EL IMPACTO DEL MODELO DE OPTIMIZACIÓN EN EL MARCO DE LA RELACIÓN ENTRE SISTEMAS DE PRODUCCIÓN Y DISTRIBUCIÓN

.

Primer Congreso de Logística y Gestión de la Cadena de Suministro Zaragoza, 12 y 13 de Septiembre de 2007

EL IMPACTO DEL MODELO DE OPTIMIZACIÓN EN EL MARCO DE LA RELACIÓN ENTRE SISTEMAS DE PRODUCCIÓN Y DISTRIBUCIÓN H. I. Calvete Dpto. de Métodos Estadísticos. Universidad de Zaragoza C. Galé Dpto. de Métodos Estadísticos. Universidad de Zaragoza M. J. Oliveros Dpto. de Ingeniería de Diseño y Fabricación. Universidad de Zaragoza

Abstract A supply chain is a complex system in which operational and strategic decisions have to be made. From a global point of view, the analysis of a supply chain focuses on three distinct stages: supplying of raw materials, manufacturing process and distribution of products. In this work, the manufacturing and distribution stages of the supply chain are studied jointly. We analyse the impact that different relationships between decision makers at each stage have on the performance of this part of the supply chain. For this purpose, we select several optimization models and compare the optimal solutions obtained. Each model reflects the specific interaction between decision makers and takes into account the constraints of the system. Keywords: Supply chain, multiobjective, multilevel, bilevel, fuzzy programming Resumen Una cadena de suministro es un sistema complejo que implica tomar decisiones tanto estratégicas como operativas. Grosso modo, el análisis de una cadena de suministro se centra en tres procesos diferentes: el suministro de materias primas, el proceso de fabricación y la distribución de los productos. En este trabajo, se estudian los procesos de producción y distribución de manera conjunta. Se analiza el impacto que tienen los diferentes tipos de relaciones que pueden existir entre los encargados de tomar las decisiones en estos procesos sobre el comportamiento de esta parte de la cadena de suministro. Para ello, se proponen varios modelos de optimización y se comparan las diferentes soluciones óptimas obtenidas. Cada modelo propuesto refleja una interacción específica entre los decisores y tiene en cuenta las restricciones del sistema. Palabras clave: Cadena de suministro, programación multiobjetivo, multinivel, binivel, difusa 1. INTRODUCCIÓN En la actualidad, los problemas asociados a la planificación y gestión eficiente de la cadena de suministro constituyen una de las áreas de investigación más intensa, por sus enormes implicaciones tanto en aspectos aplicados de la vida cotidiana como desde una perspectiva teórica y por la complejidad de los modelos y de las técnicas computacionales de resolución

.

que se requieren. Una cadena de suministro es un sistema complejo que exige tomar decisiones en distintos planos de actuación, desde la localización de los centros productivos o los almacenes, hasta la política de adquisición de suministros con los problemas asociados de inventario, la planificación de la producción, o la determinación de las rutas de distribución de la mercancía a los clientes finales. Globalmente, en una cadena de suministro se identifican tres procesos diferentes. El primero corresponde al suministro de materias primas y servicios por parte de un cierto número de proveedores a las plantas de producción. El segundo proceso, asociado a la fabricación, incluye las plantas de producción con sus características. Finalmente, el proceso de distribución de los productos elaborados, identifica los almacenes o centros de distribución que atienden a los clientes que generan la demanda del producto. Para modelar estos procesos se han propuesto en la literatura distintos modelos matemáticos (De Kok y Graves, 2003, Huang, Zhang y Liang, 2005). Los modelos considerados se han centrado, en general, en el estudio de algún subsistema relacionado con un aspecto parcial de alguno de los anteriores procesos, de manera aislada. Por ello tienen en cuenta exclusivamente el objetivo del único decisor que se supone controla dicho subsistema, sin considerar ni el impacto que sus decisiones tienen en el resto de los procesos, ni cómo afectan éstos al comportamiento del subsistema analizado. En consecuencia, no se toma en consideración la existencia de decisores asociados a los otros procesos de la cadena de suministro, que pueden tener objetivos distintos y restricciones específicas. En los últimos años, sin embargo, se ha puesto de manifiesto la necesidad de considerar la cadena de suministro como un todo y de coordinar todos sus procesos con objeto de que las compañías implicadas puedan dar una respuesta rápida a un entorno empresarial que cambia continuamente y que la racionalización de sus actividades redunde en la obtención de mayores beneficios. Ello implica establecer el nivel de interdependencia de los diferentes elementos de la cadena de suministro, para poder formular un modelo de optimización que refleje adecuadamente la/s función/es objetivo/s y las restricciones. En este trabajo se estudian los procesos de producción y distribución de manera conjunta. Se analiza el impacto que tienen los diferentes tipos de relaciones que pueden existir entre los encargados de tomar las decisiones en estos procesos sobre el comportamiento de esta parte de la cadena de suministro. Para ello, se proponen varios modelos de optimización y se comparan las diferentes soluciones óptimas obtenidas. Cada modelo propuesto refleja una cierta interacción entre los decisores y tiene en cuenta las restricciones del sistema. Suponiendo, en primer lugar, que existe cooperación entre los decisores del proceso de producción y del proceso de distribución -lo cual es aceptable cuando las plantas de producción son subsidiarias de la empresa de distribución o existe una relación continuada entre ellas- se proponen varios modelos de programación matemática multiobjetivo, que reflejan los grados de cooperación (Steuer, 1986; Tamiz, Jones y Romero, 1998). En segundo lugar, si no existe cooperación y existen niveles de decisión organizados jerárquicamente, el modelo natural que permite tomar en consideración la jerarquía en el proceso de toma de decisiones es un modelo de optimización multinivel (Bard, 1998; Dempe, 2002). Cuando se establece una cierta colaboración entre los niveles de decisión, que pueden acceder a una información parcial sobre las preferencias de los otros decisores, son adecuados los modelos de programación interactiva basados en grados de satisfacción (Lai y Hwang, 1992).

.

2. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Consideramos un centro de distribución de M productos que dispone de D almacenes. Este centro recibe los productos de P plantas de producción y con ellos atiende la demanda de C clientes. El proceso de producción/distribución puede representarse mediante una red G (N, A), en la que N representa el conjunto de nodos (plantas de producción, almacenes y clientes) y A el conjunto de arcos. Cada arco indica la existencia de una conexión que permite enviar mercancía desde una planta a un almacén o desde éste a un cliente (véase figura 1). El propósito es determinar la cantidad de cada producto m que cada planta p entrega en cada almacén d y la cantidad de cada producto m que cada almacén d entrega a cada cliente c. Sean estas variables Ypdm y Xdcm. Los objetivos son, en general, minimizar el coste de producción, el de distribución de las plantas a los almacenes y el de distribución de los almacenes a los clientes. Las restricciones atienden a los niveles de producción de las plantas, la capacidad de almacenamiento, la necesidad de satisfacer la demanda, etc. En la formulación que sigue, se ha simplificado al máximo la descripción de las restricciones, con objeto de centrar la atención en las funciones objetivo y en la forma en la que los decisores están relacionados, que es el objeto fundamental de este trabajo. 1 1 1 2 2 2

3

P

C

D

Plantas de producción

Almacenes

Clientes

Fig. 1 – Proceso de producción/distribución 2.1. Formulación de las restricciones y de la función objetivo del proceso de producción a) Restricciones: Para cada planta productiva, sus niveles de producción no pueden exceder de su capacidad: D

M

∑∑ α d =1 m =1

pm

Y pdm ≤ R p

∀p

(1)

. donde αpm representa el nivel de producción requerido por unidad del producto m en la planta p y Rp denota la capacidad de producción de la planta p. Si, además, las plantas comparten recursos comunes, para cada uno de ellos, la cantidad consumida debe ser menor o igual que la cantidad disponible: P

D

M

∑∑∑ β p =1 d =1 m =1

pjm

Y pdm ≤ Q j

∀j

(2)

donde βpjm denota la cantidad del recurso j consumido por unidad del producto m en la planta p y Qj denota la cantidad disponible del recurso j. Finalmente, para cada producto, cada almacén debe recibir del conjunto de las plantas al menos la cantidad que ha de entregar al conjunto de los clientes: D

C

d =1

c =1

∑ Y pdm ≥ ∑ X dcm

∀m

(3)

b) Objetivo: Supondremos que cada planta de producción p tiene como objetivo minimizar su coste de producción: D

M

Z p = ∑∑ a pm Y pdm

(4)

d =1 m =1

donde apm denota el coste de producción por unidad del producto m en la planta p. 2.2. Formulación de las restricciones y de la función objetivo del proceso de distribución a) Restricciones: Para cada producto, las existencias disponibles en el conjunto de los almacenes han de permitir satisfacer la demanda de cada cliente: D

∑X d =1

dcm

≥ M cm

∀c, m

(5)

donde Mcm representa la cantidad del producto m demandado por el cliente c. Para cada almacén, su capacidad limitada de almacenamiento no puede sobrepasarse: M

C

∑γ ∑ X m =1

dm

c =1

dcm

≤ Td

∀d

(6)

donde γdm denota la capacidad de almacenamiento consumida por unidad de producto m en el almacén d y Td denota la capacidad de almacenamiento del almacén d.

.

b) Objetivo: La función objetivo del centro de distribución considera el coste total obtenido como la suma, para todos sus almacenes, del coste de transporte tanto desde las plantas hasta el almacén como desde éste hasta los clientes, D ⎛ P M C M ⎞ Z = ∑ ⎜⎜ ∑∑ b pdm Y pdm + ∑∑ t dcm X dcm ⎟⎟ d =1 ⎝ p =1 m =1 c =1 m =1 ⎠

(7)

donde bpdm denota el coste de enviar una unidad del producto m desde la planta p al almacén d y tdcm el coste de transporte por unidad del producto m enviada desde el almacén d al cliente c. 3. MODELOS DE OPTIMIZACIÓN En el problema de toma de decisiones considerado se ha de establecer el marco de la relación entre el proceso de producción y el de distribución, así como entre los elementos individuales del proceso de producción. En primer lugar hay que determinar el número de niveles de decisión: un único nivel de decisión que ha de considerar ambos procesos conjuntamente -buscando una solución equilibrada para ambos o una que favorezca a alguno de ellos-, o bien varios niveles, que reflejen de una manera más realista la jerarquía natural de ambos procesos dentro de la cadena de suministro. Además, la relación entre los decisores de cada nivel y entre los de distintos niveles, si los hay, puede ser cooperativa, no cooperativa o parcialmente cooperativa. A continuación, se introducen brevemente los diferentes modelos que permiten considerar estas características. En el siguiente apartado se ilustra su utilización con un ejemplo sencillo. 3.1 Modelo de programación multiobjetivo En este modelo se supone que hay un único nivel de decisión, con varios decisores, cada uno de los cuales trata de optimizar su/s objetivo/s. El conjunto de restricciones es común a todos ellos. La formulación matemática es: ' min ' f = ( f 1 ( x ), K , f p ( x )) x

s. a : x ∈ S

(8)

donde x representa el vector de variables, fi denota la función objetivo del i-ésimo decisor y S representa la región de factibilidad definida por el conjunto de restricciones. Generalmente no es posible encontrar una solución factible que minimice simultáneamente todas las funciones objetivo, ya que éstos son conflictivos, por lo que se introduce el concepto de solución eficiente. Una solución factible es eficiente si no existe otra que sea tan buena como ella en todos los objetivos y estrictamente mejor en al menos uno. Aunque conocer las soluciones eficientes es interesante, ya que son soluciones ‘que no pueden mejorarse’, su determinación puede ser costosa y su alto número puede llevar a que los decisores no puedan precisar cuál de ellas desean elegir como solución a implementar en el sistema real. Por ello, en general, se adoptan otras aproximaciones para el tratamiento del

.

problema multiobjetivo que, básicamente, van dirigidas a reformular el problema multiobjetivo como uno o varios problemas con un único objetivo. Entre ellos, cabe destacar la minimización de la suma ponderada de los objetivos, en la que los pesos se asignan a los objetivos según su importancia; la programación meta, en la que se minimiza la suma ponderada de las desviaciones de los objetivos a unas ciertas metas establecidas por los decisores; y la programación lexicográfica, en la que se asignan niveles de prioridad a los objetivos y se minimizan lexicográficamente –es decir, se minimizan secuencialmente de manera que cada prioridad mantiene los valores mínimos alcanzados en los objetivos de prioridad mayor. Steuer (1986) proporciona una visión general de éstas y otras aproximaciones. 3.2 Modelo de programación multinivel La programación multinivel generaliza la programación matemática estándar para el tratamiento de sistemas jerárquicos. Estos sistemas están caracterizados por la existencia de distintos niveles de decisión con una jerarquía establecida entre ellos, de manera que cada nivel tiene un objetivo, controla sólo algunas de las variables y sus decisiones se ven afectadas por las tomadas en los niveles superiores. Así, el primer decisor elige los valores para las variables que controla que minimizan su función objetivo. Estos valores pueden determinar parcialmente el valor de la función objetivo del segundo decisor y pueden restringir los valores que éste puede elegir para las variables que controla. Dados los valores de las variables que controla elegidos por el primer decisor, el segundo decisor elige valores para las variables que controla que minimizan su función objetivo. Esta elección, junto con la del primer decisor, puede determinar parcialmente el valor de la función objetivo del tercer decisor y restringir los valores que éste puede tomar para las variables que controla. Continuando de esta manera, el tercero y los decisores subsiguientes en su momento, eligen valores de las variables que controlan que minimizan su función objetivo. De esta manera, todos los decisores, excepto el situado en el nivel superior ven afectado el conjunto de decisiones factibles por las decisiones tomadas por los decisores de los niveles superiores. La formulación matemática es: min f 1 ( x1 , K , x n ) donde, dado x1 , x 2 es solución de x1

min f 2 ( x1 , K , x n ) donde, dados x1 y x 2 , x 3 es solución de x2

min f 3 ( x1 , K , x n )K x3

K min f n −1 ( x1 , K , x n ) donde, dados x1 , K x n −1 , x n es solución de x n -1

(9)

min f n ( x1 , K , x n ) xn

s. a : x ∈ S

donde xi y fi i =1,…, n denotan, respectivamente, el vector de variables controladas por el decisor del i- ésimo nivel de decisión y su función objetivo. Debido a la complejidad del problema en la literatura se han considerado, casi de manera exclusiva, problemas de programación multinivel con sólo dos niveles de decisión, a los que

.

se denomina problemas de programación binivel. Estos modelos se caracterizan por tener un subconjunto de variables restringido a ser una solución óptima de un problema de optimización parametrizado por el resto de las variables. Entre las características que debería tener un problema jerárquico para poder ser modelado como un problema binivel, se han señalado las siguientes: • En el proceso intervienen dos decisores, con objetivos independientes y a menudo conflictivos. • Cada decisor sólo ejerce el control directo sobre ciertas variables. • El proceso de toma de decisiones se realiza en dos etapas secuenciales. • El decisor del primer nivel trata de seleccionar un plan de acción que optimice su objetivo sujeto a la reacción racional del decisor del segundo nivel. • No hay incertidumbre en el proceso de toma de decisiones. Bard (1998) y Dempe (2002) son buenas referencias sobre el tema, que incluyen tanto el tratamiento teórico del problema como un gran número de aplicaciones. 3.3 Modelo de programación binivel difusa interactiva En los modelos de programación binivel difusa interactiva cada uno de los niveles de decisión tiene información parcial sobre las preferencias del otro y existe cierta cooperación entre ellos. La idea clave de estos métodos es que el decisor del segundo nivel minimiza su función objetivo teniendo en cuenta las preferencias del decisor del primer nivel. Para ello los decisores identifican funciones de pertenencia que expresan sus metas difusas para cada objetivo. Durante el proceso interactivo se obtienen soluciones que son evaluadas según la información parcial obtenida de los decisores y teniendo en cuenta el balance de satisfacción entre ambos niveles de decisión. Estos actualizan sus valores mínimos de satisfacción y sus niveles de aspiración, hasta alcanzar una solución satisfactoria. Si denotamos las funciones de pertenencia de los decisores mediante μ1(f1) y μ2(f2), respectivamente, y λ ∈ [0,1] representa un nivel aceptable de satisfacción para el decisor del primer nivel. El problema de optimización que se resuelve es: max x1,x 2

s. a :

μ 2 ( f 2 (x1 , x 2 ))

(x1 , x 2 ) ∈ S μ1 ( f 1 (x1 , x 2 )) ≥ λ

(10)

La solución final está determinada por el decisor del primer nivel, ya que es quién decide el grado de autonomía en la estructura jerárquica. 4. EJEMPLO ILUSTRATIVO Consideramos un sistema de producción/distribución muy sencillo en el que hay dos plantas de producción, que fabrican un único producto sin compartir recursos comunes, y el centro de distribución tiene un único almacén con un único cliente. El propósito es analizar cómo afecta la selección del modelo de optimización en el proceso de toma de decisiones. Supondremos que el coste de envío por unidad desde las plantas al almacén es 17 y 2

.

unidades monetarias (u.m.), respectivamente, y que el costo de envío desde el almacén hasta el cliente es 15 u.m. Los costes de producción en la plantas son 3 y 5 u.m, y las capacidades de producción 100 y 250 unidades, respectivamente. El cliente desea al menos 75 unidades de producto y el almacén tiene capacidad para 300 unidades de producto. 4.1. Modelo de programación multiobjetivo En este caso, todos los decisores están en el mismo nivel de decisión. El problema multiobjetivo es:

⎛ f 0 = 15 x + 17 y1 + 2 y 2 ⎞ ⎜ ⎟ f 1 = 3 y1 ' min' ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f = y 5 2 2 ⎝ ⎠ s. a : x ≥ 75 x ≤ 300 y1 ≤ 100 y 2 ≤ 250 y1 + y 2 ≥ x x , y1 , y 2 ≥ 0

Fig. 2 – Soluciones eficientes donde x representa la cantidad de producto enviada desde el almacén al cliente e yi denota la cantidad de producto enviada por la planta i al almacén, i = 1, 2. El objetivo f0 corresponde al centro de distribución y los objetivos f1 y f2 a las plantas de producción. En la figura 2 se ha representado la región de factibilidad definida por todas las restricciones y, en una línea más gruesa, el conjunto de soluciones eficientes, que coincide con la arista que une los puntos (75,75,0) y (75,0,75). Si, por ejemplo, se supone que el objetivo del centro de distribución es dos veces más importante que el objetivo de cualquiera de las plantas de producción, en el modelo de optimización anterior se sustituyen los tres objetivos por la suma ponderada 0.5(15x+17y1+2y2) + 0.75y1 + 1.25y2. La solución óptima del problema de programación lineal resultante es x = 75, y1 = 0, y2 = 75. Los valores de las funciones objetivo son f0 = 1275, f1 = 0 y f2 = 375. 4.2. Modelo de programación multinivel Suponemos que el centro de distribución está en el primer nivel de la jerarquía y que ambas plantas de producción cooperan y están en el segundo nivel de decisión. El sistema de producción/distribución puede modelarse como el siguiente problema binivel, en cuyo segundo nivel hay un problema biobjetivo:

.

min 15 x + 17 y1 + 2 y2 s. a : x ≥ 75 x ≤ 300 ⎛ f = 3 y1 ⎞ ⎟⎟ ' min' ⎜⎜ 1 ⎝ f 2 = 5 y2 ⎠ s.a : y1 ≤ 100 y 2 ≤ 250 y1 + y 2 ≥ x x, y1 , y 2 ≥ 0

Fig. 3 – Región inducida La región de factibilidad del primer nivel, denominada región inducida, está definida de forma implícita. Geométricamente, la región inducida definida como el conjunto de las soluciones eficientes para cada x, se ha representado en la figura 3 mediante la superficie rayada. En este caso, la región inducida se define como la clausura convexa de los puntos (75,75,0), (100,100,0), (300,100,200), (300,50,250), (250,0,250) y (75,0,75). Si establecemos que ambos objetivos del segundo nivel son igualmente importantes, asignando un peso 0.5 a cada uno de ellos, la función objetivo del segundo nivel es 1.5y1 + 2.5y2 y la región inducida en este caso coincide con las aristas que unen los puntos (75,75,0), (100,100,0) y (300,100,200), esto es, la línea gruesa representada en la figura 3. La solución óptima del problema binivel lineal resultante es x = 75, y1 = 75, y2 = 0, con valores de las funciones objetivo f0 = 2400, f1 = 225 y f2 = 0. 4.3. Modelo de programación multinivel difuso interactivo Suponemos que existe una cooperación parcial entre los decisores, de acuerdo con la cual, los decisores de los niveles inferiores minimizan su función objetivo teniendo en cuenta como restricción las preferencias del nivel de decisión superior. Consideramos como funciones de pertenencia del centro de distribución y de las plantas μ0(f0), μ1(f1) y μ2(f2), definidas todas ellas de manera análoga:

μi(fi)=(fimax - fi)/(fimax - fimin)

(11)

siendo fimax y fimin, respectivamente, el mayor y el menor valor de la función objetivo correspondiente sobre la región definida por todas las restricciones. Generalmente, resulta complicado para el decisor del primer nivel especificar a priori un nivel de satisfacción mínima, sin ninguna otra información acerca de la estructura del problema. Por ello, en primer lugar, determinamos una solución que maximiza el menor nivel de satisfacción entre los decisores de todos los niveles resolviendo el problema:

. max λ

λ , x1,x 2

s. a : x ≥ 75 x ≤ 300 y1 ≤ 100 y 2 ≤ 250 y1 + y 2 ≥ x 6700 − 15 x − 17 y1 − 2 y 2 ≥λ 6700 − 1275 300 − 3 y1 ≥λ 300 1250 − 5 y 2 ≥λ 1250 λ , x, y1 , y 2 ≥ 0

Fig. 5 – Solución satisfactoria La solución óptima es λ = 0.79, x = 75, y1 = 21.43, y2 = 53.57 (véase la figura 5). El nivel de satisfacción de cada decisor es: μ0 = 0.94, μ1 = 0.79 y μ2 = 0.79. Comunicada esta información al decisor del primer nivel, éste considera adecuado su nivel de satisfacción. Por otro lado, para esta solución, la tasa de satisfacción de cada uno de los decisores del segundo nivel es Δ = 0.79/0.94=0.84. Los valores de las funciones objetivo del centro de distribución y de las plantas son f0 = 1596.43, f1 = 64.29 y f2 = 267.86. Si analizamos el nivel de satisfacción de las soluciones óptimas consideradas en los apartados anteriores, se obtiene que para la solución x = 75, y1 = 0, y2 = 75, los niveles de satisfacción son μ0 = 1, μ1 = 1 y μ2 = 0.7. Análogamente, para la solución x = 75, y1 = 75, y2 = 0, los niveles de satisfacción son μ0 = 0.79, μ1 = 0.25 y μ2 = 1. 4.4. Análisis de las soluciones La tabla siguiente recoge la información sobre las soluciones óptimas de los modelos propuestos: Modelo

Solución óptima

Función objetivo

Nivel de satisfacción

Multiobj. ponderado

x=75, y1=0, y2=75

f0=1275, f1=0, f2=375

μ0=1, μ1=1, μ2=0.7

Binivel lineal

x=75, y1=75, y2=0

f0=2400, f1=225, f2=0

μ0=0.79, μ1=0.25, μ2=1

Difuso interactivo

x=75, y1=21.4, y2=53.6

f0=1596.4, f1=64.3, f2=267.9

μ0=0.94, μ1=0.79, μ2=0.79

Tabla 1 - soluciones óptimas de los modelos propuestos Notemos que, para este ejemplo particular, con la jerarquía establecida y las ponderaciones seleccionadas para los objetivos, podemos concluir que el modelo multiobjetivo proporciona la mejor decisión para el centro de distribución, seguida de la proporcionada por el método interactivo, siendo considerablemente peor la obtenida cuando se considera el modelo binivel. Los niveles de satisfacción del centro de distribución varían entre 1 y 0.79. Sin

.

embargo, es necesario tener en cuenta que las soluciones proporcionadas por los modelos multiobjetivo e interactivo sólo pueden implementarse si existe algún tipo de cooperación entre los decisores que controlan el centro de distribución y las plantas de producción. En otro caso, si dicha cooperación no puede establecerse, la solución a implementar sería la obtenida del modelo binivel. 5. CONCLUSIONES En este trabajo se han analizado algunos modelos de optimización que pueden utilizarse para modelar los procesos de distribución y de producción de una cadena de suministro. Utilizando un ejemplo sencillo, se ha puesto de manifiesto las grandes diferencias en el valor óptimo de los objetivos según el modelo utilizado, es decir, dependiendo de las hipótesis que se hagan sobre las relaciones entre los decisores de dichos procesos. Puede concluirse que la elección de un modelo es una fase crítica del análisis y evaluación de una cadena de suministro. Debe prestarse especial atención en esta etapa de modelación del sistema real a las hipótesis que se realizan sobre su comportamiento y sobre la existencia de cooperación o no entre los decisores implicados. La elección de un modelo debe realizarse tras analizar minuciosamente estos aspectos. REFERENCIAS Bard, J.F., 1998. Practical bilevel optimization. Algorithms and applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London. De Kok, A.G., Graves, S.C., (Ed.) 2003. Supply chain management: Design, coordination and operation. Handbooks in Operations Research and Management Science, vol. 11. NorthHolland Publishing Company, Amsterdam, The Netherlands. Dempe, S., 2002. Foundations of Bilevel Programming. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London. Huang, G.Q., Zhang, X.Y., Liang, L., 2005. Towards integrated optimal configuration of platform products, manufacturing processes, and supply chains. J. of Operations Management, 23, 267-290. Lai, Y.J., Hwang, C.L., 1992. Fuzzy mathematical programming. Methods and Applications. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 394, Springer-Verlag. Steuer, R.E., 1986. Multiple Criteria Optimization: Theory, Computation, and Application. John Wiley and Sons, New York. Tamiz, M., Jones, D.F., Romero, C., 1998. Goal programming for decision making: An overview of the current state-of-the-art. European J. of Operational Research, 111, 569581.

.

CORRESPONDENCIA Carmen Galé Universidad de Zaragoza Departamento de Métodos Estadísticos. Centro Politécnico Superior. Edificio Torres Quevedo Calle María de Luna, 3. E-50018 Zaragoza (España) Tfno: +34 976 76 26 23 Fax: +34 976 76 22 35 E-mail: [email protected]