Diferenciación numérica

Diferenciación numérica

Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir
una estimación del derivado de a función matemática o
función subprograma usando valores de la función y quizás del otro
conocimiento sobre la función.


Una valoración simple del dos-punto es computar la cuesta de un
próximo línea secante a través de los puntos (x,f (x)) y (x+h,f (x+h)).
Elegir un número pequeño h, h representa un cambio pequeño adentro x, y
puede ser positivo o negativa. La cuesta de esta línea es


Esta expresión es Neutonio's cociente de la diferencia.


La cuesta de esta línea secante diferencia de la cuesta de la línea de la
tangente por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h.
Como h los acercamientos ponen a cero, la cuesta de la línea secante
acercamientos la cuesta de la línea de la tangente. Por lo tanto, el
verdad derivado de f en x es el límite del valor del cociente de la
diferencia mientras que las líneas secantes consiguen cada vez más cerca de
ser una línea de la tangente:


Desde inmediatamente el sustituir 0 para h resultados adentro división por
cero.


Una valoración simple del tres-punto es computar la cuesta de una línea
secante próxima a través de los puntos (x-h,f (x-h)) y (x+h,f (x+h)). La
cuesta de esta línea es


Más generalmente, la valoración del tres-punto utiliza la línea secante a
través de los puntos (x h1,f(x h1)) y(x + h2,f(x + h2)). La cuesta de
esta línea es


La cuesta de estas líneas secantes diferencia de la cuesta de la línea de
la tangente por una cantidad a la cual sea aproximadamente
proporcional h2 de modo que la valoración del tres-punto sea una
aproximación más exacta a la línea de la tangente que la valoración del dos-
punto cuando h es pequeño.


A la ecuación 1 se le conoce con el nombre especial en el análisis
numérico, se le llama diferencias divididas finitas. 

 
" "






Se puede representar generalmente como: 
" "

 
" "


o 
 


Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante
y a h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre
el cual se hace la aproximación.
Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos(i) e (i+1)
para estimar la derivada.
Al termino completo (o sea, la diferencial entre h ) se le conoce como
primera diferencia dividida finita.
Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se
pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de
derivadas numéricas.
Por ejemplo, las aproximaciones a primeras derivadas, utilizando las
diferencias hacia atrás o las diferencias centrales se pueden desarrollar
de una manera similar a la de la ecuación 2.
Las primeras usan a, mientras x con sub-indice i+1 que las segundas usan
información igualmente espaciada alrededor del punto donde esta estimada la
derivada.
Las aproximaciones más exactas de la primera derivada se pueden desarrollar
incluyendo en la serie de Taylor términos de orden más alto.
Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para
derivadas de segundo orden, tercer orden y ordenes superiores. Las
siguientes secciones analizan brevemente estos casos, ilustrando como se
deriva cada una de ellos.
APROXIMACION A LA PRIMERA DERIVADA CON DIFERENCIAS HACIA ATRÁS. 


La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor
anterior sobre el valor actual, dada por: 
" "


Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los
términos se obtiene: 
" "


Donde los errores es 0 (h) y el diferencial indica la primer diferencia
dividida hacia atrás.


APROXIMACIONES A LA PRIMER DERIVADA CON DIFERENCIAS CENTRALES.

Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restar la ecuación 4
de la expansión en serie de Taylor hacia adelante: 
" "


para obtener 
" "


que se puede resolver para 
 
" "


o
" "


La ecuación es una representación de las diferencias centrales (o centradas
)de la primera derivada.
Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las
diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de
orden h.
Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información
practica de que la diferencia central es la representación mas exacta de la
derivada.
Por ejemplo, si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias
hacia atrás o hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la
mitad, mientras que para diferencias centrales, el error se reduce a la
cuarta parte.


APROXIMACIONES A DERIVADAS DE ORDEN MÁS ALTO USANDO DIFERENCIAS FINITAS. 

Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede
usar para una estimación numérica de las derivadas de orden superior.
Para hacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante
para en términos de de la siguiente forma: 
" "


La ecuación 8 se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación 10 para
obtener: 
 
" "


que se puede resolver para 

" "


A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de
segundo orden. Se pueden usar procedimientos similares para obtener las
versiones hacia atrás y centrales.
Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas hacia
adelante, hacia atrás y centrales también pueden obtenerse ( véase en
fórmulas mas adelante ). En todos los casos, las diferencias centradas dan
una mejor aproximación.
FORMULAS DE EXACTITUD PARA DIFERENCIAS DE ORDEN SUPERIOR 

Todas las estimaciones anteriores truncaron las estimaciones dadas por la
serie de Taylor después de algunos términos.
Las fórmulas de mas exactitud se pueden desarrollar incluyendo términos
adicionales. Por ejemplo, la expansión hacia adelante (Ecuación 6) se puede
resolver para: 
" "


En contraste con la ecuación 2, se puede retener el término de segundo
orden sustituyendo la ecuación 12 en la ecuación 13 para obtener: 
 
" "


agrupando términos 
 
" "


Nótese que la inclusión del termino con segunda derivada ha dado una
exactitud .
Se pueden desarrollar versiones mejoradas similares para diferencias hacia
atrás y centrales así como para las aproximaciones de derivadas de orden
superior.



GRAFICAS DE APROXIMACIONES CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS 
DE LA PRIMERA DERIVADA. 

El azul es de aproximación y el verde de la derivada verdadera 

 
" "


HACIA ADELANTE

" "


.HACIA ATRAS
" "


.CENTRALES

FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ATRÁS. SE PRESENTAN DOS
VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA
SERIE DE TAYLOR Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA 
" "


.FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ADELANTE. 
SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA SEGUNDAFORMA INCLUYE MAS
TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA. 
" "

FORMULAS DE DIFERENCIAS FINITAS CENTRALES. SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA
CADA DERIVADA. LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE
TAYLOR POR LO TANTO ES MAS EXACTA. 

" "


. 
METODO DE LA SECANTE POR MEDIO DE DIFERENCIA DIVIDIDA. 

Un problema fuerte en al implementación del método de Newton-Raphson es el
de la evaluación de la derivada.
Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para muchas otras
funciones, existen algunas de estas cuyas derivadas pueden ser
extremadamente difíciles de evaluar.
En estos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia
dividida, como se muestra en la siguiente figura: 
" "