DESARROLLO DE UNA APLICACIÓN INFORMÁTICA PARA VALUAR OPCIONES A TRAVES DE LA VOLATILIDAD IMPLÍCITA

VALUACIÓN DE OPCIONES A TRAVES DE LA VOLATILIDAD IMPLÍCITA

 
- TEORÍA Y APLICACIÓN EN EL MERCADO LOCAL –


Daniel San Pedro
17 Dic 2012
Modelos DVF valuados con GC
Volatidades Obtenidas (inputs) cont.
Especificación 4.2.3
Volatilidad = 0.6235 – 0.5957X + 0.0644X2 + 4.8112T – 0.4920XT
con un R2 = 0.9833

Especificación 4.2.4
Volatilidad = 1.6531 – 0.4664X + 0.0644X2 + 1.1744T + 3.2737T2 – 0.8036XT
con un R2 = 0.9609

Volatidades Obtenidas (inputs)
Ponderando por volumen negociado
Volatilidad = 39.53% (4.2.1.1)
con un R2 = 0.7718
Ponderando por el vega de la opción
Volatilidad = 78.09% (4.2.1.2)
con un R2 = 0.6822
 Desvió Estándar de los retornos de la acción
 Volatilidad = 3.72% (4.2.1.3)
con un R2 = 0.8377

Especificación 4.2.2
Volatilidad = 4.2271 - 1.0154X + 0.0644X2
con un R2 = 0.9997
Modelos de valuación de opciones
Modelo Practitioner Black-Scholes
requiere una serie de volatilidades implícitas obtenidas con la fórmula original de Black-Scholes sobre la cual se ejecuta una regresión múltiple en mínimos cuadrados ordinarios (OLS).

Modelo de GRAM-CHARLIER
proporciona una manera simple para tener en cuenta tanto asimetría y curtosis y supone que la volatilidad es constante en el tiempo.

DVF PBS Errores
DVF GC Errores
DVF 4.2.2 PBS Error
Q & A
Conclusión
Se observa que los modelos de volatilidad constantes a través de Black-Sholes difieren notablemente del precio operado en el mercado, estos modelos tienden a sobrevalorar la volatilidad que realmente usa el mercado, arrojando precios menores a los operados.

A partir de lo expuesto se concluye que el modelo PBS con volatilidades implícitas modeladas a través de la DVF 4.2.2 es la mejor función para valuar una base que se quisiera abrir en un contexto donde ya existen otras bases para el mismo vencimiento.

Por ultimo la incorporación de volatilidades no constantes al modelo de GC ha traído buenas estimaciones como el caso de la DVF 4.2.4 para predecir precios de madurez futura.

DVF 4.2.2 PBS Error
DVF 4.2.2 GC Error
Sonrisa de Volatilidad para CALL
Modelos DVF valuados con PBS
Agenda
Conceptos Preliminares
Modelo Black-Scholes-Merton
Volatilidad
Métodos de ponderación para la obtención de la Volatilidad Implícita
Modelación de la Volatilidad Implícita
Modelos de valuación de opciones seleccionados
Valuación mediante modelos propuestos
Conclusión
Q & A
Volatilidad
Riesgo Desvío Estandar
Varianza: mide sobre el activo la dispersión entre el retorno actual y el esperado.

Tipos
Volatilidad Histórica
Volatilidad Implícita
Volatilidad Futura
Modelo Black-Scholes-Merton
Supuestos
Los inversores pueden ajustar su "hedge" continuamente.
La tasa libre de riesgo es conocida.
El subyacente no paga dividendos.
La volatilidad es constante.
El precio cambia gradualmente.
No hay costos de transacciones.
No hay impuestos.
La opción debe ser ejercida al vencimiento.
No existen oportunidades de arbitraje.

Datos Paramétricos
Estadisticos GGAL



Mean Returns
0.3597359%
Standard Error
0.002369831
Median
0.003674217
Mode
0
Standard Deviation
3.7619894%
Sample Variance
0.001415256
Kurtosis
4.306038222
Skewness
0.457974154
Range
0.359597498
Minimum
-15.762894%
Maximum
20.196855%
Sum
0.906534557
Count
252
Precio GGAL en Mercado al 12/02/2010: $5.15
Conceptos Preliminares (cont)
Grado del Dinero (moneyness)
Out of the money Fuera de dinero
At the money En el dinero
In the money Dentro del dinero

Asimetría
Esta medida nos permite identificar si los datos se distribuyen de forma uniforme alrededor del punto central (Media aritmética).

Curtosis
Esta medida determina el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribución

Conceptos Preliminares
¿Qué es una Opción?
CALL u Opción de Compra
PUT u Opción de Venta

¿Qué se define por Movimiento Browniano?
El movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa en algunas partículas microscópicas que se hallan en un medio fluido.

Este movimiento juega un rol importante también en la simulación de la cotización de las acciones.
Volatilidad Implícita
1987 Efecto Crash-o-fobia

Sobre CALL se aprecia:

In the money > At the money

In the money vs. Out of the money

Modelo Black-Scholes-Merton
A comienzos de la década de los 70s Black-Scholes (BS) obtuvieron una ecuación diferencial en derivadas parciales que satisfacía el precio de cualquier derivado cuyo subyacente no pagaba dividendos, de esta manera lograron valuar Call (Opción de compra) y Put (Opción de venta) del tipo Europeos.


El modelo supone que el valor de una acción, que se toma como activo subyacente, es S y satisface la siguiente ecuación diferencial estocástica:




Métodos de ponderación para la obtención de la Volatilidad Implícita
Ponderación por volumen negociado en el mercado


Ponderación por cuan cerca esta "at the money"


Ponderación dependiendo de su vega



Modelación de la Volatilidad Implícita
Funciones Determinísticas de Volatilidades (DVF)

σiv = a0 (4.2.1)
Ponderado por Volumen Negociado (4.2.1.1)
Ponderado por Vega (4.2.1.2)
Desvío Estándar (4.2.1.3)

σiv = a0 + a1X + a2X2 (4.2.2)

σiv = a0 + a1X + a2X2 + a3T + a4XT (4.2.3)

σiv = a0 + a1X + a2X2 + a3T + a4T2 + a5XT (4.2.4)

Muestra GGAL – 12 FEB 2010
OPCION FECHA PRECIO VOLUMEN
--------------- ----------------------- --------------------- -----------
GFGC3.80DI 2010-02-12 00:00:00 2.89 24000
GFGC4.00DI 2010-02-12 00:00:00 2.73 129000
GFGC4.20DI 2010-02-12 00:00:00 2.53 250700
GFGC4.40DI 2010-02-12 00:00:00 2.32 342600
GFGC4.60DI 2010-02-12 00:00:00 2.11 251700
GFGC4.80DI 2010-02-12 00:00:00 1.93 172500
GFGC5.00DI 2010-02-12 00:00:00 1.711 161100
GFGC5.25DI 2010-02-12 00:00:00 1.45 461500
GFGC5.50DI 2010-02-12 00:00:00 1.23 680400
GFGC5.75DI 2010-02-12 00:00:00 1.00 739900
GFGC6.00DI 2010-02-12 00:00:00 0.78 2230600
GFGC6.25DI 2010-02-12 00:00:00 0.59 2228800
GFGC6.50DI 2010-02-12 00:00:00 0.40 4728200
GFGC6.75DI 2010-02-12 00:00:00 0.28 4263200
GFGC7.00DI 2010-02-12 00:00:00 0.198 3434600
GFGC7.50DI 2010-02-12 00:00:00 0.095 933500
GFGC8.00DI 2010-02-12 00:00:00 0.034 91500

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Si excluimos la volatilidad, el resto de las variables pueden ser observadas con relativa facilidad al momento de efectuar cotizaciones. Consecuentemente, la volatilidad es el parámetro más importante al momento de valuar una opción, por lo que la prima de la opción dependerá de las perspectivas a futuro de la volatilidad del bien subyacente.


donde
 
σiv = Volatilidad Implícita a través de Black-Scholes
X = Precio de Ejercicio
T = Tiempo anualizado hasta el vencimiento
a0, a1, a2, a3, a4, a5 = Parámetros del Modelo.


La ecuación (4.2.1) asume volatilidad constante sin depender del precio de ejercicio o el tiempo de maduración, y se corresponde con el modelo BS.
La ecuación (4.2.2) estipula que la volatilidad de una función cuadrática de precio de ejercicio, sin dependencia en la madurez.
La ecuación (4.2.3) añade una dependencia de la madurez, con una interacción entre monetización y la madurez que figuran en su último término.
La ecuación (4.2.4) permite para la relación entre la volatilidad y la madurez para ser también cuadrática. en cada de estos modelos, un umbral de 0,01 se introduce para eliminar posibles efectos negativos los valores de la volatilidad ajustada.


10
Obtenida del Merval, Subayente Stock GGAL, Banco Galicia
11
Marcar los sobresaltados durante la expo.
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Volatilidad es no constante.
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Ponderación por volumen negociado en el mercado: La V.I. de las opciones que son más líquidas tendrá un mayor ponderador al calcular la volatilidad compuesta ya que más inversores ponen su dinero en ellas. Éste enfoque asume que las opciones más negocias son las de mayor interés entre los operadores y éstas tendrán un precio más justo.
donde
n = representa la cantidad de muestras.
w = representa el porcentaje sobre el total del volumen.
v = representa la volatilidad implícita.

Ponderación por cuan cerca esta "at the money": También conocida como "Distance Weighting" (Ponderación por distancia) considera que las opciones "out of the money" deberían ser excluidas del cálculo porque sus precios están distorsionados por la pérdida de liquidez y porque los precios son ínfimos. el precio del ejercicio es inferior a la acción que le sirve de subyacente
De esta manera ponderamos sólo aquellas opciones cuyo precio de ejercicio esté dentro del porcentaje A de variación siendo aquellas las que tendrá un coeficiente de ponderación distinto de cero.

Ponderación dependiendo de su vega: La lógica de éste modelo es ponderar las opciones por su sensibilidad a la volatilidad, por lo que aquellas más sensibles ponderaran más fuertemente que aquellas que son poco sensibles a los cambios de volatilidad. La sensibilidad a la volatilidad está dada por Vega. Vega es máximo en la posición ATM y disminuye según nos aproximamos ITM ("In the money") o OTM ("out of the money").
9
Numéricamente, el valor de la volatilidad implícita se obtiene despejándola de la fórmula de BS, como se ha mencionados anteriormente, a través de un método iterativo. Este procedimiento no siempre es sencillo. Una característica particular de la volatilidad implícita es su no constancia para diferentes precios de ejercicios. Esto es, si el valor del subyacente, la tasa de interés y el tiempo a la madurez están fijos, el precio de las opciones para diferentes precios de ejercicio debe reflejar un valor de volatilidad uniforme de acuerdo a BS.

Se puede observar que las volatilidades implícitas para opciones de compra en las cuales el valor del subyacente es mayor al valor de ejercicio (opciones "In the Money") son mayores a las volatilidades implícitas observadas para opciones en las cuales el valor del subyacente es similar al valor de ejercicio (opciones "At The Money"). La diferencia en la magnitud de la volatilidad se acentúa si se comparan opciones "In the money" y opciones "out of the money". Esta curva es denominada tradicionalmente sonrisa de volatilidad, aunque en la mayoría de los casos en el que el subyacente es una acción su grafico decae monotónicamente a medida que el valor de precio de ejercicio aumenta.

Rubinstein (1994) señaló que el incremento en la volatilidad dados diferentes precios de ejercicio, en particular de precios de ejercicio fuera del dinero, se motivo a partir de la crisis de los mercados en 1987 después del llamado "Lunes Negro" (19 de octubre). Rubinstein llamó a este efecto .Crash-o-fobia., lo que volvió a los diferentes agentes sensibles en torno a la probabilidad de crisis similares.

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Una opción financiera es un instrumento financiero derivado que se establece en un contrato que da a su comprador el derecho, pero no la obligación, a comprar o vender bienes o valores (el activo subyacente, que pueden ser acciones, bonos, índices bursátiles, etc.) a un precio predeterminado (strike o precio de ejercicio), hasta una fecha concreta (vencimiento). Existen dos tipos de opciones: call (opción de compra) y put (opción de venta).

Modelación del movimiento browniano
La definición matemática de esta definición corresponde a la ecuación que gobierna la evolución temporal de la función probabilística de densidad asociada con la ecuación de difusión de una particula browniana, en definitiva es una ecuación diferencial parcial.


Recibe su nombre en honor al escocés Robert Brown biólogo y botánico quien lo observa en 1827 este fenómeno.
Dato Curioso: Cap 34 de la novela Rayuela, de Julio Cortázar

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"out of the money" el precio del ejercicio es superior a la acción que le sirve de subyacente
"At the Money" es cuando el precio de mercado coincide con el precio del ejercicio de la opción.
"in of the money" el precio del ejercicio es inferior a la acción que le sirve de subyacente


En finanzas, el grado del dinero (moneyness) es una medida del grado en que un derivado financiero es probable que tenga un valor positivo en su fecha de expiración. Debe observarse que, en la práctica, las palabras anglosajonas son más utilizadas que las palabras equivalentes españolas al tratar de esta materia.

Las medidas de distribución nos permiten identificar la forma en que se separan o aglomeran los valores de acuerdo a su representación gráfica. Estas medidas describen la manera como los datos tienden a reunirse de acuerdo con la frecuencia con que se hallen dentro de la información. Su utilidad radica en la posibilidad de identificar las características de la distribución sin necesidad de generar el gráfico. Sus principales medidas son la Asimetría y la Curtosis.

ASIMETRÍA : Esta medida nos permite identificar si los datos se distribuyen de forma uniforme alrededor del punto central (Media aritmética). La asimetría presenta tres estados diferentes [Fig.5-1], cada uno de los cuales define de forma concisa como están distribuidos los datos respecto al eje de asimetría. Se dice que la asimetría es positiva cuando la mayoría de los datos se encuentran por encima del valor de la media aritmética, la curva es Simétrica cuando se distribuyen aproximadamente la misma cantidad de valores en ambos lados de la media y se conoce como asimetría negativa cuando la mayor cantidad de datos se aglomeran en los valores menores que la media.

CURTOSIS : Esta medida determina el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribución. Por medio del Coeficiente de Curtosis, podemos identificar si existe una gran concentración de valores (Leptocúrtica), una concentración normal (Mesocúrtica) ó una baja concentración (Platicúrtica).


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En 1973, Robert C. Merton publicó "Theory of Rational Option Pricing", en él hacía referencia a un modelo matemático desarrollado por Fisher Black y Myron Scholes.
A este modelo lo denominó Black-Scholes y fue empleado para estimar el valor actual de una opción europea para la compra (Call), o venta (Put), de acciones en una fecha futura. Posteriormente el modelo se amplió para opciones sobre acciones que producen dividendos, y luego se adoptó para opciones europeas, americanas, y mercado monetario.
En 1997, Merton y Scholes recibieron el Premio Nobel en Economía por su trabajo; Black, el otro creador de la fórmula no lo pudo recibir debido a haber fallecido en 1995, dos años antes de haberles dado el premio, sin embargo, fue nombrado en la ceremonia de entrega como ayuda indispensable para este hallazgo.


donde es la tasa promedio de rendimiento, t es el tiempo, es la volatilidad y dx es un proceso de Wiener, que satisface una distribución normal . La igualdad planteada se conoce como movimiento browniano geométrico. El valor de una opción sobre aquel activo subyacente, lo denotaremos por V = V(S,t), y es una función del valor de ese activo S, y del tiempo t.
También conocido como movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa en algunas partículas microscópicas que se hallan en un medio fluido.
Media cero y desvío raíz de dt.

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La volatilidad para el mercado es el indicador de cuán rápido pueden moverse los precios del subyacente, por lo que en aquellos mercados donde los precios se mueven lentamente a través del tiempo serán mercados con baja volatilidad y las opciones sobre los subyacentes valdrán poco dinero, ya que la probabilidad de ejercicio no será favorable para los especuladores.

La desviación estándar es una medida del grado de dispersión de los datos con respecto al valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con respecto a la media aritmética.


Volatilidad Histórica: Para el cálculo de la volatilidad de una variable aleatoria recurrimos a desvío estadístico, para lo cual debe analizarse una serie histórica de precios.

Volatilidad Implícita: La Volatilidad Implícita (V.I.) se obtiene invirtiendo los modelos de valoración, para nuestro caso el modelo BS, en el sentido que la variable oculta será el desvío. Al no ser posible despejar de la fórmula BS ésta incógnita se debe recurrir a un método interactivo para su cálculo, el método Newton-Raphson
Para el cálculo se necesita (Tompkins, 1994):
El precio de mercado y el teórico del modelo,
Base, precio del subyacente, fecha de vencimiento, tasa de interés a corto plazo y los dividendos que pagará.
Introducir los datos dentro del modelo teórico de valuación y éste retornará por iteración la V.I.

Volatilidad Futura: La volatilidad futura es el dato que se busca conocer ya que sería el real, por lo tanto, todos los modelos de estimación intentan determinar este valor.

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Este modelo está basado en el trabajo de Christoffersen y Jacobs llamado "Valuación de Opciones con Asimetría Condicional" (Peter Christoffersen, 2004), y es el modelo ad-hoc adoptado por Dumas, Fleming y Whaley (1998). Constituye una forma sencilla de valuar las opciones, basado en el uso de la volatilidad implícita y la fórmula de precios de Black-Scholes. El nuevo modelo propone que el supuesto de la volatilidad constante del modelo de Black-Scholes se eluda, mediante el uso de una volatilidad no constante, y que dependa de su grado de cuan en dinero esta y su madurez.

Este modelo se puede resumir en cuatro pasos:
Utilice una sección transversal de precios de opciones con una variedad de precio de ejercicio y el tiempo de madurez para obtener un conjunto de las volatilidades implícitas a través de Black-Scholes.
Elija una función de volatilidad determinista y estimar sus parámetros.
Para un precio de ejercicio determinado y la madurez, obtener la volatilidad como el valor ajustado de la función de la volatilidad en el paso 2.
Obtener el precio de la opción mediante la fórmula Black-Scholes, utilizando la volatilidad equipada desde el paso 3 y el mismo precio de ejercicio y vencimiento.

Este modelo, el cual nos referimos como el modelo de Gram-Charlier, fue desarrollado por Backus, Foresi, y Wu (Backus, 2004) y proporciona una manera simple para tener en cuenta tanto asimetría y curtosis. Los autores usan una expansión de Gram-Charlier hasta el cuarto orden en la distribución de los rendimientos del activo subyacente. Esto permite que la asimetría y la mayor curtosis de la distribución normal puedan ser introducidos en la valoración de opciones.
Este modelo, sin embargo, todavía se supone que la volatilidad es constante en el tiempo.



5.3 Comparativa teórica de los modelos PBS y GC
El modelo PBS explota la sonrisa de volatilidad usando las volatilidades implícitas como entrada al modelo Black-Scholes de valuación. Finalmente el modelo GC provee una solución cerrada en base a la asimetría y curstosis sobre la distribución de los retornos

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Conclusión
Se observa que los modelos de volatilidad constantes a través de Black-Sholes difieren notablemente del precio operado en el mercado, estos modelos tienden a sobrevalorar la volatilidad que realmente usa el mercado, arrojando precios menores a los operados.
A partir de lo expuesto se concluye que el modelo PBS con volatilidades implícitas modeladas a través de la DVF 4.2.2 es la mejor función para valuar una base que se quisiera abrir en un contexto donde ya existen otras bases para el mismo vencimiento.
En cuanto a la capacidad predictiva de la valuación de una base con un vencimiento distinto al de sonrisa, utilizando los modelos DVF 4.2.3 y 4.2.4, aquellos que tienen como parámetros de entrada el Tiempo y Precio de Ejercicio, se observa por los datos obtenidos a través de las Tablas 4.1 y 5.1 para los modelos PBS y GC respectivamente que el resultado mejor no se halla en las funciones que tienen al tiempo como parámetro sino que el mejor resultado se obtuvo con la implementación de la DVF 4.2.1.1 y la fórmula PBS. También cabe decir que la muestra del mercado local es siempre muy pequeña para esta clase de test sea fuerte.
Por ultimo la incorporación de volatilidades no constantes al modelo de GC ha traído buenas estimaciones como el caso de la DVF 4.2.4.
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Precio de Ejercicio
Precio del Call
Precio de Ejercicio
PRECIO MODELADO
Volatilidad Implícita GFGCallDic