El modelo de Vasicek y la integral de trayectoria de Feynman

R evista d e A d m in istra ci¶o n , F in a n za s y E co n o m ¶³a (J o u rn a l o f M a n a gem en t, F in a n ce a n d E co n o m ics), v o l. 2 , n u¶ m . 1 (2 0 0 8 ), p p . 9 -1 9 .

E l m o d elo d e V asicek y la in tegral d e trayectoria d e F ey n m an F r a n c isc o O r tiz -A r a n g o ¤ F ra n c isc o V e n e g a s-M a r t¶³n e z ¤ ¤ R ecib id o 8 d e ju n io 2 0 0 7 , A cep ta d o 1 0 d e ju lio 2 0 0 7

R e su m e n En este art¶³culo se plantea la conveniencia de utilizar las herramientas matem¶aticas de la mec¶anica cu¶antica para resolver algunos problemas ¯nancieros. En particular, se discute el modelo de tasa corta de Vasicek en tiempo continuo en el marco de la integral de trayectoria de Feynman. Para ello, se determina el Lagrangiano del sistema a partir del Hamiltoniano asociado de la ecuaci¶o n hacia atr¶as de Fokker-Planck. Posteriormente, se calcula la acci¶o n a ¯n de obtener el precio de un bono cup¶o n cero y su tasa forward. En conclusi¶o n, se pretende mostrar que la mec¶anica cu¶antica es una alternativa e¯caz en la soluci¶o n de algunos problemas complejos que surgen en la valuaci¶o n de derivados. A b str a c t The aim of this paper is to show the convenience of using mathematical tools from quantum mechanics to solve some ¯nancial problems. In particular, the Vasicek short-rate model in continuous time is discussed in the framework of the Feynman path integral. To do this, the Lagrangian of the system is obtained from the Hamiltonian associate to the backward Fokker-Planck equation. Subsequently, the action is calculated to obtain the price of a zero-coupon bond and its forward rate. In conclusion, the paper attempts to show that quantum mechanics is an e®ective alternative in solving some complex problems that arise in pricing derivatives. C la si¯ ca ci¶o n J E L : G 1 3 P a la b ra s clav e: P ro d u cto s d eriva d o s.

1 . In tr o d u c c i¶o n En los u¶ ltimos a~n os un gran n¶u mero de f¶³sicos se han interesado en resolver problemas ¯nancieros. Para ello, han empleado herramientas matem¶aticas de la mec¶anica estad¶³stica y la mec¶anica cu¶antica desarrolladas a lo largo de muchos a~n os para resolver problemas complej os de la f¶³sica. Esta situaci¶o n le ha dado un gran impulso a la teor¶³a ¯nanciera dando origen a la \Econo-F¶³sica" y a las \Finanzas Cu¶anticas" En particular una de las ramas de la f¶³sica que ha cobrado m¶as inter¶e s es la mec¶anica cu¶antica. Desde principios del siglo pasado, pr¶acticamente, muchas ¤

P ro feso r-In v estig a d o r d e la E scu ela d e In g en ier¶³a d e la U n iv ersid a d P a n a m erica n a . P ro feso r-In v estig a d o r d e la E scu ela S u p erio r d e E co n o m ¶³a d el In stitu to P o lit¶e cn ico N a cio n a l. C o rreo electr¶o n ico : fv en eg a s@ ip n .m x ¤¤

10

E l m od elo d e V a sicek

de las mentes brillantes de la f¶³sica se enfocaron en la soluci¶o n de problemas de mec¶anica cu¶antica. En este marco, es posible distinguir tres diferentes enfoques para estudiar la mec¶anica cu¶antica: a) El enfoque de SchrÄo dinger, mediante una ecuaci¶o n diferencial parcial que lleva su nombre y que analiza una funci¶o n de onda asociada al comportamiento del ¶atomo de hidr¶o geno. b) El enfoque de Dirac, mediante matrices, operadores y reglas de conmutaci¶o n. c) El enfoque de la integral de trayectoria de Feynman, metodolog¶³a que considera las contribuciones de todas las posibles trayectorias que puede seguir un sistema cuando pasa de un estado a otro. El ob jetivo primordial de este trabaj o es mostrar de manera detallada el uso de la integral de trayectoria de Feynman como una herramienta e¯caz en la soluci¶o n de algunos problemas complej os de las ¯nanzas. Para ilustrar esto se determina el precio de un bono cup¶o n cero que sigue el modelo de tasa corta de Vasicek. El trabajo est¶a constituido por las siguientes secciones: En la secci¶o n 2 se plantea la ecuaci¶o n de Fokker-Planck hacia atr¶as, pues ¶e sta constituye la base para construir la integral de trayectoria de Feynman. En este marco, se parte del Hamiltoniano asociado el sistema y, posteriormente, se obtiene el Lagrangiano, el cual a su vez se usa para calcular la acci¶o n del sistema. En la secci¶o n 3 se plantea el problema central de esta investigaci¶o n, el cual consiste en abordar el modelo de Vasicek mediante el uso de la integral de trayectoria de Feynman a ¯n de valuar un bono cup¶o n cero. En la medida de lo posible el trabaj o proporciona los detalles t¶e cnicos de las demostraciones para darle °uidez a su lectura. Por u¶ ltimo, en la secci¶o n 4 se plantean las conclusiones del trabaj o. 2 . E c u a c i¶o n h a c ia a tr ¶a s d e F o k k e r -P la n c k La ecuaci¶o n hacia atr¶as de Fokker-Planck, tambi¶e n conocida como ecuaci¶o n de Kolmogorov 1 , se utiliza para valuar opciones, esto es debido a que la funci¶o n de pago se propaga hacia atr¶as en el tiempo. En otras palabras, dado que el precio de compra o venta de una opci¶o n al vencimiento se ¯j a al inicio del contrato, es necesario \traer" al presente las posibles ganancias del contrato. Este proceso puede aprovechase tambi¶e n para el estudio de las tasas de inter¶e s, en este caso, es necesario propagar el valor de la tasa de inter¶e s en el tiempo ¯nal T , la cual se denotar¶a por R , hacia un valor r en un tiempo previo, cuando el tiempo corre hacia atr¶as. En este caso la probabilidad condicional hacia atr¶as denotada por P B (R ;t; r ) representa la probabilidad de que la tasa \spot" tome el valor r 0 en el tiempo t, dado que en el tiempo futuro T > t, tomar¶a el valor R . Con lo cual, para un valor r = r (t + ²) y r 0 = r (t) , se cumple: Z P B (R ;t; r 0) = h± f r ¡ r 0 ¡ ² [a (r 0) ¡ ¾ (r 0) R (t) ] r g iP (R ;t + ²; r ) dr : (1) 1

T o m a d o d e V en eg a s (2 0 0 6 ), p a g . 2 5 3 .

R evista d e A d m in istra ci¶o n , F in a n za s y E co n o m ¶³a

11

En esta expresi¶o n los coe¯cientes a (r 0) y ¾ (r 0) contienen la informaci¶o n de la tasa \spot" en el pasado. El Hamiltoniano de Fokker-Planck hacia atr¶as est¶a dado por la expresi¶o n: @ P B (R ;t; r ) = H @t donde: H

B

=¡

P B (R ;t; r ) ;

(2)

1 2 @2 @ ¾ (r ) 2 ¡ a (r ) : 2 @r @r

(3)

B

Observe que para calcular el valor de P B (R ;t; r ) como elementos de una matriz es necesario utilizar la notaci¶o n de Dirac, en la cual el vector \ket" representa el jestado iniciali y el vector \bra" (vector dual) representa el hestado ¯nalj. Sin embargo, para este caso, dado que se considera el tiempo hacia atr¶as, el estado inicial ser¶a jR i y el estado ¯nal hr j, con lo cual se llega a las siguientes condiciones para calcular P B (R ;t; r ) : P B (R ;t; r ) = hr je ¡

(T ¡ t)H

B

jR i;

(4)

r (T ) = R : Ahora a partir del Hamiltoniano de¯nido en la ecuaci¶o n (3) se obtiene el Lagrangiano requerido para calcular la acci¶o n y con ¶e sta el precio del bono mediante una integral de trayectoria de Feynman de la forma: P (t0 ;T ) =

1 Z

B

Z

e S B D r;

(5)

donde Z B es la funci¶o n de partici¶o n de¯nida mediante una integral de trayectoria que considera tanto a la tasa spot r (t) como el efecto del ruido blanco R (t) ;2 as¶³la expresi¶o n para calcularla es: Z

B

=

Z

e S B D r:

(6)

En este caso, S B se re¯ere a la acci¶o n hacia atr¶as de Fokker-Planck:

SB =

ZT

L B dt:

(7)

t0

Para calcular el Lagrangiano hacia atr¶as de Fokker-Planck a partir del Hamiltoniano correspondiente, expresado en la ecuaci¶o n (3) , se emplea la siguiente 2

V er B a a q u ie (2 0 0 4 ), p a g . 1 2 0

12

E l m od elo d e V a sicek

ecuaci¶o n t¶³pica en mec¶anica cu¶antica que relaciona a ambos operadores, a saber: P B ( r~ ;t; r ) = hr je ¡ (T ¡ t)H B j~r i = N e ²L B Z1 dp = hr je ¡ ²H B jp ihp j~r i 2¼

[r;~r ]

¡ 1

Z1

1 = 2¼ =

1 2¼

¡ 1 Z1

e

¡ ²

¡¾ 2 2

p 2 + ia p

¢ e ip (r ¡

r~ )

(8)

dp

2

e¡

² ¾2 p 2 ip (r ¡ r~ ¡ ²a )

e

dp :

¡ 1

Para calcular la u¶ ltima integral en la expresi¶o n (8) se utiliza la integraci¶o n Gaussiana dada por la expresi¶o n:

Z [j ] = N

0

Z1

¡ 1

con N 0 = se toman:

p

e

¡

¸ 2

x 2 + jx

0

dx = N e

1 2¸

j

Z1

e¡

¸ 2

x2

1

dx = e 2 ¸ j ;

(9)

¡ 1

¸ = 2¼ . En consecuencia, si en la u¶ ltima integral de la expresi¶o n (8) ¸ = ²¾ 2 ; j = i(r ¡ r~ ¡ ²a ) ;

se llega a P B ( r~ ;t; r ) = hr je ¡ (T ¡ t)H B j~r i = N e ²L B [r;~r ] 2 1 Z [j ] 1 = = e 2¸ j N 0 2¼ N 0 r ¡ r~ 2 2 2 1 ² 1 1 = e 2 ²¾ 2 i (r ¡ r~ ¡ ²a ) = e ¡ 2¾ 2 ( ² ¡ a ) 2¼ N 0 2¼ N 0 r ¡ r~ 2 1 1 = e ¡ ²[ 2 ¾ 2 ( ² ¡ a ) ] 2¼ N 0 ( " µ ¶2 #) 1 1 r ¡ r~ = p exp ¡ ² ¡ a 2¾ 2 ² 2¼ ¸ ( " µ ¶2 #) 1 1 r ¡ r~ = p exp ¡ ² ¡ a : 2¾ 2 ² 2¼ ²¾ 2

(10)

Por lo tanto, es posible concluir que el Lagrangiano hacia atr¶as de Fokker-Planck est¶a dado por: µ ¶2 1 r ¡ r~ LB =¡ ¡ a : (11) 2¾ 2 ²

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Si en la ecuaci¶o n (11) se toma el l¶³mite ² ! 0, se obtiene (r ¡ r~ ) = ² ! dr = dt, con lo cual se llega a la forma de¯nitiva del Lagrangiano hacia atr¶as de FokkerPlanck: µ ¶2 1 dr LB =¡ : (12) ¡ a (r ) 2¾ 2 dt De esta manera, al sustituir (12) en (7) , se obtiene la forma expl¶³cita para el c¶alculo de la acci¶o n: SB

1 =¡ 2

ZT

1 2 ¾ (t)

t0

µ

dr ¡ a (r ) dt

¶2

dt;

(13)

3 . D e sa r r o llo d e l m o d e lo d e V a sic e k u tiliz a n d o la in te g r a l d e tr a y e c to r ia d e F e y n m a n En esta secci¶o n se muestra que el modelo de Vasicek de tasa corta en tiempo continuo puede resolverse de manera cerrada (exacta) mediante el uso de la integral de trayectoria de Feynman establecida en la ecuaci¶o n (5) . Como es sabido, el modelo de Vasicek es considerado el parteaguas en lo que se re¯ere a modelos de tasa corta en tiempo continuo. Sea P (t0 ;T ) el precio de un bono cup¶o n cero, el cual puede calcularse mediante la expresi¶o n: " ( Z ) ¯ # ¯ T ¯ P (t0 ;T ) = E exp ¡ r (t) dt (14) ¯ r (t0 ) = r 0 : ¯ t0

En el caso del modelo de Vasicek, la tasa corta sigue el comportamiento descrito por la siguiente ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica: dr = a (b ¡ r ) + ¾ dW t ; dt

(15)

con las condiciones r (t0 ) = r 0 , t0 · t · T , y donde W t es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯jo de probabilidad con su ¯ltraci¶o n aumentada W (−;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) . Dado que el valor presente de un bono cup¶o n cero se obtiene al descontar su valor futuro, la tasa spot debe establecerse en el tiempo T, de este modo la propagaci¶o n de su comportamiento se hace \hacia atr¶as" , hasta llegar al valor r 0 en el tiempo t0 . De este modo la acci¶o n hacia atr¶as de Fokker-Planck, dada en la ecuaci¶o n (13) , puede expresarse para este caso espec¶³¯co como:

SV

1 =¡ 2

ZT

t0

1 ¾2

· ¸2 dr ¡ a (b ¡ r ) dt; dt

(16)

14

E l m od elo d e V a sicek

donde a y b son constantes. A trav¶e s de la ecuaci¶o n (16) es posible calcular el valor esperado del precio del bono en la ecuaci¶o n (14) , para lo cual se requiere establecer la forma de la funci¶o n r (t) a ser integrada, las condiciones de frontera y una distribuci¶o n de probabilidad: la distribuci¶o n de probabilidad propuesta es de la forma e S V = Z , con Z de¯nida como en la ecuaci¶o n (6) y que funciona como condici¶o n de normalizaci¶o n, adem¶as se cumple que: Z

Z1 YT

D r´

¡ 1

dr (t) ;

(17)

t= t0

j unto con las condiciones de frontera r (t0 ) = r 0 ;

dr (T ) = 0: dt

(18)

Con base en lo anterior se puede obtener el precio del bono cup¶o n cero mediante el c¶alculo del promedio del factor de descuento sobre la distribuci¶o n de probabilidad mencionada antes, as¶³: RT Z ¡ r (t)d t 1 P (t0 ;T ) = D r: (19) e S V e t0 Z Si ahora se de¯ne S ´ SV ¡

ZT

r (t) dt;

(20)

t0

entonces se tendr¶a

1 P (t0 ;T ) = Z

Al sustituir (16) en (21) , se obtiene:

S = SV ¡

ZT

1 r (t) dt = ¡ 2¾ 2

t0

Z

e S D r:

(21)

¸2 ZT · ZT dr ¡ a (b ¡ r ) dt ¡ r (t) dt: dt

t0

(22)

t0

Como la medida de la integral de trayectoria permanece invariante baj o traslaciones es posible hacer la siguiente consideraci¶o n: r (t) ! r (t) + b, con lo cual se obtiene: a (b ¡ r ) ! a r . Al incorporar estos cambios en la ecuaci¶o n (22) , se obtiene: ¶2 ZT µ ZT 1 dr S =¡ + a r dt ¡ (r (t) + b) dt: (23) 2¾ 2 dt t0

t0

Una forma de calcular las integrales de la expresi¶o n (23) es a trav¶e s del siguiente cambio de variable: dr v (t) = + a r: (24) dt

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15

Al resolver la ecuaci¶o n diferencial resultante para r (t) se llega a la expresi¶o n:

r (t) = e

¡ a (t¡ t0 )

r0 + e

¡ at

ZT

0

e a t v (t0) dt0:

(25)

t0

Nuevamente, hay que integrar (25) para posteriormente sustituirlo en (23) , de tal forma que ZT

r (t) dt =

t0

ZT

t0

= r0

0

a (t¡ t0 )

@e ¡

ZT

r0 + e¡

at

ZT

t0

e¡

a (t¡ t0 )

dt +

t0

ZT

e¡

t0

at

1

0

e a t v (t0) dt0A d t 0 @

Zt

0

(26)

e a t v (t0) dt0A dt

t0

= r0 I1 + I2 :

1

A continuaci¶o n se calcula I 1 : I1 =

ZT

e

¡ a (t¡ t0 )

1 dt = ¡ e a t0 a

t0

ZT

e¡

at

dt =

1 ¡ e¡

a (T ¡ t0 )

a

´ B (t;T ) :

(27)

t0

Para I 2 , se puede demostrar 3 que:

I2 =

ZT

B (t;T ) v (t) dt;

(28)

ZT

(29)

t0

con lo cual se obtiene ZT

r (t) dt = r 0 B (t;T ) +

t0

B (t;T ) v (t) dt:

t0

Ahora hay que veri¯car que r (t) como est¶a expresada en (25) cumpla las condiciones inicial y de frontera: i) En efecto, en t = t0 se cumple que r (t0 ) = r 0 : ii) Para la condici¶o n ¯nal en t = T , dado que (dr = dt) = 0, ¶e sto equivale a decir que r (T ) es libre de tomar cualquiera de sus valores posibles y, por consiguiente, de la ecuaci¶o n (24) , v (T ) tambi¶e n es libre de tomar valores. En este caso, las condiciones de frontera se satisfacen para la variable v (t) cuando t0 · t · T . 3

V er B a a q u ie 2 0 0 4 , p a g . 1 2 2

16

E l m od elo d e V a sicek

Antes de proceder a calcular el precio del bono cup¶o n cero P (t0 ;T ) , la ecuaci¶o n (23) se reexpresar¶a en t¶e rminos del cambio de variable dado en (24) , as¶³: ZT ZT 1 2 S =¡ v (t) dt ¡ (r (t) + b) dt; (30) 2¾ 2 t0

t0

si se sustituye (29) en (30) se obtiene: 1 S =¡ 2¾ 2

ZT

2

v (t) dt ¡ r 0 B (t;T ) ¡

t0

ZT

B (t;T ) v (t) dt ¡ b(T ¡ t0 ) ;

t0

y reagrupando t¶e rminos se llega a: 1 S =¡ 2¾ 2

ZT

t0

£2 ¤ v (t) + 2¾ 2 B (t;T ) v (t) dt ¡ r 0 B (t0 ;T ) ¡ b(T ¡ t0 ) :

(31)

Ahora bien, debido al cambio que se hizo en (23) : a (b ¡ r ) ! a r , entonces se tiene que hacer el cambio r ! r ¡ b, con lo cual la expresi¶o n (31) queda ¯nalmente como: S =¡

1 2¾ 2

ZT

t0

¤ £2 v (t) + 2¾ 2 B (t;T ) v (t) dt ¡ (r 0 ¡ b) B (t0 ;T ) ¡ b(T ¡ t0 ) : (32)

Ahora se calcula el precio del bono cup¶o n cero para lo cual se sustituye (32) en (21) : 1 P (t0 ;T ) = Z =

Z

1 ¡ e Z

¡

T R [v 2 (t)+

1 2¾ 2

2 ¾ 2 B (t;T )v (t)] d t¡ (r 0 ¡ b)B (t0 ;T )¡ b(T ¡ t0 )

t0

e

D r

(r 0 ¡ b)B (t0 ;T )¡ b(T ¡ t0 )

Si se de¯ne K = e ¡

Z

(r 0 ¡ b)B (t0 ;T )¡ b(T ¡ t0 )

R 2 f [v (t)+

¡

1 2¾ 2

T R [v 2 (t)+

(33) 2 ¾ 2 B (t;T )v (t)] d t

t0

e

D r:

, entonces (33) queda como

T

K P (t0 ;T ) = Z

Z

K = Z

Z

K = Z

Z

¡

1 2¾ 2

e ¡

T © R [v (t)+

1 2¾ 2

2

¾ 2 B (t;T )] ¡ ¾ 4 B

t0

e ¾2 2

e

2 ¾ 2 B (t;T )v (t)+ ¾ 4 B

2

(t;T )] ¡ ¾ 4 B

t0

T R

B

t0

2

(t;T ) ¡

e

1 2¾ 2

T R [ v (t)+

t0

2

ª

2

(t;T )g d t

D r

(t;T ) d t

D r

2

¾ 2 B (t;T )] d t

D r: (33 ¡ a)

R evista d e A d m in istra ci¶o n , F in a n za s y E co n o m ¶³a

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Si ahora se hace la consideraci¶o n v (t) ! v (t) + ¾ 2 B (t;T ) , ya que la m¶e trica es invariante ante la traslaci¶o n, entonces la expresi¶o n (33¡ a) se puede escribir como: T T R R ¾2 B 2 (t;T )d t Z ¡ 1 2 v 2 (t)d t 2 2¾ K t0 t0 e e P (t0 ;T ) = D r Z T T R R ¾2 ¾2 B 2 (t;T )d t Z B 2 (t;T )d t 2 2 (34) K K SV t0 t0 e e D r= e = Z Z Z T R 2 2 ¾ B

2

=e

¡ (r 0 ¡ b)B (t0 ;T )¡ b(T ¡ t0 )

A continuaci¶o n, se calcula la integral

T R

(t;T )d t

t0

e

:

B 2 (t;T ) dt, usando la de¯nici¶o n de

t0

B 2 (t;T ) establecida en la expresi¶o n (27) : ¶2 ZT ZT µ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t0 ) 2 B (t;T ) dt = dt a t0

t0

1 = 2 a

ZT ³ 1 ¡ 2e ¡

a (T ¡ t)

+ e¡

2 a (T ¡ t)

t0

1 = 2 a

µ 2 3 T ¡ t0 ¡ + e¡ 2a a

a (T ¡ t0 )

´ dt 1 ¡ e 2a

¡

(35)

2 a (T ¡ t0 )

¶

:

Si se de¯nen: µ = T ¡ t0 y B (µ ) = (1 ¡ e ¡ a µ ) = a , es posible reescribir la expresi¶o n (35) como: µ ¶ ZT 3 2 ¡ aµ 1 1 ¡ 2a µ 2 B (t;T ) dt = 2 µ ¡ + e ¡ e a 2a a 2a t0 µ ¶ 1 2 1 1 1 1 ¡ 2a µ = 2 µ¡ ¡ + e¡ aµ + e¡ aµ ¡ e (36) a 2a 2a a a 2a · ¸ ¡ ¢ ¡ ¢ 1 1 1 2 = 2 µ¡ 1 ¡ e¡ aµ ¡ 1 ¡ e¡ a µ a a 2a ´ 1 ³ a = 2 µ ¡ B (µ ) ¡ B 2 (µ ) : a 2 Con el resultado anterior sustituido en la expresi¶o n (34) es posible calcular el precio del bono cup¶o n cero, primero se calcula: P (t0 ;T ) = e ¡

(r 0 ¡ b)B (µ )¡ bµ 2

e

¾2 1 2 a2

(µ ¡

2

B (µ )¡

= e r0 B

(µ ) ( 2¾a 2 ¡ b)µ ¡ ( 2¾a 2 ¡ b)B (µ )¡

= e r0 B

(µ )

e

exp

·µ

¶

a 2

B

¾2 4a

B

2

(µ )) 2

(µ )

¸ ¾2 ¾2 2 ¡ b (µ ¡ B (µ ) ) ¡ B (µ ) : 2a 2 4a

(37)

18

E l m od elo d e V a sicek

Con la expresi¶o n anterior es posible expresar el valor del bono cup¶o n cero mediante la expresi¶o n: (38) P (t0 ;T ) = A (µ ) e ¡ B (µ )r 0 ; donde: A (µ ) = exp

·µ

¶ ¸ ¾2 ¾2 2 B ¡ b (µ ¡ B (µ ) ) ¡ (µ ) : 2a 2 4a

(39)

Como puede apreciarse las expresiones (37) , (38) y (39) coinciden perfectamente con las obtenidas por Vasicek en su art¶³culo original, as¶³como con los libros de texto cl¶asicos. 4 Por u¶ ltimo, para el c¶alculo de la tasa forward se sigue que: @ ln P (t0 ;T ) @T · µ 2 ¶ ¸ @ ¾ ¾2 2 ¡ ¡ B (µ ) r 0 + ¡ b (µ ¡ B (µ ) ) ¡ B (µ ) @T 2a 2 4a µ ¶ µ 2 ¶ 2 ¾ ¾ e ¡ a (T ¡ t0 ) r 0 + 2 ¡ b ¡ ¡ b 2a 2a 2 ´ ¾ 2 ³ ¡ a (T ¡ t0 ) ¡ 2 a (T ¡ t0 ) e ¡ e 2a 2 µ ¶ µ 2 ¶ ¢ ¾2 ¾ ¾ 2 ¡¡ aµ ¡ aµ ¡ b + ¡ e¡ 2a µ e r0 + 2 ¡ b ¡ e 2 2 2a 2a 2a 2 ¡ ¢ ¾ e ¡ a µ (r 0 ¡ b) + b ¡ 1 ¡ 2e ¡ a µ + e ¡ 2 a µ 2 2a ¢2 ¾2 ¡ ¡ aµ (b ¡ r 0 ) ¡ r 0 + (b ¡ r 0 ) ¡ e 1 ¡ e¡ a µ 2 2a 2 ¡ ¡ ¢ ¢2 ¾ r 0 + 1 ¡ e ¡ a µ (b ¡ r 0 ) ¡ 1 ¡ e¡ aµ : 2 2a

f (t0 ;T ) = ¡ = = ¡ = = = =

(40)

Este u¶ ltimo resultado coincide con el obtenido por Vasicek, con lo cual se demuestra que el empleo de la integral de trayectoria y los conceptos f¶³sicos asociados como el Hamiltoniano, el Lagrangiano y la acci¶o n pueden ser empleados para resolver problemas ¯nancieros. 4 . C o n c lu sio n e s Como puede verse a lo largo de este trabajo, el empleo de la integral de trayectoria de Feynman constituye una herramienta poderosa para resoluci¶o n de problemas complejos en el campo de las ¯nanzas. En este ej ercicio se utiliz¶o un m¶e todo alternativo para valuar un bono cup¶o n cero cuya tasa corta se comporta de acuerdo con modelo de Vasicek en tiempo cont¶³nuo. Se prevee que este sea el primero de una serie de trabaj os relacionados con uso de la integral de trayectoria de Feynman para otros modelos de tasa corta disponibles en la literatura ¯nanciera. Una gran ventaj a que tiene el uso de 4

V ¶e a se V en eg a s (2 0 0 6 ).

R evista d e A d m in istra ci¶o n , F in a n za s y E co n o m ¶³a

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la integral de trayectoria de Feynman es que una vez planteado el problema la integral puede calcularse tanto por m¶e todos anal¶³ticos como por m¶e todos num¶e ricos. B ib lio g r a f¶³a Baaquie, B. (2004) . Quantum Finance. Path Integrals and Hamiltonians for Options and Interest Rates, Editorial Cambridge University Press. 2004 Baaquie, B. (2002) . \Quantum Field Theory of Forward Rates with Stochastic Volatility" . P h y sica l R eview E , 65 (2002) 056122 Dash, J. W. (1988) . Path Integrals and Options-I. Quantitative Analysis/ Financial Strategies Group, Merrill Lynch Capital Markets, World Financial Center, NY, NY 10281. 1988. Feynman, R. P. and A. R. Hibbs (1965) . Quantum Mechanics and Path Integrals. McGraw-Hill (1965) Kleinert, H. (2006) . Path Integrals, in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics and Financial Markets. 4th. Edition. 2006. Landau, L. y E. Lifshitz (1982) . Curso Abreviado de F¶³sica Te¶o rica, Libro 2, Editorial Mir Mosc¶u 1982. Ortiz, F. (2007) . Tesis doctoral \Finanzas cu¶anticas" , Doctorado en Ciencias Financieras, Tecnol¶o gico de Monterrey, Campus Ciudad de M¶e xico. Otto, M. (1998) . \Using path integrals to price interest rate derivatives" , http://xxx.lanl.gov /cond-mat/9812318. Vasicek, O. (1977) .\An equilibrium characterization of the term structure" . J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, 5:177. Venegas-Mart¶³nez, F. (2006) . Riesgos Financieros y Econ¶o micos, 1a. Ed. Thomson Internacional (2006) .