EDO RESORTES ACOPLADOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ
FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA






ECUACIONES DIFERENCIALES

TEMA
APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES A LAS OSCILACIONES LIBRES DE DOS RESORTES ACOPLADOSAPLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES A LAS OSCILACIONES LIBRES DE DOS RESORTES ACOPLADOS
APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES A LAS OSCILACIONES LIBRES DE DOS RESORTES ACOPLADOS

APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES A LAS OSCILACIONES LIBRES DE DOS RESORTES ACOPLADOS




CATEDRÁTICO:
ING. WILDER EUFRACIO ARIAS

INTEGRANTES:
GARCÍA LAPA RONAL
MONTALVO CERRÓN JUAN
MUÑOZ SALOMÉ MILAGROS
TABOADA SINCHE HILLARY
VALLEJOS CHAVEZ BANI


SEMESTRE: III

HUANCAYO 22 DE JULIO - 2015



RESUMEN




En este informe: '' Aplicación de ecuaciones diferenciales a las oscilaciones libres de dos resortes acoplados'', determinamos el movimiento de oscilación de dos resortes acoplados de forma vertical mediante ecuaciones lineales de segundo grado y transformada de Laplace, considerando también conceptos básicos de la ley de Hooke (que establece que la magnitud de las fuerzas necesarias para producir una cierta elongación en un muelle es directamente proporcional a la elongación) y la ley de Newton( las fuerzas son influencias externas que aceleran los cuerpos en un sistema de referencia inercial).

Para el desarrollo de este experimento utilizaremos 3 masas, 2 resortes y 1 soporte metálico. Empleamos las 3 masas para determinar la constante del resorte, y vimos que el resorte se comprime o estira ésta trata de regresar a su longitud natural. Medimos la elongación del resorte con cada masa, en un determinado tiempo finalmente con los datos obtenidos en el experimento determinamos la constante de los resortes que describe el movimiento de éstos.






















OBJETIVOS


OBJETIVO GENERAL:

Determinar las constantes de los resortes mediante ecuaciones diferenciales.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Desarrollar las ecuaciones lineales de segundo grado y la transformada de Laplace con los datos obtenidos de forma experimental.

Determinar las contantes de los resortes mediante series de Fourier.















MARCO TEÓRICO


LEY DE HOOKE:

La Ley de Hooke describe fenómenos elásticos como los que exhiben los resortes. Esta ley afirma que la deformación elástica que sufre un cuerpo es proporcional a la fuerza que produce tal deformación, siempre y cuando no se sobrepase el límite de elasticidad.
La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza ejercida por el resorte con la elongación o alargamiento provocado por la fuerza externa aplicada al extremo del mismo:


Donde se llama constante elástica del resorte y es su elongación o variación que experimenta su longitud.
[1]
Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb. Alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb./pie.



LEY DE NEWTON :

Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:
W = m. g

LA TRANSFORMADA LAPLACE.

La trasformada de Laplace se usa continuamente para resolver ecuaciones diferenciales de funciones continuas a tramos: Debido a que la trasformada de Laplace es una integral, esta cumple con las propiedades de linealidad que tienen las integralesUna vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f (t) se define como 



La letra s representa una nueva variable, para el proceso de integración se considera constante.

La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable s.


1.3.1 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA LAPLACE.

En las propiedades se asume que las funciones f (t) y g (t) con funciones que poseen.

Transformada de Laplace son:


Linealidad: La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.






Primer Teorema de Traslación: La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.


Dónde:

Teorema de la transformada de la derivada: La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.





Teorema de la Transformada de la Integral.



Teorema de la Integral de la transformada



Siempre cuando exista:


Teorema de la derivada de la Transformada



ECUACIÓN LINEAL:

Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma:


O usando otra notación frecuente:



Para que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparezcan productos de la función incógnita consigo misma ni de ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:



Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN


Una ecuación diferencial lineal de segundo orden para una función x=x (t) es una ecuación de la forma:

x + a(t) x + b(t)x=f(t) (1)

Donde:

a(t), b(t) y f(t) son funciones dadas.

Cuando f (t) es la función nula se dice que (1) es una ecuación lineal homogénea. Algunos ejemplos de ecuaciones lineales de segundo orden son:


x +ω2x= 0 movimiento armónico simple,

x + γ x + ω2x=f(t), oscilador lineal amortiguado forzado,

x + 1tx + t2-n2t2x= 0, ecuación de Bessel,

x + 2t1-t2x + p(p+1)1-t2x= 0, ecuación de Legendre.

Las dos primeras son ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Las dos últimas son ejemplos de ecuaciones lineales con coeficientes variables
Doble masa-resorte-amortiguador




Suponga que se tiene el sistema que se ilustra en la figura. Dicho sistema cuenta con un resorte k1 que une a la pared con la primera masa y un segundo resorte que une a la primera masa con la segunda. Cada masa tiene una fricción del tipo viscosa dada por A y B y el peso de cada masa está dada por m1 y m2, respectivamente. El desplazamiento que tiene cada masa se denota por x1 y x2, siendo el cero la posición de reposo para cada masa.

Si la entrada del sistema es aplicada a la primera masa, tenemos que la ecuación diferencial que describe su comportamiento es:





Observe que dicha ecuación depende del desplazamiento que tenga la segunda masa, ya que de eso depende la contracción o expansión del segundo resorte y por lo tanto su fuerza. Si la primera masa se mueve, es intuitivo suponer que la segunda masa también se moverá, es decir, también tendrá su propia ecuación diferencial, la cual es:





La sumatoria de fuerzas se iguala a cero ya que no se tiene una fuerza externa o entrada como se supuso con la primera masa. Note que de igual forma, el desplazamiento de la segunda masa se verá afectada por la primera masa, ya que el segundo resorte acopla ambas masas.

La transformada de Laplace de ambas ecuaciones diferenciales considerando condiciones iniciales nulas está dada por:





Despejando X2 de la segunda ecuación y sustituyéndola en la primera, tenemos que la función de transferencia de la posición de la primera masa con respecto a la entrada es:





Donde:





Por otra parte, la función de transferencia de la posición de la segunda masa con respecto a la entrada es:





De esta forma tenemos dos funciones de transferencia, ya que contamos con dos salidas y una entrada.

SERIES DE FOURIER

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor.

La serie de Fourier es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta.

Las series de Fourier tienen la forma:


Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función 
Si es una función (o señal) periódica y su período es , la serie de Fourier asociada a es:

Donde, y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja.

Los coeficientes ahora serían:

Otra forma de definir la serie de Fourier es:

Donde



Siendo:

A esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier.



















PARTE EXPERIMENTAL:



MATERIALES:

4 Pesas
4 Resortes
Regla
balanza
1 Madera



PROCEDIMIENTO:

Unir las dos pesas con los resortes , de manera intercalada, iniciando con el resorte.



Colocar en la parte superior del resorte en una madera para que lograr una mayor estabilidad.










Usar el arco de madera para sostener el modulo.



DATOS:
ELEMENTOS
VALORES
MASA 1 (m1)
0.057 Kg
MASA 2 (m2)
0.0744 Kg
CONSTANTE (k1)
17,47
CONSTANTE (K2)
36,49
ELONGACION(X1)
3,2
ELONGACION(X2)
5,2

Un sistema consistente de los Resortes A y B y los objetos C y D acoplados en forma vertical el extremo del resorte A esta fijo en el punto O.
Cada resorte tienen una constante de resorte K1 y K2 respectivamente.
Los objetos tienen masas m1 y m2 respentivamente el sistema se pone a vibrar sosteniendo D y en lugar moviendose C hacia arriba a una distancia a>0 y luego soltando ambos objetos
SOLUCION:
Para determinar las ecuaciones diferenciales del movimiento tomamos en un instante t , los objetos C y D están localizados a las distancias x1 y x2 en sus respectivas posiciones de equilibrio.
Asumiendo que las direcciones hacia arriba son positivas.
CCDDDDCC
C
C
D
D
D
D
C
C
SOBRE C: El resorte A esta ejerciendo una fuerza sobre C hacia arriba y la magnitud KX1
El resorte D esta ejerciendo una fuerza sobre C hacia abajo y la magnitud va ser
K(x2-x1).


CALCULOS:


Hallando X2 y X1 :

X1=Xf1-X01
X1=6.5-3.3
X1=3.2

X2=Xf2-X02
X2=11-5.8
X2=5.3



Hallando k1 y k2:


F1=k1X1

k1=m1gX1

k1=0.0579*9.80.032

k1=17.73




F2=k2 X2-X1


k2=m2gX2-X1

k2=0.0749*9.80.021

k2=36.49



DADAS LAS ECUACIONES DIFERENCIALES:

m1 x1,=-k1X1+k2 X2-X1 ………(1)


m2 x2,=-k2 X2-X1 …….(2)





Operando las ecuaciones de 1 m2 D2+k2 y teniendo en cuenta 2 :


ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN:


D4+k1+k2 m1 +k2 m2 D2+k1k2 m1 m2 x1 =0

x1 *D4+x1 *k1+k2 m1 +k2 m2 *D2=-x1*k1k2 m1 m2
D4+17.47+36.490.057+36.490.0744D2=-17.47*36.490.057*0.0744
D4+1437.12D2=-150320.76
raiz=Yc=D2D2+1437.12=0
m1=0
m3=+/-1437.12i

m2=0
m4=+/-1437.12i

Yc=C1+C2+C3cos37.91t+C4sin37.91t

Yp=x2*a=52.3*x2
Yp'=2x*a
Yp''=2*a
Yp'''=0
Yp;v=0



Yp=1437.12*2*a=-150320.76
a=-150320.762*1437.12
a=52.3
Y=C1+C2+C3cos37.91t+C4sin37.91t+52.3t2
t=0 y=0
t=0 v=0
0=C1+C2+C3
0=-37.91C3sin37.91t+37.91C4cos37.91t+2*52.3*t
DATOS DE UN SOLO RESORTE
m1=00057
k1=17.47
x=3.2

md2ydt2+FAdydt+K*y=0

md2ydt2+K*y=0
0.057D2+17.47Y=0
yc=0.057D2+17.47y=0
0.057D2=-17.47
D=+/-17.470.059i
D=+-17.51i
Y=C1cos17.51t+C2sin17.51t



Resolviendo por sumatorias:
md2ydt2+K*y=0
y=n=0 Cnxn
y'=n=0 Cn*n*xn-1
y''=n=0 Cn*n*(n-1)xn-2
m*n=2 Cn*n*n-1xn-2+k*n=0 Cnxn=0
m*n=0 Cn+2*n+2*n+1xn+k*n=0 Cnxn=0
n=0 m*Cn+2*n+2*n+1+k*Cnxn=0
mn+2n+1Cn+2+kCn=0
Cn+2=-kCn/mn+2n+1
Reemplazando
Cn+2=-17.47Cnmn+2n+1=-306.5Cn(n+2)(n+1)
n=0……………….C2=-306.5C02
n=1……………….C3=-306.5C13*2
n=2……………….C4=-306.5C24*3
y=C0+C1t+C2t2+C3t3



Las condiciones iniciales está dada por:

X1=-a
X2 =0
X'=0
X''=0
Cuando t es igual a cero (t=0).
Resolviendo por Laplace:
m1s2Lx1-sx10-x'10=k1Lx2-2k1Lx1
m1s2+2k1Lx1-k1Lx2=-m1as
m1s2Lx2-sx20´´-x'2(0)]=-k1L(x2)+k1L(x1)
-k1Lx1+m1s2+k1L(x2)=0 ……………………………………………1
m2s4+3mks2+k2yx1=-amsms2+k
LX1=-masms2+θm2s4=-m2as3+maks14[2ms2+3k2-5k2]

LX1=4m2as3+maks[2ms2+3k-5k](2ms2+3k-5k)
LX1=1-55mas2ms2+3k-5k-1-55mas2ms2+3k+5k
X1=1-525a cos3-52m.kt-1-525a cos3+52m.kt
De igual modo
X2=15a cos3-52m.kt-15a cos3+52m.kt




PRUEBAS EXPERIMENTALES

PARA X1:
m= 00057
t= 2 seg
k= 17.47
X1=1-525a cos3-52m.kt-1-525a cos3+52m.kt



REEMPLAZANDO DATOS

X1=1-525a cos3-52*00057.17.47*2-1-525a cos3+52*00057.17.47*2
X1=-4.8286 - -9.6571
X1=4.82
Margen de error:
50 %.......................................1.6

PARA X2:
m= 00074
t= 2 seg
k= 36.49
X2=15a cos3-52m.kt-15a cos3+52m.kt


REEMPLAZANDO DATOS

X2=15a cos3-52* 00074.36.49*2-15a cos3+52* 00074.36.49*2
X2=37.43 – 32.63
X2=4.8
Margen de error
9.43 %………………………………...0.5




















CONCLUSIONES
Se determinó el movimiento de oscilación del resorte mediante las ecuaciones lineales de segundo grado y la transformada de Laplace haciendo uso de los datos experimentales.
Se logró conocer la importancia de la técnica de transformada de Laplace en la resolución y análisis de problemas cotidianos como masa y resorte



DISCUSIONES


Error de medición de los datos en el momento de la oscilación del resorte.


BIBLIOGRAFIA
N CARDIELLO, "Elementos de Física y de Química" ; Editorial Kapeluz
FRANK AYRES, Ecuaciones Diferenciales
CESAR SAAL R., FELIX CARRILLO C., Ecuaciones Diferenciales