Diseño de un sistema de control para una planta de posición angular variable

Diseño de un sistema de control para una planta de posición angular variable. MARTIN ALARCÓN. OSCAR BERNAL. ROBERTO MEZA. CARLOS RODRIGUEZ. Departamento de Metalmecánica. Instituto Tecnológico de Culiacán. Juan de Dios Bátiz #310 pte. Col. Guadalupe, C.P. 80220, Culiacán, Sinaloa. MÉXICO [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] www.veravitablog.com Resumen: La intención del presente proyecto es controlar la posición angular en un sistema SISO mediante técnicas de control clásico. Fue seleccionado el control tipo PID por ser una opción altamente viable en la planta a controlar. Dicha planta consta de una viga de sección circular unida a otra a manera de balancín, en la viga móvil se encuentra en un extremo un motor con hélice que proporciona la fuerza variable que mantiene la posición angular deseada. Se utiliza la herramienta Simulink® de MatLab® para realizar las simulaciones físicas del comportamiento, LabView® para control y monitoreo de la planta mediante un microcontrolador ATMEL®. Se utilizan encoders para obtener la posición real del sistema.

Palabras clave: Estabilidad, Control, PID, Encoders, Hélice, SISO, simulación.

1 Introducción El ser humano a lo largo de su historia ha dado grandes muestras de ingenio, siempre en la búsqueda de mejorar su modus vivendi y optimizar el uso de sus recursos. Así es como nace el control automático, siendo James Watt, en 1769 con su regulador centrifugo, el primero en anotarse en la historia moderna del control. En la actualidad el control automático es una constante en la vida diaria de cada persona. Desde una tarea común como retirar dinero en un cajero hasta pilotar un transbordador espacial, el control automático es el común denominador. El control PID nació en 1890, sin embargo cobró importancia teórica en 1922 con los trabajos de Minorsky sobre conducción de barcos y fue fabricado con propósitos comerciales hasta 1939. El control PID ha sobrevivido a distintos cambios tecnológicos y se mantiene en la actualidad como uno de los tipos de control clásico que más uso tiene en la industria, a pesar incluso de los métodos más sofisticados de control que existen actualmente se considera que un 95% de la totalidad de plantas que trabajan con lazo cerrado utilizan este tipo de control.[1]

1.1 Objetivos

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Aplicar control PID a la planta propuesta para análisis. Establecer analogías entre la planta a estudiar y las leyes físicas que la gobiernan para basar su estudio en ecuaciones diferenciales y transformadas Laplace. Minimizar la respuesta en estado transitorio permitiendo al sistema alcanzar la posición deseada rápidamente. Construir la planta propuesta en un modelo físico para comprobar resultados teóricos. Implementar software de control y monitoreo tales como Matlab y LabView en el funcionamiento del sistema.

2 Formulación del problema. El control de posición angular es una situación que se presenta con frecuencia en el ámbito ingenieril. Pudiéndose tratar de un robot manipulador, control numérico computarizado o un equipo de medición (entre otras aplicaciones, únicamente limitadas a la imaginación) el control angular de posición es una de las piedras angulares de la maquinaria moderna. La

planta propuesta que se presenta en este documento (Fig. 1) pretende controlar la posición angular del sistema a partir de un motor y hélice acoplados a una barra rígida, la cual a su vez se une por medio de un apoyo de articulación a otra barra que estará empotrada a tierra, siendo esta última el punto de apoyo.

2.1 Modelado matemático. Para la elaboración del control que fue aplicado en la planta, fue necesario seguir una serie de pasos previos tales como; modelar matemáticamente el sistema físico, aplicar técnicas de Laplace, adaptar el modelo mediante sus polos y ceros, generar un diagrama de estados etc. A continuación se detallara sistemáticamente cada una de estas secciones partiendo por el modelado matemático. Dadas las propiedades rotacionales de la planta, se acudirá a las formulas y teoría del “momento angular de un sólido rígido” la cual afirma que para cada partícula de un cuerpo en rotación su momento angular está dado por: =( ) ( ) (1) En donde representa el momento angular, es el radio o distancia de la partícula al centro de rotación y es el vector de velocidad de dicha partícula. La figura 1 representa dichos componentes.

Fig. 1 Cálculo y representación del momento angular de una partícula con respecto al origen.

Así pues el momento angular total de un sólido es la suma de los momentos angulares de cada una de sus partículas. Desarrollando la ecuación uno para el eje de giro del cuerpo y realizando una sumatoria de cada una de sus partículas se obtiene la siguiente ecuación: = (2) Donde representa al momento de inercia del sólido y su velocidad angular. Así mismo, la variación del estado del solido giratorio está representada por la variación de su velocidad angular, dicho en otras palabras por su derivada. Derivando dicha expresión obtendremos la aceleración angular del sistema. Por último, sabemos que el momento angular de un sólido rígido está dado por la sumatoria de todas las fuerzas externas que actúan sobre él. Multiplicadas por el brazo de palanca o distancia al fulcro Por tanto al final obtendremos la siguiente expresión: ∑( )( )= (3) Como es posible apreciar, la expresión 3 es análoga a la 2da ley de newton y será esta la empleada para definir el comportamiento físico del helicóptero de 1 grado de libertad.

2.2 Cálculo del momento de inercia total de la planta. Para obtener el momento de inercia total del objeto de estudio se utilizó la siguiente fórmula: = + + +⋯ (4) La fórmula 4 afirma que el momento de inercia de un sistema es el resultado de la suma de todos los momentos de inercia de cada elemento que conforma el modelo de estudio. Para el caso particular del helicóptero solo existen 2 cuerpos que aportan momentos de inercia, la barra giratoria y la masa del motor acoplado a la hélice.

Sustituyendo la expresión 5 y 6 en la ecuación 4 se obtiene el momento de inercia total del sistema: =

+

(7)

Se realizó un diagrama de cuerpo libre para analizar la barra y todas las fuerzas que influyen en su cinemática (figura 4)

Fig. 2. Imagen de los dos cuerpos que aportan momentos de inercia. La masa aportada por el motor puede considerarse como puntual, por tanto su momento de inercia está dado por: = (5) En donde es la masa del motor y la hélice y la longitud del centroide del motor al punto de apoyo. Para el caso de la barra se procederá a calcular su momento de inercia basados en la ecuación 5, debido a que esta ecuación está formulada para masas puntuales y la varilla se puede considerar que posee un infinito número de masas puntuales, cada una de estas debe ser multiplicado por el cuadrado de su distancia hacia el centro de apoyo. Para realizar esta operación utilizaremos la integral (ver figura 3) puesto que dicha operación representa una sumatoria de todos los elementos de masa.

Fig. 3. Imagen ilustrativa en donde se muestra el cálculo del momento de inercia para una varilla de grosor despreciable. Desarrollando la integral de la figura 3 se obtiene la fórmula del momento de inercia para una barra de pequeño grosor. =

(6)

Fig. 4. Fuerzas involucradas en el movimiento. En la figura 4 se muestra claramente que la planta de estudio describe un movimiento circular cuyo impulso esta generado por todas las fuerzas tangenciales a la circunferencia, estas fuerzas generan un momento en el punto de apoyo del balancín. Para el caso del peso del motor , es necesario descomponer esta fuerza en dos, una tangencial que produce momento y otra en dirección al punto de apoyo, por tanto esta última no genera efecto alguno sobre la cinemática de la barra. Esta descomposición se realizó mediante leyes de triángulos tomando como referencia el Angulo . Dentro del diagrama de cuerpo libre existe un término denominado el cual representa el coeficiente de amortiguamiento del aire el cual produce una fuerza por el rozamiento con barra y el fluido mencionado. Esta fuerza se encuentra presente solamente cuando el sistema está en movimiento y es directamente proporcional a la velocidad del balancín, por tanto se puede concluir que es análoga al amortiguamiento de un sistema mecánico.

transformada de Laplace de dicha ecuación diferencial tal como se muestra en la ecuación 11 − − = ( ) (10) ( )−

Fig. 5. efecto de amortiguamiento generado por la viscosidad del aire. Sin embargo la fuerza aplicada por el aire no se localiza en un punto específico, más bien se encuentra a lo largo de toda la barra. Por lo tanto el torque generado por este amortiguamiento será igual a la sumatoria total de todos los diferenciales de distancia. Esta sumatoria se le conoce como integral. La integral arrojara un área, en este caso el área de contacto de la barra con el fluido (aire) la cual será expresada con la constante Desarrollando el DCL obtenemos la siguiente ecuación: −

⊝

sin⊝ −

=

(8)

Siguiendo el desarrollo de la ecuación podemos cambiar algunos términos para que tome la forma necesaria, esto tomando en cuenta que el término sin⊝ es linealizado tendiendo a ⊝ por ser desplazamientos pequeños. En la expresión 9 se tiene la ecuación diferencial de la planta analizada. −

⊝−

⊝

=

⊝

(9)

( )− [

( ) ( )

3 Solución del problema.

3.1 Transformada de Laplace. Tomando en cuenta la ecuación diferencial del sistema (9) se puede continuar trabajando mediante técnicas de Laplace. El primer paso a seguir consiste en realizar la

( )−

(0) − (0) (11)

=

(13)

3.2 Datos propuestos A continuación se resolverán todas las ecuaciones previamente planteadas introduciendo valores tentativos. Aun cuando estos valores pueden cambiar al momento de manufacturar la planta, esto nos será útil para conocer el comportamiento del sistema de control. Primeramente se calculara el momento de inercia total del sistema en base a la expresión 7 suponiendo que el motor tiene una masa de 100g , la barra una longitud de 50 cm y una masa de 250g. Fijaremos dichos datos: = .10 = .25 = .005 = 1.2234 10 Sustituyendo esto se obtiene: 1 (.25 )(.30) 12 = 0.011458333Kgm Finalmente la función de transferencia obtiene los siguientes valores = (.10

Para el diseño del controlador se aplicarán técnicas de Laplace, por lo cual se mostrará a continuación el desarrollo de dichas técnicas.

( ) − (0)] =

Considerando que las condiciones iniciales son cero se eliminaran algunos factores de la ecuación transformada, de esta manera tomara la forma que se muestra en la ecuación 12. ( )= ( )+ ( )+ ( ) (12) Partiendo de estos datos y continuando con la técnica de Laplace encontraremos la función de transferencia del sistema, la cual consiste en relacionar la entrada con la salida, esto se puede ver en la ecuación 13.

)(. 25 ) +

( )= + + Después de asignar los valores y resolver cada una de las operaciones correspondientes la función de transferencia tomará la siguiente forma: ( ) . = (13) ( )

.

.

Esta función de transferencia fue simulada en Simulink de MatLab y se obtuvo la gráfica que se muestra en la figura 6 de comportamiento ante la función escalón.

función de transferencia, además se puede observar que el controlador PID regula de manera satisfactoria el comportamiento del sistema. Referencias [1] Minorsky, Directional stability of automatically steered bodies, Journal of the american society of naval engineering, , pp. 284

Fig. 6. Gráfica de comportamiento del sistema. Se puede observar que el sistema al tener un amortiguamiento sumamente pequeño no se frena ya que la aceleración que gana en cada ciclo es mayor que su amortiguamiento. Por este motivo, de manera hipotética, se puede decir que el sistema no frenará. Cabe destacar que son valores propuestos que no reflejan el verdadero comportamiento de la planta, la cual al ser construida, podrá variar en magnitudes y componentes. Este ejercicio es solamente demostrativo. Posteriormente se aplicará control PID para controlar la respuesta del sistema. Para regular las ganancias se utilizó la herramienta que provee Simulink en la cual mediante un método grafico se va modelando la curva de comportamiento hasta llegar a un punto deseable, posteriormente, se asignan automáticamente los valores de ganancia. Se puede apreciar la curva de comportamiento en la gráfica que se muestra en la figura 7.

Fig. 7. Comportamiento de la planta a la función escalón aplicando control PID.

4 Conclusión Al aplicar técnicas de Laplace al sistema analizado es posible realizar un controlador PID a partir de su