Cuaderno de ejercicios de calculo diferencial e integral 2009

Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial





M. en A. B. Gustavo Quintana GalindoPágina 46

Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial

Universidad Autónoma del Estado de México

Plantel "Ignacio Ramírez Calzada"
Academia de Matemáticas

Núcleo de formación: Matemáticas

Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial para la asesoría en el área de matemáticas




M. en A. Bernabé Gustavo Quintana Galindo.


JUNIO 2009


INDICE
Presentación………………………………………………………………………………………………4
Tema No.1. Límite de una función. ……………………………………………………………… 6
Ejercicios……………………………………………………………………………… 7
Tema No. 2. Límites trigonométricos……………………………………………………..………8
Ejercicios…………………………………………………………………………………9
Tema No. 3. Continuidad de una función………………………………………………………10
Ejercicios……………………………………………………………………………….11
Tema No. 4 Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales……….12
Ejercicios………………………………………………………………………………..13
Tema No. 5. Incrementos…………………………………………………………………………….14
Ejercicios………………………………………………………………………………..14
Tema No. 6. La derivada de una función……………………………………………………….15
Ejercicios………………………………………………………………………………..16
Tema No. 7. Teoremas para el cálculo de derivadas………………………………………17
Ejercicios………………………………………………………………………………..18
Tema No. 8. Derivada de las funciones trigonométricas directas………………………20
Ejercicios…………………………………………………………………………………21
Tema No. 9. Derivada de las funciones trigonométricas inversas……………………..22
Ejercicios…………………………………………………………………………………23
Tema No. 10. Derivada de las funciones logarítmicas……………………………………..24
Ejercicios…………………………………………………………………………………25
Tema No. 11. Derivada de las funciones exponenciales……………………………………26
Ejercicios………………………………………………………………………………….27
Tema No.12. Derivación logarítmica………………………………………………………………28
Ejercicios………………………………………………………………………………...29
Tema No. 13. Derivadas sucesivas de una función………………………………………….30
Ejercicios…………………………………………………………………………………31
Tema No. 14. Derivación de funciones implícitas…………………………………………….32
Ejercicios…………………………………………………………………………………33
Tema No.15. Ecuación de las rectas tangente y normal a una curva………………….34
Ejercicios…………………………………………………………………………………35
Tema No. 16 Máximos y mínimos de una función……………………………………………36
Ejercicios………………………………………………………………………………..38
Tema No. 17. Problemas de aplicación de máximos y mínimos………………………..39
Ejercicios………………………………………………………………………………..40

GLOSARIO………………………………………………………………………………………………….42

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………………………45








PRESENTACION

El presente Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial pretende apoyar los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura presentando ejercicios resueltos y proponiendo al alumno ejercicios por resolver de uso más frecuente en los temas a tratar.
El alumno al hacer uso frecuente de este cuaderno de ejercicios encuentra un apoyo académico, ya que los ejemplos presentados le permitirán hacer más comprensibles e interesantes la resolución de los ejercicios en el la aplicación a los diferentes tipos de problemas.
Así, los ejercicios que resuelva le proveerán de un conocimiento básico del Cálculo, comprendiendo la materia de un modo más completo. El cuaderno contiene ejemplos de funciones, límites, derivadas y ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva, así como aplicación de los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos.
De esta manera, se pretende apoyar la asesoría a los estudiantes e ir consolidando materiales de sustento académico para el Núcleo de Formación de Matemáticas, por lo que este cuaderno de ejercicios se entrega a los alumnos al inicio del semestre haciendo una revisión personalizada como parte de la clase o en el cubículo como asesoría disciplinaría.

Con la elaboración y uso de este material por parte del alumno se busca desarrollar el razonamiento y la habilidad matemática en el alumno y ampliar la comprensión y utilización del lenguaje básico de las ciencias, lo cual es el propósito del programa de esta asignatura.



















Tema No. 1. Límite de una función.

Definición de función: Decir que limx 0fx=L significa que cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L.

Ejemplo: Encuentre el limx 3x2-x-6x-3

Solución. Note que (x2-x-6)/(x-3) no está definido para x=3, pero todo está bien. Para tener idea de lo que sucede cuando x tiende a 3 se puede usar una calculadora para evaluar la expresión dada; por ejemplo, para 3.1, 3.01, 3.001, etc. Pero es mucho mejor usar un poco de álgebra para simplificar el problema.

limx 3x2-x-6x-3=limx 3x-3(x+2)x-3=limx 3x+2=3+2=5

La cancelación de x-3 en el segundo paso es legítima, ya que la definición pasa por alto el comportamiento preciso de x=3. Por lo tanto, no se ha dividido entre cero.



Ejercicios: Encontrar los siguientes límites:
limx 3(2x-8) Respuesta: -2

limx 32x+1

limx -2x2-3x+1 Respuesta: 11

limx 49+x2x-3

limx 1x2+3x-4x-1 Respuesta: 5

limx 435x+7

limx 15x-51-x

limx 23-4x+1x2-2x Respuesta: -1/3

Calcule el límite por la derecha de la siguiente función: fx=2x2+3

Calcule el siguiente límite, obteniendo sus límites laterales:
limx -4xx Respuesta: -1
Tema No. 2. Límites trigonométricos.

El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los teoremas correspondientes, en los cuales se considera que u=f(x)
Ejemplo: Hallar el valor del límite limx 23x-6cos(x-2)x-2

En este tipo de límites formados por una parte algebraica y una parte trigonométrica, se considera para la trigonométrica que si x 2 entonces x-2 0, así que al aplicar el teorema del límite de un producto de dos funciones, se tiene:

limx 23x-6cos(x-2)x-2=limx 23x-6x-2 . limx 2cos(x-2)

En la parte algebraica, el límite del cociente resulta la indeterminación cero entre cero, por lo que la expresión primero se simplifica y después se obtiene el valor del límite. En la parte trigonométrica, el límite es de la forma limu 0cosu=1, donde u=x-2, entonces
= limx 23(x-2)x-2 . limx-2 0cos(x-2)
= limx 23 limx-2 0cos (x-2)
= (3) (1)
= 3
Ejercicios: Calcular el valor de los siguientes límites.
limx 0sen 5x Respuesta: 0

limx 16cos(x-1)

limx 02x-1cosx Respuesta: -1

limx 33sen2(x-3)x2-6x+9

limx 25x sen (x-2)x2+2x Respuesta: 5

limx 2x-4x2-6x+8cot(x-2)

limx -2x2+3x+2x+2sec(x+2) Respuesta: -1

limx 0sen 5xcos2x

9. limx 27 senx-2sec (x-2)tan(x-2) Respuesta:

10. limx 02 secxcscx Respuesta: 0
Tema No. 3. Continuidad de una función.


Existen tres tipos de discontinuidad de una función, los cuales son: discontinuidad evitable o restringible, discontinuidad infinita o asintótica y discontinuidad de salto.
Ejemplo: Analizar la continuidad de la función fx=x2-4x+2 en x= -2, en caso de que la función sea discontinua, indique a qué tipo de discontinuidad corresponde.
Analizando la condición de continuidad

f-2=(-2)2-4-2+2=00 No está definido en los números reales.

limx -2x2-4x+2= limx -2x+2(x-2)x+2= limx -2x-2=-4

Existe en los números reales.

Por lo tanto f-2 limx -2x2-4x+2 No se cumple la condición de continuidad, se presenta una discontinuidad evitable o restringible.


Ejercicios: Analizar si las funciones siguientes son continuas o no en 2; si no lo es, explique por qué.

fx=4x2-2x+12 Respuesta: si

fx=8x-2

gx=3x2x-2 Respuesta: no, porque g (2) no existe.

gx=x-1

hx=x-3 Respuesta: no, porque h (2) no existe.

hx=3-5x2

gt=t3-8t-2 Respuesta: no, porque g (2) no existe.

gt=4t-8t-2










Tema No. 4. Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales.


Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una función algebraica racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar con cero el denominador.
Ejemplo: Encuentre los puntos de discontinuidad de la función
fx=2xx2-3x
Igualando con cero el denominador:
x2-3x=0
Resolviendo por factorización:
xx-3=0
x=0 x=3
Por lo tanto, la función es discontinua en x=0 y en x=3.

Calculando el límite de la función en estos dos puntos

Para x=0
limx 02xx2-3x= limx 02xx(x-3)=limx 02x-3=-23

La función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto (0,-2/3)
Ejercicios: Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones, trace la gráfica e indique el tipo de discontinuidad que se presenta.

1.fx=3x-4x-2 Respuesta: Disc. evitable x=2

2. fx=5x-3

3. fx=2x+1x2-4x+3 Respuesta: Disc. infinita x=1 y x=3

4. fx=8x2

5. fx=6x+3x3+5x2-6x Resp: Disc., infinita x=-6, x=0, x=1

6.fx=x3-5xx2-4

7. fx=2xx2+1 Respuesta: Continua




Tema No. 5. Incrementos.

Se llama incremento de la función f(x) a la diferencia del valor final con el valor inicial y se denota por fx, eso es:
fx=fx2-f(x1)
Ejemplo: Dada la función fx=x2-4x+3, obtenga el incremento de la función.
El incremento de la función se obtiene con:
fx=fx+ x-f(x)
Como fx=x2-4x+3
Entonces fx+ x=(x+ x)2-4x+ x+3
=x2+2x x+ x2-4x-4 x+3
Al efectuar la diferencia se obtiene el incremento de la función, esto es
fx=x2+2x x+ x2-4x-4 x+3-x2-4x+3
=(2x+ x-4) x
Ejercicios: Determine el incremento de las siguientes funciones
fx=2x-1

fx=3x2-4x+5

fx= x2+5x-7
Tema No. 6. La derivada de una función.

La derivada de una función en cualquiera de sus puntos, geométricamente representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Ejemplo: Obtenga la derivada de la función fx=3x2+4x-5
Aplicando la definición de derivada:
Dxfx=limh 0fx+h-f(x)h
Resulta:
= limh 03(x+h)2+4x+h-5-(3x2+4x-5)h
Elevando el binomio (x+h) al cuadrado y realizando los productos indicados, se tiene:
=limh 03x2+2xh+h2+4x+4h-5-3x2-4x+5h
=limh 03x2+6xh+3h2+4x+4h-5-3x2-4x+5h
Simplificando
=limh 06xh+3h2+4hh

Realizando la división
=limh 0(6x+3h+4)
Finalmente, calculando el límite cuando h 0 se obtiene la derivada de la función
Dxfx=6x+4

Ejercicios: Utilizando la definición, calcule la derivada de las siguientes funciones.
fx=2x3 Respuesta: 6x2
fx=3x4+7
fx= x2+x+6 Respuesta: 2x+1
fx= 2 x5
fx=-2x4 Respuesta: 8x-5
fx=2x4-3x
fx=9-3x-2x2 Respuesta: -3-4x
fx=5x-3
9.fx=1x+3 Respuesta: -1(x+3)2
10. fx=34 x+13






Tema No. 7. Teoremas para el cálculo de derivadas.


Una forma más simple que la aplicación de la definición para calcular la derivada de una función real de variable real, es mediante el uso de teoremas, los cuales se obtienen a partir de la definición y que pueden ser consultados en el libro de texto y en el formulario o prontuario de cálculo.

Ejemplo: Calcular la derivada de la función fx=23x2
Transformando la función a la forma de potencia
fx=23 x-2
Aplicando el teorema y simplificando, se tiene la derivada de la función.
Dxfx=23 -2x-3
=-43 x-3
=-43x3



Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.
fx=-3x-3 Respuesta: 9x-4
fx=5x7+2x-6
fx= -8x10 Respuesta: -80x-11
4.fx=5x4-2x3+6x-2
5. fx=35x5 Respuesta: -6x-6
6. fx=4x10+12x7-5x4+8
7. fx= 6x Respuesta: 166x5
8. fx= 1x+1x2-1x3
9. fx=3x-5+2x-3 Respuesta:-15x-6-6x-4
10. fx=3x3-33x+3x3-3

Ejemplo: Obtenga la derivada de la función fx=3x2-2x3x

Se desea calcular la derivada de un cociente de la forma:
Dxf(x)g(x)=gxDxfx-fxDxg(x)g(x)2
Aplicando el teorema correspondiente
=3x6x-2-3x2-2x(3)(3x)2=18x2-6x-9x2+6x9x2
=9x29x2=1
Ejercicios: Calcular la derivada de las siguientes funciones.
fx=x2+2(x3+1) Respuesta: 5x4+6x2+2x
fx=x4-1(x2+1)
3.fx=13x2+1 Respuesta: -6x(3x2+1)2
4. fx=25x2-1
5. fx=x-1x+1 Respuesta:2(x+1)2
6. fx=2x-1x-1
7. fx=(1-x)2 Respuesta: 2x-2
8.fx=(5x2-3x)5
9.fx=5(2x2-3x+1)3 Respuesta: 12x-955(2x2-3x+1)2
10. fx= (2x-5)72x









Tema No. 8. Derivada de las funciones trigonométricas directas.


La derivada de las seis funciones trigonométricas directas se obtienen aplicando los teoremas correspondientes que pueden ser consultados en el texto o en el prontuario o formulario.

Ejemplo: Hallar la derivada de la función fx=tan4x3-2 cot x2+sec (2x-1)

Se tiene la derivada de una suma de tres funciones, aplicando los teoremas correspondientes para obtener la derivada de cada término y simplificando, se tiene:

Dxfx=sec24x3Dx4x3+ 2 csc2x2Dxx2
+sec2x-1tan2x-1Dx(2x-1)

=12x2sec24x3+4x csc2x2+2sec2x-1tan(2x-1)



Ejercicios: Obtenga la derivada de las siguientes funciones
fx=sen 3x-1 Respuesta: 3 cos (3x-1)
fx=cos2x7
fx=tan3x Respuesta: sec23x33x2
fx=sec (1-2x-x3)
fx=sen 5x+cos5x Respuesta: 5 cos 5x- 5 sen 5x
fx=cotx-csc3x
fx= tan5x5 Repuesta:25x4tan4x5sec2x5
fx= sen22x
fx= 2x-1tan5x
fx=cos (tan3x) Respuesta: -3 sec23x sen(tan3x)













Tema No. 9. Derivada de las funciones trigonométricas inversas.


Para calcular la derivada de las funciones trigonométricas inversas, se aplican los teoremas correspondientes que pueden consultarse en el texto o en el prontuario o formulario.

Ejemplo: Calcule la derivada de la función fx=arc sen (4-5x3)
Sí u= 4-5x3, utilizando el teorema Dx arc sen u=11-u2 Dxu se tiene:
Dxfx=11-(4-5x3)2 Dx(4-5x3)

=-15x21-(4-5x3)2





Ejercicios: Derive las siguientes funciones:
fx=arc sen 2x-1 Respuesta:21-(2x-1)2

fx=arccos(x2+3)

3.fx=arc tan (1+x+x2) Respuesta:1+2x1+(1+x+x2)2

4. fx=arccot(3x2-1)

5. fx=arcsec5-x Respuesta:-15-x5-x2-1

6. fx=arccsc3x

7. fx=arccotx Respuesta:-12x(1+x)-1

8. fx= arc sen 2x

9. fx= arctan5xcot7x

10. fx=( arc sen 3x)5 Respuesta:15(arc sen 3x)41-9x2

Tema No. 10. Derivada de las funciones logarítmicas.


Para calcular la derivada de una función logarítmica, se aplican los teoremas correspondientes que pueden ser consultados en el texto o en el prontuario o formulario.

Ejemplo: Calcule la derivada de la función log3(x3-x2+1)
Considerando u= x3-x2+1 , aplicando el teorema
Dxlogau=1ulogae Dxu se tiene:

Dxfx=1x3-x2+1log3e(3x2-2x)
=3x2-2xx3-x2+1log3e
Ejemplo: Determine la derivada de la función y=ln (6x2+3x)
Considerando u=6x2+3x, aplicando el teorema Dxlnu=1uDxu, se tiene
Dxy=16x2+3x(12x+3)
=12x+36x2+3x

Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.
fx=log2(x4-4x2) Respuesta:4x3-8xx4-4x2 log2e

fx=ln(2x2-x)

fx=tan (lnx2)

fx=lnsen x+ln(tan3x)

5. fx=ln(tan23x) Respuesta: 6sec23xtan3x

6. fx=cos4xlog5x

7. fx=log5(sen 2x)

8. fx=log2(arccosx-x2)

9. fx=arc cos ( lnx2)

10. fx= 1+ln3x Respuesta: 12x1+ln3x

Tema No. 11. Derivada de las funciones exponenciales.


Para calcular la derivada de una función exponencial, se aplican los teoremas correspondientes, los cuales pueden ser consultados en el libro de texto, en formulario o prontuario.
Ejemplo: Obtener la derivada de la función fx= 7x2+x

Considerando u= x2+x, aplicando el teorema Dxau=aulnaDxu, se tiene:
Dxfx=7x2+x ln7 Dx(x2+x)
Calculando la derivada indicada y ordenando los términos, se tiene la derivada de la función
=2x+17x2+x ln7
Ejemplo: Calcular la derivada de la función gx=ecos2x
Considerando u=cos2x, aplicando el teorema Dx eu=euDx u, se tiene:
Dxgx=ecos2xDxcos2x
Calculando la derivada y ordenando los términos, se tiene la derivada de la función
=-2 sen 2x ecos2x

Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.

fx=2x-2 Respuesta:2x-2 ln2

fx= 74-x

fx= 3sen 3x

fx= 43x2+x

fx= ex2+3x-8

6.fx= ecosx3 Respuesta: -3x2 sen x3 ecosx3









Tema No.12. Derivación logarítmica.


Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función elevada a otra función y para efectuar la demostración de teoremas para el cálculo de derivadas.
Para este proceso se utilizan las siguientes propiedades de los logaritmos:
lnA B=lnA+lnB
lnAB=lnA-lnB
lnAn=nlnA

Ejemplo: Calcular la derivada de la función fx=x5x
Igualando la función con y
y=x5x
Aplicando el logaritmo natural
ln y=lnx5x
Aplicando la propiedad de los logaritmos
ln y=5x lnx
Derivando con respecto a x ambos miembros de la igualdad
1y Dx y=5x Dxlnx+lnx Dx(5x)
=5x1x+5 lnx=5+5lnx
Despejando Dxy Dxy=y(5+5 lnx)
Sustituyendo y=x5x
Dx x5x=5x5x+5x5xlnx

Ejercicios: Utilizando el proceso de derivación logarítmica, obtenga la derivada de las siguientes funciones.

fx=(3x)2x Respuesta: 3x2x(2+2ln3x)

fx= (3x2)cos2x

fx=(cos3x)x+2 R:(cos3x)x+2(-3x-63x+lncos3x)

fx= (x5-5x2)5x-6

fx=( sen x2)cot(3x-1)











Tema No. 13. Derivadas sucesivas de una función.


Al derivar una función real de variable real continua, se obtiene como resultado una nueva función, la cual se puede dividir nuevamente. A la derivada de la derivada de una función se le llama segunda derivada y a las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se llaman derivadas de orden superior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada la ordinaria.
Ejemplo: Obtenga la quinta derivada de la función
fx= x7+2x6-5x4+8x3-2x+2
La primera derivada de la función es:
Dxfx=7x6+12x5-20x3+24x2-2
La segunda derivada
Dx 2 fx=42x5+60x4-60x2+48x
La tercera derivada
Dx3 fx=210x4+240x3-120x+48
La cuarta derivada
Dx4 fx=840x3+720x2-120
La quinta derivada
Dx5 fx=2520x2+1440x

Ejercicios: Obtenga la quinta derivada de las siguientes funciones.

fx=2x5-2x3 R: 240

fx=cos5x-3

fx=sen 3x-2

fx=4x2-5

fx=2x-1 R.105(2x-1)9




















Tema No. 14. Derivación de funciones implícitas.


Una función real de variable real es implícita cuando en su regla de correspondencia ninguna variable está despejada en términos de la otra. La derivada de una función implícita se puede determinar con respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita. Al derivar funciones implícitas, es común aplicar la regla de la cadena. El procedimiento para esta derivación se puede consultar en el libro de texto y en el formulario o prontuario.

Ejemplo: Mediante derivación implícita, obtenga la derivada con respecto a x de la función
3x4y2+3x2=xy+7
Derivando con respecto a x
Dx3x4y2+Dx(3x2)=Dxxy+Dx(7)

Aquí se debe tener en cuenta que para derivar los términos 3x4y2 y xy se debe aplicar el teorema de la derivada de un producto.


Calculando las derivadas y representando por y ´ la derivada de y con respecto a x.
6x4yy´+12x3y2+6x=xy´+y
Reordenando y como se desea obtener el valor de y´, los términos que contiene a y´ se agrupan en el primer miembro, factorizando los términos
y'6x4y-x=y-12x3y2-6x
Despejando y', se tiene la derivada de la función con respecto a x.
y'=y-12x3y2-6x6x4y-x

Ejercicios: Derive implícitamente con respecto a x las siguientes funciones
xy+x3=y2 R: y'=y+3x22y-x

x3+y2+cosxy=3xy

x2+sen x2=y2-cosy

x3+y2=arc sen 5x






Tema No.15. Ecuación de las rectas tangente y normal a una curva.


Una de las aplicaciones de la derivada, que tiene una utilidad inmediata, y que se apoya en la definición e interpretación geométrica de la derivada de una función real de variable real continua, consiste en la obtención de la ecuación de la recta tangente y normal en un punto determinado de la curva. Mediante la derivada se obtiene la pendiente y se aplican las ecuaciones de la geometría analítica para rectas
Ejemplo: Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la curva fx=2x3+3x2-5x+3 en el punto de abscisa x=0.
La ordenada del punto de tangencia, se calcula sustituyendo x=0 en la ecuación de la curva.
f0=3
Entonces el punto de tangencia es P (0,3).
La pendiente de la recta tangente, se obtiene derivando y valuando la función en la abscisa del punto de tangencia. La derivada de la función es:
f'x=6x2+6x-5
El valor de la pendiente de la recta en el punto de tangencia es:
m=f'0=-5
Aplicando los valores anteriores en la ecuación de recta conociendo un punto y la pendiente, para obtener la ecuación de la tangente:
y-3=-5x-0
5x+y-3=0
La ecuación de la normal es:
y-3=15x-0
x-5y+15=0
Se obtiene el ángulo de inclinación de la recta tangente, esto es:
=angtanm=angtan(-5)
= 101º
Se obtiene el ángulo de inclinación de la recta normal sumando 90° al ángulo de la recta tangente, esto es:
β=101º+90º=191º
Ejercicios: Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en el punto indicado, graficando en cada caso la curva y ambas rectas en el mismo plano.
fx= x2-3, en x=1 R: 2x-y-4=0, x+2y+3=0

fx=3x2+6x-5, en x=1


Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva y=x2-3x-10 , con ángulo de inclinación de 135°.

fx=4-x2 en x=-2 R: 4x-y+8=0, x+4y+2=0
Tema No. 16 Máximos y mínimos de una función.


La principal utilidad al obtener los puntos máximos y mínimos de una función, así como los intervalos donde es creciente y decreciente es para realizar un esbozo general de la gráfica de la función, sin embargo, en problemas de aplicación el objetivo principal es determinar los valores máximos o mínimos que optimicen el problema.

Para determinar los puntos máximos y mínimos de una función, así como los intervalos donde es creciente y decreciente, se emplea el procedimiento que marca el libro de texto utilizando el criterio de la primera y segunda derivada.

Ejemplo: Obtenga los puntos máximos y mínimos de la función
fx=x3-3x2-9x+3 , así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente.
Derivando la función
f'x=3x2-6x-9
Igualando con cero la primera derivada
3x2-6x-9=0

Simplificando y resolviendo la ecuación, se tiene la abscisa de los puntos críticos
x2-2x-3=0
x-3x+1=0
x-3=0 x+1=0
x=3 y x=-1
Calculando la segunda derivada de la función
f''x=6x-6
Valuando la segunda derivada en los puntos críticos.
X
f''x=6x-6

-1
6(-1)-6=-12
f''x0 entonces se tiene un mínimo en x=3

Valuando los puntos críticos en la función original, se tiene el valor de sus ordenadas
x
fx=x3-3x2-9x+3

-1
(-1)3-3(-1)2-9(-1)+3= 8
Entonces se tiene un máximo en (-1,8)
3
-3(3)2-93+3=-24
Entonces se tiene un mínimo en (3,-24)

A partir de estos datos, se determinan los intervalos donde la función es creciente o decreciente, es importante tener en cuenta que estos mismos intervalos también es posible obtenerlos mediante la primera derivada de la función.
La función es creciente en: x - ,-1 y en (3, )
La función es decreciente en: x (-1,3)
Se deja al estudiante el trazo de la gráfica.
Ejercicios: Trace la gráfica de las siguientes funciones determinando sus puntos máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente.

fx=x2+6x-1 R: D - ,3,Min-3,10, C(-3, )

fx=3x2-4x-2

fx=3-8x-x2

fx=2x3-7x+2

fx=2x3-3x2 R: C(- ,-4), máx-4,19, D(-4, )












Tema No. 17. Problemas de aplicación de máximos y mínimos.

Algunos problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o un mínimo, pueden resolverse con la teoría que se ha desarrollado hasta el momento.
La aplicación principal de este tipo de problemas se presenta en problemas de optimización, en los cuales se pide obtener uno o varios valores máximos o mínimos. No existe un método general que se pueda aplicar para resolver todos los problemas de este tipo, pero en el libro de texto se hacen algunas recomendaciones que el estudiante puede consultar.
Por problema práctico entendemos un problema que puede surgir en la vida cotidiana. Tales problemas en raras ocasiones tienen puntos singulares; por lo regular en éstos los valores máximos y mínimos se presentan en puntos estacionarios, aunque también deberán comprobarse los puntos frontera.

Ejemplo: Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por la ecuación h=-t2+8t-13, donde h es la altura en metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima y el valor de ésta.
En este caso la función objetivo a maximizar es h=-t2+8t-13

Derivando la altura con respecto al tiempo, igualando a cero y resolviendo la ecuación
h'=-2t+8
-2t+8=0
t=4
Por lo tanto el punto crítico se presenta cuando t=4
La segunda derivada es h''=-2
En el punto crítico h''4=-2