Dependencia Con La Presión De La Estructura Electrónica Del Germanio

REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 38, No. 3. 2006

DEPENDENCIA CON LA PRESIÓN DE LA ESTRUCTURA ELECTRÓNICA DEL GERMANIO C.P. Mejía V., Jairo Arbey Rodríguez Martínez y F. Fajardo. Grupo de Física de la Materia Condensada. Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia. Bogotá – Colombia. (Recibido 09 de Sep.2005; Aceptado 21 de Jun. 2006; Publicado 04 de Oct. 2006) RESUMEN En este trabajo se calculan las bandas de energía del germanio a partir de primeros principios utilizando el método de Potencial de Ondas Planas Aumentadas y Linealizadas (FPLAPW) dentro del marco de la teoría del funcional densidad (DFT). Con este cálculo se ilustra uno de las limitaciones de la DFT conocida como el “problema del gap de energía”, ya que al utilizar la aproximación del gradiente generalizado (GGA) se encuentra que el germanio se comporta como un metal. A pesar de esta limitación se predice correctamente que el gap de energía del germanio debe aumentar con el aumento de la presión. Palabras claves: Bandas de energía, DFT, LAPW, semiconductor

ABSTRACT In this work we calculate from first principles the energy bands of germanium, using the Full Potential Linearized Augmented Plane Wave (FP-LAPW) method within the framework of density functional theory (DFT). In this calculation the limitation of DFT known like the “band gap problem” is illustrated. The Gradient Generalized Approximation (GGA) predicted that Ge is a metal. In spite of this limitation it is predicted correctly that the energy gap of germanium must increase when the pressure is increase. Key Words: Bands of energy, DFT, LAPW, semiconductor

1. Introducción El germanio (Ge) es uno de los materiales más estudiados en la industria electrónica, ya que sus propiedades estructurales y opto electrónicas son muy similares a las del silicio, que es el semiconductor con mayores aplicaciones tecnológicas. Gracias a su gap de energía, el Ge es también utilizado en la construcción de diodos, transistores y fototransistores para operar en la zona infrarroja del espectro electromagnético. En este trabajo estudiamos algunas de las propiedades electrónicas del Ge obtenidas a partir de primeros principios dentro del formalismo de la Teoría del Funcional Densidad (DFT). El método DFT se basa en el teorema de Hohemberg y Kohn quienes mostraron que la energía total de un gas de electrones es sólo funcional de la densidad electrónica y que para el estado base esta energía es un mínimo [1]. Posteriormente se demostró que un problema de muchos electrones se puede representar mediante un conjunto de ecuaciones autoconsistentes de un electrón, las cuales se conocen como las ecuaciones de Kohn-Sham (KS) [2]. Las ecuaciones de KS deben ser resueltas siguiendo un proceso iterativo hasta que se alcance la autoconsistencia; ya que para encontrar los orbitales de 1094

REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 38, No. 3, 2006 KS se requiere el conocimiento de los potenciales, los cuales a su vez dependen de la densidad y estos a su vez dependen nuevamente de los orbitales. Dentro de los términos del funcional de KS, la energía de correlación-intercambio es el único que no se conoce en forma exacta, por lo que se hace necesario usar aproximaciones. En este trabajo se usará la aproximación del gradiente generalizado (GGA). Esta aproximación se basa en que la desviación de la energía de intercambio-correlación encontrada con respecto a la real, se puede expresar en términos del gradiente y derivadas más altas de la densidad de energía [3]. Para resolver las ecuaciones de KS se utiliza el método de ondas planas aumentadas y linealizadas (FP-LAPW) [4], el cual esta sustentado en el programa WIEN 97 [5]. A continuación mostraremos los resultados obtenidos al aplicar el anterior formalismo en el cálculo de bandas del Ge, con lo que se quiere ilustrar una de las limitaciones de la teoría DFT en predecir correctamente el valor del gap de energía, debido a las aproximaciones que se utilizan. 2. Método de Cálculo La estructura cristalina del germanio corresponde a la del diamante, la cual se representa mediante una estructura cúbica centrada en las caras (tipo F) y que posee una base de dos átomos ubicados en las posiciones (0,0,0) y (1/4,1/4,1/4). Los cálculos se realizaron usando el programa comercial WIEN 97 [5]. Se empleó la aproximación de gradiente generalizado (GGA) para modelar la energía de intercambio y correlación. Se escogió un valor de 6.0 Ry como el valor de la energía que separa los estados de valencia y coraza. Para el alcance del potencial cristalino generado por cada uno de los núcleos atómicos se escogió un radio de muffin-tin de 1.8 bohr, para el cual las esferas no presentan traslapamiento. Como criterio de convergencia para la energía se usó un valor de 0.0001 Ry. Los valores de energía se ajustaron mediante la ecuación de estado de Murnaghan [6]. Adicionalmente, se realizó el cálculo de la estructura de bandas para conocer el comportamiento del gap de energía con el aumento de la presión. 3. Resultados y discusión La Figura 1 muestra la curva de energía de cohesión contra volumen para el Ge en la fase diamante. Los puntos representan los valores calculados y la línea continua que los une es el ajuste hecho con la ecuación de estado de Murnaghan [6]. Se encontró que la constante de red que minimiza la energía en la aproximación GGA es de ao= 5.74 Å, mientras que el valor experimental es de 5.66 Å, lo que da un porcentaje de error de 1.4 %. Del ajuste también se obtiene que este valor de ao corresponde a una energía mínima de cohesión para el estado base de Emin= -0.4916 Ry y que el módulo de volumen es Bo = 0.6012 Mbar. Uno de los problemas conocidos de la DFT dentro de la aproximación GGA es que no reproduce correctamente el valor de la energía del gap. La Figura 2 muestra una curva del valor del gap teórico versus el gap experimental para diferentes semiconductores calculados en nuestro Grupo. Nótese que para la mayoría de los materiales el valor teórico es menor que el valor experimental. Esto en parte es debido a que las aproximaciones que se utilizan para la energía de intercambio y correlación, causan usualmente que en el hamiltoniano total el término asociado a la interacción de los iones sea el más significativo, lo que trae como consecuencia que se modifiquen las dimensiones del 1095

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cristal y por lo tanto se cambie el valor del gap. Esto explica porque el valor de ao calculado es también más grande que el valor experimental. Como se infiere de la Figura 2 la teoría DFT predice que el germanio es un metal.

Figura 1: Energía de cohesión como una función del volumen para el germanio. La línea continua corresponde al ajuste con la ecuación de estado de Murnhagan. Figura 2: Gap de energía calculado usando la teoría DFT dentro de la aproximación GGA versus el gap medido experimentalmente.

La Figura 3-a muestra la estructura de bandas para la constante de red en el equilibrio (ao), calculadas a lo largo de algunas direcciones de alta simetría de la primera zona de Brillouin. El cero de energía se ha colocado en el nivel de Fermi. Observamos que contrario a lo observado experimentalmente se obtiene que el Ge es un metal. Otra forma de ver este problema, es que la teoría DFT no predice correctamente los estados excitados, ya que dentro de este formalismo se calculan los estados y las energías del estado base. Por lo tanto es de esperar que los estados que se encuentran por debajo del nivel de Fermi poseen valores bastante aproximados a los reales. Sin embargo, no es así en el caso de las bandas de conducción debido a que éstas son niveles excitados [7,8]. No obstante, las bandas por debajo del nivel de Fermi son muy similares a las que se obtienen por otros métodos de cálculo como el de enlace fuerte. Donde como en nuestro resultado, se encuentra que la banda de valencia está comprendida entre ~ -14 eV y ~ 0 eV y corresponde a cuatro bandas debidas a los estados 3s y 3p del Ge. También como acontece con los otros semiconductores de la columna IV (Si y C), el máximo de la banda de valencia en el punto Γ es degenerado y corresponde a los orbitales ocupados 3px, 3py y 3pz del Ge. Este degeneramiento se rompe a medida que se aleja del punto Γ. La Figura 3-b muestra las bandas de energía para una constante de red del germanio a= 10.15 Bohr. Esta disminución de la constante de red es equivalente a aplicar una presión de 21 Gpa. Se aprecia claramente que aparece un gap en el material (aumenta) y que este corresponde a un semiconductor de gap indirecto. El aumento del gap de energía con el aumento de la presión está en concordancia con los resultados experimentales reportados para el Ge [9]. El resto de las características de las bandas de valencia permanece aproximadamente sin alteración. 1096

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Fig. 3a

Fig. 3b

Figura No 3: .Diagrama de las bandas de energía para el cristal de Ge. a) Para el estado de equilibrio y b) para una presión hidrostática de 21 Gpa.

En resumen se ha mostrado que la Teoría del Densidad Funcional dentro de la Aproximación del Gradiente Generalizado tiene la limitación de que no reproduce correctamente el valor del gap de energía. No obstante en el caso específico del germanio, sirve para predecir con buena exactitud algunas propiedades estructurales y electrónicas, como son: la constante de red de equilibrio y su correspondiente valor de energía, la forma y principales características de la estructura de bandas del estado base y predice correctamente el comportamiento del gap de energía del material con el incremento de la presión. Agradecimientos: Se agradece el apoyo financiero de COLCIENCIAS (proyecto 201010000), la DINAIN en la Universidad Nacional de Colombia y la colaboración del profesor Noboru Takeuchi. Referencias [1] P. Hohenberg and W. Kohn, Phys. Rev. B 136 864 (1964). [2] W. Kohn and L.S. Sham, Phys. Rev. A 140 1133 (1965). [3] J.P. Perdew, K. Burke and M. Ernzerhof, Phys. Rev. Lett. 77 3865 (1996). [4] O.K. Andersen, Phys. Rev. B 12 3060 (1975). [5] P. Blaha, K. Schwarz, J. Luitz, WIEN 97. Techn. Universitat Wien, Austria (1999). [6] F.D. Murnaghan, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 30 244 (1994). [7] D. Joubert, Density Funtionals: Theory and Applictions, Springer Verlaga (1988). [8] L.A. Salguero, Trabajo de Grado, Departamento de Física, Universidad Nacional (2003). [9] Datos tomados de www.ioffe.rssi.ru/SVA/NSM/semicond/SiGe/bandstr.html.

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