Decaimiento-Radiactivo

Resolviendo la ecuación (1) por separación de variables:

=
integramos ambos lados

ln =

eliminamos el logaritmo natural con la exponencial obteniendo la Ley general de desintegración radioactiva:

= 0 (2)

donde No es el número de átomos presentes para t=0. La ecuación (2) muestra que el número de núcleos radioactivos decrece exponencialmente en la muestra.

 
DECAIMIENTO RADIACTIVO
En Física, el término vida media es la medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es simplemente el tiempo que le toma desintegrarse a la mitad de los átomos presentes en una cantidad inicial 0, o transmutar en átomos de otro elemento. Cuanto más larga sea la vida media de una sustancia, tanto más estable será.
El tiempo de vida promedio se define como:
=1λ
 
Vida Media
Los problemas que describen el crecimiento (ya sea de poblaciones, bacterias, o incluso capital) están caracterizados por un valor positivo de k, en tanto los problemas que implican decaimiento (como en la desintegración radiactiva) producen un valor negativo k. En consecuencia, decimos que k es o una constante de crecimiento (k>0), o es una constante de decaimiento (k . En física y química, es vista en forma de una reacción de primer orden, esto es una reacción cuya tasa o velocidad es directamente proporcional a la primera potencia de la concentración de reactivo x en un tiempo t.
 
Crecimiento y decaimiento
Llamamos modelos lineales a aquellas situaciones que después de haber sido analizadas matemáticamente, se representan por medio de una función lineal.
En algunos casos nuestro modelo coincide precisamente con una recta; en otros casos, a pesar de que las variables que nos interesan no pertenecen todas a la misma línea, es posible encontrar una función lineal que mejor se aproxime a nuestro problema, ayudándonos a obtener información valiosa.
Nuestro modelo lineal se puede determinar de manera gráfica o bien, por medio de una ecuación.
Existen ocasiones en que a una de nuestras variables le pedimos que cumpla varias condiciones a la vez, entonces surge un conjunto de ecuaciones donde el punto de intersección de dichas ecuaciones representa la solución de nuestro problema
Modelos lineales
Mayela Elizabeth Camacho Cruz
Adahi Gallardo Zugarazo
Decaimiento Radiactivo
El decaimiento radioactivo es un proceso en el que un núcleo inestable se transforma en uno más estable, emitiendo partículas y/o fotones y liberando energía durante el proceso.

Una sustancia que experimenta este fenómeno espontáneamente se denomina sustancia radioactiva. Pueden emitir tres tipos de radiación:
Radiación α (alfa)
Radiación β (beta)
Radiacón γ (gamma).

Generalidades
Los procesos de desintegración nuclear son estadísticos. La desintegración de todos los núcleos de una cierta masa no se suceden a intervalos iguales de tiempo sino que obedecen a leyes estadísticas. En base a esto podemos determinar la velocidad a la que ocurre un proceso de decaimiento en una muestra radioactiva, la cual es proporcional al número de núcleos radioactivos presentes.

Si N es la cantidad de núcleos radioactivos presentes en la muestra en algún instante, entonces la razón de cambio de N es:
= λ ( )
donde λ se denomina constante de decaimiento.
 
Leyes de Desintegración Radiactiva


Definimos el periodo de semi-desintegración, T, como el tiempo necesario para que decaiga la mitad de un número dado de núcleos radioactivos.
Partiendo de la ecuación (2) para = 2 y despejando T, obtenemos:

= ( )λ


 
En lugar de referirnos al número de núcleos presentes en la muestra, es habitual referirse a la Actividad, que se define como el número de núcleos que se desintegran en la unidad de tiempo, es decir , es la tasa de desintegración de una muestra.

= = λ =λ 0 λ

= 0 λ

Donde 0=λ 0 es la actividad para t=0. Como vemos, la actividad también representa un decaimiento exponencial respecto al tiempo.
Unidades de Actividad:
1 Bq = un Bequerel es un decaimiento por segundo
1 Ci = un Curie es la actividad de 1 gr de Ra-226
1 cpm = una cuenta por minuto

 
Actividad
Dennis G. Zill. Ecuaciones diferenciales con funciones de modelado. 8ª edición.
Medicina Nuclear. Decaimiento Radiactivo. Extraído el 14/02/2015. http://mednuclear.wikidot.com/decaimiento-radiactivo

Bibliografía
Un reactor generador convierte el uranio-238 relativamente estable en un isótopo de plutonio-239. Después de 15 años se determina que el 0.043% de la cantidad inicial de plutonio se ha desintegrado. Encuentre la vida media del isótopo si la tasa de desintegración es proporcional a la cantidad restante.

Solución.
Suponemos que A(t) denota la cantidad de plutonio restante en cualquier tiempo. La solución del problema de valor inicial = , 0= 0.
Es , Si un 0.043% de los átomos de 0 se ha desintegrado, entonces el 99.957% de la sustancia permanece.
 
Vida Media del Plutonio
Ejemplos
Se encontró que un hueso fosilizado contiene 1/1000 de la cantidad original de C-14. Determinar la edad del fósil.

Solución.
El punto de partida es = 0 . Para determinar el valor de la constante de decaimiento k, se usa el hecho de que 12 0= (5600) ò 12 0= 0 5600

De 5600 =ln12= ln2 se obtiene = ln25600= 0.00012378

 
Edad de un fósil
Para encontrar la constante de decaimiento k usamos 0.99957 0= (15), es decir, 0.99957 0= 0 15 . Al resolver para k se tiene =115 0.99957= 0.00002867. Por lo tanto, = 0 0.00002867 .
Ahora, la vida media es el valor correspondiente al tiempo en que A(t)= 0/2. Resolviendo para t se obtiene 02= 0 0.0002867 o 12= 0.0002867 .
La última ecuación da:
= 20.00002867 24180 ñ

 
Por consiguiente, = 0 0.00012378 . Con =1100 0 se tiene 11000 0= 0 0.00012378 , de modo que 0.00012378 =ln11000= ln1000.

Por lo tanto, la edad del fósil es cercana a:

=ln10000.00012378=55800 ñ
 
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