Control Pi para un sistema motor generador

Control PI por el método del LGR para el sistema de velocidad .

Abstract: The following report presents the design, synthesis and analysis of a PI control for DC motor , which must meet certain design requirements such as Mp < 5% and ts = 80% of the time of establishment of open loop.

I. INTRODUCCIÓN En este informe se presenta la forma en la que se diseña e implementa un controlador de tipo proporcional-integral, PI, en el control de alimentación de un motor-generador para que en la salida del generador se establezca una señal que cumpla con unos requerimientos de tiempo de establecimiento y sobrepaso máximo dados. A partir de la función de transferencia calculada en la primera práctica se genera el gráfico del lugar geométrico de las raíces, y con las especificaciones dadas, se encuentra el polo deseado por el cual se quiere que pase el lugar geométrico. II. OBJETIVOS Diseñar un control de velocidad de un motor DC por medio de un controlador tipo PI para que el sistema de lazo cerrado tenga un tiempo de establecimiento t s igual al 80% del tiempo de establecimiento que tenía el sistema de lazo abierto, adicionalmente se requiere un error de estado estacionario a entrada escalón unitario de cero (ep = 0) y con sobrepaso máximo menor o igual al 5%, o Mp ≤ 5%.

III. DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Los cálculos realizados para el diseño del controlador por el método del lugar geométrico de las raíces son los siguientes: Usando la función de transferencia del sistema motor-generador , se diseñó el controlador para esto con el objetivo que el sistema cumpla con el requerimiento de máximo sobrepaso sin estar en sus valores críticos; con el se encuentra el valor del termino .

Con el tiempo de establecimiento se puede calcular el término , el ts (80%) debe ser igual a 338 ms, con esto:

El polo deseado es el siguiente:

Ángulo de la planta en el polo deseado: Implementar el controlador diseñado a partir de amplificadores operacionales.

Se asume y con el valor del cero de la función de transferencia se halla el valor de : Se halla el ángulo del controlador:

Se utiliza un controlador tipo PI:

Se asumen los valores de valor de :

y

para hallar el

y

Se calcula el ángulo que aporta el polo del controlador en el polo deseado:

Con el ángulo encontrado se halla el ángulo que aporta el numerador de la función de transferencia del controlador PI:

Debido a los cálculos obtenidos se define el siguiente controlador PI: C1

R2 718.1kΩ

100nF

VCC

Se procede a calcular el valor del término constante a, del cero del controlador PI:

R4 15V 2.2kΩ

4

R1

U1A

2

error

4

R3

510kΩ

1

1.5kΩ

3 8

LF353P

U1B

6 7

planta

5 8

VEE

LF353P

-15V

Para calcular las ganancias proporcional e integral del controlador se usa la condición de magnitud:

Con la función de transferencia del controlador encontrada se implementa el circuito con amplificadores operacionales, la función de transferencia del diseño es:

Fig 1. Circuito implementado para el controlador PI.

IV.

SIMULACIONES

Se simuló el controlador PI en Simulink, se utilizó un bloque de saturación con valores de VOH= 14 V y VOL = -13.5 V. Con dos bloques de función de transferencia se simularon la planta y el controlador, con un bloque de ganancia se simuló la ganancia PI. En la figura 2 se observa el diagrama de bloques del sistema en Simulink.

Fig 7. Diagrama de bloques de Simulink. El resultado de la simulación se graficó con el comando plot de Matlab. En la siguiente figura se observa la respuesta al escalón con el controlador PI. Fig 9. Gráfica del lugar geométrico de las raíces de la función de transferencia de lazo abierto. Agregando la función de transferencia del sistema controlado a Matlab y graficando el lugar geométrico de las raíces de este se encuentra que pasa por el polo deseado, , y cumple con los requisitos de sobrepaso máximo y tiempo de establecimiento, como se tiene un polo en el origen también se cumple con el error de estado estable igual a cero. Fig 8. Respuesta al escalón de la simulación. En la figura 8 se puede observar que el sistema tiene un sobrepaso máximo del 4.12 %, lo cual cumple con el requerimiento dado. El tiempo de establecimiento de esta señal es de 338 ms, tal como se había diseñado. Se graficó el lugar geométrico de las raíces para la función de transferencia de lazo abierto para esto se definió la función de transferencia con el comando zpk. En la gráfica 9 se encuentra que el LGR del sistema de lazo abierto no pasa por el polo deseado y por lo tanto no va a tener ni el sobrepaso máximo ni el tiempo de establecimiento requeridos.

Fig 10. Gráfica del lugar geométrico de las raíces de la función de transferencia del sistema controlado. V.

ANALISIS DE RESULTADOS

El LGR de un sistema de primer orden sin ceros, como el de la función de transferencia del motor.generador, está sobre el eje real negativo para cualquier ganancia a la izquierda del polo

del sistema. Al adicionar el controlador PI, que tiene un cero y un polo en el origen, se tiene que el LGR cambia; el polo en el origen y el polo de lazo abierto buscarán al cero adicionado y a un cero en infinito, pasando por un polo que hace que el sistema tenga una respuesta al impulso determinada. El controlador PI hará que el sistema sea más rápido gracias a la ganancia proporcional, el integrador hará que el error a la posición sea cero, esto se puede demostrar usando la ecuación del error al escalón, ya que el Kp será infinito y con esto el error será cero. En la implementación y prueba del sistema se encontró que en la región lineal, de 7 V a 9.5 V, el control responde adecuadamente con los requisitos, si la señal de referencia es menor el sistema presentará un sobrepaso máximo mayor al pedido en la práctica. Se encontró que el sistema presenta saturación después de 8 V, limitando su rango de funcionamiento. En la figura 11 se observa la respuesta al escalón, con señal de referencia de 7.5 V.

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Al adicionar polos y ceros a un sistema, el LGR de este cambia ya que los polos buscaran a los ceros a ganancias que tienden a infinito. Por la razón anterior los controladores hacen que se cumplan características como el sobrepaso máximo o el tiempo de establecimiento, entre otras. Se deben buscar controladores que agreguen ceros y polos suficientes para que no se cancelen con los que tiene la planta o para que no halla desestabilización.

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Un controlador PI aumentará en uno el orden del sistema gracias al polo en el origen que este tiene. Un sistema de primer orden con un control PI se volverá de segundo orden y por esto presenta las condiciones vistas en su respuesta al impulso.

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Al diseñar un controlador proporcionalintegral se deben tener en cuenta las ganancias que los amplificadores que lo implementan presentan. Puede que en el diseño el controlador tenga la función de transferencia buscada pero si la ganancia proporcional es menor que uno se tendrá atenuación en la acción de control y, en muchos sistemas, no se tendrá un valor de dicha acción de control adecuado para que el sistema responda.

BIBLIOGRAFIA

Fig 11. Respuesta del sistema a un escalón de 7.5 V.

VI. CONCLUSIONES -

Un sistema de primer orden nunca tendrá un LGR con parte imaginaria distinta de cero, por esta razón dicho sistema nunca tendrá sobrepaso máximo distinto de cero a cualquier ganancia.

1. Ogata, Katsuhiko “Ingenieria de control Moderno” 4ed, 2003. 2. Chen, Chi Tsong “Analog and digital control system design” 1ed, 1993. 3. Apuntes de clase Control 1.