Coordenadas Polares de un punto

Área en coordenandas polares

Coordenandas polares de un punto

Características

En la siguiente figura se tiene un punto P de coordenandas cartesianas (x,y), de modo que el segmento OP de longitud r forma un ángulo θ con el eje x

1. El ángulo θ siempre tiene su vértice en el polo y su lado inicial está a lo largo del eje polar; se mide a partir de su lado inicial en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj si es positivo, y en sentido de las manecillas del reloj si es negativo.

P ( x, y ) r

θ >0 ϕ > 0 ® -ϕ < 0

y

θ x

0

θ

-ϕ

Q

En referencia al triángulo OPQ de la figura, puede observarse que:

ì x ï ï ïcos θ = r ï í ï y ï senθ = ï ï r ï î

Además, si

θ > 0 , ϕ > 0 y θ + ϕ = 2π

entonces:

cos (-ϕ ) = cos (θ - 2π ) = cos θ cos (2π ) + sen θ sen (2π ) = cos θ

x = r cosθ

sen (-ϕ ) = sen (θ - 2π ) = sen θ cos ( 2π ) - sen (2π ) cos θ = sen θ

y = rsen θ x2 + y2 = r 2

Por lo tanto:

P ( x, y ) Los números

r

y

θ

forman una pareja

ordenada que se denota como (r, θ), que son las coordenadas polares del punto P.

x = r cos θ = r cos (-ϕ )

r -ϕ

θ

y = r senθ = r sen (-ϕ )

g P = (r ,θ ) r

θ 0

Polo

Eje Polar

Así que ( r, θ) y (r, -φ) son coordenadas polares del mismo punto P, cuyas coordenadas cartesianas son (x,y). De hecho, en un sistema de coordenadas polares hay múltiples parejas ordenadas que son coordenadas de un mismo punto P.

Área en coordenandas polares

Ejemplo:

æ 5π ö÷ çè 6 ÷ø÷

Representar gráficamente el punto P = çç2,

5π

Primero se traza el angulo θ = 4 expresa en grados:

2. Dos ángulos en posición normal (vértice en el polo y lado inicial a lo largo del eje polar) que tienen el mismo lado terminal, son segunda coordenada polar de cada punto sobre el lado terminal de dichos ángulos, como se ilustra a continuación:

, para ello se

æ 2π P = çç3, çè 3

5π 180 5 ×180 × = = 150° 6 π 6

ö÷ æ 4π ÷÷ = ççç3, ø è 3 2π 3

-4π 3

Con el transportador en dirección contraria al movimiento de las manecillas del reloj, se traza un ángulo de 150° con su lado inicial a lo largo del eje polar

æ 2π P = çç3, çè 3 g

ö÷ ÷÷ ø

2π 3

150° Eje polar

θ Polo

-16π 3

0

5π 6

θ 0

3. Si P = ( r , θ ) , en donde r es un número negativo, digamos que r=-m, con m>0; es decir, (r , θ ) = (-m, θ ) , en donde m>0, entonces la representación gráfica de P es un punto que es el simétrico respecto al polo del punto que representa gráficamente al punto (m, θ ) , como se ilustra a continuación:

æ 2π ç g ççè3, 3

Luego se localiza el punto que está sobre el lado terminal del ángulo a dos unidades de distancia del polo. Dicho punto es la representación gráfica del punto P, lo cual se muestra en la siguiente figura:

æ 5π P = çç2, çè 6 g

ö÷ ÷÷ ø

ö÷ ÷÷ ø

ö÷ ÷÷ ø

2π 3 0

-4π 3

æ 2π P = çç-3, ç è 3 g

5π 6

g æ π ö çç2, ÷÷ çè 4 ø÷

θ 0

π 4 -7π 4 g

0 æ π ö æ 7π P = çç-2, ÷÷÷ = çç-2, ç èç ø è 4 4

ö÷ ÷÷ ø

ö÷ æ 4π ÷÷ = ççç-3, ø è 3

ö÷ ÷÷ ø

Área en coordenandas polares

g

æ π ö æ 5π P = çç-4, - ÷÷÷ = çç-4, èç 3 ø èç 3

5π 3

ö÷ ÷÷ø

0 -

π 3

æ π ö÷ g çççè4, - ÷÷ø 3