EL TRATADO DE QUADRATURA ARITHMETICA CIRCULI Y SU IMPORTANCIA PARA LA FUNDAMENTACIÓN DE LA MATEMÁTICA INFINITARIA LEIBNIZIANA. NUEVAS INTERPRETACIONES

EL TRATADO DE QUADRATURA ARITHMETICA CIRCULI Y SU IMPORTANCIA PARA LA FUNDAMENTACIÓN DE LA MATEMÁTICA INFINITARIA LEIBNIZIANA. NUEVAS INTERPRETACIONES. OSCAR. M. ESQUISABEL CONICET-IECT-UNQ-UNLP Introducción: el problema de la justificación de la introducción de cantidades infinitesimales. La meta fundamental que nos guía en nuestra presentación está dada por nuestro interés en analizar el surgimiento de la formulación leibniziana del formalismo del cálculo infinitesimal desde el punto de vista de su concepto de conocimiento simbólico y, en esa misma perspectiva, también nos interesa mostrar hasta qué punto la utilización de figuras y diagramas geométricos, entre otros, tienen cabida en la formulación y desarrollo de las ideas fundamentales del cálculo, como parte de su concepción de la importancia de los signos en la constitución y desarrollo de la matemática como ciencia. Es parte de nuestro interés, también, abordar las concepciones leibnizianas, en la medida de nuestras posibilidades, desde el punto de vista de su práctica como matemático. Esta perspectiva muestra ser muy fructífera a la hora de comprender las relaciones entre las propuestas

programáticas de Leibniz y sus realizaciones concretas. En general, observamos en él una plasticidad y flexibilidad conceptuales que no siempre aparecen claramente reflejadas en las versiones usuales o estándar de su concepción del conocimiento matemático. En todo caso, los aspectos semióticos afloran por doquier, tanto en la teoría como en la práctica efectiva de Leibniz en lo relativo a la matemática. No nos dedicaremos en este caso a una exposición de los aspectos algorítmicos del cálculo infinitesimal, sino que, más bien, nos concentraremos en una cuestión que ha sido sumamente controversial desde el momento que Leibniz dio a la publicidad sus ideas básicas sobre el cálculo. Dicha cuestión gira en torno del estatus conceptual u ontológico de los infinitesimales y, en general, de las cantidades infinitas. Como se sabe, dicha cuestión originó un amplio y profundo debate entre los miembros de la comunidad científica de la época, que se agravó a raíz de la amarga controversia entre Newton y Leibniz acerca de la prioridad de la invención del cálculo y que se prolongó más allá de la muerte del filósofo de Leipzig. Sin pretender ser exhaustivos al respecto, la objeción general que se le planteaba al nuevo cálculo apuntaba al carácter contradictorio que afectaba a las cantidades infinitesimales, situación que hacía que se sospechase que la notación infinitesimal (más propiamente “diferencial”) sirviese sólo para introducir monstruosidades imposibles u ocultase imprecisiones. Es también conocida la solución leibniziana a

dichas objeciones: las entidades infinitesimales y las infinitamente grandes son sólo ficciones o recursos de cálculo, acerca de cuya realidad el matemático no debe plantearse cuestiones. En todo caso, el matemático o el geómetra no necesita involucrarse en cuestiones metafísicas, basta para su aceptación de los nuevos métodos la convicción que surge del éxito en su variada aplicación a la solución de problemas matemáticos y físicos. A pesar de ello, las distintas respuestas que dio Leibniz con la intención de proporcionar una justificación teórica de la introducción de cantidades infinitesimales no satisficieron completamente, por lo que se instauró la convicción de que Leibniz introdujo los conceptos infinitesimales de un modo más bien pragmático, sin tener una adecuada fundamentación del método. Le correspondería a la matemática del siglo XIX, especialmente con la labor de Cauchy y de Weierstrass, llevar el análisis a la claridad conceptual, mientras que, durante el siglo XX, la aparición del análisis no estándar de Robinson y actualmente el smooth analysis de Bell, cada uno a su modo, intentan ser una renovación del concepto de infinitesimal. Sin embargo, en los últimos años se ha señalado en reiteradas ocasiones que la solución esgrimida por Leibniz relativa a la ficcionalidad de las cantidades infinitesimales no es simplemente una solución de compromiso y de última hora para enfrentar el cúmulo creciente de objeciones de los

matemáticos y filósofos de la época, sino que era una concepción –y una convicción- que ya estaba presente en la mente de Leibniz en las etapas fundacionales del cálculo, que se extienden aproximadamente desde 1672 hasta la publicación de la Nova Methodus, en 1684. Es decir, antes incluso de la publicación de esta obra, su primera presentación pública del cálculo infinitesimal, y más concretamente hacia el año 1675, Leibniz ya estaba en posesión de una concepción ficcional del infinito. No obstante, más allá de que se puede testimoniar claramente el carácter temprano de la tesis leibniziana, el hecho más importante es que, según muestran las investigaciones de Eberhard Knobloch, Leibniz poseía, en principio, una fundamentación rigurosa para la introducción de cantidades infinitesimales. Esta conclusión surge del estudio del tratado inédito de Leibniz titulado De quadratura arithmetica circuli, ellipseos et hyperbolae, cujus corollarioum est trigonometría sine tabulis (1675-1676) (de ahora en adelante DQAC), que probablemente sea el tratado más completo que haya escrito Leibniz sobre matemática infinita e infinitesimal. Esta obra fue publicada con notas y comentarios por Eberhard Knobloch en los años noventa y es ahora accesible también en una traducción francesa de Luc Parmentier, acompañada de texto bilingüe. Hay también una versión alemana accesible on-line y, según comunicación personal del Prof. Knobloch, se proyecta su publicación junto

con el texto latino, notas y comentarios el año entrante en Springer. Se trata de una obra compleja en la que, por cierto, a pesar de que se opera con cantidades infinitesimales, como hemos de ver, no hay recurso alguno a la notación y mucho menos al algoritmo del cálculo infinitesimal, a pesar de que Leibniz venía ensayando con él más o menos por esos mismos años. A pesar de lo que se puede esperar, no posee una organización axiomático deductiva, constando simplemente de un total de 51 proposiciones, en un orden de creciente complejidad, en el que, después de proponer el método general para cuadrar curvas y proporcionar algunos ejemplos de aplicación, propone la cuadratura de la cicloide, su famosa cuadratura del círculo, la de la hipérbola, aborda el tratamiento de las series infinitas, así como el de las funciones trignométricas, entre otras cuestiones. En lo que sigue, haremos una breve referencia al método de fundamentación que emplea Leibniz introducir el concepto de lo infinitesimal, sin exponer la prueba en sentido estricto. En segundo lugar, expondremos la concepción ficcional del infinito y del infinitesimal, tal como la expone Leibniz en DQAC, y propondremos algunos ejemplos de su aplicación, para culminar, finalmente, con la exposición de las reglas de operación con cantidades infinitas e infinitesimales, tal como las ha reconstruido E. Knobloch en los estudios que le ha dedicado a este tratado leibniziano. Dichos estudios han constituido en nuestro caso un inestimable hilo conductor

para nuestra investigación y para la presente exposición, dado el intrincado y complejo carácter de la obra de Leibniz que estamos comentando y es por eso que tenemos una profunda deuda con su autor. El fundamento del método: la proposición VI El problema fundamental que aborda DQAC es la presentación de un método general que permita obtener la cuadratura de una curva cualquiera. El método de Leibniz es heredero del método de los indivisibles, introducido por Cavalieri y Galileo, aunque nuestro autor rechaza explícitamente, por inconsistente, la noción de indivisible, adoptando en cambio una concepción “dimensional” y “relacional” de las cantidades infinitamente pequeñas. No obstante, comparte con dicho método la necesidad de seccionar un área en partes menores (por lo cual se puede denominar un procedimiento “analítico”) para luego, utilizando técnicas “infinitarias” (por decirlo de alguna manera), poder establecer su área o, utilizando métodos de transformación, determinar un área de una curva obtenida a partir de la primera (método de las “transmutaciones”). Es importante, en todo caso, destacar que el tratado se ocupa fundamentalmente de los problemas de sumas infinitas, pero no aborda las cuestiones inversas relativas a la determinación de tangentes y obtención de máximos y mínimos. En este

sentido, el método de Leibniz, que está orientado fundamentalmente a la operación de integración, no proporciona un fundamento explícito a dichas operaciones, que apelan también a cantidades infinitesimales, aunque probablemente sus resultados puedan aplicársele también, mediante una reformulación. En su esquema general, el procedimiento consiste en dividir una superficie curvilínea en espacios rectilíneos escalonados y polígonos, de modo tal que, si se prosigue con la división, difieren de otros espacios rectilíneos o de curvas por una cantidad menor que cualquier cantidad dada, asignada arbitrariamente. La técnica consiste en construir, para una curva dada, dos espacios escalonados, uno mayor y otro menor, de tal manera que pueda mostrarse que la diferencia entre el espacio rectilíneo menor y el segmento de curva nunca superará una cota superior, dada por relación entre ambos espacios rectilíneos, de tal forma que la diferencia puede hacerse tan pequeña como se quiera. Es por esta razón que tanto Knobloch como Rabouin (2015, p. 362) ven en esta concepción del método infinitesimal una anticipación del análisis epsilóntico de Weierstrass. En cualquier caso, los fundamentos de este método se enuncian en la proposición VI, que está acompañada de una prueba rigurosa. Se puede decir que este teorema es el núcleo fundamental de todo el tratado. Presentaremos abreviadamente su enunciación y pasaremos por alto la

demostración. Para enunciarlo, es preciso realizar construir una curva de acuerdo con un método que omitiremos, por razones de brevedad. Para construir dicha curva, es preciso trazar una primera curva con algunas propiedades importantes, tales como ser continua, no tener puntos de inflexión y no poseer puntos en los que la tangente sea vertical. La curva resultante tiene un carácter asintótico y da lugar a la siguiente construcción escalonada, que es un fragmento “ampliado” de ella:

De esta manera, la proposición VI puede enunciarse sintéticamente de este modo:

“La diferencia entre las áreas de la figura mixtilinear 1B1D2D3D3B1B y la figura escalonada 1B1N1P2N2P3B1B puede hacerse más pequeña que cualquier cantidad dada” (Knobloch, 2002, 63) En síntesis, la demostración consiste en mostrar que la diferencia entre la figura trilinear que contiene el segmento de curva y el rectángulo inferior es siempre menor que el área del rectángulo superior, que se solapa con el primero, de modo que tomando la abcisa valores tan pequeños como se quiera, la diferencia se puede hacer arbitrariamente pequeña (DQAC, p. 61) De esta manera, Leibniz sostiene haber dado un fundamento sólido a la geometría de los indivisibles: “He aquí lo que permitirá hacer del método de los indivisibles y del uso de los espacios gradiformes, o sea, de las sumas de las ordenadas, que son su resultado, un método y una aplicación rigurosamente demostrados” (DQAC, p. 63). Es llamativa, sin embargo, la observación que está contenida en el escolio de la proposición comentada, porque muestra hasta qué punto predominan en Leibniz las consideraciones de carácter “pragmático”, en el sentido de que tenía confianza en la eficacia de los métodos infinitesimales, más allá de toda fundamentación rigurosa:

“Hubiera pasado por alto de muy buen grado esta proposición, pues nada me es menos natural que seguir a ciertos autores en sus poco fecundos, aunque muy ostentosos, escrúpulos de detalle. Se destacan más por su laboriosidad que por su genio; pasan su tiempo, por así decirlo, en ceremonias y envuelven en una noche oscura el origen de las invenciones que, la mayor parte de las veces, me parece más importante que las invenciones mismas. No discuto, sin embargo que en geometría interesa que los métodos y principios de las invenciones, a ejemplo de ciertos teoremas esenciales, puedan ser considerados como rigurosamente demostrados y es por esa razón que pensé que había que hacer una concesión a las opiniones recibidas” (DQAC, 63) Infinitos terminados e infinitesimales como ficciones El segundo paso metodológico de la DQAC consiste en introducir las cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes como ficciones. En esta perspectiva, Leibniz apela a una diferencia entre dos tipos de infinito, así como a la correspondiente distinción entre dos tipos de infinitesimales. En el primer caso, se trata de la diferencia entre infinito no terminado e infinito terminado, mientras que en el segundo se establece la diferencia entre la cantidad

mínima o indivisible y la cantidad infinitamente pequeña. Tanto el infinito terminado como lo infinitamente pequeño son ficciones. Así, por ejemplo, en el escolio de la proposición VII, hablando de la importancia de la reducción al absurdo para las cuadraturas, Leibniz afirma: “Admito que no he conocido hasta ahora un método capaz de demostrar perfectamente aunque sea una única cuadratura sin una deducción ad absurdum. Más aún, tengo razones para temer que no se pueda hacerlo, por la naturaleza de las cosas, sin asumir cantidades ficticias, ya sean infinitas o infinitamente pequeñas”. (DQAC, 69) El infinito terminado se caracteriza por ser una magnitud mayor que toda otra magnitud y tal que no tiene un último extremo. Por ejemplo, una línea infinita interminada no tiene un último punto, al menos en uno de sus lados. Por otra parte, la línea infinita interminada no puede ser agotada por el añadido de líneas finitas, cualquiera que sea su número. En general, sostiene Leibniz, la consideración de la línea infinita interminada está fuera del tratamiento geométrico: “…una cantidad interminada difiere de una cantidad infinita. La magnitud de una línea interminada, del mimo modo que la de un punto, sale del campo de la consideración de la geometría. En efecto, del mismo modo que no se cambia una línea terminada

agregándole o quitándole puntos, aunque sean infinitos en número, del mismo modo, repitiendo una línea terminada un número cualquiera de veces no se puede constituir ni agotar una línea interminada…” (DQAC, p. 99). Por su parte, la cantidad infinita terminada admite que pueda ser agotada por un agregado de líneas finitas, aunque su cantidad exceda todo número. Desde este punto de vista, la línea infinita terminada posee un extremo que está ubicado en el infinito: “Ocurre de otra manera con una línea terminada, pero infinita, la cual puede ser concebida como formada por una multitud de líneas finitas, aunque esta multitud excede todo número”. DQAC, 99 Por su parte, la cantidad infinitamente pequeña se distingue del indivisible porque, a diferencia de este último, que equivale al punto, las líneas infinitamente pequeñas son líneas y, por tanto, son también divisibles. Es decir, una línea infinitamente pequeña es menor que cualquier línea asignable, pero puede haber una línea infinitamente pequeña menor que ella. Ello significa que las líneas infinitamente pequeñas posee una dimensión y por esa razón, a diferencia del punto, la línea finita puede concebirse como un agregado de líneas infinitamente pequeñas. De esta manera, también a

diferencia del punto, una línea finita puede concebirse como una media proporcional entre una línea infinitamente pequeña y una línea infinita terminada. “Y del mismo modo que una línea infinita terminada está constituida por líneas finitas, una línea finita está compuesta de líneas infinitamente pequeñas, pero sin embargo divisibles. No se puede decir que una línea terminada sea una media proporcional entre un punto, o sea una línea mínima, y una línea interminada, es decir, la línea más grande. Pero se puede decir que una línea finita es una media proporcional, en un sentido no aproximado, sino verdadero y exacto, entre una línea infinitamente pequeña y una línea infinita” (DQAC, 99 En lo que respecta a su existencia, el geómetra no debe preocuparse por la cuestión del estatus ontológico de los infinitos terminados o las cantidades infinitamente pequeñas, sino que le basta que pueda aplicarlos para realizar las demostraciones que se propone realizar. En este sentido, reaparece la actitud más bien “pragmática” en la práctica matemática leibniziana: “Determinar si la naturaleza tolera cantidades de este género (scl. Infinitas terminadas) es la tarea del metafísico. Al geómetra le basta con demostrar lo que resulta de su suposición”. (DQAC, 101).

La misma afirmación puede valer para los infinitamente pequeños. Afirmaciones semejantes encontramos años después, cuando ya se había desencadenado la controversia pública acerca de la realidad de los infinitesimales. En efecto, en una carta a Johann Bernoulli de 1698, Leibniz repite en términos generales la misma tesis: “…es dudoso que se den en la realidad líneas rectas infinitas en longitud y, sin embargo, terminadas; para el cálculo, no obstante, basta con que las imaginemos, lo Gmismo que las raíces imaginaras en el álgebra”. (GM III 524). En conclusión, podemos sintetizar las distinciones hechas hasta aquí en el siguiente cuadro: 1. Línea infinita interminada: no tiene extremo o punto último en al menos uno de sus extremos. No entra en la consideración de la geometría. 2. Línea infinita terminada: está formada por una infinidad de líneas finitas, cuya cantidad es mayor que cualquier número asignable 3. Línea finita: está formada por líneas infinitamente pequeñas. Esas líneas son menores que cualquier cantidad asignable, pero pueden ser unas menores (o mayores) que otras.

4. La línea finita es una media proporcional entre la cantidad infinitamente pequeña y la infinita terminada (no de la interminada).

2.2. si x e y son finitos, x = y + infinitamente pequeño, entonces (es decir, la diferencia es inasignable) 3. infinito1 – infinito2 = infinito3, si infinito1 > infinito2 (o infinito1 : infinito2 ≠ 1)

Reglas de operación con infinitos e infinitésimos La introducción de los infinitos terminados y de las cantidades infinitamente pequeñas exige la utilización de reglas de operación con dichas cantidades, es decir, se requiere de una aritmética de infinitos e infinitamente pequeños. Leibniz emplea estas reglas de una manera más o menos implícita, sin enunciarlas explícitamente, aunque hay algunas excepciones. Knobloch las ha recogido en un listado de doce reglas, que exponemos a continuación. Lamentablemente, en la gran mayoría de los casos no aclara los pasajes en los que Leibniz las aplica, de manera que esta es una tarea pendiente. Por lo mismo, tampoco tenemos certeza de que sea completa. En cualquier caso, hasta donde sabemos, se trata del primer intento de sistematizar estas reglas, más allá las que se conocen a partir de la publicación de la Nova methodus, en la que se presentan las reglas de operación con cantidades infinitesimales (Knobloch, 1994, 273; 2003, 67-68) 1. finito + infinito = infinito 2.1. Finito ± infinitamente pequeño = finito

4. infinito ± infinitamente pequeño = infinito 5. finito x infinitamente pequeño = infinitamente pequeño 6. infinito x infinitamente pequeño (prueba: proposición 21) 6.1. infinito o 6.2. finito o 6.3. infinitamente pequeño 7.1. infinito x infinito = infinito 7.2. si xn infinito, entonces x es infinito 8. infinito : infinito = 8.1. finito 8.2. infinito 9. si x es infinitamente pequeño, y > 0, y < x, entonces y es infinitamente pequeño. 10. finito : infinitamente pequeño = infinito : finito = infinito. Corolario: si finito : infinitamente pequeño = x : finito, entoces x es infinito

11. infinitamente pequeño : finito = finito : infinito = infinitamente pequeño. Corolario: si finito : infinito = x : finito, entonces x es infinitamente pequeño. 12. x : y = (x + infinitamente pequeño1) : (y + infinitamente pequeño2)

Una aplicación de las cantidades infinitamente pequeñas e infinitas terminadas: la prueba de la regla 6 (Proposición 21) A los fines de presentar un ejemplo relativamente sencillo de la operación con infinitesimales e infinitos terminados, presentaremos una prueba (parcial) de la regla de producto entre cantidades infinitamente pequeñas e infinitas. Dicha prueba tiene lugar en la proposición 21 (DQAC, p. 167), en la que Leibniz recurre a una argumentación geométrica. Puesto que el producto de dos factores puede ser interpretado geométricamente como el área de un rectángulo, Leibniz toma como punto de partida un hiperboloide 0C1C2C cuya expresión es del tipo xn . ym = a y considera en ella un rectángulo cuya base es la abcisa A0B infinitamente pequeña y su altura la ordenada 0B0C de longitud infinita, pero terminada en el extremo infinitesimal 0C0G, de acuerdo con el siguiente gráfico:

En consecuencia se trata de determinar si el rectángulo 0C0GA0B es finito, infinito o infinitamente pequeño. El resultado de la demostración será: 1. si n > m, el área del rectángulo será una cantidad infinita, es decir, infinito x infinitamente pequeño = infinito 2. si m > n, el área del rectángulo será una cantidad infinitesimal, es decir, infinito x infinitamente pequeño = infinitamente pequeño 3. si m = n, él área del rectángulo será una cantidad finita, es decir, infinito x infinitamente pequeño = finito. Como ejemplo, tomaremos la demostración de 3. es decir A 0B x 0B0C = finito. Sea entonces el siguiente hiperboloide (DQAC, p. 167, prop. XXI)

finito, aunque tenga base infinitesimal y altura infinita. Por tanto, el producto de un infinito por un infinitamente pequeño es finito, para el caso n > m. QED.

Siendo A0B infinitamente pequeña y 0B0C infinita, el área del rectángulo 0C0GA0B será finita, para el caso de que n = m, con la forma general de la hipérbola xnym = a, como dijimos. Si n = m, todas las ordenadas BC son inversamente proporcionales a las abcisas AB y lo mismo ocurre con sus respectivas potencias. Se sigue entonces que: 1B1C/0B0C = A0B/A1B Por lo mismo, podemos decir: 0B0C/2B2C = A2B/A0B, de lo cual obtenemos que A 0B x 0B0C = 2B2C x A2B Pero A0B x 0B0C = 0C0GA0B y 2B2C x A2B = A2BR2G Luego, 0C0GA0B = A2BR2G, independientemente de la longitud de A0B y 0B0C. Ahora bien, A2BR2G = finito, por lo que 0C0GA0B será también

Conclusión En nuestra exposición, hemos intentado plantear las ideas fundamentales del primer tratado leibniziano más o menos sistemático sobre matemática infinita e infinitesimal, sin pretender agotar las diversas temáticas que aborda. En esta perspectiva, siguiendo los trabajos de Knobloch, hemos visto que Leibniz sostiene ya en una época temprana una concepción ficcional de las cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes y que fundamentó su introducción en un método que en principio no requiere de la aplicación de dichos conceptos. En principio, la introducción de la matemática infinitesimal obedece a la necesidad de abreviar los procedimientos de demostración. En continuidad con ello, hemos presentado las reglas de la matemática infinita y un ejemplo de aplicación muy elemental. Hemos comprobado, también a través de los ejemplos, la importancia al menos heurística de la utilización de diagramas geométricos. No queremos concluir esta puesta al día del tema sin aclarar que, a pesar de ofrecer una perspectiva fructífera, esta interpretación de la matemática infinitaria de Leibniz posee un carácter más bien programático. Entre las cuestiones que quedan por elucidar se encuentra, por ejemplo, el problema

del tratamiento de las tangentes, es decir, de la derivación. Asimismo, poco o nada hemos dicho de la introducción de la notación infinitesimal y de sus reglas de operación. Asimismo, y en relación con lo anterior, tampoco hemos tratado la relación de los métodos de DQAC con el papel central que adquiere el principio de continuidad en etapas posteriores del desarrollo del cálculo. Tampoco queda claro si el método introducido por Leibniz en la proposición universal es lo suficientemente universal como para justificar todas sus aplicaciones. Todas estas son cuestiones pendientes que merecen una atenta consideración. Obras citadas Leibniz, G.W. (2004), Quadrature arithmétique du cercle, de l’ellipse et de l’hyperbole et la trigonométrie sans tables trigonométriques que en est le corollaire. Introduction, traduction et notes de Marc Parmentier. Texte latin édité par Eberhard Knobloch, Paris, Vrin. Citada como DQAC. Leibniz, G.W. (1849-1863), Mathematische Schriften, ed. por C.I. Gerhardt, 7 vols., Berlin (Reimp. Olms). Citada como GM

Knobloch, Eberhard (1990), “L’infini dans les mathématiques de Leibniz”, en L’infinito in Leibniz. Problemi e terminologia, Simposio Internazionale Roma, 6-8 Novembre 1986, Roma, 33-51. Knobloch, Eberhard (1994), “The infinite in Leibniz’s mathematics. The historiographical method of comprehension in context”, en Gavroglu, Kostas et al. (eds.), Trends in the historiography of science, Dordrecht, Kluwer, 265-278. Knobloch, Eberhard (2002), “Leibniz’s rigorous foundation of infinitesimal geometry by means of Riemannian sums”, Synthese, 133, 59-73. Rabouin, David (2015), “Leibnz rigorous foundation of the method of indivisibles. Or how to reason with impossible notions”, en Jullien, Vincent (ed.), Seventeenth Century indivisibles revisited, Dordrecht, Birkäuser, 347-364.

INFINITO E INFINITESIMAL COMO FICCIONES

“Admito que no he conocido hasta ahora un método capaz de demostrar perfectamente aunque sea una única cuadratura sin una deducción ad absurdum. Más aún, tengo razones para temer que no se pueda hacerlo, por la naturaleza de las cosas, sin asumir cantidades ficticias, ya sean infinitas o infinitamente pequeñas”. (DQAC, 69) “…una cantidad interminada difiere de una cantidad infinita. La magnitud de una línea interminada, del mimo modo que la de un punto, sale del campo de la consideración de la geometría. En efecto, del mismo modo que no se cambia una línea terminada agregándole o quitándole puntos, aunque sean infinitos en número, del mismo modo, repitiendo una línea terminada un número cualquiera de veces no se puede constituir ni agotar una línea interminada…” (DQAC, p. 99). “Ocurre de otra manera con una línea terminada, pero infinita, la cual puede ser concebida como formada por una multitud de líneas finitas, aunque esta multitud excede todo número”. DQAC, 99 “Y del mismo modo que una línea infinita terminada está constituida por líneas finitas, una línea finita está compuesta de líneas infinitamente pequeñas, pero sin embargo divisibles. No se puede decir que una línea terminada sea una media proporcional entre un punto, o sea una línea mínima, y una línea interminada, es decir, la línea más grande. Pero se puede decir que una línea finita es una media proporcional, en un sentido no aproximado, sino verdadero y exacto, entre una línea infinitamente pequeña y una línea infinita” (DQAC, 99 “Determinar si la naturaleza tolera cantidades de este género (scl. Infinitas terminadas) es la tarea del metafísico. Al geómetra le basta con demostrar lo que resulta de su suposición”. (DQAC, 101). “…es dudoso que se den en la realidad líneas rectas infinitas en longitud y, sin embargo, terminadas; para el cálculo, no obstante, basta con que las imaginemos, lo Gmismo que las raíces imaginaras en el álgebra”. (GM III 524).

REGLAS DE OPERACIÓN INFINITARIAS

1. finito + infinito = infinito 2.1. Finito ± infinitamente pequeño = finito 2.2. si x e y son finitos, x = y + infinitamente pequeño, entonces diferencia es inasignable)

(es decir, la

3. infinito1 – infinito2 = infinito3, si infinito1 > infinito2 (o infinito1 : infinito2 ≠ 1) 4. infinito ± infinitamente pequeño = infinito 5. finito x infinitamente pequeño = infinitamente pequeño 6. infinito x infinitamente pequeño (prueba: proposición 21) 6.1. infinito o 6.2. finito o 6.3. infinitamente pequeño 7.1. infinito x infinito = infinito 7.2. si xn infinito, entonces x es infinito 8. infinito : infinito = 8.1. finito 8.2. infinito 9. si x es infinitamente pequeño, y > 0, y < x, entonces y es infinitamente pequeño. 10. finito : infinitamente pequeño = infinito : finito = infinito. Corolario: si finito : infinitamente pequeño = x : finito, entoces x es infinito 11. infinitamente pequeño : finito = finito : infinito = infinitamente pequeño. Corolario: si finito : infinito = x : finito, entonces x es infinitamente pequeño. 12. x : y = (x + infinitamente pequeño1) : (y + infinitamente pequeño2)

DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA 6 (PROPOSICIÓN XXI)

A0B x 0B0C = 2B2C x A2B

Por lo mismo, podemos decir:

A0B x 0B0C = 0C0GA0B y 2B2C x A2B = A2BR2G 0C0GA0B

= A2BR2G

A2BR2G = finito 0C0GA0B

= finito