Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno

Oscar Mauricio Gómez Ospina

Maestría en Educación Facultad de Ciencias y Educación Universidad Distrital Francisco José de Caldas Bogotá, Octubre 2015

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Oscar Mauricio Gómez Ospina Director de trabajo de grado: Dr. Rodolfo Vergel Causado

Maestría en Educación Facultad de Ciencias y Educación Universidad Distrital Francisco José de Caldas Bogotá, Octubre 2015

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Mientras que la física y las matemáticas nos pueden decir cómo comenzó el universo, no son muy útiles en predecir el comportamiento humano porque hay muchas ecuaciones que resolver. Stephen Hawking.

Dedicatoria A mi madre y padre, que me han apoyado incondicionalmente en mi formación personal y académica sin desfallecer un solo instante A Lorena, por el amor, la comprensión, la perseverancia, y el constante apoyo que me da en las diferentes actividades del diario vivir A mis hermanos, sobrinos y abuelas, por el amor y apoyo que expresan en cada uno de los momentos de nuestras vidas.

Agradecimientos A todas las personas que de uno u otro modo colaboraron en la realización de este trabajo y especialmente al profesor Rodolfo Vergel Causado, por sus enseñanzas, orientaciones que enriquecieron mi formación. A los niños y niñas del colegio Cafam, que aportaron grandes experiencias y enseñanzas en el desarrollo de la investigación

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Tabla de contenido 1: TEMA DE PROFUNDIZACIÓN .............................................................................................. 4 1.1 El pensamiento variacional como objeto de profundización……………………………….….………3 1.2 Antecedentes relacionados con el pensamiento variacional………………………………….……..7

2: MARCO TEÓRICO ............................................................................................................. 15 2.1 Introducción………………………………………………………………………………..…….……………….…..……14 2.2 El estudio de la variación desde el razonamiento covariacional……………………………..…....14 2.3 Importancia de la tarea en el desarrollo del razonamiento covariacional……………….…...18 2.4 Una mirada al pensamiento variacional desde los Estándares Básicos de Competencias en matemáticas……………………………………………………………………………..……………………… …….……20

3: METODOLOGÍA ............................................................................................................... 24 3.1 Fases del trabajo de profundización entorno al desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de noveno grado…………………………………………………………………………..….………..22

4: ANÁLISIS DE LAS TAREAS................................................................................................. 35 4.1 Introducción…………………………………………………………………………………….........................……32 4.2 Las actividades cognitivas asociadas a tareas en relación al desarrollo del pensamiento variacional……………………………………………………………………………………………………..…………..……..32 4.2.1 Tarea 1: ¿Qué pasa si se resbala el lápiz?................................................................33 4.2.2 Tarea 2: Buscando áreas de los triángulos formados por el movimiento del lápiz………………………………………………………………………………………………………..……..…57 4.2.3 Tarea 3: Hablando de áreas máximas y mínimas. .................................................70

5: CONCLUSIONES ............................................................................................................... 84 Bibliografía .......................................................................................................................... 87

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Introducción Este trabajo tiene como objeto profundizar en el análisis de las producciones escritas y verbales realizadas por estudiantes de grado noveno, cuando abordan tareas asociadas al desarrollo del pensamiento variacional. Para lograr tal propósito se hizo una revisión de la literatura nacional e internacional en aras de estudiar la categoría del pensamiento variacional. Específicamente se indagó en aspectos relacionados al reconocimiento de qué es lo que cambia, cómo cambia y cuánto cambia. Para ello se adaptaron tres tareas seleccionadas de la literatura nacional que se relacionan con el cambio y la variación. La implementación de estas tareas se llevó a cabo en un colegio de carácter privado de la ciudad de Bogotá, con una población de doce estudiantes de diferentes cursos del grado noveno.

El trabajo se enmarcó en un enfoque de investigación cualitativa, de tipo descriptivo e interpretativo, que permitió identificar y analizar características que se presentan en el desarrollo del pensamiento variacional de los estudiantes asociados a los conceptos de cambio y variación.

El presente trabajo se compone de cinco capítulos. El primero de ellos aborda elementos problemáticos asociados al desarrollo del pensamiento variacional y presenta algunos antecedentes en relación con este tipo de pensamiento. Este primer capítulo termina con el planteamiento del objetivo general y los objetivos específicos.

El segundo capítulo corresponde al marco teórico, en el cual se acude a las ideas propuestas por Carlson, Jacobs, Coe, Larsen & Hsu (2003), que establecen un conjunto de cinco acciones mentales y cinco niveles de razonamiento, que se consolidan como un medio para la clasificación y sustentación de las descripciones escritas o verbales de los estudiantes cuando se ven enfrentados a tareas relacionadas al cambio y la variación. En este capítulo también se resalta el papel que juega la tarea en este estudio, como un instrumento que posibilita evidenciar las posibles formas o características en las que se desarrolla el pensamiento variacional en los estudiantes.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno El tercer capítulo enmarca la metodología que se utilizó a lo largo del trabajo y que está compuesta por siete fases de desarrollo. En la primera fase se realizó la revisión bibliográfica de la literatura nacional e internacional en relación al desarrollo del pensamiento variacional. En la segunda fase se adaptaron tres tareas de la literatura nacional e internacional para el desarrollo de la experiencia. Las dos primeras fueron adaptadas de Carlson et al. (2003), y la tercera de Villa (2012) en su documento Razonamiento covariacional en el estudio de funciones cuadráticas. En la tercera fase se realiza la implementación de estas tareas, cada una en dos momentos, en el primer momento el estudiante desarrolló las tareas en hojas de trabajo individualmente, en el segundo momento el estudiante abordó las tareas realizando simulaciones con material concreto y construcciones realizadas anteriormente por el investigador en el software dinámico Geo-gebra. La cuarta fase define la construcción de evidencias de los datos recogidos en las producciones de los estudiantes tanto escritos en las hojas de trabajo como en los registros fílmicos realizados mientras abordaron las tareas propuestas en este estudio. En la quinta fase se seleccionaron los datos a partir de las producciones de los estudiantes en las hojas de trabajo y de las transcripciones realizadas de los registros fílmicos en cada una de las sesiones. Se seleccionaron los datos a partir de las categorías de análisis propuestas en relación con las acciones mentales y los niveles de covariación del marco conceptual ya mencionado. La sexta fase analiza las producciones escritas y verbales de los estudiantes, que evidencian sustentación de las acciones mentales y niveles de covariación descritas en Carlson et al. (2003)

El cuarto capítulo presenta los análisis focalizados de las producciones escritas y verbales realizadas por estudiantes en el desarrollo de las tareas programadas en relación con el cambio y la variación. En estos análisis se buscan evidencias en las producciones de los estudiantes con respecto al desarrollo del pensamiento variacional, las cuales sustenten características o elementos que son propios de este tipo de pensamiento, por ejemplo: la coordinación del cambio de una variable respecto a la otra, la coordinación de dirección del cambio de una variable respecto a la otra, la coordinación de la cantidad del cambio de una variable respecto a la otra, la coordinación de la cantidad de cambio promedio de una variable respecto a la otra y por último la coordinación

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno de la cantidad de cambio instantánea de cambio de una variable respecto a la otra. Finalmente, en el quinto capítulo se presentan los resultados obtenidos alrededor del desarrollo del pensamiento varaiacional que se obtuvieron a lo largo del estudio.

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Capítulo 1

Tema de Profundización Los aspectos mencionados en este capítulo se direccionan a describir algunas de las características propias en el desarrollo del pensamiento variacional cuando se implementan tareas que se relacionan con este tipo de pensamiento.

Ahora bien, las formas de

reconocimiento, de percepción, identificación a las formas posibles en que se caracteriza el cambio y la variación, permiten evidenciar los diferentes procesos de razonamiento que sustentan el reconocimiento de coordinación de la forma de cambio de una variable con respecto a la otra.

1.1 El pensamiento variacional como objeto de profundización El pensamiento variacional se ha convertido en los últimos años en un componente de interés por parte de los investigadores en educación matemática. En Colombia, el Ministerio de Educación Nacional MEN (1998) viene presentando sugerencias para el trabajo del mismo en la asignatura de matemáticas, en las cuales se plantea el trabajo considerando diferentes pensamientos como lo son: numérico, espacial, métrico, aleatorio y variacional. Esta tipología de pensamientos, según el MEN (1998), haría parte constitutiva de una estructura curricular en las matemáticas escolares. En particular, el desarrollo del pensamiento variacional, según el MEN (1998), es uno de los logros para alcanzar en la educación básica. El desarrollo del mismo involucra otros tipos de pensamiento (numérico y métrico, por ejemplo) y conmina a plantear tareas y/o situaciones que favorezcan su

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno desarrollo. Este está caracterizado por dos elementos interrelacionados como lo son el cambio y la variación. Para los Lineamientos curriculares en el área de matemáticas: El pensamiento variacional se propone para analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se encuentra como sustrato de ellas. En esta forma se amplía la visión de variación por cuanto su estudio se inicia en el intento de cuantificar la variación por medio de las cantidades y las magnitudes. (MEN, 1998)

Por otra parte en los Estándares Básicos en Competencias MEN (2006), se describe el pensamiento variacional como: […] este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos. Uno de los propósitos de cultivar el pensamiento variacional es construir desde la Educación Básica Primaria distintos caminos y acercamientos significativos para la comprensión y uso de los conceptos y procedimientos de las funciones y sus sistemas analíticos, para el aprendizaje con sentido del cálculo numérico y algebraico y, en la Educación Media, del cálculo diferencial e integral. Este pensamiento cumple un papel preponderante en la resolución de problemas sustentados en el estudio de la variación y el cambio, y en la modelación de procesos de la vida cotidiana, las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas. (p. 66)

De esta manera, el desarrollo del pensamiento variacional está ligado a las formas de reconocimiento, de percepción, identificación a las formas en que se caracteriza el cambio y la variación, sin dejar a un lado las posibles formas de representar estos; ya sean gráficas, simbólicas, icónicas, verbales o algebraicas. Así mismo Posada & Obando (2006) señalan que el desarrollo de este pensamiento en los estudiantes se genera mediante:

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno El estudio de los conceptos, procedimientos y métodos que involucran la variación, están integrados a diferentes sistemas de representación - gráficos, tabulares, expresiones verbales, diagramas, expresiones simbólicas, ejemplos particulares y generales – para permitir, a través de ellos, la comprensión de los conceptos matemáticos. De esta manera se hacen significativas las situaciones que dependen del estudio sistemático de la variación, pues se obliga no sólo a manifestar actitudes de observación y registro, sino también, a procesos de tratamiento, coordinación y conversión. (Posada & Obando, 2006, p. 16)

Por su parte, Vasco (2006) señala que: El pensamiento variacional puede describirse aproximadamente como una forma de pensar dinámica, que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal manera que covaríen en forma semejante a los patrones de covariación de cantidades de la misma o distinta magnitud en los subprocesos recortados de la realidad. (p. 138)

Desde esta perspectiva el pensamiento variacional apunta a la obtención mental de relaciones y patrones que presentan las variables que covarían entre sí. Entonces es relevante que un individuo reconozca en diferentes situaciones: lo que cambia, lo que permanece constante y los patrones que se presentan en esos procesos. De igual manera es posible que se indique la forma en que se relacionan las variables y las formas en que covarían las mismas. Ahora bien, es importante que los procesos de cambio y variación de un fenómeno se expresen por medio de gráficas, tablas, representaciones icónicas, verbales, gestuales entre otras. Por lo tanto el objetivo de desarrollar pensamiento variacional es la captación y modelación de la covariación entre magnitudes relacionadas entre sí. A partir los anteriores planteamientos, es importante identificar los elementos o características del pensamiento variacional, cuando se abordan tareas de este tipo. Algunas identificaciones del desarrollo de dicho pensamiento está dado en relación a: coordinar el cambio de una variable con respecto a la otra, coordinar la dirección del cambio de una variable con respecto a la otra, coordinar la cantidad de cambio de una variable respecto a la otra, coordinar la razón de cambio de una 6

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno variable respecto a otra y por último coordinar la razón de cambio instantánea de una variable respecto a la otra. Estas características según Vasco (2006), se pueden evidenciar a través de tareas diseñadas y orientadas a desarrollar pensamiento variacional en los estudiantes; donde la percepción, comprensión, representación y caracterización de la variación hacen parte fundamental del pensamiento dinámico. De todo lo señalado anteriormente, surge el interés de evidenciar

algunos elementos o

características presentes en el desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno, cuando se enfrentan a tareas asociadas al cambio y a la variación. En consecuencia, se plantea un trabajo de profundización que pretende caracterizar o evidenciar elementos presentes en este tipo de pensamiento, a partir de tareas que evoquen desarrollo y evidencien algunas características del pensamiento variacional. En este sentido, este trabajo intenta dar luces de respuesta a la pregunta:

¿Qué características o elementos emergen en el desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de noveno grado, cuando abordan tareas en las cuales subyacen elementos sobre cambio y variación?

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1.2 Antecedentes relacionados con el pensamiento variacional 1.2.1. El pensamiento variacional en la historia. A partir del siglo XIII el estudio de fenómenos despierta interés por dar una explicación a ellos mismos, donde se analizan cualidades y formas de fenómenos muy diversos como lo son el calor, la luz, la densidad, y la velocidad entre otros, que pueden poseer varios “grados” de “intensidad” que cambian entre sí; la intensidad se considera en relación a su “extensión” con el tiempo o la cantidad de materia. En el transcurso de estos estudios, y al margen del valor concreto de cada uno de ellos, empiezan a aparecer conceptos fundamentales como cantidad variable, entendida como un grado de cualidad, velocidad instantánea o puntual y aceleración. (MEN, 2004) De acuerdo con el MEN (2004), citado por Moreno & Zubieta (1996): “la comunidad científica reconoce los procesos de variación entre los siglos XIV y XVII en donde se centra la atención en el estudio de las cualidades en situaciones como el movimiento, la intensidad luminosa o la intensidad de calor, inspirados en los trabajos científicos de Aristóteles y de los filósofos escolásticos sobre tópicos como el infinito, el infinitesimal y la continuidad” (p. 457) 1.2.2 El pensamiento variacional en Colombia. En este se viene presentando reestructuraciones con el objetivo de avanzar en la construcción de un currículo que dé cuenta a las necesidades de desarrollar un pensamiento matemático integral. Una de sus finalidades es mejorar cualitativa y cuantitativamente la educación de forma equitativa en todo su territorio, esta renovación curricular se conoce como: “Programa Nacional de Mejoramiento Cualitativo de la Educación” (MEN, 2002), en donde los sistemas analíticos intervienen en los contenidos básicos para la educación media, apoyados en la importancia, necesidad y pertinencia del estudio de las situaciones de cambio y la variación, en consecuencia se propone trabajar algunos aspectos que ayuden al desarrollo del pensamiento variacional, donde la utilización de gráficas, tablas, representaciones, 8

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno contribuyan a los procesos de modelación en situaciones de cambio y variación. Es decir que desde la renovación curricular que se viene presentando en el país se despierta el interés por estudiar las situaciones de cambio y variación a partir de diferentes representaciones de carácter analítico, gráfico, tabular, verbal y escrito, en donde el estudiante produzca sus propios modelos y de cuenta de los mismos. Por lo tanto es de nuestro interés evidenciar elementos o características que se dan en relación al desarrollo del pensamiento variacional, cuando los estudiantes abordan tareas relacionadas al cambio y la variación. 1.2.3 Caracteristicas del pensamiento variacional. Fundamentalmente para Vasco (2006): El principal propósito del pensamiento variacional es pues la modelación matemática. No es propiamente la resolución de problemas ni de ejercicios; al contrario, los mejores problemas o ejercicios deberían ser desafíos o retos de modelar algún proceso. Para poder resolver un problema interesante tengo que armar primero un modelo de la situación en donde las variables covaríen en forma semejante a las de la situación problemática, y no puedo hacerlo sin activar mi pensamiento variacional.

Según este autor se pueden evidenciar unas fases o momentos en la captación de patrones de variación; lo que cambia, como cambia y lo que permanece, estas fases no son de forma lineal y no necesariamente se presentan en forma secuencial: Momento de creación del modelo, Momento de echar a andar el modelo, Momento de comparar los resultados con el proceso modelado, Momento de revisión del modelo. Cantoral, Farfán, Cordero, Alanís, Rodríguez & Garza, (2000) relacionan el pensamiento y lenguaje variacional como: “una manera de estudiar fenómenos que se presentan en la enseñanza, aprendizaje y comunicación de los saberes matemáticos propios de la variación y el cambio en el ámbito escolar y social” (p. 185) Cantoral, Molina & Sánchez (2005), expresan que: “el término variacional, relacionado con el concepto de variación, es entendido como una cuantificación del cambio”. De esta manera, para

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno estos autores, la idea de variación toma una importancia considerable ya que el estudio de la misma está ligado al estudio de diferentes situaciones de movimientos en nuestro entorno. Entonces es posible caracterizar procesos de razonamiento que conlleven a evidenciar desarrollo del pensamiento variacional en aspectos relacionados a procesos de cambio y variación. 1.2.4 Desarrollo del pensamiento Variacional. Diferentes autores expresan la necesidad de desarrollar este tipo de pensamiento en los estudiantes para potenciar los procesos de reconocimiento de relaciones existentes entre variables que covarian entre sí, las cuales ayudan a mejorar los procesos de entendimiento e interpretación de fenomenos relacionados con su entorno. Hecklein, Engler, Vrancken, & Mürlle (2011) señalan que: Potenciar o desarrollar el pensamiento variacional implica preparar a los alumnos para resolver problemas y tratar la información que reciben del medio, de manera que sean capaces de reconocer las estrategias para su solución y favorecer un mejor entendimiento e interpretación de la realidad. En esta dirección, los procesos de variación y cambio constituyen un aspecto de gran riqueza en el contexto escolar. De acuerdo con estos autores, el estudio de las variables y las funciones encarado desde el pensamiento variacional, es un campo de acción y formación permanente en la educación matemática.

Según Dolores, Guerrero, Martínez y Medina (2002), citada en Hecklein, Engler, Vrancken y Mürlle (2011), señalan que: Los conceptos básicos sobre los cuales se construye la matemática de la variación y el cambio son el de variable y el de función. Cuando dos variables están relacionadas mediante una función se puede estudiar el cambio de una de ellas con respecto a la otra. Aquí radica la importancia del estudio de las funciones. Una de las habilidades básicas para el desarrollo del pensamiento y el lenguaje variacional, es poder analizar el comportamiento de funciones. (p. 73)

García (1999) “señala que la educación de la matemática no puede seguir siendo aquella que se reduce a la presentación formal de conceptos, más bien a las posibilidades de su comprensión que

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno están presentes en las nociones o ideas de variación y aproximación de los objetos que están en el entorno” En relación a los aspectos señalados por estos autores, y en la misma dirección que lo señala García (1999), la educación matemática debe estar encaminada al reconocimiento de los procesos de cambio y variación de fenómenos que rodea al estudiante en su entorno, por ende es importante trabajar el desarrollo del pensamiento variacional desde las diferentes propuestas curriculares de los establecimientos académicos. 1.2.5 Desarrollo del pensamiento variacional desde el currículo propuesto. El MEN (1998) señala que es de gran importancia desarrollar en los estudiantes pensamiento variacional y propone que el objetivo es desligar de la educación la enseñanza de contenidos matemáticos sin sentido, por el contrario se debe potenciar el dominio de los campos conceptuales en donde el estudiante pueda modelar matemáticamente situaciones y problemas de su entorno relacionados con el cambio y la variación. De esta forma, y ampliando la visión del concepto de cambio y variación se presentan algunos de los núcleos conceptuales en los cuales se puede desarrollar el pensamiento variacional: las magnitudes; continuo numérico; la función como dependencia y modelos de función; modelos matemáticos de tipos de variación: aditiva, multiplicativa, variación para medir el cambio absoluto y para medir el cambio relativo. Ahora bien, los lineamientos curriculares en matemáticas MEN (1998), proponen que se desarrolle pensamiento variacional a partir de situaciones del entorno, donde se presenten fenómenos de cambio y variación, para ello propone el uso de diversos sistemas de representación como son los sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Vasco (2006) expone que una de las dificultades que se ha encontrado en la interpretación de los lineamientos curriculares para el área de matemáticas, es que no es muy claro qué se debe entender por “Pensamiento Variacional”. En particular para este autor, el pensamiento variacional puede describirse aproximadamente como una manera de pensar dinámica, que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal manera que covaríen en forma semejante a los patrones de covariación de cantidades de la misma o distintas magnitudes en los subprocesos recortados de la realidad. También precisa lo que para él no es pensamiento variacional; en tal sentido por ejemplo: El pensamiento variacional no es aprenderse las fórmulas de área y volumen, ni tampoco se trata tampoco de dibujar y manejar las gráficas. Reséndiz (2005) propone algunas estrategias para potenciar el pensamiento variacional en estudiantes de 8º y 9º grado a través de situaciones problemas de diversos contextos con el propósito de explorar y potenciar el pensamiento variacional. Las dificultades a nivel del pensamiento variacional detectadas en los estudiantes fueron: “determinación de las cantidades (variables y constantes) que intervienen en la situación, establecer relaciones de dependencia entre las variables, generar datos que debían consignar en una tabla, determinar los intervalos de Villa (2010), señala que la noción de variación se ha convertido en los últimos años en un elemento que ha llamado la atención de investigadores al interior de la Educación Matemática, tanto por su estrecha relación con algunos conceptos matemáticos (proporción, tasa de variación, función, derivada, integrales, ecuaciones diferenciales, entre otros) porque permite caracterizar un estilo propio de razonamiento (Carlson, Jacobs, Coe, Larsen, & Hsu, 2003; Villa, & Mesa, 2009) y de pensamiento (Cantoral & Farfán, 1998; Vasco, 2006). Villa (2006) reconoce dentro del estudio de la variación la representación como elemento base para su comprensión: 12

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno El estudio de los conceptos, procedimientos y métodos que involucran la variación, están integrados a diferentes sistemas de representación gráficas, tabulares, expresiones verbales, diagramas, expresiones simbólicas, ejemplos particulares y generales – para permitir, a través de ellos, la comprensión de los conceptos matemáticos. De esta manera se hacen significativas las situaciones que dependen del estudio sistemático de la variación, pues se obliga no sólo a manifestar actitudes de observación y registro, sino también, a procesos de tratamiento, coordinación y conversión.

En la literatura nacional e internacional relacionada con la educación matemática se viene trabajando por el desarrollo del pensamiento matemático, que abarca diferentes componentes o pensamientos entre estos el pensamiento variacional, Villa (2006) reconoce que: “este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos” (p. 31) Reséndiz (2005), citado por Maury, Palmezano, & Carcamo (2012) retoma a varios autores relacionados con investigaciones realizadas en el campo de la Educación Matemática (García, 1998; Zubieta, 1996; Ávila, 1996; Hoyos, 1996; Cantoral, 1992; Artigue, 1991) quienes señalan que los estudiantes presentan dificultades en la identificación de lo que cambia y por ende no se tenga las estructuras y códigos que se atañen los procesos de variación, en consecuencia se les dificulta enfrentarse a situaciones que exigen algún tipo de estrategia variacional.

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Objetivo General 

Describir y analizar características que emergen en el desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de noveno grado cuando abordan tareas en las cuales subyacen elementos sobre cambio y variación.

Objetivos Específicos

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Adaptar e implementar una serie de tareas, fundamentadas teóricamente desde estudios e investigaciones sobre el pensamiento variacional y su desarrollo, en un grupo de estudiantes de noveno grado.

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Reportar las producciones de los estudiantes, en relación con las tareas implementadas, que evidencien rasgos característicos del pensamiento variacional.



Aproximar una clasificación de las producciones de los estudiantes que evidencien desarrollo del pensamiento variacional.

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Capítulo 2 MARCO TEÓRICO En este capítulo presentamos y desarrollamos las ideas teóricas que dan sustento a la caracterización en los procesos del desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno, cuando se enfrentan a tareas de cambio y variación. El marco conceptual de la covariación planteado por Carlson et al. (2003, p.128). Plantea la caracterización del desarrollo de este pensamiento a partir de la sustentación de cinco acciones mentales de covariación y cinco niveles de razonamiento de la covariación. Ahora bien, es importante señalar que para lograr evidenciar las características de este tipo de pensamiento, es necesario plantear tareas que conlleven al estudiante a establecer competencias y habilidades en contextos de cambio y variación.

2.1 El estudio de la variación desde el razonamiento covariacional Villa & Mesa (2009) y Villa (2011), en sus trabajos de investigación reconocen los trabajos realizados por Carlson, et al. (2003), cimentados en las teorías de Piaget, señalan que en algunas de sus investigaciones

no se evidencia en las producciones de los estudiantes niveles de

razonamiento asociados a la coordinación del cambio de razón promedio y la coordinación del cambio instantáneo entre variables. Carlson, et al. (2003), citado en Villa (2006), define al “razonamiento covariacional como las actividades cognitivas implicadas en la coordinación de dos cantidades que varían mientras se atiende a las formas en que cada una de ellas cambia con respecto a la otra” (p. 124).

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Con base en esta definición Carlson et al. (2003), proponen un marco conceptual en el que establecen un conjunto de cinco acciones mentales y cinco niveles de razonamiento, las que se consolidan como un medio para clasificar los comportamientos de los estudiantes cuando se ven enfrentados a tareas de covariación. Las acciones mentales propuestas en este marco conceptual de la covariación es un instrumento que permite clasificar los comportamientos que tienen los estudiantes cuando desarrollan tareas asociadas a procesos de covariación; cabe señalar que las características en relación al desarrollo del pensamiento variacional que puede llegar a presentar el estudiante cuando aborda tareas en contextos de cambio y variación , se examinan a partir del conjunto de comportamientos y producciones que presente el mismo. Tabla 1. Acciones mentales del Marco conceptual para la covariación. Tomado de Carlson et al. (2003, p.128 ).

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno En consecuencia las acciones mentales del marco conceptual para la covariación nos generan algunas descripciones de las acciones mentales que se evidencian del estudiante en relación al desarrollo del pensamiento variacional y de los comportamientos asociados cuando este se está generando. Estas cinco acciones mentales ayudan a clasificar las producciones escritas y verbales que realiza un estudiante cuando se enfrenta a tareas asociadas al cambio y la variación, no obstante la habilidad que un estudiante sustente frente a las actividades cognitivas implicadas en la coordinación de dos cantidades que varían mientras se atiende a las formas en que cada una de ellas cambia con respecto a la otra, estas están determinadas por las formas de actuar, registrar y verbalizar situaciones r elacionadas con el cambio y la variación. Por lo tanto un estudiante se puede clasificar en los niveles de razonamiento por las posibles formas en las que podría alcanzar a sustentar las acciones mentales que plantea dicho marco.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Tabla 2. Niveles de razonamiento en el marco conceptual para la covariación. Tomado de Carlson et al (2003, p. 128)

De igual forma en este marco conceptual para la covaración se proponen cinco niveles de razonamiento (coordinación, dirección, coordinación del cambio, razón promedio, razón instantánea), un estudiante ha alanzado un nivel cuando sustenta las acciones mentales correspondientes a ese nivel y las acciones mentales con niveles inferiores, es de decir un

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno estudiante se encuentra en el nivel de dirección porque da cuenta de las acciones mentales de ese nivel pero también da cuenta de los niveles asociados a los descritos en la Acción mental 1. Ahora bien, para sustentar lo niveles de razonamiento presentados en el marco conceptual de Carlson et al. (2003) es importante explicitar la noción de imagen, que a su vez es propuesta por Thompson (1994), citado en Carlson et al. (2003), donde una imagen es aquello que: “se enfoca en la dinámica de las operaciones mentales” (p. 130), es decir, si la imagen de covariación que presenta el estudiante se desarrolla, el estudiante presenta razonamiento covariacional más avanzado y por lo tanto sustentara los niveles de razonamiento covariacional superiores. Así mismo es importante considerar los procesos de pensamiento pseudo-analíticos y los comportamientos pseudo-analíticos, que se identifican por los procesos de pensamiento y comportamientos que ocurren sin comprensión. Vinner (1997), citado en Carlson et al (2003), señala que “los comportamientos pseudo-analíticos describen un comportamiento que podría parecer un comportamiento conceptual pero que de hecho es producido por procesos mentales que no caracterizan un comportamiento conceptual” (p 125); esto se refiere a las primeras asociaciones y descripciones que evidencia el estudiante del fenómeno pero sin llegar a dar un sustento conceptual del mismo. Por otra parte los comportamientos pseudo- analíticos están más encaminados en los procesos de la conceptualización de algún sistema matemático a desarrollar. Este marco conceptual nos permite caracterizar el desarrollo del pensamiento variacional en los estudiantes ya que se pueden clasificar las producciones escritas, gráficas y verbales que producen los estudiantes cuando se enfrentan a tareas específicas relacionadas al cambio y la variación entre magnitudes. El diseño del marco conceptual permite identificar características cada vez más elaboradas, recursividad y el desarrollo del razonamiento como un proceso creciente, en donde el estudiante

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno se puede ubicar en un nivel determinado, y se presume las acciones mentales previas del nivel al que puede corresponder. En palabras de Carlson et al. (2003) “a medida que la imagen de covariación que tiene un individuo se desarrolla, ella sustenta un razonamiento covariacional más sofisticado”. (p. 130) Así mismo desde el MEN (2006) se viene proponiendo la inclusión en las aulas del desarrollo del pensamiento variacional en relación al: “reconocimiento, la percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como lo son su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos”. El desarrollo de este tipo de pensamiento es posible que se genere a partir de varias estrategias, para lo que nos concierne en esta investigación creemos que las tareas relacionadas a fenómenos de cambio y variación es una herramienta que posibilita el desarrollo de pensamiento variacional en las aulas de clase de la educación básica primaria, básica secundaria y media vocacional. 2.2 Importancia de la tarea en el desarrollo del razonamiento covariacional. Siguiendo a Concepción & Rodríguez (2005) citado en Maury, Palmezano, & Carcamo (2012) que: “lograr una posición activa del alumno requiere, entre otras, que éste se implique en tareas de trabajo independiente para favorecer su independencia cognoscitiva” (p.10). Por ende se deben proponer tareas donde el estudiante se enfrente a ellas de manera individual y así mismo experimente su nivel de conocimiento del tema a trabajar y genere una serie de interese de las mismas. Vale la pena resaltar que una de las formas de llevar al estudiante a resolver la tarea de manera seria y agradable para él, está permeado por la manera en que el profesor elabora la tarea, la orienta y la controla, como un medio de enseñanza, mientras que el alumno se enfrenta a la tarea como un medio de aprendizaje significativo para él.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Silvestre (2000); Zilberstein & Portela (2002); (Silvestre, 2000, p. 35), citados en Maury, Palmezano, & Carcamo (2012), consideran las tareas docentes “(...) como aquellas actividades que se orientan para que el alumno las realice en clases o fuera de esta, implican la búsqueda y adquisición de conocimientos, el desarrollo de habilidades y la formación integral de la personalidad” (p. 10). En este sentido, la tarea es un medio para establecer procesos de enseñanza en el estudiante, donde se produzca un verdadero interés de solución por parte del resolutor de la tarea, es decir la tarea se vuelve el medio donde el estudiante posiblemente dote de sentidos sus procesos de aprendizaje. En consecuencia la tarea es parte fundamental de este trabajo de investigación, ya que esta es la que potencia o ínsita de cierta forma a que el estudiante desarrolle capacidades como las mencionadas y presente algunos elementos asociados al desarrollo del pensamiento variacional en relación con los fenómenos de cambio y variación. En este sentido Villa (2006) muestra algunas consideraciones importantes que se deben tener en cuenta cuando se quieren diseñar o adaptar tareas que desarrollen pensamiento variacional: la tarea debe apuntar al desarrollo de elementos procedimentales y conceptuales en el trato de la matemática y en este caso al desarrollo del pensamiento variacional. En consecuencia esta debe apuntar a que el estudiante tenga la posibilidad de plasmar, comunicar, verbalizar o representar simbólicamente la identificación de las magnitudes dependientes e independientes en una relación funcional, organice la información en tablas que permitan reconocer y cuantificar el cambio respecto a los procesos de covariación. Por otro lado, la tarea debe estar dotada de elementos didácticos que permitan evidenciar criterios de análisis en la modelación de la misma. Para este trabajo de profundización es necesario que el diseño de la tarea de cuenta de: la identificación y selección de las magnitudes variables y

21

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno constantes, variación y covariación de las variables, la producción de representaciones simbólicas, graficas o tablas que sustenten los procesos de covariacion. De igual modo, para este trabajo de profundización es de gran importancia que la tarea nos permita analizar la capacidad del reconocimiento de la variación. Por lo tanto, se tendrá en cuenta la determinación de las cantidades de variables que puede llegar a presentar la situación, la identificación de las invariantes de la situación, el reconocimiento de las relaciones entre las magnitudes que interviene en la situación planteada, la descripción y coordinación del cambio de una cantidad de magnitud respecto a otra magnitud. 2.4 Una mirada al pensamiento variacional desde los Estándares Básicos de Competencias

en matemáticas Desde el MEN (2003) se proponen los Estándares Básicos de Competencias en matemáticas, donde uno de sus aspectos a profundizar y trabajar en la enseñanza de las matemáticas está dirigida al desarrollo del pensamiento variacional en los primeros niveles de educación básica primaria y básica secundaria. Ahora bien, en el desarrollo de este pensamiento se busca que el estudiante adquiera habilidades para analizar de qué forma cambia, qué aumenta, qué disminuye o qué permanece igual en fenómenos asociados al cambio y la variación. Así mismo, el desarrollo de actividades que fomente este tipo de pensamiento, contribuye a la formulación de conjeturas, la prueba de la misma, su generalización y la argumentación para validar el modelo o rechazar al mismo. Las diferentes investigaciones realizadas alrededor de este pensamiento expresan la necesidad de elaborar e interpretar diferentes tipos de representaciones ya sean simbólicas, graficas tabulares entre otras. Ahora bien los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas MEN (2003) no son la excepción, ya que también expresan la importancia de estos registros en el desarrollo de actividades relacionados al cambio, la variación. Desde los Estándares Básicos de Competencias 22

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno en Matemáticas MEN (2003), se define que un estudiante en grado noveno debe estar en la capacidad de: o Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural, dibujos y gráficas. o Describir e interpretar variaciones representadas en gráficos. o Predecir patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica. o Analizar y explicar relaciones de dependencia en situaciones problemas. o Describir

y

representar

situaciones

de

variación

relacionando

diferentes

representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas). o Reconocer el conjunto de valores de una variable en situaciones concretas de cambio o variación. o Modelar situaciones de variación. Dado que parte de nuestro objetivo es caracterizar el desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno, surge la necesidad de adecuar tareas que permitan identificar las competencias en relación al pensamiento variacional planteadas por los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas MEN (2003).

23

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno

Capítulo 3 METODOLOGÍA A continuación se describe cada una de las fases que componen el desarrollo de este trabajo de profundización, que fue implementado en un colegio privado de la ciudad de Bogotá, a estudiantes de grado noveno de educación básica secundaria. Se implementaron tres tareas: la primera ¿Qué pasa si se resbala el lápiz?, la segunda áreas de los triángulos formados por el movimiento del lápiz y por último hallando áreas máximas y mínimas. Cada una de las anteriores se desarrolló en dos momentos, en el primer momento se entregaban hojas de trabajo a los estudiantes y se les solicitaba solucionar los ítems propuestos en las tareas de manera individual, en el segundo momento se le solicitaba a los estudiantes solucionar la misma tarea apoyados en simulaciones concretas y simulaciones realizadas por el investigador en el software dinámico Geo-gebra. Se seleccionaron los datos de las producciones escritas por los estudiantes en las hojas de trabajo y de las acciones y producciones verbales captadas mediante registros fílmicos cuando abordaron las tareas propuestas.

Ahora bien, para el análisis de los datos seleccionados se

triangularon las producciones escritas en las hojas de trabajo, las producciones de los registros fílmicos y el marco conceptual para la covariacion propuesto por Carlson et al. (2003).

3.1 Fases del trabajo de profundización entorno al desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de noveno grado Este proyecto se enmarca en un enfoque de investigación cualitativa, de tipo descriptivo e interpretativo (Ernest, 1991). La investigación en este enfoque permite observar qué características están presentes en el desarrollo del pensamiento variacional asociados al cambio y la variación. El 24

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno proceso investigativo proporcionará información en relación con: las situaciones matemáticas (tareas direccionadas al desarrollo del pensamiento variacional en relación con el cambio y la variación), la selección de la población (Estudiantes de noveno grado de un colegio privado en Bogotá, Colombia), métodos de recolección de datos (intervención en el aula, notas de campo, hojas de trabajo y entrevistas semiestructuradas), sistematización de la experiencia (análisis de la recolección de datos), reflexiones de la práctica educativa (conclusiones) Para el desarrollo de esta investigación se realizaron las siguientes fases de estudio: 3.1.1 Fase 1. Se efectuó la revisión de literatura nacional e internacional alrededor del estudio del desarrollo del pensamiento variacional, procesos de cambio y variación, implementación del desarrollo del pensamiento variacional en el currículo y el marco conceptual para la covariacion que sustenta las características de este tipo de pensamiento. 3.1.2 Fase 2. Se adaptaron tres tareas de la literatura nacional para el desarrollo de la experiencia. Las dos primeras

fueron adaptadas del trabajo Experiencias que apoyan intuitivamente el

Desarrollo del Pensamiento Variacional de los Estudiantes de la fundación Fe y Alegria, y la tercera fue escogida del trabajo realizado por Villa (2012) en su documento Razonamiento covariacional en el estudio de funciones cuadráticas. Estas tareas son escogidas por trabajos relacionados al desarrollo del pensamiento variacional en relación a los procesos de cambio y variación, a continuación se presentan los diseños de tareas realizadas para la recolección de datos de esta investigación.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Tarea 1.

¿Qué pasa si se resbala el lápiz? 1.

Contesta las siguientes preguntas teniendo en cuenta la gráfica.

a.

Si el punto de apoyo vertical del lápiz respecto a la pared disminuye ¿qué pasa

con la distancia horizontal AB? Justifica tu respuesta

b.

Si la distancia del punto de apoyo horizontal del lápiz respecto a la base disminuye ¿qué pasa con la distancia vertical AC? Justifica tu respuesta

c.

Si disminuyen cualquiera de los puntos de apoyo del lápiz, ¿qué pasa con la distancia CB? Justifica tu respuesta.

d.

¿Aprecia alguna relación entre las distancias CA y AB?, si su respuesta es afirmativa explique la relación. En caso de lo contrario, justifique su respuesta.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno e.

Si el lápiz se resbala un centímetro hacia abajo ¿Cuánto aumenta la distancia horizontal? Justifica tu respuesta

f.

Si el lápiz disminuye 2 centímetros de su punto de apoyo horizontal ¿Cuánto aumenta la distancia vertical? Justifica tu respuesta

2. Experimentación. Recursos (2 cintas métricas y un palo de balso de 50 centímetros por estudiante). Individual y grupal. 

Colocar un metro en la pared y el otro metro pegado en el piso (repitiendo el

ejercicio del lápiz). 

Colocar el palo de balso de tal manera que el punto de apoyo vertical o con la

pared sea de 40 cm y el apoyo horizontal o con la base sea de 30 cm. 

Realizar la simulación para cada uno de los casos

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Tarea 2. Áreas de los triángulos formados por el movimiento del lápiz. Contesta las siguientes preguntas teniendo en cuenta las siguientes gráficas. a. Si se mueve la punta del lápiz en el eje x , ¿qué pasa con el área del triángulo formado? Justifica tu respuesta.

b.Si se mueve la punta del lápiz de derecha a izquierda que pasa con el área de los triángulos que se forman. Justifica tu respuesta.

c.

Si se mueve la punta del lápiz de izquierda a derecha que pasa con el área de los triángulos que se forman. Justifica tu respuesta.

A continuación se presenta una secuencia donde el lápiz se desliza de derecha a izquierda sobre el eje x.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno d. ¿Qué pasó con la distancia DB y el área de los triángulos resultantes?.

e. Teniendo en cuenta la secuencia anterior, ¿qué podrías concluir del área de los triángulos?. Recuerda que la punta del lápiz se puede deslizar en cualquier dirección sobre el eje x. Justifica tu respuesta.

f.

De los triángulos 1, 2, 3 y 4 ¿cuál es el de mayor área? justifica tu respuesta.

g. De los triángulos 1, 2, 3 y 4 ¿cuál es el de menor área? justifica tu respuesta.

29

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno h. Los siguientes triángulos se formaron al deslizar la punta del lápiz sobre el eje x, ¿Que podrías concluir de las gráficas?

i. ¿Qué pasa con las áreas de los triángulos que se forman cuando el punto B se desliza sobre el eje x? justifica tu respuesta

j.

Realiza una gráfica donde se relacione el desplazamiento de la punta del lápiz en el eje x y el área de los triángulos resultantes.

k. Experimentación dinámica del ejercicio en geogebra por grupos.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Tarea 3: Hallando áreas máximas y mínimas Observa la simulación en el software Geo-Gebra y contesta las siguientes preguntas. a. Teniendo en cuenta la simulación realizada responde a la siguiente pregunta ¿Qué cambia?

b. Describe los cambios que evidenciaste en la simulación.

c.

¿Qué es lo que cambia?

d. ¿Lo que cambia, cómo cambia?

e. ¿Lo que cambia, cuánto cambia?

f.

¿Podríamos representar las formas del cambio entre el segmento AE y el área del rectángulo? Justifica tu respuesta.

g. Realiza una gráfica que represente el cambio del segmento AE, con el área del rectángulo inscrito en el cuadrado.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno

3.1.3 Fase 3. Implementación de las tres tareas. La implementación de esta tarea se desarrolló en dos momentos, cada momento con una duración de sesenta minutos. Momento 1. Se le entregó el material físico a cada estudiante y se les pidió que respondieran a cada una de las preguntas expuestas allí y que tuvieran en cuenta las indicaciones y las gráficas que se encontraban en este material. Momento 2. Acto seguido se les pidió a los estudiantes que hicieran grupos de tres personas para hacer la simulación de la tarea en el salón de clases. En este momento se hicieron preguntas por parte del investigador en relación al ¿cómo? y ¿cuánto? cambian las variables involucradas en la situación. Esta sesión fue grabada con el fin de recolectar producciones verbales de los estudiantes. Tarea 2. La implementación de esta tarea se desarrolló en dos momentos, cada momento con una duración de sesenta minutos. Momento 1. Se entregó la hoja de trabajo a cada estudiante y se les pidió que respondieran a cada una de las preguntas expuestas allí y que tuvieran en cuenta las indicaciones y las gráficas que se encontraban en este material. Momento 2. Acto seguido se les pidió a los estudiantes que hicieran grupos de tres personas para hacer la simulación de la tarea en el software de geometría dinámica geo-gebra. En esta fase se hicieron preguntas por parte del investigador en relación a la observación y la manipulación de la simulación en relación al cambio y la variación entre las variables involucradas en la situación. Esta sesión fue grabada con el fin de recolectar producciones verbales de los estudiantes.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno

Tarea 3: La implementación de esta tarea se desarrolló en un momento, con una duración de 100 minutos. Esta sesión fue grabada con el fin de recolectar producciones verbales de los estudiantes. Momento 1. Para el desarrollo de esta sesión se llevó a cabo la estrategia en donde el estudiante abordara la solución de la tarea de forma simultánea a la realización de la simulación de la tarea en el software dinámico geo-gebra, se implementó en pequeños grupos de participación e interacción con la simulación de la tarea.

3.1.4 Fase 4. Construcción de los datos: 

Las producciones escritas de los estudiantes correspondientes a cada una de las situaciones tareas propuestas



Las acciones y producciones verbales captadas mediante registros fílmicos, tomadas en momentos específicos del desarrollo de la tarea. (Transcripciones de los audios obtenidos de los registros fílmicos obtenidos en cada una de las sesiones realizadas)



Las anotaciones del investigador con base en las observaciones durante la implementación de las tareas.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Fase 5. Selección de datos. Estos fueron seleccionados de las producciones escritas y verbales que se obtuvieron en el desarrollo de cada una de las tareas implementadas durante la investigación. Se seleccionaron los datos a partir de las categorías de análisis propuestas en relación a las Acciones Mentales y los Niveles de Covariación propuesta por Carlson et al. (2003, p. 129) Fase 6: Análisis de datos. Los datos seleccionados anteriormente serán revisados bajo el marco conceptual para la covariación de Carlson et al (2003, p. 128), y así mismo, categorizados bajo las acciones mentales y niveles de covaraiacion que se presentan en el mismo. Sí las producciones escritas o verbales de los estudiantes presentan alguna similitud, se analiza la producción del estudiante que otorgue más información para los procesos de clasificación de los niveles del marco conceptual. Fase 7: Conclusiones. Después del proceso de documentación teórica, el diseño y la aplicación del sistema de tareas para el desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de noveno grado, se evidenciarán a la comunidad educativa los resultados obtenidos en este trabajo de profundización.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno

Capítulo 4 ANÁLISIS DE LAS TAREAS 4.1 Introducción En este capítulo presentamos el análisis realizado teniendo en cuenta el carácter del trabajo en la modalidad de profundización y la pregunta orientadora planteada para el desarrollo de este trabajo. Así pues, nos focalizaremos en las producciones de los estudiantes tanto en la solución de las tareas programadas de forma individual en hojas de trabajo seleccionadas, como en las segmentaciones temáticas de las transcripciones de las filmaciones realizadas mientras se desarrollaban las tareas programadas. De esta manera, y teniendo en cuenta la naturaleza del trabajo de profundización realizado se enmarca en la perspectiva del marco conceptual propuesto por Carlson et al. (2003), en relación al desarrollo del pensamiento variacional.

4.2 Las actividades cognitivas asociadas a tareas en relación al desarrollo del pensamiento variacional

Ahora bien, las acciones mentales del marco conceptual ayudan a clasificar los posibles comportamientos que presentan los estudiantes cuando se enfrentan a tareas relacionados a procesos de covariacion; sin embargo, es muy importante observar atentamente los comportamientos y las acciones mentales que realiza el estudiante cuando soluciona tareas asociadas al cambio y la variación. 4.2.1 Tarea 1: ¿Qué pasa si se resbala el lápiz? Esta tarea, tal y como fue justificada en el diseño de este trabajo, estaba direccionada al reconocimiento del cambio y la variación de magnitudes en relación a indagar en: ¿Qué cambia?, ¿Cómo cambia? y ¿Cuánto cambia? así mismo, la tarea se implementó en dos momentos; el primer momento es una aplicación de la tarea en forma de taller 35

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno individual y el segundo momento es una experimentación de la tarea en pequeños grupos de trabajo.

Conforme a los dos momentos planteados en la tarea, analizamos las producciones escritas y verbales realizadas por los estudiante desde el marco conceptual propuesto por Carlson et al. (2003). Inicialmente las preguntas a y b de la tarea 1: Qué pasa si se resbala el lápiz, buscan indagar en relación a ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, por ende se plantearon las siguientes preguntas: Contesta las siguientes preguntas teniendo en cuenta la gráfica. a.

Si el punto de apoyo vertical del lápiz respecto a la pared disminuye ¿qué pasa con la distancia horizontal AB? Justifica tu respuesta

b. Si la distancia del punto de apoyo horizontal del lápiz respecto a la base disminuye ¿qué pasa con la distancia vertical AC? Justifica tu respuesta

A continuación se presenta el análisis de las producciones escritas y verbales de algunos estudiantes en cada uno de los momentos en los ítems a y b. Así mismo, vale la pena resaltar que para efectos del trabajo de profundización que se llevó a cabo, se mostraran los análisis de algunos

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno estudiantes y se citarán aquellos que posiblemente presenten relaciones en las producciones descritas por ellos. 4.2.1.1 Producciones de Sofía ítems a y b, tarea 1

Conforme al primer momento de la tarea, Sofía reconoce el cambio de las longitudes de las distancias y la dependencia que presenta la una con la otra, también reconoce la invariante cuando se refiere a que la longitud del lápiz siempre será la misma. Se observa en la producción escrita que posiblemente Sofía coordina los cambios de una variable con respecto a los cambios de la otra. Según Carlson et al. (2003), este reconocimiento corresponde a la primera acción mental de su marco. Así mismo, puede identificarse la segunda acción mental cuando el estudiante verbaliza lo siguiente L1.Investigador: ¿Qué pensaron? ¿Qué pasa si el lápiz se resbala?, ¿Qué pasa con la distancia horizontal? L2. Sofía: Yo digo que es una relación inversa, mientras la vertical va aumentar, la horizontal disminuirá y por el contrario si la horizontal disminuye la horizontal aumenta

Con estas descripciones verbales Sofía ofrece de manera cualitativa sus primeras explicaciones sobre la pregunta relacionada a: ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia? Sofía identificó otras características de la situación; por ejemplo, pudo determinar que la longitud del lápiz no cambiaba (magnitud invariante), el razonamiento de Sofía se basaba en sus posibles formas de determinar lo que cambiaba. De igual manera, en el diálogo presentado entre Sofía y el investigador no originaron evidencias de características que se pudieran asociar a las acciones mentales 3, 4, o 5 del marco conceptual abordado en este estudio. Por tal razón las producciones 37

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno evidenciadas permiten concluir que Sofía, posiblemente dé cuenta de AM1 Y AM2, por lo tanto se puede situar en un nivel Nº2 (Dirección) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003). 4.2.1.2 Producciones de Camila ítems a y b, tarea 1

Conforme al primer momento de la tarea, Camila reconoce el cambio de las longitudes de las distancias y la dependencia que presenta la una con la otra, también asocia el teorema de Pitágoras para explicar la relación de cambio entre los catetos. Se observa en la producción escrita que posiblemente Camila coordina los cambios de una variable con respecto a los cambios de la otra. Según Carlson et al. (2003), este reconocimiento corresponde a la primera acción mental de su marco. Así mismo, puede identificarse la segunda acción mental cuando el estudiante verbaliza lo siguiente: L1.Investigador. La primera pregunta decía: Si el punto de apoyo vertical del lápiz respecto a la pared disminuye, ¿qué pasa con la distancia horizontal? L2. Camila: Aumenta L3.Investigador. ¿Qué aumenta? L4. Camila: La distancia horizontal. L5.Investigador: ¿Cuál es la distancia horizontal?, muéstranos, has es el experimento. L6. Camila: Es que si uno la baja aquí, se disminuye y aquí aumenta, (Desplaza la tabla sobre eje vertical). L7.Investigador: ¿Qué estás haciendo ahí? L8. Camila: Pues, disminuyendo la esta vertical, la distancia vertical y está aumentando la horizontal, a medida que disminuye aumenta. L9.Investigador: ¿Explícame por favor?

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno L10. Camila: Es como decir, si está disminuyendo la distancia vertical (Toma la tabla y hace el desplazamiento), esto aumentará (señalando la horizontal). Mejor dicho la distancia horizontal aumentará dependiendo cuanto…. pues yo creo cuanto disminuya.

Con estas descripciones Camila da indicios de manera cualitativa sus primeras explicaciones sobre la pregunta ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, así mismo, es posible que Camila ya evidencie lo que cambia, cómo cambia y cuánto cambia. Camila identificó otras características de la situación; por ejemplo, pudo determinar la relación existente entre el triángulo rectángulo y la propuesta del ejercicio, con la expresión Mejor dicho la distancia horizontal aumentará dependiendo cuanto…. pues yo creo cuanto disminuya, es posible que Camila sustente la AM3, relacionada con la coordinación de la cantidad de cambio de una variable con los cambios de la otra. El razonamiento de Camila se basaba en sus posibles formas de determinar lo que cambiaba cómo cambiaba y cuánto cambiaba. De igual manera, en el diálogo presentado entre Camila y el investigador no originaron evidencias de características que se pudieran asociar a las acciones mentales 4, o 5 del marco conceptual abordado en este estudio. Por tal razón las producciones evidenciadas permiten concluir que Camila, posiblemente dé cuenta de AM1, AM2 y AM3 por lo tanto se puede situar en un nivel Nº3 (Coordinación cuantitativa) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003). 4.2.1.3 Producciones de Alejandra ítems a y b, tarea 1

Acorde al primer momento de la tarea, Alejandra no reconoce el cambio de las longitudes de las distancias y la dependencia que presenta la una con la otra. Se observa en la producción escrita que posiblemente Alejandra no pueda coordinar los cambios de una variable con respecto a los cambios de la otra. Ahora bien, de las producciones obtenidas no posibilitan situar a Alejandra en 39

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno ninguno de los niveles ya qué no dan cuenta de ninguna de las acciones mentales propuesta en el marco conceptual. Ahora bien, en el segundo momento de la experimentación de la tarea Alejandra puede identificarse la segunda acción mental el estudiante al verbalizar lo siguiente: L1.Investigador

Si el punto de apoyo vertical del lápiz disminuye, ¿qué pasa con la distancia

horizontal?, entonces hagamos la experimentación. ¿Qué aumenta? L2.Alejandra:

Pues aumento la distancia horizontal.

L3.Investigador L4. Alejandra:

¿Usted qué dice?

Que sí, aumento la distancia horizontal.

L5.Investigador

¿Si?, ¿por qué?

L6. Alejandra: Sí,

porque, porque el objeto es….…puede ser disminuido, si usted disminuye un lado

tiene que aumentar al otro horizontalmente. L7.Investigador

Y ahora, ¿cuál era lo otro?, que ahora si disminuía la vertical, ¿qué hacía con la

horizontal? L8. Alejandra: Igual, también

aumenta (pasa estudiante mueve la regla aumentando la vertical)

Aquí aumento de acá (señalando la vertical) y aquí disminuyo (señalando la horizontal). L9.Investigador: ¿Qué disminuyo? L10. Alejandra:

La distancia entre este punto y este punto señalando la horizontal, y acá aumenta

la misma distancia que de aquí acá, señalando la horizontal. Con estas descripciones Alejandra ofrece de manera cualitativa sus primeras explicaciones sobre la pregunta ¿Qué cambia? Alejandra logró identificar características de la situación a partir de la modelación, por ejemplo, pudo determinar la coordinación del valor de una variable con los cambios de la otra, AM1, coordinó la dirección del cambio de una variable con respecto a la otra AM2. Es posible que el

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno razonamiento variacional de Alejandra evolucionara gracias a la experiencia significativa que presentó cuando se enfrentó a la simulación de la tarea, si lo anterior es cierto, dotaría de sentido lo dicho por Vasco (2006) El pensamiento variacional puede describirse aproximadamente como una forma de pensar dinámica, que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal manera que covaríen en forma semejante a los patrones de covariación de cantidades de la misma o distinta magnitud en los subprocesos recortados de la realidad. (p. 138)

De igual manera, en el diálogo presentado entre Alejandra y el investigador no originaron evidencias de características que se pudieran asociar a las acciones mentales 3, 4, o 5 del marco conceptual abordado en este estudio. Por tal razón las producciones evidenciadas permiten concluir que Alejandra posiblemente dé cuenta de AM1 Y AM2, por lo tanto se puede situar en un nivel Nº2 (Dirección) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003). El objetivo principal de los ítems a y b era indagar por el ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, para efectos de nuestra profundización podemos decir que los estudiantes Alejandra Calderón y Nicolás Ortiz posiblemente en el momento 1 no presentan ningún tipo de evidencia que se relacione con los niveles y las acciones mentales que plantea Carlson y sus colaboradores (2003), por ende se sugiere a los autores ampliar el marco conceptual en un nivel cero, donde el estudiante pueda ser situado cuando no evidencie ningún tipo de trato relacionado al cambio y variación en las tareas propuestas. Sin embargo, vale la pena resaltar el desarrollo en relación al pensamiento variacional que tuvieron estos dos estudiantes cuando realizaron la simulación de la tarea. Ya que consiguieron determinar

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno la coordinación del valor de una variable con los cambios de la otra AM1 y coordinan la dirección del cambio de una variable con respecto a la otra AM2. Por ende, se situarían en el N2 (Dirección) Por lo que se refiere a las producciones escritas realizadas por los estudiantes Juan Ramírez, Andrés Riaño, Paula Benavides es posible que en un primer momento coordinen el cambio de la distancia horizontal con respecto a la distancia vertical. Según Carlson et al. (2003), se puede situar estos reconocimientos en el N1, Nivel de coordinación (N1) sustenta acción mental de coordinar la medida de la longitud vertical con el cambio de la medida en la longitud horizontal. (AM1). Se identifica AM1 cuando el estudiante reconoce las distancias que se relacionan y expresan de manera consciente que a medida que una distancia cambia, la otra distancia también cambia. En esta acción mental no necesariamente los estudiantes reconozcan la dirección, la cantidad o la razón de cambio. Donde reconoce las distancias que se relacionan

y expresan de manera

consciente que a medida que una distancia cambia, la otra distancia también cambia. Se observa que no necesariamente los estudiantes reconocen la dirección del cambio.

Andrés

Juan

Paula

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Con respecto a los estudiantes Sofía Guevara, Sandra Vargas y Zulma Barón se observa un manejo sobre el Nivel de dirección (N2) que da cuenta de la AM1 y de la acción mental de coordinar la dirección del cambio de las distancias tanto verticales como horizontales (AM2). Estos estudiantes posiblemente estarían en Nivel de dirección (N2) esta da cuenta de la AM1 y de la acción mental de coordinar la dirección del cambio de las distancias tanto verticales como horizontales. (AM2) Se identifica AM2 cuando el estudiante reconoce y expresa verbalmente la relación inversamente proporcional entre las distancias verticales y horizontales, ejemplo si aumenta la distancia en AB, disminuirá la distancia AC. Ya reconocen y expresan verbal o gráficamente la relación inversa ntre las distancias verticales y horizontales, ejemplo si aumenta la distancia en AB, disminuirá la distancia AC. Sofía

Zulma

Sandra

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Por último los estudiantes Camila Arenas y Andrés Rodríguez muestran evidencias de reconocer los niveles de coordinación, dirección que dan cuenta de las AM1 y AM2 correspondientemente, de igual forma evidencia un trato a la coordinación del cambio, estimando la cantidad del cambio de una distancia con respecto a la otra, posiblemente generando unas primeras interpretaciones asociadas a la cuantificación del cambio de las variables involucradas en la situación. Por lo tanto este estudiante da indicios de desarrollar las descripciones de las acciones mentales AM1, AM2 y AM3, en consecuencia es posible que el estudiante se encuentre en el Nivel de coordinación cuantitativa. (N3) que da cuenta de AM1 y AM2 y a la acción mental de coordinar la cantidad del cambio de una distancia con respecto a la otra. (AM3). Se identifica que un estudiante se encuentra AM3 cuando estima la cantidad del cambio de una distancia con respecto a la otra. Ejemplo. Si disminuye la distancia AC en x centímetros, la distancia AB aumentara en y centímetros.

Andrés

Ahora bien observaremos en la siguiente tabla el tratamiento de los mismos puntos analizados anteriormente pero en el momento 2 de la tarea donde se presentan algunas justificaciones verbales que nos dan más evidencias de la posible clasificación de los estudiantes en los niveles y acciones mentales propuestos por Carlson, et al.(2003).

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Niveles alcanzados en la simulación

Registros verbales

En la pregunta a y b de la tarea 1 se Pues tal vez, entre menos distancia tenga evidencia por parte de los registros un lado entonces.... digamos el horizontal verbales: entre menos distancia tenga, el vertical La coordinación de la dirección de tendrá mucha más distancia y si digamos cambio de una variable con los ponemos por cada distancia en el sentido cambios en la otra variable AM1 y vertical pues la distancia horizontal va a AM2 los ubica en el N2 (Dirección). aumentar mucho. N2(Dirección) Es como decir, si está disminuyendo la distancia vertical (Toma la tabla y hace el desplazamiento), esto aumentará (señalando la horizontal). Mejor dicho la distancia horizontal aumentará dependiendo cuanto…. pues yo creo cuanto disminuya. N2(Dirección)

La distancia entre este punto y este punto señalando la horizontal, Y acá aumenta la misma distancia que de aquí acá, señalando la horizontal. N2 (Dirección).

En el nivel de la coordinación cuantitativa, las imágenes de la covariación pueden sustentar a las acciones mentales de coordinar la cantidad de cambio en una variable con cambios en la otra. Las acciones mentales identificadas como AM1, AM2 y AM3 son sustentadas por las imágenes N3.

Es como decir, si está disminuyendo la distancia vertical (Toma la tabla y hace el desplazamiento), esto aumentará (señalando la horizontal). Mejor dicho la distancia horizontal aumentará dependiendo cuanto…. pues yo creo cuanto disminuya. N3 (Coordinación cuantitativa)

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno De los registros analizados hasta el momento se evidencia en la producción escrita y verbal realizada por de los estudiantes, una caracterización del cambio de las variables en torno a que si una aumenta la otra disminuye. En un primer momento en el desarrollo de la tarea algunos estudiantes evidenciaron descripciones de AM1, AM2 y AM3 lo que por consiguiente se clasificaron en los N1, N2 y N3 respectivamente. Así mismo en el segundo momento de la simulación de la tarea propuesta y las evidencias verbales recogidas en cada una de las intervenciones realizadas en la simulación, se evidencia que algunos estudiantes que estaban evidenciando descripciones de la AM1 avanzaron en la construcción de las operaciones mentales de covaracion presentes en la simulación, alcanzando expresiones verbales que dieran cuenta del N2 (Dirección), es posible que los estudiantes que hayan alcanzado el N2 en el segundo momento, sea justificado por la experiencia de observar o participar en la simulación realizada. Así mismo los estudiantes que presentaron los N1 y N3 ratificaron sus producciones escritas y validaron las descripciones mentales que presentaron en sus primeros acercamientos al desarrollo de la tarea. Ahora bien, en la tarea los ítems a y b buscaban indagar sobre el ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, por ello en esta misma dirección se plantea el ítem c. que fue diseñado con el objetivo del reconocimiento de la invariante de la situación problema. En este caso el lápiz. A continuación se presenta las producciones escritas y verbales realizadas por los estudiantes del ítem c, este pretendía que el estudiante reconociera el lápiz como una longitud constante y por lo tanto invariante. Si disminuyen cualquiera de los puntos de apoyo del lápiz, ¿qué pasa con la distancia CB? Justifica tu respuesta.

46

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno En relación con el primer momento de la tarea se presentaron dos tipos de producciones por los estudiantes: en relación al primer tipo se evidenció que los estudiantes planteaban la longitud del lápiz como constante, por lo tanto la longitud del lápiz es constante. Por otra parte, en el segundo tipo algunos estudiantes asocian el cambio de las longitudes verticales y horizontales, expresando que la longitud del lápiz depende de esta distancia, evidenciando posiblemente ausencia del reconocimiento de la variable que permanece constante. A continuación presentamos algunas de las producciones escritas y verbales de los estudiantes que expresaron el no cambio en la longitud del lápiz: 4.2.1.4 Producciones de Sofía tarea 1, ítem c

Conforme al primer momento de la tarea, Sofía reconoce que la longitud del lápiz no cambia, que lo que cambia es la inclinación del mismo cuando se desliza en cualquier dirección ya sea de forma horizontal o vertical, reconoce la invariante cuando señala que la distancia CB siempre será la misma. Según Carlson et al. (2003), este reconocimiento corresponde a la primera acción mental de su marco, donde coordina el valor de una variable respecto a los cambios de la otra. Así mismo, puede identificarse la segunda acción mental cuando la estudiante verbaliza lo siguiente en la simulación.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno L1.Investigador: En este momento ¿Quién representa al lápiz? L2.Sofía: la tabla L3.Investigador: ¿Qué pasa con ella? L4.Sofía: Ella tiene una magnitud constante, ella no pierde su magnitud siempre es la misma, sin embargo varia, bueno varia x y y, por que a veces en las gráficas puede variar tanto a magnitud, entonces por su tamaño digamos se le puede con altura, por eso. L5.Investigador ¿En conclusión que se puede decir de la distancia CB? L6.Sofía: Que no va a cambiar.

Al realizar estas descripciones verbales Sofía da indicios de manera cualitativa sus primeras explicaciones sobre los objetivos trazados en estos tres primeros ítems relacionados a lo ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, así mismo, es posible que Sofía verbalice conscientemente la dirección del cambio de una variable de salida, mientras considera los cambios en el valor de entrada; es decir es posible que Sofía determine qué pasa con las longitudes relacionadas si el lápiz se desliza ya sea de manera horizontal o vertical. Entonces podríamos decir que Sofía da cuenta de AM1 y AM2, por ende las imágenes de covariación pueden sustentar a las acciones de coordinar la dirección del cambio de unas las variables con cambios en la otra, por lo tanto se puede situar en un nivel Nº2 (Dirección) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003). A continuación presentamos algunas producciones escritas del grupo de estudiantes que evidenciaron un comportamiento relacionado al de Sofía en este ítem. Camila

Juan

Sandra

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Paula

Enseguida evidenciamos algunos estudiantes que en su producción escrita no les fue posible identificar que la longitud del lápiz se mantenía constante. 4.2.1.5 Producciones de Andrés, tarea 1, ítem c

Conforme al primer momento de la tarea, Andrés reconoce que la longitud del lápiz permanece constante y no cambia. Se observa en la producción escrita que posiblemente Andrés coordine los cambios de una variable con respecto a los cambios de la otra. Ahora bien en este marco conceptual propuesto por Carlson et al. (2003), es posible situar a Andrés en el primer nivel ya que sus producciones escritas dan cuenta del manejo de las acciones de covariación entre las variables de la acciones mentales propuesta en el mismo. En relación con lo anterior, se procedió a observar las producciones verbales de Andrés en la intervención grupal mientras hacia la simulación de la tarea. L3.Investigador: En este momento ¿Quién es el lápiz? L3.Andrés: Creo que la tabla. Sí, es la tabla L3.Investigador: En relación a la pregunta ¿Qué pasa con la distancia CB? ¿Qué pasa? L3.Andrés: Se mantiene L3.Investigador: ¿Qué se mantiene? 49

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno L3.Andrés: Pues se mantiene igual la distancia, ósea no cambia. […] L3.Andrés: Sí, el lápiz nunca va a cambiar L3.Investigador: ¿y entonces? L3.Andrés: La medida del lápiz no cambia, lo que cambia son las medidas de los lados. Centrando la atención en estas descripciones verbales realizadas por Andrés, es posible evidenciar la movilización en la sustentación de la accione mentales

y los procesos de pensamiento

variacional que viene presentando, ya que sus descripciones verbales permiten justificar los procesos de pensamiento relacionados con las AM1 y AM2, que posibilitan dar indicios de manera cualitativa a sus

explicaciones sobre los objetivos trazados en estos tres primeros ítems

relacionados a lo ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, así mismo, es posible que Andrés verbalice conscientemente la dirección del cambio de una variable de salida, mientras considera los cambios en el valor de entrada; es decir es posible que Andrés determine que a medida que un eje aumente el otro disminuye, lo que sustentaría las AM1 y AM2, por ende las imágenes de covariación pueden sustentar a las acciones de coordinar la dirección del cambio de unas las variables con cambios en la otra, entonces sería posible situar a Andrés en el nivel Nº2 (Dirección) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003). A continuación presentamos algunas producciones escritas del grupo de estudiantes que evidenciaron un comportamiento relacionado al de Andrés en este ítem. Juan

Alejandra

50

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Zulma

En consecuencia con la pregunta, ¿qué pasa con la distancia CB?, Se obtiene como resultado que la mitad de los estudiantes reconocen la invariante del problema al afirmar que la distancia CB no cambia o permanece igual, por lo tanto es posible que exista el reconocimiento de la invariante que se presenta en la tarea y por lo tanto el valor del lápiz es el que se va a mantener constante, mientras que la otra mitad de estudiantes no reconocen la invariante del problema sino que los relacionan directamente con las variables que se correlacionan. Después de revisar las producciones verbales que hacen los estudiantes cuando se enfrentan a la simulación de la tarea frente a la pregunta ¿Qué pasa con la distancia CB?, se conjeturó que las imágenes de covariación que hacen los estudiantes son de forma evolutiva, ya que las descripciones de las acciones mentales que hacen cuando observan el fenómeno o los comportamientos del fenómeno son más familiares para el sujeto, en consecuencia posibilita que el estudiante exprese o describa verbalmente los acontecimientos que están a la mano para él, no con ello decimos que el estudiante conciba completamente las relaciones entre las variables, ya que también puede llegar a presentar un razonamiento pseudo- analítico donde únicamente se limita a la descripción de los hechos que suceden sin llegar a conceptualizar o interiorizar las relaciones de variación y cambio que realmente emergen de la tarea asignada. En otras palabras la simulación de la tarea y la interacción con el equipo o grupo de trabajo posiblemente permite que se observen producciones con un nivel de razonamiento más sofisticado como lo señala Carlson et al. (2003) “A medida que la imagen de covariación que tiene un individuo se desarrolla, ella sustenta un razonamiento covariacional más sofisticado” (p. 130). O también puede llegar a 51

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno presentar lo que señala Vinner (1997) citado en Carlson, et al (2003), “que los comportamientos pseudo-analiticos describen un comportamiento que podría parecer un comportamiento conceptual pero que de hecho es producido por procesos mentales que no caracterizan un comportamiento conceptual” (p 125). El trabajo desarrollado hasta este punto de la tarea permitió a los estudiantes reconocer las relaciones existentes entre la vertical y la horizontal, por lo tanto ya reconocen la relación de dependencia de una variable con respecto a la otra, así mismo expresan la dirección del cambio de las variables, en consecuencia y por las producciones encontradas en los estudiantes hasta este punto de la tarea los estudiantes se encuentran en N2 con respecto al marco de razonamiento covariacional propuesto por Carlson, et al (2003). Hasta este momento de la tarea, el razonamiento de los estudiantes se basaba principalmente en imágenes visuales cualitativas proporcionadas por el desarrollo de la tarea en las hojas y la simulación. De igual manera, en el diálogo presentado entre los estudiantes y el investigador no suministra evidencia alguna de características que se pudieran asociar a las acciones mentales 3, 4, o 5 del marco conceptual abordado en este estudio. Estos elementos permiten concluir que la mayoría de los estudiantes, en este momento de la discusión, puede ubicarse en un nivel Nº2 (Dirección) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003) En vista de lo anterior, y con el ánimo de evolucionar en los procesos del pensamiento variacional en los estudiantes se plantean preguntas que indaguen sobre ¿Cuánto cambia?, para ello se plantea en la tarea los ítems e y f. e.

Si el lápiz se resbala un centímetro hacia abajo ¿Cuánto aumenta la distancia horizontal? Justifica tu respuesta

52

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno f.

Si el lápiz disminuye 2 centímetros de su punto de apoyo horizontal ¿Cuánto aumenta la distancia vertical? Justifica tu respuesta

A continuación presentamos producciones escritas y verbales de algunos estudiantes en relación a los ítem e y f de la primera tarea. Ahora bien, pensamos que es posible que la mayoría de las respuestas que se obtengan en las hojas sean como la siguiente: si se resbala un centímetro en la distancia vertical, aumentará un centímetro en la distancia horizontal 4.2.1.6 Producciones de Sofía, ítems e y f, tarea 1

Conforme al primer momento de la tarea, es posible que Sofía sea consciente que la cantidad de cambio de una variable de longitud ya sea horizontal o vertical, afectara a la otra longitud en la misma cantidad de cambio, también expresa la relación del triángulo rectángulo y la medida de sus ángulos y enuncia la palabra equivalencia, refiriéndose a una igualdad, que establece bajo la predicción que si algo se elimina, tendría que reestablecerse en otro lado. Entonces es posible que Sofía considere a la cantidad de cambio del valor de salida como una relación con las cantidades de cambio en las variables de entrada. Este reconocimiento corresponde a la tercera acción mental del marco conceptual. Así mismo, puede identificarse la segunda acción mental cuando el estudiante verbaliza lo siguiente en su grupo de trabajo.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno L1.Investigador: ¿Qué pasa si eso baja 1 cm?, ¿si el lápiz se resbala 1cm? L2. Sofía: Aumenta. (Señalando la distancia horizontal) L3.Investigador: ¿Cuánto aumenta? L4. Paula: Aumenta lo mismo que abajo. L5.Investigador: ¿Tú qué dices? L6. Sofía: Yo digo lo mismo, pero ahorita Mapu (Refiriéndose a Paula)… L7.Investigador: ¿Qué es lo mismo? L8. Sofía: Que mientras, o sea en el sentido vertical se aumenta 5 cm abajo bajará 5cm. L9.Investigador Sí, eso lo que pensamos hasta el momento ¿cierto? , que si baja 1cm, aumenta 1cm y si baja 2cm aumentará 2 cm. Hagamos el experimento a ver qué pasa. Pónganle una altura la que sea, la que ustedes quieran y bajen la distancia que ustedes quieran a ver qué pasa. (Silencio) L10.Investigador Altura 45, distancia 21. (Ubica el montaje con esas características.) L11. Sofía: Bajémelo hasta 40. L12. Paula: La voy a bajar hasta 40, distancia 29. L13.Investigador: ¿Qué paso? L14. Sofía: No se cumplió lo que habíamos pensado. […] L15.Investigador Primera conclusión que sacamos: ¿Cuál es? L16. Sofía: Lo mismo, es que antes decíamos que aumentaba y disminuía la misma cantidad, pero ahorita notamos, que mientras disminuyo 4 aumento 7. […]

Se observa entonces que la simulación le permitió a Sofía reformular su interpretación inicial con respecto a la cantidad de cambio entre las variables, ya que ella misma llegó a la conclusión que no se cumplía que la cantidad obtenida en la variable de salida, no era la misma cantidad en las variables de entrada. Este tipo de interpretaciones le permite a Sofía establecer posibles valores en relación a la cantidad de cambio de una variable con respecto a la otra, como le expone a continuación. […] L17. Paula: Hay una relación pero no va ser igual, no va ser equivalente. L18. Sofía: No es proporcional. L19.Investigador: Cuando ustedes dicen no es proporcional, ¿Qué quieren decir con eso? L20. Paula: Pues lo que disminuye no va ser lo mismo que aumenta. […]

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno L21. Sofía Pues tal vez, entre menos distancia tenga un lado entonces ..... digamos el horizontal entre menos distancia tenga, el vertical tendrá mucha más distancia y si digamos ponemos por cada distancia en el sentido vertical pues la distancia horizontal va a aumentar mucho. L22.Investigador: Muéstranos como lo haces. Explícanos que es lo que estás diciendo. L23. Sofía: Digamos si en este momento, el eje horizontal tiene poquita distancia hasta el centro se podría decir, pero en el eje vertical hay 49, pero si pongo 5 acá, (señalando la vertical) pues acá va aumentar de una manera drástica ¿sí?

En las anteriores producciones verbales se evidencia algunas descripciones mentales de las posibles formas en que se produce el cambio entre las variables de salida y las variables de entrada y las formas uniformes del cambio. Ahora bien, esta producción verbal de Sofía podrá sustentar algunas de las características que se presentan en las acciones mentales propuestas en el marco conceptual ya citado. L21. Sofía: Pues tal vez, entre menos distancia tenga un lado entonces ..... digamos el horizontal entre menos distancia tenga, el vertical tendrá mucha más distancia y si digamos ponemos por cada distancia en el sentido vertical pues la distancia horizontal va a aumentar mucho.

Se observa en su descripción la consciencia de la cantidad no numérica de cambio del valor de salida mientras es considerada los cambios con los valores de entrada. Por ende, sustenta las actividades en relación al razonamiento variacional en AM3. De igual manera, en el diálogo presentado entre Sofía y el investigador no originaron evidencias de características que se pudieran asociar a las acciones mentales 4, o 5 del marco conceptual abordado en este estudio. Por tal razón las producciones evidenciadas permiten concluir que Sofía, posiblemente dé cuenta de AM1, AM2 y AM3, por lo tanto se puede situar en un nivel Nº3 (Coordinación Cuantitativa) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003).

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno 4.2.1.7 Producciones de Andrés ítems e y f, tarea 1

Conforme al primer momento de la tarea, es posible que Andrés sea consciente que la cantidad de cambio de una variable de entrada afecte el cambio de la cantidad cambio en una variable de salida, sin precisar el valor numérico o cantidad cambiante, pero especificando una dependencia entre las longitudes relacionadas. También expresa que se podría saber la cantidad de cambio, haciendo uso del teorema de Pitágoras, relación que conlleva al estudiante a realizar conjeturas sobre los posibles valores numéricos que podría presentar una longitud con respecto a los cambios en la otra. Así mismo se indaga en la simulación las producciones verbales de Andrés y se obtiene lo siguiente: L22.Investigador: Ok, había una pregunta que decía: ¿Si usted tiene una altura y tiene una distancia en el horizontal, si baja un centímetro cuánto aumentaba? , ¿Tu qué contestaste?

L22.Andres: Nada. L22.Investigador: ¿Nada?, ¿no contestaste nada?, ¿lo dejaste en blanco? Ok. ¿Por qué lo dejaste en blanco? L22.Andres:Es que por ejemplo, yo hice un ejemplo por ejemplo no , un cateto era 4 y el otro era 2, entonces 4 por 4 16 y 2 por 2 4, 20 digamos eso sería raíz de 20 . Si se baja 1 cm seria 3, y el de 3 si aumentaría, 3 por 3 9, y en el otro, 3 por 3

9, 9 y 9

18, seria raíz de 18 y no me da lo mismo. Y yo utilice eso.

En las anteriores producciones verbales se evidencia algunas descripciones mentales y procedimentales de las posibles formas en que se produce el cambio entre las variables de salida y las variables de entrada , Ahora bien, esta producción verbal de Andrés podrá sustentar las características que se presentan en las AM3 del marco conceptual, ya que realiza la verbalización de la consciencia de la cantidad de cambio del valor de una variable de salida mientras considera los cambios en el valor de una de entrada. En consecuencia, en el diálogo presentado entre Andrés

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno y el investigador no originaron evidencias contundentes de características que se pudieran asociar a las acciones mentales 4, o 5 del marco conceptual abordado en este estudio. Por tal razón las producciones evidenciadas permiten concluir que Andrés, posiblemente dé cuenta de AM1, AM2 y AM3, por lo tanto se puede situar en un nivel Nº3 (Coordinación cuantitativa) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003). Sin embrago es posible que algunos estudiantes, tenga unos primeros acercamientos a la cuantificación de la razón de cambio uniforme entre las variables, pero no es sustentada con argumentos suficientes que respalden la AM4, sin embargo expresan desde la percepción visual y experimental algunas características del cambio y la cantidad uniforme en la que se produce el mismo lo que llamamos pensamiento pseudo-analitico, pues expresa algunas características de la cuantificación del cambio uniforme a partir de su experiencia, sin sustentar por qué el cambio se presenta de esta manera. Finalmente en relación al trato de la tarea inicial propuesta en este trabajo de profundización en relación a identificar, ¿Qué cambia?, ¿Cómo cambia? y ¿Cuánto cambia?, nos dieron el punto de partida para evidenciar en las producciones de los estudiantes las primeras descripciones cualitativas de la variación con respecto a los procesos de pensamiento variacional de los estudiantes cuando se enfrentan a tareas de esta naturaleza. El razonamiento covariacional entendido como un proceso que evoluciona a través de los diferentes niveles propuestos en el marco conceptual abordado en este estudio de profundización, no es un proceso lineal y, contrario a ello, es posible que los estudiantes presenten diferentes formas de razonar ya sean en niveles más avanzados o niveles más bajos.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno En la siguiente tabla encontramos los niveles de razonamiento alcanzado por los estudiantes descritos por el marco conceptual para la coovariación de Carlson et al (2003, p.128), al solucionar la tarea 1: ¿Qué pasa si se resbala el lápiz? Niveles

Número de estudiantes por nivel

Nivel 1 (N1) Coordinación

O

Nivel 2 (N2) Dirección

7

Nivel 3 (N3) Coordinación cuantitativa

3

Nivel 4 (N4) Razón promedio

0

Nivel 5 (N) Razón de cambio instantánea

0

En este sentido, se pone en evidencia el ausentismo total de los procesos de razonamiento en relación a la caracterización de los procesos de pensamiento que sustentan las AM4 y AM5, y por lo tanto los niveles relacionados al reconocimiento de la cantidad de cambio como razón promedio y como razón instantánea, sin embargo se resalta que ninguno de los estudiantes sean situados en el Nivel 1 de coordinación, por lo tanto suponemos que todos los estudiantes sustentaron el cambio de una variable con respecto a la otra. El conjunto de estudiantes que abordaron esta tarea se situaron en los niveles (N2) Dirección y (N3) Coordinación cuantitativa. Por lo tanto se sustenta que todos los estudiantes reconocieron la dirección de cambio de las variables de salida en relación con las variables de entrada, dicho en otras palabras, si la longitud vertical disminuye, la longitud vertical aumenta y si la longitud vertical aumenta, la longitud vertical disminuye y viceversa. Sin embargo se evidenció que 3 estudiantes presentaron niéveles de razonamiento más avanzados que sustentan la AM3, que se

58

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno relacionan directamente con la coordinación de la cantidad de cambio de una variable con los cambios de otra. Finalmente, por lo que se refiere a la actividad de simulación de la tarea, los estudiantes pudieron experimentar de tal forma que pudieran ir construyendo afirmaciones que validara o refutara los procesos realizados en el primer momento de la tarea. Es acá donde el uso de diferentes contextos y recursos toman fuerza y validez en la construcción del razonamiento y la comprensión de los conceptos matemáticos. El caso de Alejandra y Nicolás, es un ejemplo donde se demuestra que la transferencia de contextos de representación dinámica de las tareas posibilita obtener avances significativos en los niveles de razonamiento coovariacional. 4.2.2. Tarea 2: Buscando áreas de los triángulos formados por el movimiento del lápiz. Esta tarea, tal y como fue justificada en el diseño de este trabajo, estaba direccionada al tratamiento del razonamiento coovariacional y las actividades cognitivas implicadas en la coordinación entre cantidades que varían: sin dejar de lado los procesos que sustentan ¿Qué cambia?, ¿Cómo cambia? y fortaleciendo ¿Cuánto cambia?, para tratar de sustentar AM4 y AM5. Así mismo, la tarea se implementó en dos momentos; el primer momento es una aplicación de la tarea en forma de taller individual y el segundo momento es una experimentación a través de la simulación del ejercicio en el software dinámico geo-gebra. Conforme a los dos momentos planteados en la tarea, analizamos las producciones escritas y verbales realizadas por los estudiante desde el marco conceptual propuesto por Carlson et al. (2003).

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Inicialmente las preguntas a, b y c de la tarea 2: Buscando áreas de los triángulos formados por el movimiento del lápiz., buscan indagar en relación con: ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, por ende se plantearon las siguientes preguntas: a. Si se mueve la punta del lápiz en el eje x que pasa con el área del triángulo formado. Justifica tu respuesta. b. Si se mueve la punta del lápiz de derecha a izquierda que pasa con el área de los triángulos que se forman. Justifica tu respuesta. c.

Si se mueve la punta del lápiz de izquierda a derecha que pasa con el área de los triángulos que se forman. Justifica tu respuesta.

A continuación se presenta el análisis de algunos estudiantes y de las producciones en cada uno de los momentos en los ítems a, b y c. Así mismo, vale la pena resaltar que para efectos del trabajo de profundización que se llevó a cabo, se mostrarán los análisis de algunos estudiantes y se citarán aquellos que posiblemente presenten relaciones en las producciones descritas por ellos. 4.2.2.1 Producciones de Sofía Ítem a

Ítem b

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Ítem c

En el desarrollo de la tarea, Sofía Reconoce la variación del área del triángulo y coordina el cambio teniendo en cuenta la dirección en que se mueva la punta del lápiz. Se observa en la producción escrita el manejo de algoritmos relacionados con el área del triángulo, es posible que con estos algoritmos Sofía establezca la relación entre la variación de los lados y el cambio que este genera en el área de los triángulos resultantes. Según Carlson et al. (2003), este reconocimiento corresponde a la segunda acción mental de su marco. Así mismo, se ratifica la segunda acción mental cuando el estudiante verbaliza lo siguiente: L1.Investigador: OK Chicos, el ejercicio consistía en mirar el área del triángulo que se está construyendo a partir de la punta del lápiz. Entonces, la primera pregunta era si, ¿las áreas cambiaban o no cambiaban?

L2. Sofia: Yo dije que si cambiaban L3.Investigador: ¿Por qué? L4. Sofía: No sé yo empecé a experimentar con valores aleatorios y ya. L5.Investigador: Por ejemplo, si yo lo tuviera ahí y yo lo pudiera mover, ¿qué creen que pasa con este triángulo?, ¿hacia dónde quieres que lo deslice?

L6. Sofía: Hacia la derecha. L7.Investigador: Hacia la derecha. L8.Investigador ¿qué creen que está pasando ahí con el área? L10. Sofía: Aumenta. L11.Investigador: ¿Aumenta el área?, ¿de quién?, ¿del triángulo? L12. Sofía: Sí. L13.Investigador: Listo, vamos a mirar. ¿Será que ahí lo podemos mover más? L14. Sofía: ¿Dónde dice el área? (buscando la medida del área en la pantalla de computador) L15.Investigador: ¿Ahí qué paso?, ¿aumentó el área? L16. Sofía: Es que ahí, perdón. Ahí tiende a disminuir. Llega un punto en el que después es lo contrario, hay un punto máximo de ese término.

61

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Ahora bien Sofía sustenta desde sus intervenciones verbales el reconocimiento de la coordinación del cambio de una variable con respecto a la otra y la coordinación de cambio de la dirección de una variable con respecto a la otra,

lo que evidencia características situadas desde el marco

conceptual del razonamiento covariacional en el N2. En el anterior dialogo se puede evidenciar claramente las relaciones de covariación que se comienzan a evidenciar en las producciones escritas y verbales de los estudiantes cuando se les presenta la tarea en un contexto dinámico (Geo-Gebra). Las producciones verbales dan cuenta del N2, sin embargo despierta en ellos el sentido numérico y la asignación de una medida al área con respecto a la simulación. Cabe decir que en este momento no se evidenciaba en la simulación los valores de las áreas de los triángulos que se formaban en la simulación. Por ello emergieron las siguientes preguntas por parte de los estudiantes. “Donde aparece el valor del área”, “¿Dónde dice el área?”, se despierta en ellos la necesidad de realizar cuantificación y comparación de las medidas de las áreas de los diferentes triángulos que se forman cuando se utiliza el deslizador. Primeros acercamientos de la conciencia de la cantidad de cambio de una variable con respecto a la otra. Es importante señalar las siguientes producciones “Es que ahí, perdón. Ahí tiende a disminuir. Llega un punto en el que después es lo contrario.”, “Hay un punto máximo de ese término.”, en base a lo anterior se encuentra que hacen la descripción mental de lo que está pasando en relación al comportamiento de las áreas donde existe un punto donde el área del triángulo es máxima. Para los ítems a, b y c las producciones de los estudiantes fueron muy similares a las que realizó Sofía, en este punto la mayoría de los estudiantes tienen la habilidad no solo de reconocer el cambio que producen las variables con respecto al área del triángulo, sino también el cambio en el área que este pueda presentar según su dirección, por lo tanto podríamos decir que los estudiantes sustentan dominio del N2 (Dirección).

62

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno De igual forma se procederá con los análisis para los ítems d, e, f y g. A continuación se presenta una secuencia donde el lápiz se desliza de derecha a izquierda sobre el eje x.

d. ¿Qué pasó con la distancia DB y el área de los triángulos resultantes? e. Teniendo en cuenta la secuencia anterior, ¿qué podrías concluir del área de los triángulos. Recuerda que la punta del lápiz se puede deslizar en cualquier dirección sobre el eje x. Justifica tu respuesta. f. De los triángulos 1, 2, 3 y 4 ¿cuál es el de mayor área? justifica tu respuesta. g. De los triángulos 1, 2, 3 y 4 ¿cuál es el de menor área? justifica tu respuesta.

4.2.2.2 Producciones de Sofía, ítems d, e, f y g. Tarea 2 Ítem d y e

Ítem f

63

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Ítem g

A medida que Sofía coordina el cambio y la dirección del cambio entre las variables, relaciona las medidas de las longitudes de los lados del triángulo con el área resultante. Además expresa el sentido y la forma en que varía haciendo alusión al área máxima del triángulo. Se observa en la producción escrita el manejo de algoritmos relacionados con el área del triángulo para obtener el resultado de las áreas y así mismo definir el de mayor y menor área. Según Carlson et al. (2003), este reconocimiento corresponde a la tercera acción mental de su marco conceptual. 4.2.2.3 Producciones de Sandra Vargas ítems d, e, f y g. Tarea 2

Ítem d y e

Ítem f

Ítem g

64

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Acorde al primer momento de la tarea, Sandra coordina el cambio y la dirección del cambio entre las variables, relacionando las medidas de las longitudes de los lados del triángulo con el área resultante. Además expresa el sentido y la forma en que varía haciendo alusión al área máxima del triángulo. Se observa en la producción escrita de valores numéricos que representan el área del triángulo para obtener el resultado de las áreas y así mismo definir el de mayor y menor área. Según Carlson et al. (2003), este reconocimiento corresponde a la tercera acción mental. Las anteriores producciones verbales realizadas por Sofía y Sandra ratificaron el razonamiento que sustenta la AM3 […]

L15.Investigador Son equivalentes ok. Sigamos acá, si se mueve la punta del lápiz de izquierda a derecha, ¿qué pasa con el área de los triángulos que se forman? L16. Sofía:: Disminuye, pues si está en el punto medio disminuye, y si esta, siempre va a disminuir a los lados.

L15.Investigador: O sea, ¿que quién es el que pone a aumentar o a disminuir? L16. Sofía: El eje x, pues la distancia en el eje x. L16. Sandra: No, porque ahorita con el mismo ejemplo que tu decías también podría variar el y. L15.Investigador: O sea, si usted lo mueve de izquierda a derecha, ¿siempre le va a disminuir? L16. Sandra: No. L16. Sofía: Depende de donde esté ubicado. L16. Sandra: Depende del área central. L16. Sofía: Si está ubicado en el área central pues va a disminuir, si está ubicado en el área, pues al otro lado pues va aumentar. L15.Investigador Listo siguiente, de esos cuatro triángulos ¿cuál era el de área mayor? L16. Sandra: El primero. L15.Investigador ¿Por qué? L16. Sofía: Yo puse porque estaba más alejado del punto 0 en x. L15.Investigador ¿Y el de menor área? L16. Sofía: El último. L15.Investigador: ¿Sí? L16. Sandra:

En las anteriores producciones verbales se evidencia algunas descripciones mentales y procedimentales de las posibles formas en que se produce el cambio entre las variables de salida y las variables de entrada , Ahora bien, estas intervenciones logran sustentar las características 65

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno que se presentan en las AM3 del marco conceptual, ya que realiza la verbalización de la consciencia de la cantidad de cambio del valor de una variable de salida mientras considera los cambios en el valor de una de entrada. Pero estas producciones verbales no originaron evidencias donde se puedan observar características que se pudieran asociar a las acciones mentales 4, o 5 del marco conceptual abordado en este estudio. Por tal razón las producciones evidenciadas permiten concluir que Sofía Y Sandra, posiblemente dé cuenta de AM1, AM2 y AM3, por lo tanto se puede situar en un nivel Nº3 (Coordinación cuantitativa) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003). A continuación se observarán algunas producciones verbales que se presentaron en la simulación dinámica del problema, que ratifican el movimiento de la mayoría de los estudiantes al N3 Coordinación cuantitativa. Est 2: Sí, yo hice, empecé a experimentar y me di cuenta que desde un punto, sí los valores son inversos. Entonces, si iba aumentando desde un punto comienza a disminuir el área. Est 3: Es una función cuadrática se podría decir porque vuelve donde empezó. Eso tiene un punto donde, donde.. Est 2: Retorna. P: ¿Tú qué dices? Est 1: Sí, yo digo que hay un punto máximo y un punto mínimo porque si sigue aumentando en el eje X, va disminuir mucho en el eje Y , y la altura también va disminuir. O sea que el área va ser más pequeña, después. P: Cuando ustedes me hablan un punto máximo y un punto mínimo, ¿a qué se están refiriendo? Est 2: Es como. Est 1: Un límite. Est 2: Un límite al que llegue para que los datos empiecen a variar, o sea a comportasen de otro modo.

Este diálogo ratifica los procesos de covaración y cuantificación del cambio, que comienzan a tomar los estudiantes cuando utilizan el software como herramienta para describir sus procesos de razonamiento y así mismo representar los fenómenos que pasan en las interacciones con la herramienta dinámica. Conforme a estas producciones verbales y escritas es posible evidenciar las evoluciones de las imágenes mentales que presentan cuando trabajan tareas relacionadas al cambio y la variación. 66

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Ahora bien (N3) da cuenta de AM1, AM2 y a la acción mental de coordinar la cantidad del cambio (AM3). Est2: Pues es como una parábola o algo así. Es decir, comienza aumentar llega a un límite y comienza a bajar . P: ¿ Tú qué dices? Est 4: Si estoy de acuerdo con ellas, pues. Est 1: Si tiene una función de una parábola. P: ¿Por qué? Est 1: Porque llega a un punto como central, neutral por decirlo así, en el que, una parábola tiene un punto central y a los lados siempre va ser igual, ¿Si?, ¿ci me hago entender?. Est 4: Si cogiéramos el área gráficamente, eso nos daría la parábola de la que habla Brian. Est 1: Exacto, si usted lo pone acá, ahí va ser 2,5 y 4, 5,41, y si usted lo busca acá va ver un momento donde también el área mida 5,41. P: Entonces, eso que ustedes dicen, ¿Aquí cuál es el punto en relación con el área?, ¿Qué sería? Est 3: Aquí es de 4 y 3. Pues aquí. Est 4: 6,16 es el área. P: ¿Qué pasa con ese 6,16?, […]

Estos comportamientos que expresaron sustentan el N3 de Coordinación cuantitativa. Ya que expresan si disminuye o aumenta el área teniendo como punto de referencia el área máxima del triángulo. De igual forma se propuso la siguiente pregunta, con el objetivo de observar si los estudiantes reconocían que la existencia de triángulos en diferente posición y con la misma área. h. Los siguientes triángulos se formaron al deslizar la punta del lápiz sobre el eje x, ¿Qué podrías concluir de las gráficas?

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno

4.2.2.4 Producciones de Andrés, Nicolás, Zulma y Sofía, ítem h. tarea 2

En relación con el marco conceptual propuesto por Carlson, et al. (2003), y las producciones realizadas en la ejecución de las tareas, se viene observando que los estudiantes presentan avances en torno a la creación de imágenes y de características propias que atañen a la evolución del desarrollo del pensamiento variacional, que describen los procesos evolutivos a través de la caracterización de las acciones mentales y así mismo sustentan los niveles de covariación. En pro de avanzar hacia los niveles N4 (Razón promedio) y N5 (Razón de cambio Instantánea), que hasta el momento no ha sido posible en la tarea 1 ni en la tarea 2, para hacer posible la evolución a estos tipos de razonamiento, se pidió a los estudiantes realizar una representación gráfica de la situación y se obtuvieron los siguientes resultados.

68

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno 4.2.2.5 Algunas producciones de los estudiantes del ítem i, tarea 2

De las representaciones obtenidas se observa que la mayoría son gráficas lineales que son realizadas a partir de tablas de valores de entrada con valores de salida, lo que va en contrariedad con lo expuesto en algunas verbalizaciones realizadas en la simulación del software dinámico geogebra en relación a la parábola o la función cuadrática como un modelo de representación de la tarea. De tal manera, podemos decir que estas descripciones son razonamientos pseudo analíticos, donde se describe el fenómeno a partir de un recurso verbal sin tener conciencia conceptual del mismo; por ello, cuando se evidenció entre las verbalizaciones expresiones como parábolas o función cuadrática, es más relacionado a los procesos de la visualización o de su recorrido académico, con ausencia del concepto como tal, por lo tanto se sigue presentando ausencia en los procesos descriptivos que conllevan a un estudiante a sustentar la acción mental de coordinar la razón de cambio promedio entre las variables relacionadas (AM4). Por lo tanto, se identifica que los estudiantes sustentan la AM4 cuando analizan tablas o gráficas que les permitan deducir sobre la razón de cambio que presenta una distancia con respecto a la otra. Es importante señalar que el hacer una tabla o una gráfica no precisamente da cuenta de evolucionar en la coordinación promedio del cambio. Hasta este momento el estado observable en la mayoría de los estudiantes, muestran que ellos desarrollan habilidades para determinar la dirección del cambio de la variable dependiente en

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno relación con la variable independiente AM2. Algunas expresiones direccionaron los razonamientos a la coordinación de las imágenes de la cantidad de cambio de una variable de entrada con respecto a una variable de salida AM3. En las producciones se encuentra ausencia en el desarrollo de las habilidades para interpretar y representar la razón de cambio AM4. Por ende, tampoco se evidencia habilidades en relación al N5 Razón Instantánea que da cuenta de todas las AM mencionadas anteriormente y hasta la acción mental de coordinar la razón de cambio instantánea del cambio de una distancia con respecto a la otra AM5. En la siguiente tabla encontramos los niveles de razonamiento alcanzado por los estudiantes descritos por el marco conceptual para la coovariación de Carlson et al (2003, p.128), al solucionar la tarea 2: Áreas de los triángulos formados por el movimiento del lápiz. Niveles

Número de estudiantes por nivel

Nivel 1 (N1) Coordinación

O

Nivel 2 (N2) Dirección

2

Nivel 3 (N3) Coordinación cuantitativa

8

Nivel 4 (N4) Razón promedio

0

Nivel 5 (N) Razón de cambio instantánea

0

Finalmente, se vuelve a poner en evidencia el ausentismo total de los procesos de razonamiento en relación a la caracterización de los procesos de pensamiento que sustentan las AM4 y AM5, y por lo tanto los niveles relacionados al reconocimiento de la cantidad de cambio como razón promedio y como razón instantánea, igualmente se resalta que ninguno de los estudiantes están situados en el Nivel 1 de coordinación, por lo tanto suponemos que todos los estudiantes sustentaron el cambio de una variable con respecto a la otra.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno El conjunto de estudiantes que abordaron esta tarea se situaron en los niveles (N2) Dirección y (N3) Coordinación cuantitativa. Por lo tanto se sustenta que todos los estudiantes reconocieron la dirección de cambio de las variables de salida en relación con las variables de entrada, dicho en otras palabras, si la longitud vertical disminuye, la longitud vertical aumenta y si la longitud vertical aumenta, la longitud vertical disminuye y viceversa. Sin embargo se evidenció que esta tarea movilizó cinco estudiantes más que en la primera tarea a niéveles de razonamiento más avanzados que sustentan la AM3, que se relacionan directamente con la coordinación de la cantidad de cambio de una variable con los cambios de otra. En cuanto a la simulación de la tarea, los estudiantes pudieron experimentar de tal forma que pudieran ir construyendo afirmaciones que validara o refutara los procesos realizados en el primer momento de la tarea. Esta herramienta fue de gran ayuda y es posible que sea el artífice de movilizar más estudiantes a sustentar el N3 de Coordinación cuantitativa. Por lo tanto desde este trabajo de profundización, se sugiere abordar el desarrollo del pensamiento variacional, en la línea de diversificación de contextos y recursos que ayuden a comprender los conceptos matemáticos, y así mismo salir de la matemática descontextualizada y estática. 4.2.3 Tarea 3: Hablando de áreas máximas y mínimas. Esta tarea, tal y como fue justificada en el diseño de este trabajo, estaba direccionada al tratamiento del razonamiento coovariacional y las actividades cognitivas implicadas en la coordinación entre cantidades que varían. Más exactamente movilizar a los estudiantes a evolucionar en los procesos de razonamiento coovariacional en AM4 Y AM5: sin dejar de lado los procesos que sustentan ¿Qué cambia?, ¿Cómo cambia? y fortaleciendo ¿Cuánto cambia?, para tratar de sustentar AM4 y AM5. La situación se propone para trabajar de forma simultánea con el software dinámico (Geo-Gebra) y el instrumento o tarea propuesta, referenciado por Villa (2006), esta se desarrollara en tres

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno momentos: el primero dirigido a la variación cualitativa, el segundo momento estuvo direccionado a la cuantificación de la variación y el cambio y por último el tercer momento indagará sobre la construcción de representaciones graficas que modelen la situación problema. De tal manera que se pueda llegar a evidenciar el desarrollo del pensamiento variacional a través de las Acciones Mentales y los Niveles de Covariación propuestas por Carlson et al (2003). Las preguntas a, b, c, y d están dirigidas a indagar sobre ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, donde los estudiantes a partir de sus observaciones lleguen a verbalizar y escribir las características de sus imágenes mentales en momentos de experimentación con la simulación del problema. Observa la simulación en el software Geo-Gebra y contesta las siguientes preguntas. a. Teniendo en cuenta la simulación realizada responde a la siguiente pregunta ¿Qué cambia? b. Describe los cambios que evidenciaste en la simulación. c. ¿Qué es lo que cambia? En relación al desarrollo de la tarea se evidencia en las producciones el reconocimiento y la relación de cambio entre las variables a partir de las características que se puede evidenciar en la simulación de la tarea y las verbalizaciones de los alumnos cuando hacen uso del mismo, como lo observamos en algunas producciones de los estudiantes a continuación.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno 4.2.3.1 Producciones de Camila, ítems a, b y c, Tarea 3

Al desarrollar la tarea, se evidencia que Camila reconoce el cambio entre las variables presentes en el problema. Describe el cambio de las áreas, perímetros a través del movimiento del punto C. Relaciona la cantidad de cambio del valor de salida con el valor de entrada de las variables. Este reconocimiento corresponde a la tercera acción mental del marco conceptual. Así mismo, puede identificarse la sustentación de esta AM3, cuando verbaliza lo razonamientos en el grupo de trabajo. 4.2.3.2 Producciones de Andrés, ítems a, b y c, Tarea 3

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Al desarrollar la tarea, se evidencia que Andrés, Reconoce el cambio entre las variables presentes en el problema. Describe el cambio de las áreas, perímetros a través del movimiento del punto C. Relaciona la cantidad de cambio del valor de salida con el valor de entrada de las variables, donde se refiere al punto máximo en relación a la concavidad que describe a la parábola. Relaciona la cantidad de cambio del valor de salida con el valor de entrada de las variables. Este reconocimiento corresponde a la tercera acción mental del marco conceptual. Así mismo, puede identificarse la sustentación de esta AM3, cuando verbaliza lo razonamientos en el grupo de trabajo. En relación al primer momento de la tarea, se logra observar, en las producciones, el reconocimiento y la relación de cambio entre las variables a partir de las características que se puede evidenciar en la simulación de la tarea y las verbalizaciones de los alumnos cuando hacen uso del mismo, como lo observamos a continuación. P: ¿Qué pasa si se mueve el punto e? Est: Una se agranda y otra se achiquita. P: Cuando tú me dices una se agranda otra se achiquita, ¿qué pasa? Est: La inversa, pero. P: ¿Qué se agranda o qué se achiquita para ti? Est: La distancia del lado y así se agranda. P: ¿De cuál lado? Est: De este. Est: De todos. Est: De este y de la paralela de este, y el otro se disminuye con la paralela de este. P: Listo, tú me dices que si yo muevo a e, va pasar algo, ¿qué pasa? Est: Las medidas del rectángulo cambian. P: Las medidas del rectángulo cambian, ¿cierto? Cuando me dicen las medidas del rectángulo ¿qué son las medidas del rectángulo? Est: Pues el área y la medida de los lados. P: El área y la medida de los lados. ¿Cómo cambia eso? Est: Pues unas aumentan y otras disminuyen. 74

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno

De lo anterior se observa que los estudiantes coordinan los cambios de una variable con respecto a la otra; también se puede identificar la relación en la coordinación del cambio entre el punto y los paralelogramos que se forman en la simulación. En el siguiente diálogo se observa un ejemplo de este reconocimiento.

Est: Pero llega un momento en que son igual que el rectángulo, llega un momento cuando el rectángulo se convierte en un cuadrado, después de ese momento digamos va en aumento y cuando llega al cuadrado disminuye después. P: ¿Tú qué dices? Est: Pues que además de que varía la longitud de los lados, pues si se mueve pa la izquierda va aumentar un lado y disminuye el otro. Pero va ser la misma medida si aumenta hacia la derecha; o sea es relacionado paralelamente. Espera, mira. Va ser la misma medida que si la tenemos de acá o de acá.

En consecuencia esta es una evidencia de coordinación de la dirección de cambio de una variable con los cambios en la otra variable, donde los estudiantes toman conciencia de la dirección del cambio de las variables respectos a los valores de entrada y de salida. Así mismo a medida que los estudiantes hacen la simulación se da la necesidad de incorporar datos cuantitativos a las longitudes y las áreas presentes, estas para ratificar las consideraciones que tienen los estudiantes en relación a las medidas de las longitudes de los lados y las áreas de los rectángulos. En el siguiente dialogo se observa un ejemplo de este reconocimiento.

Est: ¿Profe no se pueden ver las medidas? P: ¿Qué medidas necesitas? Y ¿para qué las necesitas? Est: Para mirar si cambia lo mismo, o sea para saber que lo que cambia acá cambia acá. (señalando…) P:¿O sea qué medidas necesitas? Est: Lo de acá y lo de acá. (Señalando la medida del punto E al vértice del rectángulo) P: Eso tiene un nombre. Est: Los lados del rectángulo.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Est: Y también el área del rectángulo. […] Est: O sea la mitad de A a I, el cuadrado va ser, va tener todos los lados iguales, porque no va ser un rectángulo ni va ser un cuadrado. Si lo movemos hacia la izquierda se convertirá un rectángulo, pero así mismo si lo movemos hacia el otro lado tendrá la misma longitud de los lados que si tiene si lo movemos hacia la izquierda. Digamos acá, b es 6,94 y si lo movemos para acá pues nos damos cuenta que es aproximadamente la misma distancia.

En consecuencia se observa que las preguntas a, b, c, y d dirigidas al ¿Qué cambia?, ¿Cómo cambia? y ¿Cuánto cambia? logran desarrollar en los estudiantes observaciones en la simulación de tal manera que le posibilite verbalizar y escribir las características de sus imágenes mentales en momentos de experimentación y apropiación de la tarea. Estas producciones nos dan indicios de establecer una relación con el N3 propuesto en el marco conceptual, donde se sustenta la coordinación de la cantidad en el cambio de una variable con respecto a la otra y por ende las AM1, AM2 Y AM3. Ahora bien, en el deseo de evolucionar en el desarrollo del pensamiento variacional al siguiente nivel N4 (Razon promedio), se les pregunta a los estudiantes lo que cambia, ¿Cuánto cambia? , teniendo en cuenta que podían hacer uso de la simulación y el instrumento entregado. d. ¿Lo que cambia, cómo cambia? 4.2.3.4 Producciones de estudiantes, Ítem d, tarea 3

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno

Respecto a lo anterior se evidencia ausencia total del reconocimiento de la razón de cambio promedio como la cantidad que relaciona a las variables del área con la variable de la longitud del segmento. En otras palabras no coordinan la razón de cambio promedio de las variables con los incrementos uniformes del cambio en la variable de entrada. A continuación se muestra algunas de las verbalizaciones que sustentan la ausencia de la coordinación de razón promedio de cambio. P: Sí ok, ¿cuánto cambia? Est: O sea comienza a crecer y cuando el rectángulo se convierte en un cuadrado, comienza a disminuir después el área. Est: De igual forma al otro lado con las medidas. Est: Es como una equivalencia. Est: Llega a una equivalencia cuando se convierte en un cuadrado. P: ¿Cuándo el área decrece y cuándo decrece? […] P: Vamos a poner el punto en la mitad, o sea que es el punto, ¿dónde? Est: 2, cuando todos sus lados son 8. Est: Aja 8. Est: Ahí es un cuadrado, y esta como en el punto máximo.

En el anterior relato se establecen relaciones del cambio de una variable con respecto a la otra, así mismo se caracteriza la dirección en que el área puede crecer y decrecer y los posibles valores que las áreas y las longitudes podrían tomar según su variación. En consecuencia lo anterior da cuenta de N3 (Coordinación cuantitativa) que al tiempo justifica las AM1, AM2 y AM3. Ahora bien, se hace explicito la ausencia del nivel de la razón promedio, por lo tanto las imágenes de coovariación que sustentan a las acciones mentales de coordinar la razón de cambio uniforme de una variable de entrada con respecto a la de salida no se hacen explicitas cuando se indaga cuanto cambia el área con respecto al movimiento de los segmentos del rectángulo.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno Para obtener más información y potenciar a los estudiantes en el desarrollo del N4 (Coordinación razón) se plantea la siguiente pregunta. ¿Podríamos representar las formas del cambio entre el segmento AE y el área del rectángulo? Justifica tu respuesta.

e. ¿Lo que cambia, cuánto cambia? 4.2.3.5 Producciones de estudiantes, Ítem e, tarea 3

Se utilizaron estrategias tabulares y gráficas para representar el cambio en relación del área con respecto a la longitud de los lados del rectángulo, las tablas las hicieron con los valores que observaban cuando manipulaban la simulación de la tarea y la gráfica la realizaron a partir de la tabla.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno

Este trabajo permitió la observación del cambio de una variable respecto a la otra que se evidencia en los siguientes diálogos de los estudiantes. Est 1: En 0,5...... es como 3,3. Est 3: En 0 debe valer 0, en 1 vale 6, en 2 vale 8 en 3 vale 6, en en 4 debe dar 0. Est1: ¿cero? Est 3: si Est1: Pero entonces en 0 también da 0…..ah entonces si

El anterior dialogo da indicios de una aproximación al cuarto nivel de razonamiento (nivel de razón), mediante el análisis cuantitativo que utilizan en los registros tabulares. En los siguientes diálogos podremos ver un poco más el tratamiento que se le da al registro tabular y por ende a la razón de cantidad de cambio uniforme en relación con las variables de entrada y la variable de salida.

Inv: ¿podríamos representar las formas del cambio entre el segmento AE y el área del rectángulo? Est 1: si Inv: ¿Cómo lo podríamos representar? Est1: pues empezamos a tabular y hacemos la traza. […] Est 1: Oye JC, cuando vale ¿Cuánto valía? (Haciendo alusión al valor del área? Est 2: seis Est 1: Entonces cuando vale uno vale seis, cuando vale dos vale ocho, cuando vale tres vuelve a seis, cuando vale cuatro vuelve ah…. Ocho.

En este diálogo se observa cómo los estudiantes construyen la razón de cambio promedio como la cantidad que relaciona el cambio en la variable del área con los cambios discretos correspondientes al lado del segmento del rectángulo. 79

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno En consecuencia el registro tabular ayuda a dar cuenta de las primeras aproximaciones al nivel de la razón promedio, donde se hacen explicitas las acciones mentales de coordinar la razón de cambio uniforme de una variable discreta de entrada con respecto a la de salida. Este registro tabular subyace del trabajo en grupo y la construcción del conocimiento en pequeñas comunidades de aprendizaje, haciendo uso del software dinámico y la simulación de la tarea. Del mismo modo se hace el cambio de registro tabular al cambio de registro gráfico como se muestra a continuación en la siguiente secuencia.

El análisis de las producciones implica la coordinación de las variables y la interrelación entre los diferentes sistemas de representación que propenden a la construcción conceptual en términos de los procesos de reconocimiento de la razón de cambio promedio como la cantidad uniforme que 80

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno relaciona a las variables. Así pues cuando los estudiantes generan una tabla, determinan la variación de las variables, y hace diferentes representaciones del cambio y la variación, donde emergen elementos relacionados al desarrollo del pensamiento variacional y a la aproximación de los niveles N4 (Razón promedio) y N5 (Razón de cambio instantánea) propuesto en el marco conceptual por Carlson et al. (2003). Así mismo, se muestran las verbalizaciones que acompañan la construcción gráfica que realizan algunos estudiantes en la pequeña comunidad de aprendizaje. P: ¿cómo hicieron la gráfica? Est al tiempo: a partir de la tabla. P: y ¿cómo construyeron la tabla? Est 1, 2 y 3: con los valores que se obtienen al mover el punto E. P: ¿qué gráfica obtuvieron? Est 1: una parábola. P: analicemos la parábola, como analizaríamos la parábola. Est 3: que es positiva. Est 4: no, no es positiva porque abre hacia abajo Est 2: ah sí. P: interpretemos la parábola con el movimiento del cuadrado. Est 2: que cuando está en el centro entonces llega al punto máximo, entonces seria creciente porque cuando va hacia ya (señalando la dirección del movimiento a la derecha), va a amentar. Est 1: pues, la relación con la parábola el punto máximo seria cuando AE está en el medio y cuando los lados del rectángulo son iguales, ya cuando van al lado izquierdo es cuando EA se mueve a la izquierda y el área comienza a disminuir hay, pero hacia a la derecha EI cuando se mueve de izquierda a derecha entonces el área comienza a disminuir, entonces acá (señalando la concavidad de la parábola y rayando en dirección al eje x) es cuando esto es un cuadrado. Est 3: si cuando el punto está en centro se vuelve cuadrado y es el área máxima que puede tener la figura y del centro hacia los extremos disminuye. Est 5: yo digo lo mismo y lo que dice mi compañera es totalmente cierto.

81

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno El análisis de las producciones verbales evidencia el comportamiento de las variables y la interrelación entre los diferentes sistemas de representación de los procesos de cambio y variación que se obtienen en la simulación dinámica de una tarea como la ejecutada por los estudiantes. Así pues cuando los estudiantes generan una tabla, determinan la variación de las variables, y hace diferentes representaciones del cambio y la variación, donde emergen elementos relacionados al desarrollo del pensamiento variacional dando cuenta de la ausencia de procesos pseudoanaliticos con respecto a cuantificación del cambio y la ausencia de los niveles N4 (Razón promedio) y N5 (Razón de cambio instantánea) propuesto en el marco conceptual por Carlson et al. (2003). Tarea 3: Halando de áreas máximas y mínimas Niveles

Número de estudiantes por nivel

Nivel 1 (N1) Coordinación

O

Nivel 2 (N2) Dirección

1

Nivel 3 (N3) Coordinación cuantitativa

9

Nivel 4 (N4) Razón promedio

0

Nivel 5 (N) Razón de cambio instantánea

0

En conclusión,

se determina la falta de los procesos de razonamiento en relación a la

caracterización de los procesos de pensamiento que sustentan las AM4 y AM5, y por lo tanto los niveles relacionados al reconocimiento de la cantidad de cambio como razón promedio y como razón instantánea, igualmente se resalta que ninguno de los estudiantes están situados en el Nivel

82

Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno 1 de coordinación, por lo tanto suponemos que todos los estudiantes sustentaron el cambio de una variable con respecto a la otra. El conjunto de estudiantes que abordaron esta tarea se situaron en los niveles (N2) Dirección y (N3) Coordinación cuantitativa. Por lo tanto se sustenta que todos los estudiantes reconocieron la dirección de cambio de las variables de salida en relación con las variables de entrada. Sin embargo, se evidenció que esta tarea movilizó un estudiante más que en la primera segunda tarea a niveles de razonamiento más avanzados que sustentan la AM3, que se relacionan directamente con la coordinación de la cantidad de cambio de una variable con el cambios de la otra. En cuanto a la actividad de simulación de la tarea, los estudiantes pudieron experimentar de tal forma que pudieran ir construyendo afirmaciones que validara o refutara los procesos realizados en el primer momento de la tarea. Esta herramienta fue de gran ayuda y es posible que sea el artífice de movilizar más estudiantes a sustentar el N3 de Coordinación cuantitativa. Por lo tanto desde este trabajo de profundización, se sugiere abordar el desarrollo del pensamiento variacional, en la línea de diversificación de contextos y recursos que ayuden a comprender los conceptos matemáticos, y así mismo salir de la matemática descontextualizada y estática.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno

Capítulo 5 CONCLUSIONES Los niveles de razonamiento covariacional presentados en el marco conceptual de Carlson et al. (2003), parecen describir el razonamiento presentado por los estudiantes en el estudio de situaciones relacionadas al cambio y la varaiación. Al asumir el razonamiento como un proceso que evoluciona a través de los niveles presentados en el marco conceptual, surgen en las producciones escritas y verbales realizadas por los estudiantes características o elementos relacionados al desarrollo del pensamiento variacional. Estos son: la coordinación del cambio de una variable respecto a la otra (AM1), el reconocimiento de la coordinación de la dirección del cambio de una variable respecto a la otra (AM2) y por ultimo las estimaciones respecto a la coordinación de la cantidad del cambio de una variable respecto a la otra (AM3). El análisis de las producciones verbales y escritas, posibilitaron describir y analizar las características relacionadas al desarrollo del pensamiento variacional, que a su vez se sustentaron las diferentes acciones mentales y niveles de razonamiento del marco conceptual. El planteamiento de tareas y el uso de las simulaciones permitieron

lograr desarrollo del

pensamiento variacional, ahora bien, cabe mencionar que las 3 tareas propuestas en este trabajo de profundización permitieron describir, analizar e interpretar posibles características de este pensamiento, sin embargo se deja a consideración para próximas investigaciones la necesidad de replantear estas tareas o ampliarlas para

así movilizar a los estudiantes a imágenes de

razonamientos de coovariación en los N4 y N5 de este marco conceptual.

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno

La actividad como experimento, al presentar la situación en el software dinámico o en la simulación experimental, los estudiantes pudieron visualizar de forma significativa las posibles formas de cambio de cada una de las actividades planteadas en las tareas, así mismo, podían controlar y verificar el cambio que se presentaba en ellas, de tal manera que iban construyendo sus afirmaciones que validaba o refutaba sus procesos de razonamiento coovariacional. Así mismo, Kaput (1994) citado en Carlson et al. (2003), señala que “el nuevo siglo ofrece a los educadores un sin número de tecnologías que incluyen las calculadoras gráficas, software geométrico, sistemas computacionales de álgebra, entre otras, como implementos físicos diseñados especialmente para estudiar eventos dinámicos y en tiempo real” (p. 150), posición que compartimos, ya que en esta investigación el software logró evidenciar por parte de los estudiantes, los procesos en que se presentaba el cambio de las variables. En algunas de las producciones verbales se evidenció que el cambio que presentaba se podría cuantificar y por lo tanto extraer valores para realizar una representación tabular y gráfica. Movilizarse en diferentes representaciones es importante en la comprensión de los conceptos matemáticos. Los casos específicos de Alejandra y Nicolás son ejemplos porque cuando se les presentó la misma actividad en un contexto experimental y dinámico les fue más significativo, agradable y desde luego positivo, esto permitió obtener evidencias verbales que sustentan el manejo de acciones mentales 1 y 2 y por lo tanto dan cuentas del marco conceptual al nivel N2 Dirección. Preguntar por ¿qué cambia?, ¿cómo cambia? y ¿cuánto cambia?, fue de vital importancia para originar la evolución en el razonamiento, así pues el estudiante estuvo en constante reflexión sobre

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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno sus procesos de pensamiento, también le permitió validar y justificar los procesos de cambio y variación que consideraba en la producción escrita y la experimentación de las tareas. Los estudiantes que hicieron parte de este trabajo de profundización presentaron diferentes habilidades para aplicar procesos de razonamiento coovariacional al abordar tareas relacionadas al cambio y variación en contextos dinámicos. A lo largo del trabajo se evidenció que los estudiantes presentaron dificultades para construir imágenes de una razón que cambia uniformemente y sustentan las características asociadas al N4, y por supuesto en la construcción de imágenes que sustentan el cambio instantáneo que refiere a la AM5 que a su vez sustenta todos los niveles anteriores. Sin embargo los estudiantes sustentaron las imágenes relacionados a determinar la dirección del cambio de una variable con respecto a la otra (N2) y la mayoría sustentaron las imágenes de coordinar la cantidad de cambio de la variable de salida mientras considera cambios en la variable de entrada AM3. Las tareas y la aplicación de las mismas en situaciones dinámicas son herramientas que contribuyen en el desarrollo del pensamiento variacional, ahora bien, cabe mencionar que las 3 tareas propuestas en este trabajo de profundización permitieron describir, analizar e interpretar posibles características del pensamiento variacional, sin embargo para próximas investigaciones se ve la necesidad de replantear estas tareas y, porque no, construir otras para así movilizar a los estudiantes a imágenes razonamientos de coovariación en los N4 y N5 de este marco conceptual.

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