Determinación de la constante de Rydberg

Facultad de Física de la Pontificia Universidad Católica de Chile

Determinación de la Constante de Rydberg Laboratorio 5 de Física Moderna

Melissa Aguilar - Mauricio Gamonal - Cristóbal Vallejos Profesor: Samuel Hevia - Ayudante: Álvaro Adrián Fecha de Experiencia: 3 de Junio de 2016 Fecha de Entrega: 15 de Junio de 2016 Resumen A través de un montaje que consistía de un goniómetro, una red de difracción de 80 líneas/mm y lámparas de mercurio e hidrógeno se calculó la constante de Rydberg para el hidrógeno R H a través de la medición de los ángulos entre la normal a la rendija y la posición del telescopio en la cuál se observaban las líneas del espectro. En un principio, utilizando la lámpara de mercurio, se observaron las lineas del espectro, cuyas longitudes de ondas eran conocidas para hallar el valor de la constante de difracción de la red, obteniéndose un valor de 12646.7 ± 62.3 nm. Una vez obtenido este valor, se midieron los ángulos de las líneas del espectro del hidrógeno y utilizando el valor de d se obtuvieron las longitudes de onda de dichas franjas, las cuales correspondían al cyan y al rojo, tal como se observó. Finalmente, se halló la constante de Rydberg a través de la ecuación de las líneas de Balmer, obteniéndose Rexp = 1.1226 ± 0.01160 107 m, con un error de 1.243 % con el valor teórico. Se concluyó que dicho porcentaje de error es admisible dentro de los dispositivos que teníamos a nuestra disposición .

I.

Introducción

Donde m es el orden del espectro (m 6= n), d la constante de separación de la red y θ el ángulo de difracción respecto a la normal de la red. En la siguiente figura se ilustran algunas de las líneas de Balmer.

En 1913 Niels Bohr completó su modelo atómico basado en órbitas circulares en las que los electrones giraban en torno al núcleo atómico. Este modelo respondió algunas de las interrogantes que modelos atómicos anteriores, como el de Thomson o el de Rutherford, habían dejado inconclusas. Un ejemplo claro son las líneas espectrales del átomo de Hidrógeno, las cuales Balmer encontró de forma empírica, pero que ningún modelo predecía. No obstante, Johannes Rydberg, mediante la teoría de Bohr aplicada al átomo de Hidrógeno, pudo encontrar un sustento teórico para el cual las líneas de espectro del hidrógeno satisfacen lo descrito por Balmer, dando la siguiente relación, 1 1 1 = RH − 2 λ 4 n

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Donde n = 3, 4, 5 . . . es el número de orden del espectro y R H es la constante de Rydberg. Mediante una red de difracción es posible verificar la correspondencia entre las líneas de espectro del átomo de Hidrógeno y las longitudes de onda dadas por (1). En una red de difracción se satisface la siguiente relación, mλ = d sin θ

Gráfico 1: Diagrama de las líneas de Balmer. El objeto principal de esta experiencia es encontrar un valor experimental para la constante de Rydberg R H mediante el uso de una red de difracción.

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II.

Montaje y Procedimiento

El primer paso es determinar la constante de separación de la red, d. Para encontrar este valor se utilizó una lámpara de Mercurio, cuyas líneas de espectrales1 son 546.074 nm (verde), y un par de 576.959 nm (naranja), 579.065 nm (amarilla) y 404.656 nm (morada). Se colocó la mira del telescopio en el centro del espectro (color blanco) y se midió el ángulo de referencia (115.66◦ ) y luego se procedió a medir las líneas espectrales del mercurio. Una vez que tuvimos los ángulos, las longitudes de onda y los órdenes del espectro utilizamos la ecuación (2) para encontrar la constante d.

El montaje experimental consistió en la utilización de un espectrómetro, el cuál se muestra en la siguiente figura.

Al tener la constante de separación de la red de difracción es sencillo obtener las longitudes de onda de las líneas espectrales del Hidrógeno. Se procede de manera análoga, cambiando la lámpara de Mercurio por una lámpara de descarga de Hidrógeno. Desplazamos el telescopio angularmente hasta encontrar cada una de las líneas de emisión y registramos el valor de la diferencia entre el ángulo de referencia y el ángulo para cada línea. Una vez que tenemos los valores de los ángulos θ, la constante de separación de la red de difracción d y el número de órdenes m utilizamos nuevamente la ecuación (2) para encontrar los valores de longitud de onda de las líneas del espectro del Hidrógeno.

Gráfico 2: Espectrómetro utilizado en el montaje. Este instrumento está compuesto por un lente colimador con una rendija exterior, la cual deja entrar un haz de luz delgado. Además, en el otro extremo posee un telescopio con mira ajustable, por el cual se observarán las líneas espectrales. Este montaje está colocado sobre una plataforma rotatoria provista de un vernier con medidas sexagesimales. A continuación se muestra un diagrama del montaje experimental.

Teniendo los valores de la longitud de onda para cada línea espectral observada y conociendo el orden de cada espectro (n) utilizamos la ecuación (1) para encontrar un valor experimental para la constante de Rydberg. Cabe destacar que es extremadamente necesario realizar este experimento en condiciones ideales de oscuridad, ya que los rayos de luz ambiente interfieren y dificulta la calidad de la observación de las líneas espectrales. Por otro lado, se consideró un error asociado a la medición del ángulo θ proporcional a la mitad del grosor de la franja observada en unidades angulares.

Gráfico 3: Diagrama del montaje experimental. Entre el telescopio y el lente colimador se colocó la red de difracción. En un comienzo elegimos una red con 500 líneas/mm, sin embargo, notamos que la vasta cantidad de líneas causó que el ángulo necesario para visualizar órdenes de espectro superiores fuese demasiado amplio, por lo cual se decidió por elegir una red de difracción con 80 líneas/mm, con la que tuvimos mejores resultados. 1 Jenkins,

F A and White, H E , Fundamentals of Optics, 4E, McGraw-Hill, 1976.

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III.

Resultados y Análisis

Se puede observar que las filas impares de la tabla anterior corresponden a longitudes de onda cercanas al cyan y por ende, a número de orden n=3 y las filas impares al color rojo y n=4. Usando lo explicado anteriormente, se realizó un 1 1 gráfico de − 2 en función del inverso de la lon4 n gitud de onda hallada, debido a que por la ecuación (1) la pendiente de dicho gráfico corresponde al inverso de la constante de Rydberg.

Tomando los datos de la primera parte de la experiencia se realizó un gráfico del producto del orden del espectro m por la longitud de onda de las líneas observadas en función del ángulo medido y su respectivo error asociado- que corresponde al ancho de la franja:

Gráfico 4: Gráfico del producto del orden del espectro y la longitud de la onda observada en función del seno del ángulo entre la normal a la rejilla y el telescopio. Gráfico 5: Gráfico utilziado para determinar la constante de Rydberg.

El ajuste lineal arrojó una pendiente de 12646.7 ± 62.3, además contando el error asociado a la medición de los ángulos, se determinó una constante de la red de difracción de:

El ajuste lineal arroja una pendiente de 1.1226 ± 0.0055 107 . Teniendo en cuenta el error asociado a las longitudes de onda se obtiene un valor experimental de la constante de Rydberg dada por:

d = 12646.7 ± 454.7 nm .

Re xp = 1.1226 ± 0.01160 107 m .

Con esto, se observa que la mayor propagación de error proviene de los errores de medición de los ángulos en que se observaba las líneas espectrales. Teniendo el valor de d, se calculó la longitud de onda perteneciente a las líneas espectrales que se observada- cyan y rojo- con la lámpara de hidrógeno utilizando la (2), obteniéndose lo siguiente: m 1 1 2 2 -1 -1 -2 -2

En donde se observa nuevamente que la mayor propagación de error proviene de los errores de mediciones de los ángulos. Comparando el valor de la constante de Rydberg hallada con su respectivo rango de error y el valor aceptado en la comunidad científica R H = 1, 0973 107 m , se obtuvo un error de 1.243 %. Este error si bien es pequeño, se puede atribuir a la presencia de luz ambiente o un desplazamiento del goniómetro mayor al rango de error asignado a los ángulos medidos.

λ (nm) 467.09 ± 30.34 637.99 ± 34.12 481.45 ± 21.41 651.82 ± 26.59 470.77 ± 30.41 654.52 ± 34.52 471.36 ± 21.12 647.24 ± 26.45

Tabla 1: Tabla resumen de las longitudes de ondas observadas para cada orden de especto. El signo negativo corresponde a ordenes de espectros observados con ángulo negativo.

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IV.

Conclusión

En síntesis, se obtuvo un valor experimental de la constante de Rydberg Rexp = 1.1226 ± 0.01160 107 m, que difiere en apenas un 1.243 % con el valor teórico de dicha constante, es decir, el montaje utilizado permitió obtener un valor razonable dentro de los instrumentos con que contamos. Las principales fuente error de error fueron el error de medición asociado a los ángulo- que siempre existirá-, la interferencia de luz ambiente y el posible error sistemático producido al utilizar el goniómetro. Para mejorar el experimento se propone realizar el experimento en un lugar totalmente a oscuras y con ello, visualizar una mayor cantidad de líneas y ordenes de espectro tanto del mercurio como del hidrógeno para así obtener una mejor curva de ajuste.

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