Ecuaciones de un Tornado

ECUACIONES DE UN TORNADO Andr´ es L. Granados M. Noviembre, 2017 Descripci´on b´ asicamente cualitativa del campo de velocidades en un tornado t´ıpico. La velocidad angular ω se considera negativa en el hemisferio norte y positiva en el hemisferio sur. EQUIVALENCIA CARTESIANA-CILINDRICA Equivalencia entre los sistemas de coordenadas cartesiano (x, y, z) y el sistema de coordenadas cil´ındrico (r, θ, z). Vectoriales

vp =

Coordenadas r=

ˆ = re ˆr r = x ˆI + y J

(1)

ˆ = vr e ˆr + vθ e ˆθ vp = vx ˆI + vy J

(2)

ˆr dx ˆ dy ˆ dr dr de ˆr + r = e I+ J= dt dt dt dt dt ˆ = dr e ˆr + vθ e ˆθ ˆr + rω e ˆθ = vr e = vx ˆI + vy J dt
x2 + y 2

cos θ =

ˆ ˆr = cos θ ˆI + sen θ J e

x r

sen θ =

(3)

y r

(4)

ˆ ˆθ = −sen θ ˆI + cos θ J e

(5)

Velocidades vp = vr + ω × r

ˆr vr = vr e

ˆ ω = ωK

(6)

v = vp + vz

ˆz vz = vz e

ˆ ˆz = K e

(7)

Escalares dx = vr cos θ − ω y dt dy vy = = vr sen θ + ω x dt

vx =

dr dt vθ = ω r vr =

(8)

MODELO CILINDRICO Se ha supuesto simetr´ıa ci´ındrica en la formulaci´ on del modelo. Formulaci´ on

A(z) = a e−αz

dr vr = = C(z) H(r) f (t) dt dθ ω= = B(z) D(r) f (t) dt dz vz = = A(z) g(t) dt

B(z) = b z β C(z) = γ ln(z/L) D(r) = (1 − e

−δ r 2

(9) )/r

2

H(r) = n rη D(r)

A(z) = Atenuaci´ on de la velocidad ascendente vz con la altitud z. B(z) = Crecimiento de la velocidad angular ω con la altitud. Cada capa horizontal a una altitud z se mueve como cuerpo r´ıgido cada una con velocidad angular distinta. 1

C(z) = Cambio de la velocidad radial succionando (vr < 0) por debajo (z < L) y, por el contrario, expulsando (vr > 0) por arriba (z > L). El valor de la velocidad radial vr crece con la lejan´ıa r al eje, como lo indican la funci´ on H, amortiguada con la funci´ on D. D(r) = Amortiguamiento o atenuaci´on del flujo (vr ,ω) a medida que se aleja del eje, siguiendo una variaci´ on de la curva de Gauss. Esto produce el efecto de que flujo se manifieste s´olo en la cercan´ıa del eje. H(r) = Variaci´ on de de la velocidad radial vr en la medida que se aleja una distancia r del eje. Crecimiento con una ley de potencia y atenuaci´on con la funci´ on D. f (t), g(t) = Variaciones transitorias de los flujos horizontal y vertical, respectivamente. Resoluci´ on De las ecuaciones anteriores, separando los diferenciales a uno y otro lado, e integrando entre un instante-posici´ on inicial y un punto gen´erico, se obtiene Direcci´on radial r   r

ro

C[z(t)] f (t) dt

(10)

0

Direcci´on angular θ

 θ − θo =

Direcci´on axial z

t

[H(r)]−1 dr =



z

t

B[z(t)] D[r(t)] f (t) dt

(11)

0

[A(z)]−1 dz =

zo



t

g(t) dt

(12)

0

Primero se resuelve la direcci´on axial z, luego la direcci´ on radial r y finalmente la direcci´on angular θ. Debe respetarse la composici´on de funciones como se indica, en C[z(t)], B[z(t)] y D[r(t)], para que la integraci´ on temporal en t tenga sentido. El tensor gradiente de velocidad tiene las siguientes componentes en un sistema de coordenadas cil´ındricas  ∂vr 1 ∂vr vθ ∂vr  ∂r r ∂θ − r ∂z ∂vθ  vr 1 ∂vθ θ (13) + [G]r,θ,z =  ∂v ∂r r ∂θ r ∂z ∂vz ∂r

1 ∂vz r ∂θ

∂vz ∂z

MODELO CARTESIANO Formulaci´ on dx = [ C(z) Hx (x, y) − B(z) D(r) y ] f (t) dt dy vy = = [ C(z) Hy (x, y) + B(z) D(r) x ] f (t) dt

vx =

Hx (x, y) = H(r) cos θ

Hy (x, y) = H(r) sen θ

(14)

(15)

Resoluci´ on Mediante un m´etodo de Runge-Kuta a partir de una condici´ on inicial en ro = (xo , yo , zo ). Tambi´en usando la resoluci´ on del modelo cil´ındrico y haciendo luego la conversi´ on del sistema de coordenadas. La ecuaci´on diferencial para la velocidad ascendente vz es la misma para ambas formulaciones. El tensor gradiente de velocidad tiene las siguientes componentes en un sistema de coordenadas cartesianas    [G]x,y,z = 

∂vx ∂x ∂vy ∂x ∂vz ∂x

2

∂vx ∂y ∂vy ∂y ∂vz ∂y

∂vx ∂z ∂vy ∂z ∂vz ∂z

 

(16)

NOTA Muy pr´ oximo al suelo (z = zo ≈ 0), donde los efectos viscosos juegan un rol importante, la viscosidad turbulenta tiende a anularse m´ as r´ apidamente que lo que predicen las expresiones comnmente utilizadas, formando lo que se denomina como la subcapa viscosa. La rugosidad de la superficie del suelo, por otro lado, afecta a la subcapa viscosa reduci´endola de tama˜ no, debido a que la mezcla turbulenta se hace m´as vigorosa. Para lograr estos efectos, las expresiones mencionadas se multiplican por un factor adimensional on de amortiguamiento de Van Driest [Van Driest,(1956)], que modifica las longitudes fm denominado funci´ de mezcla de la forma ∗ lm

= fm lm

z+ =

fm

ρ Uτ (z − zo ) µ



z+ z+ = 1 − exp − + + exp −αs + A ks u+ =

u Uτ

 Uτ =

τw ρ

(17.a, b)

(17.c, d, e)

donde las variables adimensionales z + y u+ se denominan (distancia y velocidad) variables de pared, siendo Uτ lo que se conoce como velocidad de fricci´on y τw = µ ∂vp /∂z|z=zo el esfuerzo cortante en el suelo (local). no del grano de arena usado para El valor k+ s es la rugosidad equivalente de Nikuradse ks (basada en el tama˜ simular la rugosidad) expresada como una variable de pared (i.e. adimensionalizada igual que y). El valor de las constantes en (17) se ajustan adecuadamente a A+ = 26 y αs = 2.3, para que por debajo de z + = 10 ∼ 30 se comience a sentir el efecto acentuado de la viscosidad (lo que aten´ ua las fluctuaciones turbulentas dentro + de la subcapa viscosa, produciendo el perfil lineal de velocidades u = z + cuando la superficie es lisa), pero para que la rugosidad absorba parte del tama˜ no de la subcapa viscosa. Obs´ervese que cuando la superficie es lisa, el u ´ltimo t´ermino de la expresi´on (17.b) se anula autom´ aticamente y la subcapa viscosa llega hasta z + = 10 ∼ 30. Aunque el factor de amortiguamiento se ha elaborado para el modelo de la longitud de mezcla, aqu´ı on de un se recomienda utilizar para el campo de velocidades tal que vp+ = z + , lo cual implica la introducci´ coeficiente de correcci´on (iguales) en los campos de velocidades vp y vz , equivalente a modificar con este mismo coeficiente la funci´on de amortiguamiento fm . Finalmente las ecuaciones de Navier-Stokes deben balancearse a trav´es de las funciones transitorias f (t) y g(t) y el gradiente de presi´on ∇P˜ (P˜ incluye las fuerzas conservativas de la gravedad), para que el campo de velocidades sea compatibles con las ecuaciones din´ amicas

∂v + v.Gt ρ ∂t

= −∇P˜ + 2µ ∇.D

D = 12 (G + Gt )

(18)

donde igualmente se puede sustituir v.Gt = G.v. El campo de presiones se puede hallar a trav´es de la ecuaci´on de Poisson G = [∇v]t (19) ∇2 P˜ = −G : G no importa si al final el campo de velocidades no es solenoidal (trG = ∇.v = 0) del todo. REFERENCIAS [1] Baker, C. J.; Sterling, M. “Modelling Wind Fields and Debris Flight in Tornadoes”, Journal of Wind Engineering & Industrial Aerodynamics, (2017).

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