De la lógica clásica a la lógica simbólica

Tema 5: De la lógica clásica a la lógica simbólica

Introducción 1. La historia de la lógica como disciplina 2. La lógica antigua 2.1. Retóricos, filósofos y geómetras 2.2. La escuela megárico-estoica 2.3. La silogística de Aristóteles 3. La lógica medieval 3.1. Alta Edad Media 3.2. Baja Edad Media 4. La lógica renacentista y moderna 5. La lógica simbólica 5.1. El álgebra de la lógica de Boole 5.2. La escritura conceptual de Frege Conclusión Bibliografía y webgrafía Guión-resumen Cuestionario

Introducción En este tema se explica la evolución histórica de la lógica, entendida como teoría de la validez formal de los argumentos. Se hace desde los comienzos de esta ciencia en el mundo griego clásico, cuyo resultado mejor conocido es la silogística de Aristóteles en el siglo IV a.C., hasta la lógica simbólica que se origina en los trabajos del inglés George Boole y el alemán Gottlob Frege a mediados y a finales del siglo XIX respectivamente. Un recorrido tan amplio requiere ciertas aclaraciones, que haremos en el primer apartado, sobre la historia de la lógica como disciplina. Veremos en el apartado segundo que la lógica comienza en Aristóteles, así como en las escuelas megárica y estoica, bajo la forma de una teoría del razonamiento válido que se ocupa del discurso jurídico, deliberativo y científico. En los dos apartados que siguen exponemos el desarrollo de la lógica a lo largo de la Edad Media y de la Edad Moderna. Finalmente, ya en el apartado quinto, veremos cómo la lógica se acerca a la matemática de dos maneras distintas: Boole estudia las leyes lógicas con ayuda de herramientas matemáticas; Frege utiliza la lógica para analizar el tipo de argumentos que se consideran válidos en matemáticas. ENLACE: A pesar del orden en que aparecen dentro del temario, es conveniente estudiar el tema 6 sobre lógica de proposiciones y de predicados antes de empezar a estudiar este tema. Por otro lado, el tema 7 es continuación natural de algunos aspectos tratados al final de este tema.

1. La historia de la lógica como disciplina La lógica es el estudio de la validez formal de los argumentos. Investiga los principios generales por los que ciertos esquemas argumentativos son válidos (la conclusión se sigue de las premisas) bajo cualquier interpretación que hagamos de sus variables. Los dos esquemas argumentativos de la tabla son válidos con independencia de cómo interpretemos sus variables: Ejemplo de la lógica aristotélica:

Ejemplo de la lógica estoica:

Todos los A son B Algún A es C Por tanto, algún C es B

Si no A, entonces no B Pero es cierto que B Por tanto, es cierto que A

Si en el primer ejemplo sustituimos A, B y C por conceptos generales, obtenemos un argumento válido. Lo mismo ocurre en el segundo ejemplo si sustituimos A y B por oraciones delarativas cualesquiera. El resto de expresiones que aparecen en tales esquemas (todos, algún, si... entonces, no) son consideradas “partículas lógicas” que solamente adquieren significado en el contexto de una oración. El problema al que nos enfrentamos cada vez que abordamos la historia de la lógica es en parte terminológico. Por un lado, la palabra “lógica” se ha utilizado para referir multitud de investigaciones que poco tenían que ver con el estudio de la validez formal de los argumentos; por otro lado, dicho estudio se ha llevado a cabo, en diferentes épocas y lugares, bajo otros nombres. En este tema se presenta la historia de la lógica como una historia de aquello que ha contribuido a un mejor entendimiento de lo que sean los argumentos y sus fuentes de validez. Bocheński (1985: 10-11) dividía, en 1956, la historia de la lógica en cinco grandes períodos históricos, de los cuales el primero, el tercero y el quinto serían aquellos donde se desarrolla con más intensidad la lógica. Hoy día es una división canónica. El primer período corresponde al origen de la lógica en la Grecia clásica. El segundo período comprende los siglos VII a XI y es una época poco creativa, no sólo en lógica, sino también en el resto de las ciencias. El tercer período, correspondiente a la escolástica desde finales del XI hasta finales del XV, coincide con el redescubrimiento de la obra lógica de Aristóteles y es de una gran sofisticación. Le sigue la Edad Moderna, de los siglos XVI a XIX, muy poco fructífera en lógica con la excepción de algunos opúsculos de Leibniz. Hacia la mitad del siglo XIX se inicia el quinto período de la historia de la lógica, en el que todavía estamos a pesar de las muchas diferencias que nos separan de los autores de hace 150 años. Los tres perídos más importantes de la historia de la lógica llevan asociados, como es de esperar, maneras algo distintas de entender la lógica. De ahí que la lógica formal tenga en cada uno de ellos una denominación específica. En resumen: 1. Lógica antigua. Corresponde al período que tiene lugar entre los siglos IV y III a.C. en la Grecia clásica. Los principales autores son Aristóteles, cuya obra lógica ha ejercido gran influencia en la historia del pensamiento, y el estoico Crisipo, de cuyas obras apenas nos ha llegado nada. El objeto de la lógica era la validez de los argumentos tal y como estos se plasman de forma escrita. 2. Lógica escolástica. Puede datarse entre los siglos XI a XV, si tomamos el período en sentido muy amplio, pero también puede restringirse a los siglos XII a XIV, si nos atenemos a las principales contribuciones. En las universidades de Oxford y París, y en menor medida en otros centros de

estudios como la Universidad de Salamanca, se estudiaban y discutían los compendios de Guillermo de Shyreswood, Pedro Hispano, Guillermo de Ockham, Juan Buridán o Alberto de Sajonia. Con el redescubrimiento de las obras de Aristóteles, se organiza y amplía su doctrina lógica, al tiempo que se hacen contribuciones y se plantean nuevos problemas. 3. Lógica simbólica. Es el período que abarca desde la década de 1840 hasta el presente, a un nivel ya internacional. Boole en Inglaterra y Frege en Alemania son los precursores. Durante la primera mitad del siglo XX, la lógica se utilizaba sobre todo para formalizar el discurso científico, en especial el matemático, por lo que estaba muy ligada a la filosofía de la ciencia. Evitaremos en nuestra exposición las denominaciones “lógica clásica” y “lógica tradicional” por no ser demasiado precisas. A veces se utilizan como expresiones sinónimas, otras veces no. Y en cualquiera de los dos casos, pueden hacer referencia o bien a las exposiciones más o menos eclécticas de las doctrinas de Aristóteles, Crisipo y los continuadores de uno y otro, hechas durante la Antigüedad tardía y en los primeros siglos de la Edad Media, o bien al contenido de los manuales universitarios de lógica publicados en la Edad Moderna y hasta bien entrada la década de 1950, donde las enseñanzas de peripatéticos y estoicos se mezclaban con consideraciones de tipo psicológico, metafísico y de metodología científica. Nos centraremos en la tradición occidental. Los estudios sobre argumentación, significado o verdad que tuvieron lugar en los períodos álgidos de India, China, el Tibet o el Oriente Medio son muy interesantes cuando se los considera en sí mismos, pero ni alcanzaron la sofisticación de las escuelas peripatética y megárico-estoica, ni tampoco han influido directamente en el surgimiento de la lógica simbólica contemporánea. PREGUNTA-CLAVE: ¿Qué es la lógica? Determina los tres principales períodos de su historia, dando coordenadas de espacio y tiempo, así como nombres de autores.

2. La lógica antigua 2.1. Retóricos, filósofos y geómetras La lógica surge como rama de la filosofía, pero ya desde sus orígenes estaba muy ligada a otras dos prácticas intelectuales. Por un lado, se vinculaba a ciertos estudios tradicionales acerca del buen uso del lenguaje, como son la retórica (arte de convencer a un auditorio), la dialéctica (arte de discutir por turnos) y la gramática (arte de la buena disposición de las palabras). Todas estas artes eran profusamente empleadas en la vida pública de los griegos. Por otro lado, tenemos también los estudios de aritmética y geometría, cuyos argumentos eran sometidos a crítica por parte de filósofos y matemáticos. En síntesis, podríamos decir que el contexto civil del diálogo y el contexto científico de la demostración son las dos raíces de la lógica. Y de nuevo con alguna matización, se observa que durante casi todo el siglo XX ha predominado el interés por entender la lógica como un estudio de la demostración. Antes de Aristóteles y Crisipo no hay lógica como tal. Lo que hay, en todo caso, son ciertos autores y escuelas que le dan mucha importancia a las buenas prácticas argumentativas. Parménides (ca. 510-440 a.C.) defiende lo siguiente: el ser es uno, inmóvil y perfecto; el no ser no existe, no puede ser dicho, no puede ser pensado. Una posición tan radical debe ser defendida contra las opiniones comunes, para lo cual Parménides prepara cuidadosamente sus argumentos. Zenón de Elea (ca. 490-430 a.C.)

es el principal expositor de Parménides; su estrategia no era tanto defender las tesis de Parménides como destruir las tesis del sentido común que afirman la multiplicidad y el movimiento. ¿Pero cómo se ataca una tesis? Zenón utiliza de manera sistemática el razonamiento por reducción al absurdo, que consiste en suponer como hipótesis A lo contrario de lo que se quiere demostrar, derivar de allí una contradicción B y no-B, concluyendo finalmente la negación de la hipótesis, no-A. El supuesto implícito es que lo que conduce a contradicciones debe ser falso. La reducción al absurdo fue ampliamente utilizada en filosofía y matemática. Un ejemplo filosófico de Zenón: supongamos que el movimiento entre un punto 1 y un punto 2 es posible; entonces hay que alcanzar primero el punto intermedio 1.5, pero antes de eso el punto intermedio 1.25, y así hasta el infinito; habría que recorrer una distancia infinita en un tiempo finito; contradicción, luego el movimiento es imposible. Ejemplo de Euclides (fl. 300 a.C.) en Elementos, IX: supongamos que hay un último número primo, al que llamaremos P; construyamos Q como la suma de 1 más el producto de todos los primos hasta P; Q es mayor que P; por otro lado, Q no es compuesto porque al descomponerlo en primos siempre quedará 1 como resto; contradicción con la hipótesis inicial, luego hay infinitos números primos. Los sofistas y los escépticos se hicieron eco de las herramientas destructivas de Zenón. Pero radicalizaron su punto de vista al sostener que para cada tesis podemos encontrar siempre un argumento a favor y otro en contra igual de convincentes. En medio de este relativismo cultural surge Sócrates (ca. 470-399 a.C.), quien observa con desagrado cómo en los discursos políticos, jurídicos y filosóficos de su tiempo se manejan conceptos abstractos (virtud, bien, valor, justicia...) al tiempo que se insiste en el origen convencional de los mismos. Sócrates tratará de anclar dichos conceptos en la realidad social y no en los discursos tendenciosos acerca de ella, descubriendo así en tales conceptos una estabilidad que, si confiamos en el testimonio de Platón, habría de ser eterna e inmutable. Dice Aristóteles: “Dos cosas, en efecto, se le pueden reconocer a Sócrates con justicia: la argumentación inductiva y la definición universal.” (Metafísica, 1078b25) Por la inducción se buscan definiciones esencialistas; unas definiciones que en Sócrates lo son siempre de conceptos morales, como atestiguan los diálogos platónicos: amor en El Banquete, amistad en Lisis, talento en Ion, templanza en Cármides, etc. La inducción, por su parte, nos lleva desde lo particular hasta lo universal: se toma una clase de objetos, se constata que algunos de ellos comparten cierto rasgo, y finalmente se concluye que todos los objetos de la clase inicial lo poseen. En el Menón, la inducción parte de un análisis de las acciones virtuosas hasta llegar a los rasgos característicos que todas esas acciones y sólo ellas comparten. Las definiciones esencialistas de Sócrates parecen ser el origen inmediato de las “ideas” de Platón (427-347 a.C.). Este último no llegó a analizar los procesos argumentativos desde un punto de vista científico, pero dio un paso más que sus predecesores al preocuparse por construir argumentos y contrargumentos sobre un mismo tema objeto de debate. Es decir, que no sólo argumentaba a favor de sus tesis y en contra de las tesis rivales, sino que la forma narrativa del diálogo (que no era de su invención pero en la cual alcanzó la máxima habilidad) le obligaba a organizar todo tipo de argumentos: deductivos, inductivos, analogía, comparación de opuestos, etc. PREGUNTA-CLAVE: Explica los dos paradigmas, diálogo y demostración, desde donde surge la lógica. Zenón: la reducción al absurdo. Sócrates: la inducción y la definición.

2.2. La escuela megárico-estoica Los megáricos son una escuela griega de filosofía fundada en el siglo V a.C. por

Euclides de Megara (ca. 450-380 a.C.), un discípulo de Sócrates que no debe confundirse con el autor de los Elementos. La obra lógica de esta escuela se desarrolla entre los años 400-275 a.C. y en ella destacan Diodoro Crono (m. 307 a.C.) y su discípulo Filón de Megara (fl. 300 a.C.). Posterior a la escuela megárica, y en parte coincidente con ella en el tiempo, es la escuela estoica. Los estoicos continúan la obra lógica de los megáricos en el período que va del 300 al 200 a.C. El fundador de esta escuela es Zenón de Citio (ca. 336-264 a.C.), quien desarrolló las ideas lógicas de los megáricos y estimuló en esa direción a sus discípulos Cleantes (ca. 330-232 a.C.) y Crisipo (ca. 281-208 a.C.). Más conocidos son los estoicos del Imperio Romano, como Séneca, Epicteto o Marco Aurelio, quienes ya no se ocupaban apenas de la lógica de sus maestros griegos. De la lógica de megáricos y estoicos apenas se conservan fragmentos originales. Todo lo que sabemos sobre ella proviene de comentadores posteriores como Sexto Empírico (ca. 160-210 a.C.), Cicerón (106-43 a.C.) o Diógenes Laercio (fl. 230). Casi todos ellos pertenecen a otras escuelas, y muchos de ellos contrarios al estoicismo, por lo que resulta difícil reconstruir su lógica. La lógica megárico-estoica es proposicional. Los megáricos partían de un cierto número de variables proposicionales que representaban escribiendo “lo primero”, “lo segundo”, etc. Tales variables representan afirmaciones de las que sentido decir que son verdaderas o falsas, pero cuya estructura interna no interesa. Tendríamos cosas como “Sócrates habla griego” o “la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 90 grados”. A continación estudiaban las relaciones de inferencia que se dan entre proposiciones complejas construidas a partir de proposiciones simples mediante las conectivas: no lo primero, lo primero y lo segundo, lo primero o lo segundo, no a la vez lo primero y lo segundo, lo primero implica lo segundo, etc. Por ejemplo de “Sócrates habla griego” se sigue “No es cierto que Sócrates no hable griego”, y también “Sócrates habla griego o Sócrates es un Padre de la Iglesia”. Los estoicos van más allá. A partir de Crisipo, tratan de derivar cualquier afirmación universalmente válida a partir de cinco esquemas indemostrables, los themata, que en realidad son reglas de inferencia. Aparecen en Diógenes Laercio, Vidas, VII, 80-81; Sexto Empírico, Esbozos pirrónicos, II, 157-158. Las cinco reglas de los estoicos son: I. Si A entonces B, y además A; por tanto B. II. Si A entonces B, y además no-B; por tanto no-A. III. No a la vez A y B, y además A; por tanto no-B. IV. O bien A o bien B, y además A; por tanto no-B. V. O bien A o bien B, y además no-A; por tanto B. Veamos cómo se deriva un teorema. El ejemplo ha sido transmitido por Sexto Empírico en Contra los matemáticos, VIII. Hay que probar: Si A entonces tenemos que si A entonces B, y además A; por tanto B. (1) (2) (3) (4)

Si A entonces (si A entonces B) A Si A entonces B B

Premisa Premisa Regla I sobre (1), (2) Regla I sobre (2), (3)

La negación y la conjunción tienen el mismo significado que en la moderna lógica simbólica. De aquélla podemos destacar que el hecho de considerarla como la negación

de la proposición, y no como la negación de posibles sintagmas, facilitó mucho el desarrollo formal. Lo mismo puede decirse de la conjunción. Al unir mediante una conjunción las proposiciones “Aristóteles es varón” y “Aristóteles es sabio”, tenían claro que la forma lógica era “Aristóteles es varón y Aristóteles es sabio”, siendo “Aristóteles es varón y sabio” una proposición equivalente a la anterior por causa de la gramática griega (castellana en nuestro ejemplo) pero no por causa de las propiedades formales de la conjunción. Con la disyunción, en cambio, tenemos un problema. En el esquema IV la disyunción expresada en lenguaje natural ha de ser exclusiva para que el esquema de inferencia preserve la validez de las premisas: o bien p es cierto o bien q es cierto, pero no pueden ser p y q ciertos a la vez. Podemos suponer, por analogía, que también en V se entendía que la disyunción era exclusiva. El condicional merece una atención especial. Destaca Sexto Empírico (Esbozos pirrónicos, II, 110) cuatro interpretaciones posibles de “si lo primero entonces lo segundo”. Veamos las dos más relevantes. Según Filón de Megara, cuya interpretación es adoptada por la moderna lógica simbólica, para que un condicional sea verdadero basta con que no se dé el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso. Así, el condicional “si es de noche, entonces llueve” será verdadero siempre que sea de día, con independencia de si llueve o no. Dice Diodoro Crono que esto es paradójico. Debe exigirse que “si es de noche, entonces llueve” sea verdadero cuando sea imposible que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Hay también reflexiones muy interesantes de los estoicos sobre el problema del significado y de la verdad. Sobre el significado distinguieron entre la voz significante, que es una entidad corpórea compuesta por sonidos o inscripciones; la cosa referida por aquella voz, que es asimismo una entidad corpórea; y finalmente el significado abstracto de la voz significante, definida como aquello que un extranjero no entiende cuando dos griegos hablan entre sí. Esta clasificación, como se ve inmediatamente, anticipa la distinción de Frege entre símbolo, referencia y sentido. Sobre el problema de la verdad hay que destacar la llamada paradoja del mentiroso o pseudómenos. Consiste en lo siguiente. Supongamos que una persona X dice “estoy mintiendo”. ¿Cabe determinar la verdad o falsedad de lo dicho por X? Si X dice la verdad, entonces es cierto lo que dice, luego está mintiendo; pero si X está mintiendo, entonces es falso lo que dice, luego está diciendo la verdad. Luego ni dice la verdad ni miente, lo que muestra que existen afirmaciones que no son ni verdaderas ni falsas, en contra del supuesto fundamental de la lógica megárico-estoica por el cual todas las afirmaciones con significado habrían de ser o verdaderas o falsas. A este puzzle deben enfrentarse todas las definiciones de verdad que se hayan propuesto desde los estoicos hasta la actualidad. Unos ven el origen de esta paradoja en el cretense Epiménides (VI a.C.), a quien atribuyen la frase “todos los cretenses mienten”, un episodio al que parece referirse San Pablo en Epístola a Tito, I, 12. Otros, como Cicerón, reconocen la paradoja como una invención de Eubúlides (IV a.C.) bajo la forma “si miento y digo que miento, ¿miento o digo la verdad?”. Hubo más paradojas. Por ejemplo la del calvo: un hombre con un solo pelo en su cabeza es calvo, con dos pelos también es calvo, con tres también; en general, si con n pelos es calvo, con n+1 lo seguirá siendo; pero entonces un hombre con millones de pelos sigue siendo calvo. O la paradoja del cornudo: aquello que no has perdido todavía lo tienes, pero no has perdido ningún par de cuernos, luego tú tienes cuernos. PREGUNTA-CLAVE: ¿Qué tipo de lógica cultivaban los megáricos y estoicos? Peculiaridades en su modo de entender las conectivas lógicas. Teoría semántica y paradojas.

2.3. La silogística de Aristóteles Las obras lógicas de Aristóteles (384-322 a.C.) son las seis que aparecen en la tabla, aunque algunos compiladores consideran que Refutaciones sofísticas es en realidad el último capítulo de Tópicos, con lo que el número de obras lógicas se reduciría a cinco. Tales obras fueron compiladas por miembros del Liceo en el siglo I a.C. bajo el título genérico de Órganon, que significa “instrumento”, debido al papel instrumental que Aristóteles reconocía a sus obras lógicas. La palabra lógoç en el sentido de “lógica” no se utiliza hasta que no la pone en circulación Alejandro de Afrodisia (fl. 200) unos quinientos años después de la muerte del maestro. Ofrecemos en una tabla los tratados lógicos de Aristóteles. Su orden es el clásico, que viene fijado por la compilación de Andrónico de Rodas en el siglo I a.C. Sin embargo, no es el orden en que presumiblemente fueron redactados. Título griego

Título latino

Título español

Tema abordado

Kategoríai

Categoriae

Categorías

Clasificación de los términos del lenguaje y correspondencia de los mismos con ámbitos de la realidad.

Perì hermeneías

De Interpretatione

Sobre la interpretación

Análisis gramatical de la estructura de los enunciados. Teorías sobre el significado y sobre la verdad.

Analyticà prótera

Analytica Priora

Analíticos primeros

Teoría del silogismo categórico y del silogismo modal.

Analyticà hystera

Analytica Posteriora

Analíticos segundos

Teoría de la ciencia.

Topiká

Topica

Tópicos

Estudio de las reglas que gobiernan una discusión por turnos entre dos personas acerca de cualquier asunto.

Perí sophistikon elénkhon

Sophistici Elenchi

Refutaciones sofísticas

Estudio de argumentos falaces.

La teoría lógica de Aristóteles, en sentido estricto, es su doctrina del silogismo categórico, expuesta en los Primeros Analíticos. Es la que introducimos a continuación, comentando el resto de tratados desde el punto de vista de su relación con esta teoría. De las Categorías es importante su doctrina de los individuos y los términos. Lingüísticamente, aquéllos son unidades de significado de los cuales se predican cosas, pero ellos mismos no se predican de otras. Los términos, en cambio, se predican unos de otros y asimismo de los individuos. La lógica de Aristóteles es una lógica de términos porque en los esquemas de argumentación que se estudian las variables se sustituyen por términos. En su obra Sobre la interpretación, y distanciándose de la gramática del griego, sostiene que la estructura lógica de toda frase enunciativa consiste en la relación mediante la cópula “es” de dos términos: un sujeto S y un predicado P. “S es P” será la unidad mínima de significado. Con la expresión “Antonio y su padre son de Atenas” no

habría problemas: S es la clase formada por Antonio y el padre de Antonio, P es la clase de los atenienses en el momento de enunciarse el juicio. Con “Sócrates camina”, en cambio, habría que reescribir la expresión inicial, poniendo en su lugar (Sobre la interpretación, 21b9; Metafísica, 1017a28) “Sócrates es de las personas que caminan”. Juicios. Divide los juicios categóricos según la cantidad y la cualidad. De acuerdo a la cantidad, existen juicios particulares y universales. De acuerdo a la cualidad, juicios afirmativos y negativos. Los juicios como “Sócrates camina” son vistos como un caso particular de juicio universal, entendiendo que el sujeto es un término que consta de un solo individuo. El siguiente cuadro recoge la doble clasificación de Aristóteles, aunque las iniciales A, E, I, O no son suyas sino de la tradición escolástica. Afirmativo

Negativo

Universal Juicio de tipo A: Todo S es P

Juicio de tipo E: Ningún S es P

Particular Juicio de tipo I: Algún S es P

Juicio de tipo O: Algún S no es P

Con estos cuatro juicios desarrolla Aristóteles dos sencillas teorías (previas a la del silogismo categórico) que se conocen, respectivamente, como teoría de la inferencia inmediata y teoría de la conversión. Tanto en la exposición de estas dos teorías como en la exposición de la silogística vamos a separarnos de la letra de Aristóteles, que no siempre es el mejor expositor de sí mismo, y vamos a seguir la llamada “lógica clásica” tal y como se presenta por ejemplo en Couturat (2008). La lógica clásica deriva del Órganon de Aristóteles, pero añade buena parte de las correcciones y complementos de sus principales comentadores desde el Liceo hasta la Edad Moderna. En la teoría de la inferencia inmedita se disponen los juicios categóricos según un “cuadro de oposiciones” que ya estaba implícito en Sobre la interpretación, capítulo 7, pero que no es presentado en forma de diagrama hasta el comentario In librum perì hermēneías, 75V, de Ammonio de Hermia (fl. 530). CONTRARIOS

A: Todo S es P

SUBALTERNOS

E: Ningún S es P

CONTRADICTORIOS

I: Algún S es P

SUBALTERNOS

O: Algún S no es P SUBCONTRARIOS

Tanto A y O como E y I son juicios contradictorios entre sí. I es subalterno de A. O es subalterno de E. A y E son contrarios. I y O son subcontrarios. De la inferencia inmediata, que trata de las relaciones lógicas entre los cuatro juicios categóricos, tenemos cuatro reglas:

1. De las contradictorias: si una es verdadera, la otra es falsa; si una es falsa, la otra es verdadera. Es decir, nunca pueden ser verdaderas a la vez. 2. De las subalternas: si la universal es verdadera, la particular también; y si la particular es falsa, la universal también. 3. De las contrarias: no pueden ser verdaderas a la vez, pero sí falsas a la vez. 4. De las subcontrarias: pueden ser verdaderas a la vez, pero no falsas a la vez. Convertir un juicio J en otro J' es deducir J' a partir de J de tal modo que J y J' sean equivalentes y además el sujeto de un juicio es predicado del otro. Hay dos reglas: 1. Conversión simple: los juicios E, I se convierten directamente; “ningún S es P” implica “ningún P es S”, y “algún S es P” implica “algún P es S”. 2. Conversión parcial: cada juicio de tipo A se rebaja a uno de tipo I; “todo S es P” implica “algún P es S”. Silogismos. En Analíticos primeros, 24b15, define Aristóteles el silogismo como “enunciado en el que, sentadas ciertas cosas, se sigue necesariamente algo distinto de lo ya establecido por el de darse esas cosas”. Esta definición es muy amplia; engloba tanto los silogismos aristotélicos como las reglas y teoremas de los megárico-estoicos, así como otras muchas variedades posibles. La noción de silogismo que se maneja de forma implícita en los Primeros Analíticos es en realidad más restringida. Se trata de una secuencia de tres juicios aristotélicos cumpliendo: 1) El sujeto S de la conclusión (término menor) aparece en una y sólo una de las premisas (premisa menor), ya como sujeto o como predicado. 2) El predicado P de la conclusión (término mayor) aparece en una y sólo una de las premisas (premisa mayor), ya como sujeto o como predicado. 3) Las dos premisas comparten un mismo término M (término medio) que desaparece en la conclusión. Tradicionalmente se clasifican los silogismos mediante cuatro figuras, que abarcan todas las maneras posibles en que el término medio se distribuye por las premisas. Sean T, U dos términos cualesquiera. Escribiremos TaU para “todo T es U”, TeU para “ningún T es U”, TiU para “algún T es U”, ToU para “algún T no es U”. Al escribir TxU dejamos sin determinar qué tipo de relación existe entre T y U. El diagrama siguiente ilustra la disposición tradicional de las cuatro figuras. 1ª Figura

2ª Figura

3ª Figura

4ª Figura

Premisa mayor

MxP

PxM

MxP

PxM

Premisa menor

SxM

SxM

MxS

MxS

Conclusión

SxP

SxP

SxP

SxP

Aristóteles sólo reconocía tres figuras, pues su criterio de clasificación era algo distinto al recogido por la tradición. Nosotros nos atenemos a esta última, cuya cuarta figura fue atribuida por Averroes (1126-1198) a Galeno (130-200). La clasificación tradicional de los silogismos en figuras representa la distribución de los términos menor, mayor y medio en las premisas. Pero tanto las premisas como la conclusión pueden ser de cuatro tipos (A, E, I, O), lo cual supone clasificar cada figura mediante 64 modos distintos. Por haber 4 figuras y 64 modos, existen 4 × 64 = 256 combinaciones distintas a tener en cuenta. Pero solamente unas pocas de ellas, 24 exactamente, son silogismos válidos desde el punto de vista de la lógica antigua.

De los 24 silogismos válidos hay alguno cuya conclusión no es todo lo informativa que pudiera ser. Por ejemplo: de “todo A es B” y “todo B es C” se sigue “todo A es C”. Esto es reconocido por Aristóteles, quien sin embargo no reconoce que de esas mismas premisas se sigue “algún A es C”. Aristóteles considera que la conclusión es débil pudiendo ser más fuerte. Su criterio le llevó a reconocer como auténticos silogismos 19 de los 24 que la tradición recoge. El modo en que Aristóteles demuestra sus 19 silogismos válidos, y que se puede usar en realidad para demostrar los 24 de la tradición, es axiomático. Toma tres silogismos de la primera figura como axiomas y se sirve de ciertas reglas, entre las cuales se cuentan las de la inferencia inmediata, para demostrar el resto de silogismos válidos. Más novedosa es su utilización de contraejemplos para demostrar que un silogismo no es válido. Influencia. La lógica de Aristóteles fue desarrollada en el Liceo tras la muerte del maestro por autores como Teofrastro o Eudemo, contemporáneos de Diodoro Crono y Filón de Megara. La lógica de Aristóteles era estudiada con independencia de consideraciones filosóficas sobre el conocimiento, la abstracción, el error, el lenguaje, etc. Unos intérpretes acentuaban su diferencia con respecto de la lógica estoica, mientras otros (los menos) trataban de buscar una síntesis entre ambos sistemas. Porfirio (ca. 232-304), discípulo de Plotino, escribe una Isagoge (“Introducción”) a la lógica de Aristóteles en el III d.C. Con la intención de aclarar y desarrollar algunos puntos oscuros de las Categorías, distingue Porfirio cinco predicables o modos de predicarse un término de otro: género, especie, diferencia, propio y accidente. Enuncia además lo que durante la Edad Media se conocerá como el problema de los universales: el modo de realidad que podemos atribuir a las sustancias segundas referidas por los términos de la silogística. PREGUNTA-CLAVE: Partes del Órganon. ¿Dónde encaja la doctrina del juicio y dónde la del silogismo? Expón la doctrina del juicio. Habla brevemente de los silogismos.

3. La lógica medieval Fecharemos la Edad Media entre los años 400 y 1400 aproximadamente. O si se prefiere pensar en términos de historia de la lógica, entre las traduciones de Boecio del Órganon y las últimas obras de Guillermo de Okcham y Duns Scoto. Las contribuciones medievales a la lógica son acerca de la semántica del latín técnico empleado en los razonamientos y acerca también de lo que hoy llamaríamos metalógica. Ejemplo de esto último es la discusión de la regla ex falso quodlibet por la cual de una contradicción se sigue cualquier afirmación. La accesibilidad de los textos era un factor decisivo: hasta mitad del siglo XII las únicas obras de lógica con que se contaba eran las Categorías y De la interpretación de Aristóteles, la Isagoge de Porfirio, y varios comentarios de Boecio y Marciano Capella. 3.1. Alta Edad Media Boecio (472/480-524/525), que ha sido llamado “el último romano y el primer medieval”, es importante en la historia de la lógica como traductor de las Categorías y Sobre la interpretación, llevadas a cabo entre finales del siglo V y principios del VI, que junto a su traducción de la Isagoge de Porfirio fueron las principales obras de lógica que conocieron los filósofos de la Edad Media hasta que a mediados del siglo XII el resto de tratados de lógica, sobre todo los aristotélicos, fueron conocidos a través de

traducciones indirectas del árabe. También algunos comentarios de Marciano Capella (fl. 420) eran generalmente leídos en este primer período medieval. De este último autor es también importante para nosotros la organización de las artes liberales en el trivium (gramática, retórica, lógica) y el quadrivium (aritmética, geometría, astronomía, música). Colocando la lógica dentro del trivium, Capella aseguró que esta disciplina fuera estudiada durante siglos. A falta de una doctrina lógica lo bastante sustantiva, es confundida en ocasiones con la dialéctica o con la retórica. San Agustín (354-430) dice al comienzo de su inacabada De dialectica que la dialéctica es la ciencia de bien argumentar: dialectica est bene disputandi scientia. En esta afirmación parece asumir, como otros muchos medievales, que la lógica era una parte de la dialéctica. Más adelante, la Dialectica de Alcuino de York (ca. 735-804) se limitada a comentar las categorías de Aristóteles y es también un claro ejemplo del tipo de lógica que se hacía en la época. Solamente a finales de la alta Edad Media asistimos a un lento despertar de la lógica como dotrina de los argumentos válidos. La principal figura es Pedro Abelardo (1079-1142), quien solamente contaba con las traducciones de Boecio y unas pocas referencias indirectas sobre silogismos. Su mérito consiste no tanto en sus aportaciones como en preparar un ambiente intelectual favorable a la recepción de las nuevas ideas lógicas. Retomó la discusión de los universales de Porfirio. Con su obra Sic et non establecía el estilo escolástico de proponer un asunto, la quaestio, seguida de una elaboración de los argumentos a favor y en contra, a su vez seguidos de una solutio con la cual podían volver a discutirse algunos de los argumentos en contra de esta última. También inició una discusión, que más tarde sería clásica, acerca de los condicionales o consequentiae. Sostenía que la verdad más elevada de un condicional debía venirle de su forma, y no de los hechos, con lo cual estaba diciendo algo así como que los condicionales dignos de estudio son aquéllos que expresan verdades lógicas. 3.2. Baja Edad Media En los siglos XII, XIII y XIV se desarrollaron extraordinariamente en Europa la teología, la filosofía y la lógica. Esta última, en particular, se desarrolló a partir de la segunda mitad del siglo XII hasta unos niveles de complejidad y finura hasta entonces desconocidos, gracias a las nuevas traducciones del Órganon que mencionamos más arriba y que venían del árabe. El punto culminante se alcanza en las enseñanzas habidas en las Facultades de Artes de Oxford y París en los siglos XIII y XIV. No se hacía mucho uso de la formalización, sino que se continuaba escribiendo todo en latín, de tal suerte que los textos sobre lógica de esta época resultan muy difíciles de seguir. Además, abordan temas que hoy reconoceríamos como filosofía del lenguaje, filosofía de la lógica y metalógica más que lógica propiamente dicha. Como dijimos, el interés por la lógica mostrado por Pedro Abelardo había propiciado un estado de ánimo que era idóneo para la recepción de la silogística, de la cual se tenían ciertas noticias a partir de comentarios. Comenzaron a escribirse por toda Europa breves sumarios de lógica, summulae, que al tratar de organizar la lógica aristotélica se veían a veces forzados a hacer alguna innovación. Una de los primeras summulae es la de Guillermo de Shyreswood (m. 1249), que contiene una exposición completa de la silogística. Como curiosidad, están en verso los 19 silogismos válidos de Aristóteles, recogidos en unas palabras mnemotécnicas que codifican mediante vocales y consonantes, no sólo los silogismos válidos, sino también la manera de demostrarlos.

Barbara Celarent Darii Ferio; Baralipton Celantes Dabitis Fapesmo Frisesomorum; Cesare Campestres Festino Baroco; Darapti Felapton Disamis Datisi Bocardo Ferison.

Las Summulae de Pedro Hispano (ca. 1210-1277), quien fue quizás discípulo Guillermo de Shyreswood, destacan como manual de lógica en el cual se recoge el conocimiento considerado estándar sobre esta materia en la Baja Edad Media. Más popular que el libro de Shyreswood, fue libro de texto hasta el XVII en muchos ambientes neoescolásticos. Incluye la teoría de los predicables de Porfirio, la silogística y la dialéctica de Aristóteles, así como una novedosa discusión sobre las propiedades de los términos. Esto último se considera frecuentemente la aportación más original de la lógica escolástica. Se distingue entre lo que hoy llamaríamos uso y mención de un término, se distingue también entre el significado individual y el significado colectivo que puede tener un mismo término general como “hombre” según se diga “este hombre corre” o “el hombre es animal”, etcétera. Del siglo XIV destacan como lógicos Guillermo de Okcham (ca. 1295-1349), Juan Buridán (m. ca. 1358), Alberto de Sajonia (ca. 1316-1390) y el Pseudo-Escoto. Todos ellos disertaron ampliamente sobre el tema de las consequentiae. Este último tema es lo que más se parece a lo que hoy entenderíamos por un estudio de lógica. La exposición más completa que se conserva es De consequetiis de Juan Buridán, que a su vez influye en la parte IV de la Logica de Alberto de Sajonia. Allí se discute con profusión el significado de unas expresiones que a veces podrían interpretarse como oraciones condicionales del tipo “si A, entonces B”, otras veces parecen ser relaciones de consecuencia entre oraciones del tipo “tenemos A, por tanto concluimos B”, y otras veces parecen ser reglas de inferencia del tipo “dado A, podemos escribir a continuación B”. Se tiene en cuenta la discusión entre Filón de Megara y Diodoro Crono, optándose por el primero, con lo que una consequentia era verdadera si y sólo si no es posible que el antecedente sea falso y el consecuente sea verdadero. PREGUNTA-CLAVE: Haz un breve recorrido por la lógica medieval, destacando la teoría de los términos y la teoría de las consecuencias.

4. La lógica renacentista y moderna El Renacimiento supone en general un rechazo de la lógica escolástica en favor de la gramática, la poética y la retórica. De hecho, fue el rechazo a la lógica de la escolástica uno de los síntomas más claros del general rechazo que protagonizaban los humanistas hacia la filosofía recibida. Así como puede hablarse de una lógica escolástica en los siglos XII-XIV y de una lógica tradicional en los siglos XVII-XIX, difícilmente puede hablarse de una lógica humanística o una lógica renacentista. Petronio, Luis Vives, Petrus Ramus, Montaigne, etc., critican a los lógicos medievales por dedicar tanto esfuerzo a una ciencia que realmente ilumina tan poco. Ramus, en particular, llega a hacer una contribución a la historia de la lógica cuando acusa a Aristóteles de no ocuparse de silogismos donde interviene la identidad; su ejemplo es “Octavio es el heredero de César; yo soy Octavio; por tanto, yo soy el heredero de César”. A estas críticas se suma la observación, hecha por algunos renacentistas pero también por autores modernos como René Descartes, Francis Bacon, Thomas Hobbes o John Stuart Mill, por la cual la silogística era inútil debido a que no servía para ampliar nuestro conocimiento sobre ningún asunto.

El comienzo de la lógica en la Edad Moderna viene marcado por la publicación en 1662 de La Lógica o el Arte de Pensar de los jansenistas Antoine Arnauld (1612-1694) y Pierre Nicole (1625-1695), comúnmente llamada Lógica de Port-Royal. Se trata de una obra influida tanto por la crítica de los humanistas como por el cartesianismo. Pero, sobre todo, es una obra influyente: su enfoque y el campo de problemas abordado serán considerados como materia estándar de la lógica hasta el surgimiento de la lógica simbólica. La principal finalidad de la lógica, se dice en la Lógica de Port-Royal, consiste en asistir al hombre para que éste pueda distinguir lo verdadero de lo falso. Dicen Arnauld y Nicole (1987: 49): “La Lógica es el arte de dirigir adecuadamente la razón en el conocimiento de las cosas, tanto para que cada uno se instruya a sí mismo como para instruir a los otros.” Se estudia la función y alcance de nuestras facultades cognoscitivas, y se persigue la verdad en las ciencias. Además, dichas facultades determinan las partes de la lógica; por tanto, sugieren también el modo en que ha de configurarse todo tratado de lógica. Hay por lo tanto un sesgo psicologista que se aleja mucho del planteamiento lingüístico de la lógica antigua y escolástica. La estructura de la Lógica de Port-Royal es como sigue: 1. Doctrina del concepto. Se investiga cómo adquirimos nuestras ideas generales a partir de experiencias particulares. 2. Doctrina del juicio. La combinación de ideas generales da lugar a afirmaciones, que pueden ser verdaderas o falsas con respecto del mundo. 3. Doctrina del razonamiento. En ocasiones, de unas afirmaciones se siguen otras. El modo en que se pasa de aquéllas a éstas no se agota con la lógica de Aristóteles y de Crisipo, pero conviene estudiar a éstos como sistematizadores del razonamiento, al menos en sus capas más superficiales. 4. Doctrina del método. Por medio de razonamientos y de observación se construye nuestro conocimiento global sobre el mundo. Tras 1662 la investigación en lógica, salvo algunos manuscritos inéditos de Leibniz, se paralizó casi por completo. Este hecho motivó las célebres palabras de Immanuel Kant en el prólogo a la segunda edición e su Crítica de la razón pura (1781): “Lo curioso de la lógica es que tampoco haya sido capaz, hasta hoy, de avanzar un solo paso. Según todas las apariencias se halla, pues, definitivamente concluida”. El juicio de Kant, tomado por cierto y reproducido en multitud de manuales de lógica clásica, es incorrecto por dos razones. Primero, porque no tiene en cuenta ni las aportaciones de los megárico-estoicos ni el desarrollo escolástico. Segundo, porque presupone que hay una sola lógica. Pero lleva algo de razón en la medida en que desde Aristóteles y Crisipo en la Antigüedad hasta el nacimiento de la lógica simbólica en el XIX no se avanza demasiado en la dirección que hoy reconoceríamos como formal, es decir, en el desarrollo de lenguajes formales y de mecanismos de cálculo. Gottfried Leibniz (1646-1716) propuso la creación de una characteristica universalis o lengua artificial que pudiera representar las ideas simples del pensamiento. Dicha lengua sería unívoca y además permitiría la mecanización del pensamiento mediante la manipulación reglada de los símbolos del lenguaje. PREGUNTA-CLAVE: Importancia de la Lógica de Port-Royal. Distingue sus partes y contextualiza la cuarta parte dentro de su época.

5. Lógica simbólica . La lógica simbólica contemporánea tiene dos fuentes. Una de ellas es la tradición algebraica de la segunda mitad del siglo XIX, que podría emparentarse con el programa de Leibniz de no ser por la escasa influencia directa de éste. Nace con El análisis matemático de la lógica (1847) de Boole y supone la utilización de ecuaciones algebraicas para describir enunciados lógicos. La otra fuente se origina en la Conceptografía (1879) de Frege y se desarrolla no sólo por ser técnicamente más acabada, sino por incorporar un programa de investigación propio: el logicismo. 5.1. El álgebra de la lógica de Boole Boole. La aportación fundamental de Boole (1815-1864) es la de utilizar ecuaciones algebraicas para representar afirmaciones lógicas. Y aunque tras un vistazo superficial a la obra original de Boole solamente advertirán expresiones algebraicas de un mismo tipo, donde un símbolo de igualdad separa ristras de símbolos que contienen fundamentalmente variables, sumas y productos, lo cierto es que dichas expresiones fueron utilizadas para formalizar las dos teorías lógicas que hasta entonces se conocían, a saber, la lógica proposicional de los megárico-estoicos y la silogística de Aristóteles. Quiere decir esto que Boole tenía perfectamente clara la distinción entre la lógica de las proposiciones y la lógica de los términos, lo que no era poco en la época. Formalizó sendas teorías por separado, de un modo que en aquel entonces era verdaderamente impactante, pero también hay que subrayar que no llegó a ver la profunda unidad que existía entre estas dos teorías. A diferencia de lógicos posteriores, Boole aceptaba que existían dos lógicas distintas, aplicándose a matematizar cada una de ellas por separado. En su formalización de la lógica proposicional, Boole escribe x, y, z... para denotar proposiciones simples, que él llama “categóricas”. Entiende que una proposición categórica es “una sentencia que afirma o niega” (Boole, 1984: 59), y que una proposición compleja, que él llama, “hipotética”, es aquélla que “se define como dos o más categóricas unidas por una cópula” (Boole, 1984: 87). Ahora bien, ¿cómo representar proposiciones complejas, y cómo deducir unas de otras? El cuadro siguiente ofrece las principales claves: Expresión

Formalización

x es verdadera

x=1

x es falsa

x=0

x y además y

xy

x o bien y

x+y

Tomando las variables x, y, z, como representantes de que está lloviendo, está granizando y está helando, la expresión z(1–x)(1–y) representa la idea de que hiela pero ni llueve ni graniza. Con este formalismo, la interpretación de la disyunción como disyunción inclusiva y la ayuda de unas pocas reglas encaminadas a despejar incógnitas para sustituirlas por los valores 1 (lo vedadero) y 0 (lo falso), Boole construye un sistema lógico muy similar a nuestra moderna lógica de proposiciones. Por otro lado, en su formalización de la lógica aristotélica de términos, Boole sigue de cerca a la tradición cuando afirma que “una proposición tiene necesariamente dos términos, como hombres, mortales [...] y debe ser afirmativa o negativa, y también

universal o particular” (Boole, 1984: 59) . Pues bien, tomando ahora 1 como la totalidad de los objetos, 0 como la nada, v como aquello que comparten x e y, tenemos que: Expresión

Formalización

A: Todo x es y

xy = x

E: Ningún x es y

xy = 0

I: Algún x es y

v = xy

O: algún x no es y

v = x(1–y)

De nuevo la manipulación algebraica nos permitiría derivar las leyes de la lógica bajo estudio, con la diferencia de que una buena formalización de la silogística permite decubrir muchas más leyes de las ya conocidas. Como hemos dicho antes, la principal aportación de Boole fue la de aplicar el lenguaje y las reglas del álgebra a las dos teorías lógicas por entonces conocidas. Pero debemos recordar también que todo esto no hubiera sido concebible si antes no hubiera cambiado la noción misma de matemática que se tenía en el siglo XIX. En lo que concierne al álgebra, observamos que esta ciencia pasa con Peacock de ser una teoría de las ecuaciones aritméticas a ser una teoría general de las ecuaciones, cuyas leyes pueden variar en función del significado que se les atribuya a las variables. Ellas no tienen por qué ser sólo números, sino que pueden ser vectores, matrices, etc., con lo que queda despejado el camino para que Boole las pueda interpretar también como proposiciones de la lógica megárico-estoica o como términos de la lógica aristotélica. Algo análogo sucedía por aquel entonces en geometría de la mano de las geometrías no euclidianas que desarrolló Lobatchevsky. Influencia inmediata de Boole. La influencia de las dos obras de Boole arriba mencionadas fue inmediata y enorme. Los filósofos no veían más que un juego simbólico, pero los matemáticos con cierto interés por la lógica veían un campo de investigación nuevo (ya que quedaban leyes lógicas por descubrir) donde aplicar además una metodología nueva (la interpretación de variables algebraicas mediante significados como los de verdad, falsedad, totalidad y vacío). Inglaterra fue, al menos hasta que otras propuestas fueron difundidas a comienzos del XX, el lugar donde más se desarrollaron las investigaciones lógicas inspiradas en la obra de Boole Charles S. Peirce (1839-1914) es sin duda el lógico más importante de este período. Reconoció que una de las principales limitaciones de la lógica de Aristóteles era su incapacidad para dar cuenta de las relaciones entre indiciduos. Hasta entonces, y siguiendo a Aristóteles, los lógicos solamente se preocupaban de individuos y de clases de individuos. Al decir “Sócrates es mortal” se tenía en cuenta al individuo Sócrates y a la clases de los seres mortales. Pero el problema es que existen relaciones entre individuos, como cuando decimos que Sócrates es más alto que Aristófanes. En lugar de ver una genuina relación entre dos individuos, los lógicos anteriores a Peirce interpretaban que ser más alto que Aristófanes podía ser visto como un término de la lógica, es decir, que se podía ver a Sócrates como individuo perteneciente al conjunto de los individuos que son más altos que Aristófanes, lo cual es cierto pero deja sin resolver problemas cuya solución depende de la consideración de las relaciones como objetos fundamentales, en línea con los individuos y los conjuntos de individuos. Si Sócrates es más alto que Aristófanes, y Aristófanes es más alto que Platón, entonces Sócrates es más alto que Platón. Esto que acabamos de decir es cierto, mas no puede demostrarse con la lógica de términos de Aristóteles.

El último representante de esta tradición, que suele denominarse “álgebra de la lógica”, fue el alemán Ernst Schröder (1841-1902), quien recopiló todas los avances de la segunda mitad del XIX en sus Lecciones sobre el álgebra de la lógica (1890-1905) en tres volúmenes. Boole y su escuela algebraica tienen el mérito de haber abordado la investigación lógica con herramientas matemáticas. Pero no es hasta Frege, como veremos a continuación, que las principales teorías lógicas conocidas hasta el momento (la de proposiciones y la de predicados) se presentan como parte de una lógica mucho más amplia, que las rebasa tanto en conceptos y resultados como en rigor matemático. PREGUNTA-CLAVE: Méritos y limitaciones de la lógica de Boole. ¿Llegó a unificar la lógica de Aristóteles con la de los estoicos? Principal aportación de Peirce.

5.2. La escritura conceptual de Frege Frege. Gottlob Frege (1848-1925) publicó en 1879 la que se considera obra fundacional de la lógica simbólica. Su título completo era Conceptografía. Un lenguaje de fórmulas, semejante al de la aritmética, para el pensamiento puro. Allí se proponía fundamentar el razonamiento matemático mediante un lenguaje artificial que sustituyera por completo las expresiones de lenguaje natural que aparecen en los libros de matemáticas, así como mediante reglas de cálculo que sustituyese las reglas intuitivas que los matemáticos dan por buenas al razonar. Su aportación más importante al lenguaje de la lógica consistió sin duda en el modo de cuantificar variables. Primero consiguió unificar la lógica de enunciados, la de predicados y la de relaciones (de Peirce) mediante una sintaxis que tiene en cuenta tanto la estructura interna de las oraciones como las conexiones entre ellas. Pero es que además cuantifica sobre variables en cualquier lugar de la expresión, incluyendo así las conectivas proposicionales dentro del alcance de un cuantificador. Como ejemplo veamos el modo en que formaliza los cuatro juicios de Aristóteles. Afirmativo

Negativo

Universal Todo S es P ∀x (Sx → Px)

Ningún S es P ∀x (Sx → ¬Px)

Particular Algún S es P ∃x (Sx ∧ Px)

Algún S no es P ∃x (Sx ∧ ¬Px)

Esta formulación difiere de la idea que tenía Aristóteles sobre los juicios universales. Aristóteles sobreentendía que al afirmar que todo S es P se está aceptando la existencia de algún S, es decir, que para él un juicio universal afirmativo dice que hay algún S y que además todo aquello que es S también es P. Y lo mismo con los juicios universales negativos. Frege, en cambio, considera que ese tipo de juicios solamente hacen afirmaciones hipotéticas, es decir, que para Frege un juicio universal afirmativo dice que, en el caso de que existiera algún S, ese S sería P. Y los mismo con los juicios universales negativos. Esto hay que tenerlo en cuenta, pero no supone mayor problema; si queremos formalizar con el lenguaje de Frege lo que Aristóteles entendía por un juicio universal afirmativo basta escribir ∃x Sx ∧ ∀x (Sx → Px). Aparte de la sintaxis, define un cálculo para la lógica de predicados (para una extensión suya, si queremos ser exactos) que años después resultó ser correcto y completo. Es decir, que definió un lenguaje donde se podía expresar uniformemente todo aquello que antes sólo se podía expresar con fragmentos desconectados de

diferentes lógicas, y además ofreció un cálculo con el cual probar todas las verdades lógicas expresables en su nuevo lenguaje. Por último, otra razón que explica el éxito de la lógica de Frege es el programa logicista. En efecto, Frege no sólo inventa una nueva teoría, sino que la presenta al público como una herramienta y propone qué debe intentarse hacer con ella. Lo que debe intentarse es nada menos que reconstruir la matemática a partir de la lógica, lo cual implica definir todos los conceptos matemáticos a partir de conceptos lógicos y demostrar todos los teoremas matemáticos desde teoremas lógicos. Influencia inmediata de Frege. La publicación de los Principia Mathematica (1913-1910) fue el eco que buscaba encontrar el planteamiento de Frege. Bertrand Russell y Alfred N. Whitehead ofrecen en Principia una presentación de la lógica de Frege y tratan además de llevar a cabo su programa logicista. Lo consiguen hasta cierto punto, aunque su sistema lógico era tan complejo que no quedaba claro si era lógica pura o lógica más una serie de conceptos extralógicos. Pero lo cierto es que la aplicación de la lógica a un problema concreto animó a filósofos y matemáticos a aprender la nueva lógica, desarrollarla mejor en tanto que teoría matemática, y aplicarla a diferentes campos de la filosofía y las matemáticas. Los primeros en aplicar la lógica fueron los filósofos del Círculo de Viena. Y a partir de mediados del siglo XX es común aplicarla a campos de la lingüística, la metodología de la ciencia, la informática, etc. El primer manual de lógica simbólica fueron los Elementos de lógica teórica (1928) de David Hilbert y Wilhem Ackermann. Aunque en este breve tratado no se ofrecen muchas innovaciones técnicas, tiene varias virtudes que conviene repasar. (i) Se trata del primer manual de lógica simbólica que puede considerarse contemporáneo debido a su notación, estilo, selección de los temas y organización interna. De hecho es el libro de texto con el que han aprendido lógica muchos de los lógicos de la segunda mitad del siglo XX. (ii) Distingue claramente entre lógica de primer orden y lógica de segundo orden. (iii) En su primera edición de 1928 plantea con una claridad hasta entonces desconocida los problemas metamatemáticos de la corrección, completud y decidibilidad de un cálculo lógico con respecto de un conjunto de tautologías. Fue tras estudiar los Elementos de lógica teórica que Kurt Gödel tomó conciencia del problema del problema de la completud en las lógicas de primer orden y de orden superior. PREGUNTA-CLAVE: Principales aportaciones de Frege a la lógica. ¿En qué sentido relaciona lógica y matemática de forma distinta a Boole? Su programa logicista.

Conclusión Hemos visto cómo puede trazarse una historia coherente de la lógica desde Aristóteles hasta bien entrado el siglo XIX. Su objeto de estudio, según esta historia, fue siempre el razonamiento válido. Y su división interna comprendía las siguientes secciones: teoría del concepto, teoría del juicio, teoría del razonamiento, teoría general de la ciencia, esta última como añadido de la Edad Moderna, que además imprimió un sesgo psicologista en la lógica que no se corrige hasta el siglo XX, donde el objeto de la lógica vuelve a ser de nuevo el discurso argumentativo y no el pensamiento.

Bibliografía y webgrafía Fuentes primarias (por orden cronológico) Aristóteles (1994). Tratados de lógica (Órganon) I: Categorías. Tópicos. Sobre las refutaciones sofísticas. Madrid: Gredos. Original del IV a.C. Aristóteles (1995). Tratados de lógica (Órganon) II: Sobre la interpretación. Analíticos Primeros. Analíticos Segundos. Madrid: Gredos. Original del IV a.C. Arnauld, A., Nicole, P. (1987). La lógica o el arte de pensar. Madrid: Alfaguara. Original: La Logique, ou l’Art de Penser, 1662. Boole, G. (1984). El análisis matemático de la lógica. 2ª ed. Madrid: Cátedra. Original: The Mathematical Analysis of Logic, 1847. Frege, G. (1972). Conceptografía. En Frege, Conceptografía. Los fundamentos de la aritmética. Otros escritos filosóficos. México: UNAM. Original: Begriffsschrift, 1879. Fuentes secundarias Bocheński, I.M. (1985). Historia de la lógica formal. Madrid: Gredos. Original: Formale Logik, 1956. [Influyente historia de la lógica. Su estructura, muy poco habitual, alterna cientos de textos originales y comnetario a los mismos.] Couturat, L. (2008). “Compendio de silogística”. En C. García Trevijano, El arte de la lógica. 4ª ed. Madrid: Tecnos, 11993, pp. 203-218. Original de 1901. [Buena exposición, muy condensada, de los principales conceptos de la silogística. Su exposición del cálculo no es, sin embargo, demasiado completa.] Garrido, M. (2007). Lógica simbólica. 4ª ed. Madrid: Tecnos, 11974. [Contiene un apéndice sobre historia de la lógica.] Kneale, W., Kneale, M. (1972). El desarrollo de la lógica. Madrid: Tecnos. Original de 1962. Hay segunda edición en inglés, no traducida, de 1984. [Uno de los tratados de historia de la lógica más leídos en la segunda mitad del siglo XX. Algunos capítulos están algo desfasados, pero sigue siendo una de las mejores obra de referencia que cubre todo la histora de la lógica.] Mates, B. (1985). Lógica de los estoicos. Madrid: Tecnos. Original de 1953. [Reconstrucción de la lógica de los estoicos.] Mates, B. (1987). Lógica matemática elemental. Madrid: Tecnos. Original de 1965. [Contiene un apéndice sobre historia de la lógica.] Nidditch, P.H. (1987). El desarrollo de la lógica matemática. 4ª ed. Madrid: Cátedra. Original de 1962. [Libro muy breve que recoge los hitos fundamentales de la historia de la lógica.] Woods, J., Gabbay, G.M. [eds.] (2004–). Handbook of the History of Logic. 9 vols. Amsterdam: Elsevier. [Todavía en curso, es el proyecto editorial más ambicioso ligado a la historiografía de la lógica. Sus capítulos son excelentes y muy detallados.]

Guión-resumen 1. La historia de la lógica como disciplina  La lógica es el estudio de la validez formal de los argumentos.  Lógica antigua: siglos IV y III a.C. en la Grecia clásica.  Lógica escolástica: siglos XII a XV en la Europa occidental.  Lógica simbólica: desde la década de 1840 hasta el presente  Enfoque: Haremos historia de todo aquello que en el pasado ha contribuido a forjar lo que hoy entendemos por lógica, no de aquello que entonces pasaba por ser lógica. Se trata del enfoque interno. 2. La lógica en la Antigüedad 2.1. Retóricos, filósofos y geómetras  Los retóricos buscaban convencer a un auditorio. Ligadas a la retórica estaban la dialéctica y la gramática.  Zenón desarrolla la reducción al absurdo.  Sócrates desarrolla la inducción y la definición.  Platón utiliza diferentes estilos argumentativos.  Los geómetras buscaban métodos seguros para construir sus conceptos y demostrar sus proposiciones. 2.3. La escuela megárico-estoica  Los megáricos se ocupaban de razonamientos proposicionales y utilizaban variables para denotar proposiciones cualesquiera.  Los estoicos desarrollan las ideas de los megáricos.  Crisipo en el siglo III a.C. propone un sistema deductivo basado en 5 reglas, del cual pueden derivarse el resto de verdades lógicas proposicionales.  El condicional recibe dos interpretaciones distintas.  En semántica distinguen entre signo, referencia y sentido (fregeanos).  Formulan y discuten paradojas. 2.4. La silogística de Aristóteles  Analiza las oraciones como sujeto-cópula-predicado, clasificándolas según su cualidad (afirmativas-negativas) y su cantidad (universales/particulares).  La teoría de la inferencia inmediata estudia relaciones entre pares de oraciones.  En Primeros analíticos se estudian los silogismos: de dos afirmaciones con un término común se sigue una tercera donde desaparece ese término.  Hay 24 silogismos válidos, que se demuestran axiomáticamente. La falsedad del resto de silogismos se demuestra mediante contraejemplos.  Los seguidores de Aristóteles desarrollan la silogística, frecuentemente enfrentádola a la lógica megárico-estoica. 3. La lógica durante la Edad Media 3.1. Baja Edad Media  Se conocen las Categorías y De la interpretación traducidos y comentados por Boecio. Discusiones acerca de los universales.  Capella coloca la lógica dentro del trivium.  Pedro Abelardo retoma la dialéctica en Sic et non. 3.2. Alta Edad Media  Redescubrimiento de los Tópicos y los Analíticos primeros.  Pedro Hispano escribe sus Summulae.

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La teoría de las consecuencias revitaliza la lógica estoica. La teoría de la suposición aclara muchas distinciones semánticas. Se formalizan disputas por turnos.

4. La lógica renacentista y moderna  Los humanistas a partir de Petrarca critican la lógica escolástica y proponen recuperar la dialéctica de Aristóteles y los estudios filológicos  Se propone una lógica del lenguaje natural.  La lógica o el arte de pensar (1662) de Arnauld y Nicole se convierte en modelo de libro de texto de lógica durante siglos XVII-XIX. Divide la lógica en cuatro partes: concepto, juicio, razonamiento, método.  La lógica se impregna a partir de entonces de psicologismo.  Leibniz en el XVII realiza interesantes aportaciones que, sin embargo, no serán tenidas en cuenta hasta comienzos del XIX. 5. El nacimiento de la lógica simbólica en el siglo XIX 5.1. El álgebra de la lógica de Boole  Hacia mitad del XIX se aplican razonamientos de tipo algebraico sobre las lógicas de Aristóteles y de los megárico-estoicos.  La obra más influyente de este período es El análisis matemático de la lógica (1847) de Boole.  Peirce investiga la lógica de relaciones.  Schröder recoge la tradición británica del álgebra de la lógica en sus Lecciones sobre el álgebra de la lógica (1890-1905) 5.2. La escritura conceptual de Frege  Con la Conceptografía (1879) de Frege nace la lógica simbólica y también uno de sus primeros retos: el logicismo, un programa de investigación que propone derivar toda la matemática desde la lógica.  Frege construye un lenguaje formal y un cálculo con los cuales razonar acerca de la matemática, y en particular dar un fundamento lógico a la aritmética.  En 1910-1913 se publican los Principia Mathematica de Russell y Whitehead, donde se intenta materializar el programa logicista de Frege.

Cuestionario 1. Los tres grandes períodos de la lógica corresponden a tres variedades de lógica: a) Antigua, escolástica, simbólica. b) Clásica, escolástica, simbólica. c) Clásica, tradicional, formal. d) Antigua, tradicional, formal. 2. El razonamiento por reducción al absurdo consiste en: a) Partir de lo que se quiere demostrar y remontar hasta las premisas. b) Buscar las premisas adecuadas para llegar a una conclusión. c) Partir de la negación de lo que se quiere demostrar y llegar a una contradicción. d) Dar por verdadero lo falso y dar por falso lo verdadero.

3. Sócrates es reconocido por aportar dos cosas: a) Inducción y analogía. b) Inducción y definición. c) Inducción y abdución. d) Inducción y experimentación. 4. ¿Qué afirmación es falsa con respecto de los silogismos? a) Hay tres términos. b) Los enunciados pueden ser universales o particulares. c) Los enunciados pueden analíticos o sintéticos. d) Los enunciados pueden ser afirmativos o negativos. 5. Principal aportación de Boole: a) Derivar la matemática a partir de la lógica. b) Completar la silogística de Aristóteles. c) Definir un cálculo para la lógica de predicados. d) Utilizar ecuaciones algebraicas para representar afirmaciones lógicas 6. Peirce es el primero en incorporar al lenguaje lógico: a) Propiedades. b) Relaciones c) Individuos singulares. d) Oraciones declarativas. 7. ¿Qué disciplinas formaban el trivium? a) Gramática, retórica, lógica. b) Filología y lógica. c) Matemáticas y lógica. d) Ninguna de las anteriores. 8. ¿Cuál de las siguientes teorías no desarrolla Pedro Hispano? a) Propiedades de los términos. b) Predicables. c) Silogismo. d) Método científico. 9. ¿En qué consiste el logicismo de Frege? a) Derivar la lógica a partir de la matemática. b) Derivar la matemática a partir de la lógica. c) Derivar la lógica a partir de la experiencia. d) Derivar la matemática a partir de la experiencia. 10. ¿Qué aporta Frege respecto de las variables? a) Es el primero en utilizarlas. b) Es el primero en cuatificarlas, restringiéndose a la cuantificación de las variables que aparecen dentro de una fórmula que representa un enunciado simple. c) Es el primero en cuantificarlas sin ningún tipo de limitación en cuanto a las apariciones de la variable dentro de la fórmula. d) Es el primero en distinguir variables de término de variables de oración.

Respuestas: 1.a, 2.c, 3.b, 4.c, 5.d, 6.b, 7.a, 8.d, 9.a, 10.c