Facultad de Ingeniería Electrónica de Universidad de San Martín de Porres
[email protected]
Facultad de Ingeniería Electrónica de Universidad de San Martín de Porres
[email protected]
Facultad de Ingeniería Electrónica de Universidad de San Martín de Porres
[email protected]
Facultad de Ingeniería Electrónica de Universidad de San Martín de Porres
[email protected]
Diseño de una Red Neuronal de Auto Organización para el mapeo de estructuras de datos tri dimensionales 3D y señales vectoriales ("Clustering and self organization")
Designing a self organizing neural network for mapping tri dimensional data structures and 3D vector signal ("Clustering and self organization")
ABSTRACTIn this RESEARCH, We will model and design a self organizing neural network for the mapping and clustering of three-dimensional structures of 3D data and vector signals. A Self Organizing Feature Map (SOFM) is a type of artificial neural network (ANN), which trains with unsupervised learning to produce a discretized representation and low-dimensional (usually two dimensional) space entry training samples. Self-organizing maps are different from other artificial neural networks in the sense that they use in their computational clustering a neighborhood function to preserve the topological properties of the input space.Key words: Mapping, grouping of three-dimensional structures, vector signal.RESUMENEn esta investigación, se modelará y diseñará una Red Neuronal de Auto Organización para el mapeo y agrupamiento de estructuras tridimensionales de datos 3D y señales vectoriales. Un mapa de auto-organización (SOFM) es un tipo de red neuronal artificial (ANN), que se entrena con el aprendizaje no supervisado para producir una representación discretizada y de baja dimensión (por lo general de dos dimensiones) del espacio de entrada de las muestras de entrenamiento. Los mapas de auto organización son diferentes de otras redes neuronales artificiales en el sentido de que utilizan en su agrupamiento computacional, una función de vecindad para conservar las propiedades topológicas del espacio de entrada.Palabras clave: Mapeo, agrupamiento de estructuras tri-dimensionales, señales vectoriales.
ABSTRACT
In this RESEARCH, We will model and design a self organizing neural network for the mapping and clustering of three-dimensional structures of 3D data and vector signals. A Self Organizing Feature Map (SOFM) is a type of artificial neural network (ANN), which trains with unsupervised learning to produce a discretized representation and low-dimensional (usually two dimensional) space entry training samples. Self-organizing maps are different from other artificial neural networks in the sense that they use in their computational clustering a neighborhood function to preserve the topological properties of the input space.
Key words: Mapping, grouping of three-dimensional structures, vector signal.
RESUMEN
En esta investigación, se modelará y diseñará una Red Neuronal de Auto Organización para el mapeo y agrupamiento de estructuras tridimensionales de datos 3D y señales vectoriales. Un mapa de auto-organización (SOFM) es un tipo de red neuronal artificial (ANN), que se entrena con el aprendizaje no supervisado para producir una representación discretizada y de baja dimensión (por lo general de dos dimensiones) del espacio de entrada de las muestras de entrenamiento. Los mapas de auto organización son diferentes de otras redes neuronales artificiales en el sentido de que utilizan en su agrupamiento computacional, una función de vecindad para conservar las propiedades topológicas del espacio de entrada.
Palabras clave: Mapeo, agrupamiento de estructuras tri-dimensionales, señales vectoriales.
ALVARO TINEDO BECERRA
CESAR SUPANTA ZAPATA
ROLANDO APOLINARIO CASAÑO
TONY RODRIGUEZ MEDINA
ASESOR
FERNANDO JIMENEZ MOTTE
Ph. D ( c ) EE, MSEE, BSEE
Introducción
En 1982 el Dr. Teuvo Kohonen presentó un modelo de red denominado mapas auto-organizados o SOM (Self-Organizing Maps), basado en ciertas evidencias descubiertas a nivel cerebral. Este tipo de red posee un aprendizaje no supervisado competitivo. No existe ningún elemento o monitor externo que indique si la red neuronal está operando correcta o incorrectamente porque no se dispone de ninguna salida objetivo hacia la cual la red neuronal deba tender.
Las redes neuronales son sistemas muy útiles para la clasificación y el reconocimiento de patrones en grandes grupos de datos. Este tipo de redes intenta simular el hipotético proceso auto-organizativo que ocurre en el cerebro humano cuando le es presentado un estímulo externo. SOM realiza una proyección de un conjunto de datos de entrada sobre un conjunto de vectores de salida, usualmente distribuidos en una red regular de baja dimensionalidad (generalmente una malla bidimensional), pero esta proyección tiene la peculiaridad de ser ordenada de acuerdo a las características de los datos de entrada, es decir, la vecindad relativa de los datos de entrada se intenta preservar en el espacio de salida.
La estructura de una red neuronal tipo SOM está formada por dos capas: una de entrada y otra de salida. La capa de entrada está compuesta por un conjunto de neuronas (X neuronas, una por nada variable de entrada) correspondientes a cada variable o componente del vector de entrada y la capa de salida por un conjunto de neuronas de salida interconectadas de forma tal que forme una malla regular de topología arbitraria. Cada neurona contiene un vector de coeficientes asociado y que posee la misma dimensión de los datos de entrada. Este vector asociado a cada neurona se conoce como vector diccionario. En los SOMs todos los nodos o neuronas del mapa reciben el mismo vector de entrada, y de todos los nodos que forman el mapa, sólo uno será el responsable de generar la salida, y será aquel cuyo vector de pesos sea más parecido a la entrada actual (menor distancia euclideana). En cuanto a la topología de vecindad entre los nodos, esta puede ser muy variada: lineal, lineal en forma de anillo, plana con retículo rectangular, plana con retículo hexagonal, toroidal, etc.
La capa de salida (formada por X x Y neuronas) es la encargada de procesar la información y formar el mapa bidimensional como se muestra en la figura 1. Referencia [1].
Figura 1. Estructura del mapa de auto-organizaciòn de Kohonen. Las neuronas en la capa de salida están interconectadas entre sí en un espacio de baja dimensionalidad, como por ejemplo una malla.
Las propiedades prácticas de los mapas auto-organizativos hacen que se conviertan en herramientas poderosas para el análisis de datos en cualquier campo de la ingeniería o las ciencias, permitiendo el proceso, visualización y agrupamiento de grandes cantidades de datos. Las propiedades de preservación de topología y reducción de dimensionalidad hacen del SOM un método imprescindible en la clasificación de entidades donde aparecen grandes números de datos y de clases y donde en muchas ocasiones la transición de una clase a la otra es prácticamente continua, sin separación clara ente ellas.
Existen modelos básicos de redes SOFM como los que se muestran - referencia [2]
Rectangular:
pos=gridtop(4,6)
plotsom(pos)
Figura 2. Red Rectangular
Figura 2. Red Rectangular
Hexagonal:
pos=hextop(4,6)
plotsom(pos)
Figura 3. Red Hexagonal
Figura 3. Red Hexagonal
Irregular:
pos=randtop(4,6)
plotsom(pos)
Figura 4. Red Irregular
Figura 4. Red Irregular
Un objeto tridimensional (3D) da origen a una cantidad infinita de vistas, debido al número infinito de posibles orientaciones, como a las infinitas condiciones de iluminación posibles. ¿Es posible crear una máquina capaz de estimar las coordenadas angulares de un objeto, visto desde cualquier perspectiva, a partir de una imagen? (Poggio and Edelman, 1990) referencia [3].
El presente proyecto de diseño intenta modelar y entrenar una red neuronal de auto organización para el mapeo de datos tridimensionales 3D utilizando una estrategia basada en redes neuronales artificiales RNA. Más aún busca que la estimación pueda realizarse rápidamente.
Inicialmente, el paradigma basado en modelos emergió como una estrategia prometedora. En este paradigma, modelos geométricos del objeto son utilizados para resolver un sistema de ecuaciones que relaciona ciertas características extraídas de la imagen, como verticales o contornos, como sus coordenadas de orientación. Esta línea de investigación llevó, por ejemplo, a estudiar los denominados problemas "PnP", ´por su nombre en inglés Perspective n-Point Problems (Fischler and Boller, 1980) referencia [3]:
"Dado un conjunto de n puntos, cuyas coordenadas 3D son conocidas en algún sistema de coordenadas, y dada una imagen en la cual algún subconjunto de los n puntos es visible, el problema consiste en determinar la ubicación desde la cual la imagen fue obtenida."
Numerosos algoritmos fueron desarrollados para resolver numéricamente este problema de forma eficiente y precisa. Sin embargo, para que un sistema de modelamiento tridimensional, debe poseer algunas características adicionales, además de precisión, Es necesario cierto grado de robustez, es decir, poca sensibilidad al ruido, bajos requerimientos computacionales para operar en tiempo real y simplicidad en la implementación, Desde este punto de vista, los métodos basados en modelos, que deben resolver un problema de correspondencia computacionalmente complejo, generalmente no resultan atractivos.
Las dificultades encontradas en esa dirección llevaron a considerar otras estrategias para resolver el problema de modelamiento 3D. En este contexto surge el enfoque basado en aprendizaje utilizando redes neuronales artificiales para abordar el problema mencionado.
Método
En el presente proyecto se emplea los Mapas de Auto-Organización.
En la figura 5 se muestra una red que no presenta bucles, es decir, no se puede trazar un camino de una neurona a sí misma, la red se llama unidireccional (feedforward), esta será la aplicada en el presente proyecto
Figura 5. Red Neuronal multicapa y unidireccional, Referencia [2]
Figura 5. Red Neuronal multicapa y unidireccional, Referencia [2]
Por el contrario, si podemos trazar un camino de una neurona a sí misma la arquitectura presenta bucles. Este tipo de redes se denominan recurrentes o realimentadas (recurrent neural network).
Figura 6. Red Neuronal mono capa y realimentada. Referencia [2]
El método SOFM aplica la arquitectura (hexagonal o rectangular) de neuronas con el mismo comportamiento e interconectadas, con un algoritmo de aprendizaje competitivo (sólo una neurona ganadora "the winner takes it all") basado en la distancia euclidiana, esta preserva la topología.
La distancia euclidiana es calculada para cada neurona como:
D(j)= i(wij-xi)2
Siendo:
D(j): Distancia euclidiana de cada cluster.
wij: Pesos de la red neuronal.
xi: Vector de entrada.
cuyo peso vector tiene menor distancia euclideanea y es elegido como la neurona ganadora y una cierta vencidad a su alrededor son actualizadas. Este proceso se repite hasta que se alcanza un criterio de parada, usualmente cuando los valores de las neuronas se estabilizan o cuando se alcanzan un número determinado de iteraciones
Figura 7. Neurona ganadora y vecindad, data:image/jpeg;base64,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
Figura 7. Neurona ganadora y vecindad, data:image/jpeg;base64,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
Aplicando el algoritmo de aprendizaje ("Kohonen learning")
"La unidad, cuyo vector de pesos es el más cercano al vector entrada se le permite aprender" Referencia [3]:
wjnew= wjold+αxi-wjold
= α.x+(1-α)wjold]
Siendo:
wjnew: Peso nuevo
wjold: Peso antiguo
α: Factor de aprendizaje
xi: Vector de entrada
El factor de aprendizaje (α) regula la velocidad de aprendizaje de la red neuronal modificando sus pesos en respuesta a una información de entrada. Su valor se encuentra en el rango (0 < α 1).
Actualización de pesos dentro de un radio de acción:
Figura 8. Malla de neuronas
Figura 8. Malla de neuronas
Unidad ganadora, radio=0
Unidad ganadora, radio=0
Unidad a actualizar, radio=1
Unidad a actualizar, radio=1
Unidad a actualizar, radio=3
Unidad a actualizar, radio=3
Función de vecindad
Determina las neuronas que pertenecen al vecindario de la neurona ganadora.
Función de vecindad gaussiana:
Siendo:
: Función vecindad.
wjn: Peso actual.
x: Vector de entrada.
Objetivos
Como primer objetivo en este proyecto, vamos a modelar y entrenar una Red Neuronal de Auto Organización (Self Organizing Feature Map) SOFM para mapear un espacio tridimensional 3D (espacio de entrada) a un espacio de dos dimensiones 2D.
Los datos que se van a utilizar son los puntos dados por las coordenadas cartesianas (x, y, z), que se encuentran en una esfera de radio igual a la unidad:
x^2 + y^2 + z^2 = 1
Los vectores de datos se han extraído de dos distribuciones de probabilidad (Probability Density Functions PDF), F1 y F2 que forman parte de 2 cúmulos o clusters diferentes.
Para este problema se considera tres conjuntos de datos ("data sets"), P10, P20 y P30, cada uno con 100 puntos extraídos de F1 y 100 puntos extraídos de F2.
Los dos grupos se centran alrededor de los mismos puntos en los tres conjuntos de datos, pero tienen una diferente cantidad de dispersión ("spread").
El nombre de cada conjunto de datos indica la desviación estándar del ángulo entre cada punto de datos en el set y el centro del cúmulo o cluster al que pertenecen.
Las desviaciones estándar son 10o, 20o y 30o, respectivamente.
Como segundo objetivo en este proyecto, vamos a mapear información de 3D a dos dimensiones 2D, para lo cual se observará cómo el SOFM conserva la topología de los datos. Los datos de entrada están formados por el espacio tridimensional de color de una señal vectorial RGB (three-dimensional RGB color space). Los colores se representan en este espacio por sus componentes rojo, verde y azul, cada uno codificado desde 0 (no color) a 1 (full color).
Como ejemplos observe como podrían estar codificados los siguientes colores:
El color blanco estaría representado en este espacio de color como (1, 1, 1).
El color negro como (0, 0, 0).
El color verde puro como (0, 1, 0), el purpúreo claro como (1, 0, 1) y el púrpura oscuro como (0.5; 0; 0.5).
Procedimientos
Procedimiento del primer objetivo de diseño:
Se importan los siguientes conjuntos de datos (DATA SETS) en MATLAB con el siguiente comando. Este creará las matrices P10, P20 y P30:
load sphere_data.
Crear un Mapa de Auto Organización SOFM 10 x 10 por 10 nodos con el comando newsom.
som = newsom(P10, [10 10], 'hextop', 'linkdist', 100, 5)
Los parámetros como input a newsom son :
Datos de entrada representativos que se utilizan para la inicialización de los nodos.
El tamaño de la arquitectura de red (10 por 10 en este caso).
El mapa de la topología (hextop producirá una rejilla hexagonal donde cada nodo tiene seis vecinos).
La función de distancia para ser utilizada durante el entrenamiento (linkdist es el número de saltos de un nodo a otro).
El número de iteraciones o épocas ("epochs") de entrenamiento antes de que el tamaño del vecindario ("neighborhood") se haya reducido a 1 (ordering phase").
El tamaño del vecindario inicial.
Para este diseño:
Se asume una estructura topológica hexagonal para modelar los clusters de entrada y representar la data de entrada tri-dimensional 3D.
Se modela la Arquitectura de Red Neuronal de Auto Organización (Self Organizing Map) de acuerdo al siguiente esquema de cluster computacional hexagonal:
Figura 9. Estructura topológica hexagonal
Figura 9. Estructura topológica hexagonal
La aplicación de SOFM en Matlab utiliza aprendizaje predeterminado de tipo batch por defecto. ("batch learning by default").
La tasa de aprendizaje ("learning rate") es fijada en 1, y la función de vecindad es simplemente 1 para todos los nodos que se encuentran en la vecindad, y 0 para cualquier otro caso.
Esto significa que después de cada iteración o época, la posición de un nodo será el promedio de los puntos de datos para los cuales
el nodo o uno de sus vecinos fue el ganador (el nodo más cercano). El tamaño del vecindario disminuye en forma lineal desde el valor inicial hasta el valor de 1 en un número específico de iteraciones o épocas (a esto se le llama la fase de pedido u ordering phase). Luego el tamaño de la vecindad será fijado en 1 para las épocas o iteraciones restantes (a esto se le llama la fase de puesta a punto o tuning phase).
Entrenar al SOFM utilizando el conjunto de datos P10. El entrenamiento deberá continuar durante 200 épocas o iteraciones. Durante las 100 épocas o iteraciones iniciales el tamaño de la vecindad deberá ser reducido linealmente desde un tamaño inicial de 5 a 1 (el tamaño 1 incluye sólo a los vecinos inmediatos). Durante las restantes 100 épocas el tamaño de la vecindad será fijado en 1.
Los primeros 100 puntos en P10 son del cluster F1, y los últimos 100 son del cluster F2. Para ver los nodos ganadores para los puntos de cada cluster se puede utilizar la función plotsomhits manualmente y se debe especificar qué datos exactamente se desean utilizar:
plotsomhits(som_P10, P10(:,1:100)) plotsomhits(som_P10, P10(:,101:200))
Se puede utilizar MATLAB para graficar los pesos del SOFM en tres dimensiones 3D. Los siguientes comandos trazarán los pesos del SOFM (como puntos rojos) y los datos de entrada (como cruces negras) en tres dimensiones 3D:
plotsom(som_P10.iw{1,1}, som_P10.layers{1}.distances)
hold on
plot3(P10(1,:), P10(2,:), P10(3,:), '+k')
Una vez concluido se repite el entrenamiento del SOFM para los conjuntos de datos P20 y P30. Se almacena la data proveniente de los SOFM: som_P10, som_P20 y som_P30. Los conjuntos de datos P20 y P30 también se dividen en dos grupos, los cuales consisten en los puntos 1-100 y 101-200, respectivamente.
Procedimiento del segundo objetivo:
Se cargan los datos RGB con el siguiente comando :
load rgb_data
Esto creará una matriz RGB la cual contiene 4096 muestras de color uniformemente distribuidos en el espacio RGB.
Se modela y diseña una Red Neuronal de Auto Organización de estructura 10 x 10 SOFM con un cluster computacional ("computational layer") de grilla rectangular.
Para este SOFM se utilizará el comando gridtop en lugar de hextop, dado que es bidimensional 2D.
Se trata de entrenar a la red con diferentes definiciones de parámetros para el número de iteraciones o épocas en la fase de pedido ("ordering phase") y la fase de puesta a punto ("tuning phase"), así como la estructura inicial del vecindario (Recuerde que el número total de iteraciones o épocas puede especificarse con el comando (som.trainParam.epochs) y el número de las iteraciones o épocas en la fase de pedido es especificado cuando se crea la red).
Se estudió los planos separatrices de los pesos para ver cómo los pesos de la red se mueven en el ESPACIO VECTORIAL RGB durante el entrenamiento. Se puede utilizar el comando plot_colors para mostrar la red SOFM, el código de color de acuerdo a la posición de cada nodo (sus pesos) en el espacio RGB.
plot_colors(trained_som)
Se estudió los diagramas obtenidos con plot_colors para SOFM entrenados.
Se obtuvieron resultados tan suaves como sea posible, es decir, con colores que cambien poco a poco entre las neuronas del vecindario.
Resultados
Resultados del primer objetivo:
En la figura 10 se muestra la ventana de entrenamiento en MATLAB, 3 elementos de vector de entrada, una capa escondida y 100 elementos de vector de salida.
Figura 10. Nntraintool MATLAB
Figura 10. Nntraintool MATLAB
La formación se ejecuta para el número máximo de épocas, que es 100.
Obteniendo desde la ventada de entrenamiento la topología que se utilizó, las conexiones entre vecinos, distancias entre vecinos, planos de entrada, ubicación de neuronas y posiciones de pesos.
Topología de red (plotsomtop):
Figura 11. SOM Topology MATLAB
Figura 11. SOM Topology MATLAB
En la figura 11, cada uno de los hexágonos representa una neurona trazando los mapas de auto-organización. La rejilla es de 10 por 10, por lo que hay un total de 100 neuronas en esta red. Hay 3 elementos de vector de entrada, por lo que el espacio de entrada es de 3 dimensiones. Debido a que SOM tiene una topología de 2 dimensiones, se puede visualizar en 2 dimensiones de las relaciones entre los centros de los conglomerados de 3 dimensiones.
Conexiones entre neuronas o vecinos (plotsomnc):
Figura 12. SOM Neighbor Conection MATLAB
Figura 12. SOM Neighbor Conection MATLAB
En la figura 12, se muestra las conexiones de las neuronas vecinas. Los vecinos suelen clasificar las muestras similares.
Distancias entre neuronas o vecinos (plotsomnd):
Figura 13. SOM Neighbor Distances MATLAB
Figura 13. SOM Neighbor Distances MATLAB
En la figura 13, los hexágonos azules representan las neuronas. Las líneas rojas conectan las neuronas vecinas. Los colores de las regiones que contienen las líneas rojas indican las distancias entre las neuronas. Los colores más oscuros representan las distancias más grandes, y los colores más claros las representan las distancias más pequeñas.
Planos de entrada (plotsomplanes):
Figura 14. SOM Input Planes MATLAB
Figura 14. SOM Input Planes MATLAB
En la figura 14, se visualiza el SOM mediante la visualización de planos de peso (también conocida como planos de componentes), los colores más oscuros representan los pesos más grandes.
Ubicación de neuronas (plotsomhits):
Figura 15. SOM Samples Hits MATLAB
Figura 15. SOM Samples Hits MATLAB
En la figura 15, se muestra la ubicación de las neuronas en la topología y se indica cuantos de los datos de entrenamiento están asociados con cada una de las neuronas.
Posiciones de pesos (plotsompos):
Figura 16. SOM Weigth Position MATLAB
Figura 16. SOM Weigth Position MATLAB
En la figura 16, se representa gráficamente los vectores de entrada como puntos verdes y se muestra como el SOM clasifica el espacio de entrada al mostrar puntos de color azul-gris para el vector de pesos de cada neurona y la conexión de las neuronas vecinas con las líneas rojas.
Una vez analizado los ploteos de la ventana de entrenamiento, los 100 primeros puntos en P10 son del cluster F1, y los últimos 100 son del cluster F2, entran en competencia mostrando a continuación los nodos ganadores.
Figura 17. Nodos ganadores de P10 MATLAB
Figura 17. Nodos ganadores de P10 MATLAB
En las figuras 17 y 18, se graficó los nodos ganadores en tres dimensiones (pesos SOFM) como puntos rojos conectados con líneas azules entre sí y en la figura 19, los datos de entrada como cruces negras.
Figura 18. Nodos ganadores de P10 gráfico 3D MATLAB
Figura 18. Nodos ganadores de P10 gráfico 3D MATLAB
Figura 19. Datos de entrada de P10 grafico 3D MATLAB
Figura 19. Datos de entrada de P10 grafico 3D MATLAB
Analizamos ahora P20:
Los 100 primeros puntos en P20 son del cluster F1, y los últimos 100 son del cluster F2, los cuales entran en competencia mostrando a continuación los nodos ganadores.
Figura 20. Nodos ganadores de P20 MATLAB
Figura 20. Nodos ganadores de P20 MATLAB
En la figura 21, se muestran los nodos ganadores en tres dimensiones (pesos SOFM) como puntos rojos conectados con líneas azules entre sí y en la figura 22, los datos de entrada como cruces negras.
Se observará que los nodos ganadores del data set P20, graficados en 3D son distintos a los nodos ganadores graficados del data set P10.
En cada época la grilla cambia; esto indica que la red va aprendiendo tras cada época que itera la red neuronal.
Figura 21. Nodos ganadores de P20 grafico 3D MATLAB
Figura 21. Nodos ganadores de P20 grafico 3D MATLAB
Figura 22. Datos de entrada de P20 grafico 3D MATLAB
Figura 22. Datos de entrada de P20 grafico 3D MATLAB
Analizamos ahora P30:
Los 100 primeros puntos en P30 son del cluster F1, y los últimos 100 son del cluster F2, los cuales entran en competencia mostrando a continuación los nodos ganadores.
Figura 25. Datos de entrada de P30 grafico 3D MATLAB
Figura 25. Datos de entrada de P30 grafico 3D MATLAB
Figura 23. Nodos ganadores de P30 MATLAB
Figura 23. Nodos ganadores de P30 MATLAB
En la figura 24, se muestra los nodos ganadores en tres dimensiones (pesos SOFM) como puntos rojos conectados con líneas azules entre sí y los datos de entrada como cruces negras.
Figura 24. Nodos ganadores de P30 grafico 3D MATLAB
Figura 24. Nodos ganadores de P30 grafico 3D MATLAB
El análisis de este primer objetivo permite poder obtener una serie de aplicaciones. Una de estas es la implementación de un arreglo de sensores usando mapas de auto organización. Es decir, imagine que la data proviene de diferentes sensores distribuidos en una superficie de la naturaleza heterogénea y hostil. (DATA FUSION).
Resultados del segundo objetivo:
Se realizó un mapeo de 3D a dos 2D, para lo cual se observará como el SOFM conserva la topología de los datos. Dado que los datos de entrada de una señal vectorial RGB de color están formados en 3D, se observará el mapeo en distintos tamaños de arquitectura de red, comenzando con una dimensión de 10x10.
Figura 26. Mapeo de 3D a grafico 2D 10x10 MATLAB
Figura 26. Mapeo de 3D a grafico 2D 10x10 MATLAB
En la figura 26 no se observa variedad en la gama de colores por la dimensión del computational cluster. Por otro lado en la figura 27 el tamaño aumentò a 25x25, por lo que se percibe mayor gama de colores y mejor resoluciòn.
Figura 27. Mapeo de 3D a grafico 2D 25x25 MATLAB
Figura 27. Mapeo de 3D a grafico 2D 25x25 MATLAB
Ahora para poder visualizar la gran gama de colores que se puede generar, se realizó MATLAB una prueba con un tamaño de arquitectura de 50x50, la cual será mostrará en la figura 28.
Figura 28. Mapeo de 3D a grafico 2D 50x50 MATLAB
Figura 28. Mapeo de 3D a grafico 2D 50x50 MATLAB
Se puede apreciar en los tres últimos gráficos, diferentes niveles de resolución alcanzados por el mapa de auto organización.
Discusión
El tipo de método presentado en esta sección está basado en una nueva función de distancia que expresa, de una manera directa, el diseño de un mapa ordenado que intenta conservar la estructura topológica de los datos. El primer término de esta función demanda que los vectores diccionarios sean fíeles a los datos, es decir, representen de la mejor manera posible los datos originales. Adicionalmente, el segundo término de esta ecuación demanda a su vez que los valores de los vectores diccionarios cambien lo menos posible a través de la malla de salida, es decir, que cambien suavemente. A efectos prácticos esto produce un ordenamiento de los vectores diccionarios en el espacio de salida.
Estas dos propiedades descritas anteriormente: fidelidad a los datos y ordenamiento topológico, son precisamente las dos características que definen a los mapas auto-organizativos. Como se ha mostrado en los ejemplos con datos sintéticos descritos en el apartado anterior, el algoritmo ciertamente produce mapas ordenados que intentan no solamente representar la estructura de los datos, sino también su topología en el espacio original.
Conclusiones
Se ha desarrollado una nueva metodología para el diseño de una red neuronal de auto organización para el mapeo de estructuras de datos tri dimensionales 3D y señales vectoriales basadas en la optimización funcional mediante la combinación de términos matemáticos.
La utilización explícita de la función de densidad de probabilidad es otro de los elementos de estudio propuestos a corto plazo. Esta información podría ser muy bien combinada con la que proyección que producen los mapas auto-organizativos para detectar zonas de alta densidad y poder realizar una separación automática del mapa en grupos distintos a partir de la detección de picos y valles en la función de densidad.
Referencias
[1] Los mapas auto-organizados de Kohonen (Self Orgnanizing Map): http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/jmmarin/esp/DM/tema5dm.pdf
[2] Delgado (2009). Mapas Auto-Organizables (SOM). Encontrado en:http://www.gsi.dec.usc.es/~delgado/cfc/som/6_som.pdf
[3] Federico Javier Carnevale (2010). Orientación de un objeto 3D: implementación de redes neuronales artificiales utilizando lógica programable.
[4] Teuvo Kohonen (1990). The Self Organizing Map. Encontrado en: http://www.comp.hkbu.edu.hk/~markus/teaching/comp7650/SOM.pdf
[5] Carlos V. Regueiro (2010). Modelos Tri-dimensionales Básicos de Redes Neuronales Artificiales
[6] Rodrigo Enrico Hernández Cárcamo (2008). Mapas temporales mediante redes neuronales auto-Organizativas.
[7] Carlos Alberto Ruiz, Marta Susana Basualdo (2001). Redes Neuronales: Conceptos Básicos y Aplicaciones.
[8] Xabier Basogain Olabe (2014). Redes Neuronales y sus Aplicaciones.
