EL DIOS GEÓMETRA HA MUERTO. El nietzscheanismo topológico de Felix Hausdorff (2015)

EL DIOS-GEÓMETRA HA MUERTO; EL NIETSCHEANISMO TOPOLÓGICO DE FELIX HAUSDORFF Javier Anta

RESUMEN

ABSTRACT

Félix Hausdorff, padre de la Topología, supone un punto de inflexión no solo de la matemática moderna sino de la filosofía y epistemología del espacio. Su acercamiento al nietzscheanismo, así como a Cantor y a Hilbert, todarán a su visión sobre la espacialidad de una riqueza desbordante.

Concerning the Philosophy and Epistemology of mathematical space, we have to consider the views of one of the founders of Topology, Feliz Hausdorff. As a nietzschean mathematician as well as an intellectual close to Hilbert and Cantor’s ideas, he will develop a very complex and rich thought about spactial structures.

“El Dios geometriza” Platón “El hombre topologa” Anónimo

En este breve trabajo pasaremos a analizar la filosofía del espacio matemático de uno de los padres de las disciplinas más decisivas de la actualidad como es la topología. Este no es otro como Félix Hausdorff (1868-1942). Siguiendo el artículo de Epple1 mpezaremos por una primera etapa literario-filosófica como Mongré, cuyo interés residirá en expresar matemáticamente las ideas nietzscheanas. En una segunda etapa intermedia, tras un interés por las ideas de Cantor, Hausdorff expone una dicotomía fundamental “intuitivo-absoluto” respecto a las estructuras espaciales, soportándose en lenguaje conjuntista. Ya en una etapa de madurez, reformulará esta categorización en una división tripartita más satisfactoria, ilustrando de esta manera el concepto decisivo de Spielraum. Para ello iremos exponiendo los conceptos fundamentales de la disciplina topológica, bajo la cual cristalizan muchas de las ideas decisivas.

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Epple, M; Feliz Hausdorff’s Considered Empiricism. (Cáp. 9) 2006. Pp 261-290.

1. ASÍ HABLÓ ZARATUSTRA EN LAS FACULTADES DE MATEMÁTICAS

Para comenzar nos planteamos la pregunta que puede surgir ante este título ¿Cómo se articularía una posición platónica con respecto a las matemáticas junto con una óptica y epistemología nietzscheana? Tenemos que tener en cuenta que cada postura corresponde a una de las corrientes teóricas que más influirán en el pensamiento de Félix Hausdorff. Por un lado, el Hausdorff más literario queda reducido a su alter-ego de juventud “Paul Mongré”. Este procedimiento de utilizar pseudónimos o incluso crear compartimentos estancos en sus facetas creativas y profesionales ha sido notablemente frecuente en el S.XIX –sin duda podemos pensar en el propio Kierkegaard como el caso más representativo de estas “máscaras de autores”-. Solo se puede ser nietzscheano en ámbitos científicos, aún en los más modernistas como es el caso de círculos empirista de Leipzig en el que participó el propio Hausdorff, si el conjunto de ideas de esta índole se encuentran con un límite frente al marco del proceder matemático. Un conjunto M –de las ideas nietzscheanas- está constituido por su abierto, que son todos sus puntos internos sin contar con el límite; el propio límite, que son los puntos que separan el abierto del conjunto con los elementos externos a este; y el conjunto cerrado, que se presenta como el complemento del abierto del conjunto N, que a su vez es otro abierto. ¿Podemos hablar de una separación en compartimentos estancos de la producción profesional de Feliz Hausdorff? ¿Hay algo así como un límite2 entre el proceder nietzscheano-literario de Mongré –lo que hemos llamado M- y la posterior actividad matemática de Hausdorff –Etiquetado por el conjunto “H”, contenido en el complemento de N con respecto al marco ideológico total de esta figura histórica-? Una buena respuesta que asuma la verdadera complejidad del asunto será: no. Quizás la obra de Mongré Sant’Ilario: Gedanken aus der Landschaft Zarathustras (San Hilario: Pensamientos desde el país de Zaratustra), sea la muestra más evidente de producción Nietzscheana, tanto por su forma aforística como por su contenido vitalista. Sin embargo prestaremos más atención a las ideas plasmadas en El problema del espacio, un texto que expuso en su primera clase como Privatdozenten en Leipzig, en cuyo interior se plasman sus ideas básicas de lo que supone filosóficamente la o las espacialidades. Muchas características dentro de esta constelación de ideas del Mongré nietzscheano continuarán explícitamente en lo que luego llamaremos empirismo matemático revisado. (a)-Una de ellas es el énfasis por lo individual; o mejor dicho, el fetichismo modernista de lo individual y el individuo. La tarea del nietzscheano y el literato finisecular es la producción solitaria y alejada de la comunidad disciplinar; esto choca en cierto modo con la faceta del matemático totalmente integrado en la industria académica decimonónica. Sin embargo, el propio Hausdorff maduro es una prueba histórica de que una síntesis – aunque compleja- es posible. Una aplicación de la exitosa idea de individualidad aplicada al ámbito disciplinar es la idea de autonomía. De esta manera nos aparece una suerte de modernismo matemático, que conllevaría la independencia matemática con respecto a los 2

Utilizamos el concepto límite, fundamental en la topología general, para realizar un análisis así mismo topológico de las dinámicas de influencia de su propio creador.

medios aplicativos de la física; lo cual choca con el precepto empírico de concentrar la atención epistémica en el plano concreto de los particulares físicos. Solo nos quedaría un posible camino para solucionar esta tensión interna: la concepción de las estructuras espaciales matemáticas de creciente abstracción y decreciente intuición, en nuestro caso será la ciencia de variedades –o actualmente topología geométrica- y la geometría diferencial, serán vistas con la visión topológica de Hausdorff como fenómenos muy concretos y casi palpables desde esta nueva disciplina. Esto nos lleva al siguiente carácter de influencia modernista.nietzsheana. (b)-Otro de los puntos es el énfasis por lo particular y concreto. Esto será fundamental para comprender la visión del propio Hausdorff sobre la topología. Si la nueva ciencia del espacio trata con estructuras cuya intuición se pierde en su insoportable manierización geométrica –nos referimos por ejemplo a curvas complejas o a planos suaves-, el tratamiento con estos objetos deberán ser lo suficientemente cercano como para no perder las cualidades fundamentales de los mismos. E ahí la clave: el Analisis Situs3 planteará el acercamiento teórico de estas estructuras -que por medio de una óptica tradicional parecen bastante complejas- por medio de sus cualidades fundamentales, cambiando totalmente a un prisma simplicador de estos mismos objetos. La matemática dejará de ser únicamente una ciencia de cantidades, para ser también el ámbito de las cualidades. Será en la década de los 1910s, tras un profundo estudio de la Teoría de Conjuntos, cuando Hausdorff desarrolle prolíficamente los cimientos de la Topología tal y como se la conoce actualmente. Pero ¿Qué tiene la Topología de ciencia nietzscheana? Expongamos a continuación varios argumentos por la conexión. 1- Ciertas tendencias de pensamiento modernista, en el que como caso podemos señalar el nietzscheanismo, promueven un pensamiento alejado de la comprensión de la realidad por medio de su rigidez y solidez con conceptos del mismo tipo. Lo fundamental de la realidad reside en su carácter fluido, su “panta rei”; situado en el corazón cualitativo de todas las cosas. Pasamos de una ontología intelectualista de lo estable a otra ontología energético de los sistemas dinámicos en el cambio de siglo. Para ilustrar ello tomemos el concepto fundamental de entorno: Un entorno N de un punto x es un conjunto de puntos “próximos” o afines a este. Esta es una noción clave para la Topología general, ya que acaba con la idea de distancia, la cual articula la noción tradicional de espacio sobre el que se levanta la geometría. La relación topológica entre un punto x con un punto y  N, es el correlato matemático de una relación aproximativa y dinámica entre dos objetos, ya que incluso podemos imaginarnos dichos puntos en un constante movimiento en tal entorno sin que las propiedades estructurales cambien lo más mínimo. La tradicional relación de distancia entre dos puntos nos muestra un enlace rígido y estático entre estos dos objetos, cuya modificación supone una deformación y modificación de la estructura. El paso de la cosmovisión geométrica a la óptica topológica en las matemáticas espaciales es el paso del estudio de las formas fijas, estables, rígidas y sólidas a las 3

Esta denominación puede rastrearse tiempo atrás hasta Leibniz. Será casi dos siglos después cuando otro padre de la topología, Henri Poincaré, una generación mayor que Hausdorff, lo utilice para referirse a lo que posteriormente se denominará como “topología”.

formas variables, dinámicas y fluidas, en la que ya se sitúa plenamente Hausdorff como buen nietzscheano de corazón e incluso el propio Poincaré tímidamente, ambos padres de esta nueva disciplina. Bernhard Riemann, en la mitad del siglo XIX a pesar de que su entorno intelectual aunque en constante cambio, sigue siendo el tradicional, su visión se dirige lejanamente al mundo de Hausdorff y Poincaré. 2-El Hausdorff de juventud –Mongré- toma conciencia de un carácter fundamental que separa epistemológicamente a la topología de la geometría, a saber: mientras que la geometría se basa en una “intuitiva” noción del espacio real, la topología ya asume, más o menos de forma implícita, un acercamiento al espacio artificial o hipotético. En su obra Das Chaos in kosmischer Auslese4 da cuenta literariamente de la función instrumental del Analisis Situs para reparar el caos dionisíaco de la realidad desestructurada. Si el espacio geométrico es el espacio ontológico de la verdad, el espacio topológico, por su parte es el espacio pragmático de la hipótesis. Pero no nos engañemos, Hausdorff es amigo de Nietzsche, pero es mucho más amigo del orden cósmico –si ya no podemos hablar de verdad-; esto le hará acercarse al mundo de Cantor, como veremos a continuación. Siendo la topología una actividad fundamentalmente creadora –permaneciendo en las periferias contemporáneas de la Verdad- sobre lo que no “está presente”, la topología se vincularía a una voluntad creadora desconocida por la tradición geométrica. Sin embargo, como ámbito de la matemática o ciencia de estructuras5, esta está vinculada al carácter apolíneo de otorgar orden, armonía e integridad a la realidad caótica. Epple nos recuerda las palabras de Mongré: “The ‘world’ might be like an orchestra, whose instruments ‘rage undirected in a disharmonious mess’, while we might be like auditors who listen to this chaos only during certain scattered moments that appear to us like a continuous sequence, with the result that we hear ‘a rhythmically clear, pure and harmonious melody”6 En la visión del treintañero Hausdorff, la matemática, al igual que la música – hermanadas en el cuatrivium medieval- tiene la misión de ofrecer instrumentos para estructurar una realidad que ya dista mucho del cosmos auto-ordenado tradicional. No por casualidad los bourbaki situarán el concepto de estructura en el corazón de la actividad matemática. El substrato teórico del nietzscheanismo temprano (….) Hay que tener en cuenta que Hausdorff sigue la obra de Nietzsche cuando este seguía aún con vida, hasta que fallece en el cambio de siglo en pésimas condiciones mentales. Justo cuando este filósofo muere, tanto la producción literaria de Mongré se torna más personal y alejada de su mentor y su centro de admiración intelectual se traslada desde Nietzsche hasta el propio Cantor.

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Hausdorff, 1898. Ferreirós, J; Filosofía de las Matemáticas (2015), Universidad de Sevilla. 6 Hausdorff, 1897 (editado en 2004) aforismo número 408. 5

2. ENTRE ESPACIOS: CARTOGRAFÍA DEL PARAISO TOPOLÓGICO

La senda que se abre ante el Hausdorff de principios de siglo es el camino apolíneo, onírico y platónico de los conjuntos-estructuras de Cantor. No sería extraño pensar que el acercamiento a Cantor equivale e a un acercamiento a las constelaciones credenciales de un platonismo matemático –y la consecuente separación de su némesis nietzscheana-; ello ha de matizarse. Hausdorff jamás se separará del sentido empírico de las estructuras formales de la matemática, alejándose del prejuicio tradicional-platónico de que la matemática es algo separado y abstracto a la realidad cotidiana. La Nueva Ciencia del Espacio, el Análisis Situs o la Topología, será empírica –en el sentido concreto que especificaremos más adelante- o no será. Mongré dejará los aforismos y comenzará a predicar la Palabra de Zaratustra en lenguaje de conjuntos. La buena nueva de la teoría de conjuntos será, la posibilidad de expresar con enorme precisión simbólica una “casi infinita” cantidad de fenómenos espaciales. Pero este nuevo ámbito de fundamentación matemática tendrá un punto débil para el alemán: su base dista mucho de los requerimientos que un empírico pediría para cimentar epistemológicamente una ciencia de estructuras espaciales. La Nueva Ciencia del espacio será conjuntista, como vemos en la canónica definición de Topología: Sea C un conjunto y T una familia de subconjuntos de C. Entonces T es llamado una topología sobre C si: 1. Tanto el conjunto vacío como C son elementos de T. 2. Cualquier unión de elementos de T es un elemento de T. 3. Cualquier intersección de elementos finitos de T es un elemento de T.

Sin embargo, Hausdorff pretenderá a toda costa vacunar a la topología conjuntista de su tendencia a escaparse del ámbito vital de la intuición. Curtido en el medio filosófico, se propondrá clarificar cuales son los conceptos de espacio que residen bajo esta disciplina. 

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En primer lugar localiza lo que él llama “espacio absoluto”. Este espacio generaliza una idea muy extendida de la época de lo que sería una suerte de “espacio metafísico” o “espacio trans-empírico”; obviamente Hausdorff es consciente de que las estructuras espaciales complejas a las que se dedica el Analisis Situs residirían en este ámbito. Representaríamos dicho espacio con S, siguiendo con el simbolismo de Epple. Por otro lado nos encontramos con el “espacio empírico”. Este espacio está vinculado a la realidad cotidiana e intuitiva con la que nos manejamos diariamente; nos referimos en este caso al espacio euclídeo tridimensional en que la tradición geométrica –e incluso nos atreveríamos a decir que también en ciertas culturas pregeométricas- se ha desarrollado a lo largo de varios milenios. Representemos este espacio mediante .

La estrategia para traer a la Tierra el paraíso celestial de Cantor será la siguiente:

(1)-Buscar una función f –concretamente utilizaremos “función continua” o “mapeo” para las funciones entre espacios topológicos- que una S con . f: S   (2)-La Ciencia de Variedades –posteriormente llamada topología geométricadesarrollada en la segunda mitad del siglo S.XIX tiene el principio fundamental de que todo espacio topológico en cada entorno alrededor de un punto es localmente homeomorfo a un espacio euclídeo R n-dimensional. Un homeomorfismo  entre un conjunto abierto U de un espacio topológico M y un subconjunto abierto del espacio euclídeo R, posee el nombre de “carta”. Así mismo llamamos Atlas a una colección de cartas sobre M tal que la unión de todas ellas sea equivalente homeomórficamente al propio M. (3)-Se puede inferir de los dos puntos anteriores que la función f es un homeomorfismo entre ambos tipos de espacios. Dicho de forma imprecisa hablaríamos de una traducción local de un espacio absoluto –es decir, topológico- a un espacio empírico. Mongré ilustra metafóricamente este proceso de transformación espacial: “Imagine each point of absolute space as a drawer as an absolute wardrobe, while each point of  represents a piece of the former’s contents. Redistributing these pieces in the set of drawers meant varying the relation between absolute and empirical space: an arbitrary distribution of empirical space points in absolute space meant an arbitrary ‘transformation or mapping’ say , from S to ” (Hausdorff, 1898/2004, 82) [negrita propia] En primer lugar hablamos de una dependencia del espacio absoluto con respecto al espacio empírico, en donde un cambio en este primero supone un cambio en el segundo. Este fenómeno epistemológico tendría muchas etiquetas inservibles como “materialismo espacial” o “empirismo espacial”, el caso es se nos muestra como todo proceso llevado en este aparente mundo distante de la topología tiene sus repercusiones en ámbito intuitivo. Es más, gracias a esta conexión estructural entre estas dos espacialidades es posible llevar a cabo un ejercicio cartográfico –en el sentido más técnico de la palabrade traducción entre ambos. Para seguir explorando la interconexión entre el Nuevo Espacio y el Antiguo, entre el Absoluto y el Empírico, entre la Topología y la Geometría; veamos cómo los cambios en este último pueden afectar al segundo. Supongamos una variación ’ entre la función anterior  y una transformación  : S  S. Es decir: ’ =    Hausdorff, firme en su postura, insistirá en que las variaciones ’ no suponen un cambio empírico real y que por tanto se presentan de una forma inconsciente. Entre estas variaciones nos encontramos fundamentalmente con desplazamientos isométricos de figuras –es decir, manteniendo las distancias entre sus puntos- como es la rotación, la traslación y el reflejo. Con el caso de la “contracción espacial” admite una deformación del espacio físico, pero que sin embargo tal deformación se queda en el medio “topológico” del espacio topológico que da cobertura algebraica a tal variación, nunca

llega al medio de nuestra experiencia. Lo ilustraremos mejor si lo ejemplificamos con el caso de las superficies riemanianas, variedades bidimensionales –y por tanto espacios topológicos-, y en concretos con un tipo especial como son los planos de Minkowsky que serán utilizados en la teoría de la relatividad general. Hausdorff argumenta que a pesar que podemos imaginarnos un escenario físico sobre un espacio de este tipo, la experiencia que tenemos no varía de ningún modo. Pero esto no es ni mucho menos una actitud derrotista. Los mecanismos cognitivos humanos han evolucionado durante un extensísimo periodo de tiempo en ámbitos euclídeos, esto hace que las propias estructuras del pensamiento hayan adquirido algo así como un funcionamiento geométrico con respecto a la espacialidad –tal y como un espinosista afirmaría-. El Espacio Absoluto de la topología no es ni mucho menos un recuerdo de lo que es inalcanzable para el hombre; sino una posibilidad de creación en un medio de libertad. Es, de alguna forma, una tentativa de forzar nuestros modos de pensar el espacio más allá del yugo tradicional del espacio geométrico. Este es el caso de la idea de continuidad espacial, cuya reformulación por Hausdorff –a partir de las definiciones de Cantor y Dedekind- en ámbitos topológicos dará luz a la cuestión. En términos cantorianos un subconjunto C de Rn se llamaría continuo si y solo si C estaba conectado, es decir, que por cada dos puntos p, q en C y cada distancia euclídea E mayor que 0, existe una secuencia finita de puntos p, p1, p2, …, q tal que la distancia entre ambos era menor que E. Hausdorff sentencia que esta idea conjuntista de continuidad no era la solución al problema, sino las bases que nos permitían plantearnos con una mayor seriedad –y libertad-esta cuestión; de este modo el matemático alemán no podía conformarse con una definición de la continuidad en términos de distancias euclídeas sino que había que dar el salto topológico. En estos términos se formulará lo que posteriormente se conocerá como distancia hausdorff, que es la distancia mínima entre los elementos de dos conjunto; fundamental para analizar las propiedades métricas de determinados espacios. El problema de la continuidad espacial para el alemán no exclusivo de las matemáticas del espacio sino también de la física, ya que como se podría expresar con términos actuales, el continuo R de los reales es una estructura isomorfa con la noción extendida del continuo temporal físico. Sobra decir, que la problemática del tiempo, que aquí nos hemos visto obligados a pasar por alto, no es sino una cuestión interna al problema de la espacialidad. El tiempo no es más que una forma del espacio, y por tanto, es un problema eminentemente topológico. Cabe aquí decir que la intrínseca unión del espacio-tiempo se vislumbra desde la disciplina matemática con una cierta independencia y simultaneidad al ámbito de la física teórica y previamente a que la teoría de la relatividad específica se diera a conocer en la comunidad científica. A pesar de que la geometría sea la única garantía empírica con la que contamos, la cual prácticamente “nos ha sido dada” –tómese a propósito el tono teológico-; no podemos renunciar al ejercicio topológico de creación de lo que no estaba, una ciencia más humana, de construcción y conjetura, sin acabar con ello en laberintos conjuntistas que se pierden en la inmensidad del cielo.

Para concluir el trabajo, revisemos algunas de las nociones epistémicas de madurez en Hausdorff sobre lo que supone el espacio como objeto de esta nueva disciplina matemática

3. LA POÉTICA EPISTEMOLÓGICA DEL SPIELRAUM

Son de un enorme interés las consideraciones epistemológicas de un Hausdorff ya convertido no solo en un gran profesional de las matemáticas finiseculares sino en una de las cabezas sobresalientes de las nuevas disciplinas. En 1903, el artículo filosófico Das Raumproblem supone el momento en que Mongré queda aparcado para evolucionar ya en cuestiones profundas como un Félix Hausdorff. En este texto se promueve una superación de la dicotomía espacial empírico-absoluto que vimos en el anterior apartado. En línea con Peirce el neokantismo y el neoplatonismo, se postula una tríada espacial en niveles: la noción matemática, la noción empírica y la noción absoluta. (1) La primera es la más interesante, ya que es el topólogo nietzscheano el que propone el ámbito de las estructuras espaciales matemáticas como el medio “de la libre creación de nuestro pensamiento, no sometido a más restricciones que la lógica”. La matemática como el ámbito de la libertad creativa. Aún dentro de la órbita de un temprano nietzscheanismo, Hausdorff se posiciona en una postura mucho más moderada que Mongré. Esta moderación, junto con la colosal influencia que ejerció sobre él los Grundlagen der Geometrie de Hilbert, acercó al topólogo a un registro ideológico formalista. Para el Hausdorff maduro, el formalismo –al igual que en Hilbert en su sentido amplio- como análisis axiomático de conceptos es la vía directa hacia un verdadero empirismo matemático. (2) Con la noción empírica del espacio Hausdorff refuerza ciertas tendencias positivistas que asomaban en su anterior etapa. En ella hace referencia a “el sistema de experiencias reales referidas a como nuestra conciencia capta la ocupación del espacio del mundo exterior”. En esta apología del prejuicio moderno conciencia-interior mundo-exterior se muestra la faceta filosófica más pobre de Hausdorff -¿Dónde queda el límite topológico entre ambos?7-; en el que por combatir el idealismo académico decimonónico persistente se queda con un empirismo naïve notablemente limitado aun para la física. (3) En el espacio absoluto se refina la idea platónico-cantoriana de las estructuras espaciales objetivas. Este tipo de espacio, articulado con la noción matemática en el escenario de la práctica matemática nos explicaría la sorprendente inserción de las creativas matemáticas espaciales en el mundo objetivo y físico, aunque nuestra conciencia no sea capaz de asumir este fenómeno dejándonos sin experiencia de ellos. Es por este motivo que el formalismo, poniendo más atención en su carácter de pluralidad semiótica que en su limitación calculística, es la vía de acceso a estructuras científicas fundamentales pero de ningún modo intuibles.

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Ferreirós, J; Filosofía de las Matemáticas (2015), Universidad de Sevilla.

La conjunción de (1) y (3) nos muestra, como en la propia figura intelectual de Hausdorff se intersectan ideas filosóficas tan variopintas como la voluntad de creación nietzscheana y el platonismo estructural cantoriano. El nuevo matemático del espacio, esto es, el topólogo, se mueve en un ámbito de creación de nuevas teorías equivalente al ámbito de creación de nuevos valores. El concepto hausdorffiano clave para esta amplitud de producción teórica es el de Spielraum, una especie de juego epistemológico sobre un cierto número de posibilidades sobre las que escoger, Su criterio de selección fuera del reino geométrico de Euclides y de la verdad no es otro que el sentido pragmático e incluso estético de buscar coherencia con las estructuras de realidad de desbordan al hombre. La idea epistemológica fundamental de Spielraum tiene así mismo un correlato con cada uno de los niveles de las nociones del espacio: Spielraum de pensamiento, Spielraum de intuición y Spielraum de Erfahrung. Se comprendería la interrelación entre estos niveles de Spielraum de Hausdorff recurriendo al periodo de revolución en las ciencias del espacio. Nuestro marco cognitivo dentro de un espacio geométrico se encuentra fuertemente limitado en los límites de la experiencia; es decir, a pesar de la validez empírica de la geometría euclídea tradicional la capacidad de escoger entre productos culturales –Spielraum- es enormemente más limitada que otro tipo de estas dinámicas. El paso decimonónico a las geometrías no euclídeas clásicas supone, según el Hausdorff más influido por los Grundlagen der Geometrie, la separación del estrecho marco intuitivo de teorías espaciales para alcanzar el Spielraum más general de la matemática creativa en el sentido que hemos delineado – en contra de la matemática intuitiva e inamovible que supone la rígida geometría tradicional-. Para concluir planteamos una cuestión decisiva ¿Cuál es la diferencia fundamental entre el Spielraum intuitivo de la noción espacial empírico-euclídea y el Spielraum estructural de las nociones topológicas del espacio? Mientras que el marco euclídeo supone el espacio de la necesidad por excelencia, el espacio topológico representa el espacio de la posibilidad por excelencia –obviamente la gradación nos aparece en las geometrías elíptica, hiperbólicas, riemanianas, variedades, etc.- Lo interesante de la visión de Hausdorff es como tanto un espacio topoestructural-matemático como otro euclídeointuitivo se encuentran en contacto con el ámbito de lo objetivo. Tanto un ámbito, como otro, se encuentran en una posición de igual legitimidad ante el panorama epistemológico de la disciplina matemática. … Tras este recorrido general muchos son los puntos de inconmensurable interés que se pueden obtener desde el pensamiento topológico de Félix Hausdorff. -La base nietzscheana permanece aún en su etapa de madurez como matemático, haciendo que en su cosmovisión ponga especial énfasis en la parte creativa de la práctica disciplinar y se abra la atención hacia nuevos y transgresores valores con respecto a los tradicionales. -Es por ello que la geometría, como vínculo con la tradición onto-teología occidental, no ha de ser despreciada sino -al compás de Hilbert – vista desde una nueva disciplina mucho más flexible y expresiva como lo que será la topología, constituyéndose como el padre de la misma.

Si la geometría es el espacio epistémico por el que la divinidad se pone en contacto con la humanidad; la topología es el ámbito matemático en el que el hombre crea lo divino. Por tanto si el Dios geometriza desde la antigüedad, la tarea matemática del hombre actual es la topología, como disciplina que realza al ser humano en su faceta de creador.

REFERENCIAS BÁSICAS

EPPLE, M; Feliz Hausdorff’s Considered Empiricism. (Cáp. 9) 2006. Pp 261-290. KATTOV, M. “Feliz Hausdorff,” in Dictionary of Scientific Biography. Volume VI. Edited by Charles Coluston Gillispie. New York: Charles Scribner’s Sons, 1974, pp 176-177.