CONVOLUCION Y TRANSFORMADA DE FOURIER

DEMOSTRACIONES DE CONVOLUCION Y TRANSFORMADA DE FOURIER
I. CONVOLUCION
Sean dos señales ut y v(t) totalmente integrales en R, su convolucion esta dada por la siguiente formula:
(u*v)t=- usvt-sds
Una de las señales debe ser acotadas en R y la otra debe ser totalmente integrable en R.
Teorema 1: La convolución es conmutativa
Demostración. Hacemos el siguiente cambio de variable t-s=λ, de modo que:
u*vt=- usvt-sds=- - ut-λvλdλ….(Cambio de variable)
u*vt=- vλut-λdλ=v*ut
u*vt=v*ut

Teorema 2: La convolucion es asociativa.
Sean tres señales ut, vty w(t) , su convolucion viene dada por:
ut*vt*wt=ut*vt*wt=ut*(vt*wt)
Demostracion:
Usando la definición de convolucion:
ut*ht=- usht-sds
Tenemos:
C1=ut*vt*wt=[- usuvvt-suvdsuv]*w(t)
La expresión global quedaría:
C1=ut*vt*wt=- [- usuvvsvw-suvdsuv]w(t-svw)dsvw]
Para:
C2=ut*vt*wt=ut*[- vsvwwt-svwdsvw]
C2=ut*vt*wt=- usuv[- vsvwwt-suv-svwdsvw]dsuv
Lo que yo quiero probar es:
C1=C2
- - usuvvsvw-suvw(t-svw)dsuvdsvw=- - usuvvsvwwt-suv-svwdsvwdsuv

Hacemos el siguiente cambio de variable: λ=suv+svw y dλ=dsuv entonces:
C2=- - uλ-svwv(svw)wt-λdλdsvw
Luego hacemos el siguiente cambio de variable: θ=λ-svw y dθ=-dsvw
C2=-- - uθv(λ-θ)wt-λdλdθ
C2=- - - uθv(λ-θ)wt-λdλdθ
Entonces, nos queda:
- - usuvvsvw-suvw(t-svw)dsuvdsvw=- - - uθv(λ-θ)wt-λdλdθ
Teorema 3: La convolucion es distributiva
Sean tres señales ut, vty w(t) , se cumple que:
ut*vt+wt=ut*vt+ut*w(t)
Demostración:
ut*vt+wt=- utvt-s+wt-sds
ut*vt+wt=- utvt-sds+- utwt-sds
ut*vt+wt=ut*vt+ut*w(t)
Teorema 4: La convolucion es bilineal
Sean tres señales ut, vty w(t) , se cumple que:
αut+βvt*wt=αut*wt+β(vt*wt)
Demostración:
αut+βvt*wt=- αus+βvswt-sds
αut+βvt=- αuswt-sds+- βvswt-sds
αut+βvt=α(ut*wt+β(vt*wt)

Teorema 5: Propiedad de escalabilidad
Sea:
yt=ut*ht y zt=uat*hat, a>0
Entonces:
zt=- uashat-sds
Demostración:
Haciendo el siguiente cambio de variable: λ=as, ds=dλa, para a>0
zt=1a- uλhat-λdλ
Donde:
yt=ut*ht=- usht-sds
Entonces podemos definir, las siguientes relaciones:
zt=1ayat
1ayat=uath(at)
Entonces quedaría:
yat=auath(at)

Teorema 6: Propiedad de desplazamiento en el tiempo
ut+a*vt+b=z(t+a+b)
Donde:
zt=- usvt-sds
Demostración:
ut+a*vt+b=- us+avt+b-sds
Aplicando el cambio de variable: s+a=r
ut+a*vt+b=- urvt+a+b-rdr
ut+a*vt+b=z(t+a+b)
Teorema 7: Si ut y v(t) son señales continuas y totalmente integrables en R, entonces su convolucion ut*v(t) es tambien una señal totalmente integrable. Se verifica la desigualdad.
ut*v(t)L1(R) u(t)L1(R)v(t)L1(R)
Antes de demostrar dicho teorema, definimos el teorema de fubini.

Teorema de Fubini:
Afirma que si :
fx,y=fxg(y)d
Entonces:
AfxdxBgydy=AXBfxgyd(x,y)
Demostración:
Ahora retomemos la demostración:
ut*vtL1R=- ut*vtdt
ut*vtL1R=- - usvt-sdsdt
ut*vtL1R - - usvt-sdsdt
ut*v(t)L1(R) - - u(s)dsv(t-s)dt (Aplicando Fubini)
ut*v(t)L1(R) u(t)L1(R)- v(t-s)dt=u(t)L1(R)v(t)L1(R)









II. TRANSFORMADA DE FOURIER
Sean las siguientes funciones: f1t y f2(t) y sus transformadas de Fourier son:
F1=- f1(t)e-jωtdt
F2=- f2(t)e-jωtdt
Sus transformadas inversas son:
f1t=12π- F1(ω)ejωtdω
f2t=12π- F2ωejωtdω
Entonces:
Teorema 1:
f1*f2=F-1[F1ωF2ω]
Demostración:
f1*f2=- f1sf2t-sds
f1*f2=2π- f1s[12π- F2(ω)ejω(t-s)dω]ds
f1*f2=2π- F2ω[12π- f1(s)e-jωsds]ejωtdω
f1*f2=2π- 12πF2ωF1(ω)ejωtdω
f1*f2=2πF-1[F1ωF2ω]

Teorema 2:
F-1F1ω*F2ω=2πf1f2

Demostración:
F-1F1ω*F2ω=F-1[- F1sF2ω-sds]
F-1F1ω*F2ω=12π- [- F1sF2ω-sds]ejωtdω
Hacemos el siguiente cambio de variable: ω-s=x, ω=x+s, dω=dx
F-1F1ω*F2ω=12π- [- F1sF2xds]ej(x+s)tdx
F-1F1ω*F2ω=12π- F1s- F2(x)ejx+stdxds
F-1F1ω*F2ω=12π- F1sejst[- F2(x)ejxtdx]ds
Multiplicamos y dividimos por 2π
F-1F1ω*F2ω=2π[12π- F1ωejωtdω][12π- F2(ω)ejωtdω]
F-1F1ω*F2ω=2πf1tf2(t)

Teorema 3:
La transformada de Fourier de la convolucion de dos funciones f1t y f2(t) es la multiplicación de las transformadas de Fourier de ambas funciones.
Ff1t*f2t=F1ωF2(ω)
Demostración:
Ff1t*f2t=- [- f1sf2t-sds]e-jωtdt
Ff1t*f2t=- f1s[- f2(t-s)e-jωtdt]ds
Pero:
- f2(t-s)e-jωtdt=Ff2t-s=F2(ω)e-jωs
Finalmente reemplazamos en la expresión:
Ff1t*f2t=- f1sF2ωe-jωsds
Ff1t*f2t=- f1se-jωsdsF2(ω)
Ff1t*f2t=F1ωF2(ω)