UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEBASTIAN RAMIREZ RAMIREZ
[email protected] Problema: Imagine un solenoide muy largo con radio R, n vueltas por unidad de longitud y corriente I. Coaxial con el solenoide hay dos cascarones cilíndricos de longitud l – uno dentro del solenoide con radio a lleva una carga +Q, uniformemente distribuida sobre la superficie; el otro fuera del solenoide con radio b lleva una carga –Q (Fig. 1). Cuando la corriente en el solenoide es gradualmente reducida, los cilindros comienzan a rotar. De donde proviene el momento angular?
Figura 1
SOLUCION Antes de que la corriente sea disminuida, el campo eléctrico esta dado por: Utilizando la Ley de Gauss 𝐸. 𝑑𝑆 =
𝑄! (1) 𝜖!
un esquema del método utilizado para aplicar la Ley de Gauss, se muestra en la Fig. 2
Figura 2: Representación superficie Gaussiana En la anterior figura, a representa el radio del cilindro interno del solenoide. La figura en rojo es la superficie Gaussiana, en donde z es la altura del mismo y ρ es la componente geométrica del radio en coordenadas cilíndricas. Aplicando la Ley de Gauss, entonces el campo eléctrico seria la suma del flujo eléctrico por la superficie del cilindro Gaussiano, es decir, por la tapa superior del cilindro, la inferior y el contorno. 𝜖!
𝐸. 𝑑𝑆1 +
𝐸. 𝑑𝑆2 +
𝐸. 𝑑𝑆 3 = 𝑄! (2)
Las dos primeras integrales, correspondientes a las tapas de la superficie gaussiana, son cero debido a que 𝐸 ⊥ 𝑑𝑆 y la ultima hace referencia al contorno del cilindro, por lo tanto 𝐸 ∥ 𝑑𝑆 y lo hace diferente de cero. 𝜖!
𝐸. 𝑑𝑆 3 = 𝑄! (3)
teniendo en cuenta que, 𝜆 = 𝑄 𝑙 , en este caso l corresponde a la altura del cilindro z
entonces. 𝐸. 2𝜋. 𝜌. 𝑧 =
𝜆𝑧 (4) 𝜖!
la componente radial del campo eléctrico se ve demostrada al momento de realizar la superficie Gaussiana, su comportamiento era netamente circunferencial, por lo tanto. 𝐸=
𝑄 𝜌 𝑎 < 𝜌 < 𝑏 (5) 2𝜋𝜖! 𝑙𝜌
De forma similar, para el campo magnético comprendido en la región 𝜌 < 𝑅 se parte de la Ley de Ampere. 𝐵. 𝑑𝑙 = 𝜇! 𝐼 (6) Una vista lateral del solenoide se muestra en la figura 3, se toma de esta forma debido a que es mucho mas sencillo a la hora de tomar un lazo amperiano.
Figura 3: Solenoide del problema
Figura 4: Lazo Amperiano
La figura 4, tomando un camino rectangular sobre el cual evaluar la Ley de Ampere tal que la longitud L del lado paralelo al campo del solenoide, da una contribución BL dentro de la bobina. En los lados del rectángulo el campo es perpendicular, por lo tanto su contribución es cero. Si el otro extremo paralelo se toma lejos de la bobina, el campo resultante termina siendo insignificante, por lo tanto la longitud interior de la bobina es la contribución dominante del campo magnético. 𝐵. 𝐿 = 𝜇! 𝑁𝐼 (7) 𝐵 = 𝜇!
𝑁 𝐼 (8) 𝐿
La dirección de la corriente en el solenoide genera un campo magnético en la dirección 𝑘 𝐵 = 𝜇! 𝑛𝐼𝑘 (9) Dentro del solenoide la densidad de momento circunferencial, esta dado por 𝑃!" = 𝜇! 𝜖! 𝑆 (10) 𝑃!" = 𝜖! 𝐸𝑥𝐵 (11) 𝜌 𝑄 𝐸𝑥𝐵 = 2𝜋𝜖! 𝑙𝜌 0 𝑃!" = −𝜖!
𝜙
𝑘
0
0
0
𝜇! 𝑛𝐼
=−
𝜇! 𝑛𝐼𝑄 𝜙 (12) 2𝜋𝜖! 𝑙𝜌
𝜇! 𝑛𝐼𝑄 𝜇! 𝑄𝑛𝐼 𝜙=− 𝜙 (13) 2𝜋𝜖! 𝑙𝜌 2𝜋𝑙𝜌
y de la misma manera, la densidad de momento angular en la región 𝑎 < 𝜌 < 𝑅, 𝑙!" = 𝑟𝑥 𝑃!" = 𝑟𝑥𝜖! 𝐸𝑥𝐵 (14)
𝑙!" =
𝜌 𝜌 0
𝜙 0 𝜇! 𝑄𝑛𝐼 − 2𝜋𝑙𝜌
𝑘 0 0
= −𝜌
𝜇! 𝑄𝑛𝐼 𝜇! 𝑄𝑛𝐼 𝑘=− 𝑘 (15) 2𝜋𝑙𝜌 2𝜋𝑙
El cual es constante, entonces para obtener el momento angular total en los campos, simplemente se multiplica por el volumen, 𝜋 𝑅! − 𝑎! 𝑙
𝐿!" = −
𝜇! 𝑄𝑛𝐼 𝑘 2𝜋𝑙
𝐿!" = −
𝜋 𝑅! − 𝑎! 𝑙 (16)
𝜇! 𝑄𝑛𝐼 ! 𝑅 − 𝑎! (17) 2
cuando la corriente eléctrica es apagada, el campo magnético variable induce un campo eléctrico circunferencial, el cual esta dado por la Ley de Faraday.
𝐸. 𝑑𝑙 = −
𝜕 𝜕𝑡
𝐵. 𝑑𝑆 (18)
Tomando como referencia la ecuación 9. El campo eléctrico dentro del solenoide 𝜌 < 𝑅 viene dado por, 𝑑𝐼 (19) 𝑑𝑡
𝐸 2𝜋𝜌 = −𝜇! 𝑛 𝜋𝜌! 𝐸=− 𝐸=−
𝜇! 𝑛𝜌 𝑑𝐼 (20) 2 𝑑𝑡
𝜇! 𝑛𝜌 𝑑𝐼 𝜙 (21) 2 𝑑𝑡
De forma análoga, para fuera del solenoide 𝜌 > 𝑅, se obtiene 𝐸 2𝜋𝜌 = −𝜇! 𝑛 𝜋𝑅! 𝐸=−
𝐸=−
𝑑𝐼 (22) 𝑑𝑡
𝜇! 𝑛𝑅! 𝑑𝐼 (23) 2𝜌 𝑑𝑡
𝜇! 𝑛𝑅! 𝑑𝐼 𝜙 (24) 2𝜌 𝑑𝑡
Resumiendo 𝜇! 𝑛𝜌 𝑑𝐼 𝜙 2 𝑑𝑡 𝐸= 𝜇! 𝑛𝑅! 𝑑𝐼 =− 𝜙 2𝜌 𝑑𝑡 −
𝜌 < 𝑅 (25) 𝜌>𝑅
Se sabe que, 𝑁 = 𝑟𝑥𝐹, entonces el torque del cilindro externo viene dado por, 𝑁! = 𝑟𝑥𝐹! = 𝑟𝑥 −𝑄𝐸 (26)
𝑁! = 𝑟𝑥𝐸 =
𝜌 𝜌
𝜙 0 𝜇! 𝑛𝑄𝑅! 𝑑𝐼 2𝜌 𝑑𝑡
0
𝑘 0 0
1 𝑑𝐼 = 𝜇! 𝑛𝑄𝑅! 𝑘 27 2 𝑑𝑡
Además, sabemos que, 𝑁=
𝑑𝐿 (28) 𝑑𝑡
De la ecuación 28, podemos encontrar el momento angular 𝐿 1 𝐿! = 𝜇! 𝑛𝑄𝑅! 𝑘 2
! !
𝑑𝐼 1 𝑑𝑡 = − 𝜇! 𝑛𝑄𝑅! 𝐼𝑘 (29) 𝑑𝑡 2
De forma análoga para el cilindro interno, el torque viene dado por, 𝑁! = 𝑟𝑥𝐹! = 𝑟𝑥 𝑄𝐸 (29)
𝑁! = 𝑟𝑥𝐸 =
𝜌 𝜌 0
𝜙 0 𝜇! 𝑛𝜌 𝑑𝐼 − 2 𝑑𝑡
𝑘 0 0
1 𝑑𝐼 = − 𝜇! 𝑛𝜌! 𝑘 (30) 2 𝑑𝑡
Como estamos tratando con el cilindro interno, entonces 1 𝑑𝐼 𝑁! = − 𝜇! 𝑛𝑎! 𝑘 (31) 2 𝑑𝑡 y su correspondiente momento angular 1 𝐿! = − 𝜇! 𝑛𝑄𝑎! 𝑘 2
! !
𝑑𝐼 1 𝑑𝑡 = 𝜇! 𝑛𝑄𝑎! 𝐼𝑘 (32) 𝑑𝑡 2
Encontrando los dos valores del momento angular para los dos cilindros, entonces la suma de ambos debería ser igual al momento total electromagnético, es decir, 1 1 1 𝐿!" = 𝐿! + 𝐿! = 𝜇! 𝑛𝑄𝑎! 𝐼𝑘 − 𝜇! 𝑛𝑄𝑅! 𝐼𝑘 = 𝜇! 𝑛𝑄𝐼 𝑎! − 𝑅! 𝑘 (33) 2 2 2
El momento angular perdido por los campos es precisamente igual al momento angular ganado por los cilindros, por lo tanto el momento angular total es conservado. Otro ejemplo de conservación, es cuando suponemos una descarga de los dos cilindros conectando una resistencia R entre ellos. En teoría, el momento angular electromagnético debería transferirse a los elementos físicos del sistema. Los dos cilindros serian entonces un capacitor con capacitancia C. Se sabe que la corriente en la resistencia cae exponencialmente, de la forma. 𝐼 𝑡 =
𝑉! !!/!" 𝑒 (34) 𝑅
Donde 𝑉! es la diferencia de potencial entre los cilindros en 𝑡 = 0. Además la fuerza sobre un elemento de corriente viene dado por,
𝐹=
𝐼 𝑡 𝑑𝑙𝑥𝐵 ⇔ 𝑑𝐹 = 𝐼 𝑡 𝑑𝑙𝜌𝑥𝐵! 𝑘 = −𝐼 𝑡 𝑑𝑙𝐵! 𝜙 (35)
Entonces, el torque en el segmento es, 𝑑𝑁 = 𝑟𝑥𝑑𝐹 = 𝜌𝜌 𝑥 −𝐼 𝑡 𝑑𝑙𝐵! 𝜙 = −𝐼 𝑡 𝐵! 𝜌𝑑𝑙𝑘 (36) El torque total en la resistencia, a un tiempo t es, !
𝑁 𝑡 = −𝐼 𝑡 𝐵! 𝑘
!
1 𝜌𝑑𝜌 = − 𝐼 𝑡 𝐵! 𝑅! − 𝑎! 𝑘 (37) 2
el momento angular vendría dado por, !
𝐿= !
1 𝑁 𝑡 𝑑𝑡 = − 𝐵! 𝑅! − 𝑎! 𝑘 2
! !
1 𝐼 𝑡 𝑑𝑡 == − 𝐵! 𝑅! − 𝑎! 𝑘 2
! !
𝑉! !!/!" 𝑒 𝑑𝑡 𝑅
1 𝑉! 1 = − 𝐵! 𝑅! − 𝑎! 𝑘 −𝑅𝐶 −1 = − 𝐵! 𝑅! − 𝑎! 𝐶𝑉! 𝑘 (38) 2 𝑅 2 Sabemos que 𝐵 = 𝜇! 𝑛𝐼 𝑄 = 𝐶𝑉 reemplazando esto en la ecuación 38, obtenemos 1 𝐿 = − 𝜇! 𝑛𝐼 𝑅! − 𝑎! 𝑄𝑘 (39) 2 El cual tiene la misma forma de la ecuación 33, demostrando que el momento se conserva
