Del Timeo al Epinomis. Una interpretación cualitativa de la física de Platón.

Del Timeo al Epinomis: una interpretación cualitativa de la física de Platón Pablo Melogno

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1. Introducción

En el diálogo Timeo, Platón expone un amplio sistema cosmológico que incluye una teoría acerca de las estructuras básicas de los elementos físicos. En este marco, agua, Tierra, aire y fuego son identificados con cuatro de los cinco poliedros regulares -icosaedro, cubo, octaedro y tetraedro-, quedando el dodecaedro excluido de la asignación de un elemento natural. La reducción de elementos a poliedros se complementa a su vez subdividiendo estos en triángulos, que ofician como estructuras últimas de la materia y dan cuenta de las transformaciones posibles entre los elementos. Ya desde poco tiempo después de su aparición, el Timeo comienza a ser objeto de diferentes tradiciones críticas e interpretativas, que se prolongarán a lo largo de la antigüedad. En lo que concierne específicamente a las tesis físicas y astronómicas desarrolladas por Platón, una de estas primeras interpretaciones es la que se introduce en el diálogo apócrifo Epinomis, elaborado seguramente en el contexto de la Academia. Tomando en cuenta los problemas existentes tanto para la datación de esta obra como para la identificación de su autor, pretendemos ofrecer una compulsa de algunas tesis postuladas en el Epinomis con el modelo físico del Timeo, a efectos de mostrar que aquel ofrece una interpretación de la física platónica sustantivamente alejada de los términos originales en los que ésta se formula; en particular en lo que hace a la teoría de los poliedros. Para esto revisamos ciertos aspectos específicos del Epinomis, a efectos de mostrar que su tratamiento presenta diferencias de fondo respecto a lo ofrecido en el Timeo. Algunos de estos elementos remiten a las relaciones entre matemática y astronomía, al papel de la matemática en el conocimiento del mundo físico, y más específicamente a la función del dodecaedro en la teoría de los poliedros. Sobre la revisión de estos puntos trataremos de mostrar que el Epinomis constituye una versión cualitativa de la física de los poliedros postulada por Platón, que excluye el tratamiento de los problemas matemáticos asociados a la composición de la materia, al tiempo que introduce elementos extraños a la matriz platónica y acaso incompatibles con ella, como ser la identificación del quinto poliedro con el éter. En función de esto pretendemos proporcionar insumos para la reconstrucción del desarrollo histórico de la física de Platón, mostrando que tempranamente su interpretación y tratamiento se vieron condicionados por la introducción de elementos cualitativos afines al desarrollo posterior del aristotelismo, que en cierta medida pueden ser útiles para explicar que la física del Timeo no alcanzara en lo posterior un nivel de consolidación análogo al de la física de Aristóteles, o al de la misma astronomía propuesta por Platón. 1- Facultad de Información y Comunicación. Universidad de la República, Uruguay. pablo.melogno@ fic.edu.uy

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Ciencia, matemática y experiencia 2. El modelo físico-matemático del Timeo En el contexto de la ciencia griega y antigua, la obra de Platón es reconocida por su fuerte influencia en el desarrollo de la matemática y la astronomía, en el marco de una caracterización del conocimiento que privilegia la armonía y la consistencia matemáticas por sobre el dato empírico. Menos conocidas y quizás algo menos influyentes son algunas tesis específicas de Platón, y particularmente su tentativa de ofrecer una explicación matematizada del mundo físico, introducida en el Timeo. Uno de los campos de problemas abordados en el diálogo remite a la cosmología, en cuanto intelección de la estructura y los principios que regulan el funcionamiento del cosmos2. En la indagación cosmológica se integran problemas como el origen del universo, las regularidades matemáticas de las órbitas planetarias, la estructura última de la materia y la explicación de las transformaciones de los elementos. En cuanto al status de la cosmología, Platón establece que tanto en el conocimiento del origen del mundo como en el de los designios de los dioses, no cabe a los hombres nada más que conjeturas o imágenes verosímiles -eikôs logos- y razonamientos aproximados (Timeo, 29c/ Fedón, 96a-99d), al contrario de lo que sucede en el conocimiento dialéctico. Johansen (2008) ha señalado que esta caracterización de la astronomía y la matemática ofrecida en el diálogo no debe situarse en el contexto de la dialéctica y el conocimiento de las ideas, ya que no remite al nivel del ser y el conocimiento incondicionado. Por el contrario, las hipótesis cosmológicas introducidas por Platón en el Timeo remiten al conocimiento del cosmos en cuanto devenir, por lo que una vez que se trata de un tipo de conocimiento diferente a la intelección dialéctica, el status de las hipótesis matemáticas y astronómicas que componen la cosmología será el de un conocimiento de tipo necesariamente falible y conjetural3. Para abordar el problema del origen temporal del cosmos, Platón recurre como en otros varios diálogos a una figura mitológica, el Demirugo. Se trata de una especie de creador inteligente o artesano divino, que da forma a la materia desordenada e indeterminada, tomando como modelo las ideas. El Demiurgo oficia como intermediario entre éstas y el cosmos, y como elemento de orden y racionalidad en cuanto el diseño que le imprime al cosmos asegura que éste no sea una creación azarosa (Sofista, 265b-266b/ Filebo, 28a-30a). Crea así la esfera de las estrellas fijas, las esferas planetarias y la Tierra, ubicándola en el centro del mundo. Para Platón, como para la mayoría de sus contemporáneos, la diversidad de elementos materiales del mundo terrestre puede reducirse a los elementos básicos Tierra, fuego, agua y aire. Pero lo novedoso del Timeo radica en que Platón introduce una explicación matemática de las estructuras de estos cuatro elementos y sus interrelaciones, lo que puede entenderse como una reconstrucción físico-matemática del mundo material. 2- Los problemas cosmológicos no agotan el campo de interés del Timeo, en el que también tienen relevancia problemas políticos y éticos ya abordados en la República. Nos hemos referido brevemente a este punto en Melogno (2011). Sobre las vinculaciones entre cosmología y política en el Timeo puede consultarse Racionero (1997).

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3- Runia (1986) ha señalado que este carácter hipotético de la cosmología explica por qué Platón no discute en profundidad la identidad del Demiurgo, o el status de los objetos matemáticos que se postulan como estructuras últimas de la materia. Previamente Crombie (1963) también enfatizó el carácter conjetural y programático del diálogo, y Cornford (1937) sus elementos míticos.

Ciencia, matemática y experiencia El centro de esta explicación es la teoría de los poliedros, que constituye un intento altamente sofisticado de ofrecer una imagen matemática de la realidad física, en cuanto Platón defiende la tesis de que las estructuras últimas de la materia sólo pueden ser adecuadamente inteligidas a través del lenguaje matemático. Esto supone la aparición por primera vez en el pensamiento griego de una concepción geométrica de los elementos y sus transformaciones, a través de la cual Platón pretende explicar el cambio y el movimiento en el mundo físico (Manzo, 1998: 678). La física platónica no obstante, responde a los términos generales de la tradición platónico-pitagórica, que implicaban la creencia en el carácter divino de los astros y del mundo celeste en general, con la consiguiente imposibilidad de reducir ambos mundos -terrestre y celeste- a los mismos principios explicativos. Esto en oposición a tradiciones materialistas como la originada en Jonia, para la cual el mismo principio explicativo -arkhê- da cuenta tanto del mundo terrestre como del mundo celeste (Kirk/ Raven, 1987). Por contrapartida, Platón consideraba erróneos los intentos de los materialistas de explicar a partir de uno de los elementos el origen de los restantes (Carta VII, 343e), por ello introduce la noción de un principio contenido en todos los cuerpos, que sostiene los cambios constatados en ellos4. Este principio no es material, sino de orden geométrico, ya que aire, fuego, agua y Tierra están compuestos de partículas indivisibles, a las que llega Platón razonando de la siguiente forma: todos los cuerpos poseen volumen, y todo lo que tiene volumen tiene también superficie, por lo que todos los cuerpos constan de superficies que conforman volúmenes (Timeo, 53c). A su vez, toda superficie situada sobre un plano puede ser dividida en triángulos, y por último, todos los triángulos posibles pueden ser seccionados hasta reducirlos a dos tipos: el rectángulo isósceles y el rectángulo escaleno; por lo que estos dos triángulos conformarían la estructura última de la realidad (Timeo, 53d-54b). Ahora bien, si los objetos materiales están constituidos de triángulos debe haber un tipo de entidades que permitan explicar con precisión el pasaje de los triángulos a los cuerpos, más específicamente el pasaje de la superficie a la profundidad. Estas deben al mismo tiempo ser tridimensionales y estar conformadas por triángulos, requisitos que cumplen únicamente los cinco poliedros regulares, sólidos tridimensionales cuyas caras están compuestas de planos equiláteros. Estos son el tetraedro, -4 caras triangularesel cubo -6 caras cuadradas-, el icosaedro -20 caras triangulares-, el octaedro -8 caras triangulares-, y el dodecaedro -12 caras pentagonales- (Timeo, 54d-55c). Los poliedros ofician como corpúsculos tridimensionales mínimos que componen los elementos, de modo que las diferencias en la composición de los poliedros explican las diferencias entre estos. Los corpúsculos cúbicos forman la Tierra, ya que el cubo se compone de triángulos isósceles, distintos a los escalenos de los otros poliedros, y esto explica porqué la Tierra no puede transformarse en ninguno de los otros tres elementos. Además, la Tierra es el más sólido de los cuatro cuerpos, y el cubo es el que tiene la base más estable entre los poliedros; de esta forma queda el cubo identificado como sustrato de la Tierra (Timeo, 55d-56a). Para los elementos restantes, cuanto menor número de bases tiene un poliedro, mayor movilidad posee; por lo que al elemento más volátil le corresponderá el poliedro con menor número de caras. El fuego -considerado como 4- Un interesante tratamiento de las relaciones entre la concepción de Platón y las teorías materialistas previas, así como de los antecedentes y la originalidad de las tesis platónicas, puede encontrase en G. E. R. Lloyd (1968: 86 y ss.).

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Ciencia, matemática y experiencia el elemento de mayor volatilidad- queda identificado con el poliedro de menos caras, el tetraedro (4)5. Al agua, considerada como elemento menos móvil, le corresponde el poliedro de mayor número de caras, el icosaedro (20), y en un lugar intermedio se sitúa el aire, identificándose con el octaedro (8 caras) (Timeo, 56a-c). Las caras del tetraedro (4), el octaedro (8), y el icosaedro (20), pueden reducirse a triángulos, seccionando a la mitad el triángulo equilátero que compone cada cara, de lo que resultan 2 triángulos rectángulos escalenos6. Luego se traza una línea desde el vértice formado por la hipotenusa con el cateto menor de uno de los escalenos hasta la hipotenusa del otro, -y viceversa- obteniendo así 6 rectángulos escalenos. En el tetraedro, esta división arroja 6 triángulos escalenos por cada una de las 4 caras, por lo que la estructura básica del tetraedro, y por tanto del fuego, estaría compuesta por 24 triángulos. En el octaedro, se obtienen 6 triángulos escalenos por cada una de las 8 caras, por lo que la estructura básica del octaedro y del aire es de 48 triángulos. Asimismo en el icosaedro se obtienen 6 triángulos escalenos por cada una de las 20 caras, lo que arroja una estructura del icosaedro y del agua consistente en 120 triángulos. Finalmente en el cubo, trazando las dos diagonales de los cuadrados que conforman cada cara se obtienen 4 triángulos rectángulos isósceles por cada una de las 6 caras, con una estructura de 24 triángulos como base del cubo y de la Tierra. Desde el momento en que el agua, el aire y el fuego están compuestos por triángulos rectángulos escalenos, es posible que cada uno de estos elementos se convierta en el otro (Timeo, 56d-57b). El pasaje de un elemento a otro se produce por una redistribución de los triángulos que conforman los elementos involucrados en el proceso. Así, de un cuerpo de agua compuesto por 120 triángulos se pueden obtener dos cuerpos de fuego de 48 triángulos cada uno, como de fuego con 24 triángulos (24 + 96 =120). Análogamente, de la reunión de 5 cuerpos de fuego (24 x 5 = 120) se puede obtener uno de agua, y del mismo modo con las restantes combinaciones posibles. Esto vale para aire, fuego, agua y sus respectivos poliedros, pero no para el cubo, ya que los triángulos rectángulos isósceles que lo componen no pueden formar ninguno de los otros tres poliedros, por esto es imposible que la Tierra pueda transformarse en alguno de los otros tres elementos (Timeo, 56d). En el caso de los triángulos isósceles rectángulos que conforman el cubo, podemos establecer que cada uno de sus catetos = 1. Este valor representa una abstracción matemática efectuada por Platón partiendo del hecho de que estos triángulos constituyen la estructura última de la materia, y que por tanto sus lados deben corresponder a una unidad indivisible. Si los catetos de los isósceles que conforman el cubo valen 1, entonces, por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa valdrá √2, un número irracional. Los otros cuatro poliedros están constituidos por triángulos escalenos, de los que se puede tomar 1 como medida del cateto menor y 2 como medida de la hipotenusa, 5- Para un análisis detallado del lugar del tetraedro en relación a las propiedades del fuego, véase Kung (1985), para la revisión de algunos problemas vinculados a la base geométrica de los elementos y sus transformaciones, véase Manzo (1998).

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6- Algunos comentarios sugestivos sobre la elección de los triángulos y el proceso de triangulación pueden encontrase en Popper (1945), G. E. R. Lloyd (1968) y Zeyl (2005). Una defensa del carácter necesario del procedimiento de triangulación empleado por Platón puede encontrarse en D. R. Lloyd (2006; 2007). También en Popper (1952) puede encontrarse una reconstrucción de las motivaciones que llevaron a Platón a postular la teoría de los poliedros, en relación a la crisis causada por el descubrimiento de los números irracionales en el seno del pitagorismo.

Ciencia, matemática y experiencia de aquí que el restante cateto equivalga a √37. En ambos casos aparecen números irracionales incluidos en los triángulos que conforman el sustrato último de la realidad material. La correlación de los poliedros con los elementos excluye el dodecaedro, al que Platón no identifica con ningún elemento ni asigna ningún procedimiento de triangulación, atribuyéndole de modo muy poco claro la función de ser el modelo a partir de cual el Demiurgo diseña -diazographon- el cosmos (Timeo, 55c). Seguramente la primera de las muchas interpretaciones de este pasaje haya sido la de Filipo de Opunte, más que probable autor del diálogo apócrifo Epinomis, antiguamente atribuido a Platón. Según el Epinomis, el dodecaedro corresponde al éter, quinto elemento que da base a la materia celeste (Epinomis, 982a). 3. La interpretación del Epinomis

La línea interpretativa más temprana del Timeo asoma en el diálogo apócrifo Epinomis, bajo una definida influencia aristotélica (Jaeger, 1923: 162 y ss.). Fue atribuido originariamente a Platón, siendo probablemente escrito en el mismo siglo IV a. C. por Filipo de Opunte, discípulo de Platón quizás también encargado de editar Las Leyes (Hicks, 1965)8. El Epinomis oficia en el corpus platónico como un apéndice al último libro de las Leyes, y tiene como principal objetivo responder a la pregunta acerca de qué es la sabiduría -phronēsis-, y qué tipo de razonamiento es el que dispone a la naturaleza humana al saber (Epinomis, 973a). Luego de un tratamiento del problema de la disposición del alma hacia la sabiduría (974a), y una revisión de diferentes tipos de oficios, artes y conocimientos, se concluye que ninguno sigue reglas fijas y ordenadas, ni conoce la verdad del objeto que estudia. La ciencia que sí cumple estas características es la ciencia del número, siendo ésta la que hace sabios a los hombres (975b-976d). En estos términos, los números constituyen un don divino del que los hombres han sido dotados por la máxima divinidad, el universo -ouranós-, para comprender las revoluciones de los cuerpos celestes (976d). Ofician además como base de todo conocimiento, en cuanto sin el número no es posible llegar a ninguna clase de sabiduría, ya que quien no conoce el número carece de razón, y en la medida en que no puede distinguir lo par de lo impar, tampoco puede acceder al conocimiento de la virtud. De esta forma, la ciencia del número es condición para la existencia de las otras ciencias, no obstante el aprendizaje de sus diferentes variantes aparece supeditado a la astronomía (977c), que se identifica con el máximo grado de sabiduría que puede alcanzar el hombre (978a, 991e). 7- Un análisis de la irreductibilidad de los triángulos, y la posibilidad de reducir sus magnitudes indefinidamente puede encontrase en Visintainer (1998), en el marco de una discusión con Cornford (1937).

8- Seguiremos la tendencia mayoritaria a considerar al diálogo como apócrifo, no obstante para una reconstrucción bajo la hipótesis de que el Epinomis es obra de Platón, puede consultarse Lacey (1956). Zhmud por otra parte, considera a Filipo de Opunte también como el autor más probable de un fragmento incluido en la Historia de la Academia de Filodemo, donde se destaca la influencia de Platón en Eudoxo y en el desarrollo general de la geometría y la óptica griegas, y de una serie de de tratados astronómicos y matemáticos que se le atribuyen en la Enciclopedia Suidas (Zhmud, 1998: 219-221, 238).

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Ciencia, matemática y experiencia Retomando la asociación del Timeo entre los sólidos y los elementos, el diálogo ofrece una exposición detallada de la composición cualitativa del cosmos, aunque severamente despojada de los componentes matemáticos atribuidos por Platón a los elementos. Aparecen en primer término los seres terrestres, hombres o no, cuya naturaleza se compone fundamentalmente de Tierra y elemento sólido. En contraste se ubica la especie de los astros, seres de carácter divino, de máxima belleza y perfección; mayormente constituidos por fuego, aunque no sin partes de Tierra y aire (981c-982a). Los seres que pertenecen a la especie de Tierra se mueven de manera desordenada, en cuanto carecen de inteligencia. La especie de fuego, los astros, se mueven en completo orden, reproduciendo siempre los mismos movimientos, lo que es prueba de su inteligencia y de su naturaleza viviente (982a-983a). El diálogo abunda en detalles acerca del alma de los astros, introduciéndose en consideraciones relativas a sus dimensiones, y a la imposibilidad de considerarlos como impulsados por fuerzas naturales, para apoyar la tesis de su carácter divino (983a-e). Establecida la oposición entre la especie celeste y la terrestre, aparecen tres especies de seres intermedios, conforme a la división original de los elementos. Éter y aire corresponden a dos especies distintas de espíritus divinos -daemon-, mediadores entre los dioses y los hombres; la tercera es la especie de los seres de agua, semidioses respecto de los cuales no se abunda en detalles (984e-985b). En lo que concierne al dodecaedro, es asociado con el éter (982a), quinto elemento ubicado de modo algo impreciso en el espacio comprendido entre la esfera de las estrellas fijas y la Tierra, y vinculado asimismo a la demonología (Epinomis, 983d/ 985a). La consideración del quinto poliedro se procesa en un plano estrictamente cualitativo -conforme al espíritu general del diálogo-, en cuanto no se consideran ninguna de las consecuencias matemáticas que puede reportar su identificación con el éter, ni otros problemas matemáticos de orden más general, como su triangulación o su relación con los restantes poliedros. Luego de una breve referencia al culto a los planetas (986b), el diálogo retoma la indagación del Timeo acerca de las velocidades y distancias planetarias. Mantiene la igualdad de las velocidades orbitales de Mercurio y Venus respecto a la del Sol (986e), y menciona los restantes planetas recogiendo el principio de la velocidad inversamente proporcional a la circunferencia de la órbita (987b). Esta cosmología sigue a grandes rasgos las tesis del Timeo, y en el tratamiento de la naturaleza de los planetas se limita a reproducir las formulaciones platónicas originales sin introducir variaciones de relieve, y sin siquiera mencionar las progresiones introducidas por Platón para dar cuenta de las distancias planetarias (Timeo, 35b-37c). Posteriormente, y luego de una clasificación de los distintos tipos de saber matemático, el diálogo concluye reforzando la tesis de que la ciencia del número -en cualquiera de sus variantes- tiene como cometido último el estudio de las revoluciones celestes (991a-e). Un rasgo sustantivo del Epinomis es que al mismo tiempo que exalta el valor de la matemática para el conocimiento, restringe su ámbito de aplicación al mundo celeste en desmedro del mundo terrestre. El texto parece atenerse de modo literal a la presentación de la matemática que Platón hace en la República (521c-534e), según la cual aquella no debe ocuparse de los objetos sensibles, en cuanto el mundo sensible como ámbito del devenir no ofrece base para la construcción de ningún tipo de conocimiento fundado. En la interpretación clásica de Heat (1921: 284-287), esta formulación se complementa con la idea de que el dominio de la geometría lo constituyen los objetos del pensamiento puro -líneas puntos, etc.-, siendo a éstos y no a los objetos materiales a 20

Ciencia, matemática y experiencia los que corresponde en sentido estricto el conocimiento matemático, que sólo encuentra en la astronomía y la música aplicaciones subsidiarias. Pero esta concepción -en la que parece inspirarse el Epinomis- aparece moderada de diferentes formas en el Timeo. Por una parte la astronomía observacional no es relegada en favor de la astronomía teórica, al contrario del tratamiento efectuado en la República (Gregory, 1996: 467-468). Del mismo modo, la introducción de los sólidos regulares como estructuras últimas de la materia constituye un intento de comprensión matemática del mundo material, que rebasa el campo de aplicación delimitado por la astronomía y la teoría musical. En la también clásica interpretación de Cornford (1932: 177) se muestra cómo la justificación de las pretensiones del conocimiento matemático en la República pasa por el fortalecimiento de su estructura deductiva, en contra de cualquier aplicación al campo del devenir, tendencia que se modifica en el Timeo dando lugar a una consideración más abarcativa del dominio de aplicación de las matemáticas. Solmsen (1940: 568) sin embargo, defendió la continuidad entre ambos diálogos, afirmando que la reducción de los elementos físicos a los poliedros es una aplicación del programa de detección de principios comunes a todas las ciencias esbozado en el libro VII de la República. No obstante, es de señalar que la clasificación inicial de las ciencias esbozada en la República incluía aritmética, geometría, armonía musical y astronomía, sin ninguna referencia a la física o al estudio de los elementos físicos. En estos términos el tratamiento de los elementos físicos en el Timeo o bien marca un distanciamiento con la propuesta de la República, o bien constituye una ampliación de ésta pero en términos extraños a su formulación inicial9. La consideración de las diferencias entre ambos diálogos remite al problema de la posibilidad del conocimiento del mundo físico en Platón, y a la manera en la cual éste es desacreditado en la República para ser luego reivindicado en el Timeo. La idea de que el platonismo implica no sólo el descrédito completo del conocimiento sensible, sino también una oposición intransigente al conocimiento empírico, ha sido base para una amplia serie de valoraciones negativas del Timeo y de su influencia en el pensamiento científico, entre las que pueden señalarse las de Singer (1941), Popper (1952), Sarton (1952) y Farrington (1953). Sin embargo, a mediados del siglo pasado G. E. R. Lloyd propuso una sugestiva interpretación de las relaciones entre la República y el Timeo, que por un lado habilita la conciliación entre las tesis aparentemente opuestas de ambos diálogos, y por otro reivindica el aporte de Platón a la ciencia física. Sostiene Lloyd que el alcance del rechazo al conocimiento empírico que Platón introduce en la República debe ser evaluado en el contexto de los problemas vinculados a la educación de los integrantes del gobierno, que constituyen la motivación principal de la clasificación del conocimiento expuesta por Platón. En principio, la discusión sobre 9- La tradición predominante ubica al Timeo entre los diálogos de vejez de Platón, por lo que habría sido escrito alrededor del 360 a.C., con suficiente posterioridad a la República como para postular -contrariamente a la interpretación de Solmsen- variaciones de importancia entre ambas obras. No obstante, desde mediados del siglo pasado otras interpretaciones divergentes como la de Owen (1953) situaron al Timeo en una época cercana a la redacción de la República y con un contenido en continuidad con ésta, lo que cancela la posibilidad de detectar reformulaciones de importancia entre ambos. La postura de Owen a su vez fue severamente criticada por Cherniss (1957). Dejando constancia de lo problemático del punto, en lo que sigue nos basaremos en la premisa de que entre el Timeo y la República existe un lapso de tiempo lo suficientemente significativo como para dar cuenta de ciertos cambios de relieve en el pensamiento de Platón, respecto de la aplicación de la matemática al mundo físico.

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Ciencia, matemática y experiencia las ciencias en la República se enfoca a determinar qué tipo de enseñanzas favorecen el desarrollo del pensamiento abstracto en los gobernantes. En este contexto es comprensible que Platón haya reivindicado la astronomía matemática en desmedro de la observacional, y la superioridad del conocimiento dialéctico por sobre el conocimiento empírico, pero el propósito de estas distinciones responde inicialmente a preguntas relativas a la educación, no a la naturaleza última del conocimiento (Lloyd, 1968: 7981). A este respecto resulta claro que para Platón el conocimiento empírico es una modalidad de conocimiento inferior a la matemática pura o a la intelección dialéctica, pero esto no implica que no sea posible ninguna clase de conocimiento empírico, ni que la matemática no tenga posibilidades de aplicación en el mundo del devenir. Para Lloyd, la República constituye una descripción del papel que juegan ciertas disciplinas científicas en la educación de los ciudadanos, mientras que el Timeo constituye una descripción de las posibilidades de aplicación de la razón en el mundo sensible (Lloyd, 1968: 81, 84). Como se ha señalado, los resultados de esta aplicación tienen un carácter necesariamente conjetural y fragmentario, por oposición al status demostrativo de las matemáticas y al carácter incondicionado del conocimiento dialéctico. Este tono aproximado y tentativo implica la inferioridad del conocimiento empírico, más no su inutilidad ni su imposibilidad, ni mucho menos la imposibilidad de intervención de la matemática. Esta tentativa de revelar a través de la matemática las operaciones posibles de la razón en el mundo del devenir es suprimida en el Epinomis, una vez que se restringe el campo de aplicación de la matemática al estudio de los planetas, en cuanto sólo éstos poseen movimiento racional. En consonancia con la República, el diálogo supone que los cuerpos terrestres presentan un movimiento desordenado, carente de regularidad y armonía, insusceptible por tanto de ser tratado matemáticamente (978a-b, 982a-b). Así, por más que el Epinomis se mantiene fiel al Timeo en la asociación de elementos terrestres con sólidos matemáticos, se desprende es éste al defender que el estudio de los movimientos y cambios ocurridos a los cuerpos terrestres no es pasible de tratamiento matemático. En el escenario de una cosmología muy singular y bastante superpoblada en comparación con la del Timeo, el Epinomis también se distancia de la perspectiva platónica en otros aspectos relevantes. Por un lado, la idea del éter como sustancia diferenciada en principio es ajena a la obra de Platón, en la que apenas aparece como una variedad del aire (Timeo, 58d/ Cratilo 408d). Sólo se considera como sustancia celeste en el Fedón (109d-112a), en un contexto polémico de discusión de la cosmología de los filósofos materialistas. Sin embargo Guthrie (1978: 299-300) señala que a pesar de esto la antigua creencia cosmológica en una quinta sustancia, sumada al atractivo de una asimilación simétrica entre los cinco sólidos y los elementos, contribuyó fuertemente a identificar el dodecaedro con el éter. Esta tendencia tendrá su expresión más definida en el siglo VI con Simplicio, quien en la tentativa de conciliar a Platón y Aristóteles -característica del neoplatonismo de finales de la antigüedad-10 atribuye a Platón y a Jenócrates tanto la tesis del éter como su correspondencia con el dodecaedro. Bajo estas condiciones, tanto el Epinomis en la generación posterior a la muerte de Platón, como la interpretación de Simplicio en la culminación de la antigüedad, constituyen referencias del ingreso a la filosofía natural de la creencia en el quinto elemento,  a través  del 22

10- Un tratamiento de la cuestión de éter en Simplicio puede encontrarse en Bowen(2012: 111 y ss.).

Ciencia, matemática y experiencia aparato matematizante del platonismo.  Pero este ingreso no está exento -cabe pensar que en ninguno de los dos casos- de una lectura de Platón en clave aristotélica, que por un lado inserta en el Timeo la hipótesis del éter sistematizada por Aristóteles, y por otro excluye la consideración de las consecuencias matemáticas de la existencia de un quinto elemento, en consonancia con el carácter cualitativo de la física aristotélica. Por otra parte, una vez que el dodecaedro es postulado como sustrato de un elemento específico, queda cancelada la posibilidad de considerarlo como modelo del universo, alternativa mencionada en el Timeo pero no incorporada a la interpretación del Epinomis. Asimismo, la identificación del dodecaedro con el éter podría de por sí habilitar la consideración de su estructura geométrica, pero este aspecto tampoco es tratado en el diálogo. Más aún, el Epinomis no aborda y siquiera menciona aspecto alguno del Timeo que tenga relación con la interpretación matemática del mundo físico, diluyéndose así una de las principales orientaciones heurísticas de la física platónica. Para una interpretación dada en estos términos, el negar de forma explícita la asociación entre los poliedros y los elementos hubiera implicado tomar demasiada distancia del modelo del Timeo, del mismo modo que el intentar la triangulación del dodecaedro de acuerdo al modelo del Timeo hubiera violentado el principio -central en el diálogo- de que los conceptos matemáticos no corresponden a la comprensión del mundo terrestre. Un tratamiento más exhaustivo de estas cuestiones sólo hubiera sido posible bajo una interpretación en la que fuera legítimo dar cuenta de las estructuras fundamentales del mundo físico mediante la ciencia del número, supuesto incompatible con la línea argumentativa del Epinomis. En estos términos, el diálogo configura una interpretación definidamente cualitativa de la física platónica, que omite o desestima los aspectos cuantitativos del programa inicial del Timeo. 4. Física sin matemáticas

La idea de que la matemática es el fundamento de las demás ciencias resulta recurrente tanto en los pitagóricos como en Platón y en el platonismo, sin embargo no siempre es claro cuáles son las ciencias de las que efectivamente puede oficiar como base. Conrford (1932: 180), postuló que en el Epinomis se opera una reducción de todas las ciencias a su expresión numérica, en la medida en que las matemáticas aparecen como el fundamento de las disciplinas particulares. En vistas de lo ya señalado cabe afirmar que esta reducción matemática sólo abarca la astronomía y la armonía musical entendidas como campos de aplicación de la geometría y la aritmética, más no la física, por lo que el proyecto de matematización de las ciencias posee en el Epinomis un carácter parcial y restringido. Jaeger por su parte (1923: 169) señala que la introducción del éter en el diálogo representa un intento de adaptar la teoría del éter de Aristóteles al modelo del Timeo. Sin embargo, parecen haber buenas razones para pensar que el diálogo realiza el movimiento inverso, efectuando una adaptación del Timeo a algunos presupuestos familiares al aristotelismo. Esto en cuanto la física del Epinomis es una física de tipo cualitativo, en donde los elementos -tanto los cuatro terrestres como el éter- son tratados en función de cualidades, movimientos y tendencias naturales, en desmedro de toda consideración cuantitativa. Esta estrategia cualitativa de comprensión del mundo físico es mucho más afín a las coordenadas de la física de Aristóteles que a la tentativa platónica de 23

Ciencia, matemática y experiencia establecer las estructuras matemáticas últimas de la materia. En este sentido, Johansen (2008) señala que la aplicación de la matemática en el Timeo representa una ampliación de su campo y de sus posibilidades de conocimiento, ampliación que es suprimida en el Epinomis al asociar el dodecaedro con el éter bajo una perspectiva cualitativa y desmatematizada. Lo anterior no sólo excluye los problemas matemáticos esbozados por Platón sobre las relaciones entre elementos y poliedros, sino que deriva en algunas consecuencias difíciles de ensamblar con el modelo original del Timeo. En el contexto del Timeo, un elemento no terrestre como el éter no puede poseer un sustrato matemático del mismo tipo que el que corresponde a los elementos restantes, en cuanto esto implicaría adjudicar la misma estructura matemática base a elementos del mundo terrestre y del mundo celeste. Es decir que si la estructura base del éter es el dodecaedro, y este puede reducirse a triángulos, en caso de reducirse alguno de los dos triángulos básicos que componen los otros elementos, quedaría abierta la posibilidad matemática de efectuar transformaciones entre el éter y los elementos terrestres. Sin embargo esta posibilidad parece impracticable para Platón, en principio porque el éter no sería estrictamente un elemento, en segundo término, porque el mundo celeste constituye un orden de realidad diferente al mundo terrestre, por lo que no pueden ambos poseer un sustrato matemático común. De aquí que la cualidad de tener poliedros como estructuras constitutivas es característica distintiva de los elementos terrestres (Timeo, 53b-53d), en cuanto el modelo de los poliedros es introducido específicamente para dar cuenta de las transformaciones de la materia en el mundo físico. A este respecto Visintainer (1998) ha insistido en que la exclusión del dodecaedro en el esquema del Timeo responde a que Platón no concede que pueda haber más elementos que los que corresponden a los primeros cuatro sólidos. A su vez, la identificación del dodecaedro con el éter en el Epinomis no apela a los procedimientos de triangulación efectuados por Platón para los demás poliedros, lo que impide considerar qué vinculaciones existen entre el éter y los demás elementos. Cabe señalar que Platón procedía a la triangulación de cada poliedro a efectos de establecer los triángulos constitutivos comunes en los elementos, y las posibilidades e imposibilidades matemáticas de transformación de unos en otros (Lloyd, 2006). Siguiendo literalmente los términos del Timeo, podría pensarse que si no es posible la transformación del éter en alguno de los elementos terrestres, entonces los triángulos que componen en dodecaedro no deberían ser los mismos que dan base a los restantes cuatro elementos. Si por el contrario, el dodecaedro se compone de alguno de los dos triángulos constitutivos de los elementos terrestres, entonces se obtiene la consecuencia muy poco verosímil de que las transformaciones entre el éter y estos elementos son -al menos- matemáticamente posibles. Por último, si se obtuviera en la triangulación del dodecaedro un triángulo que no fuera rectángulo escaleno ni isósceles, habría que modificar el status de triángulos elementales conferido por Platón sólo a estos dos11; cabe señalar que esta consecuencia es la menos problemática de las señaladas, en cuanto en el mismo Timeo se explicita que la identificación de que los triángulos básicos posee un status hipotético y conjetural.

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11- A partir de cada cara pentagonal del dodecaedro pueden obtenerse 30 triángulos escalenos -aunque no iguales entre sí como los que se obtienen en el icosaedro, el octaedro y el tetraedro-, que proyectados a las doce caras totalizan 360 triángulos. Este proceso de triangulación fue esbozado inicialmente tanto por Plutarco como por Alcino, aunque contando ya con antecedentes en Teeteto (Heat, 1921: I, 296-297 / Kotrc, 1981: 218-219).

Ciencia, matemática y experiencia Estas son algunas de las consecuencias poco manejables que se derivan de la identificación del dodecaedro con el éter. Sin embargo, ninguno de estos problemas es abordado en el Epinomis, en cuanto sólo pueden visualizarse las agudas complicaciones matemáticas que conlleva la identificación del dodecaedro con el éter bajo la hipótesis de que es legítimo reconstruir matemáticamente el mundo físico, hipótesis que es negada en el diálogo. Por contrapartida, la consideración matemática de la función del dodecaedro en la física platónica parece ser mucho más fértil bajo la hipótesis de que el quinto poliedro es el modelo del universo, y no la base de un elemento. Kotrc (1981) introdujo tiempo atrás una reconstrucción que explora esta alternativa, bajo la premisa de que la estructura geométrica del dodecaedro permite una representación intuitiva de la estructura del universo y de la relación entre los cinco sólidos. Esto en cuanto cada uno de los poliedros que corresponden a elementos pueden ser inscriptos en una esfera, al igual que el dodecaedro, por lo que este ocupa un lugar intermedio entre los poliedros elementales y la forma esférica del universo12. Esta formulación se refuerza especificando los mecanismos geométricos que a su vez permiten inscribir cada uno de los poliedros elementales en el dodecaedro (Kotrc, 1981: 218-219). Cabe pensar que este tipo de reconstrucción de los problemas que deja abierto el Timeo proporciona una imagen más plausible de las coordenadas generales del pensamiento platónico, y de los propósitos de matematización del mundo físico que orientan la teoría de los poliedros. La exploración de las relaciones geométricas entre los cinco poliedros resulta una de las dimensiones de más relieve del programa físico del Timeo, en relación a los problemas que deja por resolver y a las direcciones en que permite orientar la investigación futura. Sin embargo, interpretaciones como las del Epinomis constituyen una visión cualitativa de este programa, mediada por elementos familiares al aristotelismo que funcionarán como un obstáculo para la explotación de sus aspectos y consecuencias matemáticas. A este respecto Morrow (1970) señala que puede concederse tanto la autoría del diálogo por Filipo de Opunte como su identificación con el Filipo de Mende que Proclo -en el comentario a los Elementos- menciona dentro de los matemáticos antecesores de Euclides (Proclus, 1970). Si se acepta esto, puede ubicarse al autor del diálogo dentro de la tradición de matemáticos directamente vinculados a la Academia que Proclo lista en el período posterior a Platón y anterior a Euclides. Bajo esta hipótesis, se obtiene que el programa de reconstrucción matemática del mundo físico propuesto por Platón inicialmente no logró fertilizar en el propio ámbito de la tradición matematizante que él mismo había contribuido a consolidar, en parte por la premisa -irónicamente también de raíz platónica- de la inferioridad epistémica del conocimiento sensible. En estos términos cabe discrepar con la interpretación de Lacey (1956: 82), según la cual en el caso de que el Epinomis fuera un diálogo apócrifo, su autor trató de mantenerse tan cercano como pudo al platonismo. Muy por el contrario, el Epinomis es expresión de que ya desde las primeras interpretaciones del Timeo se registra una convergencia con influencias aristotélicas que conducen a una caracterización cualitativa de la física platónica, con elementos del modelo inicial de la República que marca la restricción de la matemática a la astronomía. Del mismo modo resulta necesario matizar la interpretación de Zhmud (1998: 238), cuando afirma que no hay nada en las ideas astronómicas del Epinomis que no esté ya presente en la República y el Timeo, en cuanto si bien puede concederse que el diálogo no propone tesis astronómicas 12- Para la relación entre el dodecaedro y la esfera, puede consultarse Crombie (1963).

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Ciencia, matemática y experiencia originales, introduce sí una forma de considerar las relaciones entre astronomía, física y matemáticas extraña a los términos del Timeo. Buscando dar cuenta de esta irrupción de elementos aristotélicos en el seno del platonismo, M. R. Niehoff (2007: 164-165) ha señalado recientemente que ya desde las etapas fundacionales de la Academia y el Liceo, se registra un fuerte nivel de acuerdo en las lecturas del Timeo efectuadas por platónicos y aristotélicos, de lo que es indicador la tendencia a interpretar metafóricamente la creación del cosmos por el demiurgo platónico (Timeo, 28b-c), haciéndola compatible con la afirmación de la eternidad del cosmos por parte de Aristóteles (Física, VIII, 5-7; Metafísica XII, 7; Del Cielo, I, 10-12). Esta conjunción de elementos platónicos y aristotélicos en la interpretación del Timeo es prolongada por Niehoff hasta Espeusipo, Jenócrates y Crator de Soli, los discípulos directos de Platón seguramente coincidentes con Filipo de Opunte en la Academia. Si se acepta esta reconstrucción del tono general en que se aproximaron al Timeo los primeros académicos, entonces la tentativa del Epinomis de ofrecer una versión cualitativa de la teoría de los poliedros puede ser encuadrada en la misma tendencia de conciliación con el aristotelismo que condujo a varios platónicos a formular una interpretación no literal del relato del Demiurgo13. Esto en cuanto la introducción del éter, la restricción de la matemática aplicada a la astronomía, y la supresión de los problemas matemáticos de la teoría de los elementos conforman una estrategia general cuyas intenciones sólo pueden distinguirse de modo fragmentario, pero cuyos resultados dejan al modelo físico del Timeo en una relación de cercanía al aristotelismo mucho mayor de lo que pudiera entreverse en su formulación original14. 5. Conclusión

Puede pensarse que el escenario que presenta la interpretación del Epinomis es de relevancia para explicar el escaso desarrollo posterior del programa físico del Timeo, particularmente en lo que hace al tratamiento geométrico de la naturaleza de la materia. Si se compara con la fertilidad y la amplísima influencia de las tesis astronómicas de Platón en épocas posteriores, la teoría de los poliedros en particular y la tentativa general de aplicar la matemática a la comprensión del mundo físico parecen estar entre

13- En relación al problema de la eternidad del mundo, Niehoff señala que el que Aristóteles fuera un acérrimo crítico del Timeo no impidió la introducción de estrategias de conciliación por parte de los platónicos. En la misma dirección cabe recordar que la teoría de los poliedros no quedó exenta de la crítica de Aristóteles (Del Cielo, III, 8), lo cual tampoco parece haber sido impedimento para la estrategia conciliatoria que se introduce en el Epinomis.

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14- Del mismo modo que entre los primeros platónicos parece existir una cierta correlación entre las interpretaciones metafóricas de la creación del cosmos y el tratamiento cualitativo de los poliedros -ambas atravesadas por el aristotelismo-, siglos después en Plutarco se puede detectar una correlación similar entre la interpretación no metafórica de la creación del cosmos (Concerning the Procreation, 1-2) y la interpretación estrictamente matemática de la teoría de los poliedros (Platonic Questions, V, 1). Respecto de ésta, el de Plutarco constituye uno de los primeros intentos de triangulación del dodecaedro, despojado de consideraciones cualitativas y referencias al éter. Al mismo tiempo desarrolla una interpretación literal de la creación del mundo en el Timeo, en explícita oposición a las interpretaciones metafóricas de los primeros académicos. Ambos aspectos -la consideración matemática de los elementos y la consideración literal del demiurgo- muestran en Plutarco la ausencia del espíritu ecléctico que parece animar al autor del Epinomis y a los académicos que le son contemporáneos.

Ciencia, matemática y experiencia las orientaciones menos exitosas del platonismo. Del mismo modo, en una comparación con el sostenido proceso de consolidación que desde la antigüedad hasta la Edad Media experimenta la física de Aristóteles, la física de Platón aparece como un programa que no llegó a desarrollarse lo suficiente como para pretender una nivel de consolidación y desarrollo teórico análogo al de la física aristotélica. La consideración del modelo cosmológico presentado en el Epinomis puede aportar a la comprensión del desarrollo histórico de la física de Platón, en cuanto permite entrever que las interpretaciones iniciales de la física platónica provenientes de la Academia se distancian de los términos propuestos en el Timeo introduciendo elementos ajenos al platonismo. Estos abarcan desde aspectos muy generales como la consideración cualitativa de los elementos, hasta cuestiones muy específicas como la introducción del éter, su identificación con dodecaedro y el tratamiento en general no matemático de la teoría de los poliedros. Curiosamente, la introducción de estos elementos cualitativos en la física del Timeo se procesa mediante la apelación a las vertientes más radicales de la República, en lo concerniente a la restricción del campo de aplicación de la matemática y la deslegitimación del conocimiento sensible. En estos términos es pertinente destacar que el proyecto de matematización de las ciencias posee en el Epinomis un carácter parcial y restringido. Partiendo de que el campo de aplicación de las matemáticas se agota en la astronomía, el diálogo termina ofreciendo una versión cualitativa de la física de los poliedros, que trata a los elementos en función de cualidades, movimientos y tendencias naturales, en desmedro de toda consideración cuantitativa. Esto a su vez cancela la posibilidad de abordar cualquier problema matemático relativo a la estructura de la materia, introduciendo hipótesis incompatibles con el Timeo y no exploradas en sus problemáticas consecuencias matemáticas, como ser la identificación del dodecaedro con el éter. Como ha señalado Lloyd (1968: 89) Platón propone en el Timeo una suerte de atomismo geométrico, que no sólo tiene valor como referencia histórica de su oposición al atomismo materialista de Demócrito, sino que marca un nuevo estadio en la consideración de los problemas asociados a las estructuras últimas de los procesos materiales. Si en estos términos el Timeo constituye un avance, por los problemas que aborda y por la manera en que amplía el campo de las matemáticas, el Epinomis constituye un retroceso, en la medida en que ofrece una versión cualitativa y emprobrecida del atomismo matematizado de Platón, como consecuencia de la restricción del campo de aplicación de las matemáticas.

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