Control del tiempo en música por medio de dilatación temporal

Facultad de Artes y Ciencias Musicales

Trabajo del seminario de doctorado “Metodología de la Investigación” a cargo de la Dra. Marina Cañardo del 27 de junio al 2 de julio del 2016.

Nombre: Carlos Felipe Hernández Sarmiento

Cuenca-Ecuador Agosto/2016

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Control del tiempo en música por medio de dilatación temporal

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Contenido

Música y dilatación temporal .............................................................................................................. 4 Consideraciones sobre nuestra percepción y nuestras limitaciones .................................................. 6 Realidad y tiempo ............................................................................................................................... 8 Conceptualización de la obra Parciales Relativos ............................................................................. 12 Manejo y distribución de los parciales .............................................................................................. 13 Curvas de Bézier y trayectorias que definen la forma ...................................................................... 15 Curva cuadrática de Bézier................................................................................................................ 16 Manejo del tiempo en la obra “Parciales Relativos”......................................................................... 19 Conclusiones ..................................................................................................................................... 22 Bibliografía ........................................................................................................................................ 24

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Música y dilatación temporal

El tiempo en la música ha sido manejado de diferentes maneras en diferentes obras musicales. Varios compositores han dado múltiples perspectivas de abordar la problemática en el transcurso de la historia, y han realizado obras que integran elementos técnicos y estéticos en este ámbito. Uno de los ejemplos de manejo técnico del tiempo es quizá el artículo de Karlheinz Stockhausen titulado …How Time Passes…, publicado en la revista Die Reihe, en donde el autor realiza toda una propuesta de control de las duraciones. Este artículo en sus primeras líneas dice lo siguiente: “La música consiste en relaciones de orden en el tiempo, y esto presupone que poseemos una concepción de ese tiempo1” . Esta presuposición ha sido cuestionada por varios pensadores a lo largo de la historia, dando como resultado respuestas de varias ramas del conocimiento, principalmente en el campo de la filosofía, y de la física. Postulados más actuales que abarcan temáticas como “qué es lo real”, llegan a vincular aspectos filosóficos dentro de ciencias exactas, ya que la complejidad teórica necesita abrir perspectivas que van más allá de nuestro entendimiento y de nuestro lenguaje. En esta propuesta pretendo abordar algunos conceptos sobre el tiempo de manera general, y analizar brevemente una de las obras correspondientes al catálogo op. 25 N 6., llamada “Parciales Relativos” de mi autoría, que integra el concepto de dilatación temporal como parte del control del tiempo. Las conclusiones finales son eminentemente contextuales en el marco de esta propuesta, y nunca absolutas. La interpretación de los resultados se basa en la naturaleza de la problemática exploratoria, problemática tan importante en Mancuso, que sin ella no existiría la formación del corpus axiomático2

1 Stockhausen, K., 1959: 1. 2 Mancuso, H., 1999: 94.

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Portada. Fuente: Ilustración 1Ilustración Portada:1Fuente: El autorEl autor

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Consideraciones sobre nuestra percepción y nuestras limitaciones

Cuestionar la realidad, aquello que nos es evidente, ha sido un ejercicio realizado por varios pensadores a lo largo de la historia. Todos coinciden en una cosa: nuestra limitada percepción como seres humanos. Es así como la búsqueda de respuestas en este ámbito, ha generado más preguntas, y ha permitido profundizar la temática desde distintas áreas del conocimiento, entre ellas la anatomía del oído, la semiótica, la neurología, percepción, física, etc.

Como seres humanos, percibimos una sensación de estabilidad acerca de nuestra vida, y de nuestra permanencia como especie, sin embargo, esto se debe a la naturaleza efímera de nuestra existencia. Debemos admitir que nuestra vida es demasiado corta. Sin embargo en toda la historia de la humanidad hemos encontrado en las diversas ramas de la ciencia, varias formas de aprender a conocer lo que nos rodea y a conocernos a nosotros mismos. Lo poco que sabemos sobre el universo nos hace reflexionar sobre nuestra posición en el planeta. Mirando hacia atrás en la historia, podemos ver

que millones y millones de especies han

desaparecido sin dejar descendencia, en extinciones masivas ocasionadas por condiciones naturales. Por nuestra limitada existencia solemos tener una concepción equivocada de propiedad y de seguridad acerca de nuestro entorno, y por nuestros sentidos podemos percibir limitadamente la naturaleza. Pero nuestra razón nos ha permitido descubrir mundos alejados a millones de años luz, descubrir leyes que rigen la naturaleza y definir desde lo infinitesimal hasta lo infinito de acuerdo a nuestro lenguaje. El uso de la razón nos hace diferentes de otras especies, y este mismo uso aplicado al campo de las artes musicales, permite explorar varios aspectos interesantes en el campo de la física, las matemáticas y la estadística, ya que algunos fenómenos naturales, que no los podemos percibir con nuestros sentidos, puede ser resignificados artísticamente. Es mediante la razón que podemos acercarnos a comprender la naturaleza de las cosas que nos rodean, y vincular el arte con las ciencias exactas, permite encontrar caminos nunca antes explorados. Sin embargo, tenemos que partir del hecho de que nuestros sentidos nos limitan en gran manera. La vista, una parte de nuestro cuerpo que evoluciona desde el agua, tiene muy limitado alcance en lo concerniente a longitudes de onda. La región del espectro electromagnético que el ojo humano es

6

capaz de percibir varía desde 380nm hasta 780 nm, es así como nos es imposible poder observar el espectro infrarrojo o el espectro ultravioleta. Nuestro tacto nos limita a percibir temperaturas fuera del rango -300 C hasta 450 C. El oído humano también posee limitaciones bastante marcadas. El rango de percepción de ondas tiene un promedio que va desde 20Hz hasta 20KHz. Sonidos superiores o inferiores a ese rango nos pasan desapercibidos. Sin embargo, con estas limitaciones, hemos creado nuestra música, hemos asumido un lenguaje que permite analizarla y comprenderla, y este lenguaje ha condicionado todo nuestro pensamiento. Desde mi punto de vista, me agrada pensar que la música puede estar al mismo nivel de las cosas que no podemos percibir. De esta manera, el arte sonoro puede hacernos recordar nuestra naturaleza, nuestras limitaciones y sobre todo nuestra vinculación con el universo. Al igual que Xenaquis, pienso que la música debería estar a la altura de las estrellas, de las matemáticas, de los números, de la estadística y de la física, ya que esto se adapta mejor a un pensamiento musical contemporáneo3. La música, junto con las leyes que rigen el universo permite poner en evidencia que somos parte de la grandiosidad del cosmos.

3

Xenakis, I., 1992: 178.

7

Realidad y tiempo René Descartes con su argumento del genio maligno fue el inicio de cuestionar lo que cotidianamente era evidente ante nuestra percepción. Cuestionar la realidad en la que vivimos. “Así pues, supondré que hay, no un verdadero Dios —que es fuente suprema de verdad—, sino cierto genio maligno, no menos artero y engañador que poderoso, el cual ha usado de toda su industria para engañarme. Pensaré que el cielo, el aire, la tierra, los colores, las figuras, los sonidos y las demás cosas exteriores, no son sino ilusiones y ensueños, de los que él se sirve para atrapar mi credulidad4”. El sentirse cuestionado acerca del concepto que la realidad, quizá se dio mucho más antes que Descartes, sin embargo, esta metáfora del genio maligno fue el inicio para que la realidad en la que vivimos, para que lo cotidiano, para lo que nos es evidente, pueda ser pensado y cuestionado.

Existe una clara incapacidad del ser humano para orientar de forma correcta la realidad.

La naturaleza del tiempo y nuestra naturaleza humana carecen de compatibilidad. Sin embargo, el concepto del tiempo como algo lineal, constante, invariable, ha estado implícito en todos nosotros desde que nacemos. Nuestro propio lenguaje nos condiciona a asimilarlo como una parte inherente del sistema en el que vivimos y nuestras limitaciones perceptivas refuerzan nuestra sensación de seguridad y estabilidad.

La naturaleza de ciertos fenómenos físicos que sobrepasan nuestros sentidos, nos proporcionan interrogantes que no pueden pasar desapercibidas.

Kant se preguntó por la naturaleza del espacio y tiempo en Crítica de la razón pura: “Exteriormente no puede el tiempo ser intuido, ni tampoco el espacio, como algo en nosotros. ¿Qué son, pues, espacio y tiempo? ¿Son seres reales? ¿Son sólo determinaciones o también relaciones de las cosas, tales que les corresponderían a las cosas en sí mismas, aun cuando no fuesen intuidas? O se hallan sólo en la forma de la intuición y, por tanto, en la constitución subjetiva de nuestro espíritu, sin la cual no podrían esos predicados ser atribuidos a ninguna cosa? 5”.

4

5

Descartes, R., 1641: 11. Kant, I., 1787: 29.

8

Una de las “virtudes” o “defectos” del ser humano sin lugar a dudas es buscar respuestas para todas las preguntas. Todo lo que hacemos, ciencia, cultura creaciones espirituales, todas las practicas humanas tienen un único objetivo de tratar de encontrarle sentido al sin sentido. Como seres humanos, pienso que siempre intentamos descubrir nuestra posición en el universo. En ese ámbito, la física y las matemáticas han ayudado a comprender parte de lo que nos rodea.

Las matemáticas han tratado de organizar mejor el concepto de realidad desde tiempos antiguos.

Los estudios sobre Etno-matemáticas y Proto-matemáticas han encontrado piedras planas talladas con fases lunares en Blanchard en la Dordoña Francesa que datan aproximadamente hace 30.000 y que sugieren los indicios de cuantificar el tiempo6.

El sistema sexagesimal que usamos hoy en día tuvo sus orígenes en Mesopotamia 7

sumerios .

La aparición de varios calendarios a través de la historia nos explican

con los sucesos

temporales mediante los cuales el tiempo se ha definido como una magnitud absoluta, independiente en cualquier parte del mundo.

Sin embargo la teoría de la relatividad nos proporciona hoy en día un conocimiento diferente al cotidiano, al que estamos acostumbrados a percibir en nuestro sistema de referencia.

En la mecánica clásica, el tiempo fue definido como una magnitud. Sin embargo el concepto de relatividad es desarrollado mucho antes de Einstein y la dilatación temporal, específicamente fue desarrollado por Galileo (1600) quien propuso las siguientes ecuaciones del principio de la relatividad:

6 7

Huylebrouck, D., 2006: 137. Illana, J., 2008: 50.

9

𝒙´ = 𝒙 − 𝒖𝒕 𝒚´ = 𝒚 𝒛´ = 𝒛 𝒕´ = 𝒕

𝒗=

𝒅𝒙 , 𝒅𝒕

𝒗′ =

𝒅𝒙´ 𝒅𝒕´

Galileo afirma que “Es imposible determinar a base de experimentos si un sistema de referencia está en reposo o en movimiento”.

Esta afirmación fue realizada por experimentos realizados con cuerpos en movimiento, como por ejemplo, arrojar una pelota hacia arriba en un barco mientras este se mueve. La pelota cae normalmente hacia abajo independientemente de si el barco se mueve o está quieto. Las conclusiones de la época demostraban la incapacidad del ser humano para notar sistemas de referencia, pero también demostraban la capacidad de abrir la mente hacia nuevas propuestas teóricas. Este principio fue desarrollado posteriormente por Henri Poincaré8. Sin embargo, ninguna persona era capaz de cuestionar la linealidad del tiempo, o de decir que este transcurre más rápido o más lento en un lugar o en otro del universo hasta que Albert Einstein formuló los efectos temporales a grandes velocidades.

Actualmente la física trata de encontrar verdades absolutas acerca del origen del universo con mega construcciones como el colisionador de adrones. Sin embargo, no existen definiciones de que es exactamente lo real. La física se une con la filosofía al intentar explicar ciertos fenómenos. Sin

8

Janssen, B., 2013: 42.

10

embargo, al descubrir nuevas teorías también queda en evidencia el largo camino que tenemos por comprender la naturaleza del tiempo.

Físicos de la altura de Roger Penrose declaran que la comprensión del mundo real está todavía muy lejos: “Quizá este objetivo no se alcance nunca, o tal vez surja con el tiempo una teoría final en cuyos términos pueda entenderse, en principio, lo que llamamos realidad. Si es así, la naturaleza de dicha teoría debe diferir enormemente de lo que hasta ahora hemos visto en las teorías físicas. La idea simple más importante que ha surgido de nuestro viaje, de unos tres mil quinientos años de duración, es que existe una profunda unidad entre ciertas áreas de las matemáticas y el funcionamiento del mundo físico. En mi opinión, si el camino a la realidad alcanza por fin su objetivo, entonces tendría que haber una simplicidad profundamente subyacente en dicho punto final. Pero no veo esto en ninguna de las propuestas existentes9”.

Con esta muy breve contextualización podemos concluir parcialmente que incluso con los grandes avances de la ciencia, todavía no llegamos a comprender o a definir lo real. El tiempo, junto con el espacio (el tejido espacio-tiempo) está definido como una dimensión que no podemos percibir en nuestro sistema de tres dimensiones. Sin embargo, algunos experimentos con relojes atómicos, han podido demostrar algunas características del tiempo como por ejemplo su dilatación o dilación.

9

Penrose, R., 2004:1383.

11

Conceptualización de la obra Parciales Relativos La obra electroacústica “Parciales Relativos” tiene una distribución temporal que toma como poiesis la teoría de la relatividad espacial de Albert Einstein en la cual el tiempo depende del sistema de referencia en que se lo mida. Para esto se usó la transformada de Lorentz para generar sucesos temporales aleatorios en un patch de Pure Data definida por la ecuación: 𝛾=

1 2

√1 − 𝑣 2 𝑐

La obra fue construida en dos planos temporales para representar una analogía en la cual nosotros “escucharíamos” el efecto de la dilatación temporal. El único material sonoro con el cual se trabajó fue la nota C de un cello. Por otro lado, los parciales que conforman el timbre musical, son presentados por medio de fragmentos de trayectorias definidas por curvas de Bézier con la ecuación general: 𝐵(𝑡) = ∑𝑛𝑖=0 𝑃𝑖 𝑏𝑖 , 𝑛(𝑡), 𝑡 ∈ [0,1]. Esto con el motivo de poder escuchar el timbre completo de la cuerda C de un violoncello hacia el final de la obra, y a la vez, de dar forma a la misma mediante el contorno de la curva programada. Para vincular estas funciones, la creación de algoritmos es indispensable, ya sea para automatizar los procesos o para tomar decisiones sobre la marcha con el algoritmo. En esta obra, tanto la automatización como la intervención son importantes, ya que este trabajo conjunto proporciona un mejor manejo del discurso musical con posibilidades exploratorias de expandir un trabajo interdisciplinar.

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Manejo y distribución de los parciales

Para la obra, se realizó un análisis espectral de la grabación de la cuerda libre C de un violoncello con arco frotado en el software SPEAR10, como se muestra en la ilustración 2, y sus componentes totales se distribuyen entre 0 y 10000 Hz aproximadamente.

Ilustración 2: Análisis espectral con el software SPEAR de la cuerda libre C de un violonchelo con el arco frotado. Fuente: El autor.

Dentro del material sonoro usado en la obra, se dividió el total de frecuencias en 11 grupos de la siguiente manera.

Rango de frecuencias

10

Grupo 1

0 Hz

909,09 Hz

Grupo 2

909,09 Hz

1818,18 Hz

Grupo 3

1818,18 Hz

2727,27 Hz

Grupo 4

2727,27 Hz

3636,36 Hz

Grupo 5

3636,36 Hz

4545,45 Hz

Grupo 6

4545,45 Hz

5454,54 Hz

Klingbeil, M., [en linea]. [Consulta: 24 julio 2016].

13

Grupo 7

5454,54 Hz

6363,63 Hz

Grupo 8

6363,63 Hz

7272,72 Hz

Grupo 9

7272,72 Hz

8181,81 Hz

Grupo 10

8181,81 Hz

9090,9 Hz

Grupo 11

9090,9 Hz

10000 Hz

Esta división se realizó para que el rango de frecuencias con mayores oscilaciones por segundo, puedan ser modificados en su amplitud. Dentro de los materiales generados a partir de esta grabación también constan 28 parciales obtenidos por medio de procesos de eliminación de componentes espectrales con herramientas de selección del software SPEAR. Esto se puede constatar en la ilustración 3.

Ilustración 3: Parciales resultantes del proceso de eliminación con el software. Fuente: El autor.

Una vez obtenidos los parciales, estos fueron trasladados, con procesos similares al uso de samplers para instrumentos virtuales, con el fin de que puedan ser controlados de manera exacta con MIDI. A través de algoritmos programados en el software PureData (PD), el control de dichos parciales corresponde exactamente al área localizada bajo la porción de la curva cuadrática de Bézier en funciones, que se podría mostrar matemáticamente como una integral definida en la cual “h” representa el valor inicial a ser medido en la función programada, “s” representa el grado de decisión en el automatismo y proporciona la diferencia entre el área de la función total y el área de 14

la función segmentada, y f(x), que representa la función correspondiente la curva cuadrática de Bézier programada para la obra que explico más adelante.

𝑠

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ℎ

Curvas de Bézier y trayectorias que definen la forma

Las curvas de Bézier poseen dos tipos de puntos: 

Puntos de anclaje o nodos: son puntos por los cuales pasa la curva.



Puntos de control, manecillas o manejadores: son puntos que definen aspectos formales de la curva, sin embargo, están fuera de su trayectoria.

Conociendo estos puntos, es muy fácil manipular la forma de una curva de un orden menor y vincularla a la forma musical. Para esta obra, las múltiples trayectorias fueron simuladas con la librería GEM (Graphics Environment for Multimedia) para trabajar con gráficos de computadora, disponible en http://gem.iem.at que sirve para crear gráficos en 2D y 3D. Las trayectorias de las curvas de Bézier fueron creadas a partir de ecuaciones paramétricas para todos los valores de 𝑡 ∈ [0,1].

𝑛 𝑖

𝐵(𝑡) = ∑𝑛𝑖=0 ( ) 𝑃𝑖 (1 − 𝑡)𝑛−𝑖 𝑡 𝑖 = 𝑃0 (1 − 𝑡)𝑛 +

𝑛 𝑃 (1 − 𝑡)𝑛−1𝑡 1 1

15

+ … + 𝑃𝑛 𝑡 𝑛 .

1.1

Curva cuadrática de Bézier Una curva cuadrática de Bézier es el camino trazado por una función B(t), dados 𝑃0 , 𝑃1 𝑦 𝑃2 . Para la programación en PD se usaron dos puntos de anclaje P0 y P2 y un punto de control P1 creando así una curva cuadrática: P0 =(0,H) P1 =(0,0) P2 =(W,0)

En la cual los valores de H (altura) y W (ancho) se reemplazan por el lenguaje de referencia usado en el software. En este caso para la librería GEM los valores fueron reemplazados por +−4 de acuerdo a la ubicación de cada punto descrito anteriormente y en referencia a la programación de GEM en la cual se considera al punto (0,0) como el centro de la ventana11. Las ecuaciones paramétricas resultantes de sustituir los valores de los puntos en 1.1 son las siguientes para los valores de “x” y de “y”:

𝑥(𝑡) = 𝑃0𝑥 (1 − 𝑡)2 + 2𝑡𝑃1𝑥 (1 − 𝑡) + 𝑡 2 𝑃2𝑥 𝑦(𝑡) = 𝑃0𝑦 (1 − 𝑡)2 + 2𝑡𝑃1𝑦 (1 − 𝑡) + 𝑡 2 𝑃2𝑦

De donde 𝑥(𝑡) = 𝑡 2 𝑊 𝑦(𝑡) = 𝐻 − 2𝑡𝐻 + 𝐻𝑡 2 11

Chung, B., 2013.

16

Estas ecuaciones están contenidas en los subpatch denominados pd ec_paramet como se muestra en la ilustración 4.

Ilustración 4 Ecuaciones paramétricas que describen la trayectoria de las curvas. Fuente: El autor.

La simulación de la trayectoria fue realizado por medio de la librería GEM, y está contenida en el subpatch pd graf, cuyo contenido se muestra en la ilustración 5.

Ilustración 5 Contenido del subpatch pd graf. Fuente: El autor.

17

La curva fue dividida en 11 fragmentos de trayectoria para exponer los parciales generados y agrupados en el proceso de síntesis. Los valores obtenidos de dicha curva fueron convertidos a lenguaje MIDI y enviados desde PD hacia el software Abletoon Live 9, por medio de buses de envío como se puede visualizar en el siguiente patch.

Ilustración 6 Patch general de la obra "Parciales relativos". Fuente: El autor.

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Manejo del tiempo en la obra “Parciales Relativos”

El intervalo de tiempo entre dos sucesos según los aprecian dos observadores diferentes depende de la velocidad relativa de dichos observadores. Este efecto se llama dilación o dilatación del tiempo12. En cuanto al manejo del tiempo de esta obra, el aspecto poiético se basa en la teoría de la relatividad especial, en la cual “cada cuerpo de referencia tiene su tiempo especial y una localización temporal tiene solo sentido cuando se indica el cuerpo de referencia al que remite13”. Podemos observar a dos objetos random en el patch con valores aleatorios de 5555 ms y de 2421 ms. El primer valor corresponde al tiempo en nuestro sistema de referencia, y el segundo valor corresponde al tiempo dilatado, medido en el caso hipotético de que se pudiera viajar al 90% de la velocidad de la luz a una distancia de 1´500.000 Km. Esta distancia es la misma en la cual se logro tomar la primera imagen en que se ve toda la cara iluminada de la Tierra desde el satélite de la NASA14 Discovr. Estos valores generan un bang que afectan al tiempo del envío de cada dato desde PD hacia los dos canales de salida. El cálculo de los tiempos se realizó con los valores iniciales de 1500000Km de distancia que es igual a 1,58546E-07 años luz y el 90% de la velocidad de la luz que es 300000000*0,9 m/s. 𝑒

Para el cálculo de t1 se emplea la formula 𝑡1 = 𝑣 =

1,58546𝐸−07 300000000

= 1,76162𝐸 − 07 años, y la

conversión a segundos da como resultado 5,555 segundos. Para el cálculo de t2, ya que el desplazamiento se lleva a cabo a velocidades cercanas a la luz, el tiempo se ve afectado por un factor gama (𝛾) llamado factor de Lorentz15.

𝛾=

1 2 √1 − 𝑣2 𝑐

=

1 2 2 √1 − 0,9 2 𝑐 𝑐

12

Smith, J., 2003. Einstein, A., 1984. 14 Zielinski, S., 2006. 15 Einstein, Op. cit., p. 17. 13

19

= 2,2941

𝑒

Por lo tanto 𝑡2 = 𝑣𝛾 =

1,58546𝐸−07 (300000000)(2,2941)

= 7,67871𝐸 − 08 años, y la conversión a segundos es

2,421 segundos. Si bien es cierto, las velocidades que manejamos como seres humanos, hacen que apreciar el fenómeno de dilación o dilatación temporal sea imposible, esta obra pretende poner en evidencia nuestra incapacidad de percibir el fenómeno, pero a la vez, nuestra capacidad para imaginarlo y para conceptualizarlo. Naturalmente, si tuviéramos la capacidad de enviar el plano temporal a recorrer las velocidades propuestas y de dividir nuestra percepción en los dos planos temporales dilatados distintos el uno del otro, lo que escucharíamos sería una obra con una misma desviación estándar a partir del análisis estadístico de cada plano de referencia temporal.

Sin embargo, la energía que transmite el saber que la obra fue construida con estas características, proporciona una estética que refleja una parte de la realidad que no podemos percibir, situando la música en un plano temporal en el cual las limitaciones humanas no existen.

Ilustración 7 Valores MIDI en el canal 1. Fuente: El autor.

20

Ilustración 8 Valores MIDI en el canal 2. Fuente: El autor.

Ilustración 9: Análisis espectral de la obra "Parciales relativos". Fuente: El autor.

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Conclusiones

De acuerdo a Xenaquis, “guiar la formalización y axiomatización constituye un procedimiento más adecuado para el pensamiento moderno. “Permiten, en un principio, la colocación de arte sonoro en un plano más universal. Se puede considerar en el mismo nivel que las estrellas, los números y las riquezas del cerebro humano”16. Tanto los parámetros de forma y tiempo controlados por funciones físicas y matemáticas en esta obra, (y de otros parámetros que inherentemente se ven vinculados a los procesos compositivos desarrollados en esta obra como bandas de frecuencia, textura, etc.), requieren de una comprensión previa a la escucha. Tanto el proceso como el resultado sonoro son de gran importancia a la hora de comprender el lenguaje propuesto. La integración de elementos físicos y matemáticos para conceptualizar y formalizar obras, permiten explorar un sin número de aspectos relacionados con leyes físicas, químicas, estadísticas, acústicas y todo lo que puede ser cuantificable. Mediante el uso de software de programación, se pueden simular condiciones inaccesibles por otros métodos y controlar fracciones de tiempo de manera exacta. Procesos estocásticos pueden ser cuantificados mediante la estadística descriptiva, y las matemáticas permiten el control exacto y total de todos los elementos que nos propongamos simular, lo cual no es posible sin el uso de la programación. Los programas de composición asistida como Pure Data, son de gran ayuda para el compositor contemporáneo ya que permiten explorar varios elementos y disponer de una gran diversidad de recursos a la hora de elegir opciones que se adapten a nuestros objetivos artísticos, para optimizar la creación artística. Es posible controlar procesos exactos que son impensables por otros métodos. Como se esperaba al momento de la conceptualización de la obra, los parciales fueron presentados de manera progresiva, desde lo agudo a lo grave de acuerdo con la curva de Bézier programada, y hacia el final se puede escuchar el timbre completo del violoncello. Se puede apreciar en la ilustración 7 los valores MIDI y se puede notar de manera visual algo parecido a una curva de Bézier programada previamente de una manera visual en el control de las alturas. La respuesta de las secciones de las curvas, en relación al análisis del espectro es muy evidente.

16

Xenakis, I. 1992.

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Formalizar obras mediante funciones matemáticas es posible, reduciendo varios análisis a una expresión matemática que condensa toda la información. La obra no fue construida con el propósito de que podamos percibir con una escucha reducida el efecto de la dilación o dilatación temporal, (esto es imposible dada nuestra condición humana) sino con el propósito de vincular procesos compositivos con las características del concepto tiempo manejado por la mecánica relativista. La propuesta pretende que antes de escuchar la obra, se pueda comprender el proceso, ya que una obra carente de dicho proceso, resulta limitada por la subjetividad de quien la crea, impidiendo que la música pueda situarse en un plano asociado a las leyes que rigen el universo. Según Mariano Etkin, “en la música actual las verdades no existen. O al menos, si existen, son muy relativas, descartando, claro está, el plano físico-acústico17”. A esto yo diría que, en la música, (y aparentemente en la realidad), las verdades absolutas sobre qué es lo real no existen todavía, sin embargo, existen contextos en los cuales inventamos nuestras verdades relativas, buscamos la manera de encontrar respuestas a preguntas que se van multiplicando cada vez más, y sobre todo buscamos conocernos a nosotros mismos y nuestra relación con la música y el universo.

17

Etkin, M., 1983: 4.

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Bibliografía

Chung, Bryan. 2013. Multimedia Programming With Pure Data. Birmingham B3 2PB, UK. : Packt Publishing. Descartes, René. 1641. Meditationes de prima philosophia, in qua Dei existentia et animæ immortalitas demonstrantur [en linea]. [trans.] Vidal Peña. Paris : s.n., 1641. [consulta: 24 julio 2016]. Disponible en http://www.mercaba.org/Filosofia/Descartes/med_met_alfaguara.PDF. Einstein, Albert. 1984. Über die spezielte und allgemeine Relatiuitátstheorie. [trans.] Paredes Larrucea. Edición en español. The Albert Einstein Archives, The Jewish National & University : Ediciones Altaya, S.A., 1984. Etkin, Mariano. 1983. "Apariencia" y "realidad" en la música del siglo XX. Buenos Aires : Ricordi. Horvitz, Seth. 2009. BOUNDARIES OF PERCEPTION AND THE ENDLESS STRUGGLE FOR UNITY IN THE MUSIC OF KARLHEINZ STOCKHAUSEN [en linea]. Mills College : [Consulta: 26 de julio de 2016]. Disponible en http://context.fm/mills/mus212/Horvitz_MUS212_Stockhausen.pdf, 2009. Huylebrouck, Dirk. 2006. Mathematics in (central) Africa before colonization [en linea]. 2006. pp. 135-162. en Anthropologica et Præhistorica no. 117. [Consulta: 24 julio 2016]. Disponible en http://etopia.sintlucas.be/3.14/Ishango_meeting/Mathematics_Africa.pdf. Illana, José. 2008. Matemáticas y astronomía en Mesopotamia [en linea]. 2008. pp. 49-61. en Sumat. no. 58. [Consulta: 24 julio 2016]. Disponible en https://revistasuma.es/IMG/pdf/58/049061.pdf. Janssen, Bert. 2013. Teoría de la Relatividad General. Granada : Dpto de Física Teórica y del Cosmos, Edificio Mecenas, Campus de Fuente Nueva Universidad de Granada, 18071, España. Kant, Immanuel. 1787. Kritik der reinen Vernunft 29 [en linea]. [trans.] Traducción al español. Königsberg : s.n., 1787. [Consulta: 24 julio 2016]. Disponible en http://www.edu.mec.gub.uy/biblioteca_digital/libros/K/Kant,%20Inmanuel%20%20Critica%20a%20la%20razon%20pura.pdf. Klingbeil, Michael. SOFTWARE FOR SPECTRAL ANALYSIS, EDITING, AND SYNTHESIS [en linea]. [Consulta: 24 julio 2016]. Disponible en https://www.semanticscholar.org/paper/Software-forspectral-Analysis-Editing-and-Klingbeil/3bb7c6e6fced8dc5ba517fd3a153e4cef8379ede/pdf. Lopez Cano, Rubén. 2010. Musicología. Manual del usuario [en linea]. 2010. [Consulta 24 julio 2016]. Disponible en http://www.geocities.ws/lopezcano/Articulos/Musicologia.pdf. Mancuso, Hugo. 1999. Metodología de la investigación en ciencias sociales. Buenos Aires : Paidós.

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Pascual, Jordy. 2002. Las flores de Bézier: Elasticidad e inestabilidad en el grafismo digital interactivo. Barcelona : Universitat Oberta de Catalunya UOC. Penrose, Roger. 2004. The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. New York : Jonathan Cape. Smith, James. 2003. Introducción a la relatividad especial. Edición en español. España : Reverté, S.A. Stockhausen, Karlheinz. 1959. [1957]. ...How Time Passes... en Die Reihe no. 3, pp 10-40. [trans.] Pablo Di Liscia y Pablo Cetta. [Consulta: 24 julio 2016]. Disponible en http://www.eumus.edu.uy/eme/ensenanza//EP/2008/2008_c/documentos/traducciones/Stockha usen_Como.transcurre.el.tiempo.pdf. Stockhausen, Karlheinz. 1955. Estructura y tiempo vivencial [en linea]. en Die Reihe no. 2. [trans.] Noviembre de 1992. Versión de Pablo di Liscia en LULÚ número 4. [Consulta: 24 julio 2016]. Disponible en http://zztt.org/lmc2_files/Stockhausen_Estructura_y_Tiempo_Vivencial.pdf. Xenakis, Iannis. 1992. Formalized Music THOUGHT AND MATHEMATICS IN COMPOSITION. Bloomington : Pendragon Press. Zielinski, Sarah. 2006. NASA terminates two Earth observation missions [en linea]. 2006. [Consulta: 24 de julio 2016]. Disponible en http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1029/2006EO040003/full.

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