Universidad Politécnica de Victoria
Cinemática de Robots
ED1: Resultado de la graficación Traslación y Rotación de una Figura Tridimensional a través de matrices homogéneas
Catedrático: Dr. Manuel Benjamín Ortiz Moctezuma
Alumno: Rodolfo Marcoantonio Etienne Saldaña Correo:
[email protected]
Ciudad Victoria Tamaulipas, 9/Febrero/2017
Índice Resumen…………………………………………………………………………………3 Introducción………………………………………………………………………………3 Desarrollo…………………………………………………………………………………4 Conclusiones……………………………………………………………………………10 Bibliografía………………………………………………………………………………12 Código Anexado………………………………………………………………………..13
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Resumen
En esta práctica se realizó una demostración grafica por medio de un software de cálculo numérico Matlab en donde se construyeron dos figuras diferentes a las cuales se les somete a traslaciones y rotaciones por medio de matrices homogéneas trazando las trayectorias que la figura vaya tomando a lo largo de su traslación además de especificar si las rotaciones son absolutas o actuales dependiendo de los requerimientos solicitados para estas rotaciones. Estas operaciones se realizarán a dos figuras con la única diferencia en donde una cuenta con transformaciones homogéneas absolutas y la otra figura tendrá transformaciones homogéneas actuales.
Introducción En la robótica, se necesita conocer de manera precisa la ubicación de cada uno de las articulaciones con las que cuenta el robot, tomando en cuenta las traslaciones que significan cada una de estas articulaciones, así como las rotaciones indicadas por el movimiento rotacional con respecto al eje del actuado con el que cuente el robot. Para esto se utilizan matrices tanto de rotación como de traslación, en las que se especifica la magnitud de la traslación efectuada por el robot y la rotación con respecto al eje del robot. Las rotaciones se pueden efectuar de diferentes maneras: Actuales: En estas todas las rotaciones que se efectúen se harán con respecto a la última rotación realizada. Absolutas: Cualquier rotación efectuada se deberá de realizar con respecto a los ejes originales de donde parte la orientación del robot. Para llevar a cabo las traslaciones se necesita pasar la matriz original por una serie de transformaciones homogéneas dependiendo del eje con el que tenga alguna traslación y el ángulo que se forme con respecto a cierto eje al momento de realizar alguna rotación.
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Desarrollo Para la práctica se necesitó de una figura básica para las dos imágenes solicitadas, en la cual se realizaron todas las traslaciones y rotaciones, esta figura es un tetraedro (pirámide triangular) en la cual se designan los siguientes puntos para el origen de cada una de sus aristas:
Vértice 1: (cos30°, 0, sen 30°) Vértice 2: (0, 0, -1) Vértice 3: (-cos30°,0, sen30°) Vértice 4: (0, √2, 0).
Figura 1: Tetraedro tridimensional resultante
Se puede observar que la gráfica 3D cuenta con unas cotas que indican los ejes en los que se va a trabajar, delimitadas hasta 6, por lo que la traslación debe de terminar en donde termine la cota. IMAGEN 1 La primera transformación indicada es la siguiente: -Por medio de una transformación homogénea, trasladar la figura en incrementos sucesivos de 1 unidad a lo largo del eje x, hasta que el origen de la figura se ubique en el punto de coordenadas (6, 0 ,0). Para esto, es necesario multiplicar la matriz de cada uno de las aristas por la matriz de traslación que se define como: 𝐼 ℎ𝑥, 6 ) 0 1
𝑇10 = (
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En donde: 1 0 𝐼 = (0 1 0 0
0 0) 1
6 ℎ𝑥, 6 = (0) 0
Por lo tanto: 1 𝑇10 = (0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
6 0) 0 1
Esta se multiplica por la matriz que denota la ubicación de los vértices cos 30 𝑣1 = ( 0 ) sin 30 1
0 0 −cos 30 0 0 𝑣2 = ( ) 𝑣3 = ( ) 𝑣4 = (√2) −1 sin 30 0 1 1 1
Con esto se nos indica que las ubicaciones de los vértices se van a ver recorridas 6 unidades en el eje x
Figura 2 Traslación en el eje X
En variaciones de 1 unidad aumentando hasta 6 se puede observar como la ubicación de todos los vértices es desplazada en el eje x.
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La siguiente transformación indicada es: -Por medio de transformaciones homogéneas sucesivas con respecto al eje z absoluto, rotar la figura en 7 incrementos de 10°, hasta llegar a una rotación acumulada de 70°. Para la siguiente transformación rotacional de 70° en el eje z se necesita de la matriz de rotación de dicho eje. 𝑇21 = 𝑅𝑧,Ө
cos Ө = ( sin Ө 0 0
− sin Ө cos Ө 0 0
0 0 1 0
0 0) 0 1
Ө = 70°
Esta matriz se multiplica por el cada uno de los vértices del tetraedro en variaciones de 10° hasta llegar a los 70°.
Figura 3 Rotación con respecto al eje Z de 70°
Se puede observar cómo es que la figura toma como punto de rotación el punto de origen inicial, esto significa que rotación fue hecha en ejes absolutos.
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Entonces, la última transformación nos indica lo siguiente: -Por medio de transformaciones homogéneas sucesivas con respecto al eje y absoluto en incrementos de 10° hasta completar una rotación acumulada de 120°. Para realizar la rotación en el eje y se ocupa de la matriz de rotación de dicho eje, la cual está dada por: 𝑇32 = 𝑅𝑦,Ө
cos Ө =( 0 − sin Ө 0
0 1 0 0
sin Ө 0 0 0) cos Ө 0 0 1
Ө = 120°
Para representar la trayectoria de la rotación se aumenta en un factor de 10 el ángulo de rotación definido en la matriz de rotación. Cabe recalcar que para poder obtener la posición final se tienen que multiplicar las ubicaciones resultantes anteriormente.
Figura 4 Rotación de 120° con respecto al eje y
Con este último paso se puede observar toda la trayectoria trazada por las matrices de transformación que se le estuvieron dando a la figura, la trayectoria indicada en color rojo gira alrededor del eje y tal y como se indicó en la matriz de rotación. Entonces la Matriz de transformación homogénea está dada por:
𝑇30 = 𝑇10 ∗ 𝑇21 ∗ 𝑇32
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𝑇10
= 𝑇𝑟𝑎𝑠𝑥,6
1 = (0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
6 0) 0 1
𝑇32 = 𝑅𝑦,Ө
𝑇21
= 𝑅𝑧,Ө
cos Ө − sin Ө = ( sin Ө cos Ө 0 0 0 0
cos Ө 0 sin Ө 1 0 =( 0 − sin Ө 0 cos Ө 0 0 0
0 0 1 0
0 0) 0 1
0 0) 0 1
𝑇30 = 𝑇𝑟𝑎𝑠𝑥,6 ∗ 𝑉 ∗ 𝑅𝑧,Ө ∗ 𝑅𝑦,Ө Representando las coordenadas de los vértices. 𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑉 = ( 𝑣𝑧 ) 1
Entonces el movimiento realizado por la figura quedaría descrito por: 1 𝑇30 = (0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
𝑣𝑥 6 cos 70 0) (𝑣𝑦 ) ( sin 70 𝑣𝑧 0 0 1 1 0
− sin 70 cos 70 0 0
0 0 1 0
0 cos 120 0 sin 120 0 0) ( 0 1 0 0) 0 − sin 120 0 cos 120 0 1 0 0 0 1
Fue necesario multiplicar la matriz resultante por cada uno de los vértices para obtener sus respectivas posiciones.
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IMAGEN 2 En esta imagen se utilizan exactamente las mismas coordenadas de los vértices de la figura pasada y de igual manera se realizan la misma traslación y las mismas rotaciones, únicamente con la diferencia de que las rotaciones deben de ser con respecto al eje de coordenadas actual. Como las rotaciones son exactamente las mismas y de igual manera la traslación, se pueden usar las mismas matrices de rotación, lo único que va a variar es el orden en el que se debe de llevar a cabo la operación. Por lo tanto, la traslación se realiza de la misma manera que en la imagen 1. 1 𝑇1 = (0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
6 0) 0 1
Figura 5 Traslación del tetraedro en el eje x de la imagen 2
Como se puede apreciar es igual que en la imagen 1, la diferencia se aprecia cuando las rotaciones se hacen con respecto a los ejes actuales.
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Posteriormente se realiza la rotación de 70° con respecto al eje z. 𝑇2 = 𝑅𝑧,Ө
cos Ө − sin Ө = ( sin Ө cos Ө 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0) 0 1
Ө = 70°
Figura 6 Rotación de 70° con respecto al eje z actual
Y finalmente la rotación en el eje y de 120°. 𝑇3 = 𝑅𝑦,Ө
cos Ө 0 sin Ө 1 0 =( 0 − sin Ө 0 cos Ө 0 0 0
0 0) 0 1
Ө = 120°
La principal diferencia entre las rotaciones en los ejes actuales y los ejes absolutos, es el orden en que se efectúan las operaciones. Ya que las rotaciones se efectúan antes que la traslación para mantener las coordenadas del origen.
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Figura 7 Traslaciones totales de los ejes actuales
Dado que se usan las mismas matrices, pero se efectúan en diferente orden entonces se puede representar de la siguiente manera. 𝑇30 = 𝑇1 ∗ 𝑇2 ∗ 𝑇3
1 0 𝑇3 = (0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
6 cos 70 0) ( sin 70 0 0 1 0
− sin 70 cos 70 0 0
0 0 1 0
𝑣𝑥 0 cos 120 0 sin 120 0 0) ( 0 1 0 0 ) (𝑣𝑦 ) 𝑣𝑧 0 − sin 120 0 cos 120 0 1 1 0 0 0 1
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Conclusiones
La práctica sirvió más que nada para poder identificar cual es la diferencia de las rotaciones en los ejes absolutos de los ejes actuales, como se pudo observar en la primera imagen, las rotaciones se realizaban con respecto al eje de origen, lo cual significaba que entre más separada estuviera la figura del eje, su traslación seria mayor dependiendo del eje y del ángulo que se dese trasladar, y de manera contraria en los ejes actuales, la figura se mantiene en el mismo origen hasta que vuelva a ser trasladada a otras coordenadas. Aplicando esto a un ejemplo real se puede comparar a las relaciones que se tienen que considerar al momento de realizar los cálculos del movimiento de las articulaciones de un robot, ya que estas se trasladan a lo largo de un ángulo, en donde la articulación se puede considerar como una traslación y el actuador en la siguiente articulación necesitaría una rotación con respecto a los ejes actuales para poder determinar la posición final de la última articulación.
Bibliografía [1]Mark W. Spong, Seth Hutchinson, and M. Vidyasagar, “Robot Dynamics and Control” Second Edition, 2004.
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Código Anexado -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------close all clc %ROTACIONES ABSOLUTAS A=30; v1=[cosd(30);0;sind(30);1]; v2=[0;0;-1;1]; v3=[-cosd(30);0;sind(30);1]; v4=[0;sqrt(2);0;1]; figure() hold on grid on plot3(v1(1),v1(2),v1(3),'*K');%VERTICE plot3(v2(1),v2(2),v2(3),'*K');%VERTICE plot3(v3(1),v3(2),v3(3),'*K');%VERTICE plot3(v4(1),v4(2),v4(3),'*K');%VERTICE
1 2 3 4
plot3([v1(1);v2(1)],[v1(2);v2(2)],[v1(3);v2(3)],'g');%ARISTA plot3([v1(1);v3(1)],[v1(2);v3(2)],[v1(3);v3(3)],'g');%ARISTA plot3([v1(1);v4(1)],[v1(2);v4(2)],[v1(3);v4(3)],'g');%ARISTA plot3([v2(1);v3(1)],[v2(2);v3(2)],[v2(3);v3(3)],'g');%ARISTA plot3([v2(1);v4(1)],[v2(2);v4(2)],[v2(3);v4(3)],'g');%ARISTA plot3([v3(1);v4(1)],[v3(2);v4(2)],[v3(3);v4(3)],'g');%ARISTA
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%INDICACION DE LOS EJES DE COORDENADAS text (6,0,0,'X0'); text (-6,0,0,'-X0'); text (0,6,0,'-Z0'); text (0,-6,0,'Z0'); text (0,0,-6,'-Y0'); text (0,0,6,'Y0'); %LINEAS DE LOS EJES ORIGINALES origen=[0,0,0]; P1=[6,0,0]; P2=[0,6,0]; P3=[0,0,6]; line([origen(1),P1(1)], [origen(2),P1(2)], [origen(3),P1(3)]); line([origen(1),P2(1)], [origen(2),P2(2)], [origen(3),P2(3)]); line([origen(1),P3(1)], [origen(2),P3(2)], [origen(3),P3(3)]); grid on title('Rodolfo Marcoantonio Etienne Saldaña') for i=1:6 %TRASLACION T=[1,0,0,i;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]; %MULTIPLICACION POR PATRIZ HOMOGENEA T1=T*v1; T2=T*v2; T3=T*v3; T4=T*v4;
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plot3(T1(1),T1(2),T1(3),'*y');%VERTICE 1 plot3(T2(1),T2(2),T2(3),'*y');%VERTICE 2 plot3(T3(1),T3(2),T3(3),'*y');%VERTICE 3 plot3(T4(1),T4(2),T4(3),'*y');%VERTICE 4 plot3([T1(1);T2(1)],[T1(2);T2(2)],[T1(3);T2(3)],'y');%ARISTA plot3([T1(1);T3(1)],[T1(2);v3(2)],[T1(3);T3(3)],'y');%ARISTA plot3([T1(1);T4(1)],[T1(2);T4(2)],[T1(3);T4(3)],'y');%ARISTA plot3([T2(1);T3(1)],[T2(2);T3(2)],[T2(3);T3(3)],'y');%ARISTA plot3([T2(1);T4(1)],[T2(2);T4(2)],[T2(3);T4(3)],'y');%ARISTA plot3([T3(1);T4(1)],[T3(2);T4(2)],[T3(3);T4(3)],'y');%ARISTA
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end v1=[6+cosd(30);0;sind(30);1]; v2=[6;0;-1;1]; v3=[6-cosd(30);0;sind(30);1]; v4=[6;2^(.5);0;1]; for i=0:6 %ROTACION 70 GRADOS EJE Z t=(i*10)+10 Rx=[1 0 0 0;0 cosd(t) -sind(t) 0;0 sind(t) cosd(t) 0;0 0 0 1]; Ry=[cosd(t),0,sind(t),0;0,1,0,0;-sind(t),0,cosd(t),0;0,0,0,1]; Rz=[cosd(t),-sind(t),0,0;sind(t),cosd(t),0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]; RZ1=Rz*v1; RZ2=Rz*v2; RZ3=Rz*v3; RZ4=Rz*v4; plot3(RZ1(1),RZ1(2),RZ1(3),'*B');%VERTICE plot3(RZ2(1),RZ2(2),RZ2(3),'*B');%VERTICE plot3(RZ3(1),RZ3(2),RZ3(3),'*B');%VERTICE plot3(RZ4(1),RZ4(2),RZ4(3),'*B');%VERTICE
1 2 3 4
plot3([RZ1(1);RZ2(1)],[RZ1(2);RZ2(2)],[RZ1(3);RZ2(3)],'B');%ARISTA plot3([RZ1(1);RZ3(1)],[RZ1(2);RZ3(2)],[RZ1(3);RZ3(3)],'B');%ARISTA plot3([RZ1(1);RZ4(1)],[RZ1(2);RZ4(2)],[RZ1(3);RZ4(3)],'B');%ARISTA plot3([RZ2(1);RZ3(1)],[RZ2(2);RZ3(2)],[RZ2(3);RZ3(3)],'B');%ARISTA plot3([RZ2(1);RZ4(1)],[RZ2(2);RZ4(2)],[RZ2(3);RZ4(3)],'B');%ARISTA plot3([RZ3(1);RZ4(1)],[RZ3(2);RZ4(2)],[RZ3(3);RZ4(3)],'B');%ARISTA
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end v1=[2.3483;6.4520;sind(30);1]; v2=[2.0521;5.6382;-1;1]; v3=[1.7559;4.8244;sind(30);1]; v4=[0.7232;6.1218;0;1]; for i=1:12 %ROTACION 120 GRADOS EJE Y Rx=[1 0 0 0;0 cosd(t) -sind(t) 0;0 sind(t) cosd(t) 0;0 0 0 1]; Ry=[cosd(t),0,sind(t),0;0,1,0,0;-sind(t),0,cosd(t),0;0,0,0,1]; Rz=[cosd(t),-sind(t),0,0;sind(t),cosd(t),0,0;0,0,1,0;0,0,0,1];
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t=(i*10)+10 RY1=Ry*v1; RY2=Ry*v2; RY3=Ry*v3; RY4=Ry*v4; plot3(RY1(1),RY1(2),RY1(3),'*R');%VERTICE plot3(RY2(1),RY2(2),RY2(3),'*R');%VERTICE plot3(RY3(1),RY3(2),RY3(3),'*R');%VERTICE plot3(RY4(1),RY4(2),RY4(3),'*R');%VERTICE
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plot3([RY1(1);RY2(1)],[RY1(2);RY2(2)],[RY1(3);RY2(3)],'R');%ARISTA plot3([RY1(1);RY3(1)],[RY1(2);RY3(2)],[RY1(3);RY3(3)],'R');%ARISTA plot3([RY1(1);RY4(1)],[RY1(2);RY4(2)],[RY1(3);RY4(3)],'R');%ARISTA plot3([RY2(1);RY3(1)],[RY2(2);RY3(2)],[RY2(3);RY3(3)],'R');%ARISTA plot3([RY2(1);RY4(1)],[RY2(2);RY4(2)],[RY2(3);RY4(3)],'R');%ARISTA plot3([RY3(1);RY4(1)],[RY3(2);RY4(2)],[RY3(3);RY4(3)],'R');%ARISTA end
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close all clc %ROTACIONES ACTUALES A=30; v1=[cosd(30);0;sind(30);1]; v2=[0;0;-1;1]; v3=[-cosd(30);0;sind(30);1]; v4=[0;2^(.5);0;1]; figure() hold on grid on plot3(v1(1),v1(2),v1(3),'*g');%VERTICE plot3(v2(1),v2(2),v2(3),'*g');%VERTICE plot3(v3(1),v3(2),v3(3),'*g');%VERTICE plot3(v4(1),v4(2),v4(3),'*g');%VERTICE
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plot3([v1(1);v2(1)],[v1(2);v2(2)],[v1(3);v2(3)],'g');%ARISTA plot3([v1(1);v3(1)],[v1(2);v3(2)],[v1(3);v3(3)],'g');%ARISTA plot3([v1(1);v4(1)],[v1(2);v4(2)],[v1(3);v4(3)],'g');%ARISTA plot3([v2(1);v3(1)],[v2(2);v3(2)],[v2(3);v3(3)],'g');%ARISTA plot3([v2(1);v4(1)],[v2(2);v4(2)],[v2(3);v4(3)],'g');%ARISTA plot3([v3(1);v4(1)],[v3(2);v4(2)],[v3(3);v4(3)],'g');%ARISTA
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%INDICACION DE LOS EJES DE COORDENADAS text (6,0,0,'X0'); text (-6,0,0,'-X0'); text (0,6,0,'-Z0'); text (0,-6,0,'Z0'); text (0,0,-6,'-Y0'); text (0,0,6,'Y0'); %LINEAS DE LOS EJES ORIGINALES origen=[0,0,0];
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P1=[6,0,0]; P2=[0,6,0]; P3=[0,0,6]; line([origen(1),P1(1)], [origen(2),P1(2)], [origen(3),P1(3)]); line([origen(1),P2(1)], [origen(2),P2(2)], [origen(3),P2(3)]); line([origen(1),P3(1)], [origen(2),P3(2)], [origen(3),P3(3)]); grid on title('Rodolfo Marcoantonio Etienne Saldaña')
for i=1:6 %TRASLACION DE 6 EN EL EJE X T=[1,0,0,i;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]; T1=T*v1; T2=T*v2; T3=T*v3; T4=T*v4; xlabel('X0'); ylabel('Y0'); zlabel('z0'); plot3(T1(1),T1(2),T1(3),'*y');%VERTICE plot3(T2(1),T2(2),T2(3),'*y');%VERTICE plot3(T3(1),T3(2),T3(3),'*y');%VERTICE plot3(T4(1),T4(2),T4(3),'*y');%VERTICE
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plot3([T1(1);T2(1)],[T1(2);T2(2)],[T1(3);T2(3)],'y');%ARISTA plot3([T1(1);T3(1)],[T1(2);v3(2)],[T1(3);T3(3)],'y');%ARISTA plot3([T1(1);T4(1)],[T1(2);T4(2)],[T1(3);T4(3)],'y');%ARISTA plot3([T2(1);T3(1)],[T2(2);T3(2)],[T2(3);T3(3)],'y');%ARISTA plot3([T2(1);T4(1)],[T2(2);T4(2)],[T2(3);T4(3)],'y');%ARISTA plot3([T3(1);T4(1)],[T3(2);T4(2)],[T3(3);T4(3)],'y');%ARISTA
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end
for i=0:6 %ROTACION DE 70° EN EL EJE Z t=(i*10)+10 T=[1,0,0,i;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]; Rz=[cosd(t),-sind(t),0,6;sind(t),cosd(t),0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]; RZ1=Rz*v1; RZ2=Rz*v2; RZ3=Rz*v3; RZ4=Rz*v4; plot3(RZ1(1),RZ1(2),RZ1(3),'*B');%VERTICE plot3(RZ2(1),RZ2(2),RZ2(3),'*B');%VERTICE plot3(RZ3(1),RZ3(2),RZ3(3),'*B');%VERTICE plot3(RZ4(1),RZ4(2),RZ4(3),'*B');%VERTICE
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end v1=[cosd(30);0;sind(30);1]; v2=[0;0;-1;1]; v3=[-cosd(30);0;sind(30);1]; v4=[0;2^(.5);0;1];
for i=0:12 %ROTACION DE 120° EN EL EJE Y t=(i*10)+10 T=[1,0,0,6;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]; Rz=[cosd(t),-sind(t),0,0;sind(t),cosd(t),0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]; Ry=[cosd(t),0,sind(t), 0;0,1,0,0;-sind(t),0,cosd(t),0;0,0,0,1];
RY1=T*Rz*Ry*v1; RY2=T*Rz*Ry*v2; RY3=T*Rz*Ry*v3; RY4=T*Rz*Ry*v4; plot3(RY1(1),RY1(2),RY1(3),'*R');%VERTICE plot3(RY2(1),RY2(2),RY2(3),'*R');%VERTICE plot3(RY3(1),RY3(2),RY3(3),'*R');%VERTICE plot3(RY4(1),RY4(2),RY4(3),'*R');%VERTICE
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plot3([RY1(1);RY2(1)],[RY1(2);RY2(2)],[RY1(3);RY2(3)],'R');%ARISTA plot3([RY1(1);RY3(1)],[RY1(2);RY3(2)],[RY1(3);RY3(3)],'R');%ARISTA plot3([RY1(1);RY4(1)],[RY1(2);RY4(2)],[RY1(3);RY4(3)],'R');%ARISTA plot3([RY2(1);RY3(1)],[RY2(2);RY3(2)],[RY2(3);RY3(3)],'R');%ARISTA plot3([RY2(1);RY4(1)],[RY2(2);RY4(2)],[RY2(3);RY4(3)],'R');%ARISTA plot3([RY3(1);RY4(1)],[RY3(2);RY4(2)],[RY3(3);RY4(3)],'R');%ARISTA end
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