripción de los procesos caóticos presentes en el clima realizada por el matemático Hendrik Antoon Lorentz6, hasta los posteriores usos del concepto en otras disciplinas. Al paralelo de la búsqueda bibliográfica, fue necesario encontrar varias actividades relacionadas con el caos que por sus características, pudieran incluirse en el Festival 4    

Matemático. La primera fue el péndulo doble cuyo movimiento es caótico. Después, se consideró una actividad con fractales. La tercera posibilidad encontrada para ejemplificar al caos fue el tablero de Galton. Consideramos que todas estas posibilidades generarían confusión en el público. Finalmente, encontramos que con la teselación de Truchet era posible diseñar una actividad sobre el caos en la que fueran claras sus características. A partir de ese punto, se mandaron a hacer las teselas y nos dedicamos a implementar la dinámica de la actividad para adaptarla al formato del Festival, en ella fue necesario utilizar un instrumento que nos proporcionara azar ayudar a ejemplificar las características del caos. También se elaboró una encuesta para conocer cómo las personas entienden al caos. Para determinar si nuestra percepción sobre lo que el público asocia con el concepto científico de caos correspondía o no con la realidad, decidimos realizar entrevistas libres. La recopilación de entrevistas ocurrió en los eventos donde se probó la actividad con el público asistente. Los registros auditivos aportaron mucha información pero se determinó elegir la primera palabra que cada entrevistado asoció con el caos antes de que participara en la actividad. En seguida, realizamos diversos ensayos sobre la eficacia de la actividad con miras a cumplir el objetivo planteado en este trabajo. Los ensayos se llevaron a cabo durante el año de 2014 en la XXXV Feria Internacional del Libro en el Palacio de Minería, la capacitación de voluntarios para el 4o Festival efectuada en el Instituto de Matemáticas y la 8ª Jornada Estatal de Ciencia, Tecnología e Innovación organizada por el Consejo de Ciencia y Tecnología del Estado de Morelos (CCyTEM) en la ciudad de Cuernavaca. Toda la información obtenida en estos eventos permitió realizar una evaluación y determinar si la actividad lograba modificar o ampliar el concepto del caos.

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Resultados El primer resultado corresponde a la recopilación de información, después de realizar el desglose del panorama histórico sobre el concepto de caos. En la Figura 1 se presenta un esquema general de las características principales.

Figura 1. Características principales del caos. Se señalan con (*) aquellas relacionadas directamente con las matemáticas.

Para concluir con esta etapa inicial del trabajo, se realizó una búsqueda de actividades lúdicas que podrían servir para divulgar las características principales del caos presentadas en la Figura 1. El análisis de los dispositivos considerados para implementar la actividad con los posibles contenidos conceptuales relacionados y las dificultades que encontramos para implementarlos dentro del formato del Festival se muestran en la Tabla 1. Nombre del dispositivo

Características del caos que ejemplifica

Conceptos

Péndulo caótico

Sensibilidad a las condiciones iniciales, desconocimiento del resultado final, dinámica discreta. Generación de fractales, función determinista.

Condiciones iniciales, aleatoriedad, péndulo, oscilación.

Fractales

Tablero de Galton

Teselas de Truchet

Sensibilidad a las condiciones iniciales, desconocimiento del resultado final, dinámica discreta. Sensibilidad a las condiciones iniciales y desconocimiento del resultado final

Dificultad presentada para su implementación   Relación con la Física  

Fractal, función, auto semejanza, modelación matemática, caos. Condiciones iniciales, probabilidad, aleatoriedad, azar.

Cantidad excesiva de conceptos  

Condiciones iniciales y azar

Forma generar azar  

Relación entre los conceptos  

Tabla 1. Análisis de los dispositivos considerados para desarrollar una actividad relacionada con las características del caos.

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Las teselas de Truchet se eligieron para implementar la actividad, pues con ellas sólo hubo dificultad para generar azar, asunto fácil de resolver en comparación con las que podían haberse originado con el resto de los dispositivos considerados, además de ejemplificar con claridad las características del caos. En la actividad demostrativa realizada en la XXXV Feria Internacional del Libro en el Palacio de Minería, se obtuvo información sobre la forma en la que se obtenía el azar, en este caso se usó una moneda. Se observó que dicha mecánica provoca fácilmente confusiones en el público teniendo que establecer un acuerdo para asignar al resultado del lanzamiento un color y con ello saber la pieza a colocar. Por esta razón, se decidió buscar una forma de obtener azar que permitiera mejorar la dinámica de la actividad. Otra de las pruebas de la actividad se efectuó durante la capacitación para el 4o Festival Matemático. En ella fue posible hacer la estimación del número de participantes en la actividad a 10 personas, así como como las dimensiones de los mosaicos que el público debería elaborar para distinguir los patrones formados. A la vez, se realizó una serie de encuestas a dos grupos diferentes para conocer las ideas del público relacionadas con el caos y para determinar el cambio que ejerce la actividad en dichas ideas. Para ambas, se consideró como respuesta la primera palabra o expresión que mencionaran, con el fin de conocer sus nociones inmediatas sobre caos. En la primera encuesta participaron 38 personas de entre 6 y 14 años. Con la información obtenida en esta encuesta, presente en la Tabla 2, se elaboró un análisis de frecuencias de respuestas que se muestra en la Tabla 3 y en la gráfica de la Figura 2. Dicha gráfica nos proporciona un panorama sobre la frecuencia de las palabras relacionadas con el caos y la proporción en el total de la población encuestada con que esta frecuencia aparece.

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Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Concepto mencionado No sabe No sabe Problemas No sabe Desastre Problemas Problemas Desastre Diversión Tragedia Desastre No sabe Desastre Desorden Desastre Desorden Desastre Desorden Desastre

Persona 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

Concepto mencionado No sabe Desorden Destrucción Destrucción Problemas No sabe No sabe Destrucción Control Algo que ocurre Diversión Problemas Cuando algo sale mal Desorden Control Cuando algo sale mal Solución No sabe No sabe

Tabla 2. Conceptos utilizados para referirse al caos en personas entre los 6 y 14 años

Concepto

Frecuencia

Porcentaje  

No sabe Desastre Problemas Desorden Destrucción Cuando algo sale mal Control Diversión Tragedia Algo que ocurre Solución

9 7 5 5 3 2 2 2 1 1 1

23.7 %   18.4 %   13.2 %   13.2 %   7.9 %   5.3 %   5.3 %   5.3 %   2.6 %   2.6 %   2.6 %  

Tabla 3. Frecuencia de respuestas del rango de personas de 6 a 14 años.

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Figura 2. Representación proporcional de ideas asociadas al caos en el rango de personas de 6 a 14 años.

Como se muestra en la Figura 2, aproximadamente un cuarto de la población encuestada no asocia la palabra caos con algo específico. Se infiere de ello la posibilidad de que nunca la hayan escuchado debido a su edad, por esta razón consideramos que la actividad es apropiada para personas de 7 años en adelante. También se observa un porcentaje importante de la población que asocia desde temprana edad el caos con connotaciones negativas, entre las que destacan "desastre", "problemas" y "desorden". Debido a lo anterior, se realizó un análisis presentado en la Tabla 4 y Figura 3 donde se muestra el sentido de las palabras asociadas al caos. En este análisis se observa que más de la mitad del universo encuestado asocia al caos con sentidos negativos. Algo curioso que surgió en dicho estudio fue que algunas personas mencionaron la palabra "diversión", suponemos que quienes la mencionaron habrían querido referirse a "desmadre" pero les haya dado vergüenza explicitar la palabra. Para determinar el peso negativo asociado al concepto caos, se elaboró la Tabla 4 con los resultados mostrados en la Figura 2, los cuales, se agruparon de acuerdo al sentido de las palabras: negativo, positivo o neutro.

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Sentido Negativo Positivo Neutro No sabe

Frecuencia 23 3 3 9

Porcentaje   60.5%   7.9%   7.9%   23.7%  

Tabla 4. Sentido de las palabras mencionadas por las personas cuestionadas.

Figura 3. Sentidos asociados al concepto de caos.

El segundo grupo al que se le aplicó la primera encuesta constó de 32 personas, con edades desde los 8 a los 72 años de edad, y fue conformado por el público asistente a la 8ª Jornada Estatal de Ciencia, Tecnología e Innovación realizada en Cuernavaca. En esta ocasión se realizaron entrevistas; una antes y otra después de la actividad para determinar si ésta modificaba o ampliaba el concepto de caos, procurando que las personas entrevistadas fueran las mismas. Un aspecto a resaltar se refiere a la mínima diferencia existente entre las ideas expresadas por el grupo muestreado con las del rango de edad distinto. El único cambio significativo entre estas fue la disminución del porcentaje de personas que desconocen la palabra caos en personas de mayor edad. Sin embargo el sentido negativo asociado al concepto de caos persistió. 10    

Se observó que en este segundo grupo los sujetos daban respuestas menos concretas después de participar en la actividad en comparación a las dadas antes de iniciar, dificultando de este modo identificar las palabras que asociaron al caos. Por tal motivo, se decidió agrupar las respuestas en dos grupos; uno donde se presentó un cambio en las palabras asociadas al concepto de caos, y otro donde no. En la Tabla 5 se muestra el porcentaje de personas que cambiaron su respuesta. Es posible que lo anterior se deba a que ampliaron el concepto del caos después de la actividad.

Presencia de cambio (ampliación del concepto)

Porcentaje  

Si No

62.50%   37.50%  

Tabla 5. Porcentajes de cambio o ampliación del concepto de caos en las personas consultadas.

Los porcentajes mostrados en la Tabla 5 son de suma importancia para este trabajo, pues nos indican el grado de efectividad de la actividad que se implementó para el Festival Matemático con el fin de ampliar o modificar la visión general del caos en el público. Vemos gráficamente dicho porcentaje de efectividad en la Figura 4.

Figura 4. Grado de efectividad de la actividad implementada.

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Finalmente, observamos que la actividad tiene un grado de efectividad del 62.5 %. Con el resultado mostrado en la Figura 4, consideramos que la implementación de la actividad es adecuada de acuerdo con el objetivo conceptual planteado para ella y además, se encuentra en el formato de las actividades del Festival Matemático. Conclusiones Las teselaciones de Truchet mostraron ser un medio adecuado para ejemplificar dos características del caos, pues carecen de dificultades conceptuales que pudieran confundir al público. Para la dinámica de la actividad, encontramos que el dispositivo que nos proporciona el azar deber ser sencillo de manipular y de fácil visualización e interpretación del resultado, para mejorar el armado y selección de las piezas. También pudimos observar que en la actividad los participantes no deben pasar de 10 para poder llevar a cabo la dinámica en orden y así favorecer la comunicación entre el quién lleva la actividad y los participantes, cuyo rango de edad, además, se sugiere a partir de los 7 años. De acuerdo con el primer muestreo realizado al grupo de personas con rango de edades de 6 a 14 años, se obtuvo que cerca de un cuarto de los consultados no asocian el concepto de caos con algo en específico, creemos que esto se debe al desconocimiento de dicha la palabra durante la niñez. Por otro lado, quienes asociaron diversas ideas al concepto de caos, lo hicieron en su mayoría, con términos de connotaciones negativas como; problemas, desorden, y destrucción. Una hipótesis sobre por qué las personas asocian negativamente al caos desde tempranas edades es la posible influencia de los videojuegos. En algunos de ellos, el término caos es utilizado con el fin de designar un estado o situación dentro de la temática de estos juegos. Así, videojuegos como; Persona, Digital Devil Saga, Nocturne, Chaos Legion, The World Ends With You, Nanobreaker, The Sword of Etheria y Asura's Wrath mencionan al caos 12    

dentro de temáticas sobre el exterminio del mundo, matanza de dioses, o mundos regidos por demonios (Y. Barajas, comunicación personal; 9 de noviembre, 2014). Sin embargo, en este estudio no ahondamos en esta dirección aunque consideramos importante el mencionarlo. Para finalizar, concluimos que la actividad implementada, por sí sola tiene la posibilidad de modificar o ampliar el concepto de caos de las personas que la realizan con una eficacia aproximada del 62.5 %. Consideramos también que este cambio puede darse en un mayor número de personas, si se dan ejemplos adecuados relacionados con la vida cotidiana durante la actividad y de esta manera se contribuiría a evitar la mención de ideas negativas asociadas al caos. Agradecimientos El presente trabajo se estructuró a partir de la idea del Dr. Gerónimo Uribe Bravo para incluir la teselación de Truchet e implementar una actividad del Festival Matemático. Agradecemos la guía teórica brindada y la revisión del escrito. Además, esta investigación no hubiera sido posible sin la participación de Andrea Estefanía Sánchez Urbina y Teresa Francisca De la Parra Ríos en la recopilación de audios y videos para las entrevistas realizadas. También reconocemos la ayuda de Yesenia Jazmín Barajas Fierros por la comunicación personal sobre los videojuegos y el uso del término caos en ellos. Referencias 1. Balán, J. (2009). Las políticas de educación no formal y de educación de jóvenes y adultos desde la perspectiva del aprendizaje a lo largo de toda la vida. En: Apuntes para la elaboración de propuestas educativas, Morales, M. (compilador), OEI, Uruguay: pp. 23-38. 2. OCDE. (2012). Programa para la evaluación internacional de alumnos (PISA) PISA 2012 resultados. noviembre 4, 2014, de OECD Sitio web: http://www.oecd.org/pisa/keyfindings/PISA-2012-results-mexico-ESP.pdf 3. Truchet S. (1704), Mémoire sur les combinaisons, Memoires de l’Academie Royale des Sciences, pp. 363–372. 4. Stanley C. (1987). The tiling patterns of Sebastien Truchet and the topology of structural hierarchy, Leonardo: 20(4): 373–385. 13    

5. Méndez H. (2000). Iteración de funciones. Departamento de matemáticas de la facultad de ciencias de la UNAM: Las prensas de ciencias. pp.5-6 6. Edwars H. & Penney D. (2009). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Georgia: Pearson. p. xv

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