Ecuaciones Diferenciales Aplicaciones Modelos matematicos

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER


ECUACIONES DIFERENCIALES


APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES
MODELOS MATEMÁTICOS

DOCENTE: LEONARDO VIVIESCAS

EMMANUEL JOSEPH CAMACHO FLOREZ 2140421
LUIS CARLOS PARADA GONZÁLEZ 2141797
NICOLAS FELIPE PINTO VEGA2141772





BUCARAMANGA, COLOMBIA
20/01/2016

Introducción
Las ecuaciones diferenciales son tan versátiles que su aplicación no se limita a un solo ámbito de investigación u objeto de estudio, con lo que su estudio conllevó a la mejor comprensión de los fenómenos naturales, como también una poderosa herramienta conceptual de análisis para todo tipo de situaciones que se puedan presentar.
Se hará un recorrido por los modelos matemáticos más generales en donde las ecuaciones diferenciales aplican y son la columna vertebral de un rama concreta de investigación en diversos campos de la ciencia y la ingeniería.



















MEZCLAS
Las soluciones químicas, entendiéndose estas como un sistema homogéneo formado por un soluto y un solvente, estando este último en mayor proporción respecto al primero, con lo cual apreciamos que las soluciones química conllevan la necesidad de comprender el concepto de concentración, la cual no es más que la relación entre la cantidad de soluto y la cantidad de solvente; las ecuaciones diferenciales resultan ser una herramienta muy útil para estudiar el comportamiento de las mezclas de dos o más soluciones en un recipiente, bajo ciertas condiciones.
El estudio de este tipo de aplicación de las ecuaciones diferenciales nos ocupa más concretamente a una ecuación diferencial de primer orden, (se tomará de ahora en adelante la sal como soluto en el estudio de mezclas pero cabe resaltar que se igualmente aplicable a todo tipo de soluciones homogéneas), la cual en si su modelado matemático genera el cuerpo vertebrador de la literatura asociada a este caso particular de aplicación ya que en el se aprecia que el análisis gira entorno a la variación de la cantidad de soluto presente en la mezcla en todo momento, siendo este un cambio que puede ser ínfimo como gigante, ello depende de las razones a las cuales se ingrese o expulse la solución en el tanque.
dXdt=razón de entrada-razón de salida=REntrada-RSalida
Observamos pues que la variación de la cantidad de soluto dXdt depende en grado sumo de las razones de entrada y salida en el tanque, siendo así una ecuación de primer orden que como se verá más delante de fácil solución al ser de variables separables.
En un modelo teórico y muy general se constará de un tanque con una cierta capacidad el cual alojará una solución de salmuera (Agua-Sal) que variará su contenido en sal a medida que se bombee agua o más salmuera con una determinada concentración y a un determinado caudal el resultado de esto conllevará a que tengamos una "RATA" de entrada o bien podemos comprenderla como razón de entrada, REntrada, (RATA, término usado en el argot de la ingeniería química para describir un caudal bombeado a una mezcla).
REntrada=Concentración en sal del flujo.velocidad del flujo
Asocio el término flujo a la solución que está siendo bombeada.
Un ejemplo para su fácil comprensión puede ser que a un tanque se bombean 4 libras de sal por galón a una tasa de 8 galones por minuto; en este caso podemos apreciar fácilmente que la razón de entrada será 32 libras por minuto, debido a que:
REntrada=4lbgal*8galmin=32lbmin
Lo banal del ejemplo no puede ser ápice para una trivialización de la aplicación en sí misma, dado que nos muestra una forma muy práctica de hallar estas razones de entrada y salida.
Ahora para la razón de salida, se tiene que proceder con más detenimiento y cautela ya que establecer la razón a la que sale no implica ser la misma cantidad que entra en cuanto a concentración de soluto, una vez en el tanque la mezcla tiene una concentración en sal que varía en todo momento debido a que se está bombeando hacia ella salmuera, con lo cual se debe conocer la cantidad de agua presente y la razón a la que se quiere expulsar el contenido del tanque, siendo así que la concentración, cuya denominación puede ser: c(t), será:
ct=X(volumen del tanque)lbgal
Con lo que queda definida la razón de salida de salmuera como:
RSalida=ct*(Velocidad de flujo)
Un ejemplo de esto puede ser el siguiente: Se tiene un tanque con 200 galones de agua en el cual se ha disuelto una cantidad de sal, y se quiere bombear hacia afuera a razón de 8 galones por minuto.
Se aprecia entonces que tendremos una concentración c(t)=X200 lbgal y una velocidad de flujo 8 galmin
Con lo que se tendrá entonces una razón de salida:
RSalida=X200lbgal*8galmin=X25 lbmin
Aunando los ejemplos anteriores se puede obtener que la mezcla se regirá bajo la expresión:
dXdt=32-X25 lbmin

Para determinar la cantidad de sal en todo momento se procede a resolver dicha ecuación diferencial para esto, y aunque no evidente a la primera, se procede como una ecuación diferencial de variables separables.
dXdt=800-X25
Despejando variables y tomando integral a lado y lado de la expresión:
dX800-X=dt25
Lo cual resolviendo las integrales correspondientes se obtiene que la cantidad de sal X(t) será:
Xt=800-Ce-t25
Se aprecia que la aparición en escena de una constante C de la cual no se ha hecho mención en ningún momento hasta ahora pueda generar confusión, para dar claridad sobre esta cuestión se puede determinar la constante C teniendo conocimiento de las condiciones iniciales de la mezcla, que más concretamente se refiere a una determinada concentración al cabo de un tiempo t , que puede tomar el valor 0, siendo la cantidad en principio disuelta en el tanque.

VARIANTES DEL MODELO:
Se ha realizado el modelado para una situación teórica e ideal que conlleva a una generalización del modelo matemático asociado a la mezclas de soluciones, pero a la hora de estudiar el comportamiento empírico de esta situación no siempre se tendrán casos ideales donde la aplicación del modelo no pase de ser establecer una expresión y resolver, en algunos casos las condiciones imperantes en la mezcla obligan a tener en cuenta factores de tiempo, concentración y capacidad del tanque, siendo así que el meollo de la cuestión radica en las razones de entrada y salida de la solución, siendo éstas el patrón de comportamiento que asumirá la concentración del soluto en la mezcla, y esto se debe a lo siguiente: en el caso mencionado como general y teórico se tenían razones de entrada y salida de igual magnitud , 8galmin, ello conlleva a que en todo momento se mantienen los 200 galones en el tanque dado que lo que se ingresa es lo mismo que luego es expulsado.
Las diferentes formas en que se puede encontrar esta situación con llevan en cada caso un análisis puntual de cierta condición diferente a la general, siendo así que las siguientes serán las situación atípicas encontradas más interesantes como objeto de estudio.
-Dos o más fuentes de entrada: Se puede encontrar un caso en el que el bombeo de salmuera al tanque se lleve a cabo mediante varios conductos, que pueden encontrarse todos dispares en cuanto a concentración y velocidad de flujo, para esto se entrevé que la razón de entrada, REntrada, no será establecida por un único conducto, lo que nos lleva a establecer que la razón de entrada final al tanque será la suma de las razones de entrada al tanque.
Visto con un ejemplo más clarificador: A un tanque mediante tres tuberías se conduce agua a razón de 3 gal/min, 2 gal/min, 4gal/min cuyas concentración son respectivamente, 1lb/gal, 3lb/gal y 2.5lb/gal; establecer la razón de entrada al tanque
Como se mencionó anteriormente para llegar a este resultado se deben sumar las respectivas razones de entrada por cada tubería para así obtener la razón final de entrada:
R1=3galmin*1lbgal=3lbmin
R2=2galmin*3lbgal=6lbmin
R3=4galmin*2.5lbgal=10lbmin
REntrada=19lbmin
Es igualmente aplicable para diferentes fuentes de salida de la solución, siendo así que se pueden encontrar situaciones en las que la entrada y salida de salmuera no esté condicionada a un único camino.
-Desigualdad en las razones de entrada y salida: Hasta el momento el análisis se lleva a cabo tomando como iguales los bombeos de entrada y salida, con lo que la cantidad de solución en el tanque no se ve afectada en ningún momento, bien sea que tenga una sola o varias entradas o salidas, pero en las situaciones en las cuales se bombea solución a mayor razón de entrada que de salida o viceversa se tendrán situaciones críticas que deben ser analizadas en función de la situación imperante; como se observará al final repercuten en el análisis de la razón de salida, dado que si:
REntrada>RSalida ; vemos que se obtendrá entonces que a medida que discurra el tiempo la cantidad de solución en el tiempo irá incrementando ya que no se desaloja lo mismo que se ingresa, para este caso cuando se establece la razón de salida se debe tener en cuenta que el volumen de variará en función de la diferencia de las razones de flujo por unidad de tiempo es decir:
(Flujo de entrada-Flujo de salida)t; con lo que la concentración queda definida como :
Xvolumen del tanque +fe-fst
Con lo que al final resulta una ecuación diferencial de primer orden que puede resolverse siguiendo el tratamiento aplicado a ecuaciones diferenciales lineales.
Cabe notar que se tendrá un limitante en la situación y es en el momento en que la capacidad del tanque se vea sobrepasada por la cantidad de salmuera en él, en dado caso, se evacuará el sobrante de salmuera desbordándose por los lados del tanque, haciendo así que no se tenga precisión a la hora de determinar la concentración del soluto en la solución.
REntrada= 0. Es evidente que dicho número P (t) varía con el tiempo, pues en todas las poblaciones se cumple el ciclo biológico nacimiento-crecimiento-reproducción-muerte, sin importar la especie que observemos (pueden ser bacterias, hongos, conejos, animales en peligro de extinción, poblaciones humanas de lugares de todo el mundo...). Lo que más afecta a P (t) son los nacimientos y las muertes, aunque otros fenómenos como la migración también lo afectan. Vale la pena aclarar que P(t) es un número entero, pues representa la cantidad de habitantes (que denominamos población).
Se tiene por tanto una expresión lineal en el cual la tasa de variación en la población es proporcional al número de habitantes que posea esa población, expresado de manera más típica:
dPdt=kp
Siendo k una constante de proporcionalidad que varía en función del entorno y las condiciones a las que esté sujeta dicha población, de su valor se desprende el hecho que la población crezca o decrezca ya que al resolver la ecuación diferencial;
Pt=Cekt
El valor de C se determina en virtud del número de habitantes que tiene en un principio la población de estudio, P0, con lo que reescribiendo la expresión mostrada tenemos que la una población estará regida bajo la expresión:
Pt=P0ekt
Apreciando ahora sí que un valor negativo de la constante de proporcionalidad k, es decir, k 0, indicará que a medida que pasa el tiempo la población decrecerá a razón de ekt, en el caso contrario con k 0 se aprecia una tendencia al crecimiento en igual razón ekt.
Aunque es bien sabido que un comportamiento poblacional no se da en la mayoría de los casos se usa para el estudio del crecimiento o decrecimiento de pequeñas poblaciones en intervalos no muy amplios de tiempo.
También cabe notar que esta aplicación de las ecuaciones diferenciales es igualmente aplicable para la desintegración de isótopos radioactivos que mirando desde cierta óptica es en sí un problema de decrecimiento de átomos de un elemento, la expresión comúnmente usada es la expresión
dAdt=kA
Siendo A la cantidad de sustancia en un tiempo t, se suele asociar también esta expresión en la determinación de la edad por medio del método del carbono 14 que en sí representa tener el mismo tratamiento para dinámica poblacional.

VARIANTES DEL MODELO:
Como se mencionó anteriormente el hecho de que las poblaciones no crezcan o decrezcan a una tasa constante en todo momento, pero si a pequeños intervalos y en una población pequeña, ello nos lleva a indagar a cerca de lo que sucede cuando la interacción de los elementos conformadores de la especie, con el entorno repercuten de manera que su comportamiento poblacional no sea siempre proporcional al alza o la baja, con lo cual se entiende entonces que bajo condiciones de entorno.
-Difusión de una enfermedad: Una enfermedad se debe a que un virus entra en un sistema vivo con el fin de reproducirse, generando en el sistema una afectación que lo lleva a un decaimiento, en el caso de los humanos en un detrimento de la salud, con lo que la expresión que rige la difusión, de manera muy general, de una enfermedad es una ecuación diferencial de variables separables donde nuevamente se aprecia el carácter proporcional del crecimiento del virus en un población, con la variante de que este crecimiento está supedito a la interacción entre personas x(t) que han tenido contacto con la enfermedad y y(t) personas que no han tenido contacto alguno con la enfermedad, asumiendo que el número de interacciones es "conjuntamente proporcional" como denomina Zill, "Matemáticas avanzadas para ingeniería", expresado en la forma diferencial:
dXdt=kxy
A su vez una variante de este caso particular consiste en la condición que para una determinada población de un número fijo de habitantes que en principio se encuentren sanos, y la aparición de una persona enferma que interaccione con esta población nos lleva a establecer que si n es el número fijo de personas x+y=n+1; despejando y asociando con la expresión diferencial anterior obtenemos que para este caso:
dXdt=kx(n+1-x)
Partiendo de la premisa evidente que x(0)=1.

-Modelo de crecimiento logístico: Como es lógico pensar en un entorno no se puede dar cabida a infinidad de individuos de una población por lo que el número de ésta se verá mermado en su crecimiento debido a la capacidad de carga ambiental K, y el parámetro r o tasa de crecimiento neto; siendo así que el modelo de crecimiento logístico resulta en un método más fiable para estudiar el comportamiento poblacional de manera que se haga más estricto este análisis.
dPdt=rP1+PK
Del estudio de esta ecuación logística se han llegado a resultados muy precisos en diferentes poblaciones grandes en un espacio reducido como bacterias entre otras.
La solución a esta ecuación queda definida, tras el tratamiento algebraico necesario como:


-Modelos con restricción: Son en esencia una modificación de la ecuación logística agregando un término que involucre parámetros asociados a la razón de cosecha o "harvesting rate" , este término puede estar asociado a la población en sí o al tiempo siendo así que su introducción no altera el análisis previo pero si lo nutre para sacar conclusiones a eventos futuros.
La expresión diferencial que rige este caso es la misma ecuación logística con el parámetro h, sumando o restando según sea el caso, bien se puede cosechar como abastecer a la población de estudio.
dPdt=rP1+PK ± h
Puede ser lícito aquí, agregar la ecuación diferencial de Gompertz, que se ajusta de igual medida a la ecuación logística en cuanto a parámetros de estudio pero con la diferencia en la estructura algebraica que posee:
dPdt=rPlnKP
Que serviría de puente entre la ecuación proporcional de crecimiento o de Malthus y la logística de Verhults.
Se puede entonces encontrar variaciones a este tipo donde se tome en cuenta el comportamiento de las variables estudiadas, tales como crecimiento con colapso y crecimiento con oscilación, dado que son de un carácter más avanzado y no tan concerniente al ámbito divulgativo de este trabajo recomiendo su profundización en textos tales como "Simulation of the dynamics of biological populations: A Systems dynamic approach" , Gianpaolo Orlandoni Merli.


CASO PROBLEMA
Consignado en el libro "Matemáticas avanzadas para ingeniería", Dennis Zill, se plantea el siguiente problema:
Un modelo de la población P(t) que vive en un suburbio de una gran ciudad está dado por el problema de valor inicial
dPdt=P(10-1-10-7P) P(0)=5000
Donde t se mide en meses. ¿Cuál es el valor limitante de la población? ¿En qué momento la población será igual a una mitad de ese valor limitante.

Solución: Haciendo uso de la solución planteada por el autor, en la que mediante fraccione parciales se resuelve la expresión integral, teniendo al final como solución general:

Pt=aPobPo+(a-bPo)e-at
Siendo para este caso a=10-1 y b=10-7, se tiene entonces una función para la población denotada como:
Pt=500(0,0005+0,0995e-0.1t)
Se tendrá una población limitante al cabo de un tiempo muy grande, aplicado a las matemáticas decimo que t , con lo que al hacerlo se tiene una población limitante de P(t )=1000000
500000=500(0,0005+0,0995e-0.1t)
Despejando t de la expresión anterior, se alcanzará la mitad de la población limitante al cabo de t=52,93 meses






MODELO DEPREDADOR-PRESA
Como se evidenció en el tema anterior el crecimiento de una población está limitado a parámetros ajenos a él como es el entorno y como se verá ahora su interacción con otras especies, ya sea mutualismo, parasitismos entre otras, afecta negativa o positivamente dependiendo la relación que sea, en este caso concreto la interacción en un mismo entorno de una población depredadora y una población presa, repercutirá en que una población crezca más que la otra si bien la segunda, presa, no puede crecer al mismo ritmo en que es consumida, para esto las ecuaciones diferenciales son una herramienta útil en el estudio de la dinámica poblacional como se ha visto anteriormente; para el caso que nos ocupa este modelo se rige la expresión diferencial:


Donde x e y son presa y depredador respectivamente, los coeficientes asociados a las expresiones asocian la interacción del entorno con el depredador y presa y son como sigue:
α: tasa de crecimiento de las presas.
β: éxito en la caza del depredador.
γ: tasa de decrecimiento de los depredadores.
δ: éxito en la caza y cuánto alimenta cazar una presa al depredador.
Un estudio más detallado de las expresiones nos lleva a concluir que no se puede hacer un análisis separado de la población depredadora sin tomar en cuenta a la población presa y viceversa, dado que ambas poblaciones están íntimamente ligadas, con lo que su existencia es compartida y necesaria, claro que está que en menor medida la población presa, que es a fin de cuentas la que más ve alterada su número.
La resolución de esta ecuación en función del tiempo arroja un resultado que muestra la realidad de la tendencia de ambas poblaciones; se realizó mediante software Python, donde bajo condiciones α=0.1, β=0.02, γ=0.3 y δ=0.01 y poblaciones iniciales de Xo=40 Yo=9 de la solución hallada se graficó la curva solución:

Fuente: http://pybonacci.org/2015/01/05/ecuaciones-de-lotka-volterra-modelo-presa-depredador/
En esta gráfica se muestran dos funciones que cada una guarda relación respecto del tiempo. Cada curva presenta unos máximos periódicos pero éstos están desplazados los unos respecto de los otros. Este fenómeno es debido a que existe un desfase en el tiempo entre la evolución de ambas especies, ya que primero ha de crecer la especie presa para que la depredadora tenga alimento y pueda llegar a su máximo, haciéndolo más tarde que la especie anterior. Una vez que la especie depredadora alcanza su máximo es cuando la especie presa empieza a descender y por consiguiente el alimento empieza a escasear, lo que produce una disminución de la población de la especie depredadora; aunque dicho suceso se producirá con más lentitud respecto de la presa. Esto se observa en la gráfica, puesto que la pendiente azul es mucho más acentuada que la roja, por lo tanto la especie presa alcanza antes el mínimo. Otra forma de verlo, haciendo uso nuevamente del software Python solo que ahora el número de presas en función de los depredadores, para cambiar el enfoque temporal por un enfoque más cuantitativo en cuanto al número de unas y otras:

Fuente: http://pybonacci.org/2015/01/05/ecuaciones-de-lotka-volterra-modelo-presa-depredador/
Si nos fijamos en la línea azul, la coordenada x en cada punto indica el número de presas y la coordenada y el número de depredadores. La evolución a lo largo del tiempo que hemos representado antes, se obtiene al recorrer esta curva en sentido anti horario. Podemos ver también como el campo de direcciones nos señala la tendencia del sistema en cada situación. Por ejemplo, una flecha que apunta hacia arriba a la derecha indica que con ese número de presas y depredadores, la tendencia será que aumenten ambos.
Se podría llegar a pensar que la variación del número inicial de presas y depredadores generará un cambio ostensible en la curva solución pero con una iterativa a la misma expresión diferencial nos lleva al campo de curvas solución:

Fuente: http://pybonacci.org/2015/01/05/ecuaciones-de-lotka-volterra-modelo-presa-depredador/

El entorno cada vez más cerrado que se aprecia en el campo de curvas solución se debe a que en una pequeña región del espacio se llega a un punto crítico o de equilibrio donde el número de presas y depredadores se mantendrá estable, en este caso en torno al punto [30,5], se evidencia este hecho.

VARIANTES DEL MODELO:
Una variante del modelo que se aproxime a un comportamiento más real en tanto a la presa que es el eje fundamental de estudio en este caso, se debe a que en el modelo anterior se plantea un crecimiento exponencial y sin más restricciones que los propios depredadores, asociando ahora este crecimiento a un crecimiento que siga la ecuación logística que asocia valores propios del entorno no tomados en el caso anterior como la comida de la presa y territorio de esta, siendo así que se reescriben las ecuaciones diferenciales para el modelo depredador presa de la siguiente forma:
dxdt=(αx-rx2)-βxy
dydt=-γy+δyx
Haciendo uso nuevamente del software Python y nuevamente realizando el mismo procedimiento que el caso anterior se observa una diferencia en cuanto al comportamiento poblacional que se experimenta en comparación, pero que es como se evidencia que el modo que en se comporta la presa hace que el depredador actúe de igual manera, siendo entonces como sigue bajo las siguientes gráficas:


Fuente: http://pybonacci.org/2015/01/05/ecuaciones-de-lotka-volterra-modelo-presa-depredador/
Como se observa ya no se tiene un comportamiento periódico a lo largo del tiempo sino más bien oscilante y amortiguado en tanto se avanza en el tiempo; en tanto al campo de direcciones creado por la expresión vemos que el punto antes mencionado como crítico donde se alcanzaría un equilibrio es ahora un punto "atractor" y nuevamente la solución tiene a estabilizarse en torno a un número fijo de presas y depredadores. En tanto aplicar este cambio arroja resultados más realistas y fidedignos al modelo de crecimiento de una población y el como la alteración de ésta afecta a la población predadora de ésta, en tanto que las ecuaciones diferenciales se posicionan como una gran herramienta para su uso y análisis.



REACCIONES QUÍMICAS
Una reacción química consiste en el cambio de una o más sustancias en otra(s). Los reactantes son las sustancias involucradas al inicio de la reacción y los productos son las sustancias que resultan de la transformación. Llegados a este punto es lógico pensar que una reacción química a grandes rasgos es la descomposición de una sustancia en moléculas de menor tamaño, y dicha descomposición se lleva a cabo a una determinada velocidad y será proporcional a la cantidad de la sustancia primera que no ha entrado en descomposición aún, para este caso tendríamos una ecuación de primer orden donde X(t) indica la cantidad de sustancia presente en todo momento con lo que su expresión diferencial asociada sería de la forma: dXdt=kX siendo k una constante negativa debido a la paulatina decaimiento de la sustancia con el tiempo, este modelo queda rezagado al modelado matemático aplicado para desintegraciones radioactivas o reacciones simples con un único agente controlador en la reacción.
Para el caso en que la reacción química estudiada sea más compleja involucrando más reactantes que en el entorno global afecten al producto final obtenido queda obsoleto este primer planteamiento, con lo que se hace necesario utilizar un modelo más real donde nuevamente se aplique la descomposición proporcional de los elementos pero tomando en cuenta las cantidades restantes en todo momento, dicho de otra forma y con lenguaje más técnico se obtienen las expresiones:
dXdt=k(α-X)(β-X)
Esta expresión resulta de tomar como modelo general dos sustancias, A y B reactantes cada una con una cantidad en gramos a y b respectivamente, si se tiene una proporción de tal modo que hay M partes de A y N partes de B que al entrar en reacción forman parte del compuesto y X(t) representa la cantidad en gramos de la sustancia C formada, resulta factible pensar que la cantidad en gramos presentes en todo momento se denote como:
a-MM+NX y b-NM+NX
Cumpliendo con la ley de acción de la masa, la tasa de reacción satisface que:
dXdt a-MM+NX b-NM+NX
Simplificando de tal modo que separamos los coeficientes que acompañan a la X del primer y segundo factor e introducimos la constante de proporcionalidad k>0; se asocian, a modo de simplificar la expresión comprimimos todo en los términos
α=aM+NM y β=bM+NN
Lo que nos lleva inmediatamente a la expresión primera o bien llamada reacción de segundo orden; como se aprecia no es lineal con lo que su progreso a lo largo del tiempo no tiene una tendencia lineal, en virtud de las cada vez menos cantidad de cada sustancia a la par que las partes de cada una involucradas.

VARIANTES DEL MODELO
Se puede encontrar una variante al modelo de reacciones química cuando se estudian los balances de masa y energía, existiendo para estos conceptos dos sendas leyes física que aunque simples en su concepción tienen una gran profundidad en su aplicación teórica, modelando la estructura con que las cosas interactúan y dan forma a la naturaleza, siendo así que en el campo de la ingeniería química podemos encontrar estos problemas expresados en forma de ecuaciones diferenciales que siguen el tratamiento matemático de una reacción de primer orden, para estos casos se estudia la variación de concentración de materia por unidad de tiempo, ejemplo, contaminación de un lago, tomando como preceptos las cantidades presentes, entrantes y salientes de agentes contaminantes.
Se introduce en estas variantes el concepto de flujo de masa o m.
Para medir el flujo de masa entrante se usa también la concentración medida en unidades de masa/volumen. Habitualmente se conoce el caudal de entrada por unidad de tiempo Qe(t), medido en unidades de volumen/tiempo y la concentración de entrada ce(t), todo ello en cada instante t. De este modo m=Qetce(t); se nota que las unidades tratadas en este caso son masa/tiempo
Se tiene por tanto dos modelos que aunque estudian lo mismo se diferencian en su carácter, siendo así que se tiene:
-Balances en Estado estacionario: Un estado estacionario es aquel en el que las concentraciones y el volumen no cambian con el tiempo: la concentración y caudal de entrada son constantes y el caudal de salida es constante e igual al de entrada, y por lo tanto la concentración en la región de control del volumen es constante. Así pues, para los sistemas estacionarios
dmdt=0;
-Balance en Estado no estacionario: Los estados no estacionarios son aquellos en los que los caudales de entrada o salida comienzan o paran en un cierto momento, o la concentración de entrada varía de un momento a otro, o hay variación de volumen en la región de control de volumen. Para los sistemas no estacionarios,dmdt 0 , de modo que la acumulación mide la variación de la cantidad de materia en relación al tiempo.


En el caso de los balance de Energía se tiene a expresión diferencial donde la tasa de variación de energía resulta ser la diferencia de la energía entrante y saliente en el sistema; para este caso se pueden aplicar todo tipo de sistemas térmicos donde cada vez se puede ir aumentando el grado de dificultad en la resolución, sin embargo se estudiará en sí el mismo fenómeno.
dEdt=Ee-Es

CASO PROBLEMA:
En base a un problema planteado en el libro "matemáticas avanzadas para ingeniería", Denis Zill, se resuelve el siguiente ejercicio:
Dos productos química A y B se combinan para formar un nuevo producto químico C. La tasa, o velocidad, de la reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que no se han convertido en el químico C. En un principio hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se usan 2 gramos de A. Se observa que se forman 10 gramos de C en 5 minutos. ¿Cuánto se forma en 20 minutos?, ¿cuál es la cantidad limitante de C después de un tiempo largo?, ¿qué cantidad de los química A y B permanece después de un gran tiempo?
Solución:
Partiendo de las expresiones establecidas en el modelado matemático para reacciones de segundo orden se establece que M=2 partes de A y N=1 partes de B en la reacción, se tiene entonces que variación del compuesto C en función de su cantidad en gramos X(t)
dXdt 40-23X50-13X
Simplificando la expresión de modo que dividiendo el primer término entre 13 y el segundo entre 23 y agregando la constante de proporcionalidad obtenemos la siguiente expresión.
dXdt=k120-2X150-X
Se aprecia que tenemos pues una ecuación diferencial de variables separables, con ayuda de fracciones parciales establecemos la expresión integral:
190dX(120-2X)-1180dX150-X=kdt
Con lo cual nos quedamos con la expresión:
ln150-X120-2X=180kt+C1 o 150-X120-2X=C2e180kt
Haciendo uso de las condiciones iniciales tales que X(0)=0 y X(5)=10; encontramos en tal que C2=1,25 y k=0,0001259 con lo cual tenemos la expresión implícita:
150-X120-2X=e180ktC2
Tras el tratamiento algebraico de rigor para despejar la variable X y así quedar la función
Xt=150-150e180kt1-2,5e180kt
Con lo cual para un tiempo t=20 minutos tendremos X(20)=29,32 gramos del compuesto C.
Para determinar la cantidad del compuesto C presente al transcurrir un tiempo largo, se aplica entonces la regla de L'Hopital, que es como se recordará derivar tantas veces hasta que no se encuentren indeterminaciones, hecho esto se llega a la conclusión que si t ; X60.
Transcurrido un tiempo muy largo en la reacción estarán presentes las siguientes cantidades de las sustancias A y B, sabiendo que se obtienen al final 60 gramos de C
40-2360=0 gr de A 50-1360=30 gr de B



MOVIMIENTO. APLICACIONES GEOMÉTRICAS
Movimiento: El estudio del movimiento utilizando ecuaciones diferenciales llevado a cabo a cuerpos que se desplazan en un campo ya sea gravitatorio o magnético llevan asociado de manera intrínseca las leyes de Newton, las cuales estipulan que un cuerpo tiende a permanecer en su estado de reposo o con velocidad uniforme si no se ve afectado por una fuerza externa, es decir para una situación de equilibrio se tiene que inFn=0; en caso que este equilibrio se rompa, siguiendo la segunda ley de Newton sabemos que la resultante de esta fuerza será proporcional a la aceleración, siendo la masa del mismo cuerpo el coeficiente de proporcionalidad en este caso es decir F=m.a ; llevando el estudio del movimiento a un terreno donde la utilidad de las ecuaciones diferenciales se pueda usar sería en el estudio de la caída libre de un cuerpo, en donde la caída viene regida por la acción de la gravedad en el peso del cuerpo que cae, pero a su vez se ve afectado por la resistencia al medio en que caiga, bien puede ser agua o aire, todo medio genera una resistencia al paso del cuerpo, con lo cual la fuerza resultante tendría que estar acompañada de esta resistencia aportada por el medio, hecho que no cambia el resultado final del producto de la masa por la aceleración.
La acción de la gravedad radica en que la fuerza que se ejerce en la caída es la generada por el peso que cercanías a la tierra es W=mg, siendo m la masa del cuerpo y g la gravedad de la tierra, en este caso; la resistencia al paso del cuerpo por parte del medio se ha establecido que es proporcional a la velocidad, con lo cual R v ;R=-kv, siendo k una constante de proporcionalidad dependiente de cada medio, el signo negativo indica solamente que, en este caso de caída libre, el medio es opuesto al movimiento en sí, con lo cual reescribiendo la segunda y sabiendo que la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo tenemos la expresión diferencial:
Fneta=W-kv=mg-kv
mg-kv=mdvdt
Obteniendo así una ecuación diferencial de primer orden en que se asocia la velocidad del cuerpo con su masa y la resistencia del medio en que se desplaza; si queremos estudiar la posición del cuerpo para el mismo criterio basta únicamente con sustituir la velocidad como al derivada de la posición s(t) con respecto al tiempo es decir:
mg-kdsdt=md2sdt2
Quedando entonces una ecuación diferencial de segundo orden que relaciona la posición del cuerpo con su masa y la resistencia del medio en que se mueve.



Aplicaciones Geométricas: En ese aspecto se encuentra factible el uso de las ecuaciones diferenciales cuando se quiere establecer curvas que cumplan con ciertas características o condiciones ya sea en el plano cartesiano en su inmensidad o con cualquier otro plano, su modelo matemático no resulta fácil ya que no es única la situación a resolver, bien sea que se busca toda una familia de curvas que pasen por un punto y sean tangentes u ortogonales a un plano, pero aun así se tiene la noción de que al hablar de tangencias y perpendicularidades el concepto de pendiente es inherente a ellas, con lo que por añadidura y definición las expresiones diferenciales estarán siempre presentes.
Bien puede ser complicado establecer un único modelo que asocie los demás en cuanto a problemas geométricos se trata, resulta notorio la aplicación de las ecuaciones diferenciales cuando se trata de encontrar familias ortogonales a otra ya dada de forma que en todo punto de interceptación de las dos familias estas sean perpendiculares.
Se dice que una familia de curvas F(x,y)=C, siendo C un parámetro cualquiera, se puede establecer una ecuación diferencial al derivar implícitamente la función quedando la expresión:
F xdx+ F ydy=0
El concepto de pendiente asocia la tasa de variación de una variable en función de otra, con lo que para esta expresión diferencial la pendiente m estaría definida como:
m=dydx= F y F x
Con lo cual sabiendo que hay condición de perpendicularidad cuando una pendiente es el recíproco negativo de la otra es decir si m'=-1/m; con lo que asociado a nuestro caso la familia de curvas ortogonal a la ya dada será la que cumpla que su pendiente m'
m'=-dydx=- F x F y
Lo que resulta en ser que la familia de curvas ortogonales satisfacen la ecuación:
F ydx+ F xdy=0
Con lo que estableciendo las curvas solución que satisfagan la ecuación diferencial:
Mx,ydx+Nx,ydy=0
Planteamos la ecuación diferencial:
Nx,ydx-Mx,ydy=0
Cuyas curvas solución son ortogonales a la familia de curvas solución de la ecuación anterior.

VARIANTES DEL MODELO:
El estudio del movimiento llevado a cabo, se hizo partiendo de la premisa de una masa constante, que en todo momento tiene siempre la misma cantidad de masa, siendo el general de las situaciones posibles garantes de esta condición o cuanto menos la variación en la masa es tan pequeña que no influya a penas en el resultado final, pero en movimiento como la caída de una gota de lluvia, lanzamiento de cohetes o una trozo de tierra no del todo compacto, una cadena que es halada hacia arriba entre otros se aprecia que la masa no es constante y a medida que va ascendiendo o descendiendo pierde masa con lo que se ve alterada su velocidad, para este caso se debe modificar las ecuaciones atendiendo a este criterio.
En vista que cada situación de masa variable plantea ecuaciones diferentes debido a la disparidad de los elementos de estudio se realizará a continuación una introducción al modelo matemático que rige la caída de una gota de lluvia, más concretamente a la variación de su masa.
Hemos de hacer una suposición acerca de la forma en que la masa de la gota se incrementa con el tiempo. Si la gota va absorbiendo las pequeñas gotitas que encuentra en su camino, entonces
dmdt área×velocidad π r2v=ρnπ r2v=km23v
πr2 es el área trasversal de la gota supuesta esférica
ρn es la densidad de la niebla,
v es la velocidad de la gota
m es la masa de la gota, y ρa es la densidad del agua, m=densidad·volumen=ρa·(4/3)πr3
El valor de la constante de proporcionalidad k es
k=ρnπ(ρa43π)23



En general, supondremos que la razón del incremento de la masa de la gota con el tiempo es de la forma
dmdt=kmαv
Como la velocidad v=dx/dt.
dmdt=kmαdxdt
Integramos esta ecuación con las condiciones iniciales para x=0, m=m0
momm-αdm=0xk dx
m1-α-mo1-α=(1-α)kx
m=(1-αkx+m01-α)1(1-α)
Esta ecuación nos proporciona la masa m de la gota en función de la posición x.

CASO PROBLEMA:
A medida que una gota de lluvia cae se evapora, pero mientras esto sucede conserva su forma esférica. Si suponemos adicionalmente que la velocidad de evaporación de la gota de lluvia es proporcional a su área superficial y la resistencia del aire es insignificante, entonces un modelo de la velocidad de la gota será
vt=3kρkρt+r0v=g
Aquí ρ es la densidad del agua, r0, es el radio de la gota cuando t=0, k0 donde la respuesta es yt=e-λtc1e λ2-w02+c2e λ2-w02
Cuando λ2-w02=0 donde la respuesta es yt=e-λtc1+tc2
cundo λ2-w02