Deformacion en vigas

República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño Maracaibo, Edo-Zulia

Cátedra: Resistencia de los Materiales II

Deformación Unitaria en Vigas Resistencia de los Materiales II

Realizado Por: Flores, Rosemary; C.I.: 25.030.120

Octubre, 2015

Introducción El análisis estructural de las vigas suele dividirse de acuerdo a las condiciones de apoyo que presente el elemento a analiza, entre ellas tenemos las vigas isostáticas, las cuales tienen un número igual o inferior a tres incógnitas en sus reacciones, las cuales se resuelven aplicando las condiciones de equilibrio estático; t las vigas hiperestáticas,

las cuales tienen un mayor número de

incógnitas, con lo cual, para resolverlas, no bastara con las ecuaciones antes indicadas, sino que será necesario incorporar nueva expresiones. Para

abordar

el

análisis

de

las

vigas

hiperestáticas

o

estáticamente

indeterminadas resulta necesario analizar las deformaciones que experimenta la viga, luego de ser cargada. Las distintas cargas sobre la viga generan tensiones de corte y flexión en la barra, y a su vez la hacen deformarse. El análisis de las deformaciones tiene básicamente dos objetivos. Por una parte, el poder obtener nueva v condiciones, que traducidas en ecuaciones, nos permitan resolver las incógnitas en vigas hiperestáticas. Y por otra parte, las deformaciones en sí, deber ser limitadas.

¿Deformación en Vigas? Las vigas son elementos estructurales que resisten fuerzas aplicadas lateral o transversalmente a sus ejes. Los miembros principales que soportan pisos de edificios son vigas, igualmente el eje de un vehículo es también una viga. Línea elástica: denominaremos línea elástica la curva que forma la fibra neutra una vez cargada la viga, considerando que esta se encontraba inicialmente recta. Supuesto base: para establecer una serie de relaciones al interior de la sección, indicamos que se trata de una viga cuyo material se encuentra solicitado dentro del rango de proporcionalidad entre tensiones y deformaciones, y en donde se admite la conservación de las caras planas. Dicho en otra forma, donde se cumple la ley de Hooke y las hipótesis de Bernouilli-Navier. Para una viga con todas las fuerzas en el mismo plano (viga plana) puede desarrollarse un sistema de tres componentes de fuerzas internas en una sección, éstas son: 1. Las fuerzas axiales 2. Las fuerzas cortantes 3. El momento flector

Calculo de Reacciones Convenciones de simbología para apoyos y cargas Al estudiar estructuras planas es necesario adoptar simbologías tanto para apoyos como para cargas, dado que son posibles varios tipos de apoyos y una gran variedad de cargas. El respetar tales convenciones evita confusión y reduce al mínimo las posibilidades de cometer errores. Existen tres tipos básicos de apoyos para estructuras planas, los cuales se caracterizan por los grados de libertad de movimiento que le permiten a la viga frente a fuerzas actuantes:

•

Apoyo móvil o de rodillo: éste permite el desplazamiento a lo largo del eje

longitudinal de la viga y el giro de ésta; el desplazamiento transversal es impedido mediante una reacción en ese sentido. •

Apoyo fijo o pasador: Este tipo de apoyo permite el giro de la viga, pero

impide el desplazamiento en cualquier dirección mediante una reacción que se puede dividir en una componente a lo largo del eje longitudinal de la viga y otra a lo largo del eje transversal. Para determinar estas dos componentes es necesario hacer uso de dos ecuaciones de la estática •

Empotramiento: este tipo de apoyo impide el desplazamiento a lo largo de

los ejes y el giro de la viga mediante una reacción que se puede dividir en una componente longitudinal, otra transversal y una reacción de momento. Las cargas aplicadas consideradas en este trabajo, consisten en cargas puntuales, vale decir, fuerzas concentradas mostradas en los esquemas como vectores, y las cagas distribuidas se muestran como una secuencia de vectores.

Momento Flector en Vigas Las fuerzas internas axial y cortante en una sección de una viga, satisfacen sólo dos ecuaciones de equilibrio: 𝐹𝑥 = 0 y 𝐹𝑦 = 0. La condición restante de equilibrio estático para un problema plano es 𝑀𝑧 = 0. Ésta, en general, puede sólo satisfacerse si se desarrolla un par o un momento interno resistente dentro del área de la sección transversal de contrarrestar el momento causado por las fuerzas externas. El momento resistente interno debe actuar en sentido opuesto al momento externo para satisfacer la ecuación gobernante 𝑀𝑧 = 0. Esos momentos tiende a flexionar una viga en el plano de las cargas y se denominan momentos flectores. Para determinar un momento flector interno que mantiene en equilibrio un segmento de la viga, se puede usar la parte izquierda o derecha del cuerpo libre de la viga. La magnitud del momento flector se encuentra sumando los momentos

causados por todas las fuerzas multiplicadas por sus respectivos brazos. Las fuerzas internas Vx y Px así como los momentos aplicados deben incluirse en la suma. Para excluir los momentos causados por éstas últimas fuerzas conviene seleccionar el punto de intersección de esas dos fuerzas internas como el punto respecto al cual se suman los momentos. Este punto se encuentra sobre el eje centroidal de la sección transversal de la viga. El momento flector interno puede ser interpretado físicamente como compresión sobre las fibras superiores de la viga y tracción sobre las inferiores (esta es la definición de un momento positivo).

La convención de signos que se adopta para los momentos flectores es la siguiente: De la figura se puede observar que un momento positivo genera compresión en las fibras superiores y tracción en las fibras inferiores, se genera una curva cóncava; por otro lado un momento negativo genera tracción en las fibras superiores y compresión en las fibras inferiores, se genera una curva convexa.

Flexión Considere una viga horizontal prismática cuya sección transversal tenga un eje de simetría. Una línea horizontal que pase por los centroides de las secciones transversales será considerada como eje de la viga. A continuación considere un elemento típico de la viga entre dos planos perpendiculares al eje. En una vista

lateral, tal elemento es identificado en la figura por abcd. Cuando la viga es sometida a momentos iguales Mz actuando alrededor del eje z, esta viga se flexiona en el eje de simetría y los planos inicialmente perpendiculares al eje de la viga se inclinan ligeramente. Sin embargo, las líneas ad y bc al convertirse en a´d´ y b´c´, permanecen rectas. Esta observación forma la base de la hipótesis fundamental de la teoría de flexión. Puede enunciarse de la siguiente manera: “Las secciones planas normales al eje de una viga permanecen planas después de que ésta es sometida a flexión”.



Ley de Hooke: establece que la relación entre la tensión y la deformación unitaria es una constante y se denomina módulo de elasticidad.

Dónde: E= elasticidad (kg/ t= tensión (kg/ e= deformación unitaria.



Deducción de la fórmula de flexión: de la deducción realizada para dimensionar elementos sometidos a la flexión simple sabemos que:

Igualando la expresión anterior con la ley de Hooke, obtenemos la fórmula de flexión, la cual es:

La expresión final indica que la curva de la línea elástica es una variable proporcional al momento flector.

𝑀 𝑥 Método de Calculo Existen diferentes métodos para abordar el análisis de las deformaciones en las vigas: 

Método de área de momentos



Método de doble integración



Método de la viga conjugada

Si bien todos presentan su mecánica propia, a la vez tienen una partida común que es justamente el análisis de la elástica expuesto anteriormente. A través de ellos buscaremos determinar el Angulo de curvatura de la línea elástica y sus deflexiones o flechas.

Conclusión El presente informe se desarrolló de manera correcta para cumplir con los conocimientos previos y básicos para la introducción de las deformaciones en vigas, además de cumplir con las especificaciones de la Profesora de la cátedra de resistencia de materiales elaborando este trabajo. Se considera que los objetivos de esta investigación, y por ende, del presente trabajo han sido logrados, incluyendo así al alumno a los conocimientos de las deformaciones en vigas, para así poder resolver ejercicios de este tema con un mejor conocimiento del área a trabajar. Las deformaciones en las vigas para el Ingeniero Civil son muy importantes y deben de tenerse en cuenta en todo momento a la hora de construir algún proyecto de estructura, por esta razón es importante que el alumno se familiarice con este tema en particular.