EGMO 2016 Lista de Entrenamiento No 1

EGMO 2016 – Lista de entrenamiento No 1. Marzo 4, 2016
1.- Demuestre que la ecuación:
1x+1008+ 12016-x+ 1008= 2x+ 2016-x
Tiene exactamente 2017 raíces enteras.
2.- La sucesión {an} está definida por a1=12 y ak+1=ak2+ak . Sea:
A= 1a1+1+ 1a2+1+…+ 1a100+1 . Determine A, o sea, el mayor entero
que es menor o igual a A.
3.- ¿Cuántas "palabras" de 5 letras tienen, al menos, dos letras consecutivas
iguales? Llamamos "palabra", a cualquier cadena de letras.
4.- Un capicúa es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, como 12321. Suponga que formamos todos los capicúas de k dígitos, que consisten solamente de OCHOS y NUEVES, de tal modo que en cada número haya, al menos, uno de cada dígito. ¿Cuál es el mínimo valor de k, para que haya por lo menos, 2016 números en la lista?
5.- Halle todos los enteros positivos n, tal que 5n2+7 sea divisible para 6.
6.- Considere un triángulo ABC. Trácese BC como un segmento "horizontal" y sitúese el vértice A, "encima" de BC, más cerca de B que de C. Trácense las cevianas AD y AE, desde el vértice A hasta el lado AB de tal modo que trisequen al ángulo BAC. Las longitudes BD, DE, y EC, son 2, 3, y 6, respectivamente. Halle la longitud del lado más corto del ABC.
7.- Determine tan C, donde C es el ángulo opuesto al lado c, del triángulo cuyos lados a, b y c satisfacen: a3+b3+c3a+b+c= c2.
Vicente Torres Álvarez.