Desvelando el Enigma Gödel

Desvelando el “Enigma Gödel” (Lo que hay tras la hipótesis de consistencia)

Unlocking the “Gödel Enigma” (What lies behind the consistency hypothesis)

1. La sentencia indecidible de Gödel puede ser representada simbólicamente del siguiente modo: (U): ~Bew(Su(#(U0)))

donde:

Su(x) = Sb(x, num(x), 219) (U0): ~Bew(Su(x))

Sb() es la función definida con el nro. 31 en la memoria original (pág. 605-606 van Heijenoort), que aplica en la variable libre de su argumento (el número de Gödel de una fórmula) el código de la fórmula que la contiene. Bew() es el predicado (o relación) nro. 46, que es válido cuando su argumento es demostrable. #(U0) es el número de Gödel de la fórmula abierta (U0). 1.1. En lenguaje natural:

(S0) “La sustitución de la variable 'x' en x por su propia cita es indemostrable”.

(S1) “La sustitución de la variable 'x' en (S0) por su propia cita es indemostrable”.

1.3. La sentencia (S1) equivale a decir que su propia cita es indemostrable en el sistema de sentencias entrecomilladas. Puesto que si una sentencia es demostrable en inglés estándar, entonces lo es necesariamente su cita (y viceversa); esto implica su propia indemostrabilidad.

1.3.1. Cualquier sistema que use un lenguaje equivalente al de la lógica de primer orden, y que sus operaciones permitan la cita de sus propias sentencias, tiene una sentencia indecidible.

1.3.1.1. Dado que vale para cualquier lenguaje de este tipo, no se refiere a los objetos a los que las constantes del sistema nombran. De la misma manera que sucede con las tautologías: “(0 < 1) ∨ (0 ≮1)” es una sentencia válida, pero no expresa ninguna propiedad o relación entre los números, sino puramente lógica entre las sentencias elementales. En el caso de la indecidible, es una relación lógica y lingüística (por la relación unívoca entre las sentencias y sus citas). En este sentido su referencia es vacía. 1.3.1.2. Curiosamente, en todos los sistemas en que esta sentencia es expresable, si vale la decodificación de la cita, es parte de una contradicción. 2. El lenguaje del sistema de Gödel (Russell + Peano + 46 definiciones) tiene un sub lenguaje objeto, que contiene sólo sentencias que son cuantificaciones de combinaciones Booleanas de ecuaciones diofánticas. Diremos que pertenecen al lenguaje de Russell + Peano (R+P en adelante).

2.1. El segundo nivel está constituido por sentencia meta lingüísticas respecto del anterior, y que son las que usan las 46 definiciones añadidas por Gödel. Llamaremos a este sub lenguaje G46. 2.1. Toda demostración es: a) una cadena deductiva en el lenguaje de la teoría R+P; o bien b) una cadena deductiva en el lenguaje de la metateoría G46, cuyo último argumento es del lenguaje de la teoría R+P; o bien c) Una instancia de una tautología.

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[[ Esto es una consecuencia de la definición de demostración (que Gödel define con la función Bw(x): “x is a proof-array (a finite secuence of formulas, each of which is either an axiom or an immediate consequence of two preceding formulas”). Def. 44 ]]

2.2. Corolario de 2.1: Si una fórmula no pertenece al lenguaje de R+P, o perteneciendo al metalenguaje no tiene como argumento una fórmula que contenga una sentencia de R+P, no es demostrable. 2.3. La sentencia indecidible:

(U) ~Bew(Su(#(U0)))

pertenece al metalenguaje G46, pero no tiene un código embebido que pertenezca a R+P. Por lo que, de acuerdo a 2.2. es indemostrable.

2.4. Esta sería sólo una demostración más del primer teorema de incompletitud, sólo que prescindiendo de la hipótesis de consistencia. Lo interesante es la siguiente

Conjetura: Las sentencias 2.2. y 2.3. son demostrables en el lenguaje del sistema R+P+G46.

Si la conjetura es acertada, (U) no sería indecidible sino parte de una contradicción demostrable; el sistema R+P+G46 sería inconsistente. [[ La pregunta clave: ¿Es (U) una sentencia completamente cerrada? Si bien no tiene variables libres, la sentencia cuyo código es su argumento sí es abierta, pues es el código de (U0), y la demostrabilidad de (U) depende de la de (U0). ]]

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