El teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del c´alculo Bernardo Mondrag´on Brozon Mayo de 2015

El teorema fundamental del c´ alculo 0.1

Area debajo de una gr´ afica

• Se quiere hallar el ´ area debajo de la gr´afica de una funci´on:

• Definici´ on: Sea f una funci´ on continua en [a, b] no negativa y sea A : [a, b] −→ R como sigue:

A(x) =

  0 

si x = a

´area bajo f

si x ∈ [a, b]

A(b) denota el ´ area acumulada debajo de la gr´afica de f en el intervalo [a,b]. • A : [a, b] −→ R satisface que: a) Por definici´ on, A(a) = 0. b) Si c ∈ [a, b], entonces A(a → b) = A(a → c) + A(c → b). c) Si m es m´ınimo y M es el m´aximo de la funci´on en el intervalo [a, b], entonces m ≤ f (x) ≤ M y m(b − a) ≤ A(b) ≤ M (b − a), tal y como se muestra en la siguiente figura:

1

• La notaci´ on integral: Z A(x) =

x

f (t) dt = a

0.2

  0

si x = a

´area bajo f



si x ∈ [a, b]

El teorema del valor medio para integrales (TVMI)

• Teorema: El teorema del valor medio para integrales (T V M I) estable que se si f : [a, b] −→ R Z b es continua, entonces existe c ∈ [a, b] tal que f (t) dt = f (c)(b − a). a

Demostraci´ on: Sea m y M tal que m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ [a, b], entonces b

Z m(b − a) ≤

f (t) dt ≤ M (b − a) a

Rb

f (t) dt ≤M b−a

a

⇒m≤

El teorema del Bolzano establece que una funci´on continua ”no se salta valores”, entonces Rb

f (t) dt ≤ M = f (t) para alg´ un s, t ∈ [a, b] b−a Rb f (t) dt ⇒ f (c) = a para alg´ un c ∈ [a, b] b−a Rb Rb f (t) dt f (t) dt a es decir, f (c) = es un valor que alcanza la funci´on, pues f (c) = a est´a entre b−a b−a el m´ınimo y el m´ aximo. f (s) = m ≤

a

Z ⇒ f (c)(b − a) =

b

f (t) dt

para alg´ un c ∈ [a, b]

a



2

0.3

El Teorema fundamental del c´ alculo (TFC)

• Teorema: El teorema fundamental del c´alculo Z parte 1 (T F C#1) establece que si f : [a, b] −→ x

R es una funci´ on continua, entonces A(x) =

f (t) dt es una funci´on continua y diferenciable, a

y adem´ as d d ((A(x))) = dx dx

Z

x

 f (t) dt = f (x)

a

Demostraci´ on: Caso 1. (h > 0) R x+h Rx f (t) dt − a f (t) dt A(x + h) − A(x) d a A(x) = lim = lim h→0 h→0 dx h h Rx R x+h Rx R x+h f (t) dt + x f (t) dt − a f (t) dt f (t) dt a = lim = lim x h→0 h→0 h h Por el teorema del valor medio para integrales, existe c ∈ [x, x + h] tal que R x+h lim

x

h→0

f (t) dt f (c)(x + h − x) = lim = lim f (c) h→0 h→0 h h

si h > 0, entonces x < x + h pero c ∈ [x, x + h], de manera que si h −→ 0+ , entonces c −→ x+ , entonces lim f (c) = f (x), entonces D+ (A(x)) = f (x) h→0+

Caso 2. (h < 0) R x+h Rx f (t) dt − a f (t) dt d A(x + h) − A(x) a A(x) = lim = lim h→0 h→0 dx h h   R x+h R x+h Rx Rx f (t) dt − a f (t) dt + x+h f (t) dt − x+h f (t) dt a = lim = lim h→0 h→0 h h Por el teorema del valor medio para integrales, existe c ∈ [x + h, x] tal que lim

h→0

−

Rx x+h

f (t) dt

h

−f (c)(x − (x + h)) = lim f (c) h→0 h→0 h

= lim

si h < 0, entonces x + h < x pero c ∈ [x, x + h], de manera que si h −→ 0− , entonces c −→ x− , entonces lim f (c) = f (x), entonces D− (A(x)) = f (x) h→0−

Por el caso 1 y por el caso 2, se tiene que D+ (A(x)) = f (x) y D− (A(x)) = f (x), entonces A0 (x) = f (x). Por el teorema fundamental del c´alculo parte 1, vemos que el problema de hallar la funci´on de area se convierte en hallar una primitiva de la funci´on bajo la cual se quiere encontrar el ´area. ´  • Teorema: El teorema fundamental del c´alculo parte 2 (T F C#2) establece que si f : [a, b] −→ d (F (x)) = f (x), ∀x ∈ [a, b], entonces R es una funci´ on continua, y dx Z b b f (t) dt = F (b) − F (a) = F (t) a

a

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Demostraci´ on: Z x Sea G(x) = f (t) dt y sea F (x) tal que F 0 (x) = f (x), antiderivadas de f (x) (dos funciones a

cuyas derivadas son f (x)), entonces F (x) y G(x) difieren por una contante C: ∀x ∈ [a, b]

F (x) = G(x) + C Ahora hacemos: Z

b

b

Z

f (t) dt − 0 =

f (t) dt = a

Z

a

b

Z f (t) dt −

a

a

f (t) dt a

= G(b) − G(a) = G(b) + c − (G(a) + c) = F (b) − F (a) Por lo tanto, Z

b

f (t) dt = F (b) − F (a) a



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