DERIVADA 3D ESCALAR APLICADA A LA INTERPOLACIÓN Adolfo Acosta, licenciado en física. U.S.B., Caracas, Venezuela
[email protected] Introducción: El propósito que nos motiva en este artículo es presentar a la comunidad científicotécnica, por vez primera en el cálculo, la metodología del uso de algunas derivadas escalares del espacio R3, al igual que como ya lo hicimos, en su debida ocasión, con Primitivas Integrales de 3D, ahora pues, presentaremos el proceso inverso. Lo ilustraremos a través de una sencilla aplicación de interpolación en una tabla termodinámica de temperatura y presión para obtener el volumen específico a una presión y temperaturas intermedias. Normalmente en estas tablas, indispensables para la ingeniería, se colocan las variables termodinámicas, obtenidas experimentalmente (gases y líquidos reales), tales como la energía interna u, entropía s, la entalpía h y el volumen específico , los cuales son tabulados en orden para ciertos valores de las variables independientes temperatura y presión. Por supuesto no es posible colocar todos los valores de temperatura y presión, de allí la necesidad de interpolar las variables termodinámicas para los valores de temperatura y presión que no están tabulados. El procedimiento clásico de la derivada 2D para varias variables (derivadas parciales) conlleva, por lo general, a la ejecución de varias interpolaciones: una para hallar el volumen específico (o cualquier otra variable termodinámica) variando la temperatura a la temperatura deseada manteniendo la presión constante en su primer valor. Una segunda interpolación es requerida entonces variando las mismas temperaturas para la segunda presión. Y finalmente una vez obtenida el valor de la variable para las dos presiones a la temperatura deseada, se procede a una tercera interpolación para hallar la variable termodinámica a la presión intermedia deseada. Esto es debido a que el mecanismo de derivada 2D para varias variables, sólo permite variar una cantidad a la vez. Nos preguntamos si ¿habrá una metodología que permita hacer la interpolación, con su respectiva derivada, variando simultáneamente todas las variables, permitiendo así interpolar el valor de la variable termodinámica buscada en una sola operación? La respuesta es un rotundo sí. Esta otra de las ventajas que podemos anotar a favor de la Integral de Simetría por el hecho de poseer una visión tridimensional del cálculo, es decir una definición propia del cálculo en 3D y no una mera reconstrucción tridimensional a través de una herramienta bidimensional 2D. Veremos que esta metodología, aunque no es un sustituto de la derivada parcial, permite resolver una gran variedad de casos bajo las condiciones que presentaremos. Pero antes recordemos un poco de Interpolación.
Interpolación 2D: La Interpolación es el algoritmo matemático a través del cual reemplazamos una función y=f(x), cuya expresión en términos del argumento “x” es desconocida o complicada, por una más sencilla o simple, digamos la ecuación de una recta f(x) = y = mx + b (cuando se trata de funciones del plano R2 o 2D) a fin de reproducir valores aproximados de la variable dependiente “y” dentro una cierta región limitada de las variables x,y. En la figura 1 ilustramos la ecuación de la recta que reemplaza la función:
y y = mx + b
y = f(x)
x Fig 1. Muestra la zona sombreada en amarillo donde la función es reemplazada por una recta en rojo.
Cuando hacemos la interpolación para funciones de tres dimensiones de dos variables independientes z = f(x,y), tradicionalmente aplicamos el mismo procedimiento para cada variable por separado, es decir, primero para “x”, después para “y”, entonces reemplazamos la función f(x,y) por la ecuación de un plano z=m1(x – x1) + m2(y – y2) + z1 , en la figura 2 ilustramos esto: z z=m1(x – x1) + m2(y – y2) + z1
z = f(x,y)
y
x Fig 2. Muestra el plano que reemplaza la función en la zona donde interceptan las superficies.
Derivada 3D: La derivada tradicional que hasta ahora conocemos, denominada aquí 2D, para funciones de más de una variable, da como resultado un vector denominado gradiente ( f). Esto es debido a que normalmente abordamos los problemas de tres dimensiones con una herramienta bidimensional que sólo puede procesar una dimensión a la vez. Mientras la derivada escalar 3D permite tratamiento sinóptico del problema, es decir no nos limitamos al uso de derivadas parciales, sino que estamos hablando de una derivada general escalar que engloba todo el proceso. Interpolación en 3D: Para comenzar este proceso 3D lo primero que debemos determinar es el tipo de expansión a usar, de las tres expansiones que sabemos generan primitivas 3D, las cuales ya hemos estudiado: triangular, circular-elíptica y mixta. Para ello evaluamos la naturaleza de la función, lo cual podemos observar de manera cualitativa, en este caso del volumen y su dependencia con las dos variables independientes Temperatura y Presión. Es evidente que en la medida que la temperatura tiende a cero (absoluto), el volumen se reduce (idealmente a cero), lo mismo si la presión tiende a infinito, es decir habrá volumen si hay temperatura y presión a la vez. Esto sólo significa que las variables temperatura T y presión P en la función volumen, deben estar expresadas en forma de producto, en este caso T.
( por la dependencia inversa con la presión), llamemos
=
. Es decir el
volumen existe si existen simultáneamente la temperatura y el inverso de la presión , es decir , . . . Lo cual significa que la expansión que estamos buscando es tal que genera el producto de las variables independientes T y al ser integradas, lo cual conlleva directamente a una expansión triangular de las variables T y (Adolfo Acosta 2014 pág 39). Donde , es una expresión desconocida de T y . En la figura 1 mostramos este tipo de expansión y el aspecto de la función:
ν
C/B
z
C/A
AT + Bz = C
T Fig 3. Mostrando el tipo de expansión y la superficie generada por la función volumen específico , . Donde z es el inverso de la presión. z = 1/P
Lo segundo que debemos determinar, una vez conocido el tipo de expansión de las variables, es el parámetro de expansión c de dichas variables. Esto es necesario, pues el orden de exactitud del resultado obtenido dependerá de que las variables varíen simultáneamente bajo la ligadura de este parámetro. Como el lector puede observar en la figura 3 esto se traduce en que la pendiente m de la recta A.T + B. = C es la misma (m = A/B). Es decir podemos tomar los valores de T y 1/P tales que T/(1/P) = T.P = constantes. Apliquemos esto a la siguiente tabla termodinámica:
Tabla 1. Mostrando variables termodinámicas v,u,h,s para varios valores de temperatura y presión de vapor de agua. Cortesía Van Wylen (2012)
Suponga que deseamos hallar el volumen específico a una temperatura de 180°C y para una presión de 700 kpa. Como puede cerciorarse el lector, estos valores de temperatura y presión no están tabulados, por tanto es necesario interpolar. Lo haremos tanto en 2D como en 3D. Recordemos que la interpolación consiste en asumir que para pequeñas variaciones, la función se comporta linealmente, es decir obedece a la ecuación de una recta (en 2D) solamente en ese intervalo de variación, es decir,
donde m1 es la pendiente presión
donde
. O de igual forma variando ahora la
. Estas rectas a su vez
contienen el plano tangente a la superficie de . Luego la función lineal que reemplaza la función original del volumen específico a partir de T1, z1 es: 1
1
2
+
1
Donde es el volumen correspondiente a T1 y P1 (z1). En la figura 4 ilustramos la interpolación 2D para este problema de tres dimensiones.
ν 1
1
2
1
+
z
C/A
AT + Bz = C
T Fig 4. Mostrando gráficamente el procedimiento 2D que ajusta un plano a la superficie de (T,Z)
Ahora en 3D también haremos la presunción de que la función es lineal. Aquí lineal significa que la derivada en la expansión triangular es constante, lo cual corresponde para la función z = f(x,y) = x.y/2 (Adolfo 2014 pág. 39 y 92) solamente en ese dominio espacial representado por un prisma que contenga los valores T1, T2, P1 y P2 como base y la pendiente m como altura, ver figura 5. Por tanto la función lineal que reemplaza la función original a partir de la recta que pasa por T1 , P1 (correspondiente al plano AT + Bz = C1) es: = m(T.z –T1z1)/2 + Donde m =
/
=
∆
"
según la notación de derivadas en 3D, donde ∆ significa
que la derivada es de expansión triangular y “s” Integral de Simetría (Adolfo 2014 pág. 35 y 92) y Z = 1/P (inverso de la presión). En la figura 5 se ilustra Tanto el prisma que representa la derivada en expansión triangular y su respectiva primitiva . 1 1 1 y la Interpolación.
# #$∆
m
Z2
Z1
Z
T1 AT + Bz = C T2 T %
ν
,
. /2
V= (T,z) Z1
Z2 C/B
T1 T2
T
AT + Bz = C
C/A
Fig 5. Mostrando gráficamente el procedimiento 3D que ajusta la superficie %
,
. /2, sobre la superficie de (T,Z). El
prisma de arriba corresponde a la derivada en base triangular de la superficie % , . /2
z
Mostremos a continuación los respectivos cálculos en 2D y 3D.
3D
2D 1)
Presión constante 600Kpa T T1 = 158°C T = 180°C T2 = 200°C
x = &.'( x=
&&
&.' ()* (+
Presión constante 800Kpa T T1 = 170°C 0.24043 T = 180°C x=? T2 = 200°C 0.2608
&. )&+ &. 2&2' &&
x=
180 − 158 +0.31567
T
P
T.P
T1 = 431K P1= 600Kpa
0.31567
Área =T.z
259110
0.71972
T = 453K
P =700Kpa
x=?
317100
0.647142
T2= 473K
P2=800Kpa
0.26080
378400
0.59125
180,600 = 0.32412
2)
x=
&
0.31567 x=? 0.35202
*&
=
6=
. −
=
1 1
+
1
0.2608 − 0.31567 0.647142 − 0.71972 + 0.31567 0.59125 − 0.71972
Donde los dos “2” de ambos denominadores se han cancelado. 180 − 170 +0.24043
x=
180,700 = 0.28467
180,800 = 0.24496 3) Temperatura constante 180°C P P1= 600 0.32412 P = 700 x=? P2= 800 0.24496
x= x=
&. 225) &.' 2 +&& )&&
700 − 600 +0.32412
Nota: Aquí trabajamos con grados Kelvin (K = 273 + °C)
180,700 = 0.28454
Nota: Hemos calculado directamente sin usar la ecuación del plano.
Para comprobar la exactitud de esta metodología interpolemos también, con el mismo procedimiento, algún valor intermedio del volumen específico que sí aparezca en la
tabla, digamos para P = 600 Kpa y T = 400°C, correspondiente a un valor de según podemos observar en la tabla.
= 0.51372,
Simulemos pues que no conocemos este valor, e interpolemos tanto en 2D como 3D: 2D 1)
x=
)&& '&&
()
400,500 2)
x=
Presión constante 500Kpa T T1 = 300°C 0.52256 T = 400°C x=? T2 = 600°C 0.80406
&.+&2&) &.(
x=
400
300
0.52256
0.6164
)&& '&&
400,800
400
300
x=
&.'+''( &.) )2 +&& (&&
400,600
500
T.P
T = 673K
P =600Kpa
T2= 873K
P2=500Kpa
x
0.38335
600
P 0.32411 x=? 0.80406
Área =T.z
458400
0.71625
403800
1.1217
436500
1.746
0.32411
3) Temperatura constante 400°C P P1= 500 0.6164 P = 600 x=? P2= 800 0.38335 x=
T
T1 = 573K P1= 800Kpa
Presión constante 800Kpa T T1 = 300°C 0.32411 T = 400°C x=? T2 = 600°C 0.50184
&.(& +2 &.' 2
x=
3D
0.80406 0.32411 1.1217 1.746 0.71625
0.71625
Donde los dos “2” de ambos denominadores se han cancelado.
x=
400,600
0.513068
0.6164
0.53871
Nota: Hemos calculado directamente sin usar la ecuación del plano.
0.32411
Nota: Aquí trabajamos con grados Kelvin (K = 273 + °C)
Conclusiones Las ventajas del nuevo procedimiento en 3D saltan a la vista, primero en la exactitud del resultado con un error porcentual de: error del
&.( '*
&.('+*
&.( '*
&.( '*
&.( '&)+
&.( '*
. 100% = 0.1% en comparación al
. 100% = 5% (50 veces) que se comete con el procedimiento
ordinario. Por lo que podemos afirmar categóricamente que este procedimiento de cálculo es el más apegado al comportamiento de la naturaleza. En el fondo esto es debido por la eficacia que resulta ajustar la superficie del volumen específico , mostrada en la figura 1, con una superficie % , = . , en lugar de ajustarla a un plano, que es lo que hace el procedimiento 2D de la derivada parcial. Es decir la superficie % , = . equivale a la ecuación de la recta tangente, que se ajusta a una curva en el plano 2D, pero en el espacio 3D, obviamente, sólo para este tipo de funciones cuya dependencia con las variables independientes tiene la forma , . . , donde aparece el producto de las variables independientes T. z, y , es una expresión desconocida. Segundo también podemos resaltar el hecho que en el procedimiento 3D se introducen menos datos, pues solamente es necesaria una temperatura por cada presión. En cambio el procedimiento ordinario requiere introducir las dos temperaturas para cada presión y la respectiva variable termodinámica que se obtiene en cada caso. Sin embargo es necesario recordar que este procedimiento tiene este rendimiento siempre y cuando las variables temperatura y presión varíen en forma simultánea bajo el mismo parámetro de expansión, o al menos aproximadamente, así que en los casos que estemos lejos de este requisito se seguirá usando el procedimiento clásico. Finalmente terminamos diciendo que este procedimiento es apenas el comienzo de lo que en primera aproximación se consigue de una función de varias variables independientes que puede ser expresada en una serie de potencias en 3D. Bibliografía Van wylen, Fundamentos de Termodinámica, 2da Edición, Edit. Limusa Wiley, México, 2012, pág. 762. Adolfo Acosta, Integrales de Simetría 3D, Editorial Académica Española, Saabrücken, Alemania, 2014. Agradecimientos: A Dios que da la sabiduría. Daniel 2:20-22, RV 1960. A mi esposa Josefina por su constante ánimo y apoyo.
