Derivación modelo CAPM I

Jorge Mori Mojalott

Derivación del modelo CAPM desde la óptica microeconómica. El análisis que se realiza pretende fundamentar desde una óptica microeconómica lo desarrollado en los modelos básicos de determinación de precios de activos de capital, como lo expuesto en Sharpe (1964), Lintner (1965) y Mossin (1966), considerados por la literatura como los creadores del modelo CAPM. Para tal propósito se estima el modelo de rendimientos de los activos de capital, dentro de un proceso de optimización intertemporal del consumo considerando para ello horizontes finitos e infinitos bajo escenarios de incertidumbre en los cuales el consumidor puede invertir su ahorro neto en dos tipos de activos, uno libre de riesgo y otro riesgoso.

Caso I: modelo con horizonte finito y dos activos. Para este modelo se considera que el consumidor elige su nivel de consumo y la composición de su portafolio en el momento cero, pudiendo elegir nuevos planes de consumo-inversión en los subsiguientes periodos 1, 2,…, T-1. Blanchard y Fischer (1989) señalan que el método más conveniente para resolver este tipo de problemas de decisión dinámica en condiciones de incertidumbre es mediante la programación dinámica estocástica, y es en la línea de dichos autores que desarrollamos la derivación del modelo CAPM. El modelo parte del análisis de las decisiones de consumo/ahorro bajo incertidumbre, teniendo el siguiente problema de maximización (consumidor quien maximiza su utilidad a partir del año cero): 𝑇−1

𝑀𝑎𝑥 𝐸 [∑(1 + 𝜃)−𝑡 𝑈(𝐶𝑡 ) |0] 𝑡=0

Sujeto a: 𝐴𝑡+1 = (𝐴𝑡 + 𝑌𝑡 − 𝐶𝑡 )[(1 + 𝑟𝑡 )𝑤𝑡 + (1 + 𝑧𝑡 )(1 − 𝑤𝑡 )] 𝑌1 𝜖 𝐼1 ,

𝐴𝑡 ≥ 0

θ representa la tasa de preferencia intertemporal del consumidor. Así, el consumidor maximiza el valor presente descontado de su utilidad esperada, condicionado a la información disponible en el momento cero. 𝐴𝑡 representa la riqueza con la que inicia el periodo, 𝑌𝑡 es el ingreso laboral el cual es aleatorio pero conocido a partir del momento t, 𝐶𝑡 es el nivel de consumo en el momento t. De este modo el consumidor obtiene un ahorro bruto representado por (𝐴𝑡 + 𝑌𝑡 − 𝐶𝑡 ), que es el ingreso disponible para invertir en los activos. El consumidor elige entre un activo libre de riesgo, con una tasa de retorno 𝑟𝑡 determinista, y un activo riesgoso con un retorno de 𝑧𝑡 estocástico. El portafolio finalmente elegido estará compuesto por una proporción del activo libre de riesgo 𝑤𝑡 , y el complemento por el activo riesgoso, permitiéndose la venta en corto (sin condiciones de no negatividad).

Jorge Mori Mojalott

Con el uso de la programación dinámica estocástica, incorporando al análisis la función valor 𝑉𝑡 (𝐴𝑡 ), se tiene: 𝑇−1

𝑉𝑡 (𝐴𝑡 ) = max 𝐸 [∑(1 + 𝜃)−(𝑛−𝑡) 𝑈(𝐶𝑛 ) |𝑡] 𝑛=𝑡

Nótese que la ecuación se encuentra definida con información disponible del periodo 𝑡 y que depende de la riqueza financiera de inicio del periodo 𝑡. De este modo, la función valor en el tiempo 𝑡 es el valor presente descontado de la utilidad esperada evaluada a lo largo del programa de optimización. Sujeto a: 𝐴𝑡+1 = (𝐴𝑡 + 𝑌𝑡 − 𝐶𝑡 )[(1 + 𝑟𝑡 )𝑤𝑡 + (1 + 𝑧𝑡 )(1 − 𝑤𝑡 )] = 𝑔𝑡 … (1) 𝑌1 𝜖 𝐼1 ,

𝐴𝑡 ≥ 0

Así, dado el principio de optimalidad de Bellman, si se tiene una política óptima, las soluciones particulares a problemas incluidos en problema analizado, también son óptimas. De este modo, la función valor satisface la ecuación de Bellman estocástica: 𝑉𝑡 (𝐴𝑡 ) = max {𝑈(𝐶𝑡 ) + (1 + 𝜃)−1 𝐸[𝑉(𝐴𝑡+1 )]|𝑡} … (2) {𝐶𝑡 ,𝑤𝑡 }

La función valor en el tiempo 𝑡 es igual a la utilidad del consumo en el tiempo 𝑡 más el valor esperado descontado de la función valor en el periodo 𝑡 + 1. Las condiciones de primer orden (CPO) son: 𝜕𝑉(𝐴𝑡+1 ) 𝜕𝑔𝑡 |𝑡] 𝜕𝐴𝑡+1 𝜕𝐶𝑡

= 0 … (3)

𝜕𝑉(𝐴𝑡+1 ) 𝜕𝑔𝑡 |𝑡] 𝜕𝐴𝑡+1 𝜕𝑤𝑡

= 0 … (4)

𝜕𝑈(𝐶𝑡 ) + 𝜕𝐶𝑡

(1 + 𝜃)−1 𝐸[

𝜕𝑈(𝐶𝑡 ) + 𝜕𝑤𝑡

(1 + 𝜃)−1 𝐸[

𝜕𝑉𝑡 𝜕𝐴𝑡

=

𝜕𝑈(𝐶𝑡 ) + 𝜕𝐴𝑡

𝜕𝑉(𝐴𝑡+1 ) 𝜕𝑔𝑡 𝜕𝐴𝑡+1 𝜕𝐴𝑡

(1 + 𝜃)−1 𝐸[

|t] … (5)

𝐴𝑡+1 = (𝐴𝑡 + 𝑌𝑡 − 𝐶𝑡 )[(1 + 𝑟𝑡 )𝑤𝑡 + (1 + 𝑧𝑡 )(1 − 𝑤𝑡 )] ... (6) Desarrollando se tiene que: 𝐸[𝑈´(𝐶𝑡+1 )(1 + 𝑟𝑡 )|𝑡] = 𝐸[𝑈´(𝐶𝑡+1 )(1 + 𝑧𝑡 )|𝑡] … (7) 𝑈´(𝐶𝑡 ) = (1 + 𝜃)−1 𝐸(𝑈´(𝐶𝑡+1 )[(1 + 𝑟𝑡 )𝑤𝑡 + (1 + 𝑧𝑡 )(1 − 𝑤𝑡 )]|𝑡) … (8) Desarrollando y reemplazando la ec. (7) en (8) (bajo el supuesto de variables independientes) se tiene: 𝑈´(𝐶𝑡 ) = (1 + 𝜃)−1 (1 + 𝑟𝑡 )𝐸[𝑈´(𝐶𝑡+1 )|𝑡] … (9) O, equivalentemente: 𝑈´(𝐶𝑡 ) = (1 + 𝜃)−1 𝐸[𝑈´(𝐶𝑡+1 )(1 + 𝑧𝑡 )|𝑡] … (10) El consumidor que optimiza escoge su trayectoria de consumo de manera que la utilidad marginal del consumo en t iguala al valor actual de la utilidad marginal del consumo en el siguiente periodo, sin importar si invierte en el activo libre de riesgo o el riesgoso.

Jorge Mori Mojalott

De las dos últimas ecuaciones se tiene: 𝐸[𝑈´(𝐶𝑡+1 ){𝑧𝑡 − 𝑟𝑡 }|𝑡] = 0 … (11) Desarrollando el valor esperado y considerando las propiedades de variables aleatorias, se tiene: 𝐸[𝑈´(𝐶𝑡+1 )|𝑡]𝐸[𝑧𝑡 − 𝑟𝑡 |𝑡] + 𝑐𝑜𝑣(𝑈´(𝐶𝑡+1 ), 𝑧𝑡 ) = 0 … (12) Con lo que 𝐸[𝑧𝑡 |𝑡] = 𝑟𝑡 −

𝑐𝑜𝑣(𝑈´(𝐶𝑡+1 ),𝑧𝑡 ) 𝐸[𝑈´(𝐶𝑡+1 )|𝑡]

…(13)

Si asumimos que uno de los activos riesgosos (o un conjunto de ellos) representa exactamente el consumo del agente en el mercado, con lo cual tal activo podría ser tomado con “el mercado”, la correlación entre este activo (𝑚) y el consumo resulta ser perfecta; es decir, si el consumo aumenta, también lo hace el rendimiento del activo, representándose el retorno de mercado como: 𝐸[𝑧𝑚𝑡 |𝑡] = 𝑟𝑡 −

𝑐𝑜𝑣(𝑈´(𝐶𝑡+1 ),𝑧𝑚𝑡 ) 𝐸[𝑈´(𝐶𝑡+1 )|𝑡]

… (14)

Adicionalmente, se tiene un activo cualquiera cuyo rendimiento puede ser modelado como: 𝐸[𝑧𝑖𝑡 |𝑡] = 𝑟𝑡 −

𝑐𝑜𝑣(𝑈´(𝐶𝑡+1 ),𝑧𝑖𝑡 ) 𝐸[𝑈´(𝐶𝑡+1 )|𝑡]

… (15)

De lo cual resulta: 𝑐𝑜𝑣(𝑈´(𝐶

),𝑧 )

𝐸[𝑧𝑖𝑡 |𝑡] − 𝑟𝑡 = 𝑐𝑜𝑣(𝑈´(𝐶 𝑡+1),𝑧 𝑖𝑡 ) (𝐸[𝑧𝑚𝑡 |𝑡] − 𝑟𝑡 ) … (16) 𝑡+1

𝑚𝑡

Dada la correlación entre el activo de mercado y la utilidad del consumo, se puede expresar la siguiente relación1: 𝑈(𝐶𝑡+1 ) = 𝐶𝑡+1 (𝛾𝑧𝑚𝑡 ). Tal supuesto resulta coherente dado que en el momento t+1 se tiene conocimiento de la rentabilidad de mercado en t, por tanto se puede disponer de mayores ingresos para consumir. En esa línea, 𝑈´(𝐶𝑡+1 ) = 𝛾𝑧𝑚𝑡 , con lo que se obtiene la conocida ecuación del modelo de valuación de activos de capital CAPM: 𝐸[𝑧𝑖𝑡 |𝑡] = 𝑟𝑡 + 𝛽(𝐸[𝑧𝑚𝑡 |𝑡] − 𝑟𝑡 ) Con 𝛽 =

𝑐𝑜𝑣(𝑧𝑚𝑡 ,𝑧𝑖𝑡 ) . 𝑣𝑎𝑟(𝑧𝑚𝑡 )

Un resultado interesante es que la conclusión resulta consistente con el modelo planteado por Markowitz (1952), en tanto los determinantes del rendimiento del activo i en el momento t, dependen exclusivamente de la media y la varianza de los rendimientos del activo de mercado, la covarianza de los rendimientos del activo de mercado y los rendimientos del activo en evaluación y, el valor esperado del rendimiento del activo libre de riesgo, que en estos casos resulta ser determinístico. Como se observa, las decisiones respecto a la determinación del precio de un activo de capital se encuentran sujetas al análisis del primer y segundo momento de la distribución de datos analizados.

1

Cabe destacar que el signo de la correlación entre el consumo (o su derivada) y el activo de mercado no resulta relevante. La lógica sugiere que, en todo caso, el rendimiento del activo de mercado se conoce en el momento t, siendo este positivo o negativo, con lo cual en el momento t+1 se tendría más o menos para consumir, respectivamente.

Jorge Mori Mojalott

Bibliografía. Blanchard, O. y Fischer, S. (1989). “Lectures on Macroeconomics”. The MIT Press. Lintner, I. (1965). “The evaluation of risk assets and the selection for risk investment in stock portfolio and capital budgets”, Review of economic and statistics, 13–37. Lomelí, H. y Rumbos, B. (2001). “Métodos Dinámicos en Economía. Otra Búsqueda del Tiempo Perdido”. Instituto Tecnológico Autónomo de México. Markowitz, H. (1952). “Portfolio Selection”. The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1. (Mar., 1952), pp. 77-91. Markowitz, H. (1959). “Portfolio Selection Efficient Diversification of Investment”. Jhon Wiley & Sons, Inc. New York. Mossin, I. (1966). “Equilibrium in a capital asset market”, Econometrica, 768–783. Sharpe, W. F. (1964). “Capital Asset Prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk”, Journal of Finance, 425–442.