EFICIENCIA DE ALGUNOS DISEÑOS EXPERIMENTALES EN LA ESTIMACIÓN DE UNA SUPERFICIE DE RESPUESTA EFFICIENCY OF SOME EXPERIMENTAL DESIGNS TO ESTIMATE A RESPONSE SURFACE Florencio Briones-Encinia1 y Ángel Martínez-Garza2 1
Investigador de la Universidad Autónoma de Tamaulipas y CONACYT. Centro Universitario Adolfo López Mateos. Ciudad Victoria, Tamaulipas. (
[email protected]). 2Especialidad de Estadística. Instituto de Socioeconomía, Estadística e Informática. Colegio de Postgraduados. 56230. Montecillo, Estado de México. (
[email protected])
RESUMEN
ABSTRACT
La elección de un diseño experimental en la metodología para superficies de respuesta depende básicamente de minimizar los costos experimentales, la reducción del tiempo de experimentación, y de maximizar la eficiencia de estimación de la respuesta. Para estimar una superficie de respuesta, los modelos lineales de orden menor o igual a tres han sido empleados frecuentemente por su sencillez y fácil interpretación. Sin embargo, los polinomios de grado fraccionario (modelos pseudocuadráticos) con frecuencia logran una mejor aproximación en experimentos con fertilizantes. Para determinar el efecto de los diseños experimentales sobre la precisión de los estimadores de una superficie de respuesta se han generado varios métodos, que se basan en la precisión individual o conjunta de los estimadores. En este trabajo se evaluó la eficiencia de algunos diseños experimentales para estimar un modelo pseudocuadrático, con dos y tres factores, con los criterios de la varianza integrada de la respuesta estimada, del determinante y de la traza de la matriz (X’X)-1. Con dos factores, los diseños cuadrado
The election of the experimental design in response surface methodology, is concentrated on minimizing experimental costs, reducing experimental time and maximizing the efficiency of the estimated response. For their simplicity and easy interpretation in estimating a response surface, linear models of order lower than or equal three have been employed very frequently. However, often polynomials of fractional degree (pseudoquadratic models), give a better approximation on fertilizer experiments. Based on the individual or joint precision of estimators, several methods have been devised, to determine the effect of experimental designs on the precision of estimators of a response surface. In this paper the efficiency of several experimental designs to estimate a pseudoquadratic response in two or three factors has been evaluated, with the criteria of the integrated variance of the estimated response, of the determinant and the trace of the (X’X)-1 matrix. With two factors, the following designs: repeated double square, double square, A-optimum with 13 treatments, the orthogonal San Cristobal with a=0.66, A-optimum with 16 treatments, orthogonal double square with a=2.20, Thompson’s central composite with 12 and 16 treatments, orthogonal triple square, augmented San Cristobal, A-optimum with 9 treatments, Escobar’s double square and Thompson’s central composite with 13 treatments are all found more efficient than the 32 factorial. With three factors, the designs: A-optimum with 31 treatments, Aoptimum with 23 treatments, double cube and A-optimum with 18 and 15 treatments are also found more efficient than the 33 factorial.
doble repetido, cuadrado doble, A-óptimo con 13 tratamientos, San Cristóbal ortogonal con a=0.66, A-óptimo con 16 tratamientos, cuadrado doble ortogonal con a=2.20, los compuestos centrales de Thompson con 12 y 16 tratamientos, cuadrado triple ortogonal, San Cristóbal aumentado, A-óptimo con nueve tratamientos, cuadrado doble de Escobar y compuesto central de Thompson con 13 tratamientos resultaron más eficientes que el factorial 32. Con tres factores, los diseños A-óptimo con 31 tratamientos, A-óptimo con 23 tratamientos, cubo doble, A-óptimos con 18 y 15 tratamientos son más eficientes que el factorial 33. Palabras clave: Eficiencia, pseudocuadrático.
diseños
experimentales,
Key words: Efficiency, experimental designs, pseudoquadratic model.
modelo
INTRODUCTION
T
he tendency in the development of response surface methodology has been the construction of compact experimental designs, with a minimum of experimental units; the researcher is interested mainly in the properties of all estimates of the response function parameters, properties that depend on the design used. After Box and Wilson’s (1951) paper, the response surface methodology technique has been applied successfully to disciplines as diverse as agriculture,
INTRODUCCIÓN
L
a tendencia en el desarrollo de la metodología para superficies de respuesta ha sido la construcción de diseños experimentales compactos, con un mínimo de unidades experimentales; el investigador se
Recibido: Octubre, 2000. Aprobado: Febrero, 2002. Publicado como ENSAYO en Agrociencia 36: 201-210. 2002. 201
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concentra en las propiedades de los estimadores de todos los parámetros de la función de respuesta, propiedades que dependen del diseño empleado. Después del trabajo de Box y Wilson (1951), la técnica para superficies de respuesta se ha aplicado con éxito a disciplinas tan diversas como la agricultura, las investigaciones biológicas, la ingeniería química y el desarrollo de productos alimenticios. Para estimar una superficie de respuesta, los modelos lineales de orden menor o igual a tres se han empleado con frecuencia por su sencillez y fácil interpretación. Sin embargo, Cady y Laird (1973) mencionan que los polinomios de grado fraccionario (modelos pseudocuadráticos, que mediante una transformación lineal sencilla se vuelven cuadráticos) pueden dar una mejor aproximación en experimentos con fertilizantes. Las bases de la metodología para superficies de respuesta se derivan de la teoría del modelo lineal general; se supone que existe una variable de respuesta, que depende de variables independientes cuantitativas a través de una función f, que puede ser muy complicada o desconocida. La función usualmente se aproxima, en la región de interés, por un polinomio de orden bajo generalmente menor o igual a tres, o por un polinomio pseudocuadrático. Para evaluar la eficiencia de los estimadores de una superficie de respuesta, se han propuesto varios procedimientos; algunos basados en el sesgo, como es el caso del criterio del error cuadrático medio, del cual se han derivado otros como el propuesto por Box y Draper (1959). Estos autores propusieron el criterio del error cuadrático medio ponderado (criterio J), definido por la ecuación:
J=
NW-1 s2
z E y$a xf- ha xf
2
dx
R
donde N es el número de corridas o puntos experimenta-
z
les, W = dx , R es la región de exploración, s2 es la vaR
rianza del error experimental, y$ ( x ) es la respuesta estimada en el punto x, h(x)=respuesta verdadera en el punto x, x’=(x1,..., xp) y p es el número de factores. El criterio J puede expresarse como la suma de la varianza (V) y del sesgo (B) integrados, de la respuesta estimada, y tiene la propiedad de invarianza. Martínez et al. (1974) utilizaron el criterio J para comparar ocho diseños experimentales, pero no usaron el postulado de Box y Draper (1959), consistente en tomar como superficie de respuesta verdadera un polinomio de orden mayor a la superficie ajustada, sino que tomaron
biological research, chemical engineering and food production development. To estimate a response surface, linear models of order less or equal than three have been frequently used because of their simplicity and easy interpretation. However, Cady and Laird (1973) mention that polynomials of fractional degree (pseudoquadratic models, which by means of a simple linear transformation become quadratic models) can give a better approximation in fertilizer experiments. The basis of response surface methodology are derived from the theory of the general linear model. It is assumed that a response variable exists, which depends on quantitative independent variables through a function f, which can be very complicated or unknown. The function is usually approximated, in the interest region, by a low degree polynomial, generally of order lower than or equal to three, or by a pseudoquadratic polynomial. To asses the efficiency of the estimators of a response surface, several procedures have been proposed; some based on the bias, as it is the case of the mean square error criterion, from which other criteria have been derived as the one proposed by Box and Draper (1959). These authors proposed the weighted mean square error criterion (J criterion), defined by the equation:
J=
NW-1 s2
z E y$a xf- ha xf
2
dx
R
where N is the number of runs or experimental points,
z
W = dx , R is the exploration region, s2 is the R
experimental error variance, y$ ( x ) is the estimated response at point x, h(x)=true response at point x, x’=(x1,..., xp) and p is the number of factors. The J criterion can be expressed as the integrated sum of the variance (V) and the bias (B) and of the estimated response, and has the property of invariance. Martínez et al. (1974) used the J criterion to compare eight experimental designs, but did not use the Box and Draper (1959) postulate, which takes as the true response surface a polynomial of greater order than the fitted surface; they took polynomials with entire and fractional exponents different from the square root and the quadratics, and as estimated models the combinations of the quadratic and square root models, in two factors. The results were that Box’s composite design modified by Myers, and the Plan Puebla II and III matrices, produce lower bias indexes, while Double Square and San Cristóbal produced greater values. With respect to the variance, Double Square, Box’s composite, Modified Double Square and San Cristóbal, had all smaller values than those of Plan Puebla II and III.
BRIONES-ENCINIA y MARTÍNEZ-GARZA: EFICIENCIA DE ALGUNOS DISEÑOS EXPERIMENTALES
polinomios con exponentes enteros y fraccionarios diferentes al de raíz cuadrada y a los cuadráticos, y como modelos estimados las combinaciones de los modelos cuadráticos y de raíz cuadrada en dos factores. Los resultados que obtuvieron fueron que el diseño compuesto de Box modificado por Myers y las matrices Plan Puebla II y III, producen menores índices de sesgo, mientras que el Cuadrado Doble y el San Cristóbal producen valores mayores. Con respecto a la varianza, el Cuadrado Doble, el compuesto de Box, el Cuadrado Doble Modificado y el San Cristóbal, tuvieron valores menores que los diseños Plan Puebla II y III. Briones y Martínez (1997) evaluaron varios diseños experimentales por el sesgo que generan en los estimadores de una superficie de respuesta de segundo orden, cuando la superficie verdadera es de tercer orden, concluyendo que el diseño ortogonal de la familia de cuadrados dobles, que resulta de variar las coordenadas del cuadrado interior (Martínez, 1990), fue el diseño de menor sesgo con dos factores. Con tres factores, los diseños de sesgo menor, muy similares entre ellos, fueron los factoriales 3p, Box-Behnken y los compuestos centrales. Los diseños Plan Puebla y San Cristóbal tienen una estructura más complicada para el sesgo, lo que dificulta su comparación. Viesca y Martínez (1989) utilizaron el criterio de eficiencia propuesto por Myers (1971) para comparar algunos diseños experimentales cuando se ajusta una superficie de respuesta de segundo orden en 2, 3 y 4 factores. Los resultados mostraron que los diseños San Cristóbal ortogonal, los hipercubos múltiples ortogonales y no ortogonales y los factoriales, presentan las mayores eficiencias, y los menos eficientes en orden decreciente son el Plan Puebla III, Plan Puebla II y Plan Puebla I. Los diseños San Cristóbal se ubican entre los dos grupos anteriores. Díaz et al. (1992) realizaron la comparación de diseños experimentales con el mismo criterio de eficiencia relativa empleado por Viesca y Martínez (1989), pero consideraron el ajuste de modelos pseudocuadráticos. Para el caso de dos factores, encontraron que los diseños Cuadrado Doble y los cuadrados ortogonales son los de mayor eficiencia; el factorial 32, el San Cristóbal y el San Cristóbal ortogonal son de eficiencia media, y los menos eficientes son los Plan Puebla I, II y III. Para tres factores se encontró que los diseños más eficientes son los cubos dobles, el San Cristóbal y el San Cristóbal ortogonal, seguidos por el factorial 33; los menos eficientes son los Plan Puebla. Castillo (1996) empleó un criterio de eficiencia por región, basado en la varianza ponderada de la respuesta estimada para comparar la eficiencia de catorce diseños, en relación con el factorial con tres niveles en el ajuste de modelos pseudocuadráticos. Los resultados mostraron que para ajustar polinomios con exponentes fraccionarios en
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Briones and Martínez (1997) evaluated several experimental designs, by means of the bias generated in the estimators of a second order response surface when the true surface is of third order; concluding that with two factors, the family of double squares orthogonal designs, obtained by varying the coordinates of the interior square (Martínez, 1990), was the design with smallest bias. With three factors, the designs with smaller bias, very similar among them, were the 3p factorials, BoxBehnken and the Central Composite. Plan Puebla and San Cristóbal designs have a more complicated structure for bias, which difficults their comparison. Viesca and Martínez (1989) utilized the efficiency criterion proposed by Myers (1971) to compare some experimental designs when a second order response surface in 2, 3 and 4 factors is fitted. The results were that orthogonal San Cristóbal designs, orthogonal and not orthogonal multiple hypercubes and factorials, show the higher efficiencies, and the least efficient in decreasing order were Plan Puebla III, Plan Puebla II and Plan Puebla I. San Cristóbal designs are placed between the two former groups. Díaz et al. (1992) carried out a comparison of experimental designs with the same relative efficiency criterion used by Viesca and Martínez (1989), but considered the fitting of pseudoquadratic models. For the case of two factors, they found that the double square designs and the orthogonal squares had the greatest efficiencies; 32 factorial, San Cristóbal and orthogonal San Cristóbal have an average efficiency, and the least efficient were Plan Puebla I, II and III. For three factors it was found that the most efficient designs are the double cubes, San Cristóbal and orthogonal San Cristóbal, followed by the 33 factorial; the least efficient are the Plan Puebla designs. Castillo (1996) used an efficiency criterion by region, based on the weighted variance of the estimated response to compare the efficiency of fourteen designs, with respect to the factorial with three levels by fitting pseudoquadratic models. When fitting polynomials with fractional exponents in two factors, the studied designs efficiencies in decreasing order was: The Double square, the a=0.6 orthogonal San Cristóbal, the San Cristóbal designs, the Central Composite, the augmented San Cristóbal, the a=0.91 orthogonal San Cristóbal, the Orthogonal Double Squares, the Central Composite modified by Myers, the Central Composite modified by Berardo (1972) and those known as Plan Puebla III, I and II. For models with three factors, the efficiencies of the studied designs are, also in decreasing order: The Double Cube, the 33 factorial, Orthogonal Central Composite, the augmented San Cristóbal, the San Cristóbal, the orthogonal San Cristóbal with a=0.82, the orthogonal San Cristóbal with a=2.82 and Plan Puebla. Other criteria to compare experimental designs are those of the determinant or generalized variance of the
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dos factores, las eficiencias de los diseños estudiados son, en orden decreciente de importancia: el cuadrado doble, el San Cristóbal ortogonal a=0.6, los diseños San Cristóbal, San Cristóbal aumentado, San Cristóbal ortogonal a=0.91, los cuadrados dobles ortogonales, el compuesto central modificado por Myers, el compuesto central modificado por Berardo (1972) y los conocidos como Plan Puebla III, I y II. Para modelos con tres factores, las eficiencias de los diseños estudiados son, también en orden decreciente: el cubo doble, el factorial 33, el compuesto central ortogonal, el San Cristóbal aumentado, el San Cristóbal, el San Cristóbal ortogonal con a=0.82, el cubo doble ortogonal con a=2.82 y los Plan Puebla. Otros criterios para comparar diseños experimentales son el del determinante o varianza generalizada de los estimadores de regresión, y la traza de la matriz de varianzas y covarianzas de la superficie de respuesta estimada, (X’X)-1. Los criterios de eficiencia del determinante y la traza fueron utilizados por Viesca y Martínez (1989) para comparar varios diseños experimentales en el ajuste de una superficie de respuesta de segundo orden con dos, tres y cuatro factores. Los resultados mostraron que el criterio de eficiencia de la traza de la matriz de varianzas y covarianzas concuerda con el de eficiencia relativa propuesto por Myers (1971). Por otra parte, el criterio del determinante mostró discrepancias muy grandes en relación con los criterios de la traza y de la eficiencia relativa de las varianzas de los estimadores de los coeficientes de regresión. Díaz et al. (1992) utilizaron los mismos criterios ajustando modelos pseudocuadráticos. Sus resultados fueron muy similares a los encontrados por Viesca y Martínez; los criterios de eficiencia y el de la traza de (X’X)-1 concordaron, mientras que los resultados obtenidos con el criterio del determinante difirieron. Trabajos enfocados a generar diseños D-óptimos [diseños que maximizan el determinante de la matriz (X’X)] han sido desarrollados por Miller y Nguyen (1994)].
regression estimators, and the trace of the variancecovariance matrix of the estimated response surface, (X’X)-1. The determinant efficiency and the trace criteria were utilized by Viesca and Martínez (1989) to compare several experimental designs to fit a second order response surface in two, three and four factors. The results showed that the variance covariance matrix trace efficiency criterion, agrees with the relative efficiency criterion proposed by Myers (1971). On the other hand, the determinant criterion showed large differences with the trace and relative efficiency of the regression coefficients criteria. Díaz et al. (1992) used the same criteria fitting pseudoquadratic models. Their results were very similar to those found by Viesca and Martínez; the efficiency and the trace of the (X’X)-1 matrix criteria agreed, while the results obtained with the determinant criterion did not. Research focused on generating D-optimum designs [designs maximizing the determinant of the (X’X) matrix] has been carried out by Miller and Nguyen (1994).
METHODOLOGY In this paper it is assumed that an unknown functional relation h=f (x1, x2,..., xp), between a response variable h, and p explanatory variables x1, x2,..., xp, can be approximated in some particular region of interest by a second order response surface, in terms of p coded variables x1, x2,…, xp, which are simple linear functions of the explanatory variables, that is:
c
h
p
yi = f xi1, xi 2 ,... xip = b 0 + å b j xijaj p
p
+ å b jj xijaj + å j=1
j=1
p
å b jk xijaj xikak + ei , i = 1,2,..., n
j=1 j
