Componentes simétricas y redes de secuencia

Instructor Jean-Fr. Duhé

Análisis por componentes simétricas

En capítulos previos, se hizo estudio tanto de los conceptos fundamentales de la potencia en corriente alterna, como también de los sistemas trifásicos balanceados. No obstante, es natural que una duda surja en nosotros: ¿qué ocurre si, por alguna razón, el sistema trifásico que estudiamos está en desbalance? Es decir, puede que se dé el corrimiento de una fase, que las magnitudes de voltajes y corrientes no sean iguales, que alguna fase salga de operación, entre otros. Motivos para este tipo de situaciones pueden ser tanto desperfectos en las máquinas y baja calidad de energía o, para desbalances más severos todavía, fallas en los sistemas. ¿Cómo podemos analizar un sistema que se encuentre en desbalance? Una respuesta sería aplicar técnicas clásicas de análisis de circuitos, tales como el análisis de nodo y de malla. No obstante, al estudiar circuitos trifásicos balanceados aprendimos el simple pero poderoso concepto del diagrama unifilar. Apreciar la simplicidad con la cual se efectúan los cálculos en un diagrama unifilar nos lleva a hacernos la pregunta siguiente: ¿será posible emplear el mismo concepto en un sistema desbalanceado? La respuesta es que en realidad SÍ es posible aplicar el concepto de diagrama unifilar, pero hay que estar anuentes que no se aplica de una manera exactamente igual.
El diagrama unifilar se podía construir en base a la suposición de que los voltajes eran de igual magnitud y desfasados 120º entre sí (lo mismo con las corrientes). Necesitamos necesariamente esta condición para que se pueda aplicar el concepto del unifilar, cosa que no se tiene en un sistema desbalanceado. A comienzos del siglo XX, se propuso lo que se conoce como el Teorema de Fortescue con el objeto de representar de forma distinta a un juego de fasores desbalanceados. El teorema dice lo siguiente:

Un sistema de "n" fasores desbalanceados puede ser descompuesto en "n-1" sistemas balanceados de secuencia diferente y de separación angular 2πn, más un sistema de fasores de igual magnitud y fase llamado secuencia cero.

Es oportuno aclarar que este teorema no está limitado a sistemas trifásicos, sino que es válido para cualquier sistema polifásico desbalanceado. Como ya lo indicamos en el capítulo de circuitos trifásicos, la mayoría de los sistemas eléctricos industriales son de tres fases, por lo cual nuestros análisis serán enfatizados para n=3. Si n=3, el teorema de Fortescue establece que podemos descomponer nuestro juego de fasores desbalanceados en 2 sistemas balanceados de secuencia diferente y de separación angular de 120º, más un sistema de fasores de igual magnitud y fase. En un sistema trifásico balanceado existen dos tipos de secuencia:
Secuencia positiva (+):

Secuencia negativa (-):


Lo que el teorema nos dice es que cualquier conjunto de fasores desbalanceados podrá expresarse como la superposición de estas dos secuencias previamente expuestas y la secuencia cero, en la cual los tres fasores tendrán la misma magnitud y fase. Observemos de manera gráfica esto:



De esta imagen, podemos observar que cada uno de los tres fasores del sistema desbalanceado se puede expresar como la suma de tres fasores de las secuencias positiva, negativa y cero. También nótese la convención de los subíndices: el (1) para secuencia positiva, el (2) para negativa y el (0) para la cero. Al momento de escribir nuestras ecuaciones utilizaremos estos números como superíndices, pero indican lo mismo.
I1= I1(0)+I1(1)+I1(2)
I2= I2(0)+I2(1)+I2(2)
I3= I3(0)+I3(1)+I3(2)

Tomaremos ahora como referencia la fase "1", por lo cual podemos omitir el subíndice 1.

I1=I(0)+I(1)+I(2)

Dado el hecho de que dos de los tres subsistemas son de tipo trifásico balanceado, es conveniente introducir lo que conocemos como el operador "a", el cual se define como:

a=1 120º

Entonces podemos también afirmar que:
a2=1 -120º

Podemos entonces expresar las ecuaciones anteriores en términos únicamente de aquellos de la ecuación para la fase 1.

I1= I(0)+I(1)+I(2)

I2= I(0)+a2I(1)+aI(2)

I3= I(0)+aI(1)+a2I(2)

Arreglando esto de forma matricial, nos queda lo siguiente:

I1I2I3=1111a2a1aa2I(0)I(1)I(2)

Algo curioso que se debe destacar es lo que ocurre cuando adicionamos las corrientes de las tres fases. Cuando esto se hace para un sistema balanceado, se obtiene una resultante de cero, lo cual indica que no hay flujo de corriente por la línea neutral del sistema. Sin embargo, hagamos esta misma operación para el caso descrito:

I1+I2+I3=3I(0)+1+a+a2I1+1+a+a2I2=3I(0)

Lo cual nos lleva a la siguiente conclusión: en un sistema desbalanceado fluye corriente por el neutro y su magnitud es el triple de la corriente de secuencia cero.

La matriz 3x3 es lo que denominamos matriz de transformación "A" y permite, conociendo los fasores de las redes de secuencia, conocer el sistema desbalanceado original. Sin embargo, en la mayoría de casos, lo que se tiene es un sistema desbalanceado que se desea descomponer en sus subsistemas. Para ellos, podemos calcular la matriz inversa de "A" y obtener la siguiente expresión:

I(0)I(1)I(2)=131111aa21a2aI1I2I3

Ahora bien, existe otro concepto fundamental que no hemos abordado todavía. En una red eléctrica, ¿se comportan los dispositivos de la misma manera para cualquier tipo de secuencia que estemos trabajando? Por ejemplo, un generador, ¿se comporta exactamente igual si se alimenta con secuencia positiva, negativa o cero? Debemos aprender también como se representan cada uno de los componentes de un sistema de potencia para las diferentes secuencias. Dado que los circuitos para cada tipo de secuencia serán diferentes, obtendremos entonces 3 circuitos diferentes para analizar un sistema desbalanceado. Estos 3 circuitos es lo que conocemos como las redes de secuencia, y son similares al concepto del diagrama unifilar. La diferencia es que en esta ocasión, para un único sistema no emplearemos un único diagrama unifilar, sino 3 diferentes.

Empecemos tratando el tema de la representación de las cargas. Habitualmente las cargas se conectan o en estrella o en delta. Sabemos que en un sistema balanceado, se da flujo de corriente en el interior de las cargas tanto para secuencia positiva como para la negativa. Por lo tanto, para estas dos secuencias, trataremos las cargas de la misma manera que en un sistema balanceado (recuerde transformar la delta a una estrella equivalente para realizar los cálculos en el unifilar!). Sin embargo, ¿qué ocurre con la secuencia cero? Observemos el siguiente caso:


Si en cada una de las impedancias que componen esta carga trifásica fluye una corriente de secuencia cero, al llegar al nodo "n" las 3 debieran adicionarse y salir por una línea. No obstante, en este caso dicha línea no existe y las corrientes de secuencia cero no tienen ninguna forma de ir a alguna otra parte. Este fenómeno implicaría la violación de la ley de los nodos de Kirchoff, lo cual sabemos para estos casos que es imposible. Como es imposible que la ley se viole y la corriente total que sale del nodo "n" es cero, la única posibilidad es que la suma de las corrientes que entran al nodo "n" también sea de cero. Esto nos lleva a la conclusión de que en una estrella no conectada a tierra NO hay flujo de corrientes de secuencia cero. La representación de esta carga para la red de secuencia cero sería la siguiente:





Ahora bien, en realidad SÍ puede haber flujo de corrientes de secuencia cero siempre que estas tengan adonde salir. Una manera de hacer esto es haciendo lo que se conoce como "aterrizar" la estrella, que significa conectar el punto neutro de la misma a la tierra.


En este caso observamos que las corrientes de secuencia cero al ingresar al nodo "n" salen las tres por la línea indicada en rojo y fluyen hacia la tierra. En consecuencia, para un caso así, la carga en la red de secuencia cero se representaría como sigue:


Es oportuno aclarar que esta ZY no es necesariamente igual a la que aparece en las redes de secuencia positiva y negativa. En caso de ser distinta, se dará esta información.

En el caso previo se expuso un aterrizado ideal, es decir, sin impedancia. En la práctica, la conexión del neutro a la tierra tiene una impedancia baja, pero no nula. Esto implica que hay que tomar en consideración una impedancia de neutro Zn:

Sabemos que por la impedancia del neutro fluirán las tres corrientes de secuencia cero, por lo cual entre la tierra y el neutro existirá un voltaje dado por:

VNG=3I(0)Zn

Sin embargo, en el diagrama unifilar no aparecerá el triple de una corriente, sino solamente una corriente de secuencia cero. Se debe de alguna forma buscar que el voltaje entre el neutro y la tierra que aparecerá en la red de secuencia cero coincida con la expresión que acabamos de escribir. La forma en que habitualmente se hace esto es multiplicando por tres la impedancia del neutro, por lo que la representación de secuencia cero será así:



Si tenemos el caso de una carga en delta, esta nunca podrá ser aterrizada. Al aplicar ley de nodos de Kirchoff, nos damos cuenta que para una delta, las corrientes de secuencia cero no ingresan en la carga, sino que se anulan. En consecuencia, la representación en red de secuencia cero para una carga delta será siempre de la siguiente manera:



Además de cargas, otro elemento tradicional de los sistemas de potencia son los generadores y motores síncronos, los cuales se representan de maneras muy similares. La única diferencia entre ellos es que, por convención, establecemos las corrientes de los generadores síncronos como salientes y las de los motores como entrantes. La mayoría de estas máquinas están conectadas en estrella, por lo que sus representaciones son casi idénticas a las de las cargas en estrella, con la diferencia de que hay que tomar en consideración un voltaje interno que se produce en ellas:


La representación en las tres redes de secuencia sería:

Red de secuencia (+):



Red de secuencia (-):


Red de secuencia (0):



Habitualmente en estas máquinas, la impedancia para las redes de secuencia positiva y negativas Z1 y Z2 serán la misma. No obstante, la impedancia de secuencia cero Zg0 será con frecuencia distinta de las dos anteriores.

Un elemento que falta por estudiar con detalle para poder representar en redes de secuencia un sistema de potencia son los transformadores. Los transformadores tanto para secuencia positiva como para secuencia negativa tienen la misma impedancia y se representan de forma simplificada como una mera impedancia o reactancia que une dos secciones del sistema (esto si está empleando cálculos en el sistema p.u, por supuesto). Sin embargo, los transformadores se pueden conectar en delta o en estrella a cada uno de sus lados (primario y secundario). Dichas estrellas pueden bien estar o no estar aterrizadas.
Observemos la siguiente situación:


En este caso, ambos lados del transformador se encuentran conectados a tierra, por lo cual la corriente de secuencia cero tiene una vía de escape. La representación en la red de secuencia cero será la siguiente:



En los transformadores habitualmente esta impedancia de secuencia cero, será la misma que la de secuencia positiva y negativa.

Podemos aplicar los mismos conceptos de delta, estrella y aterrizado para deducir la representación de los transformadores según su tipo de conexión:












Ahora que hemos visto las representaciones de los elementos más importantes de los sistemas de potencia para las diferentes secuencias, podemos exponer con un ejemplo la representación de un sistema propiamente tal.


Problema de ejemplo

Represente las tres redes de secuencia para el siguiente sistema de potencia:



Primeramente resulta oportuno el cambio de bases de todo el sistema a una base común. Se obtendrán los circuitos para las tres redes de secuencia. La base común de potencia será de 10 MVA.
El sistema que se estudia es el siguiente (colocándole números a las barras o buses del sistema):


Utilizando los datos proporcionados por el enunciado, podemos calcular los parámetros inherentes a la red de secuencia positiva (+):
Xg1=0.09*107.5=0.12 pu

Xg2=0.095*105=0.19 pu

XM=0.17*105*13.213.82=0.3111 pu

XT1= XT2=0.10*1010=0.10 pu

Zb-línea= kV2MVA= 115210=1322.5

XL1= XL2=0.00756 pu

XT3=0.09*105=0.18 pu
XT4=1.00*107.5=0.1333 pu

Entonces, en pu, la red de secuencia positiva vendría a ser:

De aquí también nos es posible extraer la red de secuencia negativa:

Efectuamos ahora los cálculos de la red de secuencia cero (0):
X0g1=0.03*107.5=0.04 pu

Xn=0.08*107.5=0.10667 pu

X0g2=0.07*105=0.14 pu

X0L=2XL=0.01512 pu
La red de secuencia cero sería entonces:












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