Demostraciones garrido mercado vega

Demostraciones de Temas Selectos de Matemáticas Julián Garrido Tomasini Ricardo Mercado Cordero Eduardo Vega Blanes 602

Demostrar que la diferencia entre los cuadrados de dos números enteros consecutivos es un número entero impar. P.d. n 2  (n  1) 2  2n  1

n 2  (n 2  2n  1) n 2  n 2  2n  1 (2 n  1)

Demostrar que restando 1 al cuadrado de un número entero impar, se obtiene un múltiplo de 4. P.d. (2n  1) 2  1 es múltiplo de 4 (4x)

4n 2  4n  1  1 4(n 2  n)

Suma tres números consecutivos. El resultado es siempre múltiplo de tres. Demuéstralo. P.d. (n)  (n  1)  (n  2) es múltiplo de 3 (3x) 3n  3 3(n  1)

Tomamos tres números consecutivos. Multiplicamos el menor por el mayor. Calculamos el cuadrado del nº intermedio. ¿Qué relación hay entre los dos resultados obtenidos? Demuéstralo.

P.d. n, n  1, n  2 n(n  2) y (n  1) 2 n 2  2n y (n 2  2n  1) La relación entre ambas cantidades es que la multiplicación del primero por el tercero es igual al cuadrado del medio menos 1.

Probar que la suma de los ángulos internos (S) de una figura regular, está dada por. S = 180n – 360 P.d. S  180n  360 Dividir al polígono uniendo sus vertices con el centro, obteniendo muchos triángulos.

2 B  A  180  A 

360 n

B

n# 2 B  180  A 2 Bn  (180  A)n

B

2 Bn  180n  An Sustituir A

A

360n 2 Bn  180n  n 2 Bn  180n  360

C

Probar la Ley de Senos: Para un triángulo cualquiera, a b c   sin A sin B sin C h sin A  b b sin A  h h b a sin B  h

sin B 

b

h

a

A

B D

b sin A  a sin B a b  sin A sin B De manera análoga, tomando las otras alturas del triángulo se obtiene el resto de la ley.

Probar a Ley de Cosenos: Para un triángulo cualquiera, a 2  b 2  c 2  2bc  cos A n b b cos A  n

cos A 

C

m a a cos A  m cos B 

n b b

m2  h2  a 2

h

m

a

 n 2  h 2  b 2 m2  n2  a 2  b2 (m  n)(m  n)  a 2  b 2 c ( m  n)  a 2  b 2 a 2  b2 mn  c mn c a 2  b2  c2 c 2 2 a  b  c2 m 2c a 2  b2  c2 a cos B  2c 2 2 a  b  c2 cos B  2ac 2 2 2 b  a  c  2ac  cos B 2m 

A

B D

Probar que el área sombreada de la figura siguiente es igual a r2, dado que el radio de las circunferencias menores es igual a r.

área

 4 r 2

área

 2 r 2

área

  r2

4 r 2  2 r 2   r 2   r 2

Determinar el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio r. AT 

bh 2

x r r sin 30  x

sin 30 

r 2 3r h 2

h

x

y r r cos 30  y

cos 30 

3r 2 b  2y y

b  3r AT 

bh (3r )( 3r ) 3 3r 2   2 4 4

x y b

Dado un triángulo equilátero de lado k, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices. AS  AC  AT AS 

 r2 

3 3r 2 4 3

4 r 2  3 3r 2 12 2 r (4  3 3) AS  12 AS 

Obtener el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de perímetro P. P d d

P



sin 30  x

P



x d

sin 30 

P 2 2

A x P 2 A     2 

2

Calcular la suma de los ángulos A, B, C, D y E en la figura siguiente.

    180   108   180   2     180 2(180   )    180 360  216    180   36   A BC  D E 5  180



     







Calcular la suma de los ángulos A, B, C, D y E en la figura siguiente. Podemos concluir que al igual que la suma de los ángulos interiores de un triángulo dan 180°, y que la suma de todos los ángulos interiores da 360°; la suma de los ángulos interiores de una estrella de cinco picos cualquiera de 180° según el teorema anterior. 2C 2E 2B 2A

Sean A1, A2 y A3, las respectivas áreas de las regiones sombreadas en la figura. Probar empleando el teorema de Pitágoras que A1 + A2 = A3

L12  L22  L23 2

L L     h2 2 2

L h  L   2 2

2

2

 3L  h 2     2 

2

3L 2 Lh L 3L 3L2 A    2 2 2 4 3 2 A1  L1 4 3 2 A2  L2 4 3 2 A3  L3 4 3 2 3 2 A1  A2  L1  L2 4 4 3 2 3 2 A3  ( L1  L22 )  L3  A1  A2 4 4

h

L1 L2

L3

Sean A1, A2 y A3, las respectivas áreas de las regiones sombreadas en la figura. Probar empleando el teorema de Pitágoras que A1 + A2 = A3

L12  L22  L23 2

L L     h2 2 2

L h  L   2 2

2

2

 3L  h     2 

2

2

3L 2 Lh L 3L 3L2 A    2 2 2 4 3 2 A1  L1 4 3 2 A2  L2 4 3 2 A3  L3 4 3 2 3 2 A1  A2  L1  L2 4 4 3 2 3 2 A3  ( L1  L22 )  L3  A1  A2 4 4

L1 L2

h

L3

1∙5+2∙9+⋯+(4𝑛+1)=(𝑛(𝑛+1)(8𝑛+7))/6 n(n  1)(8n  7) 6 P1 n  1 1(2)(15) 5 6 P2 n  1 (n  1)(n  2)(8(n  1)  7) ( n  1)( n  2)(8n  15)  6 6 P3 n(n  1)(8n  7)  (n  1)(4( n  1)  1) 6 n(n  1)(8n  7)  6(n  1)(4n  5)  6 (n  1)(n(8n  7)  6(4n  5)) ( n  1)(8n 2  7 n  24n  30)   6 6 2 (n  1)(8n  31n  30) (n  1)(n  2)(8n  15)   6 6

1∙2+2∙3+3∙4+⋯+(𝑛+1)=(𝑛(𝑛+1)(𝑛+2))/3 n(n  1)(n  2) 3 P1 n  1 1(2)(3) 2 3 P2 n  1 (n  1)(n  2)(n  3) 6 P3 n(n  1)(n  2)  (n  1)(n  2) 3 n(n  1)(n  2)  3(n  2)(n  1)  3 (n  1)(n  2)(n  3)  3

13+23+33+⋯+𝑛3=𝑛2(𝑛+1)2/4

n 2 (n  1) 2 4 P1 n  1 12 (1  1) 2 1 4 P2 n  1 (n  1) 2 (n  2) 2 4 P3 n 2 (n  1) 2 n 2 (n  1) 2  4(n  1)3  (n  1)3  4 4 2 2 (n  1) (n  4n  4)  4 2 (n  1) (n  2) 2  4

14+24+34+⋯+𝑛4=(6𝑛4+15𝑛3+10𝑛2−1)/30 n(6n 4  15n3  10n 2  1) 30 P1 n  1 1(6(1) 4  15(1)3  10(1) 2  1) 1 30 P2 n  1 (n  1)(6(n  1) 4  15( n  1)3  10( n  1) 2  1) 30 P3 n(6n 4  15n3  10n 2  1) n(6n 4  15n3  10n 2  1)  30(n  1) 4 4  (n  1)  30 30 5 4 3 2 4 6(n  1)  6(5n  10n  10n  5n  1)  15( n  1)  15(4n3  6n 2  4n  1)  10( n  1)3  (3n 2  3n  1)  

(n  1)  1  30( n  1) 4

30 6(n  1)  15( n  1)  10( n  1)3  ( n  1)  30 n 4  120 n3  180 n 2  120 n  30  30( n  1) 4  30 5 4 3 6(n  1)  15( n  1)  10( n  1)  ( n  1)  30( n  1) 4  30( n  1) 4  30 4 3 (n  1)(6( n  1)  15( n  1)  10( n  1) 2  1)  30 5

4

1/3+1/15+1/35+⋯+1/4𝑛2−1=𝑛/2𝑛+1 n 2n  1 n 1

1 1  2 1 3 n 1 n 1 n 1  2(n  1)  1 2n  3 n 1 n 1    2 2 2n  1 4(n  1)  1 2n  1 4(n  2n  1)  1 n 1 n(4n 2  8n  3)  2n  1    2n  1 4n 2  8n  3 (2n  1)(4n 2  8n  3) n(2n  3)(2n  1)  2n  1 (2n  1)(n(2n  3)  1)   (2n  1)(2n  3)(2n  1) (2n  1)(2n  3)(2n  1) (n(2n  3)  1) (2n 2  3n  1)  (2n  3)(2n  1) (2n  3)(2n  1) (2n  1)(n  1)  (2n  3)(2n  1) n 1  2n  3 

1/1∙3+1/3∙5+⋯+1/(2𝑛−1)(2𝑛+1)=𝑛/2𝑛+1

n 2n  1 n 1 1 1  2 1 3 n 1 n 1 n 1  2(n  1)  1 2n  3 n 1 n(2n  3)(2n  1)  2n  1    2n  1 (2n  3)(2n  1) (2n  1)(2n  3)(2n  1) (2n  1)(n(2n  3)  1) (n(2n  3)  1)   (2n  1)(2n  3)(2n  1) (2n  3)(2n  1) (2n 2  3n  1) (2n  1)(n  1) n 1    (2n  3)(2n  1) (2n  3)(2n  1) 2n  3

1/1∙4+1/4∙7+⋯+1/(3𝑛−2)(3𝑛+1)=𝑛/3𝑛+1 n 3n  1 n 1

1 1  3 1 4 n 1 n 1 n 1  3(n  1)  1 3n  4 n 1 n(3n  1)(3n  4)  3n  1   3n  1 (3n  1)(3n  4) (3n  1)(3n  1)(3n  4) (3n  1)(n(3n  4)  1) (n(3n  4)  1)   (3n  1)(3n  1)(3n  4) (3n  1)(3n  4) (3n 2  4n  1) (3n  1)(n  1)  (3n  1)(3n  4) (3n  1)(3n  4) (n  1)  (3n  4) 

41+42+43+⋯+4𝑛=4𝑛+1−/ 3 4n 1  4 3 n 1 411  4 4 3 n 1 4n 11  4 4n  2  4  3 3 n 1 n 1 4n 1  4 n 1 4  4  3  4  4  3 3 n 1 n  2 44   4 4  4   3 3

1∙2+3∙4+4∙5+⋯+(2𝑛−1)2𝑛=𝑛(𝑛+1)(4𝑛−1)/3 n(n  1)(4n  1) 3 n 1 1(1  1)(4  1) 2 3 n 1 (n  1)( n  2)(4( n  1)  1) ( n  1)( n  2)(4n  3)  3 3 n(n  1)(4n  1)   (2(n  1)  1)2( n  1) 3 n(n  1)(4n  1)  3(2( n  1)  1)2( n  1)  3 n(n  1)(4n  1)  3(2n  1)2( n  1)  3 2 (n  1)(4n  11n  6)  3 (n  1)( n  2)(4n  3)  3 1∙2∙3+2∙3∙4+⋯+(𝑛+1)(𝑛+2)=𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)(𝑛+3)/4 n(n  1)(n  2)(n  3) 4 n 1

1(1  1)(1  2)(1  3) 6 4 n 1 (n  1)(n  1  1)( n  1  2)( n  1  3) ( n  1)( n  2)( n  3)(n  4)  4 4 n(n  1)(n  2)(n  3)  (n  1)(n  2)(n  3) 4 n(n  1)(n  2)(n  3)  4(n  1)( n  2)( n  3)  4 (n  1)(n  2)(n  3)(n  4)  4