DETERMINACIÓN DEL NÚMERO DE CICLOS DE CARGA PARA LLEGAR A LA FALLA EN UNA PLACA DE ACERO ESTRUCTURAL MEDIANTE EL USO DE LA REGLA DE SIMPSON 1/3. Lorena Pachón, Javier Triana, Jorge Martínez Universidad Distrital, Bogotá, Colombia
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RESUMEN En este trabajo se presenta la utilización de métodos numéricos en la solución de integrales definidas como es el caso de la regla de Simpson 1/3 en la aplicación del comportamiento a fatiga del acero estructural, para lo cual se ha determinado el número de ciclos de falla necesarios para la obtención de una grieta determinada en el material producto de una diferencia de esfuerzos sobre este lo cual es descrito en la ecuación de París siendo esta usada para llegar a la formulación de la integral solucionada mediante el método nombrado anteriormente, por último se realizó un análisis del error obtenido y una gráfica del comportamiento de la longitud de la grieta frente al número de ciclos de falla.
I. INTRODUCCIÓN La fatiga es un importante modo de fallo a considerar en el dimensionamiento de estructuras, presentando a menudo, un carácter catastrófico sin previo aviso, causando gran cantidad de pérdidas humanas y materiales. El fallo de los materiales metálicos por fatiga tienen lugar con cargas que son considerablemente menores que la carga de rotura estática. El estudio del daño acumulado a fatiga de estructuras en servicio pueden presentarse en:
Estructuras que, tras una prolongada vida de servicio, pueden haber llegado al final de su vida de proyecto por lo que la eventual prolongación de su vida útil pasa por una comprobación de seguridad por fatiga.
Estructuras en las que se ha detectado daño a fatiga y se requiere saber si pueden repararse y, por tanto, seguir en servicio o, si por lo contrario, deben derruirse. Estructuras en las que se van a modificar las condiciones de carga y es preciso predecir la vida a fatiga bajo la nueva solicitación.
Para evitar fallos catastróficos en estructuras, en los últimos años se han desarrollado técnicas de monitoreo que permiten detectar la presencia de daño, así como localizar la posición del mismo. La mayor parte de estas técnicas están basadas en análisis modal. Sin embargo, una vez detectado y localizado el daño, es necesario aplicar un modelo para determinar el daño acumulado a fatiga, así como su vida remanente. El enfoque de mecánica de la fractura parece el más adecuado para aquellos casos en los que se detecte y localice la presencia de daño. En este trabajo se presenta el cálculo del número de ciclos necesarios para encontrar el crecimiento de una grita en el borde de una placa, Ver [3].
II. LA ECUACION DE PARIS Hasta los años 60, las caracterizaciones de los elementos sometidos a fatiga se realizaban intentando relacionar velocidades de crecimiento de grieta con valores de tensiones aplicadas sobre el elemento en cuestión y su longitud de grieta, dando lugar a expresiones del tipo: = ∝ ∆
(1)
La llegada de los nuevos conceptos de la mecánica de la fractura supuso un nuevo enfoque en el estudio del fenómeno de la fatiga. En 1961, París sugieren la utilización del factor de intensidad de tensiones como parámetro caracterizador de la velocidad de crecimiento estable de grietas por fatiga. Dicho factor representa la severidad de la distribución de tensiones alrededor del frente de la grieta. La utilización de dicho parámetro representa un avance tecnológico en el estudio del fenómeno, debido a que combina información sobre la geometría del elemento, tensión nominal y longitud de grieta, describiendo el proceso desde un punto de vista más global y unificado criterios anteriores que describían el fenómeno de una forma parcial, Ver [4], [5].
trapecio se optó por la utilización de este para el desarrollo del presente trabajo. Se procede a la formulación de nuestro problema tomando datos iniciales en nuestra ecuación (4) los cuales describen las dimensiones iniciales de la grieta, la geometría del material y el esfuerzo al que es sometido el material. El material que será objeto de estudio en este trabajo será el acero estructural S355-J0 el cual tiene las siguientes características.
La ecuación de Paris que describe el crecimiento de una grieta en el borde de una placa por ciclos de esfuerzo se formula de la siguiente manera:
= (∆
√ )
(2)
Donde N es el número de ciclos, A y m son constantes del material, ∆ es la diferencia de esfuerzos a tensión sobre la pieza y Y viene dado por la ecuación: = [1.99 − 0.41
+ 18.7
+ 53.85
]
− 38.48
( ∆ √ )
Módulo de elasticidad (E) = 1.96e5 MPa.
Límite elástico (σys) = 393 MPa.
Tensión de rotura del material (σR) = 528Mpa.
Para una placa de este material los datos iniciales son los siguientes: TABLA I DATOS INICIALES Dato
Descripción
valor
Unidades
A
Constante del material Constante del material Diferencia de esfuerzos a tensión sobre la pieza. Longitud inicial de la grieta Ancho de la placa
6.6*10^-9
Adimensional
2.25
Adimensional
17.78
Ksi
0.25
in
m Δσ
(3)
Cuando se observa una grieta de tamaño , el número de ciclos restante para fractura catastrófica de la pieza se obtiene separando las variables e integrando la ecuación Ver [2]:
=∫
a0 w
2.5
in
(4)
El cálculo del número de ciclos en una placa de cualquier material relaciona los crecimientos de una grieta con la ecuación de Paris, objetivo principal de este trabajo.
III. DESARROLLO El objetivo de este proyecto será desarrollado mediante el método de integración numérica conocido como Simpson 1/3, el cual es usado para obtener el valor aproximado de integrales definidas en un intervalo [a,b] aproximando los subintervalos de f mediante polinomios de segundo grado, Ver [1]. Debido a la pronta aproximación del valor real dada por el método de Simpson 1/3 a comparación de otros métodos como la regla del
IV. METODOLOGIA Debido a la complejidad de solucionar la integral definida que determina el número de repeticiones que debe existir para que una grieta inicial llegue a una final, estas dos últimas son determinadas por el usuario y/o problema. Se define un método numérico para dar solución al problema, acordando que es la regla de Simpson 1/3, la cual resuelve integrales definidas. Utilizando la ecuación (4) introducimos los datos iniciales de nuestro caso descritos en la tabla (1) con lo cual la integra a resolver quedara será de la siguiente forma. =
.
.
.
(
.
[ .
− .
.
+
. (
.
) −
.
(
.
) +
.
(
.
) ]√ )
.
(5)
El intervalo introducido inferior introducido en la integral es el valor inicial de la grieta y sucesivamente el intervalo superior de esta es el valor final de la grieta para el cual queremos saber el número de ciclos de falla.
A continuación se realizó un análisis de los resultados obtenidos por el método de Simpson 1/3 comparados con diferentes números de iteraciones, lo cual puede ser observado en la siguiente gráfica.
Con la utilización del software Geogebra se da facilidad al usuario de introducir los datos iniciales y encontrar un resultado con un margen de error mínimo como se muestra en la fig. 1.
Fig. 4. Representación gráfica de las aproximaciones obtenidas.
Fig. 1. Casillas de entrada de datos iniciales en la aplicación Geogebra.
Luego de obtener la aproximación de nuestra integral con un error despreciable procedemos a obtener la gráfica que describe el crecimiento de la grieta en el material enfrentado al número de ciclos de falla necesarios para este.
En la aplicación se evidencia la gráfica de la función integrada y también el área de esta entre los intervalos de la integral introducidos observados en la fig. 2.
Fig. 5. Representación gráfica del crecimiento de grieta contra el número de ciclos de falla.
Fig. 2. Representación grafica de la función y la integral definida.
Seguidamente se obtiene el resultado de la integral y el error absoluto de esta.
Fig. 3. Resultado obtenido y error relativo.
V. CONCLUSIONES Frente a casos en el que el cálculo de integrales es demasiado dispendioso, el uso y programación de los métodos numéricos es una eficaz herramienta para la obtención de la solución debido a la posibilidad de programar un método como la regla de Simpson 1/3 y la fácil obtención del resultado. Entre los diferentes métodos numéricos utilizados en la obtención de aproximaciones a integrales definidas es importante la escogencia de un método que proporcione la mayor precisión en
el número menor de iteraciones posibles para lo cual la regla de Simpson 1/3 tiene un desempeño destacable en comparación con otros métodos. Al analizar los resultados obtenidos con el método de Simpson 1/3 es evidente que existe un número de iteraciones óptimo el cual nos proporciona el error menor posible, es necesario realizar este análisis para tener soluciones confiables. El método obtenido en este trabajo ofrece una solución práctica para encontrar el número de ciclos de falla necesarios para producir una grieta de dimensiones determinadas debido a la diferencia de esfuerzos a tensión a la que está sometida la pieza, lo cual es de gran importancia en el estudio del comportamiento a fatiga de los materiales como el acero estructural.
VI. REFERENCIAS [1] Chapra Raymond, Steven. Métodos Numéricos para Ingenieros. 5a ed., México, McGraw- Hill, 2011. Capítulo 6. [2] Castro Payares, Carlos Armando. Métodos Numéricos Básicos para Ingeniería. Capítulo 6. [3] Padilla Pérez, Javier. Esfuerzo físico y fatiga. 2nd ed., México, Instituto Politécnico Nacional, 2006. [4] Pedro Este, Laura A Sáenz P. Evaluación de la resistencia a fatiga y límite de fatiga de aceros. Universidad de Carabobo, Venezuela, 2004. [5] A. Sendín Álvarez, M. López Aenlle, P. Fernández Fernández, S. Núñez Carreira. Comportamiento a fatiga del acero estructural S355-J0. Universidad de Oviedo, España, 2008.
