DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA EN MINAS, METALURGIA Y GEOLOGÍA Cinética de Flotación de la Mena de \"Palmarejo\" y su Aplicación Industrial
Descripción
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Cinética de Flotación de la Mena de "Palmarejo" y su Aplicación Industrial
CAPITULO 3: FLOTACIÓN Y SUS MODELOS CINÉTICOS La cinética de flotación estudia la variación de la masa de mineral flotada con respecto al tiempo. Si todas las variables operacionales se mantienen constantes, la relación algebraica entre los parámetros es una ecuación de velocidad. Las formas en las que las ecuaciones de velocidad pueden ser evaluadas es posible basarlas en suposiciones o hechos del mecanismo, o más comúnmente determinados empíricamente o por analogía con procesos similares (Arbiter y Harris, 1962).
3.1.- Modelos de Analogía Química Por analogía con la cinética química, la ecuación para representar la cinética de flotación puede ser expresada por,
dC KCn dt
(3.1)
donde C es la concentración de sólidos, t el tiempo de flotación, n el orden del proceso, y K es la constante específica de velocidad. Desde el punto de vista cinético, la concentración C está dada por la expresión:
C
M V
(3.2)
así, si se asume que el volumen se mantiene constante durante el curso de la flotación, el problema es simple, ya que podemos tomar "C" como la masa de mineral que permanece en la celda conforme la flotación procede. Por lo tanto, asumiendo que el volumen no se altera, el valor de la constante de velocidad de flotación puede ser determinada. Esta constante es compleja ya que incluye parámetros operacionales tales como tiempo de inducción, aireación, concentración de reactivos, tamaño de partícula, tiempo de acondicionamiento, diseño de celda, etc. Para calcular la mencionada constante es posible tomar distintas aproximaciones, tres de estas son: 1.- Ecuación de primer orden n 1 . 2.- Ecuación de segundo orden n 2 . 3.- Ecuación de orden no-entero En cada caso las expresiones resultantes de la integración correspondientes las podríamos resumir a lo siguiente: (1) Para n = 1, la ecuación toma la forma,
dC Kdt C María de Jesús Prieto Díaz
(3.3) 56 | P á g i n a
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la que una vez integrada, resulta:
C Ln o K1 t C
(3.4)
donde Co es la masa inicial de material flotable en la celda, C es la masa flotable que permanece en la celda y K1 es la constante de velocidad específica. Al graficar los valores de Ln (Co/C) contra tiempo, t, se obtiene una recta con pendiente K1, todo esto provisto el orden de reacción n = 1 sea válido. (2) Para n = 2, integrando entre los límites t = 0, C = Co y para t = t, C = C, obtenemos:
dC Kdt C2 1 1 K2 t C Co Co C 1 K2 C o t
;
1 K2Co t 1 1 K2 t C Co Co (3.5)
Como en el caso previo, si el orden de reacción es "2", el gráfico de Co/C contra tiempo dará una línea recta cuya pendiente es igual a K2Co. Muchos investigadores argumentan que en la mayoría de los casos, los sistemas de flotación no son de orden entero. VolKova, puntualizó que en general las ecuaciones de velocidad yacen entre órdenes de 1 a 2, sugiriendo el orden 1 para flotación de minerales simples o pulpas diluidas, y el segundo orden para pulpas concentradas, usando ecuaciones diferenciales en la forma abajo indicada (Volkova, 1946) :
R R 2 R q, q Kq dt R Rq Rq,
dRq
(3.6)
Donde:
Co C C C R o y R Co Co Estas últimas, como puede observarse, no son otra cosa que expresiones de recuperación en fracción decimal. "R∞" es la recuperación máxima que puede obtenerse y “q” representa cualquier especie, la integración de la ecuación (3.6), considerando un solo mineral y que R q R , se obtiene la expresión:
1 Ln 1 R / R q María de Jesús Prieto Díaz
Rq K t K t e q ,Rq R 1 e q Kqt ; 1 R
(3.7)
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Donde R es la recuperación evaluada a tiempo infinito o cuando la recuperación se torna asintótica con respecto al tiempo. Por lo tanto, al graficar Ln 1 / (1 Rq / R ) contra tiempo se obtendrá una línea
recta cuya pendiente será Kq. Somasundaran, en su nota técnica del año de 1973, también aborda los modelos cinéticos de flotación basados en analogía química, con la diferencia de que introduce y llama “m” a la variable que designa la fracción de mineral flotado del flotable, siendo así que las expresiones integradas de la ecuación (3.3), para n=1, resultan de las formas siguientes (Somasundaran y Lin, 1973):
n 1 Ln
n1
1 Kt 1 m
1 1n 1 m 1 KtCno1 1 n
(3.8)
(3.9)
Éste autor reescribe estas expresiones en términos de recuperación, los cuales son más apropiadas o de uso común en la metalurgia. Es decir, “m”, la fracción de mineral flotado en cualquier tiempo “t”, es equivalente a R/Ro, donde R es la fracción de mineral flotado a un tiempo dado, digamos “tm” y Ro es la máxima recuperación posible a un tiempo infinito bajo las condiciones dadas:
1 K tR/Ro 1 R / Ro
n1
Ln
n1
1n 1 R 1 1 K tR/Ro Rno1 n 1 Ro
(3.10)
(3.11)
El orden de reacción “n” y “K”; la constante de velocidad específica, pueden ser determinadas en forma gráfica o bien de acuerdo al método propuesto por Somasundaran (Somasundaran y Lin, 1973; Hernáinz y Calero, 2001). Hernáinz y Calero, fraccionaron una muestra de celestita, y enseguida flotaron estas fracciones usando oleato de sodio. Los datos obtenidos de estas pruebas de cinética, fueron ajustados a modelos de primer, segundo y orden no-entero. La Tabla 3.1, resume los valores de las constantes de velocidad específica considerando los diferentes órdenes de reacción, y la Figura 3.1 ilustra las recuperaciones obtenidas en la flotación de celestita usando 600 g de Oleato de Sodio por tonelada para seis diferentes fracciones de tamaño (Hernáinz y Calero, 1996; Hernáinz y Calero, 2001).
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Tabla 3.1.- Recuperaciones ajustadas a modelos de 1er, 2do y orden no-entero (Hernáinz y Calero, 2001) . Tamaño (micras)
n=1
n=2
k1 -1 (min )
r
- 177 + 149
n = no-entero
2
Cok2 -1 (min )
r
2
kg -1 (min )
r
0.0034
0.60
0.0675
0.65
0.4988
0.95
- 150 + 125
0.0510
0.64
0.1224
0.69
0.5713
0.97
- 125 + 105
0.0742
0.56
0.2443
0.64
0.5761
0.91
- 105 + 88
0.1088
0.62
0.4808
0.75
0.5884
0.95
- 88 + 74
0.1600
0.67
1.0964
0.83
0.5486
0.93
- 74
0.0939
0.71
0.2801
0.80
0.5421
0.97
2
Figura 3.1.- Recuperación de celestita vs. tiempo de flotación, con 600 g/ton de oleato de sodio para seis diferentes fracciones de mineral (Hernáinz y Calero, 2001).
A manera de ilustrar el ajuste de datos a estos modelos, tomaremos el ejemplo mostrado en el Capítulo 16, intitulado "Flotation" (autor desconocido). En estos se flotó una muestra de carbón en una pequeña celda de laboratorio, usando un colector de keroseno (H1) y un promotor de ditiofosfato (DP) en combinación con H1. Los concentrados fueron colectados a intervalos de 0.5 minutos hasta el minutos tres (3) y un último acumulado final de 3.5 a 7 minutos. Los concentrados fueron enseguida secados, pesados y ensayados por % de ceniza. De los datos abajo listados, se determinaron las constantes de velocidad del carbón para las condiciones de reactivos probadas (Desconocido, 2013). María de Jesús Prieto Díaz
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De acuerdo a los datos listados se calculan las concentraciones de carbón en celda. En cada caso se asume que la cantidad de carbón en muestra es igual a 100 - % ceniza, teniéndose entonces para el tiempo de cero, la siguiente concentración inicial:
Co
masa inicial100 58.5 461.8g 100 58.5 0.767 g C / mL Volumen Celda100 250mL 100
Para los tiempos subsecuentes, tendríamos que la concentración de carbón que permanece en celda se determina de la relación general.
C
masa de carbón en celda Volumen de celda
461.8g 100 58.5 43.6g 100 13.2 C 0.767 0.151 0.616 g / mL 250mL 100
Tabla 3.2.- Datos de prueba de flotación de carbón (Desconocido, 2013).
Tiempo Flotación (min) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 7.0 Cola
Colector H1 Masa % Ceniza (g) 461.8 58.5 43.6 13.2 18.3 15.1 11.9 16.1 10.3 14.7 5.4 15 4.7 13.7 17.5 12.8 350.4 72.6
Colector DP/H1 Masa % Ceniza (g) 456.4 58.7 56.5 21.2 30.9 26 30.3 25.7 23.6 26.8 17.3 28.6 13.3 27.3 21.1 31 263.3 83.1
(*) El volumen de celda fue de 250 mL.
Usando una hoja de Excel para calcular las concentraciones, se obtienen los valores resumidos en Tabla 3.2. Para determinar o estimar C se grafica "C" contra tiempo, ver Figura 3.3. De este gráfico los valores correspondientes de las concentraciones en el equilibrio son:
C H 1 0.36 C DPH 1 0.16
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Tabla 3.3.- Concentraciones de carbón en celda usando H1 y DPH1.
Colector H1 C Ct g C/mL g C/mL 0.767 0.767 0.151 0.615 0.062 0.553 0.040 0.513 0.035 0.478 0.018 0.460 0.016 0.443 0.061 0.382 0.384
Colector DP/H1 C Ct g C/mL g C/mL 0.754 0.754 0.178 0.576 0.091 0.484 0.090 0.394 0.069 0.325 0.049 0.276 0.039 0.237 0.058 0.179 0.178
0.90 Colector H1 Concentración Carbón (g C/mL)
0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0.0
5.0
10.0
15.0
Tiempo (min) Figura 3.2.- Determinación de las concentraciones @ tiempo infinito (Desconocido, 2013).
Determinados los valores de recuperación en el infinito se calculan los valores de las ordenadas según los órdenes de reacción, haciendo esto se tiene:
n 1 Ln o Kt C C
n2
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Co C 1 Co C Kt C C
(3.12)
(3.13)
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Según lo establecido para un orden de 1 se deberá calcular Ln(Co/C) y para n=2 (Co-C∞/C-C∞), hechos los cálculos se grafican los datos y finalmente se determinan los valores de las constantes de velocidad de flotación, ver Tabla 3.4. Tabla 3.4.- Valores de las ordenadas Ln (Co/C) y (Co-C∞/(C-C∞). Colector H1
Colector DP/H1
Tiempo Flotación (min) 0.0
1.00
0.000
1.00
0.000
0.5
1.59
0.220
1.43
0.269
1.0
2.11
0.326
1.83
0.442
1.5
2.66
0.401
2.53
0.648
2.0
3.45
0.472
3.59
0.841
2.5
4.08
0.512
5.13
1.005
3.0
4.88
0.547
7.70
1.157
7.0
18.19
0.696
31.35
1.438
6.00
1.40 Colector H1
y = 0.405x R² = 0.9883
1.00
4.00 Ln (Co/C)
Ln (Co-Cinf)/(C-Cinf)
Colector DP/H1 1.20
y = 1.2816x + 0.9001 R² = 0.9944
5.00
3.00
0.80 0.60
2.00 0.40 1.00
0.20
0.00
0.00 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
Tiempo Flotación (min)
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
Tiempo Flotación (min)
Figura 3.3.- Determinación gráfica del orden de reacción de la flotación de carbón con los colectores H1 y DP/H1, colector H1 orden no entero y DP/H1 orden 1 .
De acuerdo a los gráficos de la Figura 3.3 se tiene que la flotación con el colector H1 es de orden 2 (n = 2):
m 1.2816 (Co C )K
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K
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1.2816 3.15min1 (0.767 0.360)
por otro lado, la cinética de flotación con el colector DP/H1 es de orden 1 (n=1), con un valor de K igual a:
K 0.405 min1 3.2.- Modelos Basados en Adsorción Química La flotación es un proceso resultado de la adhesión selectiva de las partículas minerales a las burbujas de aire, el cual es un fenómeno tanto termodinámico como cinético. Este último, es un proceso que depende del tiempo y es afectado por interacciones de potencial de tipo electromagnético entre las partículas y las burbujas. Esta interacción es necesaria para que se dé la adhesión, así el proceso de mineralización de burbujas puede concebirse como un proceso de adsorción, en el que las burbujas juegan el rol de adsorbente; mientras que las partículas son el adsorbato. Este proceso es uno de adsorción selectivo que depende de la energía superficial, determinada por las propiedades de superficie de partículas y del sistema de reactivos. Según Pogorelyj, el proceso de flotación se asemeja mucho a un proceso de adsorción, y como en este último, el tiempo de contacto de partícula y burbujas de aire que debe conducir a una conexión estable entre partícula con una burbuja (tiempo de inducción), es muy corto (Pogorelyj, 1962). La adsorción ocurre sobre la superficie de la burbuja, y por lo tanto el número de partículas minerales fijadas (adsorbidas) a las burbujas, es proporcional a la superficie libre de burbujas, aún no mineralizadas. Para un material homogéneo en sus propiedades de flotación, la masa de partículas fijadas a la superficie de burbujas en el tiempo d es decir:
dm sCd
(3.12)
Donde: λ = es la constante de velocidad de mineralización (masa de partículas adsorbidas por superficie unitaria de burbujas en la unidad de tiempo). S = nueva superficie libre de burbujas entrantes a la cámara de flotación.
τ = tiempo que permanece una burbuja en la cámara de flotación. С = concentración de partículas en volumen en la cámara de flotación. Como resultado de la mineralización, la superficie libre de la burbuja decrece; decremento que por unidad de tiempo es igual a:
dS
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1 dm
(3.13)
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En la que α es la masa de partículas adsorbidas por unidad de área. Combinando las ecuaciones (3.12) y (3.13), se tiene:
dS
SC dt
Integrando y tomando como condición inicial S (t = 0) = So, se obtiene la expresión:
C S So exp
(3.14)
La superficie mineralizada por unidad de tiempo se expresa por la relación:
C So S So 1 exp
(3.15)
Por otro lado la disminución de masa mineral de la pulpa que está siendo flotada en el tiempo "dt" es:
C dm So 1 exp dt
(3.16)
Si el volumen de la cámara de flotación es V (m = CV) entonces dm = V dC y de la expresión (3.16), se obtiene,
dC So dt V 1 exp C
(3.17)
Integrados ambos miembros de la ecuación (3.17), transformada y evaluada la constante de integración D, usando la condición C(t = 0) = Co, se obtiene primeramente la relación:
Co So exp C exp 1 1 exp V
(3.18)
De esta ecuación (3.18) es posible obtener la dependencia de la concentración volumétrica de partículas en la cámara de flotación con respecto al tiempo:
C t = María de Jesús Prieto Díaz
Ln
Co So t 1 exp 1 exp V
(3.19)
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Si la recuperación de las partículas en la espuma es igual a,
E=
Co - C C 1 Co Co
(3.20)
en consecuencia la recuperación del mineral flotado en el producto de espuma después de un tiempo de flotación t, según se desprende de la ecuación previa, está dada por la siguiente expresión:
E t =1 -
Co So Ln exp 1 1 exp Co
(3.21)
Según se observa de la ecuación (3.21) la recuperación depende de la concentración de partículas en volumen dentro de la cámara de alimentación Co, propiedades de flotación de las partículas dadas por λ, tamaño del área libre de burbujas So, y tiempo de flotación t.
3.3. – Otros Modelos La flotación es un proceso de separación físico-químico basado en la diferencia de las propiedades superficiales de los minerales de valor y la ganga. Los conceptos teóricos asociados a la flotación son complejos, esto, porque además de que son sistemas trifásicos (sólidos, agua y espuma) se involucran muchos otros subprocesos e interacciones, lo que hace difícil su conceptualización y total comprensión (Wills, 1992; Wills y Napier-Munn, 2006). Los resultados de flotación son afectados por factores que no solo están asociados a las propiedades físico o químicas de las especias, tal es el caso de: pH del medio, tamaño de burbuja, temperatura, diseño de celda, tamaño de partícula, entre otros. Lo anterior, conlleva a describir la flotación de manera simple, es decir, como un fenómeno cinético de primer orden. Como se observará, las expresiones del fenómeno son variadas y se encuentran tanto en los libros de procesamiento como el software de simulación (MODSIM, USIM PAC, JKSim Float), algunos de estos modelos “simplistas”, son: a) Modelos Clásico b) Modelo de Klimpel c) Modelo de Kelsall
c) Modelo modificado de Kelsall d) Modelo Gama d) Modelo totalmente mezclado
a) Modelo Clásico El modelo “clásico” es uno de dos parámetros, el cual tiene por relación:
R = R 1 ekt María de Jesús Prieto Díaz
(3.22) 65 | P á g i n a
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Donde: R = recuperación del mineral R∞ = recuperación en infinito (equilibrio) recuperación máxima posible (parámetro 1) K = constante de velocidad [min-1] (parámetro 2)
τ = tiempo de flotación (min) (variable independiente) b) Modelo de Klimpel Este modelo usa dos parámetros para describir la cinética de flotación. De acuerdo con Klimpel, su modelo permite comparar los experimentos de laboratorio con la operación de planta, provisto se tenga en cuenta las diferencias entre la operación de una y otra celda (Klimpel, 1985).
1 R =R 1 1 eK K
(3.23)
Donde: R = recuperación del mineral con respecto al tiempo (variable dependiente) R∞ = recuperación en el infinito (equilibrio), máxima recuperación posible. K = constante de velocidad.
τ = tiempo de flotación. Este modelo toma en cuenta el hecho de que las partículas hidrofóbicas varían en tamaño y en grado de hidrofobicidad, y por lo tanto es más apropiado que las expresiones convencionales basasadas en analogía cinética que asumen sistemas constituidos por moléculas idénticas. Por lo anterior, es particularmente útil para correlacionar resultados de laboratorio con la planta. En el trabajo de laboratorio, es común que el parámetro “R∞” sea el más importante en la definición del desempeño de la flotación, esto porque las pruebas de laboratorio se suelen prolongar hasta que se recupere todo el material. En la operación industrial (planta), el parámetro “K” es el importante, ya que no resulta económico proveer de un gran volumen de celdas para recuperar aquel material que no flota rápidamente. Debido a esta diferencia de operación, los resultados de los estudios de flotación de laboratorio serán pobres predictores del desempeño de planta. A fin de corregir esto, lo recomendable es realizar experimentos de “cinética de flotación” que arrojen datos cinéticos, de manera que sea posible determinar tanto “R∞” con “K”. Y enseguida, basados en el tiempo de residencia de planta, debidamente escalado; definir si el desempeño de ésta se encuentra dominado por velocidad “K” o recuperación “R∞” (Klimpel, 1985). Determinados los valores de R∞ y K, las curvas de recuperación totales contra el tiempo pueden ser utilizadas para determinar los tiempos de flotación óptimos. Alternativamente éste puede también ser determinado a partir de la definición de tiempo de flotación óptimo, el que versa “tiempo de
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flotación óptimo es aquel para el cual la diferencia en la recuperación entre el mineral de interés y la ganga es un máximo, esto es (Agar y col., 1980):
R Rm Rg
(3.24)
Rm recuperación del mineral de interes Rg recuperación del mineral de ganga en el concentrado
Obtener el máximo de esta diferencia implica diferenciar la ecuación, haciendo esto se tiene:
R Rm Rg Rm Rg 0.0 ; t t t t t
(3.25)
Para el modelo de Klimpel la diferenciación nos lleva a las siguientes expresiones:
R R Rm m 1 ekmt m 1 ekmt km t 0 km t t t
(3.26)
km t km t km t kmt Rm Rm km t e Rm km 1 e Rm 1 e Rm kmt e t km2 t2 k m t2 2
(3.27)
similarmente para la ganga se tendría,
Rg t
Rg k g t e 2
k g t
Rg k g 1 e g
k t
k2g t2
R 1 e R kg t
g
kgt e g
k t
g
k g t2
(3.28)
Igualando, Rm Rg : t t
Rm 1 ekmt Rm km t ekmt km t2
Rg 1 e g Rg k g t e g k t
k t
k g t2
R Rm 1 ekmt Rm t ekmt g 1 ekg t Rg t ekg t km kg R Rm 1 ekmt g 1 ekg t Rm t ekmt Rg t ekg t 0.0 km kg
(3.29)
El tiempo de flotación óptimo se obtiene de la ecuación (3.29), siendo éste aquel para el que la expresión (3.29) es igual a cero. La solución puede encontrarse mediante el uso de la herramienta de SOLVER de Excel o bien un gráfico de residuales. Como ejemplo de la determinación del tiempo de María de Jesús Prieto Díaz
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flotación, consideremos los datos de prueba obtenidos para el mineral de Palmarejo, en las que se probaron los colectores: xantato amílico de potasio (XAP) y Aerophina. Tabla 3.5.- Resultados de prueba de cinética de flotación usando xantato amílico de potasio (XAP). Tiempo (min)
% REC. REAL Au
0 1 2 3 4 5 6 7
0.00 33.87 65.15 84.01 86.29 88.58 89.39 90.23
% REC. REAL Ag
0.00 46.42 66.79 76.93 82.62 86.16 88.54 90.25
0.00 27.40 52.62 67.57 70.17 73.13 74.29 75.47
Ag 87.0 1.15 0.00 35.30 52.97 62.58 68.28 71.92 74.40 76.20
Tiempo Flotación Primario Au
100.0
% Recuperación Acumulada
Au 100.5 1.4
80.0
% REC. REAL Fe 0.00 8.50 18.80 29.23 32.12 36.86 39.04 41.20
Fe 63.0 0.40
=R =K
0.00 11.08 19.63 26.31 31.57 35.76 39.13 41.87
Tiempo Flotación Agotativa
Ag Fe
60.0 40.0 20.0 0.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
Tiempo (min) Figura 3.4.- Recuperaciones acumuladas de los valores de oro, plata y fierro usando como colector XAP. Tabla 3.6.- Resultados de prueba de cinética de flotación usando Aerophina 3418.
Tiempo (min) 0 1 2 3 4 5 6 7
María de Jesús Prieto Díaz
% REC. REAL Au 0.00 60.83 75.56 79.17 80.14 80.76 85.25 85.76
Au 89.5 3.0 0.00 61.15 74.62 79.56 82.04 83.53 84.53 85.24
% REC. REAL Ag 0.00 56.44 69.39 73.78 75.70 77.23 78.05 78.86
Ag 83.0 2.90 0.00 55.95 68.73 73.46 75.84 77.28 78.23 78.91
% REC. REAL Fe 0.00 10.60 17.18 21.63 24.81 28.21 30.24 33.01
Fe 42.0 0.60
´= R ´= K
0.00 10.42 17.54 22.52 26.09 28.70 30.65 32.15
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% Recuperación Acumulada
100.0
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Tiempo Flotación Agotativa
Tiempo Flotación Primario
Au Ag Fe
80.0 60.0 40.0 20.0 0.0 0.0
2.0
4.0
6.0
Tiempo (min) Figura 3.5.- Recuperaciones acumuladas de los valores de oro, plata y fierro usando como colector Aerophina.
De acuerdo al diagrama de pruebas mostrado en la Figura 3.6, los tiempos de flotación para cada una de las etapas de prueba son los enseguida listados.
A-404 = 25 g/ton MOLIENDA 35': 75% @ 200 mlls
XAP = 115 g/ton F-549 = 32 g/ton
Alimentación
pH = 7.0
ACONDICIONAMIENTO 5' PRIMARIO =
'
AGOTATIVO =
'
COLAS A CIANURACIÓN XAP = 10 g/ton pH = 7.0
CONC. AGOTATIVO
MEDIOS 1era LIMPIA
1ra LIMPIA=
‘
2da LIMPIA=
'
CONC. FINAL
Figura 3.6.- Diagrama de flujo de prueba estándar de la unidad Palmarejo, Chih. María de Jesús Prieto Díaz
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BASADOS EN LA EXPERIENCIA Y LOS GRÁFICOS DE RECUPERACIONES ACUMULADAS XANTATO: Primario: Agotativo: 1era Limpia 2da Limpia
4.0 3.0 3.0 2.5
minutos " " "
AEROPHINA Primario: Agotativo: 1era Limpia 2da Limpia
3.0 2.5 2.5 2.0
minutos " " "
BASADOS EN LOS PARÁMETROS DE R Y K DEL MODELO DE KLIMPEL Y DERIVANDO
R Rm 1 ekmt g 1 ekg t Rm t ekmt Rg t ekg t 0.0 km kg XANTATO RAu =
100.50
RFe =
63.00
KAu =
1.40
KFe =
0.40
-2.7E-05
3.74
min
Tiempo de Primario
AEROPHINA RAu =
89.50
RFe =
42.00
KAu =
3.00
KFe =
0.60
1.6E-06 c y d)
2.41
min
Tiempo de Primario
Modelo de Kelsall Clásico y Modificado
Los modelos clásico y modificado de Kelsall, usan tres y cuatro parámetros para describir la cinética de flotación, respectivamente. Estos modelos tienen por expresiones las enseguida dadas:
R 1 1 ekf 1 eks
(3.30)
R R 1 1 ekf 1 eks María de Jesús Prieto Díaz
(3.31) 70 | P á g i n a
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Donde: R = recuperación del mineral (variable dependiente) R∞ = recuperación en el infinito (equilibrio), recuperación máxima posible K = constante de velocidad (1/min)
τ = tiempo de flotación (min), (variable independiente) Las ecuaciones de Kelsall son una modificación del modelo cinético de primer orden, en el que para mejorar el ajuste de datos de operaciones se consideran dos fracciones de partículas, una con una “rápida” constante de velocidad “Kf” y otra con una “lenta” constante, "Ks", en la que está implícito que:
f Co s Co Co ; s 1 f
1 C C s
o
s
o
Co
(3.32)
Para determinar los valores de los parámetros se grafica en YY’ la fracción no flotada Ln 1 R contra R
o
tiempo, las pendientes de las fracciones de flotación rápida y lenta son en cada caso iguales a:
mf Ln1 k f
(3.33)
ms Ln 1 ks
(3.34)
El valor de “φs”, fracción de partículas de lenta flotación está dado según lo indica la Tabla 3.5 y la Figura 3.7, por el intercepto de la línea de las partículas de lenta flotación con el eje YY' a t = 0. Tabla 3.7.- Valores de fracción no flotada y flotada en circuito de flotación. No CELDA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Tiempo (s)
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
Fracción no flotada
0.556
0.312
0.201
0.135
0.098
0.083
0.069
0.055
0.051
0.044
0.039
0.035
-0.587
-1.165
-1.604
-2.002
-2.323
-2.489
-2.674
-2.900
-2.976
-3.124
-3.244
-3.352
0.444
0.688
0.799
0.865
0.902
0.917
0.931
0.945
0.949
0.956
0.961
0.965
-0.812
-0.374
-0.224
-0.145
-0.103
-0.087
-0.071
-0.057
-0.052
-0.045
-0.040
-0.036
Ln (Fracción no flotada) Fracción flotada Ln (Fracción flotada)
Del gráfico, véase Figura 3.8, se tiene para la fracción de flotación rápida una constante de: m = 0.01469
Ln(1 Kf ) 0.01469 (1 Kf ) 1.0148 María de Jesús Prieto Díaz
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Kf = - 0.0148 0.00 Fracción No-Flotada
Ln (Fracción No-Flotada)
-0.50 -1.00
Fracción de Flotación Lenta = 0.14269
-1.50 -2.00
Curva Total
-2.50 Ln (1-Ks)
-3.00 -3.50
Ln (1-Kf)
-4.00
0
100
200
300
Tiempo de Flotación (Segundos)
Figura 3.7.- Determinación de Kf, Ks y φs en el modelo de Kelsall.
de la misma manera para la fracción de flotación lenta el valor de la constante es: m = 0.00027
Ln(1 Ks ) 0.00027 (1 Ks ) 1.0003 Ks = - 0.0003 La fracción no flotada " s " es igual a 0.035. e) Modelo Gamma El modelo Gamma tiene tres parámetros y puede ser descrito como la suma de distribuciones exponenciales, este modelo fue propuesto por Loveday, Ihoue & Imalzumi. En términos de recuperación, la expresión de éste es:
K R R 1 K
p
(3.35)
Donde: María de Jesús Prieto Díaz
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R = recuperación del mineral R∞ = recuperación en el infinito (equilibrio), recuperación máxima posible K = constante de velocidad (parámetro 2). P = exponente (parámetro 3)
τ = tiempo de flotación f) Modelo de Mezclado Total Los resultados de flotación pueden ser representados por una expresión similar a la ecuación que describe la variación de la concentración con respecto a tiempo para una serie de reactores totalmente mezclados. En términos de recuperación esto puede ser expresado en forma matemática de manera muy semejante al modelo Gamma:
1 R R 1 1 K
(3.36)
Donde: K = constante de velocidad (parámetro 2)
τ = tiempo de flotación Como punto final de esta revisión hemos de comentar que Iván Brezani, ha escrito un programa en MatLab el cual permite ajustar datos de prueba a diferentes modelos de cinética de flotación (Brezani y Zelenak, 2010).
María de Jesús Prieto Díaz
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