Ecuaciones Diferenciales Numéricas

Ecuaciones Diferenciales de primer orden Sistemas de ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Taller: MATLAB y Ecuaciones Diferenciales Foro Cultural 2015 FIQ-UADY

Agosto - Diciembre 2015

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Sistemas de ecuaciones diferenciales

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Reacciones de orden cero En algunas reacciones, la tasa de cambio aparentemente es independiente de la concentraci´ on del reactivo. Las tasas de estas reacciones de orden cero no var´ıan con incrementos o decrementos de la concentraci´on del reactivo. Lo cual significa que la tasa de reacci´on es igual a una tasa constante de reacci´ on, es decir el cambio k

A

P

se rige por la ecuaci´on diferencial d[A] = −k dt Note que la ecuaci´on anterior se puede reescribir como y 0 = −k Foro Cultural 2015

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Reacciones de orden cero La soluci´on del problema de valor inicial d[A] = −k dt sujeto a:[A]0 = A0 es decir, cuando inicialmente hay una cantidad [A]0 de reactivo. Es [A] = [A]0 − kt es decir una recta1 . Resolveremos el problema en el caso en que k = 1 y [A]0 = 5

1

o equivalentemente y 0 = −k, sujeto a y(0) = y0 , con soluci´ on y = y0 − kt Foro Cultural 2015

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Reacciones de orden cero En este caso el problema es d[A] = −1 dt sujeto a: [A]0 = 5 y tiene por soluci´on [A] = 5 − t. Esto es la funci´ on f (t) = 5 − t. Para resolver este problema num´ericamente definimos la funci´on f.m, como function dAdt=f(t,A) dAdt=-1 end Y para calcular su soluci´ on num´erica en el intervalo [0, 5], con condici´on inicial [A]0 = 5 escribimos >>a=0;b=5;y0=5;[t,yrk]=rk4(’f’,a,b,y0,50); Foro Cultural 2015

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Reacciones de primer orden Una reacci´on de primer orden es una reacci´ on que procede a una tasa que depende proporcionalmente de solo un reactivo de la concentraci´on. A

k

P

La ecuaci´on diferencial que describe la din´amica de la reacci´on es d[A] = −k[A] dt sujeto a: [A]0 = A0 Mediante t´ecnicas del curso ecuaciones diferenciales se puede mostrar que el problema tiene por soluci´ on [A] = [A]0 e−kt . Foro Cultural 2015

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Reacciones de primer orden Para resolver num´ericamente, consideremos la ecuaci´on anterior en el caso en que k = 0.4 y la cantidad de inicial del reactivo es 1, con lo anterior el problema de valor inicial a resolver es d[A] = −0.4[A] dt sujeto a: [A]0 = 1 Definimos la funci´on f.m, como function dAdt=f(t,A) dAdt=-0.4*A end Y para calcular su soluci´ on num´erica en el intervalo [0, 5], (pueden elegir otro) con condici´ on inicial [A]0 = 1 escribimos >>a=0;b=5;y0=1;[t,yrk]=rk4(’f’,a,b,y0,50); Foro Cultural 2015

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Pr´actica

Ejercicio Compare la soluci´ones obtenidas con los c´ odigos euler.m y rk4.m del P.V.I. d[A] = −0.4[A] dt sujeto a: [A]0 = 1 con su soluci´on exacta [A] = e−0.4t

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Pr´actica Ejercicio Resuelva el problema de valor inicial d[A] = −k[A] dt sujeto a: [A]0 = A0 Para cada uno de los casos: a) k = 0.9 b) k = 0.5, c) k = 0.2 Considerando la misma condici´ on inicial [A]0 = A0 , elegida por ustedes, en todos los casos. ¿Qu´e observa del comportamiento de la soluci´ on? Foro Cultural 2015

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Reacciones de segundo orden En una reacci´on de segundo orden, la suma de los exponentes en la tasa de ley es igual a dos. Veamos dos casos: Caso 1. Reactivos iguales A+A

k

P o equivalentemente, 2A

k

P

En este caso la ecuaci´ on diferencial y la condici´ on inicial son: 1 d[A] = −k[A]2 2 dt sujeto a: [A]0 = A0 1 1 = + 2kt, [A] [A]0 [A]0 despejando obtenemos la funci´ on [A] = 1 + 2kt[A]0 El problema anterior tiene por soluci´ on

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Para resolver num´ericamente, consideremos la ecuaci´on anterior en el caso en que k = 0.4 y la cantidad de inicial del reactivo es 2, con lo anterior el problema de valor inicial a resolver es 1 d[A] = −0.4[A] 2 dt sujeto a: [A]0 = 2 Definimos la funci´on f.m, como function dAdt=f(t,A) k=0.4; dAdt=-2*k*A^2; end Y para calcular su soluci´ on num´erica en el intervalo [0, 5], con condici´on inicial [A]0 = 2 escribimos >>a=0;b=5;y0=2;[t,yrk]=rk4(’f’,a,b,y0,50); Foro Cultural 2015

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Pr´actica Resolviendo el caso 2. Reactivos diferentes A+B

k

P

En este caso la ecuaci´ on diferencial es d[A] = −k[A][B] dt Suponiendo que la concentraci´ on inicial de los reactivos es diferente, es decir, [A]0 6= [B]0 . Sea x la concentraci´on de cada especie que reaccion´o al tiempo t, y sea [A]0 = a, [B]0 = b, entonces la cantidad de cada reactivo al tiempo t es [A] = a − x

[B] = b − x

respectivamente Foro Cultural 2015

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Pr´actica

Por lo que la ecuaci´on se puede reescribir como dx = k(a − x)(b − x)sujeto a: x(0) = x0 dt   1 b(a − x) ln tiene por soluci´on −kt = , despejando b−a a(b − x) obtenemos la funci´on x(t) =

b(a − x0 )ekt(a−b) + a(x0 − b) ekt(a−b) (a − x0 ) + x0 − b

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Modelo predador-presa El siguiente modelo matem´atico, representa la din´amica o interacci´on entre una poblaci´ on de conejos (R) y zorros (F) dR = aR − bRF dt dF = −cF + dRF dt sujeto a:R(t0 ) = R0 , F (t0 ) = F0 Para una ilustraci´on num´erica de la Para una poblaci´on inicial de Presas R0 = 3000 y de Predadores F0 = 1000 (a escala 1:1000), en un intervalo 0, 100 y para los valores a = 0.4, b = 0.37, c = 0.3, d = 0.05 de las constantes.

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Para resolver num´ericamente definimos function W=Fs(t,Z) %Modelo predador presa R=Z(1); F=Z(2); a=0.4; b=0.3; c=0.37; d=0.05; dRdt=a*R-b*R*F; dFdt=-c*F+d*R*F; W=[dRdt dFdt];

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M´ecanismos cin´eticos y leyes de cambio La reacci´ on compleja m´as simple consiste de dos pasos elementales consecutivos e irreversibles A

k1

B

k2

C

Como por ejemplo el decaimiento radiactivo. Este es uno de los pocos casos donde se puede resolver las ecuaciones de manera anal´ıtica, es decir, encontrar las concentraciones de A, B y C en funci´ on del tiempo.

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El sistema de ecuaciones diferenciales que representa la din´amica de los elementos es d[A] = −k1 [A] dt d[B] = k1 [A] − k2 [B] dt d[C] = k2 [B] dt sujeto a: [A] = [A]0 , [B] = [C] = 0 Y en todo el tiempo [A] + [B] + [C] = [A]0 Resolvamos este problema cuando las constantes k1 = 1 y k2 = 0.1

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