DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES EN LA SECCIÓN DE UN CANAL

MANUAL DEL CURSO

MECANICA DE FLUIDOS II

HUGO AMADO ROJAS RUBIO

DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES EN LA SECCIÓN DE UN CANAL ISOTACAS: Curvas de igual velocidad. Q = AV =

n

∑

i= 1

V=

Q = A

A i Vi

∑ AV ∑A i

i

n

i= 1

i

La distribución de velocidades es variable, debido a las irregularidades del lecho del río. -

En canales de gran anchura: RH = y (cuando el ancho del canal es mayor que 10

veces el tirante) A = by

y

P = b + 2y

b

RH =

by y = b + 2y 1 + 2y / b

“y” es pequeño ∴ y/b  0 Luego: RH = y (b >> y = 10y) Según U.S. Geological Survey: La sección se divide en varios tramos y de determinan las velocidades a 0.60y (e = 3%). Mayor precisión cuando V es a 0.2y ∧ 0.8y

V=

V0.2 y + V0.8 y 2 1

ENERGÍA ESPECÍFICA EN UN CANAL. T

2

L.E.

Tdy =dA

hf1-2 Sw

d

α Vo2/2g

dy y

d2Cos θ

S0

θ Z2 N.R.

-1-

MANUAL DEL CURSO

H = Z + d Cos θ + α H= Z+ d+α

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V2 2g

V2 2g

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;

θ = 0°

;

Pero d = y (canales de poca pendiente)

Si el N.R. es la superficie del canal: Para Q = cte. ∴

E=y+ α

V2 2g

Energía Especifica

H=E+Z A = f(y) E = φ(y) E=y+ α

V2 2g

y=0 

E= α

y=∞ 

E=∞

Cuando E=y+ α

Q2 2gA 2

dE d α Q2 = (y + ) dy dy 2gA 2

Valores máximos, se obtienen derivando: dE d α Q2A− 2 = (y + ) dy dy 2g dE α Q 2 dA = 1− dy gA 3 dy

Pero:

∴

dE α Q2 = 1− T= 0 dy gA 3

∴

1=

α Q 2T gA 3

También:

,

dA = T dy

Q 2 A3 = g αT

V = Q/A , D = A/T

α Q2 α Q2 α V2 1= = = gD gA 2 D 2 A  gA    T 1=

α V2 = F2 gD

⇒

F = 1 ∴ y = yc

-2-

Q2 2gA 2

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dE α Q 2T = 1− = 1 + F2 3 dy gA F1 ,

Flujo Supercrítico

1 – F2

Q = cte

y

dy dE

y1

yc dE

y2 Emin

E

dy

E

Para una energía E (la recta corta la curva en dos puntos) y1 ∧ y2



Satisfacen la ecuación

y1 ∧ y2



Tirantes alternos

El flujo es crítico cuando: Q2 A3 = g αT

α V2 D = 2g 2

∧

ECUACIÓN ADIMENSIONAL DE LA ENERGÍA ESPECÍFICA PARA UN CANAL RECTANGULAR. E=y+ α

V2 2g

E=y+ α

Q2 2gA 2

α Q2 E y 2gA 2 = + yc yc yc -3-

MANUAL DEL CURSO

∴

F=1

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α Q 2 A 3 b 3 y 3c = = = b 2 y 3c g T b

Flujo Crítico b 2 y c2 E y 2b 2 y 2 = + yc yc yc E y 1 yc 2 = + ( ) yc yc 2 y

y = x yc

Si

E 1 = x+ yc 2x 2

x

Q = cte

T=b y Q = AV = Vby Q/b = q = vy 1

E/yc -

E/yc

Canal Rectangular de Sección Variable: H-y

V2 H= E= y+ α 2g H= y+

α Q2 2gA 2

H= y+

α Q2 2gb 2 y 2

H= y+

α q2 2gy 2

∴ q2 =

2gy 2 (H − y) α

q= y

2g ( H − y) α

H-y

q = φ ( y) H = cte q

-4-

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q= y

2g ( H − y) , α

dq = dy

2g 1 ( E − y) + y x α 2

y

E = cte, Q = φ(y) − 2g / α = 0 2g ( E − y) α

Sub crítico

E

2g gy 2g E 3g y ( E − y) − = 0 ⇒ = α α α α E=

3 yc 2

ó

yc =

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Súper crítico

yc

2 E 3

q qmax

q

Para: F = 1

V2 2g

E= y+ α

y

Q2 E= y+ α 2gA 2 Pero:

Sub crítico

A = by (canal rectangular) Q/b = q Q2 2gb 2 y 2

E= y+ α

y2 y1

q2 E= y+ α 2gy 2 q= y

2g ( E − y) α

E = cte.

⇒

dq 1 = y x dy 2 -

q qmax

q = f(y) (− 2g / α ) + 2g / α (E − y)

gy 2g + ( E − y) = 0 α α

∴

E=

3 yc 2

Súper crítico

yc

o

2g / α (E − y) = 0

⇒ yc =

2E = + 3y 2 E 3

Para: F = 1

-5-

q

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FLUJO EN CANAL DE SECCIÓN CIRCULAR Q = AV Q=

,

V=

A x A 2 / 3 S1 / 2 x , n p2/3

R 2 / 3 S1 / 2 Manning n A canal = A sector – A triangulo

r

θ

r

Pero: A sector =

1 1 θ r2 x r x long. del arco = x r x (θ x r) = 2 2 2

,

θ en Rad.

y/d 1

r2 x Sen θ A triangulo = r x Sen θ/2 x Cos θ/2 = 2 2

∴ A canal = RH =

θr 2

2

2

-

A Q

2

V

0.1

r r x Sen θ = ( θ − Sen θ ) 2 2

0.1

A canal r / 2 x (θ − Sen θ ) r Sen θ = = (1 − ) ⇒ P canal θr 2 θ

As Vs , A0 V0 1

2

R 2 / 3 S1 / 2 V= , n

φ(θ)

Vmax  RH es máx.

dR H r  Cos θ Sen θ  = − + = 0 dθ 2 θ θ 2 

⇒

θ Cos θ = Sen θ  T g θ = θ ⇒ θ = 257°30’ ó y/r = 1.64  y/d = 0.82

Luego V  Máx.

⇒

y = 0.82 d

Caudal Máximo:  r  θ − Sen θ AR 2 / 3S1 / 2 r2 Q= = (θ − Sen θ )   n 2 θ  2 dθ = 0 dθ

⇒

2/3

x

S1 / 2 n

⇒

φ(θ)

dθ = 3θ + 2 Sen θ − 5 θ Cos θ = 0 dθ

θ = 5.277 rad = 302°30’ ∴ Q  Q max, cuando

  

⇒

y/d = 0.94 y = 0.94 d

CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN CANALES RECTANGULARES. Establecemos una sección de control de longitud “L”, y el sistema de fuerzas actuantes en el:

-6-

Qs R H s , Q0 R 0

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1 y1 2

F1

Ff

WSenα.

Z1

W. 1

F2

L

y2

α

2

F1 – F2 – Ff + W Sen α = ρQ (βV2 - βV1) …….. (I) Para canal rectangular:

b = Ancho del canal

 y + y2  W= γ xbxL 1  2  

,

Sen α =

Z1 − Z 2 L

y F 1 = ρ1 A 1 y1 + y 2 2

F1 = γ

y1 y2 x b x y1 = γ b 1 2 2

y=

F2 = γ

y2 y2 x b x y2 = γ b 2 2 2

Ff = γ y x bh f

 V + V2   También: Q = AV = b y 1 2   Reemplazando en (I) y ordenando:

Considerando β2 = β1 = 1

1 1  V + V2  Z1 − Z 2  V + V2  γ by12 − γ by 22 − γ ybh f + γ bL  1 = ρ b y 1 x  x (V2 − V1 ) 2 2 2 L 2     V22 V12 y1 − y 2 − h 'f + Z1 − Z 2 = − 2g 2g β1

V12 V2 + y1 + Z1 = β 2 2 + y 2 + Z 2 + h 'f 2g 2g

FUERZA ESPECÍFICA. Consideremos un tramo corto horizontal y β2 = β1 = 1

-7-

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V2 = Q/A2  Q Q − F1 = F2 = ρQ   ,  A 2 A1  F1 = F2 =

Q = AV

V1 = Q/A1

 Q Q γ Q −  g  A 2 A1 

γ yg1A1 − γ yg 2 A 2 =

γ Q2 γ Q2 γ Q2 γ Q2 − = + γ yg1A1 = + γ yg 2 A 2 gA 2 gA1 gA1 gA1

Q2 Q2 + yg1A1 = + yg 2 A 2 = M = F gA1 gA 2

Simplificando:

F = Fuerza Especifica M = Momenta

(L3) = Invariante, momenta de momenta.

SALTO HIDRÁULICO EN UN CANAL RECTANGULAR. La ecuación de la Momenta: Sección de Control

Q2 Q2 + yg1A1 = + yg 2 A 2 gA1 gA 2

1

yc

y la ecuación de la continuidad,

Salto Hidráulico

2

reemplazando en la ecuación de la energía, permite calcular los

LT

tirante.

1

Ej: A1 = by1

,

yg1 = y1/2

A2 = by2

,

yg2 = y2/2

y y Q2 Q2 + 1 x by1 = + 2 x by 2 gby1 2 gby 2 2 Q1 = A1V1 = A2V2

⇒

Q = by1V1 = by2V2

b 2 y12 V12 y 2 b 2 y 22 V22 y2 + b 1 = + b 2 gby1 2 gby 2 2 Simplificando:

V12 y1 y12 V22 y 2 y 22 + = + g 2 g 2

-8-

⇒

y 22 − y12 V12 y1 V22 y 2 = − 2 g g

2

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( y 2 + y1 )( y 2 − y1 ) V12 y1 V22 y 2 = − 2 g g

,

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y1 V2 = V1 y 2

Por continuidad:

2

( y 2 + y1 )( y 2 − y1 ) V12 y1 V12  y1  V2  y    x y 2 = 1 y1  1 − 1  = − 2 g g  y2  g  y2  ( y 2 + y1 )( y 2 − y1 ) V12  y1    [ y 2 − y1 ] = 2 g  y 2 

( y 2 + y1 ) V12  y1    = 2 g  y 2 

⇒

y  Multiplicando x  2  : ⇒  y2 

 y 2   y1   y 2  V12      1 +  = y1  g  y1   y 2  

 2 Multiplicando x   :  y1 

 y  y  2V12  y 2   y 2   ( ) + 1 ⇒  2  +  2  − 2F12 = 0 =  gy1  y1   y1   y1   y1 

Resolviendo:

2

⇒

 y 2  − 1 ± 1 + 8F12   = y 2  1

⇒

y2 1 = y1 2

(

)

1 + 8F12 − 1

ESTUDIO DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO. CONSIDERACIONES: 1. La pendiente del canal es pequeña θ ≡ 0°, y = d 2. El factor de corrección de presión Cos θ = 1 3. No ocurre ingreso no incorporación de aire. 4. El canal es prismático (sección cte., forma y pendiente cte.) 5. La distribución de velocidad en la sección del canal es cte. (α = β = cte.) 6. K y el factor de rugosidad n, es independiente del tirante de flujo y constante en el tramo del canal en estudio. Se supone: -

Las ecuaciones para flujo uniforme son validas para flujo gradualmente variado.

-

La pendiente Sf del flujo generalmente variado se emplea en reemplazo de S para flujo uniforme.

-9-

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α V2/2g

Sf

d d Cos θ

θ Sw dx

Z

θ

N.R .

-

Del grafico: H = Z + dCos θ + α

V2 2g

dH dz dd d (V 2 / 2g ) = + Cos θ + α dx dx dx dx Pero

dz dH = − S0 , = − Sf dx dx

S0 – Sf = Cos θ

dd d (V 2 / 2g ) + α dx dx

S0 – Sf = Cos θ

d (d ) d (V 2 / 2g ) dd + α x dx dd dx

dd  d (V 2 / 2g)  Cos θ + α S0 – Sf =  dx  dd  ⇒ -

dd = dx

S0 − Sf d (V 2 / 2g) Cos θ + α dd

Evaluación: Si

dd = 0 dx

⇒

Flujo Uniforme Sf = S0

Curva de Remanso: dd > 0 (+) dx



Sf < S0

⇒

Sw < S0

Sf > S0

⇒

Sw > S0

Curva de Depresión: dd < 0 (- ) dx



Si φ  0

⇒

dd dy = dd dx - 10 -

S0

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dd dy = = dx dx

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S0 − S f S0 − S f = 3 d (V 2 / 2g )  yc  1− α   1−   dy  y 

3 2    yn    Kn     S0  1 −  S0  1 −      K    y    dy ; = = 2 3 dx  Zc   yc  1−    1 −   Z  y

También:

CLASIFICACIÓN

DE

LOS

PERFILES

DE

y = Tirante actual

FLUJO

GRADUALMENTE VARIADO.

Línea de Flujo Normal Uniforme Zona I

Línea de Flujo Crítico

yn Zona II yc

Zona III

Nivel Constante y yn yc

Método del Paso Directo: Z1 + y1 + α

V12 V2 = Z 2 + y 2 + α 2 + hf1 − 2g 2g

2

Z1 + E1 = Z2 + E2 + hf 1 – 2 E2 – E1 = (Z1 – Z2) - ∆x Sf = ∆x S0 - ∆x Sf ∆E = E2 – E1 = ∆x [ S0 - Sf ]  ∆ x =

E 2 − E1 S0 − Sf

- 11 -

Q Nivel Variable Qn Qc

PARA

FLUJO

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EJEMPLO DE FLUJO GRADUALMENTE VARIADO METODO DE INTEGRACION GRAFICA. Ejemplo: Un canal trapezoidal con ancho menor de 20 ft, Z= 2, S0 = 0.0016 y n = 0.025. Tiene una descarga de 400 ft 3/seg. Calcular el perfil de remanso creado por un dique que mantiene el agua a una profundidad de 5ft, inmediatamente aguas arriba del dique. El extremo aguas arriba del perfil se supone a una profundidad igual a 1% mas grande que la profundidad normal. El coeficiente de energía α = 1.10. Sol: 

S0 = 0.0016



n = 0.025



Q = 400ft3/seg



α = 1.10.



Y0 = 5ft



Y1 = 1.01Yn

Se puede trabajar con cualquiera de las formulas: dx dy

Yc 3 Z ) 1− ( c )2 Y Z = = Y K     S 0 1 − ( N ) 3  S 0 1 − ( n ) 2  Y K     1− (

- 12 -



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1. Calculo de Zc y Kn: Z =

Q g

α

=

400 = 74 32.2 1.10

Kn =

Q = S

400 = 10000 0.0016

2. Análisis: Se determina Yn y Yc. Cálculo de Yn, donde:

R =

A = Y (b + ZY )

A P

P = b + 2Y 1 + Z 2 2 3

AR S n

Q =

1 2

[Y (b + ZY )] [Y (b + ZY )] 2  b + 2Y 1 + Z 400 = 0.025

2 3

1

  (0.0016) 2 

[Y (20 + 2Y )] [Y (20 + 2Y )]2  2 + 2Y 1 + 2 400 = 0.025

2

1 3  (0.0016) 2 

 [Yn ( 20 + 2Y )] 10 = [Yn ( 20 + 2Y ) ] 2  2 + 2Y 1 + 2

2

3  (0.04) 

 [Y (20 + 2Y )] 250 = [Yn (20 + 2Y )] n 2  2 + 2Y 1 + 2 250 =

5

[Yn (20 +

2Y )] 3

(2 + 2Yn

5)

Dando valores tenemos:

- 13 -

2 3

Yn = 3.36ft.

  

2 3







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Cálculo de Yc:

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Q2 A3 = g αT Y (b + ZYc ) 400 2 = c 32.2 1.1(b + 2 ZY ) Y (20 + ZYc ) 400 2 = c 32.2 1.1(20 + 4Y )

4968.94 =

[Yc (20 + 2Yc )]3 1.1(20 + 4Y )

Dando valores a YC tenemos: Yc = 2.22ft. Análisis: 3.36 > 2.22 Yn > Yc ……………..….Tenemos un flujo subcritico. Como: Y > Yn > Yc ……..…..Zona І. Tipo de Curva:

Q2 A3 = g αT

Cálculo de S0:

Q2n2

Sc = 2

2

1.486 * 54.25 *1.81 Sc =

4 3

400 2 * 0.0252 2

2

1.486 * 54.25 *1.81

S c = 0.0069

4 3

......……………. Sc > Sc - 14 -

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Tipo de curva……………..………..M-І Luego con las fórmulas:

K=

1.486 AR n

Z=

2 3

Q g α

Los datos obtenidos: o Q = 400ft3/seg o

n = 0.025

o S0 = 0.0016 o Yc = 2.22ft o Yn = 3.36ft o

α = 1.10

Y 5.00

T 40.00

A 150.00

R 3.54

Rh 2.323

K 20 800

Z 290.2

dx/dy 760

∆A

x

4.80

39.20

142.08

3.43

2.274

19 230

270.4

792

155

155

4.60

38.40

134.32

3.31

2.221

17 770

251.5

836

163

318

4.40

37.60

126.72

3.19

2.167

16 360

232.3

913

175

493

4.20

36.80

119.28

3.08

2.117

15 050

214.5

1 000

191

684

4.00

36.00

112.00

2.96

2.062

13 750

197.5

1 140

214

898

3.80

35.20

104.88

2.84

2.006

12 550

181.0

1 430

257

1 155

3.70

34.80

101.38

2.77

1.972

11 910

173.0

1 750

159

1 314

3.60

34.40

97.92

2.71

1.944

11 350

165.0

2 260

201

1 515

3.55

34.20

96.21

2.68

1.929

11 060

161.1

2 770

126

1 641

3.50

34.00

94.50

2.65

1.916

10 800

157.3

3 480

156

1 797

3.47

33.88

93.48

2.63

1.904

10 600

155.2

4 520

120

1 917

3.44

33.76

92.45

2.61

1.894

10 440

153.0

5 990

158

2 075

3.42

33.68

91.80

2.60

1.890

10 340

151.7

7 930

139

2 214

3.40

33.60

91.12

2.59

1.886

10 230

150.0

10 760

187

2 401

3.36

33.44

89.78

2.56

1.872

10 000

147.0

∆y = 0.2ft

Entonces tenemos………L = 2401ft - 15 -

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- 16 -

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