Disciplina de Cálculo 1 - Exercícios de Funções

´ Exerc´ıcios C´alculo - Area 1 Carlos Campani 14 de junho de 2011 1. (p. 34, exerc. 9, 11, 21 e 23) Esboce o gr´afico de cada uma destas fun¸c˜oes: (a) y = −x3 (b) y = (x + 1)2 (c) y =

2 x+1

(d) y = | sin x| 2. (p. 35, exerc. 27) (a) Como o gr´afico de y = f (|x|) est´a relacionado com o gr´afico de f ? (b) Esboce o gr´afico de y = sin |x|. (c) Esboce o gr´afico de y =

q

|x|.

3. (p. 35, exerc. 29) Encontre f +g, f −g, f g e f /g e defina seus dom´ınios: f (x) = x3 + 2x2 e g(x) = 3x2 − 1. 4. (p. 35, exerc. 31, 33 e 35) Encontre as fun¸co˜es f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g e seus dom´ınios: (a) f (x) = x2 − 1, g(x) = 2x + 1 (b) f (x) = 1 − 3x, g(x) = cos x (c) f (x) = x + x1 , g(x) =

x+1 x+2

5. (p. 35, exerc. 37 e 39) Encontre f ◦ g ◦ h: (a) f (x) = x + 1, g(x) = 2x, h(x) = x − 1

(b) f (x) =

√

x − 3, g(x) = x2 , h(x) = x3 + 2

6. (p. 42, exerc. 23) Use os gr´aficos para determinar qual das fun¸co˜es f (x) = 10x2 e g(x) = x3 /10 ´e, eventualmente, maior (isto ´e, maior quando x for muito grande). 7. (p. 42, exerc. 32) As curvas com equa¸co˜es y=√

|x| c − x2

s˜ao chamadas curvas ponto de bala. Fa¸ca um gr´afico de algumas destas curvas para entender o porquˆe de seu nome.O que acontece quando c cresce? 8. (p. 48, exerc. 7, 9 e 11) Esboce os gr´aficos das seguintes fun¸c˜oes: (a) y = 4x − 3 (b) y = −2−x (c) y = 1 − 12 e−x 9. (p. 49, exerc. 15) Encontre o dom´ınio de cada fun¸ca˜o: (a) f (x) = (b) f (x) =

1 1+ex 1 1−ex

10. (p. 49, exerc. 17) Encontre a fun¸ca˜o exponencial f (x) = cax cujo gr´afico ´e dado na Figura 1. Fa¸ca o mesmo para o gr´afico da Figura 2. 11. (p. 49, exerc. 19) Se f (x) = 5x , mostre que: Ã

h f (x + h) − f (x) x 5 −1 =5 h h

!

12. (p. 60, exerc. 21, 23 e 25) Encontre uma f´ormula para a fun¸ca˜o inversa: √ (a) f (x) = 10 − 3x 3

(b) f (x) = ex

(c) y = ln(x + 3) 2

Figura 1: Curva do exerc´ıcio 10

Figura 2: Curva do exerc´ıcio 10

3

13. (p. 60, exerc. 27) Encontre uma f´ormula expl´ıcita para f −1 e use-a para fazer, no mesmo desenho, os gr´aficos de f , f −1 e da reta y = x. Verifique se os gr´aficos de f e f −1 s˜ao reflex˜oes em torno da reta. f (x) = x4 + 1,

x≥0

14. (p. 69, exemplo 2) Resolva a inequa¸c˜ao |x − 3| + |x + 2| < 11. 15. (p. 58, exemplo 13) Simplifique a express˜ao cos(arctan x). 16. (p. 60, exerc. 47 e 49) Resolva as equa¸co˜es: (a) 2 ln x = 1 (b) 2x−5 = 3 17. (p. 60, exerc. 53) Determine o dom´ınio de f , f −1 e seu dom´ınio: √ f (x) = 3 − e2x 18. (p. 61, exerc. 57) Se uma popula¸ca˜o de bact´erias come¸ca com 100 e dobra a cada trˆes horas, ent˜ao o n´ umero de bact´erias ap´os t horas ´e n = f (t) = 100 × 2t/3 . (a) Encontre a fun¸ca˜o inversa e explique seu significado. (b) Quando a popula¸ca˜o atingir´a 50.000 bact´erias? 19. (p. 61, exerc. 72) (a) Fa¸ca o gr´afico da fun¸ca˜o f (x) = sin(arcsin x) e explique sua aparˆencia. (b) Fa¸ca o gr´afico da fun¸ca˜o g(x) = arcsin(sin x). Como vocˆe pode explicar a aparˆencia desse gr´afico? 20. (p. 63, exerc. 1) Seja f a fun¸ca˜o cujo gr´afico aparece na Figura 3. (a) Estime o valor de f (2). (b) Estime os valores de x tal que f(x)=3. (c) Determine o dom´ınio de f . (d) Determine a imagem de f . (e) Em qual intervalo a fun¸ca˜o ´e crescente? 4

Figura 3: Curva do exerc´ıcio 20 (f) f ´e injetora? Explique. (g) f ´e par, ´ımpar ou nenhum dos dois? Explique. 21. (p. 63, exerc. 5 e 7) Encontre o dom´ınio e a imagem das fun¸c˜oes: (a) f (x) =

2 3x−1

(b) h(x) = ln(x + 6) 22. (p. 63, exerc. 19) Se f (x) = ln x e g(x) = x2 − 9, encontre as fun¸co˜es f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g e seus dom´ınios. 23. (p. 63, exerc. 24) Encontre a fun¸c˜ao inversa de: f (x) =

5

x+1 2x + 1