Códigos de la Luz

CROMATEMÁTICA DE ASCHERO (los números de la luz) "La falta de dudas lleva al hombre a una falta de curiosidad y entonces no existe la inquietud. Y sin ella, no hay ciencia". Isaac Newton 1 La historia de los matemáticos parece desarrollarse al margen de la vida de todos los días porque no tienen que tomar partido por alguna versión de los hechos, como el historiador, ni tienen que apreciar las tendencias de las épocas, como el literato, ni siquiera tiene que vérselas con la realidad física, como el geógrafo. Tampoco necesitan aprender otras lenguas porque una demostración puede ser comprendida por cualquier colega mientras esté escrita con las notaciones convencionalmente admitidas y, si quiere cambiarlas, bastará que lo aclare para que el lector acomode su forma de pensamiento y siga adelante con los nuevos códigos sin que ello sea un impedimento para entender de qué se trata y hasta para construir nuevas conclusiones derivadas de ese trabajo. Como esta comunicación se da aunque los dos matemáticos no se conozcan personalmente, aunque uno sea argentino y el otro francés y aunque no sean contemporáneos, el trabajo tiene la apariencia de estar aislado del contexto social que lo generó. La mayoría de la gente no acierta a determinar con qué trabaja concretamente el matemático a menos que sea con la regla y el compás. Como no tiene laboratorio como el físico, ni hace excursiones como el antropólogo, al matemático se lo asocia con los razonamientos lógicos que hace y se lo rodea con una fantasía en la que "el demostrador de teoremas" aparece aislado en su lugar de trabajo, pensando en cosas abstractas y difíciles y, fundamentalmente, aislado de lo que pasó, de lo que pasa y de lo que pasará. Y los matemáticos refuerzan esa idea cuando afirman que crean entes arbitrarios, que establecen definiciones convencionales y que los símbolos los eligen mediante acuerdos, con lo que todo parece un trabajo de unos pocos elegidos, que obtienen aisladamente conclusiones que después se intercambian pero sólo pueden ser entendidas por otros matemáticos, conclusiones que luego serán usadas por toda la gente (aunque no las comprendan) por aquello de que "las matemáticas gobiernan al mundo". Más aún, a veces desarrollan teorías cuyos principios contradicen abiertamente nuestros sentidos (por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas en el plano) y tampoco así dejan de ser válidas. Estas particularidades dan la impresión de que las producciones matemáticas son independientes del desarrollo histórico-social y que los matemáticos, que afirman su desinterés por las aplicaciones prácticas están más allá de las influencias del momento histórico que les toca vivir. Esta es una visión parcial del problema que no repara en que los matemáticos son seres humanos y que sus producciones deben estar inspiradas fuertemente en la realidad para que sean las que, en última instancia, resuelvan el problema del ingeniero, del médico y hasta del almacenero. Justamente por esa omnipotencia que tiene la matemática en el quehacer

humano es que sus creadores necesariamente deben ser gente comprometida con las cosas de todos los días. Y esto es lo que pienso demostrar en esta obra. 2 El primer paso pretende ser una visión de la evolución del pensamiento matemático a través de los siglos con vistas a mostrar la manera en que los hechos han influido a los matemáticos que, a su vez, han respondido interpretándolos desde su manera de ver las cosas. Los descubrimientos (o inventos) matemáticos resultan ser un reflejo del pensamiento del hombre en su evolución, de modo que la historia influye a los matemáticos ofreciéndole nuevos problemas o condicionando su accionar y ellos, con sus respuestas, van mostrando los avances en el pensamiento humano, en la manera que el hombre tiene de procesar la realidad. La historia de la matemática tiene períodos en los que una idea totalmente innovadora toma cuerpo a través de las creencias de los matemáticos y modifica los cimientos mismos de la ciencia. Su filosofía cambia no porque niegue lo anterior sino porque amplía de tal forma lo que se considerada terminado que da comienzo a una "nueva matemática". No se trata, como podría pensarse, que las nuevas conclusiones demuestran algún error en lo anterior sino que la nueva teoría toma a la anterior como caso particular. Daré un ejemplo: en el juego del ta-te-ti no hay contradicciones, se lo puede jugar porque sus principios y reglas son lógicamente coherentes. Pero cuando, en vez de nueve casilleros, usamos veinticinco, es decir, jugamos al ta-te-ti-to-tu, no contradecimos al viejo y querido ta-te-ti, ni siquiera estamos probando que es contradictorio, lo que hacemos es trabajar en una dimensión más amplia y ambos juegos coexisten, uno como caso particular del otro. Esto es lo que pasa con la matemática. Como confiamos en que sus conclusiones son "exactas" (dos más dos son siempre cuatro) es fácil creer que se trata de algo terminado, ¿quién va a sospechar que el teorema de Pitágoras no dice todo lo que tiene que decir? Pero la evolución de la matemática no tiene el sentido de aproximarse más y más a la realidad como lo hace la ciencia natural sino que, recrea las ideas y las amplía con cada descubrimiento. Cuando se descubrió que la Tierra gira alrededor del Sol, hubo que abandonar la idea de que la tierra era el centro. En matemática, en cambio, la demostración del teorema de Pitágoras asegura la validez total de la propiedad enunciada para cualquier triángulo rectángulo, y un gran salto de imaginación puede llevar a plantear un teorema análogo en tres, cuatro, cinco dimensiones del espacio sin que se contradiga lo ya demostrado. Por eso la historia de la matemática tiene momentos especiales donde se logra un grado de abstracción que rompe con todos los límites que en la mente de los hombres se tenían por inamovibles, y también tiene períodos de gestación y de consolidación de esos momentos. 3 El primer matemático fue seguramente un pastor genial que obligado a saber si su rebaño, tras ir al pastoreo y volver, tenía la misma cantidad de animales, ideó un sistema con el que a cada animal le hacía corresponder una piedrita y

así se aseguraba de tener tantas piedras como animales. Mientras conservaba las piedras en bolsillo podía establecer una correspondencia que le permitía saber si tenía todos sus animales. Una economía agrícola, aunque rudimentaria, necesita datos numéricos sobre las estaciones y así se inició la confección de los calendarios. Las cuestiones de la cronología, el paso del tiempo, dio lugar a la astronomía. Pero la geometría no existía porque mientras las comunidades fuesen nómades no necesitaban medir terrenos ni construir edificios. A medida que evolucionaban estas comunidades tuvieron que hacer frente a problemas de cálculo que tenían que ver con sus rudimentarios intercambios comerciales. 4 En Sumer los recursos necesarios para la organización económica se acumularon en los templos y fueron administrados por los sacerdotes. Estos administradores no estaban aislados sino que constituían corporaciones permanentes. Por su parte los templos tampoco eran entes aislados porque las deidades generalmente no eran exclusivas de una ciudad así que posiblemente los sacerdotes, parecido a lo que sucedió con los clérigos medievales tenían una influencia que no estaba limitada a una ciudad sino que se extendía a todo el territorio. Esta soberanía de las mismas deidades sobre todo el territorio seguramente fue el factor que determinó la correlación teológico-política de la uniformidad de la cultura material en la región de Sumer y que luego heredó toda Babilonia. Los templos en Sumer tenían grandes propiedades de terreno, animales y enormes rentas que aumentaban constantemente empleando las riquezas para ayudar a los adeptos con préstamos que, por supuesto, eran devueltos incrementados. Los sacerdotes eran los encargados de administrar estos bienes con la consigna de protegerlos y hacerlos crecer dando cuenta a su divino señor del enriquecimiento logrado. Nunca antes la humanidad había tenido entre manos riquezas semejantes concentradas bajo un poder unitario y los sacerdotes tuvieron que enfrentar el problema de dar cuentas de ella a su dios. Obviamente ya no podían confiar en su memoria para guardar celosamente tanto detalle, tenían que tener en cuenta que su vida iba a terminar pero no así la de la empresa y la del dios al que servían, y que además cualquier otro sacerdote tenía que estar al tanto de las transacciones para cuando llegara el momento de cobrar las deudas que seguirían vigentes aún después de que el sacerdote muriera. Para registrar los tributos del dios y sus transacciones ya no se podía confiar en los artificios mnemotécnicos, como nudos en el pañuelo, que no resolvían el problema. El ministro de dios tenía a su cargo el registro de cuántas vasijas de granos, de qué calidad y a quién se las había dado como anticipo. Cosas por el estilo debían estar a disposición de todos los sacerdotes para que estuviera garantizado el cumplimiento de los compromisos. Así las cuentas del templo dieron origen a la escritura como sistema socialmente reconocido de registro que al principio fue solamente un sistema de anotación numérica. Los documentos más primitivos sobre matemática son de los babilonios y de los egipcios. No quiere decir que sean los únicos pueblos que tenían conocimientos de matemática pero sí fueron los únicos que dejaron escritos matemáticos que llegaron a nuestros días. Los babilonios, por ejemplo, y en

general todos los pueblos que se ubicaron en la Mesopotamia, tenían el sistema de escritura sobre tablillas de barro cocido, lo que hizo que perduraran hasta nuestros días. Los egipcios escribían sobre piedra y papiro. Tales papiros fueron utilizados para rellenar algunas momias, y eso ha permitido que esos documentos llegaran a nuestros días. El papiro más antiguo que ha llegado hasta nosotros es el llamado Papiro Rhind. Otros pueblos, como los hindúes por ejemplo, escribieron sobre bambú ha hecho que desapareciera la documentación por lo que no se tiene constancia de sus conocimientos acerca de la matemática. El primer pueblo que habitó la Mesopotamia fue el sumerio cuya civilización apareció allá en el quinto milenio a.C y terminó en el tercer milenio a.C que es el momento en que ellos introdujeron el sistema sexagesimal, sistema que ha perdurado a través de los siglos y ha llegado a nuestros días. Alrededor del tercer milenio a.C los acadios fueron los antecesores de la cultura babilónica. Aproximadamente en el siglo XIV a.C vivieron los asirios que luego tuvieron importancia en matemática, importancia que culmina con la creación de la Biblioteca de Nínive en el siglo VII a.C. La traducción de las tablillas, que comenzó en el siglo pasado demostró que tenían una cultura matemática importante y en algunos casos hasta sorprendente. Se han encontrado depósitos de tablillas, aparentemente en bibliotecas, e inclusive una de las colecciones pertenecía a una escuela en la que se dictaban distintas materias y esas tablillas bien podrían ser textos que utilizaban para la enseñanza de la matemática. En las tablillas se nota un interés didáctico en el desarrollo. En ellas se encontraron tablas de suma, de multiplicar, de dividir, tablas de cuadrados y raíces cuadradas, de cubos y raíces cúbicas y hasta sumas de cuadrados y cubos de un mismo número. Esto último lo hacían porque les permitía resolver algunos casos especiales de ecuaciones cúbicas y sistemas de ecuaciones lineales a veces con cinco o más incógnitas. Esto tiene mucha importancia porque en Occidente aparecen en el 1500 y estamos hablando de varios miles de años antes de Cristo. Comparando con lo que sabían en Europa en el 1400, los babilonios sabían mucho más de matemática. Seguramente no sabían más que los griegos de la época de oro porque Europa olvidó el trabajo de los griegos durante muchos siglos. En las tablillas aparecen también resoluciones de problemas de progresiones aritméticas y geométricas, regla de tres, interés simple y compuesto. En geometría calculaban reas de rectángulos, triángulos, trapecios y posiblemente conocían el área del círculo. Los egipcios hicieron de la matemática una forma eficaz de resolver problemas prácticos. Las inundaciones periódicas del Nilo los obligaba a dominar métodos de determinar, temporada a temporada, la división de las tierras. El Papiro Rhind, el documento egipcio más antiguo que trata de matemática, es una colección de unos ochenta y cinco problemas sobre fracciones, ecuaciones simples, progresiones, medición de reas y de volúmenes. Las matemáticas de los egipcios eran sobre todo primitivas y complicadas. En el papiro Rhind se observan sus procedimiento de cálculo engorrosos y también la tenacidad que ponían al resolverlos, pero en ningún caso muestran una imaginación notable ni interés alguno por las generalizaciones. Estos hombres fundamentalmente prácticos y nada inclinados al logro científico consiguieron de todos modos escribir un papiro allá por el 1700 a.C plantear y resolver una colección de

problemas que un contemporáneo nuestro de cultura media tendría dificultades para resolver. A pesar del avance en el cálculo y la resolución de problemas, toda esta elaborada herencia de los pueblos antiguos, no pasa de ser una colección de recetas sin deseo alguno de sistematización científica.

5 Los griegos fueron los inventores de la ciencia. Aunque no hay acuerdo entre los historiadores sobre la importancia relativa de cada uno de los aportes que recibieron los griegos, ninguno duda en referirse al "milagro griego" al considerar la obra sistemática sobre la base de los conocimientos heredados de Egipto y Oriente. Los griegos eran dados a los viajes y algunos fueron criados por magos encargados de su instrucción. El milagro griego consistió en ese salto que dieron entre la técnica utilitaria que recibieron y la matemática científica sistematizada, que nos entregaron. Ellos consiguieron que el pensamiento humano obtuviera el primer grado de abstracción matemática. Los pueblos antiguos calcularon áreas de triángulos pero los griegos generalizaron esos cálculos para "cualquier" triángulo, aunque sea el determinado por tres estrellas, o aún los que todavía no se han dibujado nunca; se ocuparon de definir los entes geométricos con conceptos puramente abstractos y de usar exclusivamente la lógica para obtener las conclusiones lo cual garantizó la validez general de las demostraciones. Pero más aún, Euclides, en Los Elementos, se ocupó de encontrar la mínima cantidad de principios necesarios y suficientes para definir toda su geometría en forma coherente. Sería interesante estudiar a través de las obras griegas este paso del hombre de la experiencia a la sistematización lógica pero han quedado muy pocos documentos, se ha perdido la mayoría de los textos y algunos los conocemos sólo por citas o referencias. Las nociones matemáticas son, para los griegos, puras abstracciones. Las figuras o los números son ideas que existen sólo en el pensamiento y el dibujo es sólo una imperfecta representación. Valoran extremadamente la simplicidad y la armonía de las ideas. La recta y la circunferencia son para ellos las líneas perfectas. Pero lo más notable, lo que inaugura una etapa en la concepción

matemática es que todas las conclusiones son seguidas de una escrupulosa demostración lógica. La ciencia griega debe mucho al ideal de la armonía y belleza del genio griego. Sus geniales ideas, su preferencia por la ciencia teórica y sin aplicación y su rigor pero también sus maneras artificiales de exponer las cosas, su restringido campo de estudio y el prejuicio por el infinito que desacreditó a los procedimientos de Arquímedes y obstruyó los de Pitágoras, creando un límite artificial para el desarrollo de la matemática que sólo seguir su desarrollo después de muchos siglos. Los griegos valoraron el orden, la claridad, el rigor, pero se volvieron esclavos de ellos y esto los cerró caminos que podrían haber sido fecundos. Así y todo el paso dado es tan monumental que se ha dicho que sólo "Los Elementos" de Euclides hubiera bastado para asegurar la gloria de esa cultura. Los pueblos de esa época tenían esclavos y si bien es cierto que entre los griegos la esclavitud era más tenue, de todos modos se reservaba a los esclavos toda la actividad manual y artesanal. El concepto que los griegos tenían de los esclavos se nota en Aristóteles cuando analizaba las necesidades de los esclavos y decía que son las que impiden que muera y deje de producir. Lo cierto es que todo esto influyó para que la filosofía de la matemática tuviera un acentuado valor negativo por las aplicaciones prácticas de la matemática y hasta se puede decir, sin exagerar, que en la escuela platónica hay una verdadera repugnancia por todo lo que fuera instrumental y operativo. A esta tradición se debe aún en nuestros días la resistencia de algunos profesores de matemática para vincular esta ciencia con las aplicaciones. 6 Los griegos habían dado el gran paso que le dio el carácter de ciencia a la matemática. Con sus principios generales y sus demostraciones lógicas habían conseguido el primer pase de abstracción del pensamiento matemático. Para el segundo avance hubo que esperar más de diez siglos, a la época de Descartes. Pero, ¿qué sucedió en todo ese tiempo? La decadencia empieza con la dominación romana y, poco a poco, se va acentuando hasta que desaparece totalmente la matemática en la Edad Media. Los romanos, mezcla de abogados y militares no se ocuparon de la ciencia porque su actitud no era contemplativa sino práctica. La Edad Media Cristiana, con su rigidez, no tiene dudas de que el mundo fue creado para el hombre y el hombre para Dios. Esta falta de duda provoca la falta de curiosidad, de inquietudes, imprescindible para el desarrollo de la ciencia. Así no sólo se desconoció a los griegos sino que los matemáticos sabían menos que el escriba Ahmés, autor del Papiro Rhind. De la geometría lo único que queda en los libros de textos son los cinco postulados de Euclides y el enunciado de unos pocos teoremas. La matemática se refugia en los conventos en donde, por la necesidad de determinar el Día de Pascuas se exige que haya siempre un fraile capaz de calcular el calendario. Cuando Carlo Magno busca formar cierto centro cultural invita a su corte al sabio más distinguido de la época que había escrito un libro "dedicado al cultivo del genio de los caballeros" cuyo contenido puede compararse a un manual de ingreso a la escuela secundaria de nuestra época.

Pero en Oriente se produce una eclosión a través de los hindúes y de los árabes. El pueblo hindú no tenía los prejuicios de los griegos así que se lanzaron a desarrollar la aritmética y el álgebra dejando de lado la geometría. Se preocuparon por la practicidad de las conclusiones y no temían al infinito así que operaron en forma más simple que los helenos pues no se ocupaban tanto de la justificación como de los resultados. Hicieron un descubrimiento aparentemente modesto, el cero, que les dio la posibilidad de manejar un sistema de numeración posicional y hacer cuentas de modo diferente. Esto, que parece sólo un detalle hizo avanzar enormemente al cálculo y la aritmética empezó a perder la desventaja que en Grecia había tenido con la Geometría. Los musulmanes, que gozaban por entonces de gran poder, tuvieron el mérito de sintetizar los descubrimientos de los sabios griegos y de los calculadores hindúes. En la Alta Edad Media tuvo lugar el pasaje de la ciencia del mundo árabe al cristiano. Los árabes creían firmemente en lo que Mahoma predicó. El Corán dice que conseguirían el paraíso si morían en el campo de batalla, pero también dice que es tan importante la sangre del guerrero que muere en la guerra como la tinta con la que escribe el sabio. Así, mostraron un profundo respeto por la ciencia que les permitió trasvasar la cultura de los pueblos que conquistaban. Dice la leyenda que un Califa después de haber sometido a un pueblo, pidió como botín todos los libros griegos que había en la ciudad. A comienzos del siglo XI prácticamente no había matemáticos en el Occidente cristiano y hasta los de la España musulmana eran de escasa importancia. Pero a comienzos del siglo XIII Occidente ya tenía por lo menos un matemático original. Los árabes fueron ciertamente los iniciadores del álgebra aportándole, para empezar, su nombre. Se dedicaron a resolver problemas prácticos y quisieron obtener resultados rápidos. A menudo descuidaron el rigor y comprendieron rápidamente que para tener éxito no es necesario tener siempre ante los ojos la significación de los entes con los que se opera, es decir que se manejaban cómodamente con los símbolos matemáticos. Se comprende entonces la dificultad de los griegos para recorrer el camino que llevó a los árabes al desarrollo del álgebra y el desprecio que sintieron por sus propios calculadores, como Diofanto, por ejemplo. El álgebra de los árabes culmina su máxima perfección con Omar Khayyám en el siglo XI. El hombre que inicia la matemática occidental en el mundo cristiano es Fibonacci en el siglo XII. Cuando el mundo cristiano, en los siglos XIV y XV, descubrió esta nueva disciplina, no tenía la audacia de los árabes ni la de los hindúes y no puedo desembarazarse de los prejuicios teóricos heredados de los griegos así que el período de maduración continuó. El sello renacentista se advierte en la matemática del siglo XVI: ese mundo de transición, de enriquecimiento a través de la revalorización de los viejos saberes científicos. Los grandes señores mantuvieron a artistas y científicos en sus cortes, empezaron a popularizarse las ciencias y toda la cultura. Las lenguas romances permitieron una mayor comunicación. Las ciudades tomaban partido por sus matemáticos que enviaban, respaldados por sumas de dinero, carteles de desafío público a los matemáticos de otra ciudad. La ciencia se preparaba para una nueva etapa.

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Era necesario reformar las bases del álgebra para que adquiriera su independencia y la obra de Descartes fue la que lo consiguió. Planteó al álgebra como un método que ayuda a razonar con cantidades abstractas e indeterminadas. Era fundamentalmente un filósofo y aunque su libro se llama "Geometría" lo que hizo fue usar desarrollar un álgebra que usó para plantear la geometría. Es el creador de la Geometría Analítica en la que, con números y ecuaciones se obtienen las propiedades de las figuras. Para Descartes el objeto de la matemática no tiene valor porque no colabora en la explicación del universo. Consigue que la matemática se haga mecánica, fácil y no requiera esfuerzo del espíritu. La producción se vuelve automatizada, industrializada, sólo es necesario combinar elementos entre sí todo lo que se quiera. Para él, el álgebra es el método de la ciencia universal. Al aplicar el método algebraico a la geometría prevé el importante papel del álgebra y del cálculo en el desarrollo científico. Como no se interesa por la belleza y la armonía de lo que estudia y se concentra sólo en un método abstracto de combinaciones lógicas de elementos indeterminados. René Descartes rompe claramente con el ideal griego y así abre nuevas perspectivas a las matemáticas del futuro. Queda atrás el ideal de la ciencia contemplativa para dar paso al ideal de la ciencia constructiva. Esto no quiere decir que el cambio fue de un día para otro. Aún matemáticos de la talla de Fermat y Newton permanecieron fieles al espíritu griego y aún en nuestros días se observan influencias griegas en la enseñanza elemental. El otro aspecto importante del cambio de mentalidad de esta época es el nacimiento del Cálculo Infinitesimal. Aunque en pocas palabras sería imposible explicar este avance matemático, señalaré un aspecto que evidencia lo novedoso del descubrimiento. Así como entre dos puntos de una recta existen infinitos puntos, son necesarios infinitos números para ponerle un nombre a cada uno de ellos, es decir, una coordenada. Trabajar con ese "infinito hacia adentro" de la recta requiere perder el prejuicio que los griegos tenían por los irracionales. Como sucedió para tantos otros contenidos, cuando el pensamiento humano estuvo listo, surgió más de un matemático que lo manifestó. Newton y Leibniz son los protagonistas de este avance que dio origen a la Cinemática y a la Dinámica. En esta etapa se da comienzo a una nueva época en la que el álgebra sistematizada por Descartes se efectúa con combinaciones finitas y el análisis sistematizado por Leibniz lo hace con combinaciones infinitas, aunque ambos derivan de un mismo espíritu. En el siglo XVIII se consolidan las nuevas ramas de la matemática y se construyen nuevas teorías pero lentamente se había llegado a cuestiones cada vez más complicadas que carecían un poco de alcance. El trabajo matemático evidencia la necesidad de cosas nuevas. Esta manera diferente de trabajar provoca a fines del siglo XVIII la aparición de las matemáticas modernas.

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No debe pensarse en un cambio brusco ni en el abandono de viejas tendencias. El espíritu griego aún influye en ciertos aspectos de la matemática y la síntesis algebraico-lógica todavía sobrevive y produce resultados. Pero el espíritu bien diferente que anima a los matemáticos modernos hace que ya no traten de construir expresiones ni forjar nuevos medios de cálculo, sino que analicen conceptos considerados hasta entonces como intuitivos. La originalidad de estos trabajos no consiste solamente en haber estudiado críticamente algunas nociones conocidas o reformular sus demostraciones sino en haber involucrado en la ciencia nociones diferentes que mostraron enseguida ser muy ricas. Una cosa es calcular un resultado y otra bien distinta es demostrar, en un teorema, que ese resultado efectivamente existe y es único. Una cosa es usar la lógica en las demostraciones y otra darle carácter matemático con axiomas y demostraciones que garanticen que esa lógica es confiable. Dibujar una curva continua como representación de una ecuación es una cosa, y otra es demostrar con un teorema que para recorrerla punto a punto no hay necesidad de levantar el lápiz. Una cosa es contar objetos y partir de los números para hacer los cálculos y otra muy diferente es considerar a los conjuntos como entes matemáticos y trabajar con ellos para deducir los números. El conjunto se lo pasa a considerar una noción primitiva con una cantidad finita o infinita de elementos y precede en el encadenamiento lógico de los temas a todos los otros conceptos. El germen de la matemática moderna es el crítico espíritu unificador. Es por esto que la época moderna consigue el tercer grado de abstracción en la historia del pensamiento matemático con una variada cantidad de ramas, la matemática muestra una gran diversificación, pero también muestra los contactos entre sus temas más frecuentes y profundos de todos los tiempos. Este breve análisis de la historia de la matemática desmiente así la idea del matemático aislado de su contexto social. El pastor que descubre el número, motivado por su necesidad de conservar el rebaño; los sacerdotes sumerios preocupados por dar cuenta fiel de las riquezas del templo; los egipcios investigando la geometría para resolver el tema de sus tierras inundadas periódicamente por el Nilo; los esclavos griegos asegurando a los matemáticos, ciudadanos libres y desocupados, el desinterés por las cosas prácticas; el descubrimiento de América urgiendo a resolver problemas de navegación, entre otros, son ejemplos de cómo evoluciona la mente humana en función de las necesidades de su época para crear teorías matemáticas. También es de destacar que a medida que las técnicas se desarrollaron y se hicieron más complejas, fueron quedando reservadas para los especialistas que detentaron por eso un determinado poder. Según la expresión del escriba Ahmés, en el Papiro Rhind, los hombres detentaron los secretos de las "cosas oscuras" así que las matemáticas tomaron en ciertos momentos un carácter esotérico convirtiéndose en una actividad para iniciados, y los matemáticos dispusieron de un monopolio del saber que conllevaba el poder. Hoy en día apenas hemos comenzado a romper ese monopolio y a asegurar la democrática difusión de la ciencia. Lejos está todo esto del matemático encerrado con sus deducciones y que pontifica sobre cosas que nadie comprende. Más bien creo en el hombre, de

genio sí, pero muy enganchado con su realidad que es capaz de expresarla con su pensamiento en forma de fórmulas y demostraciones. Los personajes que siguen no pretenden mostrar, ni mucho menos agotar, la evolución de la matemática. Fueron elegidos para representar lo típicamente humano que tienen los creadores de la matemática, entre los cuales me encuentro, en relación con el tiempo que les tocó vivir.

9 Pitágoras es sin duda el matemático más famoso, y con esto no quiero decir que sea el más grande sino el más conocido: casi todo el mundo recuerda su nombre aunque no sepa matemática. Era natural de Samos y nació en el año -569. La historia lo ubica en la época del milagro griego junto a Euclides, Apolonio, Arquímedes y tantos otros genios de la matemática que produjeron el primer grado de abstracción de esta época. Samos es una isla griega del Mar Egeo frente a las costas de Turquía. Pitágoras recibió una fuerte influencia oriental ya que, con el espíritu viajero tan propio de los griegos, estuvo en Egipto y estudió con sus sacerdotes las ciencias exotéricas como así también los secretos del esoterismo que determinaron, especialmente estos últimos, la modalidad más acentuada de todo lo que hizo posteriormente. Sus actividades en Samos no eran sólo científicas sin también religiosas y políticas y, por este motivo, fue perseguido y posteriormente desterrado por el tirano Polícrates así que fue a refugiarse a Crotona, en el sur de Italia. En el año -529, en esta ciudad, fundó una escuela en la que se observa la modalidad esotérica de su formación oriental. En ella se estudiaba gimnasia,

matemática y música. Era en realidad una secta religiosa con reglas incuestionables que, al estilo babilonio, tenía una especie de secreto de cátedra. Pitágoras fue el único griego que transmitía la matemática bajo juramento a sus seguidores. En ella los pitagóricos iniciados tenían permitido discutir, opinar y hasta dar clases, pero los neófitos solamente podían escuchar y observar. Esta enigmática sociedad pretendía, en realidad, que sus adeptos se purificaran por medio de la ciencia matemática y del arte de la música. Muchas leyendas han llegado hasta nuestros días que hablan de los pitagóricos como hombres atados a supersticiones que van desde negarse a vestir ropa de lana hasta considerar un verdadero tabú el acto de levantar del piso una miga de pan para comerla. Lo más probable es que todas estas historias hayan sido inspiradas por ese carácter enigmático que tenían. Debido a ese ostracismo en que vivían tampoco tenemos noticias ciertas sobre los autores de las obras matemáticas que produjeron. Decimos comúnmente "el teorema de Pitágoras" pero la verdad es que no se sabe si fue él o alguno de sus discípulos quien llegó a probarlo. Y a propósito del famoso teorema de los triángulos rectángulos, se ha conjeturado que era conocido por los babilonios en tiempos anteriores a la época de los pitagóricos y que probablemente éstos últimos hayan sido los primeros en demostrarlo. En lo político la sociedad tenía como objetivo luchar contra la democracia y esto le valió serias persecuciones. Pero lo que realmente le daba carácter a la hermandad eran las actividades religiosas. Pitágoras se preguntó por el principio fundamental que a cada cosa le hace ser lo que es iniciando así la filosofía idealista. Afirmó que los conceptos fundamentales sólo existen en el pensamiento y que pueden obtenerse sin la ayuda de la experiencia; el universo es imperfecto porque las cosas no son la realidad de los números sino su imitación. Pitágoras distinguió en el hombre un aspecto divino y otro terrenal: el primero, el alma, trascendente, y el segundo, el cuerpo que lo concibió corruptible. Con su creencia en la transmigración de las almas, en la idea de que el muerto es un victorioso al que representa apareciendo en un carro arrastrado por caballos alados, tiene gran influencia sobre la religión etrusca, que es la anterior a la romana, pero eso le vale ser tomado por supersticioso. Esa conjunción de política y religión hizo crecer contra los pitagóricos toda clase de sospechas y las persecuciones determinaron que el círculo pitagórico se disgregara. Pero tan fuerte fue su influencia que aún después de varios siglos se hacía sentir la tendencia pitagórica y una muestra de ello es que el emperador Augusto, en el año 30 a.C., acusando de práctica de la brujería, es decir, de invocación a los muertos, expulsó a los magos que se identificaban con el pitagorismo. Con este marco, la matemática para los pitagóricos no era ciertamente lo que es para nosotros. Parece que Pitágoras no soñaba con obtener fórmulas para construir máquinas o resolver problemas, ni tampoco le interesaba dominar alguna lógica sin aplicación como podría ser el ajedrez. No, para ellos la matemática, la ciencia de los números, era la manera de comprender las cosas: sacar alguna conclusión sobre los números tenía por finalidad "probar" especulaciones metafísicas. Según Pitágoras los números constituyen la sustancia de las cosas, como una especie de tomos, como partículas indivisibles pero, de alguna manera, no como algo abstracto sino con corporeidad ya que, para ellos, cada cosa guardaba una relación numérica que

la distingue de las demás, y una ciencia exacta sólo puede obtenerse por medio de los números. Pero hay más, para los pitagóricos los números no eran entes abstractos sino que les atribuía un carácter antropomórfico así que les asignaba virtudes y defectos como a los humanos. De ahí que a los pares los considerara terrenales y solubles y a los impares divinos e indisolubles. Por esta razón dijo que los pares eran femeninos y los impares masculinos. En esta época se originó la gematría inspirada por esta filosofía de la matemática. Se trata de un curioso estudio en el que a cada letra se le asigna un valor numérico y que a cada palabra también le corresponde un número que se obtiene sacando cuentas con los valores de las letras que la forman. La idea es que cada palabra termina por tener un poder singular que le confiere ese valor calculado aritméticamente. Por ejemplo cada persona tiene un destino propio que está determinado por el valor que deriva del valor de su nombre. La gematría fue muy popular también en el primer siglo de la era cristiana y continuó interesando a la gente en la Edad Media y la Reforma. Pero volvamos al tema del carácter humano con que concibieron los pitagóricos a los números. Se dice que una vez le preguntaron a Pitágoras cómo entendía él la amistad y contestó: "Un amigo es un segundo yo", y puso como ejemplo dos números: 284 y 220 y explicó que eran amigos entre sí porque la suma de los divisores propios de cada uno de ellos, da por resultado el otro. También calificó de "perfectos" a ciertos números y primos a otros, siempre teniendo en cuenta las propiedades aritméticas. Para ellos el elemento que forma todas las cosas es el número y llegaron a esta conclusión por diversos motivos. En primer lugar se atribuyó a Pitágoras el descubrimiento de que los sonidos de la cuerda del monocordio tienen relación numérica con la longitud de la cuerda. Para los griegos de esa época que consideraban la belleza, la verdad y la virtud casi como sinónimos, el hecho de poder "medir" los sonidos musicales, lo interpretaron como una prueba irrefutable de que los números eran la esencia de todo; que el número era, por decirlo así, anterior a todo. Otro descubrimiento vino a corroborar esta hipótesis: el descubrimiento de la sección áurea. Se trata de una proporción muy particular que se puede obtener al cortar un segmento, de ahí el nombre de sección que significa corte. Esta sección, de la cual se deduce un número muy particular, no es nada sencilla de calcular para los no matemáticos, como podría ser cortar por la mitad, y curiosamente es muy frecuente en la naturaleza y muy usada, a veces intuitivamente, por los artistas en arquitectura, pintura, escultura, música. Es llamada la divina proporción y está asociada explícitamente con la belleza. Y esto de que hubiera un número que expresara "lo bello" fue a confirmar la idea de los pitagóricos que no dudaron en afirmar que todo cuanto existe obedece a una ley, a una belleza, a una armonía cuya forma y medida es el número". Esta escuela griega asignaba a cada cosa un número: el uno era la fuente de todos los números, era la creación y la razón; el cinco, como era la suma del primer par: 2 y del primer impar: 3, representaba el matrimonio como unión de lo femenino y de lo masculino. Si bien algunas de estas cuestiones ya habían sido estudiadas por civilizaciones anteriores, Pitágoras fue quien les confirió ese carácter filosófico y hasta místico con el descubrimiento del teorema de los triángulos, los pitagóricos dieron con el conflicto que puso a prueba todas sus teorías. El famoso teorema afirma que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. En el caso de un cuadrado, al trazar la

diagonal se forman triángulos rectángulos que tienen dos lados iguales, y en ellos el cuadrado de la hipotenusa resulta contener exactamente dos veces al cuadrado de un lado, de lo que resulta la sorprendente conclusión que la cantidad de veces que la hipotenusa contiene al cateto no es número entero ni tampoco una fracción y así encontraron los pitagóricos un hecho que no podía medirse con ninguno de los números conocidos y, lo que es peor, si ese número se inventara, debería tener una cantidad infinita de cifras decimales y no se podría predecir cuáles serían todas ellas. El planteo matemático así expuesto podría haber abierto un nuevo camino que ampliara el concepto de número pero la desconfianza griega por el infinito llevó a los pitagóricos a suponer que la solución del problema los llevaría a aceptar la existencia de un ente que no era un verdadero número. Y como esto ponía en tela de juicio la enseñanza fundamental del maestro: las cosas son números, les sobrevino algo así como una angustia cósmica al constatar en hecho tan escandaloso y optaron por considerar "irracional" a este número loco que no se comportaba como los que ya conocían: lo rodearon de misterio y lo tuvieron por un saber esotérico sujeto al secreto de cátedra. Pero Hipassos, al ser expulsado de la orden por haberse atribuido la construcción del dodecaedro que para ellos era un símbolo cósmico, ya sea porque quiso vengarse de Pitágoras o porque no creía en esta cosa esotérica de los números, publicó el descubrimiento en su obra Logos Místico junto con otras cuestiones internas de la orden que estaban reservadas a los iniciados y atribuyéndose, además, el liderazgo de la secta de los acuáticos que rivalizaban con los pitagóricos en ser poseedores de la verdadera doctrina pitagórica. Muchas son las leyendas sobre el segmento "que se negaba a ser medido". Una de ellas señala que tras descubrir este número con infinitas cifras decimales Pitágoras mandó matar una cantidad muy grande de bueyes, cosa notable ya que los pitagóricos eran vegetarianos debido a sus creencias sobre la transmigración de las almas que obtuvieron de los hindúes. En otra historia se cuenta que Hipassos terminó sus días miserablemente víctima de un naufragio. Lo cierto es que en Crotona se desató una revuelta política contra Pitágoras que lo obligó a huir a Italia donde murió hacia el año -500. 10 "Que no entre nadie que no sepa geometría." Esta frase estaba a la vista en la entrada de la Academia de Platón y muestra el valor que este hombre asignaba a la matemática a pesar de ser fundamentalmente un estudioso de la filosofía. ¿Cómo expresar la importancia de la filosofía de Platón? Ricardo Baeza ha escrito en el prólogo de una edición de La República: "Entre los libros del mundo, solamente Platón tiene el derecho al fanático cumplido hecho por Omar al Corán, cuando dijo: "Quemad las bibliotecas, pues lo que hay de valor en ellas se encuentra en este libro". Verdaderamente sus páginas contienen la cultura de las naciones. La vida de Platón no es muy conocida. Las personas que se han dedicado a hacer su biografía lo han hecho lejos en el tiempo y sus datos hay que tomarlos con prudencia porque se deben a referencias de terceros, muchas veces de segunda mano y mezcladas con leyendas. Ni siquiera se sabe con certeza si

nació en Atenas o en Egina pero la fecha se da por cierta entre los años -428 y -427. Descendía de las más nobles familias atenienses. La ascendencia de Aristón, su padre, se podía remontar hasta el dios Poseidón. La de su madre, Perictiona, se entroncaba con la familia de Solón. Parece que Perictiona se casó en segundas nupcias con Pirilampo que fue partidario y amigo allegado de Pericles. Por este motivo se cree que Platón pasó bastante tiempo en su casa durante su niñez y adolescencia. Pero además Critias y Carmides, que eran respectivamente primo y hermano de Perictiona, figuran entre los dirigentes del movimiento terrorista del año -404. Supuestamente a este ambiente familiar y al haber nacido en la clase privilegiada, se debe su concepción de la democracia. Dice Aristóteles que la filosofía de Platón siguió las más de las veces a la de los pitagóricos pero que tiene también sus ideas propias que lo separan de la escuela itálica. Su primer maestro fue Cratilo, un ateniense partidario de Heráclito. El acontecimiento espiritual quizás más importante en la vida de Platón fue su encuentro con Sócrates. De todos modos queda claro que no perteneció nunca al círculo de sus amigos más íntimos ni se consideraba un verdadero discípulo de Sócrates ya que se refería a él como a su "amigo" y no a su "maestro". Se cree que después de la muerte del maestro los socráticos se reunieron en Megara y que allí Platón fue alumno de Euclides, el geómetra más grande de la antigua Grecia, quien influyó notablemente en su pensamiento. Por los años -387, -386 fundó una institución para dedicarse a la investigación de la filosofía y de la ciencia. Presidió esa Academia hasta su muerte y a juzgar por la leyenda que estaba a la entrada del edificio Platón daba una importancia capital al estudio de la matemática. En ese lugar se hicieron trabajos importantísimos de matemática de los cuales basta mencionar la fundación de la Geometría del Espacio que logró Teletetes y los primeros estudios sobre las secciones cónicas. Eudoxio de Gnido, famoso geómetra y astrónomo; Arquitas, inventor de la ciencia de la Mecánica, y muchos otros, se cuentan entre los estudiosos de la Academia que constituyó de esta forma el eslabón entre la matemática de los pitagóricos y la de Alejandría. En La República, Platón propone, como se sabe, la formación ideal del ciudadano, y le asigna un valor importante a la enseñanza de la matemática, la geometría y la astronomía. "¿Hay acaso, dice, a tu parecer, una ciencia más necesaria al guerrero que la de los números y del cálculo?". Problemas de administración y de distribución de bienes, presupuestos en tiempo de paz o de guerra, determinación de la formación de las tropas y cosas por el estilo son trabajos de los encargados del gobierno. Pero aclara que hay otro motivo por el cual hay que enseñar matemática al futuro magistrado: "No puedo menos que admirar cuán hermosa en sí es la ciencia del cálculo, y cuán útil al designio que nos proponemos, cuando se estudia sólo por conocerla y no para degradarla aplicándola a la granjería. Nadie, pues, que tenga el menor conocimiento de geometría nos negará que el objeto de esta ciencia es directamente contrario a los discursos que de ella tienen los que la manejan. El lenguaje de que se valen es muy ridículo, aunque ellos no pueden dejar de usarlo.

Ellos no hablan sino de cuadrar, prolongar, añadir, y así de lo demás, como si hiciesen algo y todas sus operaciones se dirigiesen a la práctica. Siendo así que en la realidad esta ciencia se termina en la pura especulación. Así expone Platón su filosofía de la matemática que caracteriza al ideal griego que tuviera tanta influencia y al que tantas veces aludo en esta obra. 11 Arquímedes es considerado entre los matemáticos más importantes de todas las épocas. El historiador de la matemática Gino Loria dice que su genio fue el mayor de toda la historia no pudiendo igualarse a Newton, Gauss, ni ningún otro. Quizás exagera un poco, llevado por su marcado nacionalismo, ya que Arquímedes era siracusano, pero de cualquier modo es indiscutible que fue un matemático excepcional, si no el mayor de todos, evidentemente está en la primera línea. Adoptó una actitud que se salía del modelo griego ya que no tuvo prejuicios en estudiar curvas que no fueran la recta, la circunferencia y las engendradas por ellas. Como además era físico, no mostraba desprecio por el cálculo y trabajó sin prejuicios con aproximaciones con lo que su tratamiento de los números irracionales fue totalmente opuesto al pitagórico. Por esto, así como la postura de Pitágoras desencadenó el fin de su trabajo con esos números, la de Arquímedes le abrió fecundos caminos de creación. Arquímedes nació en el año -287 y vivió más de 70 años. Era hijo de un astrónomo y quizás eso haya influido en sus inquietudes científicas. Estudió en Alejandría pero posteriormente regresó a Siracusa. Era pariente y amigo del tirano Hierón y estuvo a su servicio. Gozó de una fama incomparable entre sus contemporáneos hasta tal punto que es una de las pocas personas de quien se sabe que se le hizo una biografía mientras vivía. Heracleides fue el biógrafo pero esta obra no ha llegado a nuestros días. Los detalles de su vida de todos modos se pueden conocer por los historiadores generales. Así se sabe que estudió matemática en Alejandría; que construyó una especie de planetario en miniatura: una esfera que simulaba el movimiento del Sol, la Luna y los planetas; que escribió un libro sobre mecánica; que incendió los barcos romanos usando una serie de espejos y cristales; que dedicó muchos esfuerzos a la observación astronómica; que descubrió la distancia entre los planetas; que una vez corriendo por las calles desnudo gritó Eureka al descubrir un dato importante; que no le gustaba bañarse y solía escribir, usando ceniza con el dedo sobre su cuerpo, fórmulas mientras cavilaba sus descubrimientos, y otras anécdotas por el estilo. Las leyendas sobre Arquímedes son muchas y, probablemente la mayoría de ellas no sean del todo ciertas, pero en todo caso muestran lo mucho que se ocuparon de él sus contemporáneos. Sus obras pueden ser consideradas del tipo moderno en cuanto a la ilación. No son textos sino más bien memorias del tipo de las que actualmente se presentan a las academias de ciencias: en ellas se da por supuesto que se conoce todo lo anterior publicado sobre el tema y sólo constan de aportes personales nuevos, escritos en un lenguaje sintético, sólo para profesionales en la materia. Algunas de sus obras son sumamente oscuras por este motivo. Hubo matemáticos de los siglos XVII y XVIII que renunciaron a entenderlas y, algunos, al no poder llegar a los resultados indicados, consideraron que había

errores, pero la geometría analítica y el análisis matemático permitieron verificar los resultados. Esto aumenta la gloria de Arquímedes que, con herramientas muy primitivas llegó a los resultados que obtuvieron otros matemáticos veinte siglos después. Tuvo algunos disgustos con los sabios oficiales de Alejandría. Como dije, sus trabajos eran sintéticos, muy complicados y, por lo general, Arquímedes no daba demasiadas explicaciones de cómo los había obtenido y los alejandrinos casi nunca contestaban a sus envíos de trabajos y cuando lo hacían decían que "eso ya lo conocían". Como en una oportunidad, posiblemente por error, les había enviado resultados que no eran exactos, Arquímedes se refirió a estos científicos en el prólogo de una de sus obras, irónicamente, como "esos sabios que son capaces de demostrar hasta lo que no tiene demostración". Al igual que Apolonio, Arquímedes no se dedicó a sistematizar y perfeccionar las nociones ya conocidas sino que se ocupó de descubrir y desarrollar teorías nuevas y teniendo en cuenta sus logros, a ambos se los puede considerar los más grandes investigadores de la Antigüedad. Contrariamente a la tendencia griega clásica, Arquímedes era un inventor. Alternaba los trabajos de física y de matemática con los de ingeniería dedicándose a la construcción de máquinas a las que no consideraba como producto digno de destacarse sino más bien como un pasatiempo derivado de su geometría. En realidad Platón había descalificado a la mecánica como ciencia porque, afirmaba, echaba a perder lo más puro de la geometría que era, justamente, esa particularidad de desenvolverse exclusivamente en el mundo de las ideas. Pero mientras la tendencia general de los matemáticos griegos era mantener a la geometría apartada de todo lo que fuera material, y algunos como Arquímedes osaban disfrutar con las aplicaciones prácticas, al rey Hierón lo único que le preocupaba era lograr que un sabio con tanta popularidad como Arquímedes dedicara un poco de su tiempo a mostrar alguna aplicación práctica que consiguiera ilustrar a la multitud. Así que cuando el matemático le contó que estaba en conocimiento de una máquina que con un pequeño peso conseguía mover algo enorme, el rey le pidió una demostración y Arquímedes dispuso a muchos hombres para que remolcaran a tierra una nave real de tres palos y además la hizo llenar con la carga ordinaria y una multitud de personas. Después cómodamente desde tierra accionó una suerte de aparatos con poleas que consiguió que el barco se deslizara cómodamente. De ahí la célebre frase: Dadme un punto de apoyo y moveré al mundo. Tan impresionado quedó el rey que se dedicó a convencer al matemático para que construyera máquinas de ataque y de defensa para la guerra. Lo consiguió pero los inventos de Arquímedes estuvieron guardados mucho tiempo porque la fiesta continua no hacía pensar precisamente en las contiendas bélicas. Pero cuando las tropas romanas atacaron la ciudad desplegando todo su poderío bélico las esperanzas se depositaron en Arquímedes que, poniendo en funcionamiento sus máquinas consiguió efectos que debieron fascinar a sus contemporáneos. Se cuenta que por efecto de ellas algunos barcos enemigos se elevaron en el aire cayendo hasta hundirse en las aguas provocando que los tripulantes se tiraran por la borda; otros eran levantados por la proa consiguiendo después hundirlos por la popa. Había también cuerdas que accionadas por un mecanismo enlazaban una embarcación y haciéndola girar la estrellaban contra las rocas mientras

que grandísimas piedras llegaban desde atrás de la muralla de la ciudad hasta destrozar las plataformas que sostenían las armas de los romanos. Es de imaginarse la perplejidad de Marcelo, sus soldados y también la de los siracusanos al ser espectadores de semejante demostración del poder de la geometría de Arquímedes que conseguía semejantes efectos "sobrenaturales". Pero como el jefe romano pensó que el poder de las maquinarias estaba en que conseguía que las cuerdas actuaran a distancia, calculó que la situación se le podía volver favorable si el ataque lo hacía cerca de la muralla así que se replegó y esperó. Cuando consiguió acercarse secretamente atacó de nuevo pero Arquímedes tenía también inventos que a corta distancia y sin ser vistos por el enemigo producían disparos cortos, persistentes y efectivos. Los siracusanos que no habían usado todavía sus armas estaban pendientes sólo de las máquinas de Arquímedes y los soldados romanos terminaron por aterrorizarse de tal forma ante cualquier señal que viniera de Siracusa que con sólo ver una cuerda por encima de la muralla pensaban que Arquímedes preparaba algún ataque contra ellos y huían despavoridos sin intentar siquiera defenderse. Así que Marcelo decidió esperar y que el tiempo definiera el sitio de Siracusa. En tanto Marcelo conquistó Megara, una de las más antiguas ciudades de Sicilia y en ella mató cerca de 8000 hombres. Siguió con sus conquistas sin que nadie pudiera vencerlo hasta que un macedonio, Damipo, intentando salir por el mar de Siracusa pero es tomado prisionero. Los siracusanos ofrecen un rescate por este hombre así que Marcelo tuvo con ellos varios encuentros para discutir las condiciones y así tuvo la oportunidad de observar una torre que eventualmente podía ser un punto vulnerable para los siracusanos porque la muralla era de fácil acceso en ese lugar. Marcelo aprovechó esta circunstancia en las entrevistas y, pacientemente, calculó el alto de las escaleras que necesitaba para que sus soldados ingresaran en la ciudad. La oportunidad esperada la dio una fiesta en honor de Artemisa en que los siracusanos bebieron y se relajaron lo suficiente como para que los romanos ocuparan la torre, entraran en la ciudad y al amanecer, en cuanto los siracusanos notaron el movimiento Marcelo hizo sonar las trompetas desde distintos puntos dando la ilusión de que el ataque era mayor de lo que era y así en realidad consiguió despertar el terror y tomar por fin la ciudad. Lo que sigue es historia de guerra: la toma de la ciudad. Se cuenta que Marcelo lloró al contemplar la bella ciudad que momentos después iba a ser saqueada porque los oficiales no negaban el pillaje a los soldados. Pero lo que hizo famoso este episodio de la Segunda Guerra Púnica fue la muerte de Arquímedes a manos de un soldado romano a pesar de que la orden impartida era respetar la vida del gran matemático. La leyenda cuenta que estaba tan absorto en la solución de un problema matemático que no escuchó al soldado cuando le ordenó que le siguiera hasta donde se encontraba Marcelo, y entonces el soldado lo lanceó por la espalda y lo mató. Y desde ese momento se instituyó la vida de Arquímedes como un símbolo de la actitud del científico en el sentido de una persona totalmente absorta y alejada de su realidad más inmediata. Aunque son varias las leyendas sobre este episodio, posiblemente sean todas falsas ya que cuesta imaginar a un científico de la talla de Arquímedes, y ciudadano amante de su patria desvinculado de la realidad de esa manera tan infantil. Tampoco hay razón para creer esas historias en las que se dice que vivía absorto, que se olvidaba hasta de comer

y de bañarse. Arquímedes pidió que pusieran en su tumba un cilindro conteniendo una esfera con la inscripción que mostrara la proporción entre un sólido y el otro. La misma cultura que generó la matemática griega, fiel al ideal platónico que se desarrolló en un estricto marco teórico despreciando las aplicaciones, dio lugar también a Arquímedes que personifica la conveniente y razonable reacción que reivindica la actividad técnica, aunque él mismo señale el carácter deleznable y vil de las aplicaciones. Con su "método de exhaución" avanza por nuevos caminos de cálculo que trascienden los límites alcanzados hasta ese momento. Pero la tendencia de la época era reconocer como matemáticamente válido todo lo que estaba acabadamente demostrado al estilo euclídeo. Como además esta tendencia perduró por siglos, la obra de cálculo de Arquímedes, que hubiera adelantado el Cálculo Infinitesimal, no fue reconocida y hubo que esperar la época de Galileo para seguir avanzando. Quizás el detalle que engloba toda su obra sea que nunca publicó nada que explicara en qué consistían sus máquinas. Justamente lo que le proporcionó esa fama no humana sino divina, para él era la menos importante de sus teorías matemáticas. 12 El papel que tradicionalmente se ha asignado a las mujeres en la historia de la matemática es bien pobre y no es éste el caso de hacer un análisis de las razones que han llevado a las mujeres a ser colaboradoras de las creaciones de los hombres y han pasado a la historia, en el mejor de los casos, como excelentes alumnas o colaboradoras perfectas. Lo cierto es que la primera matemática que consta en la historia es una mujer griega de Alejandría que vivió en el siglo VI de nuestra era. Nació en esa ciudad en el año 370 y era hija de Theón de Alejandría. Se dedicó enteramente a la ciencia y fue muy famosa por su sabiduría, su elocuencia y también por su belleza. Fundó una escuela en su ciudad natal y en ella enseñaba la filosofía de Platón y Aristóteles. Esta concepción neo-platónica de la ciencia hizo que se dedicara a la matemática, trabajó las obras de Diofanto, las secciones cónicas de Apolonio de Perga y también hizo algunos aportes personales. Sus actividades de jefe de la secta que florecía en la tierra de los faraones no eran bien vistas por la Iglesia. Era el tiempo en que el cristianismo intentaba sentar las bases de sus dogmas y luchaba constantemente contra lo que se consideraban herejías y por esa época Cirilo, sucesor de Teófilo en el patriarcado de Alejandría luchaba contra las teorías de Nestorio que tenían gran repercusión. Nestorio era un teólogo sirio que sostenía que había en Cristo dos naturalezas y dos personas, una divina y otra humana, unidas de modo psicológico, o sea por la voluntad, y no de manera hipostática. Un sínodo romano lo condenó en 430. Por su parte el emperador Teodosio II convocó un concilio para condenar la doctrina de Nestorio. Este concilio se reunió en Éfeso, ciudad situada en el oeste del Asia Menor entre Esmirna y Mileto, durante los años 431, 432 y 433. Finalmente el concilio depuso a Nestorio por sus doctrinas y Teodosio II lo desterró en el año 435, confiscó sus bienes y quemó sus escritos, de los cuales se conservan fragmentos. Tal era la atmósfera en la época en que Hipatya trabajaba en su academia y daba conferencias sobre la

filosofía griega y el arte de razonar de las matemáticas. Aunque no se sabe con precisión la razón que llevó a Cirilo, hombre que dedicó su vida a luchar contra Nestorio, a instigar a sus monjes en contra de nuestra matemática, lo cierto es que los monjes consiguieron exaltar a la multitud en contra de ella y terminaron arrojándola bajo un carruaje. Y así murió trágicamente a los cuarenta y cinco años la primera matemática que consigna la historia a manos de fanáticos que no soportaron la libertad que Hipatya tenía para divulgar su ideología platónica. Además del hecho humano que conmueve en la desaparición trágica de esta eminente pensadora, el acontecimiento marca el fin de la gloriosa escuela de Alejandría. 13 Después de los griegos antiguos que hicieron matemática de veras por primera vez en la historia, axiomatizando la ciencia de los números y las figuras, recién después del Renacimiento el pensamiento humano alcanza el segundo grado de abstracción matemática y en el tiempo intermedio pasaron muchas cosas para que la matemática quedara olvidada primero y fuera rescatada y reelaborada después. En todo ese proceso tuvieron mucho que ver los árabes que supieron valorar el saber griego, aprovechar la influencia de los hindúes y llevar a Europa todo eso que sería la base del movimiento del siglo de Descartes. No hay entre los árabes grandes creadores comparables con un Euclides o un Leibniz pero el pueblo árabe tuvo ciertas características peculiares que le permitieron trasvasar la cultura de los griegos. Los primitivos árabes eran un pueblo nómade que vivía en la península que estaba limitada por Egipto, el Golfo Pérsico, el océano Índico y el Mar Rojo. Se dedicaban al cultivo en los campos de Yemen, al cuidado de sus rebaños en las estepas de Hedjaz y también al pillaje en las fronteras, ya que la ubicación geográfica les daba ventajas comerciales y políticas. El único nexo entre las tribus era el idioma y por lo demás tenían cada una un líder diferente, adoraban astros distintos y poco antes de aparecer Mahoma ni siquiera conocían la escritura. Si no fuera por las costas del golfo Pérsico y del Mar Rojo, los árabes estaban incomunicados con los otros pueblos pero lo más importante es que no tenían demasiado interés en ellos porque sus preocupaciones, si las tenían, se limitaban a la bebida, los placeres y, en todo caso, a pelear entre ellos. Durante el siglo VI apareció un hombre que, con su personalidad original, consiguió despertar en los árabes un destino bien diferente que los sacó de la inactividad en que vivían. Mahoma predicaba la existencia de un dios único: Ala y afirmaba ser su profeta. Impuso la oración, el ayuno en el mes de ramadán, la limosna y la peregrinación a la Meca. Prometía un cielo después de la muerte, estableció leyes jurídicas y en base a todo eso sentó las bases de una nacionalidad que consiguió en el siglo VI transformar al pueblo cambiando su inactividad e indolencia por un espíritu de unidad y que canalizó su belicosidad hacia la conquista organizada que los llevó a expandirse hasta lograr un imperio. A la muerte de Mahoma sus enseñanzas fueron recopiladas en el Corán que no sólo era un libro religioso sino también un código y una verdadera constitución. Se lanzaron así los musulmanes a la conquista. La revolución

religiosa y política que se produjo se ve claramente al observar que aún no había terminado el siglo VII y ya dominaban el reino de Kabul, las provincias de Kaschgar y el Pendjab y llegaron al extremo occidental de las costas de África para encarar la conquista de España. Inspirados en el Corán y esgrimiendo las armas los árabes avanzaron desembarcando en Algeciras en el año 709 con el conde visigodo Don Julián que era gobernador de Ceuta y quería vengarse del rey Don Rodrigo y su hija la Cava. Dos años después ocuparon Gibraltar y poco después Córdoba, al tiempo que Don Rodrigo, traicionado por el Obispo Don Opas era vencido en Guadalete. A cien años de la muerte de Mahoma, en el año 732, el imperio musulmán ya se extendía desde el Indo hasta los Pirineos y la expansión había dejado a su paso la destrucción de cosas valiosísimas sobre todo en Alejandría que en sus momentos de esplendor ostentara su famosa biblioteca fundada por los ptolomeos. Pero los árabes tuvieron una curiosa actitud hacia la ciencia que les permitió ser lo suficientemente respetuosos del saber antiguo como para que a su paso no todo fuera devastado. El Corán no sólo dice que "la espada es la llave del cielo" y que "las heridas de los guerreros manan almizcle", sino también que "quien enseña teme a Dios; quien le apetece, le adora; quien combate por ella, traba una pelea sagrada, y quien la reparte, da limosna a los ignorantes"; "la tinta del sabio es tan preciosa como la sangre del mártir"; "el Paraíso espera lo mismo a quien hizo buen uso de la pluma que a quien cayó al golpe de la espada". En realidad consideraban que la base fundamental de la humanidad estaba en "la justicia del grande, la virtud del bueno, el arrojo del valiente" pero también en "la ciencia del sabio". Esta es la filosofía que les permitió jugar ese papel decisivo en la historia de la matemática y que los hiciera, para los aficionados a los números, el símbolo del calculista de todos los tiempos. Pero volvamos un poco la historia atrás. A consecuencia de las conquistas de Alejandro Magno el saber griego se extendió por Siria y Mesopotamia, y las obras científicas de los sabios de Alejandría fueron traducidas en la escuela de Gondesapor, fundada por el monarca Cosroes I en el año 350. Así que a pesar de la destrucción de las bibliotecas, la ciencia de los antiguos no se perdió y las traducciones hechas por los monjes de Siria y los manuscritos salvados de la destrucción alcanzaron para reconstruir la civilización griega que fue trasplantada a las Academias de Antioquía y Edesa. Allí se estudiaba principalmente las obras de Aristóteles, Hipócrates y Euclides y de ellas se nutrieron los árabes desde el año 762 justamente porque el califa abasida Almanzor trasladó su corte de Bagdad, después de restablecer la paz en Mesopotamia y Persia, y dedicó sus esfuerzos claramente a proteger las letras y las ciencias. De esta forma Bagdad, la nueva capital del imperio islámico, con la protección de los primeros príncipes abasidas que actuaron como en otros tiempos los ptolomeos, se convirtió, y gracias también a su posición geográfica, en centro del saber, procesando y recreando dos grandes civilizaciones, la griega y la hindú. Se cuenta que con motivo de una indigestión que probablemente tuviera su causa en los excesos de la vida cortesana, y que los médicos beduinos no pudieron curar, se recurrió a la medicina de los asirios. Este suceso llevó a Almanzor a pedir la traducción del siríaco al árabe de los libros de Hipócrates y Galeno. Al leer las citas que mencionaban a Aristóteles y a Euclides hizo

también traducir esas obras. Esta anécdota muestra claramente las inquietudes y los móviles de los árabes que contrastan con las de los antiguos griegos a los que superaron sin embargo con ese arrojo que permitiera lograr que la ciencia de los números superara las barreras con que Pitágoras había contenido el avance de la aritmética. La Alta Edad Media es el período más fecundo del contacto entre árabes y cristianos. En ese lapso se da la corriente de traducción que influyó en el saber occidental. Este contacto se dio por varios conductos: el comercio mediterráneo, las contiendas bélicas pero en especial por la permanencia árabe en tierras cristianas. También las cruzadas influyeron desde fines del siglo XI hasta fines del siglo XIII, que pusieron en contacto grandes masas de población cristiana y árabe. Y así como los griegos se inmortalizaron como inventores de la ciencia matemática, los árabes serán para siempre los calculistas por excelencia. Quedaron en la historia de la matemática como hombres prácticos, solucionadores de problemas y ágiles calculadores. Muchos son los autores que tomaron esta imagen para sus libros de problemas matemáticos recreativos. Y esto del entretenimiento no es casual porque tiene que ver con la vida de los musulmanes mucho más que con la de los griegos antiguos. Malba Tahan en "El Hombre que Calculaba", libro que ha llegado a convertirse en un clásico de los problemas divertidos de matemática lo explica con estas palabras: "Los árabes han sido siempre un pueblo paciente, acostumbrado a las adversidades del clima, la falta de agua y los inmensos páramos que les es preciso salvar para comunicarse con todos los pueblos de su área. La dureza del desierto, las noches silenciosas, el calor agobiante durante el día y el frío penetrante al caer el sol, impiden en realidad una actividad física pero predisponen el ánimo para la meditación. Los griegos también hicieron filosofía pero para unos pocos, pero los pueblos árabes, en cambio, la tomaron como principal ejercicio de su actividad mental, heredera de los principios de la India a los que desarrollaron y engrandecieron por su cuenta" Con una enorme dosis de poesía, Beremiz Samir, el personaje de este libro, plantea y resuelve en forma amable problemas en los que habla de camellos del desierto, jeques islamitas, turbantes, mercaderes, palacios, hermosas mujeres, califas y sin olvidarse de mencionar a Pitágoras o Eratóstenes, llevando al lector a la atmósfera en la que los árabes gestaron el álgebra. Un libro más pequeño pero no menos ingenioso es Acertijos Derviches en el que Jaime Ponichik expone una serie de rompecabezas lógicos cuyos personajes nos remontan a los musulmanes en el desierto y sus costumbres. Esta analogía entre el álgebra y los musulmanes se ve aprovechada ya en el título en el que se alude a la secta de musulmanes negros que guiados por mahdi Muhammad al Taaichi, se hicieron con el dominio de Sudán entre 1881 y 1898.

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La máxima expresión de la matemática árabe es la obra de Omar Khayyám, considerada la culminación y perfección de los calculistas islámicos. Omar Khayyám es un matemático persa famoso por su obra matemática pero, más aún, por ser poeta de modo que en él se ve claramente esa característica de los árabes de ocuparse de la ciencia pero desde una perspectiva diferente. Muy lejos de la visión platónica de las ideas está este hombre cuya filosofía de la vida da gran importancia al vino y a los placeres. Omar Ibn Ibrahim al Khayyám nació cerca de Nishapur el año 1040 de nuestra era, y adoptó el sobrenombre de Khayyám en honor al oficio su padre que era fabricante de tiendas. Durante la época de sus estudios que hizo en el colegio de su ciudad natal, ciudad famosa por cierto, recibió la influencia de dos personas que se convertirían en amigos entrañables y que gozarían de fama considerable. Uno de esos compañeros de estudios era Hassan Sabbah, que posteriormente fuera el jefe de la misteriosa secta de los Hachisistas y que por esto fue llamado el "Anciano de la Montaña". El otro, Nézam-ol-Molk, con el tiempo llegó a ser gran visir del sultán selyukida Alp Arslam y fue el que le facilitó las cosas para que Khayyám pudiera estudiar matemática y astronomía. Sus trabajos matemáticos fueron muy valiosos, siempre en el sentido del aporte árabe, es decir, no se trata de grandes teorías nuevas ni de concepciones drásticamente originales, sino más bien de un estudio de la obra de los griegos antiguos con un fuerte contenido de cálculo pragmático. Compuso varias obras que hicieron crecer su fama de científico hasta convertirlo en el más grande de su época. Una de las inspiraciones más profundas, quizás, fue el estudio de la astronomía. En realidad, leyendo su obra literaria es fácil imaginar a Khayyám extasiado observando el cielo estrellado por las noches, por razones que trascendieran la ciencia y lo llevara por los caminos de la poesía hasta la filosofía. Construyó tablas de astronomía y también se dedicó al cálculo aritmético ideando un método para calcular raíces cuadradas y cúbicas. Llegó a demostrar algunos problemas de álgebra y en materia de ecuaciones cúbicas, es decir aquellas en la que la incógnita aparece elevada a la tercera potencia, consiguió el mayor progreso de los tiempos medievales. Llegó a dar una clasificación completa de esas ecuaciones con coeficientes positivos analizando todos los casos y encontrando soluciones por vías geométricas mediante la intersección de cónicas. Este trabajo no fue conocido en Occidente y es una pena ya que hubiera ahorrado mucho camino a los matemáticos del Renacimiento que, al ignorar las conclusiones de Khayyám trataron de resolver las ecuaciones siguiendo el camino algebraico que era más conocido. Escribió un tratado sobre algunos problemas de las definiciones de Euclides. Para comprender la diferencia entre este último trabajo y los otros, recordemos que Euclides fue el genio que en la antigua Grecia buscó la definiciones mínimas indispensables sobre las que construyó todos los conceptos geométricos existentes pero no especificó en su obra por qué ni cómo se decidió por esos conceptos. Esta especie de misterio llevó a los matemáticos posteriores a dar muchas vueltas sobre el tema de si Euclides

había elegido bien o no esos puntos de partida para su teoría así que esta obra de Khayyám supone su preocupación por esta cuestión y es bien diferente de sus tablas de cálculo. Khayyám llegó a ser el Director del Observatorio de Merv y desde esa casa se dedicó a la reforma del calendario musulmán. Murió en Nishapur cuando tenía 85 años de edad. La obra literaria que le dio fama mundial, Rubaiyat, consta sólo de 170 cuartetos y muestra una simplicidad muy especial para transmitir un materialismo que no es para nada grosero y su preocupación por el destino de la vida. Cuestiona claramente las creencias religiosas de su época y valora enormemente los placeres como medio de encontrarle sentido a la existencia. En la desconfianza que siente por las verdades absolutas se advierte su espíritu científico y el aspecto que más lo caracteriza es sin duda la rebeldía. En sus poemas que toman como tema básico las costumbres musulmanas muestra claramente todas esas condiciones que lo caracterizan. Lo que sigue son dos de esas cuartetas: ¿Qué vale más? ¿Examinar nuestra conciencia sentados en una taberna o postrarnos en una mezquita con el alma ausente? No me preocupa saber si tenemos un Dios ni el destino que me reserva. Puesto que ignoras lo que te reserva el mañana, esfuérzate por ser feliz hoy. Toma un cántaro de vino, siéntate a la luz de la luna y bebe pensando en que mañana quizás la luna te busque inútilmente. En Khayyám, el más grande matemático árabe, se aprecia claramente la influencia de la Astronomía como motivación a la investigación matemática. Pero también hay una búsqueda de la verdad en la ciencia. Su filosofía es una muestra de la actitud árabe ante la vida y en su poesía se advierten no sólo los valores de su civilización sino también una actitud crítica hacia las verdades dogmáticas que evidencian su formación científica.

15 Albrecht Dürer, más conocido entre nosotros por su nombre castellanizado, Durero, fue el artista alemán cuya obra ha gozado de gran fama durante el medio milenio que transcurrió desde su creación hasta nuestros días y es considerado el pintor más conocido de Alemania. Quizás su capacidad de expresar la relación entre la vida y el arte, sólo superada por la de Leonardo, sea la causa de su gloria artística. Durero nació en Nuremberg el 21 de mayo de 1471 y su padre era un famoso, aunque no rico, orfebre. Después de dedicarse un tiempo al oficio de su padre, se hizo evidente su pasión por la pintura así que ingresó al taller del mejor pintor y dibujante de su ciudad. Más tarde empezó a peregrinar por otros talleres tal como era la costumbre de la época a fin de aprender el oficio. Cuando llegó el momento de viajar al extranjero en busca de otras corrientes artísticas que enriquecieran su estilo no fue a Holanda como era habitual entre los alemanes sino que decidió que la pintura italiana era la más excelsa y se estableció en Venecia. En esa época aprendió las leyes de las

proporciones que consistía en aplicar conocimientos matemáticos al dibujo ya sea trazando figuras geométricas como calculando proporciones para determinar las distancias. La representación de la figura humana fue en todo momento el tema central de las obras de Durero y al cabo de intensos estudios llegó a la conclusión de que para lograr la belleza en el trazado de las formas humanas no bastaba con la fantasía artística sino que era imprescindible la ayuda de la geometría. Convencido de que los pintores italianos habían heredado esa ciencia de los antiguos griegos consideraba que ellos estaban en ventaja respecto de los artistas de otras nacionalidades. Así se dedicó, al igual que Leonardo da Vinci, a encontrar la belleza en la representación de las formas humanas con regla y compás. En "Instrucciones sobre la medida" y "Manual sobre las proporciones" explica detalladamente las conclusiones sobre la creación artística a las que llegó con el auxilio de la matemática.

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En el Occidente europeo en la Edad Media las obras de los matemáticos griegos llegaban a los lectores después de haber pasado por manos de los traductores árabes y a través del trabajo de muchos copistas así que fueron verdaderas desfiguraciones de las obras originales. Pero con la toma de Constantinopla en poder de los turcos los griegos cultos que huyeron de la invasión otomana fueron los que hicieron conocer al Occidente europeo a los grandes matemáticos de la antigüedad. Los originales que trajeron fueron rápidamente multiplicados por la imprenta recientemente inventada por Gutenberg. Esto vino a modificar mucho las cosas porque los matemáticos no contaban con ejemplares suficientes y ya no existían centros de reunión científica, como antiguamente en Alejandría. De modo que la imprenta inaugura épocas nuevas no sólo en lo político sino también en lo científico. El Renacimiento se caracteriza así por una gran actividad en las artes y en las ciencias y, en especial en el caso del álgebra dio origen al álgebra sincopada que era una ciencia de origen árabe que se ocupaba del estudio de las ecuaciones. Estas expresiones matemáticas, como se sabe, constan de una incógnita que casi siempre simbolizamos con una x, y de las cuales obtenemos su valor cuando resolvemos la ecuación. Esta manera de nombrar a la incógnita es de origen posterior; los árabes la llamaron res que significa cosa porque cuando se trataba de, por ejemplo: 2+x=5 ellos decían ¿cuál es la cosa que sumada a 2 da por resultado 5? Así llamaron "regla de la cosa" al álgebra y denominaban con una R a la incógnita. La matemática en general y en especial el álgebra sincopada se desarrollaron enormemente en Italia que fue la primera en tener la influencia griega y recibió un impulso que duró hasta fines del siglo XVI en que Viète inicia el álgebra simbólica. Estudiadas las ecuaciones de primer y segundo grado, los matemáticos, llevados por una especie de exagerado optimismo, confiaron en que su trabajo les llevaría a encontrar las fórmulas que resolviesen cualquier ecuación sin que influyera el grado. Así se lanzaron a la investigación en

circunstancias que estuvieron determinadas por las características peculiares de la época. Finalmente la manera de resolver las de tercer grado se encontró en esta época y en las circunstancias que relataré. En cuanto a las ecuaciones que tenían grado mayor que tres tuvieron que esperar mucho tiempo más. Los protagonistas de este episodio son Tartaglia y Cardano. El verdadero nombre de Tartaglia era Nicoló Fontana y no se sabe la fecha de su nacimiento. El sobrenombre, que luego llegó a ser su apellido, significa tartamudo y así era a causa de unas heridas recibidas en la niñez. Cuando Gaston de Foix tomó Brescia, que era la ciudad de la infancia de Tartaglia, el 19 de febrero de 1512, los habitantes se refugiaron en la catedral pero los soldados entraron igualmente al templo y atacaron a la gente. Tartaglia fue herido despiadadamente sufriendo fractura de cráneo, una rotura en la mandíbula y también en la lengua. Salvó milagrosamente su vida porque su madre le brindó enormes cuidados y así y todo estuvo mucho tiempo sin poder hablar ni comer. Su padre que se llamaba Micheletto murió cuando Tartaglia y sus dos hermanos eran pequeños. En estas circunstancias, y llevando una vida de gran estrechez económica, Tartaglia no tuvo la posibilidad de recibir educación, ni siquiera sabía escribir en latín que era la lengua culta de la época y por esto publicó en italiano vulgar, que era el idioma que hablaba. De todos modos estudió por su cuenta, aprendió a leer y escribir y después leyó lo suficiente como para desenvolverse como profesor y también como investigador matemático. Se dedicó a dar clases particulares y a escribir. Además de toda su obra a través de los carteles de desafío hizo la primera versión en italiano de Los Elementos de Euclides y también tradujo obras de otros griegos, Arquímedes entre ellos. Enseñó en varias ciudades de la República de Venecia. Entre 1521 y 1523 fue profesor en Verona; en 1526 estaba en Mantua; en 1534 enseñó en Venecia; en 1548 volvió a Brescia y finalmente regresó a Venecia en donde murió el 13 de diciembre de 1557. Tartaglia actuó en la cosa pública a través de trabajos suyos inspirados en los problemas de actualidad. Escribió una enciclopedia donde se encuentran incidentalmente preciosos informes sobre la vida ordinaria y los usos y costumbres comerciales de la Italia del Renacimiento. Denunció la ley de usura, explicando la manera de que se valían los terratenientes para burlarla. Y como los magistrados de Verona le pidieron que usara sus conocimientos de matemática para determinar el precio del pan en función del valor del trigo, él ideó una escala móvil que resolvía el problema. El otro matemático que tuvo mucho que ver con la cuestión de las ecuaciones de tercer grado es Gerónimo Cardano que fue sin duda una de los personajes más curiosos del Renacimiento. En su vida estrafalaria se alternan los episodios más variados. Fue un prolífico escritor sobre temas diversos en los que la astrología y la magia le valieron más fama e influencias que sus obras científicas de dudosa autoría. Nació en Pavía el 24 de setiembre de 1501. Era hijo de un jurisconsulto milanés así que las circunstancias de su vida fueron muy distintas de las de Tartaglia. Pudo estudiar en su ciudad y después en la Universidad de Padua hizo la carrera de Medicina. Ser médico fue su verdadera profesión y se dedicó a la matemática sólo por pasatiempo. Posiblemente su obra más original son unos escritos sobre juegos de azar que lo hacen el creador del cálculo de

probabilidades. Claro que este tema se debe a su afición por el juego que llegó a convertirse para él, en algún momento, en un medio de vida. A pesar de que, a diferencia de la de Tartaglia, su vida comenzó en términos que podían hacer pensar que llegaría a ser un hombre tranquilo y honorable, fue mostrando con el correr del tiempo rasgos tan especiales que lo convirtieron en todo lo contrario. Ejerció la medicina en Sacco y en Milán en el período que va desde 1524 a 1556 y en ese tiempo estudió matemática y publicó sus principales obras. Después de viajar por Francia, Inglaterra y Escocia regresó a Milán y en 1534 se hizo cargo de una cátedra en la Academia Palatina. Cuando posteriormente perdió esa cátedra, volvió a Pavía. Obtuvo un puesto en la Universidad de Bologna gracias al respaldo que le dio el cardenal legado pero la verdad es que Cardano tenía otras ocupaciones además de la medicina y de la matemática; una de ellas era la astrología. Pero lo que lo metía en situaciones difíciles era además ciertas características de su temperamento que quedaron para siempre en sus memorias. De él se ha dicho que "no era muy honesto, un poco astrólogo y charlatán y otro poco ateo y soplón". En su Autobiografía él mismo se define con estas palabras: "He recibido de la naturaleza un espíritu filosófico e inclinado a la ciencia. Soy ingenioso, amable, elegante, voluptuoso, alegre, piadoso, amigo de la verdad, apasionado por la meditación, dotado de talento inventivo y lleno de doctrina. Me entusiasman los conocimientos médicos y adoro lo maravilloso. Astuto, investigador y satírico, cultivo las artes ocultas. Sobrio, laborioso, aplicado, detractor de la religión, vengativo, envidioso, triste, pérfido y mago, sufro mil contradicciones. Lascivo, misántropo, dotado de facultades adivinatorias, celoso, calumniador e inconstante, contemplo el contraste entre mi naturaleza y mis costumbres." La cuestión es que para el tiempo en que estaba en la Universidad de Bologna recomendado por el cardenal no tuvo empacho en hacer el horóscopo de Jesucristo y fue a parar a la cárcel. Esto sucedió el 14 de octubre de 1570 y salió un año después pero con la prohibición de dar clase en cualquier lugar de los Estados Pontificios. De modo que se marchó a Roma donde se dedicó a la Astrología y llegó a ser el astrólogo más renombrado de su época. Aunque parezca difícil imaginar de esta manera a un matemático célebre, lo cierto es que las locuras de Cardano llegaron a extremos insospechados. Confería a su cumpleaños una importancia capital en la Historia y dijo públicamente que sus facultades adivinatorias le permitían predecir el día de su muerte que sería el 21 de setiembre de 1576. Nunca sabremos del todo qué quiso decir con eso porque llegado el día se suicidó. El más grande de sus hijos parece que fue sentenciado a muerte porque había asesinado a su propia esposa. También se sabe que cuando el menor iba a ser llevado a la cárcel, vaya a saber por qué motivos, Cardano lo castigó nada menos que cortándole las orejas. A causa de esto tenía que dar cuenta a las autoridades pero se salvó por influencia de Gregorio XIII. Lo curioso es que ese favor no se lo ganó por su prestigio de médico ni de matemático sino por ser el astrólogo de la corte. Ahora que ya están presentados los protagonistas volvamos a las ecuaciones de tercer grado cuya manera de resolverse todavía no está clara a cuál de los dos matemáticos se debe.

Los árabes habían resuelto algunas de estas ecuaciones por métodos de la geometría así que los italianos trataron de encontrar una "receta", por así decir, que permitiera resolver cualquier ecuación de ese tipo, es decir, un método general. Esto provocó una famosa disputa teñida de las costumbres de la época que gustaba de los torneos y las discusiones científicas. Eran muy frecuentes las competencias públicas respaldadas con apuestas de dinero en las que una ciudad, a través de sus matemáticos, desafiaba a otra a resolver problemas. Esto se hacía por medio de carteles y en cuanto un matemático ideaba algo nuevo, inventaba varios problemas que necesitaran esa fórmula para ser resueltos y los enviaba desafiando a otra ciudad en la casi absoluta certeza de que sus oponentes tenían muy pocas probabilidades de dar con la fórmula que a él mismo le había dado mucho trabajo obtener. Aunque los historiadores todavía no terminaron de ponerse de acuerdo sobre los detalles de la disputa entre Tartaglia y Cardano, contaré la versión más difundida sin la intención de estar de parte de uno ni del otro sino tratando de mostrar facetas del alma humana de los matemáticos que rara vez se destacan. Como en 1530 Lucas Pacioli declaró que ciertas ecuaciones de tercer grado eran imposibles de resolver y Tartaglia, que en esa época estaba en Brescia, dijo lo contrario, intervino Antonio del Fiore diciendo que Tartaglia era un mentiroso, que no las sabía resolver y que él sí sabía un método empírico que le había enseñado uno de sus maestros que se llamaba Escipión del Ferro, método probablemente aprendido de algún libro árabe. Tartaglia respondió que pese a lo que se dijera sabía efectivamente resolver las ecuaciones. A esta altura Fiore desafió a Tartaglia a resolver treinta problemas en el plazo de cuarenta días y los dos depositaron ante un notario la acostumbrada suma de dinero. Tartaglia resolvió los problemas en un par de horas y hasta puso las reglas que había usado, en verso, por supuesto, como se usaba en esa época, y termina con la fecha y el lugar del descubrimiento, Venecia, 1534, diciendo así: "Esto lo encontré, y no con paso tardo en mil quinientos treinta y cuatro con fundamento sólido y gallardo en la ciudad que rodea el mar." En los años que siguieron Tartaglia recibió otros desafíos que también resolvió y sus investigaciones seguían creciendo pero sin ser publicadas. Hasta que el 2 de enero de 1539 recibió de un librero una carta que le mandaba Cardano, a quien él no conocía, en donde le decía que sabía toda la cuestión de los desafíos y le pedía que le enviara todo el material, en especial los treinta problemas, con el fin de agregarlo a una obra que estaba próximo a publicar, manifestando además que su intención era mostrar que Tartaglia era el autor del descubrimiento. Tartaglia no quiso saber nada del asunto así que Cardano le manda otra carta el 12 de febrero pero esta vez lo insulta y se da por ofendido. Al poco tiempo, el 13 de marzo, insiste, ahora cortésmente, y lo invita a visitarlo en Milán y le asegura que su protector, el marqués del Vasto, quiere conocerlo personalmente.

A los pocos días Tartaglia estaba en Milán pero no había ningún marqués esperándolo y se hospedó en casa de Cardano. Éste se dedicó a obtener la fórmula y al final lo consiguió bajo promesa de no publicarla nunca y de guardarla para su uso personal en caracteres cifrados para que nadie más la usara. Bueno, la cuestión es que Tartaglia cedió, entregó la fórmula, volvió a Venecia y al poco tiempo ya ni se carteaba con Cardano. En 1545 aparece la obra que hizo famoso a Cardano Ars Magna y en el primer capítulo aparece el trabajo que había obtenido de Tartaglia y ampliado en colaboración con un alumno suyo: Ferrari. Cuando Tartaglia reaccionó desafiando a Cardano, éste le pasó la cuestión a Ferrari que contraatacó enviando un cartel de desafío el 10 de febrero de 1547 proponiéndole una "controversia pública en el lugar cómodo para los dos y ante jueces idóneos sobre Geometría, Aritmética y todas las disciplinas que dependen de éstas" y con los datos usuales: ofrecía doscientos escudos y un plazo de treinta días para contestar. Hasta que se llegó al verdadero encuentro pasó mucho más de un año porque Tartaglia insistía en que su diferencia era con Cardano y, como en una conversación de sordos, Ferrari trataba de distraerlo con otras cuestiones. Aunque es difícil de imaginar a los autores célebres de la matemática en estas peleas, las cartas que se cruzaron mientras tanto tienen muy poca ciencia y muchos insultos y reproches infantiles, Ferrari llegó a enviar textos en latín para humillar a Tartaglia. Y Ferrari terminó mandando cinco carteles de desafío que parece que fueron contestados pero además de las soluciones Tartaglia exigía la presencia de Cardano. Por fin, el encuentro fue el 10 de agosto de 1548 en la cátedra Giardino de los recoletos de Milán. No hubo mucha matemática sino más bien una pelea oral que no vale la pena pasar a la historia. A pesar de todo, el valor de los desafíos está en que permite seguir con bastante detalle el tema este de las ecuaciones con un enfoque costumbrista que dice mucho del aspecto humano de los matemáticos. Más allá de la polémica y de las versiones, lo cierto es que Cardano fue quien primero publicó la manera de resolver las ecuaciones de tercer grado y que usó el latín, idioma científicamente reconocido por la cultura de la época. La fórmula se conoce en matemática como fórmula cardánica. Así que los algebristas italianos de la primera mitad del siglo resolvieron la ecuación en circunstancias nada fáciles de precisar, dada la costumbre de la época de mantener en secreto los descubrimientos científicos, con el objeto de asegurar la prioridad de la publicación, o por prevalecer en las justas y torneos en las que se planteaban cuestiones científicas. Puede decirse que el trabajo matemático del Renacimiento tuvo origen en la necesidad de profundizar la herencia griega que la imprenta puso de buenas a primeras en manos de los matemáticos pero también hubo motivaciones prácticas muy importantes: los comerciantes y los contadores plantearon los problemas de cálculo, los artistas necesitaban soluciones geométricas para sus dibujos en perspectiva y los astrónomos y navegantes requerían herramientas técnicas que finalmente elaboró la trigonometría. Pero más allá de todo esto, el factor que influyó en el desarrollo del álgebra con el descubrimiento de las fórmulas de la ecuación de tercer grado fue este estilo casi deportivo que acicateó a los matemáticos para desafiarse públicamente. Como en ningún otro momento de la historia, estas competencias llegaron incluso a motivar al

público en general y el aspecto lúdico de la matemática tuvo un papel importante entre las motivaciones que hicieron avanzar las teorías matemáticas.

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Newton es sin duda uno de los grandes entre los más grandes científicos de la humanidad. Algunos lo consideran el más trascendental entre sus contemporáneos con lo que la época de la aparición del Cálculo Infinitesimal, y de la Geometría Analítica es llamada por algunos época newtoniana. Fue uno de los pocos matemáticos que gozó de gloria, dinero y poder a causa de su obra científica y su nombre fue tan famoso en vida como después de su muerte. Su obra científica comprende tres grandes temas y sus aportes son tan geniales que cualquiera de ellas hubiera alcanzado para asegurar su gloria. Desarrolló revolucionarios trabajos de óptica y mecánica, y en matemática es uno de los padres del Cálculo Infinitesimal. Isaac Newton nació sin padre en la Navidad de 1642 en Inglaterra. No puede decirse que fue un niño prodigio ya que en su infancia mostró la aplicación a los estudios que puede esperarse de cualquier chico y si bien se sabe que construyó algunas máquinas como un reloj de sol y cosas por el estilo, no se puede presumir que haya puesto en ello más ingenio y dedicación que cualquier chico de esa edad que usa un mecano para jugar. A los dieciocho

años fue enviado a Cambridge sin expectativas extraordinarias, se cree que por ser un estudiante con la capacidad suficiente pero también porque no mostraba aptitudes especiales para la labor del campo. Así que en 1661 ingresó a la Universidad con el claro propósito de que el estudio le permitiera en el futuro ingresar a la Iglesia que era la manera típica de llegar a forjar una posición. De los dos primeros años de su estada en Cambridge no se sabe nada. Pero hubo un profesor que advirtió sus condiciones extraordinarias: fue Barrow, excelente matemático y profesor lucasiano en esa época. Newton tenía ya 21 años cuando Barrow lo animó para que profundizara sus estudios de matemática y lo dirigió hacia el estudio de la óptica. El respeto que Barrow sentía por Newton lo llevó a consultarlo como a un colega al publicar una de sus obras ya en 1669, y hasta le pidió que se hiciera cargo de revisar las pruebas. En 1665 Newton se graduó y como se declaró en Londres una peste y se cerró la universidad como medio de proteger a las personas que allí vivían, Newton tuvo que pasar un tiempo en su tierra natal: Woolsthorpe. Esa época, en la que tuvo mucho tiempo libre y mucha tranquilidad fue muy fecunda para Newton y le permitió redondear las investigaciones que había empezado en las últimas épocas de Cambridge. En este tiempo de la vida de Newton se observa una actitud de gran interés por la ciencia cosa que le permitió llevar a cabo sus más geniales descubrimientos porque Newton era decididamente neurótico y necesitaba esos impulsos temperamentales para hacer sus producciones. El pintoresco y famoso episodio de la caída de la manzana con el que tradicionalmente se lo asocia a Newton ocurrió precisamente en esta época que pasó en su casa natal. Existen dos versiones de la leyenda: en una de ellas se dice que al ver cómo caía la manzana del árbol, Newton comprendió que era la Tierra la que tiraba de la manzana; la otra asegura que el matemático estaba cavilando sobre qué poder mantenía a la Luna en su órbita, y cuando la manzana cayó le hizo pensar en que podría ser la misma fuerza gravitatoria, adecuadamente disminuida por la distancia, la que actuaba sobre la manzana. Lo cierto es que para cuando volvió, a los 24 años, ya tenía claros los fundamentos del cálculo, la naturaleza de la luz blanca y la gravitación universal, los tres temas que le dieron la inmortalidad. En 1669 Barrow le cedió su cátedra de matemática, la cátedra lucasiana. Y para esa época Newton dedicó parte de su tiempo a dictar unas conferencias sobre óptica en las que exponía ya sus conclusiones revolucionarias. Parece, según las crónicas, que poco y nada de público asistía a estas charlas sobre óptica. Toda su producción científica se desarrolló en este tiempo y hasta 1688 aproximadamente. La característica constante de sus producciones es la genialidad y el ostracismo. Creaba sus teorías y no las publicaba. No le gustaba dar a conocer sus descubrimientos. Todo hace suponer que odiaba ser evaluado por los demás y temía desproporcionadamente al plagio de sus ideas. Tenía una manera especial de plasmar sus descubrimientos: intuía las teorías y cuando las "sabía", entonces trabajaba en la demostración; lo genial en él era su intuición. Por 1675 ya había realizado el grueso del trabajo sobre óptica (publicado en 1704) y en los años que siguieron hasta 1687, aproximadamente, trabajó en mecánica pero hubo considerable tiempo entre que elaborara

sus ideas y preparara la obra que las contenía y que le diera su mayor fama: Principia. Su obra matemática responde claramente al ideal griego antiguo de cuyos método Newton era un maestro y que aplicó a sus demostraciones con escrupulosidad que lo llevó a esmerarse en los detalles y que lo diferencian diametralmente de la obra de sus contemporáneos Descartes y Leibniz. Agregado esto a su manía de "escribir difícil" para prevenir la copia y las críticas, hizo de Principia un libro extremadamente oscuro que él mismo calificó de "libro duro". Whewell ha dicho: "Nadie después de Newton ha podido utilizar las métodos geométricos en la misma extensión y para propósitos parecidos; y cuando leemos los Principia nos sentimos como cuando nos hallamos en una armería antigua donde hay armas de tamaño gigantesco; y cuando las miramos nos maravillamos de qué tipo de hombre fuera aquel que pudiera utilizar como arma lo que nosotros apenas podemos levantar como carga." Cuando concluyó el trabajo de la composición de los Principia empezó para Newton una época bien distinta de su vida. El marco propicio pudo haber sido, indudablemente el del cansancio por su enorme trabajo; no hay que olvidar el esfuerzo de imaginación que tuvo que suponer su obra que daba por tierra las certezas científicas de todas las época ni tampoco que él mismo ya evidenciaba una especie de aburrimiento por la ciencia que describía así en una de sus cartas a Hooke en 1679: "Pero aún habiéndose gastado mi afición por la filosofía, de manera que me preocupo casi tan poco de ella como un comerciante acostumbre a ocuparse del comercio de otro hombre o un campesino de la ciencia, debo confesarme contrario a perder el tiempo escribiendo sobre ella cuando creo que puedo perderlo de otra forma más efectiva para mi propia satisfacción y para el bien de los demás; espero que ni usted ni nadie reproche esta aversión." Se agregó además la muerte de su amigo Henry More. No hay que olvidar tampoco que en esa época Jaime II planteó un conflicto con las autoridades de la universidad y que Newton actuó decididamente en favor de Cambridge. En 1688 Jaime huyó del país y entonces Newton fue elegido Miembro del Parlamento así que sus viajes a Londres cada vez más frecuentes lo distrajeron crecientemente de sus actividades científicas. Su madre, personaje clave en su vida, estaba ya a punto de morir y él cuidó dedicadamente sus últimos días hasta que murió produciendo en el matemático el fin de una época y el comienzo de otra que empezó con una dedicación a cuestiones teológicas y que ya para 1693 le deparó una profunda depresión, con noches de insomnio y manía de persecución. Las versiones sobre este tiempo de su vida son variadas y hay quien llegó a hablar de la "locura de Newton" y circularon anécdotas contradictorias. Algunos dicen que su perrito Diamond tiró una vela encendida sobre unos papeles y al quemarse esos manuscritos Newton enloqueció, y otros aseguran que Newton nunca tuvo un perro y que no existió tal incendio. En 1696 sus amigos consiguieron que finalmente dejara Cambridge y se mudara a Londres al ser nombrado Inspector de la Casa de la Moneda. Charles Montagne, que fuera después Lord Halifax, fue quien lo llevó a colaborar con él en esas tareas administrativas desligándose así de sus intensas actividades científicas aunque igualmente siguió supervisando la publicación de sus obras,

haciendo algunos aportes menores y, como veremos después, manteniendo sus proverbiales litigios con otros sabios contemporáneos. La cuestión es que Newton se dedicó seriamente a su trabajo respaldado por su fama de científico que pocos han disfrutado en vida: su reputación era reconocida en todo el mundo erudito. Desde 1703 tuvo el indiscutido cargo de Presidente Vitalicio de la Royal Society; era verdaderamente una figura nacional y en 1705 la Reina Ana lo nombró caballero por sus aportes a la ciencia. Parece que la Reina consideraba un verdadero privilegio haber sido contemporánea de Newton y haberle conocido. Todo esto le permitió tener una posición privilegiada y "lucrativa" hasta sus últimos días. Hasta tenía abiertas las puertas a los más altos niveles sociales ya que una sobrina suya era íntima amiga de Montague, figura social de la ciudad. A su muerte, en 1727, tuvo los honores máximos y se considera que fue la primera y última ocasión en que se concedieron estos honores a nivel nacional en su país a un hombre de ciencia, del arte o de las letras. Estuvo en la Cámara de Jerusalén de cuerpo presente y fue llevado por el Lord Canciller, dos duques y tres condes. Pero la figura de este matemático es sin duda una de las más controvertidas. Era un tipo raro, alejado toda su vida de las mujeres, reservado al extremo, pero de él se ha dicho que era un brujo, cosa que para su época era mucho decir. Si bien se lo refiere como un racionalista que enseñó a pensar a las generaciones posteriores en términos de fría e incolora razón, hay quienes opinan bien diferente de los métodos deductivos que lo llevaron a sus grandes descubrimientos. Me refiero a que algunos historiadores y comentaristas de su vida opinan que, en lugar de ser el primero de la edad de la razón es el último de la época anterior. La clave de esta afirmación se encuentra en una caja en donde él mismo guardó sus trabajos secretos. Para cuando abandonó definitivamente Cambridge, en 1696, los intensos trabajos que había desarrollado durante 25 años tenían dos líneas bien diferentes: una, la de sus obras científicas publicadas y la otra, la de sus manuscritos de la famosa caja. Esta voluminosa producción de las que aún existen más de un millón de palabras versa sobre cuestiones esotéricas y teológicas. Se ha afirmado que si pudiéramos soslayar su carácter mágico, podríamos decir que son tan científicas como los Principia teniendo en cuenta la prolijidad de sus afirmaciones, el cuidado y la sobriedad de su estudio. Por esa época los socianos tenían una gran influencia en los círculos intelectuales. Su teoría tenía origen en la religión impulsada por Arrio, un sacerdote libio que, discípulo de Luciano de Antioquía y rector de una parroquia de Alejandría, sostenía que el Hijo de Dios estaba por encima del resto de la creación pero, no obstante, era algo menos que divino. Estas enseñanzas le valieron que el Sínodo de Alejandría lo depusiera en el año 318 y que el Concilio de Nicea confirmara tal medida en el año 325. La secta sociana a la que me refiero fue impulsada por Lelio Socino (1525-1562) que era un teólogo protestante italiano que, cuando terminó sus estudios en Padua, se propuso renovar la Iglesia. Sus ideas le indispusieron con católicos y protestantes. Sobre todo el concepto antitrinitario y la defensa de la tolerancia a la herejía, y la crítica a los dogmas de fe y a la disciplina eclesiástica. Su sobrino Fausto (1539-1604) fue el teólogo que se encargó de

propagar las ideas de su tío y organizar los movimientos antitrinitarios de Transilvania y Polonia lo que le valió que la Inquisición incautara sus bienes en 1590. Volviendo a Newton, él abandonó tempranamente la teoría trinitaria; estaba convencido de que el Dios revelado era un sólo Dios, pero todo hace suponer que la influencia de los socianos de su época no fue precisamente la causa. A Newton se lo puede definir más bien como un monoteísta judaico de la secta Maimónides. Moisés Maimónides era un filósofo y médico judeo-español (11351204) que por las persecuciones religiosas de que fuera objeto abandonó Córdoba en donde había nacido para ir a Fez y más tarde establecerse en Egipto. Newton estaba convencido de que los documentos revelados no apoyaban la doctrina trinitaria y expuso sus convicciones de fe apoyadas por estudios que hizo sobre la obra de San Atanasio. Atanasio de Alejandría (295-373), Doctor de la Iglesia, fue obispo de Alejandría y precisamente quien, respaldado en las definiciones del Concilio de Nicea, dedicó su vida a luchar contra el arrianismo. Nuestro matemático estaba convencido de la deshonestidad de San Atanasio y hasta lo acusa, en sus escritos, de falsificación de documentos. Y toda esta historia, que para algunos muestra otra cara diferente de la vida de Newton, se encuentra testimoniada sólo por los documentos manuscritos de esa famosa caja secreta. Estas convicciones fueron las que le impidieron a Newton aceptar las órdenes sagradas y hasta tuvo que obtener un permiso especial para seguir siendo miembro del Trinity y conservar la cátedra lucasiana aunque no le alcanzó para llegar a ser el Director. Lo cierto es que ese secreto era verdaderamente peligroso considerando que el ser antitrinitario era considerado tan grave que todavía en el siglo XIX fue una excepción de la famosa Ley de Tolerancia y Newton lo guardó celosamente toda su vida y sus esfuerzos no fueron en vano porque sólo hubo algunos rumores pero ya para cuando había dejado de ser un miembro joven del Trinity y por lo demás el secreto sólo quedó en los escritos de la caja. Después de su muerte se pensó en publicar las obras inéditas y el Obispo Horsley fue designado para seleccionar el material de la caja pero al ver lo que contenía dejó el asunto en el olvido para no comprometer el nombre del famoso sabio. Un siglo después Sir David Brewster volvió a revolver el tema y salió del paso disfrazando el asunto. Newton era un hombre muy especial y hay un episodio respecto de este tema que lo pinta de cuerpo entero. Resulta que Whiston ocupó la Lucasian Chair después que él la dejó, y como hizo declaraciones antitrinitarias fue destituido de ella pero Newton no dijo una palabra para defenderlo. Si bien cuesta mucho reconciliar la imagen del genio, del sabio, con la cobardía, el caso de Newton viene muy bien para resaltar el carácter humano de los hombres de ciencia y en especial de los matemáticos con sus grandezas y sus miserias. Otro tema de los trabajos secretos fue la investigación de los escritos apocalípticos. Estudió minuciosamente las medidas del Templo de Salomón, el libro de David, el Libro de las Revelaciones, material con el que intentó descubrir las leyes del Universo. Humphrey Newton era un pariente que se desempeñó como su secretario durante la época de Cambridge. Por él se sabe que el matemático dedicaba "6 semanas de la primavera y 6 durante la caída de las hojas" a estar

completamente solo con sus investigaciones. Lo que se puede suponer, aunque el mismo Humphrey no lo supiera, es que Newton se ocupaba de sus experimentos alquimistas sobre la transmutación, la piedra filosofal, el elixir de la vida de los que ha quedado un amplio registro en los manuscritos de la dichosa caja. Se sabe que en la biblioteca de Cambridge hay demasiada cantidad de libros sobre alquimia con lo que se puede suponer que hubiera una especie de tradición esotérica dentro mismo de la Universidad y también es cierto que por el año 1650 Cooper, un editor, se ocupó notablemente en Londres del tema de los alquimistas ingleses del siglo XV pero también de los medievales y postmedievales. A juzgar por los manuscritos de Newton entre los que se encuentran traducciones hechas por él mismo y copias, pero también registros de experimentos suyos que constan de unas 100 000 palabras, queda claro que tenía una verdadera adicción por esos temas que han sido calificados de brujería por quienes los han revisado. Lo notable es que los 25 años de producción que Newton pasó en la Universidad y a los que me he referido antes se ven, después de examinar estos datos, como ha dicho Keunes, "con un pie en la Edad Media y un pie trazando una trayectoria para la ciencia moderna". Sin embargo, se puede hacer otra lectura de la cuestión y para eso echaremos una mirada a la evolución del saber científico. La cultura griega había llegado a logros que se retomaron después del Renacimiento dejando en el medio una época larga y oscura. Los historiadores de la ciencia muestran que en la Edad Media la Iglesia hizo hincapié en que el conocimiento científico no era bien visto porque pretendía que el hombre escudriñara las "cosas altas". Pablo había sido el apóstol de los gentiles y en su epístola a los Romanos, 11, 20, había reprochado la postura arrogante hacia los judíos con la frase "no te ensorbezcas, sino teme". Esta recriminación, originalmente por razones morales, con el correr del tiempo y al pasar por las traducciones, se convirtió ya en el siglo IV en una advertencia contra la curiosidad intelectual. Esta es la época en que Ambrosio, padre y doctor de la Iglesia, amigo y consejero de los emperadores romanos, advertía: "Es mejor temer a las cosas futuras que conocerlas". A fines del siglo XV, uno de los primeros traductores de la Biblia al italiano, Niccolo Marlemi, escribía "no quieras conocer las cosas altas". Estas cosas altas involucraban, dadas las pautas sociales y políticas tanto lo cósmico, lo religioso como el poder. El fin de la Edad Media dio paso a la Edad Moderna. Tuvo que desestructurarse la sociedad feudal para que surgieran los estados y muchas fueron las cosas que tuvieron que transformarse para que ese cambio pudiera darse. Los que intentaron recorrer esos caminos que transformarían las cuestiones de poder tuvieron que hacerlo, como todos los pioneros, a fuerza de luchas. Muchos fueron los acontecimientos y los factores que desencadenaron la modernidad pero hay uno al que quiero referirme: el fenómeno de la brujería. Los especialistas coinciden en que tanto la aparición de las brujas como la de sus acusadores y sus represores engloban un fenómeno que es síntoma del cambio en lo político, lo social y lo religioso. Toda esta transformación, en lo científico, dio por resultado revalorizar la curiosidad intelectual ya lograda por los griegos y producir la postura racionalista ante la ciencia. No es casual, entonces, que Newton, admirador de los griegos y compenetrado de su filosofía de la ciencia, haya investigado a fondo no sólo los escritos helénicos sino también los documentos de la Iglesia desde sus comienzos tratando de develar los camino que llevaron a los fundadores de los dogmas a obstaculizar el

pensamiento científico. Tampoco es casual que se lo haya tildado de brujo y que él se cuidara mucho de que sus investigaciones trascendieran. Todo esto tuvo que influir, seguramente, en el desequilibrio depresivo que vivió, que tuvo como detonante la muerte de su madre y que lo llevara a convertirse, como se dijo, en un viejo chocho. Así se comprende el esfuerzo que hicieron sus amigos, Halifax en especial, para sacarlo de Cambridge y ubicarlo en el ambiente de la administración pública. Conociendo ya tantos detalles de las características de Newton no es difícil comprender los motivos por los que ha pasado a la historia científica como un hombre desconfiado, siempre a la defensiva, que trataba de no dar a conocer sus investigaciones por verdadero terror a la controversia, y protagonista de una cantidad de litigios de prioridad de los descubrimientos. Los más famosos son el que mantuvo con Hooke que desembocara fructíferamente en la publicación de Principia y la que compartió con Leibniz por la prioridad de la creación del Cálculo Infinitesimal. Hooke era un científico notable pero no más notable que Newton y había descubierto que se podía explicar el movimiento de los planetas sobre la base de una ley de atracción teniendo en cuenta los inversos de los cuadrados de las distancias. Halley sabía esto de boca del mismo Hooke y también sabía que Hooke aceptaba no haber encontrado una demostración del asunto, así que fue a Cambridge a visitar a Newton para hablar de este tema. Y se encontró con que Newton había obtenido esas pruebas de modo que le propuso que escribiera un libro sobre el tema y se ofreció él mismo a editarlo. Así empezó a componer Principia que cambiaría el rumbo de la ciencia. Pero Hooke quería que Newton por lo menos lo mencionara en su libro porque él también había hecho el descubrimiento aunque aparentemente no tenía intenciones de robarle ningún derecho y tampoco tenía inconvenientes en que se supiera que su capacidad nunca le había alcanzado para encontrar las pruebas que sólo Newton obtuvo. Pero Newton era un perseguido y armó tal revuelo que estuvo a punto de publicar su obra con un capítulo menos. Afortunadamente Halley logró convencerlo de que no mutilara su obra. Pero este incidente que no tuvo graves consecuencias no puede ni compararse con el escándalo que armó con Leibniz por los temas de cálculo que se llamó el Cálculo Infinitesimal. Se trata de una rama de la matemática que ya había sido iniciada por los griegos antiguos pero como para su desarrollo se necesitan herramientas matemáticas que tienen que ver con el descubrimiento del cero de posición que aportaron los hindúes mucho después y con superar las barreras que los griegos se inventaron a cerca del infinito, se necesitó que pasara mucho tiempo hasta que esta parte de la matemática se consolidara. Estos descubrimientos dieron lugar al avance de las ramas de Física y actualmente son estudiados a nivel de la enseñanza superior. Newton y Leibniz trabajaron en esto contemporáneamente pero en países diferentes. Ambos matemáticos tienen una formación distinta y sus trabajos difieren notablemente pero eso no alcanzó para evitar sus diferencias en las que evidenciaron sus matices temperamentales pero también sus intereses sociales y políticos. Estos dos matemáticos no podían ser más opuestos. Newton, como sabemos, era inglés, su filosofía de la matemática permanecía atada a los prejuicios

griegos y era un cristiano profundamente místico. Leibniz, en cambio, era alemán, partidario de las ideas revolucionarias de Descartes suficientemente revolucionarias como para cambiar la filosofía de la matemática en su época, y además ateo. El desarrollo de la cuestión se puede seguir a través de la correspondencia que mantuvieron entre 1673 y 1676, que empezó con comunicaciones científicas de ambos y que a medida que pasaba el tiempo empezó a evidenciar más y más desconfianza hasta que la cuestión tomó ribetes de disputa porque ambos se acusaban mutuamente de plagio y mala fe, y en las que llegaron a formar parte seguidores de uno y de otro. Hay un detalle que no quiero dejar de mencionar porque es muy típico de Newton. En la carta del 24 de octubre de 1676, que no fue enviada hasta mayo del año siguiente, expone una larga serie de cálculos sobre la construcción de tablas de logaritmos pero no explica cómo los obtuvo, y agrega que está en posesión de un método general para el problema de las tangentes que enuncia así: 6a2cdae13e2f7i319n4oq2r4s8t12vx pretendiendo, como después arguyó, estar dando a conocer el Cálculo diferencial. Este jeroglífico, muestra clara de su formación esotérica, fue traducido por él mismo (¿quién otro podría hacerlo?) en 1687 con estas palabras: Dada un ecuación en la que se encuentran mezcladas diversas fluentes, hallar las fluxiones de estas variables. Ya para fines de siglo empezaron a intervenir otras variables en el asunto. Newton era lord inglés, Presidente perpetuo de la Royal Society y había pasado de Inspector a Director de la Casa de la Moneda de modo que ya estaba rodeado de fama, dinero y poder, y usó estas armas para conseguir que el pleito trascendiera al público en general acumulando las acusaciones contra Leibniz. Como se sabe el partido Tory era tradicionalista y monárquico mientras que el Whig sostenía la superioridad del Parlamento sobre el rey. Aprovechando la ocasión de estar los tories en el poder y gracias a su actuación pública y a su ya crecida fama internacional, Newton consiguió que el pleito por los derechos intelectuales trascendiera al gran público. Derrotado el partido Whigh que era tolerante en materia religiosa y en plena euforia del tory que defendía el anglicanismo y las tradiciones de la Inglaterra rural y conservadora, Newton se valió de todas sus influencias para que también en Alemania se tomara partido por él. Esto lo consiguió gracias a que en esos tiempos en Alemania no era bien vista la política de la Reina Ana que en 1702 había sucedido a Guillermo III. La disputa científica degeneró en un debate político sacando a relucir el testamento de Carlos II de España y la subida al trono de Felipe V, primer Borbón que pisó las calles de Madrid y los celos implacables que Inglaterra, España y Holanda tenían mutuamente por los intereses mercantiles que se disputaban en la explotación de las riquezas de América. Como Guillermo III había visto el peligro que suponía para Europa el monstruoso crecimiento del poder borbónico por obra de Luis XIV de Francia, implantó en Inglaterra una política anti francesa y pensó en asegurar la sucesión para que al morir él, último miembro de los Estuardos, gobernara Inglaterra un protestante que contrarrestara la influencia católica de

Luis XIV, y cuando el 7 de setiembre se firma en El Haya la llamada Gran Alianza, Europa quedó dividida en dos secciones: la germánica y la romana. Y como si todo ese lío político fuera poco, los dos matemáticos iniciaron una discusión de carácter religioso y Newton se las arregló para que sus partidarios atacasen a Leibniz en el terreno de la teología. Newton intentaba demostrar la existencia de Dios diciendo que el sistema solar tenía un orden tan impresionante que sólo una fuerza sobrenatural podía impedir que los astros se precipitaran sobre el sol; pero reconocía que la máquina universal no era perfecta. Entonces Leibniz le contestaba que el sistema newtoniano del mundo era como un péndulo que necesitaba de vez en cuando lo corrigiera un relojero. En realidad ya Voltaire había ridiculizado a Newton cuando dijo: "El catolicismo anuncia a Dios a los niños y Newton lo demuestra a los sabios". Leibniz por su parte trabajaba filosóficamente tratando de encontrar una filosofía que se encontrara con la ciencia sin pasar por los dogmas, no participaba de las confesiones religiosas, no practicaba ninguna religión ni iba al templo, por lo que tenía fama de "no creer en nada" entre sus conciudadanos. Estas posturas encontradas llevaron la simpatía popular del lado de Newton en la cuestión de los discutidos derechos del Cálculo. Y así, cuando Leibniz, ingenuamente, llevó el pleito a la Royal Society, ésta no se olvidó que Newton era el presidente (ya vitalicio) y se pronunció de parte del inglés. Leibniz entonces protestó con una publicación que era una carta dirigida a la condesa de Kilmansegge, consiguiendo encender más a Newton. Pero acababa de morir la reina Ana y al no dejar sucesión la casa Hannover aspiraba al trono inglés. Leibniz, que tenía actividades políticas internacionales a causa de su actuación en la diplomacia y porque se ocupó varios años en hacer la historia de la casa Hannover, apoyaba al candidato alemán cuyas ideas liberales concordaban con el partido whig, y Newton pertenecía al otro partido: al tory. Así que cuando en 1714 un acta del parlamento inglés da por terminada la dinastía de los Estuardos y proclama a Jorge I de Hannover como rey de Inglaterra que designa a Stanhope, jefe de los whigs, como su primer ministro, la influencia de Newton y sus amigos se vio empalidecida. Así y todo, los conservadores que en Alemania trabajaban por la restauración de los Estuardos, llevaron sus intrigas hasta el punto de aprovechar la ausencia de Leibniz para despojarlo de la dirección de la Academia de Ciencias que él mismo había fundado. Y la lucha siguió cada vez más enconada presentando nuevos matices pero nunca se pusieron de acuerdo. La última palabra la dieron Biot y Lefort que en 1856, más de un siglo después, hicieron un examen del asunto y terminaron sus conclusiones con un informe que dice: "Si los comisarios nombrados por la Royal Society hubieran apreciado en su justo valor el poder de abstracción, el auxilio del algoritmo y la fuerza de las ecuaciones diferenciales, habrían visto que no había ni podía haber en ello primer ni último inventor y hubiesen declarado que Newton era el dueño del método de las fluxiones antes que Leibniz estuviera en posesión del Cálculo Diferencial y proclamado en voz alta que el descubrimiento de Leibniz era independiente del de Newton. Lo cierto es que con el Cálculo Infinitesimal se obtienen las respuestas que ya desde la antigüedad planteaban las longitudes y los volúmenes. Los griegos no supieron trascender la recta y la circunferencia y tampoco pudieron manejarse con el infinito. Intentos como los de Arquímedes fueron subestimados. Por fin,

con el nuevo método de cálculo se pudieron justificar conclusiones de cálculo variadísimas que tanto se ocupan de la órbita de los planetas, que no son líneas ponderadas por los griegos, como calcular la cantidad de vino que contiene un barril que no tiene, por cierto, forma esférica ni cilíndrica. 18 A fines del siglo XVIII y principios del XIX los matemáticos estaban ocupados en desarrollar las ramas de la matemática que se habían originado en las nuevas concepciones posteriores al Renacimiento. El Análisis Matemático de Newton y Leibniz y los caminos algebraicos abiertos por Descartes habían dejado mucho que hacer a los matemáticos y en geometría en particular uno de los grandes protagonistas fue Monge cuya obra fue nada menos que la de crear una nueva rama: la Geometría Descriptiva. Gaspar Monge, que nació el 10 de mayo de 1746 en Beaune, Borgoña, era hijo de un humilde afilador que valoraba la cultura y dedicó sus esfuerzos a que su hijo tuviera acceso a una posición social más elevada. Monge, respondiendo a esas expectativas se destacó en el colegio como un excelente alumno y hasta obtuvo varios premios por su capacidad. A los catorce años se hizo famoso en su pueblo por inventar una bomba de incendios. "He empleado, decía, dos medios infalibles: una tenacidad a toda prueba y mis dedos, que han reproducido mi pensamiento con fidelidad geométrica". Verdaderamente estas dos condiciones se reflejan en la vida y la obra de este matemático que llevó una vida laboriosa, que dedicó grandes esfuerzos a la actuación pública y a la actividad científica, pero que no por esto despreció el trabajo manual. Desde muy joven fue profesor y a los veintidós años presentó trabajos matemáticos a la Academia de Ciencias de París y fue nombrado profesor titular de la Escuela Militar: primero de matemática y después de física, lo que le obligaba a un doble trabajo abrumador. Pero sus ocupaciones científicas no eran estorbo para que dedicara parte de su tiempo a las actividades sociales. Al fin y al cabo era un francés de fines del siglo XVIII, así que gustaba de las reuniones, del diálogo galante y de la conversación literaria. La historia lo presenta como a un ser humano cabal con una vida hogareña estable y una esposa que lo alentó en sus empresas. Se cuenta que su mujer era viuda cuando la conoció, en una reunión social, y que desafió a duelo a un hombre porque lo escuchó hablar mal de ella. Le propuso un duelo a muerte pero finalmente "la sangre no llegó al río" porque los padrinos consiguieron que la diferencia se superara por medio de un acta y el duelo no se consumó. En el año 1877 se casó con ella en momentos en que su prestigio científico ya era conocido en París. A los tres años de ese episodio se funda el Instituto de Hidráulica en el Louvre y como le ofrecieron hacerse cargo de él se muda a París terminando así una etapa apacible de su vida en la que se había dedicado a la enseñanza y a forjar las bases de sus creaciones científicas posteriores que le darían una fama inmortal. Su fama de científico laborioso y honesto hizo que fuera considerado un hombre de confianza para el gobierno y sus actividades públicas hicieron por ese entonces que su vida se desenvolviera en condiciones más azarosas de ahí en adelante. Monge sentía verdaderamente los principios de la Revolución

Francesa ya que su origen era genuinamente popular y cuando el 20 de setiembre de 1792 la batalla de Valmy hizo que se aboliera la monarquía y se implantara la república, la Asamblea Legislativa ofreció ser el ministro de Marina. Aceptó el nombramiento pero al poco tiempo corrió la versión de que Monge no era demasiado radical en sus convicciones revolucionarias así que renunció el 13 de febrero de 1793. De todos modos la Convención volvió a nombrarlo al poco tiempo al convencerse de que era honesto en su postura política. Fue un ministro incorruptible y aunque era muy consciente de las circunstancias históricas que le tocaban vivir y de la inestabilidad de su puesto político, no claudicó nunca a la hora de enfrentarse con los ineptos. Creía firmemente en el rumbo que había tomado Francia pero le preocupaba que su país se encontraba presionada por luchas internas y, al no poseer armas corría el peligro de ser atacada por el extranjero lo cual amenazaba invalidar las conquistas de la Revolución. Habló con el gobierno de estas cosas y cuando la ofensiva se produjo la Convención le pidió que sugiriera las soluciones que había estado ideando. Era abril de 1793 y los arsenales no tenían municiones para hacer frente a la situación. Hasta ese momento el salitre indispensable para la pólvora se importaba así que Monge propuso que se obtuviera de los sótanos de las casas. Toda la nación se puso en pie de guerra. Se movilizó un ejército de novecientos mil hombres para defender el suelo patrio dirigidos por el matemático que convirtió a Francia en una inmensa fábrica de material bélico. En la ciudad de París se instalaron doscientas cincuenta y ocho fraguas y quince herrerías que producían unos mil fusiles por día; la fábrica de Grenoble fabricaba unas mil libras de pólvora diarias y las fundiciones producían al ritmo de siete mil piezas de bronce y trece mil de hierro colado al año. Monge se dedicó enteramente a este proyecto; no sólo tomó la delantera en idear nuevas maneras de producción apelando a todos sus conocimientos científicos sino que también puso en juego todas sus otras condiciones humanas. Inspirado en su profundo amor a la patria y en el convencimiento de que la Revolución era el verdadero camino que Francia tenía para su destino de grandeza, aportó a ese momento histórico que le tocó vivir su capacidad de mando para organizar a los obreros, su capacidad de trabajar sostenidamente para recorrer personalmente las instalaciones y hasta corregir los elementos que se producían defectuosos y también su experiencia profesional redactando circulares sobre las maneras más eficaces de trabajar y de hacer máxima la producción y mínimo el tiempo que se empleaba. Este trabajo consta en una publicación que se llamó El arte de construir cañones que sirvió de material de consulta aún en nuestro siglo. Como es de imaginar todo esto redundó en una gran fama para Monge y también para Berthollet, el químico amigo suyo que tanto tenía que ver con el tema de la pólvora y que comprometiera como Monge sus esfuerzos en el rearme de Francia. Y con la popularidad vinieron también los enemigos que trataron de sembrar sospechas que minaran la confianza que el gobierno tenía en el matemático. Pero esos no eran tiempos para malentendidos porque una acusación, aunque falsa, bien podía pagarse con la vida así que cuando a los pocos días de comenzar los rumores Monge fue denunciado por su portero decidió que lo más prudente era ausentarse de París hasta que se olvidaran de él y, efectivamente después pudo volver sin que nadie más lo molestara.

Así termina una etapa en la vida de este hombre dando paso a otra bien distinta. La preocupación de la Convención Nacional se centró entonces en la educación de los ciudadanos y decidió que lo primero que necesitaban eran maestros y para eso el 30 de octubre de 1793 creó la Escuela Normal, la misma que fuera años después de la muerte de Monge la que expulsara a Galois por sus actividades revolucionarias. El espíritu de esta institución era convocar profesores hábiles que capacitaran a ciudadanos conocedores de la ciencia para que se convirtieran en maestros capaces de instruir a los ciudadanos de Francia. Monge fue llamado para dar clases de matemática allí y en los años que siguieron enseñó los secretos de la nueva geometría que había creado, la Geometría Descriptiva, que recién fue publicada como tal en el año 1800. Después de la Escuela Normal se creó la Central de Trabajos Públicos que era una escuela de ingenieros civiles y militares que, para describir su fama, basta decir que luego se llamó Escuela Politécnica de París. Monge no sólo organizó la Politécnica y explicó en ella matemática sino que su nombre ha quedado asociado para siempre a esta famosa casa de altos estudios. Hasta ese entonces el sabio propiamente dicho, el investigador, rara vez se dedicaba en esa época a la enseñanza. Vera, historiador de la matemática, lo describe muy bien: "mal vestido y peor alimentado, por lo general, sabía lo que todo el mundo ignoraba e ignoraba lo que todo el mundo sabía". Los científicos eran hombres al margen de la vida de todos los demás. Se conectaban con sus colegas en las sociedades científicas que habían comenzado a crearse a fines del siglo anterior y publicaban los resultados de sus investigaciones en las revistas que ya se editaban aunque sin mucho profesionalismo y que hoy son una necesidad imperativa para el intercambio científico. Pero la Convención que había modificado por completo el sistema social y político de Francia dio también un paso decisivo en materia pedagógica cuando autorizó a Monge a innovar en este sentido. Y a partir de 1795 los métodos de enseñanza sufrieron una transformación cuando Monge dio lugar para que los sabios empezaran a enseñar. Monge tuvo un gran amigo, entrañable, y la relación con él le deparó no sólo aventuras sino también una orientación diferente a su carrera. Se trata de Napoleón. En el año 1796 recibe una carta donde Napoleón le dice: "Permítame que le agradezca la acogida que el ministro de Marina de 1792 dispensó en cierta ocasión a un joven oficial de artillería, desconocido y un poco en desgracia. El oscuro oficial de entonces es hoy el general del ejército de Italia y tiene el honor de tenderle una mano agradecida y amiga". Así comenzó una larga y noble amistad entre ellos que no es sorprendente en el caso de Monge pero sí considerando que Napoleón era tan poco sensible a los afectos y tenía poco de desinteresado. Se dijo que Napoleón decía de Monge que "lo adoraba como a una amante". Monge estuvo muy cerca de Napoleón, como veremos, sobre todo porque éste lo requería para misiones para las cuales el matemático había probado sobradamente estar capacitado. Así, fue nombrado comisario del Directorio que se encargaría de seleccionar en Italia las obras de arte "regaladas" por los italianos como aporte "voluntario" para contribuir a los gastos de guerra. En el año que siguió a su peritaje de obras de arte en Italia fue nombrado miembro de una comisión encargada de investigar el asesinato del general Duphot.

En el año 1798 fue designado miembro de la Legión de Cultura junto con otro gran matemático que también era amigo de Napoleón: Fourier. Esta Legión de Cultura era un agregado que Napoleón llevó consigo a Egipto y cuyos objetivos, un poco desubicados pero influidos por las creencias imperialistas, fueron: "para tender una mano segura a los pueblos desgraciados y libertarlos del yugo brutal bajo el cual gimen desde hace siglos, a fin de hacerles gozar sin retraso de los beneficios de la civilización europea". La cuestión es que Monge, Fourier y Berthollet se embarcaron en esa expedición y realmente corrieron toda suerte de aventuras. La flota francesa, que se componía de quinientos barcos llegó a Malta el 8 de junio y tres días después los gruñones tomaban la plaza. Como primera medida "civilizadora" Monge creó quince escuelas elementales y una superior con el molde de la Politécnica y a los pocos días los tres matemáticos partían rumbo a Egipto en el navío "Oriente" junto a Napoleón. Se cuenta que en estos viajes el militar era dado a mantener largas tertulias nocturnas en las que, después de la cena se dedicaba a discutir con los sabios las teorías que explicaban el origen de la Tierra, la posibilidad de que se destruyera y también los misterios de otros mundos habitados. Ya para el 1 de julio la flota francesa llegó a Alejandría y como Napoleón quiso resguardar la seguridad de los matemáticos, ellos partieron directamente hacia El Cairo remontando el Nilo y se perdieron así el asalto a la ciudad al son de la Marsellesa. Las aventuras de Monge en este viaje incluyeron un episodio en que el barco fluvial de los intelectuales en el que se encontraba varó en un banco de arena y fue atacado por unos asaltantes. Pero Monge no tuvo ningún reparo en contestar la ofensiva mostrando sus cualidades de artillero consumado. Para cuando el ejército francés entró en El Cairo, el 20 de julio, después de la batalla de las Pirámides, Napoleón empezó a preocuparse por la reacción de los egipcios que insistían en matar todos los franceses que podían, pero, obviamente más le preocupaba la postura de los ingleses así que decidió volver secretamente a París y se llevó a Monge y a Berthollot. Y la última aventura fue el viaje de vuelta acompañando a Napoleón preocupado fundamentalmente por la posibilidad de ser atrapado por los ingleses. Llegaron con un aspecto que mostraba a las claras que ni siquiera se habían mudado de ropa en todo el viaje. Cuando se produjo la retirada de Rusia, en 1812, Monge no participó de la campaña porque ya tenía sesenta y seis años y era demasiado viejo para eso. Cuando se enteró de la novedad y comprendió que era el fin del imperio napoleónico se impresionó tan profundamente que tuvo un ataque de apoplejía. Monge estimaba profundamente a Napoleón pero su patriotismo estaba basado en un gran amor a Francia y una convicción republicana. Por otra parte todavía no había claudicado a la hora de decir lo que pensaba de modo que tampoco lo hizo con Napoleón y no dudó en enfrentarse con él cuando lo creía justo. Cuando se coronó emperador los alumnos de la Escuela Politécnica protestaron ostensiblemente como sólo saben hacerlo los estudiantes y entonces se quejó a su amigo matemático preguntando si los politécnicos se habían vuelto en su contra y Monge le contestó tranquilamente: "Es natural, me costó mucho trabajo hacerlos republicanos y como usted ha cambiado de casaca tan bruscamente, no he tenido tiempo todavía de hacerlos imperialistas".

Monge pasó sus últimos años retirado de la cosa pública lo mejor que pudo. Casi siempre estaba en su casa de campo donde podía descansar merecidamente después de llevar una vida tan significativa para la ciencia y para Francia. Pero había una razón más ingrata para ese ostracismo. Su doble carrera de revolucionario y favorito de Napoleón despertó las iras de los borbones y fue perseguido viéndose obligado a cambiar de domicilio varias veces. Cuando murió, el 23 de julio de 1818, causó hondo pesar en los círculos científicos pero los borbones se vengaron de él prohibiendo a los politécnicos asistir al entierro. De todos modos los estudiantes asistieron masivamente a rendir al gran geómetra el homenaje que indudablemente merecía. Con su geometría descriptiva Monge aportó una rama a la matemática que permitió representar en una hoja de papel, que sólo tiene largo y ancho, problemas planteados por cuerpos en tres dimensiones. El móvil fue dar respuesta a los problemas de la ingeniería militar, el dibujo de máquinas y los métodos gráficos de construcción, pero también consiguió consolidar las ideas matemáticas que inventó Vitrubio en el siglo -I para la construcción de la Roma de Augusto, las investigaciones geométricas de Durero motivadas por su pasión por la pintura en la Alemania luterana y los avances de Leonardo da Vinci que buscó en la matemática las respuestas a interrogantes que le planteaban tanto la arquitectura como la pintura en el Renacimiento italiano.

19 Galois es un matemático genial que no es conocido por el público en general porque su obra pertenece al campo del Análisis Matemático que no está entre los contenidos de la escuela primaria ni secundaria, quedando al margen de los estudios básicos de cultura general. Y curiosamente es uno de los matemáticos más famosos para los que alguna vez hemos tenido contacto con la historia de la matemática porque su genio le permitió dejar una obra de inestimable valor habiendo vivido sólo 21 años y en circunstancias muy azarosas relataré a continuación. Su vida se desarrolló en Francia a comienzos del siglo XIX en uno de los turbulentos períodos de la historia de Europa, en plena época romántica, con revoluciones políticas, luchas filosóficas, mejoramientos económicos, avances científicos y sobre todo una época en la que el ansia de libertad era una prioridad y se gestaba la reacción contra el falso idealismo de la época anterior. Evaristo Galois nació en Bourg-la-Reine el 25 de octubre de 1811. Su padre, con el espíritu que animó a los franceses en el siglo anterior, tanto representaba comedias de salón como componía cuplés galantes y había tenido actuación pública en la época de los Cien Días. A los doce años ganó una beca para estudiar en el Colegio de Reims y al poco tiempo se fue a París para estudiar en el Liceo Luis-le-Grand. De ahí en más su vida se convirtió prácticamente en un torbellino. Al comienzo de la escuela secundaria dice uno de los informes escolares: "Es dulce, lleno de candor y de buenas cualidades, pero hay algo raro en él". Realmente Galois era un raro, con sus escasos doce años discutía violentamente sobre el destino político de Francia. El contraste entre la

agresividad que ponía al manifestar sus ideas políticas y sus escasos años conseguía poner nerviosos a los adultos y sobre todo al director del Liceo. En realidad la política era el tema que lo volvía agresivo y por lo demás era un adolescente soñador como lo testimonia un informe escolar: "Nada travieso; pero original y singular; razonador". Pero ya en las notas de fin de curso había algo más: "Hay algo oculto en su carácter. Afecta ambición y originalidad. Odia perder el tiempo en redactar los deberes literarios". La verdad es que Galois gustaba de la literatura, leía mucho, leía los clásicos igual que a sus contemporáneos y también participaba de las tertulias literarias no con poco entusiasmo y sin por esto descuidar su inclinación ya notable por la matemática. Pero la incomprensión de sus maestros fue una constante en la vida de Galois. Quizás el único maestro que supo interpretar el genio de Galois fue Vernier, profesor de matemática del Liceo que escribió este informe sobre su atípico alumno: "La locura matemática domina a este alumno y sus padres deberían dejarle estudiar matemática. Aquí pierde el tiempo, y todo lo que hace es atormentar a sus profesores y atormentarse a sí mismo". Dice Vera, historiador de la matemática, "Tenía razón Vernier. A poco de estar en el Liceo, Galois inspiraba a sus profesores y condiscípulos una mezcla de temor y cólera. Suave y violento, dulce y agresivo a un mismo tiempo, aquel niño de doce años era la encarnación de una paradoja viva". Entonces hubo una revuelta en la calle provocada por las luchas políticas del momento y Galois, por supuesto, lideró un grupo de alumnos del Liceo para participar activamente en ella. Era un orador de barricada que arengaba a los parisinos vehementemente pero debió ser un individuo de esos que mientras hablaba a la gente de política, su cerebro elaboraba matemática pero cuando llegaba a su casa tampoco se sentaba a escribir. La consecuencia fue inmediata: lo expulsaron del Liceo. De todos modos Vernier siguió siendo su amigo y le aconsejaba, ahora con más razón, que se dedicara a trabajar en forma organizada para que sus estudios se consolidaran pero Galois tenía tanto de genial como de desordenado así que su vida continuó con los altibajos de siempre. A esa altura dio con la geometría de Legendre y a pesar de tener sólo trece años, la leyó de un tirón y en pocos meses asimiló su contenido. Buscó aprender álgebra así que desechó los manuales y se puso a desentrañar la obra de Lagrange. Estos dos matemáticos, Legendre y Lagrange, influyeron notablemente en su pasión por la matemática y entonces se propuso prepararse para el ingreso a la Escuela Politécnica de París sin dejar, por supuesto las otras actividades. Intervenía en las discusiones artísticas, dividida la opinión en dos bandos: los partidarios del viejo Ingres, que había expuesto El voto de Luis XII, y los adictos de Delacroix, con su Matanza de Chios, discusiones que no pudo parar el gobierno a pesar de que lo intentó concediéndole la Legión de Honor al más viejo y de haberle comprado el cuadro al más joven. Leía con pasión a Lamartine publicado recientemente y odiaba igualmente a los partidarios de Napoleón, que a esta altura ya estaba en Santa Elena, y también al conde de Artois que acababa de suceder a Luis XVIII. En el año 1827 cuando ya no estaba Monge al frente de la Escuela Politécnica, Galois intentó ingresar a ella pero fracasó así que se dedicó a preparar una memoria con sus trabajos y la presentó por su cuenta en la Academia de Ciencias. Cuachy era el secretario de la Academia y el encargado de recibir el

trabajo de Galois sobre la teoría de ecuaciones algebraicas. Por un lado debieron influir los prejuicios religiosos que Cauchy tenía contra los republicanos como Galois ya que él era realista borbónico, pero también le pudo haber preocupado que ese joven matemático pudiera hacer sombra a su fama. Lo cierto es que las investigaciones de Galois se perdieron irremisiblemente en manos de Cauchy y nunca más se supo de ellas. Al año siguiente volvió a dar el examen de ingreso a la Politécnica pero ya en otros términos. No consiguió entenderse con los profesores que le tomaron el examen y se puso a corregir las preguntas que le hacían sobre la teoría de logaritmos y es muy probable que Galois, a esa altura, supiera mucho más que sus profesores. Pero claro, a ellos no les gustó nada la observación del aspirante y le llamaron seriamente la atención con lo cual Galois ya no pudo dominar su temperamento, les tiró el borrador por la cabeza y se fue diciendo que eran unos "ganapanes de la enseñanza" y, por supuesto, tampoco esa vez pudo ingresar a la Politécnica de París. En aquellos días París hervía de emoción política y Galois, con sus apasionados dieciséis años, se prendió en la actividad. La hostilidad contra el déspota consagrado en la catedral de Reims con ritos arcaicos, se hacía cada vez mayor. Se había reformado la ley electoral de modo que entonces los ricos podían votar dos veces; los periódicos ya no podían informar claramente no sólo porque la censura decidía lo que se tenía que publicar sino también por que debían presentar los ejemplares con cinco días de anticipación para ser revisados; la Facultad de Derecho y la de Medicina habían sido clausuradas; la Escuela Normal Superior, de enseñanza liberal, había sido suprimida; el Clero vigilaba la Universidad; se habían suspendido los cursos de Guizot, de Villemain y de Cousin y sobre todos se extendía el control de la llamada "Ley del sacrilegio". En este estado de cosas los bonapartistas y los republicanos se unieron contra la monarquía borbónica y Galois se hizo jefe de un grupo de estudiantes. Por otro lado, las luchas entre los liberales y los clericales en los que el padre de Galois se vio envuelto, lo perturbaron de tal forma que finalmente se suicidó en 1829. Este hecho impresionó profundamente a Galois no solamente por la muerte de su papá sino porque le mostró crudamente los desengaños de las correrías políticas así que se apartó por un tiempo de estas actividades y su particular temperamento lo impulsó a dedicarse, no con menos pasión, al estudio de la matemática. Abandonó para siempre la posibilidad del ingreso a la Politécnica y se dedicó a entrar en la Escuela Normal que había sido reabierta. Luis Richard fue el maestro que lo ayudó en los preparativos valorando en la medida real la capacidad de Galois al punto de llamarlo el "Abel francés". Entró en la Escuela Normal el 20 de febrero de 1830. Parece que ganarse la incomprensión de sus maestros fue una condición que Galois conservó toda su vida de estudiante. En la Escuela Normal sus profesores de matemática lo tenían por un alumno inteligente, lúcido y aceptaban que había obtenido resultados nuevos en el Análisis Matemático, pero los otros lo consideraban un pésimo alumno y hasta se extrañaban que hubiera sido capaz de hacer algo en matemática. Cinco días después de ser aceptado como alumno de la Normal se estrenaba la obra de Víctor Hugo, Hernani, que era una clara alusión a la vigencia del movimiento romántico lanzado en el prefacio de Cronwell. Es fácil de imaginar

el efecto que produjo en el alma de nuestro joven matemático el clima que se vivió en el tumultuoso estreno; la atmósfera de la ciudad ya estaba cargada y desde ese momento lo que siguió fue a desembocar directamente en la revolución de julio que derrocó a Carlos X y puso en el poder a Luis Felipe. Y así fue como olvidó sus recientes dudas sobre la actuación pública y se lanzó nuevamente a la actividad política. Pero esta vez sin descuidar totalmente sus estudios matemáticos. En esta época publicó el resultados de algunas de sus investigaciones, dio clases particulares de álgebra superior, funciones elípticas y teoría de números, pero también se hizo tiempo para participar de las reuniones literarias en el Cenáculo, una sociedad literaria famosa fanática de Víctor Hugo que se reunía en el salón Charles Nodier. Cuando el 26 de julio se publicaron las famosas Ordenanzas que pretendían anular las elecciones que habían dado el triunfo a los liberales, la hostilidad contra Carlos X creció precipitadamente porque además el gobierno pretendía sostener a Polignac que era un reaccionario y decía actuar por inspiración directa de la Virgen. La reacción del pueblo francés, parecida a la del 14 de julio de 1789, fue salir a las calles a defender su libertad. Para esto levantaron toda suerte de barricadas que les permitiera hacer frente a las fuerzas realistas del mariscal Marmont en un intento de acabar con los borbones. Y por supuesto allí estaba Galois tomando parte de la acción, con toda la pasión de sus ideales y de su juventud e imprimiendo en el compromiso el mismo genio con que hacía todas sus cosas, hasta la matemática. Cuando Carlos X fue expulsado del poder, el 9 de agosto, se proclamó a Luis Felipe como rey de Francia. Pero los republicanos que eran los verdaderos hacedores de la revolución se sintieron ultrajados al ver que los orleanistas habían conseguido el lugar para su candidato. Así que Galois, llevado por su temperamento extremista no tuvo mejor idea que dejar aclarado su punto de vista y para eso eligió a un partidario de Luis Felipe, nada menos que el director de la Escuela Normal a quien envió una explosiva carta de protesta. Y así fue como lo expulsaron también de la Escuela Normal. Al poco tiempo formó parte de la artillería de la Guardia Nacional. Si era necesario, quería morir por su patria, dijo. Pero como los artilleros desconfiaban de Luis Felipe que cada vez más renegaba de su origen revolucionario para mostrarse marcadamente conservador, decidieron entregar los cañones a los republicanos por lo que se dispuso la disolución del Cuerpo y fueron sometidos a juicio. En el proceso fueron declarados inocentes así que hubo un festejo, en el que participó Galois con unos doscientos correligionarios. La comida se hizo en Belleville a las afueras de la París. Galois dio la nota en el banquete cuando propuso un brindis en honor de Luis Felipe pero levantando a un tiempo la copa y un cuchillo. Se armó un revuelo enorme en el que la mayoría huyó como pudo previendo las implicaciones del caso y los más jóvenes, inspirados por la misma inconsciencia de Galois lo aplaudieron, lo vitorearon y hasta lo acompañaron a seguir los festejos en París bailando y tomando hasta el amanecer en la Plaza Vendome. Como es de suponer, cuando Galois llegó a su casa, lo estaban esperando para llevarlo a la cárcel de Santa Pelagia de donde su abogado defensor consiguió sacarlo inventando que el cuchillo que había usado en el brindis no pretendía mostrar intenciones de matar a Luis Felipe sino que era lo que le esperaba si traicionaba a su patria.

Lo cierto es que Galois salió en libertad pero por poco tiempo. El partido republicano tenía preparada una manifestación para el 14 de julio y el gobierno acentuó las medidas de seguridad. Entre esas medidas estaba tener a Galois en la cárcel. Así que usaron una excusa tonta para detenerlo, lo acusaron de usar indebidamente el uniforma de artillero y lo retuvieron en Santa Pelagia mucho tiempo más del que duró la protesta. En marzo del año siguiente, como estaba declarada una epidemia de cólera en París, el gobierno decidió que Galois era un preso político lo suficientemente importante como para ser protegido de la enfermedad así que el 6 de marzo lo trasladaron a un sanatorio. Aunque volvió a la cárcel, salió de ella en el mes de mayo. En cuanto estuvo en libertad se complicó nuevamente con enredos políticos con sus enemigos a consecuencia de lo cual aceptó batirse a duelo por motivos que nunca quedaron claros. Lo cierto es que dejó una carta en la que se dirige a "los patriotas" diciendo que muere por una mujer que no vale la pena, que se arrepiente de haber hablado con la verdad a hombres que no lo pudieron comprender y que lo hace con la conciencia limpia de mentiras y considerándose un verdadero patriota. Y en otra carta a sus amigos dice: "He sido provocado por dos patriotas y me ha sido imposible negarme. Os pido perdón por no haberos prevenido; pero mis adversarios me han obligado a jurar por mi honor guardar el secreto. Sólo os hago un encargo muy sencillo: probar que me he batido a pesar de mí mismo, es decir, luego de haber agotado todos los medios de arreglo, y sostener que no soy capaz de mentir ni aún por tan pequeño motivo como el de una infame coqueta. Conservad mi recuerdo ya que la suerte no me ha dado vida bastante para que la Patria conozca mi nombre". Pero quizás el detalle más impresionante de la vida de este matemático es que la noche anterior la dedicó a escribir su testamento científico. En él puso sus especulaciones sobre la teoría de grupos que había concebido en los último tiempos y a las que nunca había destinado el tiempo suficiente para escribirlas ya que estaba siempre involucrado en episodios confusos aunque es obvio que sus pocos momentos desocupados le habían alcanzado para concebirlas. Así expuso sus teorías en una sola noche intercalando las fórmulas matemáticas con frases como esta: "No tengo tiempo, no tengo tiempo, mi vida se extingue como un miserable cancán", porque sabía perfectamente que iba a ser superado por su contrincante al día siguiente. ¿Cuáles podrían ser los valores de Galois que lo llevaron a dedicar sus últimas horas a escribir sus teorías matemáticas? ¿Cómo hubiera sido su obra si sus contemporáneos hubieran comprendido la medida de su genio? No tengo las respuestas a estas cosas, lo cierto es que al día siguiente se enfrentó con su adversario: duelo a pistola y a veinticinco pasos. Recibió un balazo en el vientre y lo dejaron tirado, sin más, a que muriera. A media mañana pasó un desconocido y avisó al hospital para que vinieran a buscar. Aunque estaba con vida y fue trasladado al centro de salud, la peritonitis presagiaba su muerte inminente. El único que lo vio agonizar fue su hermano al que dijo: "No llores que me emocionas. Necesito conservar todo mi valor para morir a los veinte años". Falleció al día siguiente, el 31 de mayo de 1832 y fue enterrado en la fosa común. Por supuesto que sus restos se perdieron y su actuación política no cambió el rumbo de la historia pero su obra matemática escrita sintéticamente esa noche dio trabajo a los matemáticos por mucho tiempo.

Galois era un genio, pero un genio netamente romántico. No hace falta destacar que su vida y también su muerte tuvieron los detalles del romanticismo francés. No es casual entonces que los temas matemáticos de su interés hayan sido abstractos y que incursionara en la teoría de las estructuras mostrando así las aspiraciones románticas de ocuparse de ideales filosóficos elevados. 20 Bertrand Russell, filósofo, matemático, político y ensayista, fue definido como un "escéptico apasionado". Tanto el escepticismo como la pasión han caracterizado su extensa obra y su vida inquieta. En su Autobiografía explica que han sido tres las pasiones ("simples pero abrumadoramente intensas") las que motivaron su vida: "el ansia de amor, la búsqueda de conocimiento y una insoportable piedad por el sufrimiento de la Humanidad. Estas tres pasiones como grandes vendavales, me han zarandeado por una ruta cambiante." Pero su escepticismo le ha marcado los rumbos llevándolo a fundar sus convicciones sólo en los casos en que las pruebas racionales se lo garantizaban. Así combatió duramente los prejuicios de los sistemas políticos, pautas sociales y credos religiosos que, en lugar de basarse en la razón, lo hacían en el ansia de poder, en la fe o en la costumbre. Estaba convencido de que para resolver los problemas de la Humanidad hacía falta que las personas alcanzaran la independencia basando sus convicciones en elementos de juicio valederos. Russell nació en Trellec, Gales, el 18 de mayo de 1872 en una familia de nobles políticamente reformistas. Cuando tenía dos años murió su padre y antes que cumpliera cuatro, también murió su mamá, así que quedó al cuidado de sus abuelos y le dieron una educación puritana. No supo casi nada de sus padres durante su solitaria infancia y adolescencia en que fue educado por institutrices alemanas y suizas, y algún tutor inglés, y casi no tenía contacto con otros chicos. Recién a los 21 años llegó a conocer los detalles de la vida de sus padres y de sus opiniones y, como él mismo declara, con sorpresa advirtió que él mismo había seguido prácticamente las mismas inclinaciones de su padre. Como era tradicional en la familia Russell, se esperaba que el padre de Russell se dedicara a la política. Estuvo un corto período en el parlamento y se presentó en las elecciones de 1868. Ya a los 21 años se negó a asistir a la iglesia el día de Navidad porque consideró que ya no era cristiano y se identificó con posturas demasiado revolucionarias para la época, como el sufragio femenino y el control de la natalidad. Todo esto le valió una campaña en su contra, se lo acusó de inmoralidad, un obispo católico le achacó defender el infanticidio y se lo llamó "cochino, calavera, malhablado" y, por supuesto, perdió las elecciones. Aunque quería seguir su carrera política ya no consiguió otra candidatura. La madre, que compartía las opiniones de su marido, también tuvo actuación pública organizando protestas en favor de los derechos de la mujer en plena década del 60. Aunque tenían previsto educar liberalmente a Bertand Russell y asignaron para él dos tutores librepensadores, los abuelos, a la muerte de los padres, hicieron revocar el testamento para brindarle una formación cristiana. El abuelo, lord John Russell, murió al poco tiempo de hacerse cargo de su nieto así que la abuela, presbiteriana escocesa, fue la que contuvo efectivamente la

infancia de Russell. Ella poseía una rígida moral puritana: despreciaba el confort, nada de vino, comida en exceso ni tabaco y quería que sus hijos y sus nietos llevaran una vida útil y virtuosa. Como protestante estaba convencida del valor del juicio personal para forjar las convicciones. En lo político era decidida enemiga del imperialismo y enseñó a Russell a desarrollar un espíritu crítico ante las decisiones de los gobernantes. En el salón de su casa tenían una estatua de Italia que había regalado a su abuelo el gobierno italiano con la inscripción "A lord John Russell l'Italia Riconoscente". Esta obra de arte despertó de tal modo la curiosidad del pequeño Bertrand que aprendió la historia completa de Garibaldi y la unificación italiana. Pero la biblioteca de su abuelo fue la que lo estimuló en un sentido más amplio: llenó los vacíos de su solitaria infancia y se convirtió en su cuarto de estudios, en ella leyó los clásicos y codició algunos libros que no pudo leer por ser demasiado pesados para moverlos. Desde los catorce años dedicó sus esfuerzos a revisar sus creencias religiosas. Durante unos meses pudo compartir sus especulaciones con un tutor agnóstico que tuvo, pero pronto lo despidieron justamente por ese motivo y desde ese momento guardó para sí esas cuestiones y las anotaba en su diario con caracteres griegos para que nadie las leyera. Finalmente, a los 18 años descartó la idea de Dios al decidir que los argumentos en que había creído eran contradictorios. Para esta época fue a estudiar a Cambridge donde empezó una vida socialmente diferente cuando en 1890 ingresó al Trinity Collage en donde estudió matemática y filosofía hasta 1894. El mismo dice refiriéndose a esta hermosa etapa de su vida: "Cambridge me abrió un mundo nuevo de infinito encanto. Por primera vez me encontré con que mis opiniones parecían ser aceptadas como dignas de consideración." Esta apertura social y la posibilidad de compartir las inquietudes intelectuales con gente de su edad le permitió vivir una época hermosa. "Encontré, dice, un grupo de compañeros capaces bastante serios y trabajadores pero interesados en muchas cosas aparte de su labor académica (poesía, filosofía, ética) de hecho, en todo el mundo de la aventura intelectual. Acostumbrábamos a quedarnos discutiendo hasta tarde los sábados a la noche. El domingo nos encontrábamos para desayunar ya tarde y nos íbamos a pasear todo el resto del día. Los jóvenes inteligentes no habían adoptado la cínica superioridad que vino unos años más tarde. El mundo parecía sólido y esperanzador; todos nos sentíamos convencidos de que el progreso del siglo XIX iba a continuar, y que nosotros mismos teníamos que ser capaces de contribuir con algo valioso. Para los que han sido jóvenes después de 1914, debe ser difícil de imaginar la felicidad de aquellos días." Después de 1894 pasó algún tiempo en el extranjero. Estuvo como delegado honorario en la embajada británica en París pero, como no deseaba seguir la carrera diplomática, la dejó a los pocos meses. Luego se casó (por primera vez, recordemos que lo hizo cuatro veces) y pasó gran parte del año 1985 en Berlín estudiando economía y la social-democracia alemana. En 1896 estuvo con su esposa tres meses en América y luego se establecieron en Sussex. El año 1900 fue, según él mismo lo manifestara, el más importante de su vida intelectual y el hecho que lo determinó fue la concurrencia al Congreso Internacional de Filosofía de París. Comenzó así el período más fructífero de

su vida. Fue fundamentalmente un filósofo; así como otros se dedicaron a la matemática por que les interesaba la física o la ciencia natural, Russell lo hizo por la filosofía y, como mostraré más adelante, este congreso fue determinante para su carrera de matemático. Publicó en esta época algunas de sus obras más importantes: Sobre la denotación (1905), Los problemas de la filosofía (1912) y, su obra más conocida: Principia Mathematica (1910-1913). Por más que siempre se interesó por la actualidad política y social y hasta fue candidato al parlamento en 1907, la Segunda Guerra Mundial fue lo que dio un vuelco a su vida. Desde 1910 fue profesor del Trinity pero en 1916 fue apartado de la cátedra por sus actividades antibelicistas. En 1918 estuvo 6 meses en la cárcel por haber escrito un panfleto abiertamente antiamericano en el que acusaba al ejército de "intimidar a los huelguistas de su país". Pero su tiempo en la cárcel no fue perdido porque lo aprovechó para escribir una de sus obras más notables: Introducción a la filosofía matemática. Aunque en 1919 lo invitó nuevamente la Universidad, prefirió dejar su carrera académica y vivir de sus libros y conferencias. Por cuestiones teóricas Russell era contrario al régimen político implantado en Rusia tras la revolución de principios de siglo pero en 1920 decidió viajar allí para tener una experiencia directa. Conoció personalmente a Lenin, Trotsky y Gorki. Con estos encuentros privados con dirigentes, y las amplias facilidades que allí se le brindaron para informarse sobre el funcionamiento del sistema comunista, reafirmó sus opiniones. Dice, "no encontré nada que me gustara ni pudiera admirar". Muy frecuentemente reconoció que este viaje fue uno de los acontecimientos definitivos en su vida a cuyo regreso publicó Teoría y práctica del Bolchevismo en la que critica al régimen soviético. Después de volver de Rusia fue invitado a China donde estuvo casi un año. Cuando cuenta las experiencias de este viaje dice que "el espíritu oriental de este pueblo me enseño a pensar al tiempo en grandes períodos y a no desesperar por la precariedad del presente". Sus obras directas y polémicas contienen ideas sobre educación, moral, cuestiones sociales, que lo llevaron a ser una figura controvertida. No es de extrañar que 1940 se le prohibiera ocupar una cátedra en la universidad en una de las más notables persecuciones religiosas del siglo XX. La década del 40, con una notable producción filosófica le trajo un gran reconocimiento: lo nombraron Miembro Honorario de la British Academy y Orden del Mérito en 1949. Al año siguiente recibió el Premio Nobel de Literatura y bien podría haber recibido el de la Paz ya que sus últimos años los pasó entregado a tareas de solidaridad que lo han llevado a convertirse en un mito. Junto con Einstein creó en 1953 el Movimiento Pugwash para oponerse a los peligros de la guerra atómica y a la política de Bloques. En 1961, a los 89 años de edad todavía tenía espíritu para protestar en actos públicos contra las armas nucleares y hasta para pasar un tiempo en la cárcel por organizar una marcha de protesta antinuclear en Inglaterra. En 1967 promovió un tribunal para juzgar la agresión norteamericana en Vietnam y consiguió que Jean Paul Sartre aceptara integrarlo como presidente. ¿Y qué lugar tuvo la matemática en la vida de este pacifista europeo? Russell se enganchó verdaderamente con la matemática a los once años de edad. "Un gran suceso en mi vida, dice, fue mi encuentro con Euclides. Cuando superé el desengaño que siguió al descubrimiento de que partía de axiomas que tenían que ser aceptados sin prueba, llegué a disfrutar mucho con él. Durante el resto

de mi niñez las matemáticas absorbieron en gran parte mi interés." Más adelante, en el año 1900, que como ya dije antes fue trascendental en su evolución, tuvo la oportunidad de conocer a Peano en el Congreso Internacional de Filosofía de París. Le impresionó el hecho de que este matemático y sus discípulos hablaban con una precisión que nadie más tenía en las discusiones. A partir de ese momento se dedicó al estudio de la matemática y, basándose en los trabajos de Cantor, Frege y del mismo Peano, se propuso fundamentar y axiomatizar la matemática a partir de la lógica. Este empeño culminó con la publicación de su monumental obra Principia Mathematica (en colaboración con Whitehead), sentando además las bases de una moderna lógica formal. Su trascendental aporte a la matemática surgió como una manera de precisar la filosofía y, contando con la habilidad que había desarrollado en la niñez, lo llevó a aportar mucho a la filosofía de la matemática así como también a la epistemología y la metafísica. No es de extrañar esta integración entre las ramas del saber en un hombre que manifestó genio y sensibilidad en los campos más disímiles. Dice él mismo que la historia siempre le había interesado más que nada a excepción de la filosofía y la matemática. Sus intereses políticos, aunque secundarios eran, de todos modos, muy serios a pesar de que sus mayores siempre esperaron que fueran prioritarios. Su abuela hablaba de "la vida que has estado llevando" cuando se refería a sus investigaciones sobre los fundamentos de la matemática y decía "Oh, Bertie, he oído decir que estás escribiendo otro libro". Creció con la idea de que cualquier cosa es buena si se hace en contra de la monarquía a no ser que fuese hecha por la Iglesia. Aunque su familia pertenecía a la nobleza, era reformista y republicana y él puede considerarse un independiente en política. La Guerra del '14 llamó su atención sobre la psicología social porque le "chocó especialmente el hecho de que al principio, mucha gente parecía gozar con la guerra". En filosofía consideró que era misión del filósofo convertirse en un verdadero espejo del mundo lo más fiel posible y precisamente por esto se dedicó a escribir sus ideas para el lector de cultura general varias obras. El ABC de la relatividad por ejemplo, es una sugestiva y extraordinariamente rigurosa vulgarización de la teoría de Einstein. Aunque su prestigio ya estaba ganado con su contribución a la filosofía de la matemática, abrió sus ideas a un público más amplio con su extensa producción literaria. En sus escritos se combinan la claridad, el estilo literario, la agudeza y el pensamiento enérgico. Tiene el mérito de haber llegado al público en general no sólo por su estilo sino también porque captó los grandes cambios de la época y no dudó en pronunciarse en temas espinosos. Sus conceptos sobre la educación engloban su visión de las cosas. Decía que hay que educar a las personas para la felicidad, felicidad como sinónimo de vida buena, constituida en gran parte por la casa, la comida, el amor, el éxito en el propio trabajo y el respeto de los demás. En este sentido se pronunció en favor de las relaciones prematrimoniales como medio de formar en la juventud criterios válidos forjados en la experiencia, se mostró partidario del trabajo profesional de la mujer fuera del hogar y de no hacer de la reproducción el único fin de las relaciones sexuales. Aunque

pregonaba conceptos básicos de los credos religiosos, no era partidario de la religión organizada porque la consideraba una manera de control social y de intolerancia. Creía que el secreto para que no prosperaran los males de la Humanidad es despertar, mediante la educación, el espíritu crítico en las generaciones jóvenes. En la época que dedicó sus esfuerzos a la educación habían nacido sus hijos, durante su segundo matrimonio, y por ese motivo fundó, junto con su esposa, una escuela, pero no tuvo mucho futuro ya que Russell no era bueno como administrador. En suma, su concepto de aceptar sólo las razones evidentes las aplicó tanto a la matemática como a su vida entera. Al cumplir los 80 años opinó que le gustaría vivir otros diez años más (llegó casi hasta los 100) con la buena salud de que gozaba y que atribuía al "hábito de la alegre controversia olímpica, al estar siempre ocupado y evitar los excesos, salvo fumar, y dice: hasta los cuarenta y dos años no fumé pero luego he fumado sin cesar, interrumpiéndome sólo para comer y dormir." No es casual que Russell se haya dedicado a la matemática motivado por el estudio de la filosofía ya que en esa época los problemas que se planteaban necesitaban pensadores que definieran una nueva filosofía de la matemática. Si bien Russell vio en el trabajo de los matemáticos herramientas que le sirvieron para la filosofía y por esto empezó a hacer matemática, finalmente las necesidades concretas de tener una lógica confiable lo llevaron a sentar las bases de la teoría de los conjuntos. 21 Doctorado en Musicología, en la Universidad Complutense de Madrid, Sergio Aschero es el creador de la Numerofonía lo que supone una revolución en la semiótica de la música. Con el correr de la historia, los sistemas de notación musical se han ido convirtiendo en factores determinantes a la hora de representar convencionalmente los sonidos y, en especial, los distintos parámetros de la música. Si bien existen registros de algún tipo de notación musical en la antigua Grecia, es a partir de la Edad Media, fundamentalmente con los cantos gregorianos de la Iglesia Católica Romana, que se establecen los antecedentes más significativos del sistema de notación tradicional vigente. El monje benedictino Guido de Arezzo, bautizó a las notas con los nombres que presentan hoy en día, considerando la primera sílaba de cada uno de los versos del Himno a San Juan Bautista, del monje Paolo Diacono; y, a su vez, propuso una escritura basada en líneas y espacios, que utilizaban tintas de colores para representar las líneas de los neumas, dando origen al tetragrama, predecesor del moderno pentagrama actual. Es la imprenta la que sacrifica el color del invento original que en Aschero vuelve a incorporarse desde una óptica científica. El origen de la necesidad del cambio surge a los 20 años de Aschero, al

obtener una beca del Fondo Nacional de las Artes, para ir estudiar la música de los chahuancos, una comunidad aborigen oriunda de Jujuy. El joven estudiante, con sólo unas hojas de papel pentagramado y un grabador bajo el brazo, vivió una experiencia inolvidable que marcó el comienzo de una investigación a la que dedicaría el resto de su vida... Cuando volvió a San Salvador de Jujuy a desgrabar lo que había escuchado y a presentar sus informes, se encontró con que no podía escribir esa música, porque los chahuancos cantaban y ejecutaban instrumentos simples que producían sonidos que estaban lejos de la afinación de un piano y por ende de su propia formación académica. La música era simple y la escritura para representarla muy compleja. Entonces entró en crisis y se puso a dilucidar en dónde se producía el conflicto. Encontrarlo le llevó 40 años de investigación. Prueba y error, prueba y error, y más error que otra cosa, hasta que en el año 1998, logré armar este código que, basado en el conocimiento científico, me funcionó perfectamente para representar cualquier tipo de sonido, natural o artificial. Los códigos, que son invenciones humanas, envejecen. ¿Cuántas veces cambiamos los sistemas operativos en las computadoras? Y nadie se rasga las vestiduras por un cambio de la tecnología. Cuando se habla de la escritura, parecería ser que, para algunas personas muy conservadoras, lo que está escrito es casi sagrado. Y eso es un error. La Numerofonía es un código interactivo de las áreas físico-matemáticas, de origen platónico - aristotélico, que Aschero ha desarrollado con un criterio científico, integrando la óptica, la acústica, la geometría, la aritmética y la lingüística, en un modelo inédito de representación simbólica y perceptiva, el cual, mediante signos simples de carácter universal, permite representar cualquier sonido existente, proveniente de la naturaleza, de la música y de los objetos. Sólo el cinco % de la humanidad lee música. El 95 % restante es analfabeto musical, porque aunque admire las creaciones de otros no puede apropiarse del lenguaje. Incluso hay infinidad de músicos populares que rechazan la escritura musical tradicional, porque ven en la teoría y el solfeo más dificultades que beneficios. En ese sentido, la Numerofonía busca ocupar un espacio vacío. Sergio Aschero comenzó sus estudios musicales en el Collegium Musicum de Buenos Aires de la mano del maestro Guillermo Grätzer, continuando su formación en el Conservatorio Nacional de Música de Buenos Aires y en el Real Conservatorio Superior de Música de Madrid, donde se recibió con el título de Profesor Superior de Armonía y Composición. Más tarde obtuvo su Doctorado en Musicología, en la Universidad Complutense de Madrid. Y desde el punto de vista matemático, Aschero propone un cambio radical en la representación simbólica y conceptual de los números a través de la Cromatemática, código que parte inicialmente del modelo que la Numerofonía propone, con las diferencias producidas por su carácter atemporal y su específica condición de lenguaje primigenio.

Desde el punto de vista biológico en el ser humano la sensación (efecto producido cuando la información llega a los receptores sensitivos del organismo) es anterior a la percepción (interpretación de lo que se siente) y al desarrollo cognitivo donde aparecen los diversos sistemas de símbolos que utilizamos para comunicarnos. La percepción visual (cromaticidad) es anterior a su comprensión. A lo largo de la historia de las diferentes etnias y civilizaciones de la humanidad y sus correspondientes culturas, se han utilizado distintos signos para determinar el valor cuantitativo de cualquier elemento que se pretende mensurar. Hasta hoy el más universal de esos signos ha sido el número. La Cromatemática demuestra que el color es un atributo mucho más universal que el mismo número para determinar el valor cuantitativo de cualquier elemento mensurable, dado que el color es y fue una constante inmutable para todas las culturas tanto antiguas como modernas en la historia de la humanidad. Los símbolos han cambiado pero la cromaticidad de la luz, no. 22 La civilización maya del sur de México y Centroamérica usó un sistema de numeración posicional y el símbolo del cero de posición. Independientemente de los países asiáticos, los mayas hicieron este descubrimiento cinco o seis siglos antes que en Oriente. En el siglo III antes de Cristo, en la India, gobernaba el rey Asoka de la dinastía Mauryas, que dedicó su vida a la difusión del budismo al que declaró religión oficial de su país. Hizo construir gran número de columnas en donde se tallaron los principios religiosos y es precisamente en esas inscripciones donde se encuentran los primeros indicios de los símbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que usamos nosotros actualmente. Al-Kuwarizmi fue uno de los más grandes matemáticos del Islam. Trabajaba en la biblioteca del califa Al-Mamun quien reinó entre 813 y 833. Su obra fue escrita en Bagdag y rápidamente difundida en el mundo musulmán y luego en el cristiano, siendo traducida en el siglo XII por el benedictino inglés Athelhard. De su nombre deriva la palabra algoritmo que en matemática designa los mecanismos para sacar cálculos sin hacer un análisis sobre los conceptos involucrados en el problema. Así, por ejemplo, el algoritmo de la multiplicación, la cuenta de multiplicar, es un procedimiento directo que permite calcular el resultado de números de muchas cifras con solo saber los productos y sumas de números de una cifra. Los ábacos fueron usados por todos los pueblos de la antigüedad. Los chinos usaban rodillos de bambú aproximadamente en el siglo -V y desarrollaron modernos contadores en el siglo XII. Los japoneses disponían de ábacos ya en el siglo XVI a los que denominaban soroban. Los griegos en cambio empleaban bastoncitos puntiagudos para hacer marcas sobre tablas de arena o polvo lo

que le dio el nombre a los contadores ya que ábaco proviene del griego "polvo". Los romanos por su parte, idearon unas placas metálicas con ranuras en las que ponían piedras. La palabra latina cálculus, que significa piedra, dio lugar a la nuestra cálculo. John Neper inició sus investigaciones sobre computación en el siglo XVI y llamó logaritmos a su descubrimiento. La primera regla de cálculos fue ideada por un matemático inglés, Willam Oughtred, en 1622 y lo hizo inspirado en los logaritmos de Neper. La leyenda dice que el emperador Yu de la China, hacia el 2200 a.C., se encontraba a orillas del río Amarillo cuando apareció una tortuga con un símbolo mítico, llamado Lo-Shu, grabado en su concha. El símbolo representa lo que hoy llamamos cuadrado mágico de tres filas y tres columnas. Se trata de un cuadrado, que mucho ha preocupado y entretenido a los matemáticos de todos los tiempos. Tiene nueve casilleros en los que están dispuestos los números del 1 al 9 de modo que la suma de los números de cualquier fila, cualquier columna o cualquier diagonal, es siempre la misma. Actualmente se dispone de métodos sencillos para construir cuadrados mágicos aunque tengan más filas y columnas. Hay una fórmula de números complejos que reúne a los cinco números más famosos de la matemática: 1, 0, e, i, π Los poliedros regulares que son sólo cinco: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro, tienen la particularidad de tener todas las caras iguales. Los griegos mostraron especial interés por el estudio de ellos y Platón en especial les dio tanta importancia que estos cuerpos llegaron a nuestros días como "sólidos platónicos". En 1324 en Inglaterra, el rey Eduardo II estableció la pulgada como el largo de "3 granos de cebada, redondos y secos, colocados a lo largo". 3000 años antes de Cristo el pueblo egipcio era el único que usaba un calendario solar. Los babilonios y los egipcios discutieron entonces cuál era el astro más conveniente para medir el tiempo: la Luna o el Sol. A principios de nuestro siglo se trabajaba reestructurando la matemática. Los grandes avances de las épocas anteriores habían dado como resultado una especie de desarticulación, por así decirlo, entre los saberes matemáticos. Teniendo, los matemáticos, una filosofía más amplia respecto de lo que significaba "hacer" matemática y después de mucho andar, se puso como base a la Lógica Matemática (que garantizaba cómo razonar). A partir de ella se fundamentó la Teoría de los Conjuntos y luego el concepto de número que daría lugar a la Aritmética y todo el resto, convirtiendo a la matemática en una suerte de sucesión de temas unos deducidos de los otros. Gottlob Frege hizo gran parte de esta tarea definiendo el concepto de número a partir de la teoría de conjuntos. Pero en 1903, cuando estaba a punto de publicar su segunda obra, otro matemático más joven, Bertrand Russell, descubrió una paradoja en la teoría que, obviamente, invalidaba no sólo todo el trabajo de Frege, sino también el de todos los que estaban trabajando en el asunto: una especie de pesadilla a esa altura crucial de las investigaciones ya que también había matemáticos de prestigio que estaban en contra del camino que Frege y sus seguidores habían tomado para la redefinición de la filosofía de la matemática.

Frege, en un rasgo de honestidad incomparable, publicó su libro y le agregó un apéndice con la novedad que el "joven" Bertrand Russell, que tenía 30 años en ese momento, había descubierto y que virtualmente tiraba por tierra su trabajo. "Difícilmente dice, pueda encontrarse un científico con algo más indeseable que venirse abajo los fundamentos de su trabajo justamente cuando lo estaba dando por terminado". Frege agregó además un intento de solución que no resolvía el problema y fue el mismo Russell quien dio con la solución, años más tarde, con su "teoría de las descripciones" que, es en realidad, un trabajo de epistemología. No siempre los matemáticos han estado de acuerdo con los rumbos que le asignaban a la matemática. El concepto de conjunto, a principios de siglo, ha tenido sus adherentes y sus detractores. Poincaré pensaba que la producción científica de Cantor referida a la teoría de conjuntos era "un interesante caso patológico"; Hilbert, en cambio, decía que "nadie podrá arrojarnos del paraíso que Cantor ha creado para nosotros". Dedekind, por su parte, era amigo de Cantor y lo alentaba en su trabajo pero no lo comprendía demasiado y pensaba que finalmente un conjunto debía ser una "bolsa de elementos". Renato Descartes, que estudió jurisprudencia, idiomas, óptica, física, química, astronomía, medicina, matemática y, sobre todo, filosofía, creó en el siglo XVII una geometría nueva: la Geometría Analítica. Era francés y fue a estudiar a un convento jesuita a los 8 años. Los sacerdotes consintieron que cultivara la costumbre de levantarse tarde y esto se convirtió en una modalidad que conservó toda su vida al punto de considerar que su producción científica dependía de dormir hasta mediodía. Después de una larga temporada en Holanda donde produjo su obra, cuando ya tenía más de 50 años de edad, aceptó la invitación de Cristina de Suecia para mudarse a su país y darle lecciones. Pero Cristina tenía por costumbre, a pesar de los rigores del clima de su país, trabajar desde las cinco de la mañana y con todas las ventanas abiertas así que decidió aplicar a sus clases las mismas costumbres que a sus reuniones de ministros y Descartes no lo pudo resistir y a los cinco meses de llegar se enfermó de pulmonía y murió. Dice Gino Loria (historiador de la matemática) que el conocido divulgador de la teoría de Newton, Algaroti, llevado por la excesiva confianza que caracterizó a los matemáticos de su época, confianza que hacía suponer que todos los problemas tenían solución y que sólo era cuestión de trabajar para encontrar la fórmula que lo resolviera, enunció la siguiente ley: "El amor de un amante decrece en razón inversamente proporcional al cubo de la distancia que lo separa de su amada y del cuadrado del tiempo que dure su ausencia". Kroneker estaba en contra de la teoría de los conjuntos de Cantor. Opinaba que el punto de partida de la matemática eran los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5,... que eran una obra de Dios. Consideraba al intento de Cantor de explicar a esos números con los conjuntos, como algo en contra de sus creencias religiosas. Esta cuestión fue el origen de una enemistad entre ellos que duró toda su vida. Renato Descartes, en el siglo XVII, compuso una obra cosmológica que evidenciaba la teoría heliocéntrica y parece que la Iglesia de Roma no estuvo de acuerdo con que se publicara. El era ciudadano francés, podía contar con el respaldo de Luis XIV, era un científico reconocido y además vivía en Holanda que era un país protestante, pero todo esto no alcanzó para darle el coraje suficiente para enfrentar las iras de la Iglesia así que no sólo renunció a la

publicación sino que además quemó los manuscritos. En 1896, Russell y su primera esposa pasaron unos meses en América. Estuvo en contacto con los más brillantes pensadores de ese país intercambiando sus experiencias matemáticas y filosóficas. Weirerstrass gustaba de la cerveza en compañía de sus alumnos a quien invitaba pagando las consumiciones. En clase jamás escribía en el pizarrón: le dictaba a un alumno y si se equivocaba, tranquilamente borraba y volvía a dictar. Adoraba la esgrima. A Lobatschewski en 1827 lo nombraron rector de la Universidad de Kasan en Rusia y estuvo en ese puesto 20 años. Cambió total y radicalmente el ambiente universitario y esa casa de estudios llegó a ser su hogar y su vida. No sólo dirigía las actividades docentes y científicas sino que además recibía a los invitados y también llegó a limpiar los pisos por la mañana. En 1830 hubo en la ciudad una epidemia de cólera y entonces Weirerstrass alojó en las aulas a todos los profesores y a sus familias para protegerlos de la enfermedad. Thales fue un gran viajero, rico comerciante y próspero hombre de negocios de los que se retiró tempranamente, como era la costumbre de la época. A partir de ese momento se dedicó por pasatiempo a la filosofía y la matemática. Murió repentinamente el año -550 mientras asistía a los juegos olímpicos. Amhés es el escriba del Papiro Rhind, el más antiguo escrito matemático que llegó a nuestros días. Es una colección de problemas del siglo -XVIII y se encuentra actualmente en el Museo Británico. En él hay cálculos de áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos. Aparecen en forma de instrucciones pero no tienen justificaciones científicas. Pitágoras fue discípulo de Thales y viajó una temporada por Egipto siguiendo un consejo de su maestro. Las reglas de juego son la que nos indican cómo hacer para jugar a algo. Para un novato de las damas, por ejemplo, es indispensable que comprenda cuidadosamente las reglas de juego antes de hacer jugadas. El criterio es que una jugada es válida si es coherente con las reglas de juego. Pero pongámonos en el lugar del inventor del juego; él es el que tiene que inventar las reglas. En realidad no es que invente las reglas primero y surja el juego después, sino todo lo contrario: imagina el juego y después elabora las reglas de juego que necesita para que otra persona también lo comprenda sin lugar a dudas. Para nosotros es inmediato buscar las instrucciones del ajedrez, por ejemplo, si tenemos alguna duda porque ya están elaboradas y editadas desde hace mucho tiempo. Pero, ¿qué pasaría si tenemos que explicar las reglas del ta-te-ti que no están escritas? El problema no es sólo dar las reglas sino también que no sean contradictorias y además que no tengan información de más, es decir, detalles que se puedan deducir de las reglas que se dieron. Este es el trabajo que hizo Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, con la geometría. Eligió cuidadosamente los elementos básicos con los cuales construir toda la geometría que se conocía y que era mucha. El se decidió por cinco reglas de juego que llamó postulados. Pero el quinto postulado de Euclides tuvo un destino insospechado, seguramente, por el matemático. Resulta que el famoso quinto postulado dice que "por un punto exterior a una recta siempre pasa una paralela a ella, y es única". La verdad es que Euclides nunca dijo por qué se había decidido por esos postulados y no por otros: él presentó su teoría terminada y nada más. Con el tiempo, los matemáticos

empezaron a tener la impresión de que ese postulado estaba de más, es decir, que se podía deducir, mediante un teorema, de los cuatro anteriores; que no era una regla de juego sino una jugada así que se pusieron a trabajar para elaborar la demostración del teorema con lo que se proponían corregir el trabajo de Euclides que suponía que tenía el error de haber elegido mal el quinto postulado... Como no lo conseguían pensaron en demostrarlo por el absurdo, ellos razonaban así: si suponemos que no es cierto que por un punto exterior a una recta pasa una paralela y sólo una, y empezamos a sacar conclusiones lógicas, en algún momento tenemos que llegar a una contradicción y entonces quedar demostrada la cuestión. Al negar la existencia de la paralela única, se abrieron dos posibilidades: -puede ser que por un punto exterior a una recta no pase ninguna paralela, o -por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas. Los siglos pasaron sin que se pudiera develar el misterio aunque nunca faltaron los que se dejaron tentar por el famoso quinto postulado. Recién en el siglo XIX, cuando las dos teorías ya eran frondosas y la contradicción esperada no aparecía, los matemáticos pudieron comprender que lo que habían construido eran dos nuevas geometrías justamente por tomar un postulado diferente. Volviendo a la analogía del juego, es como si en el ta-te-ti definiéramos un tablero circular en lugar de cuadrado. Jugar al ta-te-ti circular no demuestra que el cuadrado sea contradictorio, sólo demuestra que es otro juego distinto tan coherente como el anterior. Pero lo que costaba realmente era desprenderse de la representación física de la paralela; el hecho de que en nuestro ambiente físico las paralelas funcionen como lo describe Euclides parecía ser una prueba irrefutable de que cualquier otra opción era contradictoria. Se estaba a punto de transformar la idea de que la matemática es una ciencia natural, quedaba por ver si las nuevas geometrías eran un simple "juguete lógico" o si tenían aplicación a la realidad cosa que se develó cuando la teoría de la relatividad usó una de estas geometrías no euclideanas. Pero al llegar a esta conclusión, el siglo XIX da un vuelco a la filosofía de la matemática al dejar de considerarla una ciencia experimental: ya no era necesario observar objetos para obtener ideas matemáticas, se las podía elaborar con sólo dar reglas de juego claras y deducir con una lógica coherente. Los horizontes se ampliaron a campos insospechados. Por más que en matemática se habla del concepto de número como si todos los números fueran de la misma naturaleza, la verdad es que no sólo hay diferentes clases de números sino que, matemáticamente, un número natural es tan diferente de un número entero como un triángulo lo es de una función. Las distintas clases de números fueron apareciendo históricamente a lo largo de las épocas de la manera en que lo hacen los conceptos matemáticos: ampliando los conceptos y tomando lo anterior como caso particular de lo nuevo. Pero lo curioso es que con el tema de los números los matemáticos han sufrido una especie de resistencia a permitir que los números nuevos entraran en la matemática; es como que los números nuevos les parecían una manera tan arrojada de pensar que han temido que sus colegas creyeran que habían abandonado el rigor científico. Y esto pasó en todos los casos y el testimonio son los nombres que les han puesto y que han llegado a nuestros días: Números irracionales (locos)

Números negativos (contradictorios) Números imaginarios (que son fantasiosos) Y aquí entra la Cromatemática de Aschero con su propuesta revolucionaria de un cambio de paradigma a la hora de representar los números a través de la Óptica, además de los cambios que propone en la forma de contar. No es una tarea fácil el cambio de notación (lo mismo que ocurre en el área de la música con su Numerofonía), pero es una tarea necesaria que no puede frenarse por la tendencia conservadora de ciertos matemáticos, incapaces de mirar con otros ojos el verdadero sentido de una evolución que ya se ha iniciado y que no podrán frenar. La determinación de la fecha de Pascua congregó los esfuerzos de los matemáticos desde principios de nuestra era. Para ello se necesita encontrar la edad de la Luna en marzo 21, hallar el día de la semana en el cual cae esta luna llena, y determinar la fecha del siguiente domingo. Fueron escritos muchos trabajos al respecto; el de Bede en el siglo VIII es famoso pero recién Gauss en 1800 dio un método sencillo para resolverlo. Los matemáticos se han interesado desde la antigüedad por el número pi de la circunferencia. A principios del siglo XVII se llegó a calcular las 35 primeras cifras decimales, en el año 1720 se determinó hasta la cifra 55, pero recién en 1882 se demostró que pi tiene infinitas cifras decimales.

Nicolás Bourbaki es el seudónimo utilizado por un grupo de matemáticos franceses que alrededor de 1940 iniciaron la publicación de una obra de carácter enciclopédica titulada Los Elementos Matemáticos, que abarca casi la totalidad de la matemática y presenta los temas clásicos bajo formas que constituyen una auténtica revolución en muchos casos.

H. Cartan y C. Chevalley forman ese grupo. Las pinturas de la Edad Media representaban fundamentalmente los temas religiosos y lo hacían con formas humanas pero se caracterizan por ser totalmente figurativas. Si el pintor quería dar más importancia a un determinado personaje en lugar de mostrarlo con los gestos u otros detalles, resolvía el problema haciendo la figura más grande. Así por ejemplo, el Cristo aparece más grande que los discípulos. Pero para los artistas renacentistas fue más importante detenerse en los detalles humanos y entonces no sólo representaron cada vez más los gestos y los detalles del cuerpo humano sino que se dedicaron a pintar en perspectiva los objetos que en la Edad Media se representaban en un sólo plano. Este es el motivo que llevó a los matemáticos a progresar en la geometría que después sería la Geometría Descriptiva y los artistas se interesaron vivamente por la matemática para tener los métodos que le garantizaran la fidelidad de sus representaciones. Miguel Angel y Leonardo se dedicaron por esta causa a la matemática. A fines del siglo XVI los misioneros jesuitas introdujeron en el Nuevo Mundo el primer libro impreso de matemática, que se publicó en México en 1556. Viéte en el siglo XVI fue el que empezó a usar letras para designar números en álgebra. En el siglo XVI se construyeron las primeras tablas de seno, coseno, etc. de ángulos y se llegó a calcular aproximaciones de 10 segundos en 10 segundos con hasta 15 cifras decimales. Esta tarea, tan aburrida por otra parte, a veces demandó una vida entera pero además era difícil de editar porque la complicada la tipografía y porque era difícil conseguir un mecenas que quisiera apoyar una obra tan específica. Fibonacci, que abrió el estudio de la matemática al Occidente Cristiano medieval, inició la lucha entre los que defendían la permanencia del ábaco para calcular y los algorítmicos que querían imponer, como efectivamente lo lograron, el uso de las cifras hindúes y las cuentas como las manejamos hoy en día. Los algebristas dudaban entre una y otra propuesta y los hombres de negocios preferían seguir con los ábacos. La verdad es que como el 6 y el 9 se podían convertir en 0 al escribirlas, esta manera de anotar los números podía usarse para fraguar las cantidades así que a fines del siglo XIII los banqueros italianos prohibieron su uso. Pero con el tiempo las cifras arábigas se impusieron de todos modos. Ch'in Chiu-Shao, notable matemático chino del siglo XIII, distinguía los números positivos de los negativos escribiéndolos con rojo y azul, en ese orden, y el cero con un circulo pequeño. Otro autor de esa época los escribía cruzando los negativos con una diagonal. Bhascara, matemático hindú del siglo XII, fue el que nos dejó la fórmula de la ecuación de segundo grado. Planteaba para ella problemas de tipo folklórico y de tono poético como este: "La raíz cuadrada de la mitad de un enjambre de abejas se esconde en la espesura de un jardín. Una abeja hembra con un macho quedan encerrados en una flor de loto que los sedujo por su dulce olor. Los 8/9 del enjambre quedaron atrás. Dime el número de abejas." Las cuestiones prácticas de la humanidad movieron a los matemáticos a resolver problemas a lo largo de toda la historia. Tanto los árabes se preocuparon por calcular las particiones de las complicadas herencias familiares, como los primeros matemáticos de la remota antigüedad

concibieron el número cardinal para proteger sus rebaños de posibles pérdidas, los calculistas orientales desarrollaron métodos que necesitaban para el comercio, los egipcios hicieron geometría para determinar sus propiedades territoriales cuando las crecidas del Nilo borraban las marcas y la trigonometría se desarrolló a expensas de las necesidades de la navegación. Pero además de estas motivaciones y muchas otras por el estilo asociadas al cálculo y a los intereses económicos que a priori se conceden a la tarea del matemático, es interesante observar la variada gama de intereses que han movido a los creadores de la matemática a desarrollar sus teorías. A Monge, involucrado con la Revolución Francesa, su dedicación a la consolidación de los ideales de libertad lo llevó a la creación de la Geometría Descriptiva; a los pitagóricos, su intento de plasmar una filosofía en base a sus creencias místicas, les hizo desarrollar la aritmética; Hipatya hizo matemática teórica a fin de proporcionar a sus contemporáneos unas herramientas racionales que contrarrestaran el dogmatismo de su época; Russell, admirado de la precisión del método matemático, y con el fin de aplicarlo a la filosofía, terminó haciendo filosofía de la matemática; los italianos renacentistas como Tartaglia, entusiasmados por el verdadero festín que les proporcionaba Gutenberg y mostrando un verdadero gusto por el desafío que entraña la resolución de problemas, arribaron a la fórmula de la resolución de la ecuación de tercer grado; Arquímedes dio pasos fundamentales en el cálculo fabricando máquinas a pedido del rey; todo esto sin olvidar a Platón que vio en la matemática una parte fundamental de la formación de los ciudadanos de su república ideal. Las pasiones más diversas han movido a la creación matemática y las producciones muestran a su vez los coloridos matices de las civilizaciones asignándoles a los matemáticos un lugar en la historia similar a la de los artistas que interpretan el momento que les toca vivir, dejan un testimonio de esa interpretación e influyen en las épocas posteriores. Tal es la historia que vivieron los matemáticos. Y ahora pasemos a la Cromatemática.

23 En los albores de la raza humana la conciencia de número estaría relacionada más bien con diferencias y contrastes que con semejanzas, así el hombre primitivo seguramente comenzó a observar las diferencias que hay entre un árbol y varios árboles. Después a partir de estas diferencias seguro que comenzó a encontrar correspondencias entre, por ejemplo, un grupo de tres hombres y tres árboles. Este reconocimiento de una propiedad abstracta que tiene en común ciertos grupos, y a la que nosotros llamamos número, representa ya una importante etapa en el desarrollo humano. Cuando esta idea se hace lo suficientemente extendida y clara se comienza a sentir la necesidad de expresar esta propiedad de alguna manera. Así los dedos de la mano pueden usarse fácilmente para representar uno, dos, tres, cuatro o cinco objetos. Por medio de los dedos de las dos manos se podían representar colecciones de hasta diez elementos. A partir de aquí se pueden utilizar montones de piedras, de conchas, muescas en huesos, pies y manos, etc. Lo más usual es utilizar quíntuplos de objetos en referencia a pies y manos. Como hizo observar Aristóteles, lo extendido que se halla el uso del sistema decimal no es sino la consecuencia del accidente anatómico de que la mayor parte de nosotros nacemos con diez dedos en las manos y otros diez en los pies. Así que sepamos, no ha existido nunca ninguna sociedad sin alguna forma de contar. En un principio por métodos rudimentarios que poco a poco se fueron complicando a medida que fueron mayores las cantidades a simbolizar, llegando a veces a sistemas que pese a lo rudimentario de sus formas ya sean estas, muescas, conchas, nudos, etc., requerían una complejidad de métodos al alcance de sólo una élite. Así empiezan a aparecer una simbología para representar números de cierto tamaño, incluso con el uso de los lenguajes se asocian unos sonidos o fonemas. Antecediendo a todos está el sistema babilónico, que debe haberse desarrollado durante el tercer milenio a.C. Utilizó una escala sexagesimal, con una simple colección del número correcto de símbolos empleados para escribir los números menores de 60. Los que estaban por encima de esta cantidad se escribían por el principio de posición, aunque la ausencia de un símbolo para el cero hasta los comienzos del período helenístico limitó la utilidad del sistema para el cálculo y la representación, ya que ésta podía ser ambigua. El sistema de numeración chino con varillas es esencialmente un sistema decimal. Los números 1, 2,..., 9, se representan con varillas cuya orientación y localización determinan el valor posicional del número representado, y cuyos colores indican si la cantidad es positiva o negativa. El tercer sistema posicional fue el maya, esencialmente un sistema vigesimal que incorpora un símbolo para el cero.

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema. Cualquier sistema consta fundamentalmente de una serie de elementos que lo conforman, una serie de reglas que permite establecer operaciones y relaciones entre tales elementos. Por ello, puede decirse que un sistema de numeración es el conjunto de elementos (símbolos o números), operaciones y relaciones que por intermedio de reglas propias permite establecer el papel de tales relaciones y operaciones. Un sistema de numeración puede representarse como: N = (S,R) N es el sistema de numeración considerado. S es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. R son las reglas del sistema. Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema. Los sistemas de numeración pueden clasificarse en tres grupos que son: => S. Numeración no-posicional. => S. Numeración semi-posicional. => S. Numeración posicional. En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número. Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el babilónico es posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas de numeración posicionales basados en base 10 ó 20, a veces con subsistemas de cinco elementos. Además, en algunas pocas lenguas los numerales básicos a partir de cuatro tienen nombres basados en numerales más pequeños. En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número. Entre ellos están los sistemas el antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos. El sistema de los números romanos no es estrictamente posicional. Por esto, es muy complejo diseñar algoritmos de uso general (por ejemplo, para sumar, restar, multiplicar o dividir). Como ejemplo, en el número romano XCIX (99 decimal) los numerales X (10 decimal) del inicio y del fin de la cifra equivalen siempre al mismo valor, sin importar su posición dentro de la cifra. En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número. El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración

posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior. El color ha sido empleado por ciertos métodos de enseñanza de la matemática. Las regletas Cuisenaire son de forma rectangular, de diez tamaños y colores. Cada tamaño va asociado a un color y a un número. La más pequeña tiene una longitud de un centímetro, y las restantes aumentan de centímetro en centímetro, hasta la mayor que tiene una longitud de 10 centímetros. Y son un método para el estudio y didáctica de la aritmética y de los números naturales, sobre todo en niños. Fueron creadas por el maestro belga Emile George Cuisenaire, que publicó en 1952 "los números de color" pero fue Caleb Gattegno quien desarrolló su aprovechamiento didáctico. En 1954 Gattegno fundó la Cuisenaire Company para fabricar regletas y publicar libros y materiales asociados. Las regletas Cuissenaire son un material matemático destinado básicamente a que los niños aprendan la composición y descomposición de los números e iniciarles en las actividades de cálculo.

Otro método también muy conocido es el de María Montessori (1930) de similares objetivos que el de Gattegno, aunque con un modelo diferenciado.

En ambos métodos la elección de los colores es totalmente arbitraria y no tiene ninguna base científica. Esto debilita notablemente la validez de las propuestas más allá de que su uso ha funcionado bien en ciertas escuelas. La Cromatemática de Aschero no actúa desde una perspectiva subjetiva y sí desde una razón avalada en este caso por la Óptica. Veamos:

El espectro electromagnético está constituido por todos los posibles niveles de energía de la luz. Hablar de energía es equivalente a hablar de longitud de onda; por ello, el espectro electromagnético abarca todas las longitudes de onda que la luz puede tener. De todo el espectro, la porción que el ser humano es capaz de percibir es muy pequeña en comparación con todas las existentes. Esta región, denominada espectro visible, comprende longitudes de onda desde los 380 nm hasta los 780 nm (1nm = 1 nanómetro = 0,000001 mm). La luz de cada una de estas longitudes de onda es percibida en el cerebro humano como un color diferente. Por eso, en la descomposición de la luz blanca en todas sus longitudes de onda, mediante un prisma o por la lluvia en el arco iris, el cerebro percibe todos los colores. Por tanto, del espectro visible, que es la parte del espectro electromagnético de la luz solar que podemos notar, cada longitud de onda es percibida en el cerebro como un color diferente. Newton uso por primera vez la palabra espectro (del latín, "apariencia" o "aparición") en 1671 al describir sus experimentos en óptica. Newton observó que cuando un estrecho haz de luz solar incide sobre un prisma de vidrio triangular con un ángulo, una parte se refleja y otra pasa a través del vidrio y se desintegra en diferentes bandas de colores. También Newton hizo converger esos mismos rayos de color en una segunda lente para formar nuevamente luz blanca. Demostró que la luz solar tiene todos los colores del arco iris. Cuando llueve y luce el sol, cada gota de lluvia se comporta de igual manera que el prisma de Newton y de la unión de millones de gotas de agua se forma el fenómeno del arco iris. A pesar que el espectro es continuo y por lo tanto no hay cantidades vacías entre uno y otro color, se puede establecer la siguiente aproximación:

Color violeta

rojo

Longitud de onda ~ 380-450 nm ~ 450-495 nm ~ 495-570 nm ~ 570–590 nm ~ 590–620 nm ~ 620–750 nm

Cuando la luz incide sobre un objeto, su superficie absorbe ciertas longitudes de onda y refleja otras. Sólo las longitudes de onda reflejadas podrán ser vistas por el ojo y por tanto en el cerebro sólo se percibirán esos colores. Es un proceso diferente a luz natural que tiene todas las longitudes de onda, allí todo el proceso nada más tiene que ver con luz, ahora en los colores que percibimos en un objeto hay que tener en cuenta también el objeto en sí, que tiene capacidad de absorber ciertas longitudes de onda y reflejar las demás.

Consideremos una manzana "roja". Cuando es vista bajo una luz blanca, parece roja. Pero esto no significa que emita luz roja, que sería el caso una síntesis aditiva. Si lo hiciese, seríamos capaces de verla en la oscuridad. En lugar de eso, absorbe algunas de las longitudes de onda que componen la luz blanca, reflejando sólo aquellas que el humano ve como rojas. Los humanos ven la manzana roja debido al funcionamiento particular de su ojo y a la interpretación que hace el cerebro de la información que le llega del ojo.

Se llama síntesis aditiva a obtener un color de luz determinado por la suma de otros colores. Thomas Young partiendo del descubrimiento de Newton que la suma de los colores del espectro visible formaba luz blanca realizó un experimento con linternas con los seis colores del espectro visible, proyectando estos focos y superponiéndolos llegó a un nuevo descubrimiento: para formar los seis colores del espectro sólo hacían falta tres colores y además sumando los tres se formaba luz blanca. El proceso de reproducción aditiva normalmente utiliza luz roja, verde y azul para producir el resto de los colores. Combinando uno de estos colores primarios con otro en proporciones iguales produce los colores aditivos secundarios, más claros que los anteriores: cian, magenta y amarillo. Variando la intensidad de cada luz de color finalmente deja ver el espectro completo de estas tres luces. La ausencia de los tres da el negro, y la suma de los tres da el blanco. Estos tres colores se corresponden con los tres picos de sensibilidad de los tres sensores de color en nuestros ojos. Los colores primarios no son una propiedad fundamental de la luz, sino un concepto biológico, basado en la respuesta fisiológica del ojo humano a la luz. Un ojo humano normal sólo contiene tres tipos de receptores, llamados conos. Estos responden a longitudes de onda específicas de luz roja, verde y azul. Las personas y los miembros de otras especies que tienen estos tres tipos de receptores se llaman tricrómatas. Aunque la sensibilidad máxima de los conos no se produce exactamente en las frecuencias: roja, verde y azul, son los colores que se eligen como primarios, porque con ellos es posible estimular los tres receptores de color de manera casi independiente, proporcionando un amplio gamut. Para generar rangos de color óptimos para otras especies aparte de los seres humanos se tendrían que usar otros colores primarios aditivos. Por ejemplo, para las especies conocidas como tetracrómatas, con cuatro receptores de color distintos, se utilizarían cuatro colores primarios

(como los humanos sólo pueden ver hasta 400 nanómetros (violeta), pero los tetracrómatas pueden ver parte del ultravioleta, hasta los 300 nanómetros aproximadamente, este cuarto color primario estaría situado en este rango y probablemente sería un violeta espectral puro, en lugar del violeta que vemos). Muchas aves y marsupiales son tetracrómatas, y se ha sugerido que algunas mujeres nacen también tetracrómatas, con un receptor extra para el amarillo. Por otro lado, la mayoría de los mamíferos tienen sólo dos tipos de receptor de color y por lo tanto son dicrómatas; para ellos, sólo hay dos colores primarios. Los televisores y los diversos monitores de ordenador y pantallas de celulares son las aplicaciones prácticas más comunes de la síntesis aditiva.

Rojo + Verde = Verde + Azul = Azul + Rojo = Azul + Rojo + Verde =

Amarillo Cian Magenta Blanco

Todo lo que no es color aditivo es color sustractivo. En otras palabras, todo lo que no es luz directa es luz reflejada en un objeto, la primera se basa en la síntesis aditiva de color, la segunda en la síntesis sustractiva de color.

La síntesis sustractiva explica la teoría de la mezcla de pigmentos y tintes para crear color. El color que parece que tiene un determinado objeto depende de qué partes del espectro electromagnético son reflejadas por él, o dicho a la inversa, qué partes del espectro son absorbidas. Se llama síntesis sustractiva porque a la energía de radiación se le sustrae algo por absorción. En la síntesis sustractiva el color de partida siempre suele ser el color acromático blanco, el que aporta la luz (en el caso de una fotografía el papel blanco, si hablamos de un cuadro es el lienzo blanco), es un elemento imprescindible para que las capas de color puedan poner en juego sus capacidades de absorción. En la síntesis sustractiva los colores primarios son el amarillo, el magenta y el cian, cada uno de estos colores tiene la misión de

absorber el campo de radiación de cada tipo de conos. Actúan como filtros, el amarillo, no deja pasar las ondas que forman el azul, el magenta no deja pasar el verde y el cian no permite pasar al rojo. En los sistemas de reproducción de color según la síntesis sustractiva, la cantidad de color de cada filtro puede variar del 0% al 100%. Cuanto mayor es la cantidad de color mayor es la absorción y menos la parte reflejada, si de un color no existe nada, de ese campo de radiaciones pasará todo. Por ello, a cada capa de color le corresponde modular un color sensación del órgano de la vista: al amarillo le corresponde modular el azul, al magenta el verde y al cian el rojo. Así mezclando sobre un papel blanco cian al 100% y magenta al 100%, no dejaran pasar el color rojo y el verde con lo que el resultado es el color azul. De igual manera el magenta y el amarillo formaran el rojo, mientras el cian y el amarillo forman el verde. El azul, verde y rojo son colores secundarios en la síntesis sustractiva y son más oscuros que los primarios. En las mezclas sustractivas se parte de tres primarios claros y según se mezcla los nuevos colores se van oscureciendo, al mezclar estamos restando luz. Los tres primarios mezclados dan el negro. La aplicación práctica de la síntesis sustractiva es la impresión en color y los cuadros de pintura.

Cian + Magenta = Azul Magenta + Amarillo = Rojo Cian + Amarillo = Verde Cian + Amarillo + Magenta = Negro

En la impresión en color, las tintas que se usan principalmente como primarios son el cian, magenta y amarillo. Como se ha dicho, el Cian es el opuesto al rojo, lo que significa que actúa como un filtro que absorbe dicho color. La cantidad de cian aplicada a un papel controlará cuanto rojo mostrará. Magenta es el opuesto al verde y amarillo el opuesto al azul. Con este conocimiento se puede afirmar que hay infinitas combinaciones posibles de colores. Así es como las reproducciones de ilustraciones son producidas en grandes cantidades, aunque por varias razones también suele usarse una tinta negra. Esta mezcla de cian, magenta, amarillo y negro se llama modelo de color CMYK. CMYK es un ejemplo de espacio de colores sustractivos, o una gama entera de espacios de color. Con respecto a la percepción fisiológica de los colores podemos establecer lo siguiente:

A partir de la novena semana de gestación, el feto ya tiene ojos de bebé, con córnea, iris y cristalino, que permanecen abiertos hasta que se forma el párpado que se cierra para protegerlos. Dos meses antes del nacimiento, el bebé puede distinguir entre lo claro y lo oscuro, y cuando el doctor le enfoca una luz clara al vientre de la madre, el pequeño manifiesta su malestar. El bebé a penas nace puede percibir sueltas vagamente, pero su sistema visual no funciona del todo bien ya que necesita adaptarse al nuevo entorno. Para ello es preciso que los ojos reciban una cantidad determinada de estímulos así se desarrolla la zona cerebral encargada de la vista. La evolución más significativa del sistema visual es en el primer semestre de vida, aunque la madurez completa no se alcanza hasta los dos años.

La Cromatemática de Aschero propone entonces un modelo sistemático que apoyado inicialmente en la Óptica se relaciona en primer lugar con la imagen que vemos. Forma y color cumplen la dos funciones más características del acto visual: nos permiten obtener la información más importante para el reconocimiento de los objetos. La identidad perceptiva depende relativamente poco de la dimensión. La forma, el color la orientación de un objeto no se alteran con el cambio de dimensión. Un objeto es siempre reconocible aún si la dimensión se altera. El valor secundario de la dimensión respecto a la forma y al color se observa en aquello que normalmente no advertimos: el cambio constante de la dimensión que la perspectiva provoca entre nuestra visión y los objetos que nos rodean. Con la forma se identifican los símbolos y los operadores; y con el color y su posición, los números.

La Cromatemática también cuestiona la escritura tradicional decimal de base diez y su representación simbólica. En este modelo por ejemplo cuando contamos hasta diez, hemos agotado los símbolos disponibles para la primer columna; por lo tanto si contamos (sumamos) una unidad más, se inicia la segunda columna con la cifra diez y uno. El uno es el número que inicia el conteo de cada nueva serie numérica. Como vemos, un sistema de numeración posicional se comporta como un cuentakilómetros: va sumando 1 a la columna de la derecha y, cuando la rueda de esa columna ha dado una vuelta (se agotan los símbolos), se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda. Queda claro que un sistema de numeración está definido por la elección arbitraria de una base de numeración (esta base, en la Cromatemática de Aschero, es igual al número de colores, llamados cifras, que se utilizarán para representar los números) y por ciertas reglas de posición. La representación escrita de los números naturales se fundamenta en el hecho de que todo número natural se puede expresar de forma única como combinación lineal de potencias de la base elegida, siendo los coeficientes de la combinación números naturales estrictamente inferiores a la base (estos números pueden ser nulos). Por otro lado, la palabra cifra proviene del árabe sifr, "vacío", "cero". Primero sirvió para designar al cero, pero después pasó a utilizarse para el resto de los numerales. ¿Qué hicimos entonces para nombrar al cero? Pues tomamos del italiano la palabra cero, curiosamente del mismo origen árabe sifr, pero en este caso evolucionada a partir del latín zephўrum. Total, que a todos los guarismos los estamos llamando, en el fondo, cero. Otro significado de cifra está relacionado con la criptografía: en ciertos métodos de escritura secreta se utiliza una cifra como clave para encriptar el mensaje. Por eso se llama des-cifrar a averiguar el significado oculto de algo. El punto de partida es establecer el único símbolo denominado número que incorporará en su superficie interna el color de su valor:

Veamos un modelo de equivalencia bisistemática:

Por medio de la óptica se define la cromaticidad de las cifras:

El "nanómetro" es la unidad de longitud que equivale a una mil millonésima parte de un metro. "Nano" significa una mil millonésima parte. Comúnmente se utiliza para medir la longitud de onda de la radiación ultravioleta, radiación infrarroja y la luz. Recientemente la unidad ha cobrado notoriedad en el estudio de la nanotecnología, área que estudia materiales que poseen dimensiones de unos pocos nanómetros. El símbolo del nanómetro es nm.

uno

dos

700nm.

tres cuatro cinco seis siete ocho nueve diez 400nm.

cero

infinito infranúmero ultranúmero

Los símbolos matemáticos buscan llegar históricamente a la mayor síntesis posible sin pérdida de sentido. La cromaticidad que parte del análisis óptico, otorga al lenguaje matemático una herramienta poderosa para definir todas las magnitudes de lo numerable. El símbolo de la cifra en la Cromatemática es único y el contenido de dicho número cambiará con la cromaticidad y la posición. El perímetro de la cifra estará delimitado por una línea negra circular que actuará como contenedora del color. Veamos su representación: una unidad dos unidades tres unidades cuatro unidades cinco unidades

:

=

(centro)

seis unidades siete unidades ocho unidades nueve unidades diez unidades = 1 decena Opera dando a cada cifra de una secuencia el valor obtenido multiplicando la cifra por la potencia de relativa a su posición. Es el más utilizado puesto que permite emplear en los cálculos los dedos de las manos. Su origen es indo árabe, fue introducido en Europa por Leonardo de Pisa en el siglo XIII y modificado para hacerlo realmente decimal por Sergio Aschero a comienzos del siglo XXI.

Sus decenas se representan así:

una decena una unidad una decena dos unidades una decena tres unidades una decena cuatro unidades una decena cinco unidades una decena seis unidades una decena siete unidades una decena ocho unidades una decena nueve unidades una decena diez unidades dos decenas una unidad… cinco decenas cinco unidades

:

=

(centro)

diez decenas diez unidades Y sus centenas: una centena una decena una unidad :

=

(centro)

una centena diez decenas una unidad diez centenas diez decenas diez unidades ……………………………………………………………………………………………. .. una unidad de millar una centena una decena una unidad

diez millares diez centenas diez decenas diez unidades ……………………………………………………………………………………………………..

Los números menores a la unidad se expresan mediante fracciones decimales: :

=

,

El infranúmero es un nuevo concepto matemático creado por Aschero que determina la diversidad de lo no existente, actuando como una alternativa eficaz y lógica ante la invariabilidad del cero tradicional, que no tiene en cuenta el desarrollo de las diversas operaciones que finalizan o pasan por él. Desde el momento en que existe un dato distinto a la nada (singularidad irrepetible), contamos con una energía numeral que llegará a ser infranumeral en el caso de lograr su completa interferencia con las operaciones lógicas del sistema. El infranúmero es la energía resultante de una operación de interferencia total, con la interferencia parcial se está dentro de la zona numeral o ultranumeral. El infranúmero determina una nueva noción matemática de fundamental importancia con el fin de poder operar sobre cantidades de elementos que expresan medidas de entidades no materiales. Es energía cuantificada neutra surgida de todas las pérdidas operativas. Se considera físicamente interferencia cuando dos ondas se superponen en oposición de fase. Si las ondas son de igual frecuencia y amplitud, la interferencia resulta total, (infranúmero). Desde el punto de vista acústico, si se colocan dos tubos de órgano iguales, supongamos que de una frecuencia de 256 Hz. cada uno; acoplados a la misma caja de aire y se sopla en ambos, no oiremos un sonido más fuerte, sino sólo el aire que escapa. También un haz de luz viene a estar compuesto por un tren de ondas. Cuando dos haces luminosos de iguales características chocan entre sí, su energía se interfiere provocándose la oscuridad; pero la energía no ha desaparecido. Una de las reglas fundamentales de la física dice que la energía no puede desaparecer. Tal es la ley de conservación de la energía. En el fenómeno de la interferencia hay una energía que ha dejado de existir en forma de luz. Por tanto, tiene que aparecer una cantidad exactamente igual de energía en otra forma distinta; y en este caso es el calor. Supongamos que damos cuerda al resorte de un reloj; ahora contiene más energía que cuando estaba distendido. A continuación disolvemos el resorte todavía tenso, en un ácido. ¿Qué ocurre con la energía?

También aquí se convierte en calor. Si empezamos con dos soluciones ácidas a la misma temperatura y disolvemos en una de ellas el muelle distendido y en la otra un muelle tenso (por lo demás idénticos), la segunda solución tendrá al final una temperatura mayor que la primera. La propia materia es una forma de energía. La serie infranumeral es ilimitada y se utiliza indistintamente para los números y ultranúmeros reales e imaginarios. -

=

≠

-

=

(modelo tradicional) (cero = cero)

-

=

≠

-

=

(modelo infranumeral) (infra cinco ≠ infra diez)

Así como el infranúmero cuestiona la existencia del cero como único símbolo representativo de la nada, el ultranúmero actúa como símbolo inverso de aproximación al concepto del todo, identificado tradicionalmente por los diversos infinitos y en el modelo de Aschero con el ultra cero. Un mismo punto bidireccional de polo positivo y negativo, origina y finaliza lo incontable, que se extiende más allá y más acá de toda serie numérica, tanto como se desee. Si el número avanza, el ultranúmero retrocede y en la medida que se aleja su magnitud decrece, con lo cual se invierten todas las operaciones aritméticas. Con el número y el infranúmero se cuenta, con el ultranúmero se descuenta. El absoluto es mensurable mediante el ultra cero, y así se define uno de los límites que ayuden de una vez por todas a solucionar alguno de los enigmas y contradicciones más importantes del lenguaje matemático. Para esto se establece la serie ultranumeral. Es tan lógico contar a partir de la nada como descontar a partir del todo. Cada ultranúmero que proceda del todo es algo que debe ser medido con exactitud, para así establecer su magnitud, que tiene una progresión decreciente en la medida que se aleja de su punto de partida: el ultra cero. La serie ultranumeral es ilimitada y se utiliza indistintamente para los ultranúmeros reales y los imaginarios. :

=

(uno dividido cero es igual a ultra uno)

De esta forma la Ecuación de Wallis se resuelve: ultra uno es el uno más grande que existe ya que es el número uno más próximo a ultra cero. En cambio, lo que es imposible de determinar es el ultranúmero menor (el de mayor cantidad de cifras: el ultra infinito). La frontera (o el puente) que vincula a los números con los ultranúmeros para permitir el traspaso entre ambos es (por ahora) el gúgolduplex.

El gúgolduplex es uno de los números más grandes a los que se puso nombre. Así como una hoja de papel lo suficientemente grande como para escribir todos los ceros de un gúgolplex es más grande que el universo conocido, entonces, una hoja de papel lo suficientemente grande como para escribir un gúgolduplex sería más grande que un gúgolplex de universos como el nuestro.

=

Para la recta numérica el gugoldúplex es un meganúmero finito, y al pasar dicha frontera se convierte en un ultranúmero muy pequeño, por la ley de la inversión que el mundo ultranumeral establece, determinando que los ultranúmeros más grandes, poseen las cifras más pequeñas: > A partir de aquí podemos establecer por un lado cuál es el número primo mayor que existe. Sin lugar a dudas es ultra uno, por ser el número uno más próximo un infinito mensurable:

El matemático Georg Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 – Halle, 6 de enero de 1918) elaboró ingeniosos argumentos que demostraban la existencia de diversos infinitos diferentes, y algunos de ellos eran más grandes que otros… es decir, más infinitos. El tipo menor de infinito es el que se obtiene simplemente contando sin descanso para siempre: 0, 1, 2, 3, 4… y así hasta el infinito. Este número lo llamó Alef0 (que recibe su nombre de la primera letra del alfabeto hebreo). Este número pertenece a lo que Cantor llamó números transfinitos. Esta clase de números poseen determinadas propiedades. Por ejemplo, si se suma Alef0 a sí mismo se obtiene sencillamente Alef0. Y lo mismo pasa si se multiplica a sí mismo. Cantor también demostró que existen otros infinitos incluso mayores, empezando por el Alef1, un número tan grande que ni siquiera puede alcanzarse contando durante una cantidad infinita de tiempo.

Resulta que también hay un número infinito de más infinitos, cada uno mayor que el anterior, hasta llegar al mayor de todos ellos, conocido como el infinito absoluto y denominado Omega. Para la Cromatemática esta idea brillante de Cantor lo único que hace es establecer puentes mucho más lejanos dentro de lo numerable, que al convertirse en ultra infinitos pasan a ser, por la propia construcción de los ultranúmeros, en números más pequeños que cualquier meganúmero descubierto, con lo cual siempre estarán infinitamente más lejos de ultra cero que recordemos, es el número más grande que existe y que contiene en su ser a todo lo finito e infinito. >

=

>

>

(ultra cero es mayor que ultra infinito que es igual a infinito Omega y a todos los infinitos Alef).

Suma La suma es la reunión de números en uno sólo; expresión algebraica con operación de enlace aditiva resultando:

+

=

(cada uno de los términos de la suma se llaman sumandos).

Resta La resta es la inversa de la suma, de una magnitud, (un número), el minuendo, se quita, (resta), otra, el sustraendo; el resultado es la diferencia. -

=

-

=

-

+

=

Multiplicación Es una suma reiterada; los factores (multiplicando y multiplicador) operados entre sí, dan el producto.

x

=

División Es la inversa de la multiplicación: el dividendo dividido por el divisor genera un cociente.

:

=

Potenciación, Radicación y Exponenciación

A partir de la relación que queramos hallar:

=

, se obtienen tres operaciones según el número

La potenciación que tiene por objeto hallar la potencia.

= X (la potencia es

)

La radicación que tiene por objeto hallar la base.

X

=

(la base es

)

La exponenciación que tiene por objeto hallar el exponente.

X

=

(el exponente es

)

Siete son las operaciones aritméticas:

Suma Resta Multiplicación División Potenciación Radicación Exponenciación

Jerarquía operativa

El cálculo con números o letras lleva implícito una prioridad entre las operaciones. Esta jerarquía u orden de ejecución interoperativo se ha hecho por convenio, y las calculadoras y computadoras están programadas para hacerlo así:

a.- Potenciación (radicación = exponente fraccionario) b.- Multiplicación c.- División d.- Suma e.- Resta

Factorial

Expresión algebraica del producto de todos los números naturales hasta n, escrito n!.

!=

x

x

x

=

Tipología numeral:

Número Abundante

Número natural para el cual, la suma de sus divisores es mayor que su duplo: tiene los divisores +

+

+

+

+

,

, =

,

, ;

,

y es >

x

Números Amigos

Dos números tales que la suma de los divisores de cada uno de ellos es igual al otro número respectivamente: y

Números de Fibonacci

,

,

,

,

,

,

Números de Pitágoras

+

=

Números Triangulares

,

,

,

…

Números Cuadrados

,

,

,

…

Números Pentagonales

,

,

…

Números Pares

,

,

,

…

Números Impares

,

,

,

…

,

…

Números Opuestos

/

,-

/

Números Perfectos

,

,

…

Son iguales a la suma de sus divisores:

=

+

+

+

+

Números Primos

,

,

,

,

Números Racionales

/

,

/

…

Números Binarios

,

Números Naturales

,

,

,

…

,

…

Números Ordinales

,

,

…

Números Negativos

-

,-

…

,-

Números Positivos

,

,

…

Números Irracionales y Trascendentes

No son representables como fracción de dos números enteros. Se representan como fracciones decimales infinitas no periódicas. π =

,

…

e =

,

…

Números Enteros

,

-

,

…

Números Decimales

,

Números Algebraicos

(X -

)

Números Imaginarios

i,

i…

Números Complejos

+

i =

parte real y

parte imaginaria

Infranúmeros

,

,

…

Ultranúmeros

,

,

…

Algoritmo

Conjunto bien definido de instrucciones o condiciones operativas que regulan el comportamiento de un operador para la resolución de un problema.

Período

La repetición de determinados valores numerales en una sucesión.

/

=

,

…

Número combinatorio

(

/

)=

x

x

x

x

:

x

x

x

x

=

Cuadrado mágico

Ordenación cuadrada de números enteros, de forma que las sumas por columnas, por filas y en diagonal coincidan.

Triángulo de Tartaglia

Paréntesis

a x (b + c) = ab + ac

a x b + c = ab + c

a + b (c + d) = a + bc + bd

a + b (c - d) = a + bc – bd

a - b (c + d) = a - bc - bd

a - b (c - d) = a - bc + bd

Sucesión armónica

,

/

,

/

,

/

,

/

,

/

…

Sucesión convergente

/

+

/

+

/

+

/

… (menor que

)

Sucesión divergente

/

+

/

+

/

+

/

… (mayor que

)

Raíz

√ √ Área Círculo: πxr

Volumen πxr

Esfera:

Sistema octal ,

,

,

,

,

,

,

Sistema hexadecimal ,

,

,

,

,

,

,

Símbolos matemáticos

,

,

,

ABCDEF

24 En las muchas etapas que componen la evolución, en la forma de comunicación humana, del desarrollo del lenguaje hablado a la escritura, los signos visuales representan la transición de la perspectiva visual, a través de las figuras y los pictogramas, a las señales abstractas. Sistemas de notación capaces de transmitir el significado de conceptos, palabras o sonidos simples. Los signos y símbolos transmiten ideas en las culturas pre alfabetizadas y prácticamente analfabetas. Pero su utilidad no es menor entre las verbalmente alfabetizadas: al contrario, es mayor. En la sociedad tecnológicamente desarrollada, con su exigencia de comprensión inmediata, los signos y símbolos son muy eficaces para producir una respuesta rápida. Su estricta atención a los elementos visuales principales y su simplicidad estructural, proporcionan facilidad de percepción y memoria. Entre signos y símbolos hay diferencias: Los signos pueden ser comprendidos por los seres humanos y, algunos (como los signos gestuales), incluso por ciertos animales; los símbolos son específicamente humanos. Los signos señalan; son específicos de un cometido o una circunstancia. Los símbolos tienen un significado más amplio. ¿Qué puede ofrecer a la ciencia del color la perspectiva semiótica, en relación a las perspectivas física, fisiológica y psicológica? ¿Es el color una sensación, una percepción, un fenómeno óptico o un fenómeno físico? Podemos decir que es todo eso, dependiendo del contexto en el cual es considerado. Si consideramos el color como signo, estamos incluyendo todos los aspectos, ya que un signo no es una cosa definida previamente sino una consecuencia de varios factores y del contexto en que es tomado como tal. El color puede ser el signo de un fenómeno físico y el signo de una sensación. También puede ser el signo de un mecanismo fisiológico o de una asociación psicológica. Como quiera que sea, en todos estos casos es un signo diferente. Por "color" se entiende la percepción de la distribución espectral de la radiación visible, lo que produce las sensaciones cromáticas elementales (rojo, verde, azul, amarillo, blanco y negro, según la teoría de oponencia cromática) y sus combinaciones. El color se da sólo en presencia de tres factores: radiación visible, objetos físicos y observador. Si falta alguno de estos factores el color no existe. Una persona en una habitación cerrada, sin aberturas exteriores y sin iluminación artificial, no ve el color de los muebles y demás objetos porque falta el primer factor: radiación visible. Un astronauta en una nave espacial fuera de la atmósfera terrestre ve un "cielo" negro porque, si bien la radiación solar atraviesa el espacio, falta el segundo factor: partículas u objetos que reflejen esa radiación. En un planeta deshabitado llega la radiación solar y hay objetos (supongamos, minerales), pero no podemos decir que exista la sensación de color porque no hay un observador con un sistema visual que sense esa radiación reflejada por los objetos. En resumen, la radiación visible incide sobre la materia física, que puede absorberla, reflejarla o transmitirla en forma selectiva con respecto a su longitud de onda en distintas proporciones. Pero

tanto la materia física como la radiación no tienen color por sí mismos, sólo tienen la capacidad de producir una determinada distribución espectral que un observador interpreta como sensación de color.

El conocimiento de algo se basa en los enunciados o las representaciones que de ese algo se tienen. En este sentido, las teorías científicas deben considerarse como modelos mediante los cuales se representa de una manera determinada algún aspecto del mundo que se desea conocer. Estudiar los objetos visuales equivale a estudiar los sistemas mediante los cuales puede producirse algún tipo de conocimiento acerca de ellos. Estos sistemas pueden incluirse en una variedad muy amplia de campos: la morfología, la ciencia del color, la semiótica del espacio, la semiótica visual, la psicología de la percepción. Cada uno de estos campos produce un enfoque determinado de la cuestión, centrándose particularmente en la explicación o la producción de ciertas cualidades de lo visual. A su vez, cada uno de estos campos involucra ciertas áreas de conocimiento o se nutre de otros campos. Así, la morfología, que en el área de la visión abarca el estudio de las formas visuales, tiene relación con los modelos teóricos de definición de la forma y el espacio, tales como la geometría euclidiana, las diversas geometrías contemporáneas, la topología, etc., involucrando asimismo los sistemas de representación de la forma y el espacio tales como la geometría descriptiva, la perspectiva y otros. La ciencia de la luz y el color se ha basado tradicionalmente en tres áreas: 1) la óptica, que estudia los procesos físicos de la luz y el color, 2) la fisiología y la neurofisiología, que estudian los mecanismos de la visión, y 3) la psicofísica y la psicología de la percepción, que estudian las representaciones sensoriales y perceptuales de los fenómenos de luz y color. La semiótica se ocupa del estudio de la semiosis, es decir, los procesos de significación. Hablamos de semiosis toda vez que estamos frente a situaciones donde se produce una transmisión o intercambio de información, una reacción física o un efecto de sentido dados a través de signos que actúan como agentes entre un objeto y un sujeto, sirviendo para ese sujeto como representación del objeto. Desde una base semiótica, se considera a los objetos bajo estudio como signos pertenecientes a algún sistema y mediante los cuales se puede representar de alguna manera el conocimiento de una parcela del mundo. La semiótica del espacio es la parte de la semiótica que se interesa por el estudio de los mensajes y los procesos de significación generados mediante signos espaciales. Dentro de ella, la semiótica visual se ocupa del estudio de aquellos procesos donde intervienen signos que operan en el canal de la visión. Este artículo se centrará a su vez en cierto tipo de semiosis visual, aquella donde los signos están dados exclusivamente por

diferentes distribuciones de la luz en el espacio (la clase de signos visuales que se ha llamado cesías) y por diferentes distribuciones espectrales de la luz (el color). Podemos considerar que el universo de la investigación visual está compuesto por todo el conjunto de signos visuales, divididos en signos de delimitación espacial o forma, de color, de textura visual y de cesía. El conjunto es infinito y cada uno de los subconjuntos también lo es (en el mismo sentido en que el conjunto de números reales es infinito). Esto no implica que el universo no sea abarcable o acotable. Lo es por medio de estructuras y variables de análisis. La hipótesis que intentaré demostrar en la sección siguiente es que el estudio de los objetos visuales sólo puede hacerse desde los sistemas de representación cognitiva de los mismos. ¿Qué puede ofrecer a la ciencia del color la perspectiva semiótica, en relación a las perspectivas física, fisiológica y psicológica? ¿Es el color una sensación, una percepción, un fenómeno óptico o un fenómeno físico? Podemos decir que es todo eso, dependiendo del contexto en el cual es considerado. Si consideramos el color como signo, estamos incluyendo todos los aspectos, ya que un signo no es una cosa definida previamente sino una consecuencia de varios factores y del contexto en que es tomado como tal. El color puede ser el signo de un fenómeno físico y el signo de una sensación. También puede ser el signo de un mecanismo fisiológico o de una asociación psicológica. Como quiera que sea, en todos estos casos es un signo diferente.

Existen al menos tres posibilidades de abordar el problema de las distribuciones espectrales y espaciales de la luz, y las apariencias visuales que originan (color y cesía, respectivamente): 1) desde el punto de vista de la física de los fenómenos involucrados, 2) desde el punto de vista de la fenomenología de la percepción, 3) desde el punto de vista de la semiótica. La primera aproximación se concentra en las causas y permite recorrer el problema en un único sentido: a partir de medir y conocer las características físicas de un objeto es posible predecir su apariencia. Pero el camino inverso no es tan fácil: no existe hasta el momento ningún sistema de visión artificial que pueda inferir las características físicas de un objeto a partir de su apariencia. La visión humana sí puede hacer este tipo de operación gracias a la extraordinaria complejidad de las redes que conectan sensaciones producto de impulsos nerviosos con la experiencia previa y la memoria. La segunda aproximación se interesa por los efectos pero no por las causas. Según la corriente que se alinea con la psicología de la percepción o la fenomenología, lo que importa es lo que se percibe y cómo puede describirse, independientemente de las causas físicas que intervienen. En este sentido, por ejemplo, no es relevante la diferencia entre transparencia física y transparencia perceptual o fenomenológica. La tercera aproximación permite conciliar estas dos corrientes, ya que los procesos semióticos se manifiestan en todos los niveles y en todos los campos. La semiosis no es exclusividad de los humanos sino que opera también en el reino de la biología toda, de la química y de la física. Tanto es semiosis la lectura y medición del flujo luminoso que hace un instrumento mecánico o electrónico como la interpretación o transformación de ese mismo flujo que

produce un organismo biológico. Considerando que para los organismos vivos la cuestión importante es que la luz y el color funcionan como sistemas de signos, el objetivo general en las investigaciones visuales debería ser investigar la teoría de la luz y el color desde la perspectiva semiótica, ya que esta perspectiva provee instrumentos teóricos y metodológicos aptos para la clasificación y análisis de los diferentes aspectos involucrados. Además, la semiótica de la luz y el color puede ser establecida como un campo sumamente sofisticado, alimentado en principio por los ya maduros desarrollos de la teoría del color, especialmente en lo que respecta a sus rasgos sintácticos, así como por los incipientes desarrollos con respecto a la percepción de la distribución espacial de la luz (cesía). A pesar de que es posible contar con muchos desarrollos que alimentan las investigaciones visuales, en ninguno de ellos aparece un abordaje semiótico que tenga una visión global y sea al mismo tiempo exhaustivo en cuanto al tratamiento de los innumerables problemas relacionados con la percepción de la luz y el color. Por un lado, los teóricos del color tradicionales no poseen por lo general una visión semiótica amplia y profunda, y por lo tanto, incluso cuando investigan sobre la significación del color, suelen carecer del marco semiótico adecuado. Por otro lado, si bien en los trabajos de los semióticos dedicados al estudio de los signos visuales la concepción semiótica sí es profunda, no se muestran en ellos conocimientos sobre la ciencia del color y la luz que sean equivalentes en profundidad, y en este sentido hasta pueden detectarse errores conceptuales respecto de ciertos aspectos físicos o psicofísicos de la cuestión. El aporte de una investigación visual con base semiótica sería entonces cubrir el vacío que aparece en el cruce de estas dos disciplinas, la semiótica y la ciencia de la luz y el color. Si bien ambos campos del conocimiento tienen desarrollos teóricos sumamente elaborados, hace falta justamente un trabajo interdisciplinario que arroje como fruto una coherente y consistente semiótica visual de la luz y el color.

5 FÓVEA 14

ENTRE 1 Y 2 HUMOR ACUOSO

5 4

7

1 CRISTALINO

1

4 CANAL HIALOIDE

2 7 NERVIO

3

2 CÓRNEA 6

ÓPTICO

3 ARTERIAS Y VENAS DE LA RETINA 6 RETINA 8

8 MÚSCULO OBLÍCUO SUPERIOR

9

12 CONDUCTO LACRIMAL 11 PUPILA

10

9 MÚSCULO RECTO LATERAL 16 HUESO FRONTAL

13 IRIS

15 ESCLEROIDES

10 MÚSCULO RECTO INFERIOR

1.- El cristalino se encuentra justo al lado de la pupila y está protegido por el líquido acuoso que existe entre él y la córnea. El cristalino se mantiene en su lugar gracias a un ligamento que está unido a un músculo ciliar que se encuentra en la parte frontal del ojo. El cristalino refracta la luz para enfocar nítidamente una imagen en la retina. En una persona sana, los músculos de este elemento tan elástico pueden cambiar de tamaño para enfocar objetos que se encuentran a diferente distancia. Cuando se mira un objeto distante, el músculo ciliar se relaja y el cristalino tiene una forma algo curvada. Para enfocar un objeto cercano, el músculo ciliar debe contraerse, dando una forma más curva al cristalino. Sin embargo, si el globo del ojo presenta una forma por la cual la retina está demasiado cerca (hipermetropía) o demasiado lejos (miopía) del cristalino, los objetos no estarán enfocados. Esto puede corregirse muy a menudo con gafas o lentes de contacto. El astigmatismo se debe a una forma irregular de la córnea o del cristalino. Los recién nacidos suelen ser hipermétropes y no pueden enfocar objetos cercanos durante los primeros meses. Los niños pequeños suelen tener una vista normal, aunque pueden producirse algunos cambios con los años. Algunas personas de edad avanzada tienen problemas para enfocar tanto objetos cercanos como lejanos, ya que sus cristalinos han perdido su elasticidad natural. Este problema puede solucionarse con lentes bifocales. 2.- La córnea es un abultamiento en la parte anterior del ojo. Es transparente y está cubierta por la conjuntiva, una fina membrana protectora. Permite el paso de los rayos lumínicos dentro del ojo y los refleja o los refracta. El iris está situado justo detrás de la córnea.

3.- Las arterias y las venas de la retina aseguran un constante flujo sanguíneo a los ojos. Discurren paralelas al nervio óptico hasta llegar al centro del cuerpo vítreo. 4.- El canal hialoide, también conocido como conducto de Stilling, es un fino canal de líquido cubierto por una membrana que se extiende desde el centro del cuerpo vítreo partiendo del nervio óptico hasta el cristalino. 5.- La fóvea es el punto focal de la retina. Solamente contiene conos que permiten una vista precisa cuando hay mucha iluminación. La fóvea tiene un campo de visión reducido, por lo que el globo del ojo se mueve constantemente para mantener la imagen dentro. La fóvea es el área de visión más aguda y nítida. 6.- La retina es una finísima capa que protege la parte posterior del globo del ojo. En ellas se encuentran células receptoras especiales, denominadas conos y bastones, que detectan la luz. Las células nerviosas de la retina transforman la energía de la luz en mensajes eléctricos que se transmiten al encéfalo gracias al nervio óptico. 7.- El nervio óptico transmite los impulsos nerviosos de los conos y bastones de la retina al encéfalo. Esta zona de la retina, donde el nervio óptico abandona el ojo, se llama punto ciego. Al no presentar células visuales es insensible a la luz. 8.- El movimiento del globo del ojo se controla gracias a pequeños músculos. El oblicuo superior es un músculo fusiforme que ayuda a mover el ojo lateralmente y a rotarlo ligeramente. El oblicuo superior trabaja con los otros músculos para mover el ojo. Estos músculos están unidos al escleroides cerca de la córnea. El encéfalo envía mensajes de estos músculos, moviendo los dos ojos en la misma dirección y al mismo tiempo. Cuando no hay coordinación entre los músculos, la persona está bizca o tiene leucoma corneal (exotropía). 9.- El movimiento del globo del ojo se controla gracias a pequeños músculos. El músculo recto lateral empuja el ojo hacia fuera. Trabaja junto con los otros músculos del ojo para poder moverlo. Todos ellos están unidos al escleroides cerca de la córnea. El encéfalo envía mensajes a estos músculos para que muevan los dos ojos en la misma dirección y al mismo tiempo. Cuando no hay una coordinación entre los músculos, la persona está bizca o tiene leucoma corneal (exotropía). 10.- El movimiento del globo del ojo se controla gracias a pequeños músculos. El músculo recto inferior empuja el ojo hacia abajo y medialmente. Trabaja junto con los otros músculos del ojo para poder moverlo. Todos ellos están unidos al escleroides cerca de la córnea. El encéfalo envía mensajes a estos músculos para que muevan los dos ojos en la misma dirección y al mismo tiempo. Cuando no hay una coordinación entre los músculos, la persona está bizca o tiene leucoma corneal (exotropía). 11.- La pupila se encuentra situada en el centro del iris y es de color negro. Alrededor de la pupila hay un esfínter que se contrae según la cantidad de luz que haya. Si el ojo está expuesto a una luz fuerte, el ojo se contrae para

proteger las células nerviosas que hay en el fondo del ojo. Si hay poca luz, la pupila se agranda para dejar pasar la mayor cantidad de luz posible. 12.- El conducto lacrimal es uno de los dos canales que segrega el líquido lacrimal estéril, que continuamente empapa la parte frontal del ojo y la conjuntiva, que es su fina membrana protectora. Aunque el flujo de líquido lacrimal es continuo, solo se produce alrededor de 1/2 a 2/3 de gramo al día. El conducto lacrimal se encuentra en el borde interno del párpado inferior. 13.- El iris es ese anillo de color que está situado justo detrás de la córnea y que rodea la pupila. Esta membrana coloreada le da a los ojos su color característico. Está compuesto por un esfínter en forma de anillo y por músculos dilatadores, los cuales controlan el tamaño de la pupila. El color de los ojos se debe a depósitos de pigmento (que varían desde el amarillo al marrón rojizo). Los ojos son azules cuando los pigmentos están ausentes y permiten ver la superficie violácea de la parte posterior del iris. A veces hay un pigmento blanco que hace que el iris sea de color gris. Los recién nacidos frecuentemente tienen los ojos azules, ya que todavía no tienen pigmento en el iris. 14.- Entre el cristalino y la retina se encuentra un gran compartimento que contiene un líquido viscoso (una sustancia clara parecida al gel) que forma la mayor parte del globo del ojo. Esta área se conoce como humor o cuerpo vítreo. El humor vítreo mantiene la retina en su posición y conserva la forma esférica del globo ocular. 15.- La esclerótica es la parte blanca del ojo. Está compuesta de un resistente tejido fibroso de color blanco que recubre el globo del ojo. El escleroides contiene finos vasos sanguíneos. Cuando el ojo está irritado a causa del polvo o de alguna otra dolencia, los vasos sanguíneos se alargan y el "blanco" del ojo aparece de color rosa o inyectado en sangre. 16.- El hueso frontal es uno de los huesos del cráneo. Su forma es aplanada y forma la parte frontal y el techo de las órbitas (cuencas del ojo). El hueso frontal también forma la parte superior de la cavidad nasal, así como el piso del cráneo, donde se encuentra el encéfalo. Dentro del hueso frontal existen dos cavidades, denominadas senos frontales, situadas al lado de los puntos encima de cada órbita. El hueso frontal está conectado a los huesos parietales mediante la sutura coronaria y gracias a otras suturas a los huesos esfenoides, etmoides, maxilar, nasal, lacrimal y malar (cigomaticofacial). En el centro de la parte delantera del hueso frontal, justo en la parte superior central de las órbitas, se encuentra una parte elevada del hueso denominada glabela. El hueso frontal también presenta dos agujeros (o cortes). Cada uno de ellos se encuentra justo encima de cada órbita (por lo que se les denomina agujeros supra orbitarios). (Sin numeración entre 1 y 2. HUMOR ACUOSO). Entre la córnea y el iris se encuentra un pequeño compartimento formado por un líquido claro denominado humor acuoso. Este líquido protege el cristalino y nutre la córnea. El líquido se sustituye cada cuatro horas, pero puede tener ocasionalmente impurezas, lo que produce sombras en la retina y crea "puntos delante de los ojos". Generalmente, el humor acuoso se segrega al lado del iris rodeado de la pupila y se filtra al exterior entre el iris y la córnea.

Sin embargo, si el líquido se segrega más rápidamente de lo que puede ser reabsorbido por las venas, la presión aumentará y se desarrollará un glaucoma.

El concepto de aprendizaje tiene una base poderosa el dominio de lo sensorial; que en casos como el dolor pone de manifiesto el papel de lo externo captado sensorialmente. Sin embargo se debe situar el aprendizaje en el plano de la comprensión, dentro de una visión dominada por el uso intersubjetivo del lenguaje. Así la actividad de aprender tiene relación con las acciones de aprendizaje por medios observables y con actos mentales que no son posibles de comprobar sensorialmente. El aprendizaje humano se produce unido a una forma de vida, a una estructura determinada por la realidad (los seres humanos no podrían aprender a contar si todos los objetos que nos rodean aparecieran y desaparecieran continuamente). También aprendemos a usar las palabras que se refieren a los distintos colores porque existen cosas de colores diferentes en nuestro entorno. Así el aprendizaje está condicionado por nuestro entorno, es decir, en los hechos naturales. Esta postura respecto del aprendizaje en general tiene que ver con una teoría del significado, donde la realidad determina el lenguaje y por lo tanto al sujeto que utiliza el lenguaje. La esencia no está creada por la gramática. Las formas de vida son captadas sensorialmente y constituye el determinante fundamental del aprendizaje de los conceptos. Tales conceptos están presentes en el lenguaje y, a través de la gramática, conectan con la realidad. De acuerdo a estos principios, la esencia se expresa en la gramática. Es conveniente recordar dos cuestiones: la inexistencia de conceptos con límites fijos y el papel relevante de las circunstancias en que se produce el aprendizaje de un concepto. Se debe separar el aprender humano de cualquier otro aprendizaje, en el aprendizaje humano se da el pensamiento cosa que no ocurre en el aprendizaje animal, aunque para ambos se pueda a veces usar el término aprender. Se debe establecer el nexo entre pensamiento y acción concibiendo el pensamiento como algo específicamente humano. Donde el nexo entre lenguaje y pensamiento unido a la actividad de aprender está cargado de significado. El aprendizaje humano escapa al mero automatismo del reflejo, pues pude establecerse una diferencia entre las criaturas que pueden aprender a realizar un trabajo, incluso complicado de manera mecánica, y aquellas que ensayan y comparan sus acciones durante sus tareas. Hay, pues, una neta opción a favor de la genuina especificidad humana del aprendizaje, aceptando su posible proyección analógica en los animales. Esta diferencia entre el aprendizaje humano y animal es algo que aparece habitualmente asociado al empleo ordinario del término "pensar", pues cuando se aprende de un modo determinado se ejercitan actos de pensamiento. Así el aprender humano no sólo supone la capacidad de pensar sino que, además lo muestra en su actividad. En los seres humanos el aprendizaje configura una seria de características que lo hacen específico. Cabe resaltar entre éstas el rasgo del perfeccionamiento: el enriquecimiento del individuo como ser humano. Pensar le abre unas grandes posibilidades: si alguien ha hecho una

combinación jugando, pongamos por caso, o la ha hecho por casualidad, y después la aplica como método para desarrollar esto o aquello, diremos que piensa. Al reflexionar repasaría mentalmente recursos y tácticas. Pero, a tal efecto, ya debe tener algunos su disposición. El pensar le da la posibilidad de perfeccionar sus métodos. El "piensa" cuando ha llegado a perfeccionar su método de determinada forma. Aparece ahora el término el pensar, que incluye el empleo de recursos y tácticas ya conocidos, así como la posibilidad de perfeccionar los métodos que se han utilizado. Las actividades mediadas por el pensar, entre las que destaca el aprender, no pueden ser explicadas desde un puro análisis en función de estímulos y respuestas. Si unimos a esto que el término pensar se refiera la vida humana y se aprende a usar para ser aplicado sólo a los seres humanos, tenemos entonces la propuesta de una neta orientación psicológica, que afecta notablemente a las nociones debatidas por psicólogos y antropólogos: propicia un enfoque distinto de los conceptos de instinto y reflejo condicionado, que incide en el problema básico de la voluntariedad o no de la conducta. La cohesión del reflejo condicionado se enraíza en la teoría del condicionamiento clásico de larga tradición psicobiológica, en las que se ha tratado de hacer coincidir el aprendizaje humano y animal. No existe una inteligencia general que crezca o se estanque, sino un elenco múltiple de aspectos de la inteligencia, algunos mucho más sensibles que otros a la modificación de estímulos adecuados. Cuando hablamos de desarrollar la personalidad, las aptitudes y la capacidad mental y física del niño hasta el máximo de sus posibilidades, nos estamos refiriendo a su desarrollo integral. Este desarrollo integral es lo que se conoce como desarrollo de las inteligencias múltiples. Según investigaciones en el campo de la neurobiología, existen en el cerebro zonas que se corresponden a ciertos espacios de cognición. Cada una de esas zonas alberga una zona específica de procesar la información, así cada uno puede expresar una forma distinta de inteligencia. Así, los programas educativos deben dirigirse a la consecución de todas las potencialidades físicas y psíquicas del niño, lo cual equivale decir que ha de dirigirse a la formación y desarrollo de todas sus inteligencias. Para su sistematización, hemos tomado como patrón la división que de las mismas, en sus primeras investigaciones, realiza Gardner, que relata la presencia de siete inteligencias básicas: · La inteligencia lingüística, o capacidad de emplear de manera eficaz las palabras, manipulando la estructura o sintaxis del lenguaje, la fonética, la semántica, y sus dimensiones prácticas. · La inteligencia física y cinestésica, o habilidad para usar el propio cuerpo para expresar ideas y sentimientos, y sus particularidades de coordinación, equilibrio, destreza, fuerza, flexibilidad y velocidad, así como propioceptivas, táctiles y hápticas.

· La inteligencia lógica y matemática, o capacidad de manejar números, relaciones y patrones lógicos de manera eficaz, así como otras funciones y abstracciones de este tipo. · La inteligencia espacial, o habilidad de apreciar con certeza la imagen visual y espacial, de representarse gráficamente las ideas, y de sensibilizar el color, la línea, la forma la figura, el espacio y sus interrelaciones. · La inteligencia musical, o capacidad de percibir, distinguir, transformar y expresar la duración, la altura, la intensidad y el timbre de los sonidos musicales. · La inteligencia interpersonal, o posibilidad de distinguir y percibir los estados emocionales y signos interpersonales de los demás, y responder de manera efectiva a dichas acciones de forma práctica. · La inteligencia intrapersonal, o habilidad de la autoinstrospección, y de actuar consecuentemente sobre la base de este conocimiento, de tener una autoimagen acertada, y capacidad de autodisciplina, comprensión y amor propio. Cada inteligencia hace referencia al desarrollo de múltiples capacidades. *Inteligencia lingüística · Vocabulario · Expresión oral · Comprensión oral · Fonética y articulación *Inteligencia lógico-matemática · Resolución de problemas · Clasificación · Comparación · Seriación · Agrupaciones *Inteligencia espacial · Relaciones espaciales · Memoria visual · Orientación espacial · Localización espacial · Representación gráfica *Inteligencia físico-cinestésica · Motricidad fina · Motricidad gruesa · Expresión corporal · Esquema corporal

*Inteligencia musical · Relaciones temporales · Audición musical · Instrumentos musicales · Entonación · Percepción, discriminación y memoria auditiva · Discriminación y comprensión de sonidos *Inteligencia interpersonal · Cooperación · Comunicación · Solidaridad · Respeto a los demás *Inteligencia intrapersonal · Autodisciplina · Amor propio · Expresión · Seguridad en sí mismo · Responsabilidad · Autocrítica Existen dos tipos de experiencias extremas claves en el desarrollo de las inteligencias que es importante tener en cuenta: Las experiencias cristalizantes. Las experiencias paralizantes. Las primeras, las experiencias cristalizantes, son hitos en la historia personal, claves para el desarrollo del talento y de las habilidades en las personas. A menudo estos hechos se producen en la temprana infancia. Por otro lado, como contrapartida, existen las experiencias paralizantes. Son aquellas que bloquean el desarrollo de una inteligencia. Debido a su abstracción, las matemáticas son universales en un sentido en que no lo son otros campos del pensamiento humano. Tienen aplicaciones útiles en los negocios, la industria, la música, la historia, la política, los deportes, la medicina, la agricultura, la ingeniería y las ciencias naturales y sociales. Es muy amplia la relación entre las matemáticas y los otros campos de la ciencia básica y aplicada. Ello obedece a varias razones, incluidas las siguientes: La relación entre la ciencia y las matemáticas tiene una larga historia, que data de muchos siglos. La ciencia le ofrece a las matemáticas problemas interesantes para investigar, y éstas le brindan a aquélla herramientas poderosas para el análisis de datos. Con frecuencia, los modelos abstractos que han sido estudiados por los matemáticos, por el puro interés que despiertan han resultado ser muy útiles para la ciencia tiempo después. La ciencia y las matemáticas están tratando de descubrir pautas y relaciones generales, y en este caso ambas son parte del mismo quehacer. Las matemáticas son el principal lenguaje de la ciencia. El lenguaje simbólico matemático ha resultado ser en extremo valioso para expresar las ideas científicas sin ambigüedad. La declaración a = F/m no es sólo

una manera abreviada de decir que la aceleración de un objeto depende de la fuerza que se le aplique y de su masa; sino que es un enunciado preciso de la relación cuantitativa entre esas variables. Más importante aún, las matemáticas proporcionan la gramática de la ciencia las reglas para el análisis riguroso de ideas científicas y datos. Las matemáticas y la ciencia tienen muchas características en común. Estas incluyen la creencia en un orden comprensible; una interacción de imaginación y lógica rigurosa; ideales de honestidad y franqueza; la importancia decisiva de la crítica de los compañeros; el valor atribuido a ser el primero en hacer un descubrimiento clave; abarcar el ámbito internacional; e incluso, con el desarrollo de poderosas computadoras electrónicas, ser capaz de utilizar la tecnología para abrir nuevos campos de investigación. Las matemáticas y la tecnología también han desarrollado una relación productiva mutua. Las matemáticas de las relaciones y cadenas lógicas, por ejemplo, han contribuido considerablemente al diseño del hardware computacional y a las técnicas de programación. Las matemáticas también ayudan de manera importante a la ingeniería, como en la descripción de sistemas complejos cuyo comportamiento puede ser simulado por la computadora. En tales simulaciones, pueden variarse las características del diseño y las condiciones de operación como un medio para encontrar diseños óptimos. Por su parte, la tecnología computacional ha abierto áreas totalmente nuevas en las matemáticas, aun en la misma naturaleza de la comprobación, y también continúa ayudando a resolver problemas anteriormente atemorizantes. La investigación matemática El uso de las matemáticas para expresar ideas o resolver problemas comprende por lo menos tres fases: 1. representar de manera abstracta algunos aspectos de las cosas; 2. manejar las abstracciones mediante reglas de lógica para hallar nuevas relaciones entre ellas, y 3. ver si las nuevas relaciones indican algo útil sobre las cosas originales. Abstracción y representación simbólica El pensamiento matemático comienza con frecuencia con el proceso de abstracción esto es, observar una similitud entre dos o más acontecimientos u objetos. Los aspectos que tienen en común, ya sea concretos o hipotéticos, se pueden representar por símbolos como los números, letras, otros signos, diagramas, construcciones geométricas, palabras y en el caso de la Cromatemática, colores surgidos de la Óptica. Todos los números son abstracciones que representan el tamaño de conjuntos de cosas y sucesos, o el orden de los elementos en una serie. Y las abstracciones no se hacen sólo a partir de objetos o procesos concretos; también pueden realizarse con base en otras abstracciones, como las clases de números (los números pares, por ejemplo). Tal abstracción permite a los matemáticos concentrarse en ciertas características de los objetos, además de que les evita la necesidad de

guardar continuamente otras en su mente. En lo que a las matemáticas se refiere, no importa si un triángulo representa el área de un velero o la convergencia de dos líneas visuales sobre una estrella; los matemáticos pueden trabajar con ambos conceptos de igual manera. El ahorro de esfuerzo resultante es muy útil siempre y cuando al hacer la abstracción se ponga cuidado en no soslayar las características que juegan un papel importante en la determinación de los resultados de los sucesos que se están estudiando. Las palabras son signos. En los signos podemos distinguir entre el significado y el significante, entre los cuales se establece una relación convencional que denominamos significación o, en este caso, sentido. Pero no solo las palabras son signos; también las cosas y los acontecimientos pueden serlo. Además, hay signos que remiten a otro significado: se tratan de los símbolos. Podemos entender los símbolos como un signo que significa un objeto que, a su vez, significa otra realidad. La relación del símbolo con el objeto simbolizado es social y cultural. Las cosas y los acontecimientos establecen conexiones de sentido formando un universo simbólico. Esta acepción de término sentido tiene una raíz religiosa profunda. Las religiones mas evolucionadas presentan un significado profundo de las cosas y de los hechos e intentan alcanzar lo inefable, lo que no se puede expresar con palabras. Desde esta perspectiva, tiene sentido lo que vale la pena. La vida o el mundo no tiene sentido si los esfuerzos y sufrimientos de la existencia no tienen alguna contrapartida. Lo que se está planteando es si hay alguna justificación de la existencia. Percepción: consiste en la organización de las sensaciones integrándolas en un objeto. Esta idea de percepción corresponde a una escuela alemana llamad Gestalt o escuela de la forma. Esta escuela afirma que la primera operación que realizamos es la percepción y luego analizamos las sensaciones. El objeto se recibe de golpe integrado, organizado de antemano. Por lo tanto la organización de una figura sobre un fondo y las leyes que la constituyen son factores objetivos. También se dan factores subjetivos que son propios de cada uno: deseos, personalidad, motivaciones que influyen directamente en la percepción. Por tanto la percepción es un proceso bipolar. Gracias a ella nos adaptamos al medio en el que vivimos y adquirimos información para sobrevivir desde el punto de vista físico e intelectual. Es un proceso selectivo porque solo percibimos si prestamos atención. La atención posibilita que percibamos unas cosas y no otras. Imaginación: facultad de fijar, conservar y reproducir aquello que hemos percibido y la imagen es la representación mental de objetos ausentes. La reproducción de imágenes puede ser espontánea o voluntaria y se basa en unas leyes llamadas "Leyes de asociación de imágenes". Llamamos asociación al vínculo existente entre dos o más imágenes de modo que la aparición de una implica la aparición de otra u otras. Dichas leyes son: Ley de semejanza: imágenes semejantes tienden a aparecer unidas.

Ley de contraste: imágenes contrastadas tienden a aparecer unidas. Ley de contigüidad: objetos percibidos en el mismo espacio de tiempo, en el mismo lugar o ambos a la vez tienden a aparecer asociados Existen dos tipos de imaginación: Imaginación reproductora: consiste en reproducir con la mayor fidelidad posible lo que se ha percibido antes. Sin percepción no hay imagen. Imaginación creadora: consiste en elaborar imágenes originales a partir de la que ya poseemos. Memoria: facultad de fijar, conservar y reproducir imágenes, conceptos y acontecimientos. El resultado de la memoria es el recuerdo cuya diferencia con la imagen es la incorporación del espacio y del tiempo. La diferencia entre la memoria animal y la humana es que la animal es sensitiva y la humana además de sensitiva es intelectual. Cuanta más capacidad de memoria el animal es más inteligente. Aumenta la capacidad intelectual conforme ascendemos en la escala animal: peces, anfibios, reptiles, aves y mamíferos. El aprendizaje provoca el estrechamiento del espacio sináptico. Hay dos tipos de memoria que dependen del tiempo de aprendizaje: A corto plazo (M.I) o memoria inmediata: es aquella que tiene un aprendizaje de muy pocos segundos. Memoria a largo plazo (M.L.P): para que lo aprendido en La M.I pase a M.L.P es necesario emplear más tiempo en ese aprendizaje y además repetirlo en sucesivas ocasiones. Si aprendemos con objetos concretos se llama memoria mecánica. La Cromatemática utiliza este tipo de memoria al relacionarse con los colores de la realidad. Si lo que intentamos conservar son ideas de nuestra memoria y no se vincula a objetos concretos, el aprendizaje es abstracto y se relaciona con las ideas. La Cromatemática también utiliza este tipo de memoria en su aplicación. Se distinguen diferentes tipos de conducta, en función de su mayor o menor complejidad en el proceso evolutivo de adaptación biológica de los organismos a su medio. La conducta instintiva es innata y no se modifica ni se aprende con la experiencia. La conducta animal implica un modo de adaptación ambiental rígido, mecánico y automático. En cambio el ser humano es un ser de carencias, ya que le faltan esas pautas de acción fijas que permiten acomodarse al medio. Pero a diferencia de los animales no está programado y fijado férreamente a su ambiente. Su forma aleatoria y no acabada, le permite poder realizarse y completarse adaptándose a las más diversas situaciones y circunstancias.

En los animales inferiores la mayor parte de su conducta está orientada y determinada por el instinto. En cambio en los animales superiores y en el hombre la mayor parte de su conducta es aprendida. El aprendizaje en la nueva psicología, se entiende como el proceso por el cual se origina o se modifica una conducta mediante la experiencia. La primera forma de aprendizaje es el aprendizaje asociativo, que ha sido estudiado por los autores de las escuelas reflexológica rusa y conductista norteamericana. Estos psicólogos analizan la conducta en términos de estimulo-respuesta (E-R) aplicando el método de aprendizaje que se llama "condicionamiento". En este tipo de aprendizaje podemos distinguir dos formas: 1) condicionamiento clásico El ruso Iván Pavlov elabora la teoría del aprendizaje como condicionamiento. Observó que todo organismo vivo emite unas respuestas reflejas o innatas al serle presentado un estímulo adecuado. Su trabajo consistió en transmitir a un estímulo neutro, que es incapaz de provocar por sí mismo una respuesta refleja, las propiedades de otro estimulo que fuera capaz de ello. Se pueden encontrar muchos ejemplos de este tipo de conducta en el ser humano. Las fobias se desarrollan en su mayoría de este modo. Si en el momento en que un niño acaricia a un animal se produce algo extraño que pueda asustarlo, el niño aprenderá a temer al animal, aunque este no sea la causa del sobresalto. Así, la conducta refleja queda explicada por un mecanismo fisiológico de asociación. 2) condicionamiento operante o instrumental La escuela conductista centra su estudio en la conducta, que considera el único aspecto que puede ser abordado científicamente por ser observable. De este modo pretende explicar todo tipo de respuestas. En este tipo de condicionamiento, la conducta actúa sobre el medio para producir algún efecto y, al mismo tiempo, puede ser controlada mediante la alteración de las consecuencias que le siguen. Se le da el nombre de refuerzo a todo estimulo capaz de aumentar la frecuencia de una respuesta. El aprendizaje se realiza a través del ensayo-error y depende de la obtención del refuerzo. Thorndike enuncio tres leyes que caracterizan y definen el proceso de aprendizaje. De ellas la más importante es la del efecto que según esta, cuando una respuesta va seguida de una recompensa tiende a repetirse, mientras cuando va seguida de un castigo disminuye la probabilidad de su repetición. La mayor parte de la conducta animal y gran parte de la humana podrían explicarse mediante este esquema: aprendemos a hacer algo con el objetivo de obtener un resultado. Algunos de los psicólogos neo conductistas consideraron que el esquema estimulo respuesta es insuficiente para explicar muchas de las conductas que se observaban en los animales y la mayoría de las humanas. Para explicarlas completamente es necesario tener en cuenta los procesos centrales de

organización de la información y su capacidad para generar diversas y múltiples respuestas. A estos elementos motivacionales y cognitivos se les da el nombre de variables intermedias, mediacionales u organísmicas (O). Debido a esto se pasa del esquema (E-R) se pasa a (E-O-R). En este aprendizaje el organismo aprende a percibir tal situación de forma que adquiere el conocimiento de nuevas relaciones entre estímulos (E-E) y la situación total. Tipos: Aprendizaje por discriminación: es aquel en el que se entrena el sujeto para distinguir entre dos cosas y escoger entre ellas. Lo que regula la respuesta son las relaciones. Aprendizaje latente: es aquel que supone la retención y comprensión perceptiva de relaciones espacio-temporales complejas. Este aprendizaje no se manifiesta hasta que el organismo es motivado a hacerlo. Aprendizaje por discernimiento y descubrimiento: se realiza cuando para hallar la solución a un problema el sujeto ha de poner una relación perceptiva objetos o estímulos sin conexión aparente, y ello acontece de manera súbita. Aprendizaje por imitación: además de lograr dar respuestas genuinamente nuevas y ejecutadas de pronto sin necesidad de haber sido ensayadas antes. Este proceso adquisitivo requiere el concurso de dos sujetos al menos, lo cual introduce en el aprendizaje un ingrediente social, que es el componente de toda conducta superior. La conducta inteligente especifica de los seres humanos: Según la teoría de Max Scheler, en todas las formas de aprendizaje perceptivocognitivo opera lo que denomina inteligencia práctica, que tienen en común los animales superiores y los humanos. Sin embargo, habría que reservar para estos últimos la conducta racional, a la que llama inteligencia abstracta. Gracias a ella los sujetos ya no necesitan tener presentes las cosas con las que tratan sino que pueden tratar con los símbolos o las ideas que le producen. Con esta inteligencia el ser humano se libera del mero dato sensible, de la percepción y de la imagen, y llega a las nociones de carácter general y abstracto. Gracias a ella la resolución de problemas se efectúa por la vía del pensamiento (capacidad de representación simbólica). La inteligencia específica de los seres humanos permite nuevas formas de comportamiento marcadas por diversas formas de pensamiento. Gracias a estos procesos cognitivos superiores hemos desarrollado la técnica, la ciencia y la filosofía. Estas inteligencias son la base operativa de la Cromatemática.

Teoría psiconeurológicas Conciben la inteligencia fundamentalmente ligada a la estructura y el funcionamiento cerebral y dependiente del conjunto de la información genética de un organismo. Teorías del procesamiento de la información Desarrollan sus explicaciones utilizando términos prestados de la informática y conciben la mente humana como un tipo particular de sistema de procesamiento de información. La simulación del ordenador les sirve como modelo para estudiar los procesos cognitivos que intervienen en la conducta inteligente. Teoría evolutiva Jean Piaget sostiene que los procesos cognitivos que muestran la inteligencia en el individuo evolucionan de un periodo cronológico al siguiente. Según él la conducta inteligente manifiesta la capacidad de los sujetos de adaptarse al ambiente. Considera que hay dos principios que rigen el desarrollo de la conducta inteligente: a) La organización permite ordenar la información interiorizada de los sujetos, conformando esquemas. b) La adaptación a las circunstancias ambientales. Esta adaptación implica dos procesos complementarios: La asimilación, proceso de captación de aquellos elementos del mundo exterior que son capaces de ajustarse al conocimiento que tiene el sujeto. La acomodación, el ajuste del propio organismo a fin de adaptarse mejor a las circunstancias. El producto de los sucesivos encuentros de asimilación y acomodación con el medio ambiente permitirá la incorporar nuevos esquemas mentales. Esta teoría presenta los estados de desarrollo cognitivo desde la infancia a la adolescencia. Teorías contextuales o socioculturales Defienden que las personas no se comportan inteligentemente en el vacío. Por ello consideran la posibilidad de que una misma persona sea inteligente de diferentes maneras en distintos contextos. El enfoque sociocultural intenta abrir el estudio de la inteligencia a conceptos tales como la motivación, la comunicación, las relaciones interpersonales, la cultura y la historia. Propone pasar de una psicología bipolar, sujeto-objeto, a una psicología tripolar, sujeto-otro-objeto. Sostiene que el desarrollo cognitivo consiste en una estructuración progresiva de las relaciones con el ambiente. Estas teorías establecen que lo social es un constituyente de la inteligencia y del desarrollo. Con el término pensamiento creativo nos referimos a ese modo peculiar por el que el ser humano conoce, proyecta y crea la realidad en que vive.

La creatividad es la capacidad para ver las cosas desde una perspectiva original, para ver problemas que nadie ha visto antes y descubrir soluciones nuevas y eficaces. En este sentido, habría que hablar del pensamiento del hombre como proyectista, como creador de proyectos, sugeridor de fines. La formulación de problemas, de metas es una actividad esencial del pensamiento creador. Inteligencia es la capacidad de resolver complicadas integrales, pero ante todo es la aptitud para organizar los comportamientos, descubrir valores, inventar proyectos, solucionar problemas y plantearlos. Esta capacidad de dirigir la conducta mediante proyectos implica necesariamente la presencia de libertad para elegir entre varios. Por ello podríamos decir que el hombre es un ser inteligente capaz de autodeterminarse, de elegir y de construir el proyecto de sí mismo. Modelo cromatemático Todo puede empezar con esta imagen comparativa de un mismo número escrito con los siguientes códigos:

De todas estas representaciones simbólicas de lo igual, hay una sola que no se ve afectada por el tiempo y es la que proviene de la luz. La luz verde del espectro lumínico ha sido la misma desde el origen. Por lo tanto el proceso de formación cromatemático se inicia naturalmente cuando el niño empieza a reconocer los colores de la naturaleza y los objetos y en este caso, a relacionarlos con estos nuevos números:

700nm.

Uno

400nm.

Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho Nueve Diez

Los colores equivalentes son: Rojo, Naranja, Amarillo, Lima, Verde, Esmeralda, Cian, Cobalto, Azul, Violeta

Cero

Infinito

Infranúmero Ultranúmero

Con sus colores acromáticos: Negro, Gris y Blanco La realidad propone el inicio de las asociaciones:

El siguiente paso tiene que ver con las Regletas Cromatemáticas y sus mecanismos de aprendizaje. La Cromatemática se basa en la naturaleza de la luz y de la visión. Los signos naturales son signos que no tienen un productor humano. Su reconocimiento está dependiente en forma directa del estado de la ciencia en el momento en el que se lo considera. Su calificación se fijará según el grado de información científica de su intérprete. Los signos naturales, puesto que constituyen signos, presuponen una conexión entre el signo que representa y un objeto determinado que está representado. Sin embargo esta conexión queda establecida por la naturaleza sin la menor intervención humana; se sitúa en el mundo físico, exclusivamente, y el intérprete no hace más que constatar ese hecho. Todos los códigos normativos están constituidos por su propia función y son un instrumento convencional no originado en la naturaleza. Para cambiarlos hace falta tener en cuenta los siguientes requisitos: Constatación de la necesidad del cambio. Explicación de la finalidad por la cual se quiere cambiar. Análisis crítico y comparativo del viejo y del nuevo código. Sustitución del código que presenta mayores deficiencias. Para llegar a la concepción e invención de un sistema numérico, fueron necesarios muchos miles de años antes que el hombre concibiera la idea del número, un paso fundamental en el proceso de la abstracción matemática fue la creación de los símbolos matemáticos, las matemáticas es una de las más hermosas creaciones de la inteligencia de la especie humana, la invención de un sistema numérico es quizá una de las mayores invenciones del hombre antiguo. Dentro de estos sistemas se encuentran los aditivos, los híbridos y los posicionales. La Cromatemática es un sistema posicional.

El niño aprende por descubrimiento, es agente de su propio aprendizaje basado en la motivación y estimulación sensorial. El niño aprende a aprender. El maestro tendrá el papel de mediador entre el niño y el material didáctico para resolver posibles dudas, conflictos, al mismo tiempo que observará la ejecución y resolución de las actividades. Además el maestro tendrá un papel de dinamizador, es decir, será capaz de promover el deseo de los niños a adquirir conocimiento, aprovechando la potencialidad del lenguaje cromatemático para crear un entorno favorable, y desarrollar el pensamiento creativo de los niños. Los objetivos generales son: • Desarrollar los "átomos del conocimiento": percepción, atención, memoria, relación, razonamiento deductivo e inductivo, análisis. •

Desarrollar y estimular las capacidades lógicas.

• Iniciar en los alumnos la comprensión del mundo que les rodea a través de la exploración matemática. • Desarrollar la comprensión a través de la construcción activa del conocimiento. • Descubrir y elaborar conceptos a través de la experimentación con materiales digitales (regletas): color, tamaño, orden, número. •

Adquirir formas de expresión y representación adecuadas.

•

Efectuar clasificaciones, seriaciones.

•

Desarrollar la competencia numérica.

•

Reconocer los números hasta el diez. (Progresiva y regresivamente).

•

Descubrir la estructura del sistema de numeración decimal.

•

Utilizar y ampliar otras series numéricas

El niño aprende por descubrimiento, es agente de su propio aprendizaje basado en la motivación y estimulación sensorial. El niño aprende a aprender. Consideraciones teóricas Para Vigotsky la acción de contar y el cálculo son sistemas simbólicos, que no solo permiten al niño resolver situaciones, sino también construir su pensamiento. Para Piaget el desarrollo de la competencia numérica depende del desarrollo de la capacidad lógica. Considera que hay un sincronismo entre la

conservación de cantidad, seriación y la inclusión. La adquisición del número llegaría más tarde. La teoría cognitiva considera que para el aprendizaje de la Matemática es importante el establecimiento de relaciones. Estas relaciones propician la construcción del conocimiento, que puede hacer cambiar los esquemas anteriores. En nuestra acción pedagógica además de considerar importantes las teorías que mueven nuestra práctica también damos importancia a la investigación en acción. Es a partir de esta práctica que constatamos la importancia del contar para el desarrollo del pensamiento matemático del niño, con la apropiación de las reglas del conteo. Por lo cual pensamos que para la Didáctica de la Matemática "que la acción de contar desempeña un papel importante en el desarrollo de la competencia numérica" y que "calcular es progresar en la apropiación del número". - Las etapas del aprendizaje en las matemáticas se iniciarán desde la utilización didáctica de las Regletas Cromatemáticas como paso previo a los símbolos numerales. Se pueden distinguir dos momentos bien diferenciados en el paso del manejo de las regletas a los números. Se inicia con la manipulación, se incentiva la creatividad y la oralidad; luego, en una segunda etapa, cuando el niño tiene dominio del material y puede dejarlo a un lado se inicia con el apoyo de sus compañeros de clase y del profesor en la escritura de las relaciones numéricas que ha encontrado; lo hace sin dificultad y busca nuevas posibilidades de expresión matemática que enriquezcan su saber. La escritura nace de la necesidad que tiene cada niño de traducir y comunicar por escrito lo que está en su mente, por ello el niño debe "descubrir" la notación de la misma manera que descubre sus ideas: paso a paso. El número natural y las operaciones con números naturales pueden trabajarse con ayuda de distintos materiales. Cuando llevemos al aula el material y preguntemos qué permiten los Regletas Cromatemáticas a un nivel de actuación con el educando, observaremos, entre otros puntos, los que a continuación me parecen los más importantes: Construir desde sí mismo y sus propias experiencias el conocimiento matemático, así como ver las dependencias y relaciones de los conceptos matemáticos entre sí.

Poder manejar un instrumento que estimula el desarrollo de sus capacidades mentales, respetando el intelecto de cada educando: instrumento no es aquí sinónimo de material, pues este por sí mismo no desarrolla capacidad mental alguna. Son las acciones que se llevan a cabo con el material las causantes de este desarrollo. Crear situaciones mentales, firmes y precisas en las que el alumno se pueda apoyar para seguir trabajando la matemática. Observar, crear, analizar, reflexionar, criticar, dialogar con sus compañeros, y llegar a encontrar las formas esenciales del pensamiento: el concepto que refleja los indicios sustanciales de una acción, el juicio que permite afirmar o negar algo sobre los objetos y el razonamiento, que a través de los juicios, llega a conclusiones válidas. El diálogo con los compañeros es un medio que permite una dinámica de grupo y aporta cualidades muy significativas en la educación, como el desarrollo de la capacidad social, la adquisición de conocimientos y la responsabilidad del niño hacia el respeto de los demás. Mediante la creatividad el niño se potencia, tanto si es una creación ambigua e incompleta para nosotros, tanto si es el fruto de una válida reflexión. El hacer creativo rompe los moldes previsibles y ofrece una originalidad que va más allá de una inteligente solución. El niño creativo se expresa libremente. Pues en sí la esencia del pensamiento reside en la capacidad de producir formas nuevas, de conjugar elementos que se consideran, por lo general, independientes o dispares. Desde las cuatro operaciones básicas, sus propiedades y relaciones hasta el cálculo combinatorio o las progresiones aritméticas; también: medida de segmentos rectilíneos, potencia, logaritmo, divisibilidad…, y multitud de relaciones anteriores al concepto de número, tan importantes para el desarrollo del pensamiento lógico-matemático. Y finalmente en cuanto al conocimiento matemático: Es un proceso constructivo que se inicia de manera muy precoz, a través de una gran variedad de intercambios, de acciones y de transformaciones que el sujeto (alumno) realiza con los objetos del entorno. Este conocimiento evoluciona a partir de la propia actividad del sujeto, encaminada a la búsqueda, exploración y verificación de significados en torno a los objetos de conocimiento. El conocimiento implica no sólo actuar con y sobre los objetos, sino comprenderlos, representarlos ("internamente") y formar ideas, conceptos, nociones, relaciones, etc. El conocimiento apela tanto a las representaciones de los objetos, como a la interiorización de las acciones aplicadas, ejercidas o realizadas sobre ellos. Y ahora veamos las Regletas Cromatemáticas:

Hablar de los niños y los números es abrir el diálogo a un universo amplio, profundo y tan lleno de variaciones y detalles como niños hay. Si bien nuestro propósito a largo plazo es tratar de abrazar ese universo, tenemos claro que para lograrlo debemos comenzar por acotar, delimitar en la medida de lo posible y conocer seriamente cada uno de los aspectos que lo integran. Una primera delimitación de este universo y tema de esta entrega puede ser: ¿a cuáles niños estamos haciendo referencia, de qué edad? La respuesta es contundente y puede sorprendernos: a niños de cero años en adelante. Aclaremos lo anterior. Efectivamente, el niño entra en contacto con las matemáticas desde que nace, puesto que el lenguaje cotidiano en el que está inmerso expresa dependiendo, en mayor o menor grado, de la cultura y el medio social al que pertenece- gran cantidad y variedad de nociones matemáticas. Las palabras que las expresan se van adquiriendo conjuntamente con el resto de la lengua sin que exista, la mayoría de las veces, conciencia de ello por parte de los adultos que rodean al niño en distintos momentos de su vida: los padres, los familiares, los educadores. No es poco frecuente la creencia de que el primer contacto del niño con las matemáticas, y en particular con los números, tiene lugar en el jardín de infantes; sin embargo, se trata de un gran equívoco que puede llevar a que la escuela no sólo desaproveche el bagaje matemático con el que llegan los menores, sino que incluso lo ignore totalmente. Detengámonos por un momento a pensar cuáles son esas palabras que denotan nociones matemáticas y hagamos una lista de ellas. Pensemos, asimismo, el contexto en el que las empleamos. Esta actividad nos ayudará a ver cómo las matemáticas no son algo ajeno al entorno familiar y social cotidiano del niño, ni algo que comienza cuando éste empieza a ir a la escuela. Por el contrario, desde pequeño se encuentra colocado en gran cantidad de situaciones matemáticas que son expresadas con un determinado lenguaje: el niño oye, y más adelante habla de números, tiempos, espacios, distancias, formas, pesos, tamaños., y en sus juegos compara, agrupa, separa, ordena, mide y resuelve pequeños problemas de suma, resta, reparto, etcétera. Lejos de ignorar esta riqueza, la escuela debe no sólo aprovecharla, sino promoverla en los hogares. Cada vez es más claro que la educación no es una cuestión exclusivamente escolar sino social, que maestros, padres y alumnos deben trabajar conjuntamente. El aspecto de la adquisición de las primeras nociones matemáticas resulta un terreno ideal para esta colaboración. Como educadores, podemos informar y orientar a los padres respecto al importantísimo papel que el entorno familiar juega en el desarrollo de dichas nociones en el inicio del proceso que llamamos numerización temprana.

En la literatura anglosajona sobre la enseñanza de la matemática elemental se ha introducido el uso de la palabra numeracy, un neologismo resultante de la contracción de las palabras: number (número) y literacy (capacidad de leer y escribir, alfabetización), que se ha traducido -en nuestra opinión, sin aciertocomo "alfabetización numérica" o "competencia numérica". Durante el trabajo de traducción de algunos textos en inglés relativos al tema analizamos las ventajas de poseer un término análogo en español que no fuera tan confuso como las traducciones mencionadas. Entre varias propuestas, elegimos el neologismo numerización, formado por la contracción de las palabras: "número" y "alfabetización". La numerización temprana hace referencia no sólo a la edad de los niños, que en este caso va aproximadamente de cero a seis años, sino también a las primeras nociones matemáticas, como el inicio de la clasificación y ordenación, el conteo, la identificación, el reconocimiento de cifras y pequeños cálculos mentales de suma y resta. En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema "cotidiano" de su contexto, para tomar conciencia y poder poner en palabras las relaciones y estructuras matemáticas que sirven para solucionarlo, pero que quedan "ocultas" en las situaciones de vida cotidiana. Esta tarea de la escuela es necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemáticas. Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemático puede ser desarrollado fuera de la escuela, en contextos sociales y a través de prácticas culturales. Pero en la vida práctica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional, sin conocer las condiciones de su propia producción. Los niños y las niñas que compran en los kioscos no son conscientes de la eficacia de su práctica matemática y de la estructura matemática implícita. Por eso puede decirse que la adquisición del conocimiento matemático formal sólo se adquiere en la escuela, donde las metas, los contenidos, las actividades, la organización, etc., son muy diferentes de los de la vida cotidiana. Pero, como regla general, el conocimiento matemático que se enseña en las aulas se presenta alejado del significado y de las condiciones de producción y aplicación de dicho conocimiento, y por ello es muy difícil que los alumnos y las alumnas puedan adquirir un adecuado sentido matemático, lo que los lleva a diferenciar la matemática "de la escuela", que se aprende para aprobar (o no se aprende y se fracasa), y la matemática "de la vida". Por eso es muy importante que los docentes puedan redefinir el verdadero sentido y los objetivos del conocimiento matemático a enseñar en la escuela, que difiere tanto del conocimiento matemático cotidiano como del conocimiento científico. La enseñanza de la matemática ganaría en significatividad si incorporase elementos de la práctica cotidiana a sus actividades típicas, "más formales". La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las

relaciones entre la matemática (conocimiento científico) y la vida (conocimiento cotidiano). Por ello, lo importante es ubicar a los niños y las niñas en situaciones que realmente los obliguen a "pensar matemáticamente" y en este caso "cromatemáticamente." El profesional o el científico utiliza una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adquirir información y utiliza la argumentación como medio de descubrimiento para resolver los problemas. En cambio, el niño o la niña depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas, utiliza una aproximación empírica. Para acercar a los niños y las niñas a la forma de operar del científico, los docentes deben organizar sus actividades para que aprendan aquello que valoran los matemáticos, cediendo progresivamente la responsabilidad a los alumnos y las alumnas a través de un proceso de participación guiada. Para lograr un aprendizaje significativo en la Cromatemática hay que proponer situaciones que planteen problemas, para cuya solución las nociones matemáticas se constituyan en instrumentos necesarios. Un conocimiento matemático sólo puede considerarse aprendido cuando se ha funcionalizado; es decir, cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situación o problema. Las investigaciones de las últimas tres décadas muestran que los niños llegan a preescolar con grandes diferencias entre sí. Desde pequeños puede haber una brecha entre ellos: los que en su hogar han sido muy estimulados hacia el conteo y otras nociones matemáticas, y los que no. Pensemos, a manera de ejemplo, en un niño que entra a la escuela sabiendo la secuencia numérica oral hasta diez y otro que no; o en el niño que es capaz de coordinar cada elemento contado con una palabra numérica y el que todavía omite objetos o cuenta uno de ellos dos o más veces. Los estudios muestran que si esta diferencia entre unos y otros no es salvada en los primeros años de escolarización, tenderá a hacerse más profunda a medida que los niños avanzan en los grados escolares; y, debemos decirlo, no es un problema de fácil solución en el contexto del trabajo en el aula. De ahí que, para contribuir a que la brecha de conocimiento entre los niños sea lo más pequeña posible, debemos insistir en hablar con los padres de familia acerca de la importancia de estimular a sus hijos mediante juegos. Hay muchas actividades que se pueden sugerir a los padres de familia, pero es importante que éstas vayan acompañadas, en la medida de lo posible, de cierta fundamentación teórica que explique por qué se propone y qué se pretende lograr con ellas, aunque esto sólo sea el acercamiento o la introducción del niño a una noción, misma que se adquirirá mucho después y luego de repetir y variar la actividad en diversas ocasiones. La enseñanza de las matemáticas parte del uso del material concreto porque

permite que el mismo estudiante experimente el concepto desde la estimulación de sus sentidos, logrando llegar a interiorizar los conceptos que se quieren enseñar a partir de la manipulación de los objetos de su entorno. Como bien lo dice Piaget los niños y niñas necesitan aprender a través de experiencias concretas, en concordancia a su estadio de desarrollo cognitivo. La transición hacia estadios formales del pensamiento resulta de la modificación de estructuras mentales que se generan en las interacciones con el mundo físico y social. Es así como la enseñanza de las matemáticas inicia con una etapa exploratoria, la que requiere de la manipulación de material concreto, y sigue con actividades que facilitan el desarrollo conceptual a partir de las experiencias recogidas por los alumnos durante la exploración. A partir de la experiencia concreta, la cual comienza con la observación y el análisis, se continúa con la conceptualización y luego con la generalización. Lo anterior, lleva a reconocer la importancia que tiene la enseñanza de las matemáticas en la básica primaria a través del uso de instrumentos y objetos concretos para el estudiante, ya que estos buscan lograr un aprendizaje significativo dentro de sus estudiantes, pues los resultados de los ellos en el aprendizaje de las matemáticas no son satisfactorios en los contenidos conceptuales de los diferentes temas que se trabajan en esta área, pues las estrategias que el maestro está utilizando para la enseñanza de la matemáticas no garantizan la comprensión del alumno frente al tema estudiado debido a que se ha limitado a estrategias memorísticas y visuales que no crean ningún interés en el estudiante y por lo tanto ningún aprendizaje significativo. Debido a la necesidad de avanzar progresivamente en la comprensión de las operaciones de suma y resta, resulta necesario presentar a los alumnos y las alumnas una gran gama de situaciones. La ampliación del tipo de problemas que los niños y las niñas pueden resolver en la escuela exige un trabajo específico. Como se ha visto anteriormente, los problemas aditivos no constituyen una clase homogénea; presentan una estructuración que es necesario desarrollar durante un largo período de tiempo. El primer paso consiste en asociar objetos con los números cromatemáticos:

Éste es el color del número uno. ¿Podemos encontrarlo en otras cosas?

Éste es el color del número dos. ¿Podemos encontrarlo en otras cosas?

Éste es el color del número tres. ¿Podemos encontrarlo en otras cosas?

Éste es el color del número cuatro. ¿Podemos encontrarlo en otras cosas?

Éste es el color del número cinco. ¿Podemos encontrarlo en otras cosas?

Éste es el color del número seis. ¿Podemos encontrarlo en otras cosas?

Éste es el color del número siete. ¿Podemos encontrarlo en otras cosas?

Éste es el color del número ocho. ¿Podemos encontrarlo en otras cosas?

Éste es el color del número nueve. ¿Podemos encontrarlo en otras cosas?

Éste es el color del número diez. ¿Podemos encontrarlo en otras cosas?

Y éste es el color del número cero. ¿Podemos encontrarlo en otras cosas?

También se pueden asociar los números cromatemáticos con objetos reales:

Y operar con ellos:

Respecto de la suma, uno de los primeros sentidos que elaboran los alumnos y las alumnas del ciclo inicial es el de agregar, unir, y respecto de la resta el de perder, quitar. Por ejemplo, para comenzar a trabajar el sentido de agregar y dar significado a las escrituras a + b y a - b, se puede presentar a los alumnos y las alumnas el siguiente esquema:

Se trata de una secuencia, que intenta avanzar progresivamente en la complejidad de las situaciones de suma y resta, abarcando lo numérico, los distintos tipos de enunciados y los procedimientos de cálculo (desde estrategias de cálculo mental hacia el cálculo algorítmico). Debido a la necesidad de avanzar progresivamente en la comprensión de las operaciones de suma y resta, resulta necesario presentar a los alumnos y las alumnas una gran gama de situaciones. La ampliación del tipo de problemas que los niños y las niñas pueden resolver en la escuela exige un trabajo específico. Como se ha visto anteriormente, los problemas aditivos no constituyen una clase homogénea; presentan una estructuración que es necesario desarrollar durante un largo período de tiempo. Respecto de la suma, uno de los primeros sentidos que elaboran los alumnos y las alumnas del primer ciclo es el de agregar, unir, y respecto de la resta el de perder, quitar. Y aquí cabe la capacidad de cada docente para incorporar las variables que hagan más atractiva la apropiación de la Cromatemática. En este apartado han sido planteadas algunas ideas respecto de la enseñanza de la suma y la resta, que forman parte fundamental del marco teórico que este capítulo toma como base para desarrollar las propuestas que realiza a los docentes del primer ciclo. Desde esta concepción de la enseñanza, que intenta favorecer la diversidad y provocar evoluciones en el conocimiento, resulta fundamental para los niños y las niñas: analizar qué procedimientos son correctos y cuáles no, discutir acerca de la posibilidad de utilizar varias formas de resolución para una misma operación o problema, decidir cuáles son los procedimientos más económicos para resolver cada operación o problema, comunicar a sus compañeros y compañeras y al maestro lo realizado en forma oral y escrita, discutir con sus pares las producciones realizadas, abandonar procedimientos inadecuados o poco óptimos para la resolución de los problemas, incorporar procedimientos planteados por los otros, como propios, reflexionar y tomar conciencia de lo que saben y de lo que no saben, reflexionar acerca de lo que es fácil o difícil para unos y para otros, tomar conciencia de lo que se aprende con la resolución de los problemas. La construcción del sentido de la multiplicación como operación matemática se logra cuando los niños y las niñas aprenden a reconocer cuál es el conjunto de problemas que se resuelven con dicha operación. Progresivamente, deberían

poder reconocer y resolver nuevos tipos de problemas de complejidad creciente, ampliar los recursos de cálculo que utilizan y sistematizar nuevos conocimientos sobre las propiedades de esta operación. Es preciso tener en cuenta que, aun cuando no hayan aprendido todavía "la tabla de multiplicar", ya están en condiciones de movilizar recursos para resolver problemas del campo multiplicativo. Por ejemplo:

Se considera que la construcción del sentido de la división se logra cuando los niños y las niñas reconocen cuál es el conjunto de problemas que se resuelven con dicha operación. Progresivamente, deberían poder reconocer y resolver nuevos tipos de problemas, de mayor complejidad, ampliar los recursos de cálculo que utilizan y sistematizar nuevos conocimientos sobre las propiedades de la operación. Aun cuando los niños y las niñas de primer año no hayan aprendido "la tabla de dividir" pueden movilizar recursos para resolver problemas "de división".

Índice 1.- Introducción 2.- Breve historia de la matemática 3.- El pensamiento matemático primitivo 4.- Los pueblos antiguos 5.- El milagro griego 6.- Los romanos, la Edad Media y el Renacimiento 7.- La era cartesiana 8.- Las matemáticas modernas 9.- Pitágoras y los pitagóricos 10.- Platón 11.- Arquímedes 12.- Hipatya 13.- Los árabes 14.- Omar Khayyám 15.- Durero 16.- Los carteles de desafío renacentistas 17.- Newton 18.- Monge 19.- Galois 20.- Russell 21.- Aschero 22.- Sobre los matemáticos 23.- Cromatemática de Aschero 24.- Didáctica de la Cromatemática

CROMOLENGUA DE ASCHERO (las letras de la luz) 1. Introducción La escritura es un sistema gráfico de representación de una lengua, por medio de signos trazados o grabados sobre un soporte plano. Como medio de representación, la escritura se diferencia de los pictogramas en que es una codificación sistemática que no permite registrar con toda precisión el lenguaje hablado por medio de signos visuales regularmente dispuestos. Además los pictogramas no tienen generalmente una estructura secuencial lineal, como sí tienen el habla o la escritura. Existen diversos hallazgos de representaciones gráficas previas a la escritura propiamente dicha, como los de las cuevas de Chauvet (1.995), Cosquer (1.994) o Lascaux (1.940) en Francia, con imágenes que datan de 31.000, 24.000 y 15.000 años aproximadamente de antigüedad, respectivamente, o la cueva de Altamira (descubierta en 1.868). El desarrollo de la escritura pudo tener motivaciones y funciones completamente diferentes de las que llevaron a crear otro tipo de representaciones gráficas. La invención de la escritura se dio en varios lugares del mundo de forma independiente. Las primeras técnicas de escritura se remontan al cuarto milenio a. C. Surgió en Egipto, Mesopotamia y China. El sistema creado en Oriente Medio y Egipto se extendió rápidamente a las áreas culturales cercanas y es el origen de la mayoría de las escrituras del mundo. En América la escritura también apareció en Mesoamérica. Se le atribuye a la escritura la historia siguiente: Las transacciones entre tierras alejadas y diferidas en el tiempo necesitaban plasmarse en contratos. Estos contratos se fundamentaban en unas bolas huecas de arcilla que contenían los datos, pequeñas formas de arcilla que simbolizaban los nombres de tres maneras diferentes: esferas, conos y cilindros a los que se añadían unas formas convencionales que designaban aquello que se contrataba. En caso de reclamación se rompía la bola seca, sobre la cual se había firmado con su sello para su control, y en la que se comparaba la cantidad y la entrega. Estas transacciones fueron puestas en forma de escuadra. Este era el medio para dibujar una cuña, un redondel y un cono, que representaban los datos y servían también para dibujar las formas convencionales. Finalmente se encontró la solución más simple: aplastar esta bola de arcilla y dibujar (escribir) en ambas caras el contenido del contrato: qué, cuánto y cuándo utilizando, siempre, esta pequeña caña.

La escritura ha evolucionado a través del tiempo. Fundamentalmente ha usado dos principios: 



Principio ideográfico, por el cual ciertos objetos, lugares, personas o animales eran representados regularmente por signos pictográficos, con cierto grado de realismo o más bien idealizados. La representación ideográfica y pictórica fue común en los inicios de todos los sistemas de escritura conocidos, Principio fonético, según el cual ciertos signos correspondían a sonidos o secuencias de sonidos. Inicialmente el sonido de un signo no fue totalmente convencional, sino que seguía el principio pro rebus, por el cual un sonido pictográfico pasaba a representar un sonido contenido en el nombre del objeto designado. Así, por ejemplo, en sumerio se usó un signo pictográfico para "arco", pero posteriormente dicho signo se empleó en la transcripción de la palabra "vida", ya que ambos tenían una pronunciación similar. Así ciertos signos pasaron gradualmente a usarse para representar objetos que tenían un sonido común o similar, con lo que surgieron sistemas basados en el principio fonético.

Tanto los sistemas jeroglíficos sumerios y egipcios como en la escritura china se encuentran conjuntamente signos que siguen el principio ideográfico junto a signos que siguen el principio fonético. No existe ningún sistema de escritura pleno, es decir, capaz de representar con precisión el lenguaje hablado que sea puramente ideográfico. El idioma chino es citado como ejemplo de escritura puramente ideográfica, pero eso no es más que un mito, puesto que un buen número de los signos son "complementos fonéticos" que tienen que ver más con el sonido de la palabra que con una representación pictográfica del referente. Algo similar sucede en la escritura jeroglífica egipcia, donde muchas palabras se escriben mediante signos monolíteros, bilíteros o trilíteros junto a un complemento semántico. Los "signos n-líteros" siguen el principio fonético, mientras que los complementos semánticos siguen el principio ideográfico, al menos parcialmente. Un sistema de escritura permite la escritura de una lengua. Si se refiere a una lengua hablada, como es lo normal y corriente, se habla entonces de "escritura glotográfica" (pero puede tratarse también de una lengua no hablada, en este caso se hablaría de "escritura semasiográfica") Las escrituras glotográficas ordinarias pueden estar divididas en dos grandes grupos: 

Las escrituras basadas completamente en el principio fonético, en que cada uno los signos representa algún tipo de sonido de la lengua hablada. Dentro de este tipo de escrituras puede distinguirse entre:  Alfabetos, en los que cada signo (o la mayor parte de ellos) representa un alófono segmental, sonido o fonema de la lengua. Esto es parcialmente falso, porque algunos sonidos se pueden representar



mediante dígrafos y/o trígrafos. Este es el tipo de escritura usado para todas las lenguas europeas y un buen número de lenguas africanas, americanas, oceánicas, etc.  Abyádes o consonantarios, en los que sólo algunos sonidos o fonemas tienen representación gráfica, usualmente las consonantes, por lo que no constituyen una representación completa. Estos sistemas resultan más económicos desde el número de signos a costa de ser parcialmente ambiguos (aunque el contexto elimina la mayor parte de esa ambigüedad, por lo que leerlos correctamente requiere conocer la lengua en que están escritos).  Abugidas o pseudosilabarios, que constituyen una refinamiento de los abyádes, al introducirse una manera no ambigua de marcar la vocal del núcleo silábico, sin que en general se emplee un signo diferente y aparte de la consonante. Las escrituras etiópicas, las usadas en la India o el "silabario" Cri son en realidad "abúgidas" y no silabarios genuinos como frecuentemente se dice.  Silabarios, en los que cada signo generalmente representa una única sílaba, sin que exista necesariamente relación entre los signos de las sílabas que empiezan por el mismo sonido. La escritura ibérica es un ejemplo. Las escrituras basadas parcialmente en el principio ideográfico, en que algunos de los signos representan directamente un tipo de referente, un campo semántico, etc. En la práctica todas las escrituras plenamente desarrolladas que usan el principio ideográfico, lo combinan con signos que siguen el principio fonográfico. Ejemplos de este tipo de escrituras mixtas son:  La escritura china, y sus derivados.  Varios de los signos jeroglíficos egipcios y cuneiformes pertenecen a este grupo.

Un mismo sistema puede servir para muchas lenguas y una misma lengua puede estar representada por diferentes sistemas. Los grafemas fundamentales de una escritura pueden completarse con la utilización de diacríticos, de ligaduras y de grafemas modificados. Desde la psicología, Wells (1.987) explora el concepto de lo escrito e identifica cuatro niveles de uso, que no se deben considerar exactamente funciones en el sentido lingüístico: ejecutivo, funcional, instrumental y epistémico.   

El más básico es el ejecutivo, que se refiere al control del código escrito, a la capacidad de codificar y descodificar signos gráficos. El funcional incluye la comunicación interpersonal y exige el conocimiento de los diferentes contextos, géneros y registros en que se usa la escritura. El instrumental corresponde al uso de la lectoescritura como vehículo para acceder al conocimiento científico y disciplinario.



Y el epistémico se refiere al uso más desarrollado cognitivamente, en el que el autor, al escribir, transforma el conocimiento desde su experiencia personal y crea ideas.

La taxonomía de funciones lingüísticas de M.A.K. Halliday (1.973) distingue dos categorías en el nivel epistémico: el uso heurístico y el imaginativo. Coulmas (1.989) se refiere a esta última función como estética, además de incluir otra con la denominación de control social. Después de estas consideraciones, podemos distinguir y clasificar los siguientes tipos de funciones: La primera distinción será entre usos individuales (intrapersonales) o sociales (interpersonales): 



Intrapersonales: el autor del escrito y su destinatario son la misma persona. Las principales funciones son:  Registrativa: la escritura permite guardar información sin límite de cantidad o duración. Se trata de la función mnemotécnica más básica que utilizamos corrientemente cuando anotamos direcciones y teléfonos, compromisos en agendas o ideas que se nos ocurren en un momento imprevisto. Requiere dominio del código escrito y su correspondencia con los sonidos.  Manipulativa: al ser bidireccional y planificada, la escritura facilita la reformulación de los enunciados, según las necesidades y las circunstancias. No siempre reproducimos literalmente lo escuchado, leído, visto o pensado. Escribir permite elaborar la información. Así preparamos el guión de una charla, etc.  Epistémica: subiendo otro peldaño del desarrollo cognitivo, la manipulación de datos permite al autor generar opiniones e ideas que no existían antes de iniciar la actividad escritora. Escribir se convierte en una potente herramienta de creación y aprendizaje de conocimientos nuevos. Todos hemos experimentado el poder epistémico de la escritura en situaciones cotidianas. Al tener que explicar por carta a un amigo una situación complicada o comprometida. Interpersonales: el autor escribe para otros: un lector conocido o no, un grupo, una asociación, una comunidad lingüística, etc. La escritura se convierte en un instrumento de actuación social para informar, influir, ordenar, etc. Aquí también distinguimos varias funciones:  Comunicativa: la escritura permite interactuar con el prójimo en circunstancias nuevas: en diferentes lugares y tiempos, cuando lo escrito resulta más preciso o cortés. Esta función exige dominar los rasgos discursivos y gramaticales propios de cada género y tipo de texto.  Organizativa: desarrolla funciones ordenadoras, certificadoras o administradoras. Lo escrito garantiza derechos y deberes de la ciudadanía, informa al público lector, garantiza derechos al trabajador, etc.



Finalmente, la última función que participa de los usos intrapersonales tanto como de los interpersonales es la estética o lúdica. En cualquier situación, la escritura posee una dimensión placentera o de diversión. El lenguaje verbal ("verbum" quiere decir en latín "palabra") descansa en la posibilidad de articular elementos físicos, los cuales constituyen el significante de una clase específica de signos: los signos lingüísticos. Todas las lenguas naturales son sistemas doblemente articulados: los sonidos más exactamente, los fonemas- forman signos; los signos, mensajes. La relación que existe entre lo que llamamos lengua y habla es la misma que hay entre código y mensaje. De entre la multitud de signos que nos rodean, los lingüísticos son los más importantes. "El lenguaje es la casa en la que el hombre vive", decía un personaje de una famosa película de J. L. Godard. O, como más densamente se ha dicho, "el lenguaje es la casa del ser". ¿Qué es un signo lingüístico? Como todos los signos, la asociación entre un significante y un significado. El significante es la imagen que nuestros sentidos pueden percibir y nuestra memoria registrar. En muchas ocasiones oímos series de sonidos que forman palabras como "agua", "noche" o "madre", y eso con independencia de que los hayan articulado unas voces u otras, ahora mismo o hace tiempo, con mayor o menor intensidad. El significante es la imagen que todas estas realizaciones concretas tienen en común, su invariante acústica. Con menos frecuencia oímos "charape", "oleaginoso", "petrografía"; percibimos también sus significantes y podríamos, sin dificultad alguna, reproducirlos, aun cuando carezcan para nosotros de significado. (Lo tienen, sin embargo, ya que son palabras del castellano, signos, aunque no funcionen como tales para nosotros si no conocemos su significado.) El significado es el concepto, la idea que, para la comunidad de hablantes, despierta en su mente la audición del significante, y sin el cual no tendrían el menor sentido. Podría representarse mediante un conocido esquema:

La relación que se establece entre significante y significado es arbitraria. Nada hay en un significante que exija un determinado significado ni viceversa. Tampoco lo hay en la realidad. Un mismo concepto se expresa -y un mismo referente se designa- mediante significantes que son distintos en español ("árbol"), francés ("arbre"), alemán ("baum"), inglés ("tree")... Como la diversidad de lenguas muestra, la relación entre las dos caras o planos del signo lingüístico estriba en una convención, en un acuerdo entre los hablantes. Que un signo sea arbitrario no quiere decir que los usuarios puedan cambiarlo a su gusto -como ocurría en un cuento en que la protagonista, una niña, decide usar "lápiz" con el significado de "padre", "carpeta" para "madre" y "cantar" en lugar de "comer"-. Esto sólo les llevaría a no ser entendidos por nadie, a no ser que los cambios se extiendan por lo menos a otro hablante, con quien compartiría así una especie de lenguaje secreto -es lo que ocurre en el cuento-. Al nacer nos sumergimos no sólo en una época y un país, sino también en una lengua a cuyas reglas no podemos más que someternos, so pena de caer en la incomunicación. 2. Mutabilidad e inmutabilidad Sin embargo, los signos cambian de muchas maneras. Unos desaparecen ("poridad") y algunos nacen ("agujeros negros"); unos modifican su significante ("radiodifusión": "radio") y algunos significantes se adaptan a nuevos significados ("azafata"). Pero ello ocurre en un proceso que es largo en la historia y extenso en lo social. Para el individuo y para el presente los signos lingüísticos son inmutables; para la sociedad y la historia son, en cambio, objetos que varían. Ambos fenómenos no son, pues, contradictorios sino complementarios, puesto que los dos dependen de la arbitrariedad del signo: inmutabilidad porque, siendo arbitrario, no puede ser cuestionado en nombre de ninguna razón; mutabilidad porque, siendo arbitrario, siempre puede cambiarse. 3. ¿Hay signos motivados? Con todo, encontramos en las lenguas ciertos signos que parecen contradecir esta arbitrariedad. Se trata de las onomatopeyas, palabras cuyo significado trata de evocar un sonido efectivamente existente en la realidad. En el lenguaje infantil son abundantes: el niño llama "guau" al perro y "pío" al pájaro, "rin-rin" a un timbre o "rataplán" a un tambor. Palabras como "chistar" u otras son onomatopéyicas. Pero si comparamos algunas onomatopeyas en distintas lenguas -la del gallo es "quiquiriquí" en castellano, "quiquiriquí" (que suena aproximadamente como "kokorikó") en francés: nadie en su sano juicio diría

que los gallos cacarean de distinta manera a un lado y otro de la frontera-, vemos que cada una de esas lenguas reorganiza a su manera un determinado material sonoro, somete a específicas convenciones -su timbre, sus esquemas de entonación, su propio sistema fonológico- dicho material. Hay otros signos en la lengua que parecen motivados: las palabras derivadas ("blanquear") o las compuestas ("aguanieve") vienen exigidas por las primitivas o simples que las originan. Y si miramos a la historia vemos que casi todas las palabras derivan de otras (los étimos de la lengua originaria, como el latín para el castellano). Pero tales motivaciones remiten siempre a una arbitrariedad, a una convención de principio que resulta esencial. 4. Linealidad y carácter diferencial Los signos lingüísticos se producen sucesivamente, en la línea del tiempo. Como sus significantes han de realizarse sonoramente, no aparecen dos signos simultáneamente (cosa que sí ocurre en signos visuales, como las señales marítimas o las de tráfico, por ejemplo). Un sonido detrás de otro, una palabra tras otra, un enunciado tras otro. Y en esta sucesión (o cadena hablada; los signos representan los eslabones de la cadena) cada signo tiene su carácter diferencial, o sea, significa, por su presencia o por su ausencia, en relación con los demás signos, con los que contrasta en la cadena, y a los que se opone en un sistema. 5. Dos representaciones del signo lingüístico La reflexión sobre el signo lingüístico ha sido abundante y ha llevado con frecuencia a intentar representar gráficamente qué es lo que hay en un signo. Este es el esquema que propuso el psicólogo Karl Bühler en su "Teoría del lenguaje" (1.934):

En la figura, el círculo representa el fenómeno acústico concreto, el conjunto de sonidos; el triángulo equivale al signo propiamente dicho, que comprende algo menos que el círculo (pues no todo el material sonoro es significativo para los interlocutores: el signo abstrae) y también algo más (para indicar que ese material sonoro se hace inteligible). El signo está representado por un triángulo porque todo signo -dice Bühler- lo es triplemente: es símbolo, o sea, está en lugar de los objetos y relaciones que hay en la realidad; es síntoma o indicio de quien lo emite, y es una señal porque se dirige hacia alguien, apela al oyente. Estas tres dimensiones del signo, que siempre son, en algún sentido, simultáneas, coinciden con tres de las funciones del lenguaje que en otro lugar analizábamos: la representativa, la expresiva y la apelativa. Desde otro punto de vista, al margen de esquema propuesto por Karl Bühler, que hemos visto en el apartado anterior, varios especialistas en semántica han diseñado figuras triangulares, que podemos resumir en la siguiente:

Lo que representaría que en todo signo lingüístico hay un significante y un significado, pero también está en él la referencia a un objeto extralingüístico (referente). La línea discontinua que une los extremos del significante y el referente señala que, mientras las otras relaciones son causales (referentesignificado, significado-significante), ésta es convencional. Aquí estaría la arbitrariedad del signo y no, como otros afirman, en la relación entre significado y significante.

6. Valor en un sistema La palabra "sistema" tiene diversos sentidos. Retengamos aquí el más importante: conjunto organizado en el que los elementos poseen un valor que es relativo al de los otros y al conjunto. Pensemos en las monedas de un Estado o en las figuras del ajedrez: lo que hace a una moneda de peso o a un caballo de ajedrez ser lo que son, no es su volumen ni el material de que están hechos ni, en realidad, su forma o color (sería suficiente con utilizar un color diferente al del oponente). La forma es sólo la expresión de un valor, el que poseen en relación con las restantes monedas o con las piezas restantes. Si en el momento de empezar a jugar una partida de ajedrez descubrimos que una torre ha desaparecido, nada impide que cualquier objeto --una caja de pastillas, el tapón de una botella-- pueda servir como tal: moverá como mueve la torre, será y actuará como la torre.

Lo que interesa en una pieza de ajedrez no es su forma, material, tamaño o color, sino su valor; en realidad, cualquier otro objeto podría servir para simular su misma función. De igual manera, en una moneda lo que interesa es su valor, no su forma, tamaño, material o color. De hecho, cuando una autoridad monetaria renueva una moneda de determinado valor con apreciables cambios físicos, enseguida con el uso nos habituaremos a relacionar el valor con la nueva forma, y a olvidar la antigua. Lo mismo sucede con los signos lingüísticos. "Bueno" tiene un significado en relación con "malo" (y con "regular"); "padre" en relación con "hijo"; la entonación enunciativa ("acabaré de trabajar a las ocho") indica algo preciso en relación con otras clases de entonación ("¿acabaré de trabajar a las ocho?").

Cualquier vocal de las que existen en español es, justamente, la que no es ninguna de las otras; esto, que parece obvio, no lo es tanto cuando tratamos de pronunciar una vocal del inglés o del francés, que poseen valores propios en relación con sus propios sistemas vocálicos. 7. Relaciones sintagmáticas y paradigmáticas Dentro del sistema que posee la lengua, un signo mantiene dos clases de relaciones: sintagmáticas y paradigmáticas. Llamamos relaciones sintagmáticas a aquellas que existen entre un signo (o un sonido) con los demás signos (o sonidos, en su caso) que le preceden y siguen en la cadena. Así en: "Una mujer enlutada esperaba ante la puerta", el signo "mujer" está en relación sintagmática con "enlutada", "esperaba", etc. Al tiempo, se encuentra en relación paradigmática con todos aquellos que podrían figurar en el mismo lugar ("anciana", "señora", "mendiga"..., pero también "hombre", "grupo", "multitud"...). Por tanto, las relaciones paradigmáticas son las que existen entre un signo y cuantos, ya por su significado, ya por su función, podrían aparecer en el punto del enunciado que él ocupa. Por poner un ejemplo aproximado -no lingüístico-: si acudimos a un restaurante y consultamos la carta, ésta nos ofrece varios paradigmas (el de las entradas, el de los pescados, el de las carnes...). Cuando pedimos un plato de cada uno de estos bloques estamos elaborando una cadena; entre los platos que efectivamente constituyen nuestra comida existen relaciones sintagmáticas. Una clase de relaciones paradigmáticas es la que hay entre palabras que comparten algún rasgo significativo (campos semánticos); una clase de relaciones sintagmáticas es la concordancia entre sujeto y verbo. 8. La doble articulación de las lenguas El signo lingüístico es articulado. Esto quiere decir que se puede descomponer en elementos más pequeños que pueden reaparecer en otros signos. Si en el signo "casa" sustituimos el sonido inicial /k/ por otro, /p/ o /m/, por ejemplo, aparecen nuevos signos, como "pasa" o "masa". Estos elementos (/k/, /p/, /m/) no son signos, pues estamos fragmentando sólo el significante, aunque su presencia determina la formación de uno u otro signo. Los llamamos fonemas o, también, unidades de la segunda articulación. Las unidades de la primera articulación son, precisamente, los signos elementales. "Casa" puede aparecer en muy diversos mensajes: "se compró una casa", "la casa está ardiendo", "esta casa no es un hogar"... En todos ellos,

una misma serie de fonemas -significante- se asocia a un mismo significado ("edificio para habitar, lugar en el que se vive"). No hay que confundir estos signos elementales con las palabras, a pesar del ejemplo. En efecto, en palabras como "marcapasos" distinguimos más de un signo. Pero también en "viejo", donde aparece un significante ("viej-") con su propio significado ("persona de mucha edad"), y otro ("-o") con el de "sexo masculino". La Lingüística anglosajona denomina morfema a estos signos mínimos que poseen significado propio. Entre nosotros es más usual llamarlos monemas o unidades de la primera articulación. 9. Las palabras y las cosas La arbitrariedad del signo lingüístico choca frontalmente con la creencia, muy arraigada en las llamadas culturas primitivas, de que las palabras están íntimamente unidas a las cosas, siendo emanaciones suyas. J. G. Frazer, en su obra "La rama dorada", escribe lo que sigue: "Incapaz de diferenciar claramente entre palabras y objetos, el salvaje imagina, por lo general, que el eslabón entre un nombre y el sujeto u objeto denominado no es una mera asociación arbitraria e ideológica, sino un verdadero y sustancial vínculo que une a los dos de tal modo que la magia puede actuar sobre una persona tan fácilmente por intermedio de su nombre como por medio de su pelo, sus uñas, o cualquier otra parte material de su persona. De hecho, el hombre primitivo considera su nombre propio como una parte vital de sí mismo, y en consecuencia, lo cuida." Frazer y otros antropólogos han documentado la existencia de numerosas comunidades en las cuales los signos --y particularmente los nombres propios, los de los parientes, los de los reyes y los dioses-- se callan porque decirlos comprometen y afecta a las personas y a las cosas que señalan: esto es, son objeto de un tabú (término procedente de la lengua del archipiélago de Tonga, Polinesia, que significa prohibido). El tabú lingüístico --desvanecido en nuestro mundo el carácter sagrado o mágico que explicaba tal prohibición-- expresa, en cierto modo, una misma certeza: hay signos que no se pueden usar porque despiertan una presencia real que los interlocutores no soportan. Se habla así del tabú del miedo y la superstición, del tabú de la decencia, del tabú de la delicadeza, cuyos nombres ya indican sobre qué clase de objetos y palabras recae. En el precepto religioso de "no tomar el nombre de Dios en vano" subyace también la misma ancestral convicción.

Desde otras perspectivas, se ha pretendido secularmente devolver el lenguaje a esa unión con la realidad misma: hablamos de la literatura. No en vano se ha dicho que hay en ella restos de un mundo mágico y sagrado. La poesía pretende romper con la arbitrariedad del signo lingüístico, hacerlo motivado por muy distintos procedimientos. Pero es un empeño abocado al fracaso; empeño y fracaso del que la literatura vive en muchas ocasiones, como en el verso célebre de Tristan Tzara: "Las palabras que no llegan a apoderarse de las cosas." 10. Selección y combinación, metáfora y metonimia He aquí un conocido test: se pide a un grupo de niños que, ante una palabra, cabaña, digan inmediatamente lo que se les ocurre. Las respuestas son muy variadas; por ejemplo: "choza", "se ha quemado", "es una casa pequeña", "cueva", "en ella vive un pastor", "palacio"... Si analizamos las distintas respuestas, vemos que predominan las de dos clases: en unas se ha recurrido a sinónimos diversos e incluso a un antónimo de la palabra; en otras se ha dicho algo, se ha predicado algo de la cabaña. Más raramente se han utilizado los dos procedimientos a la vez ("es una casa pequeña"). En todo caso, las respuestas manifiestan dos operaciones esenciales al hecho de hablar; la selección y la combinación. En efecto, todo signo lingüístico se combina con otros en una serie (su contexto) que mantiene con él relaciones sintagmáticas. Pero hay en la lengua otros signos con los que guarda relaciones paradigmáticas. Estos otros signos no se realizan simultáneamente; antes bien, elegir uno implica excluir otros que podrían haber aparecido en el mismo lugar de la cadena. Entre los elementos del mensaje hay contigüidad; entre los de un paradigma, alguna clase de semejanza. El lingüista Roman Jakobson ha mostrado cómo dos clases de afasias (trastornos cerebrales que dificultan o impiden hablar) tienen relación con los procedimientos de selección y combinación. Los que padecen uno de estos tipos de afasia no pueden iniciar un diálogo y, sin embargo pueden proseguirlo una vez comenzado. Si se les dan retazos de frases pueden completarlas fácilmente, pero no dirán, por ejemplo, "está lloviendo" a menos que efectivamente vean llover; se les enseña un objeto cualquiera, un lápiz, y contestan "escribir". Carecen de la posibilidad de elegir un signo en un momento determinado, a menos que éste venga exigido por el contexto o por la situación. Y es, precisamente, la situación o el contexto lo que les permite en ocasiones utilizar palabras en un sentido figurado: un paciente -informa quien lo trata-- "cuando no conseguía recordar la palabra negro

describía este color como "lo que se hace por los muertos"; otro, al que se le pide que repita ventana dice cristal. Frente a estos enfermos, incapaces para la selección, otros tienen alterados los procedimientos de combinación entre signos. Construyen escasas frases, alteran la concordancia, suprimen los nexos y las palabras gramaticales; pueden, sin embargo, conservar abundantes palabras, sobre todo las que menos dependen del contexto, y utilizar sinónimos y metáforas: catalejo por microscopio, fuego por luz. Es decir, pueden recurrir a la semejanza. La metonimia y la metáfora son, por tanto, mucho más que simples figuras literarias: son dos polos del lenguaje verbal en relación con los ejes de combinación y de selección, respectivamente. Cuando usamos una metáfora ("esta casa es un paraíso") lo que hacemos es proyectar sobre el eje de combinación una semejanza, esto es, formar un mensaje en el que se suceden signos equivalentes; por el contrario, en una metonimia ("han robado un goya") un signo sustituye a otro que suele aparecer junto a él ("goya" en lugar de "cuadro --de Goya--"), es decir, se hace equivalente a él en el código por razones contextuales. 11. Las lenguas como sistema En el mundo existen cerca de 3.000 lenguas. El número resulta difícil de establecer porque, de una parte, no siempre es posible delimitar lenguas y dialectos y, de otra, hay muchas escasamente conocidas. Naturalmente, si pensáramos en las que han desaparecido de la faz de la tierra, el número se ampliaría considerablemente. 12. ¿Qué hay de común entre todas las lenguas? Todas las lenguas poseen ciertas características comunes, ya que son instrumentos de comunicación humana, utilizan signos vocales de carácter lineal y naturaleza arbitraria, son sistemas doblemente articulados y, por tanto, económicos, en cuanto que con muy pocos elementos se pueden formular infinitos mensajes. Ninguna lengua es una pura nomenclatura que calque objetivamente la realidad, sino que ésta es estructurada de manera diversa por cada una; ninguna es del todo equivalente a otra. ¿En qué difieren, pues, unas lenguas de otras? En el modo en que cada una de ellas selecciona y organiza sus unidades de la primera y de la segunda articulación. Podemos decir, entonces, que una facultad humana -la del lenguaje verbal- se realiza a través de diversos códigos -las lenguas naturales- y definir una lengua, a partir de las características antes enumeradas, como "un instrumento

de comunicación con arreglo al cual la experiencia humana se analiza, de modo diferente en cada comunidad, en unidades dotadas de un contenido semántico y de una expresión fónica, los monemas. Esta expresión fónica se articula a su vez en unidades distintivas y sucesivas, los fonemas, en número determinado en cada lengua, cuya naturaleza y relaciones mutuas difieren también de una lengua a otra". 13. Sistemas y subsistemas Todas las lenguas constituyen sistemas que, a su vez, se organizan en subsistemas, a los que suele llamarse planos lingüísticos: el fónico, el gramatical o morfosintáctico y el léxico-semántico. Los describiremos brevemente, delimitando las unidades que el análisis lingüístico encuentra en cada uno de ellos. 14. El plano fónico El plano fónico es el de los sonidos, entendiendo por tal la realización material de las entidades abstractas que son los fonemas. Éstos tienen, como se ha dicho, un carácter distintivo: la presencia de un fonema nos sitúa ante signos distintos (/barco/, /marco/, /parco/). Otros elementos se sitúan por encima de un conjunto de fonemas: se llaman elementos suprasegmentales y son el acento, que sirve también para diferenciar signos ("célebre", "celebre", "celebré") y la entonación, que, igualmente, distingue enunciados ("Se van de vacaciones", "¿Se van de vacaciones?"). 15. La correspondencia entre fonema y grafema El fonema (de fónico, o relativo a la voz o el sonido), es la unidad lingüística mínima que se opone a otras en el sistema de la lengua y que permite distinciones de significado en el signo lingüístico de cuyo significante es constituyente elemental. Tal es el caso de las consonantes iniciales de: pato, dato, mato, gato, que establecen diferencias significativas entre tales unidades al formar parte de su significante, y a pesar de que ellas, aisladamente, no tengan ningún carácter significativo. Por su parte, el grafema (de grafía, o conjunto de signos que representan un sonido o la palabra hablada), es la unidad mínima segmentable en la cadena gráfica escrita de representación de la lengua. Ambas, fonema y grafema, son entidades abstractas, pertenecientes al sonido o a la escritura, respectivamente, y en ese sentido pueden expresarse como equivalentes, cada cual con su correspondiente relación.

Así como el fonema es una entidad abstracta que se realiza en los sonidos, el grafema es la entidad abstracta que se realiza en las letras. Todas las letras de la imagen, aunque presenten trazos diferentes, son la misma letra "A"; se puede establecer pues, que el fonema es al sonido, como el grafema es a la letra. 16. El estudio del lenguaje La reflexión sobre el lenguaje tiene una larga historia que se confunde en sus orígenes con la del pensamiento, es decir, con la filosofía, y llega aún más lejos: a los mitos diversos que responden a remotas preguntas (¿quién ha otorgado el lenguaje a los hombres?, ¿qué pueden hacer los hombres con él?, ¿cuál es su fuerza?), antes de que la razón haga suyos estos problemas y otros: cómo se organizan las lenguas, qué mecanismos existen en ellas. Que en la historia de la humanidad esta reflexión sea tan antigua es algo que sólo se entiende bien si pensamos que la escritura, y con ella la inauguración de los tiempos históricos, ya supone por sí misma una distancia y una reflexión sobre el lenguaje que la hace posible. Ligada esta reflexión al problema del conocimiento, tal como aparece en los filósofos griegos, desde muy pronto se orienta también a necesidades prácticas: en sociedades democráticas como la ateniense, el lenguaje es un valioso instrumento de convencimiento y de persuasión, de institucionalización política. Se plantea entonces cuál es la mejor y más útil manera de hablar: la retórica es una disciplina que pretende enseñar a los oradores cómo crear ideas, cómo organizarlas y, sobre todo, cómo exponerlas bella y eficazmente. Otras necesidades prácticas son también objeto de reflexión: de qué forma el lenguaje sirve para transmitir destrezas, conservar tradiciones y difundir conocimientos; es decir, para enseñar. Y cómo él permite "leer" el pasado, que tiene justamente, en un buen número de culturas, la forma de un "libro". 17. La Lingüística De esta dimensión, a la vez filosófica y normativa, viven los estudios sobre el lenguaje durante siglos, que alcanzarán un estatuto científico en el siglo XIX, cuando de planteamientos demasiado generales se descienda a la verificación

concreta de los hechos de lengua, y de las preocupaciones normativas se pase a la descripción empírica de las lenguas; todo ello sin que se pierda de vista el objetivo de crear un modelo o teoría que dé sentido a la diversidad de los hechos. Algunos grandes hitos de este proceso, ya en el siglo XX, son la lingüística comparada, el estructuralismo y la gramática generativa. Entendemos hoy por Lingüística el estudio del lenguaje humano: en primer lugar, la estructura y funcionamiento de la lengua, pero también una gran variedad de problemas en relación con dicho fenómeno. Tales como sus condicionamientos psicológicos (objeto de la Psicolingüística) y sociales (Sociolingüística), la evolución histórica de las lenguas (Lingüística Histórica) y su articulación geográfica (Geografía Lingüística, Dialectología), o las virtualidades literarias del lenguaje (Teoría de la Literatura). La Lingüística General aborda el problema universal del lenguaje; el estudio de cada sistema lingüístico es el objeto de las Lingüísticas particulares (Lingüística Hispánica, para el caso del español). Los campos de la Lingüística son los tres planos o subsistemas que hay en las lenguas: el fónico, el gramatical y el léxico-semántico. 18. Fonética y Fonología; Gramática, Semántica Del plano fónico de una lengua se ocupan la Fonética y la Fonología. La primera estudia los elementos fónicos como elementos físicos y fisiológicos, las cualidades del sonido (tono, intensidad, timbre, cantidad) y cómo se articula el sonido producido por el aparato fonador humano. La Fonética describe los sonidos de una lengua en el habla. A partir de esta descripción, la Fonología estudia cómo cada lengua usa las diferencias fónicas para la composición de signos y mensajes, es decir, se plantea el carácter diferencial de los fonemas, que se definen por la oposición de rasgos distintivos (tales como sordo / sonoro, oral / nasal, etc.). La Fonética se ocupa de los aspectos físicos del sonido, mientras que la Fonología se encarga de estudiar los cambios de significación que puede conllevar cualquier alteración de los sonidos. La Gramática estudia las palabras -o más exactamente los monemas- de una lengua atendiendo por un lado a sus clases (lexemas / morfemas, clases de palabras o "partes de la oración", variaciones que las palabras pueden sufrir); éste es el objetivo de la Morfología o estudio de las formas lingüísticas significativas. Por otro lado, analiza cómo se combinan los monemas en la frase, de qué manera unos imponen a otros determinados comportamientos, cuál es la función de cada uno de ellos. Éste es el objeto de la Sintaxis.

Si bien la Fonética y la Gramática han conocido un asiduo interés desde la antigüedad (muchas veces con criterios normativos, como la ortología, que se ocupaba de "la buena pronunciación"), ha sido modernamente cuando han adquirido un extraordinario rigor. Por lo que respecta a la Gramática, existen muchas gramáticas (además de las de planteamientos lógicos y normativos, la gramática estructural y funcional, la generativa, la gramática del texto...), hecho que ha provocado una gran disparidad conceptual y terminológica. La Semántica es una disciplina menos desarrollada. Aunque guarda un estrecho parentesco con la llamada "etimología", que estudiaba la procedencia de las palabras, el concepto y el término mismo de Semántica aparece recientemente (M. Bréal, 1.897). Su campo de estudio es el significado de las palabras, el léxico de una lengua. El cambio semántico fue su primer objeto de estudio; en la actualidad aborda, predominantemente, el problema de la estructuración del léxico de una lengua dada en lo que se llama "campos semánticos"; sin que por ello olvide el significado de los mensajes. 19. Fonética La Fonética es la rama de la lingüística que estudia la producción, naturaleza física y percepción de los sonidos de una lengua. Sus principales ramas son: fonética experimental, fonética articulatoria, fonemática o fonética acústica. 20. Fonética experimental Es la que estudia los sonidos orales desde el punto de vista físico, reuniendo los datos y cuantificando los datos sobre la emisión y la producción de las ondas sonoras que configuran el sonido articulado. Utiliza instrumentos como los rayos X y el quimógrafo, que traza las curvas de intensidad. El conjunto de los datos analizados al medir los sonidos depende únicamente de la precisión del instrumental así como de otros conocimientos conexos. También se han descubierto diferencias importantes en cada sonido oral. 21. Fonética articulatoria Es la que estudia los sonidos de una lengua desde el punto de vista fisiológico, es decir, describe qué órganos orales intervienen en su producción, en qué posición se encuentran y cómo esas posiciones varían los distintos caminos que puede seguir el aire cuando sale por la boca, nariz, o garganta, para que se produzcan sonidos diferentes. No se ocupa de todas las actividades que intervienen en la producción de un sonido, sino que selecciona sólo las que

tienen que ver con el lugar y la forma de articulación. Los símbolos fonéticos y sus definiciones articulatorias son las descripciones abreviadas de tales actividades. Los símbolos fonéticos que se usan más frecuentemente son los adoptados por la Asociación Fonética Internacional en el alfabeto fonético internacional (A.F.I.). El Alfabeto Fonético Internacional (AFI) se trata de una transcripción fonética (símbolos que representan los sonidos del habla) creada en un principio por profesores británicos a los que más tarde se unieron también lingüistas europeos. Su objetivo es dar una forma estandarizada, precisa y única de representar los sonidos de cualquier lenguaje oral. Cabe decir que resulta de gran ayuda para profesores de lengua extranjera y traductores, entre otros. 22. Alfabeto Fonético Internacional Los simbolos del AFI se encuetran dividos en tres categorías: •

Letras: nos indican sonidos básicos.

•

Diacríticos: especifican sonidos.

• Suprasegmentales: indican cualidades como velocidad, tono y acentuación. Los símbolos del AFI son 107 letras para consonantes y vocales, 31 diacríticos que especifican esos sonidos, y 19 suprasegmentales. Los símbolos escogidos para el AFI están hechos para armonizar con el alfabeto latino. Por esta razón, muchos símbolos son o letras latinas o griegas, o modificaciones de éstas, sin embargo, hay símbolos que no lo son. Los órganos que intervienen en la articulación del sonido son móviles o fijos. Son móviles los labios, la mandíbula, la lengua y las cuerdas vocales, que a veces reciben el nombre de órganos articulatorios. Con su ayuda el hablante modifica la salida del aire que procede de los pulmones. Son fijos los dientes, los alveolos, el paladar duro y el paladar blando. Los sonidos se producen cuando se ponen en contacto dos órganos articulatorios por ejemplo el bilabial (p), que exige el contacto entre los dos labios; también cuando se ponen en contacto un órgano fijo y otro articulatorio, y el sonido se nombra con los órganos que producen la juntura, o punto de articulación, como por ejemplo el sonido labiodental (f) que exige el contacto entre el labio inferior y los incisivos superiores. Cuando es la lengua el órgano móvil no se hace referencia a ella en la denominación del sonido, así el sonido (t) que se produce cuando la lengua toca la parte posterior de los incisivos superiores se llama dental.

El modo de articulación se determina por la disposición de los órganos móviles en la cavidad bucal y cómo impiden o dejan libre el paso del aire. Esta acción puede consistir en la interrupción instantánea y completa del paso del aire para las implosivas; en dejar abierto el paso nasal pero interrumpido el oral para las nasales; en producir un contacto con la lengua pero dejar libre el paso del aire a uno y otro lado para las laterales; en producir una leve interrupción primero y dejar el paso libre después para las africadas; en permitir el paso del aire por un paso estrecho por el que el aire pasa rozando para las fricativas, y en permitir el paso libre del aire por el centro de la lengua sin fricción alguna para las vocales. Se emiten diferentes clases de vocales según varíe la posición de la lengua, tanto a partir de su eje vertical (alta, media y baja), como a partir de su eje horizontal (anterior, central y posterior). Por ejemplo, en español son vocales altas las vocales de la palabra huir, es decir, la [i] y la [u]. Son vocales medias la [e] y la [o], es decir las vocales de la palabra pero y es vocal baja la [a] de la palabra va. Así, la lengua va de abajo a arriba para pronunciar las dos vocales seguidas de la palabra aire, pero desciende a una posición media para pronunciar su última vocal. Hace el camino contrario de arriba abajo para pronunciar puerta. Son vocales anteriores del español la [i] y la [e], es decir las vocales seguidas de la palabra piel; las vocales posteriores son la [o] y la [u], es decir las vocales de la palabra puro; la [a] es la vocal central. La lengua se mueve de atrás hacia adelante para emitir las vocales de la palabra totales, hace el camino contrario para emitir las vocales de la palabra piélago. Las posiciones que mantiene la lengua para emitir las vocales u, i y a constituyen los vértices del llamado esquema vocálico uai. 23. Fonemática Es el estudio de los sonidos en el discurso, es decir, de los fonemas que son las unidades mínimas distintivas. Por ejemplo, entre las palabras las y los sólo existe una diferencia de significado y de forma que es la que representa la distinción entre los fonemas [a] y [o]. Lo mismo sucede entre pala, para, paga, pana y pasa, las diferencias de significado se apoyan en los diferentes fonemas que las distinguen, esto es, [l], [r], [g], [n] y [s]. Los fonemas están configurados también por unidades mínimas que los diferencian entre sí y son los llamados rasgos distintivos. La única diferencia que existe entre el fonema [p] que corresponde a una consonante bilabial, oclusiva, sorda y el fonema [b] que corresponde a una consonante bilabial, oclusiva sonora, es su modo de articulación: sorda la primera, frente a la segunda que es sonora. No siempre se mantienen como fonemas distintos las diferencias que proceden de un solo rasgo distintivo, por ejemplo la primera d de la palabra dedo corresponde a una consonante

dental oclusiva sonora, y la segunda es dental fricativa sonora. En este caso no estamos ante dos fonemas sino ante dos valores del mismo fonema; a veces dos fonemas diferentes en una lengua dada son el mismo en otra, por ejemplo el español mantiene la diferencia fonética entre los sonidos [r] y [l], pero el japonés no ni el habla andaluza tampoco. De acuerdo con todo esto hay que distinguir entre fonemas y letras, aunque existen muchas coincidencias también hay desacuerdos muy importantes que apoyan esta diferencia. El fonema es un concepto ideal que está representado por unos signos escritos, las letras, aunque no todas representan un fonema. La letra v del español actual corresponde al fonema /b / que es una consonante bilabial, oclusiva, sonora; pero el fonema / v /que corresponde a una consonante labiodental, fricativa, sonora ha desaparecido en el sistema fonético actual, aunque estuvo presente en la historia de la lengua hasta el siglo XVIIII, y todavía hoy se usa en algunos países de América del Sur. Además hay letras que no representan fonema alguno como es el caso de la letra h que es muda en nuestra lengua. La escribimos como recuerdo histórico de una aspiración o de una f inicial del latín, pero no tiene valor fonético. Por otro lado, algunas letras expresan distintos fonemas, como la c,[z] y [k] en España, y [s] y [k] en Latinoamérica y zonas de Andalucía. 24. Fonética acústica Es la que estudia la onda sonora como la salida de un resonador cualquiera; esto es, equipara el sistema de fonación con cualquier otro sistema de emisión y reproducción de sonidos. En la comunicación, las ondas sonoras tienen un interés mayor que la articulación o producción de los sonidos, para un determinado auditorio recibe y descodifica la impresión a pesar de que haya sido emitida por medio de una articulación oral, o por medio de un determinado aparato emisor de sonidos o incluso por medio de una cotorra. Para grabar las características más significativas de las ondas sonoras y para determinar el resultado de las distintas actividades articulatorias se puede emplear el espectrógrafo. De forma experimental, para poder llegar a saber cuáles son los rasgos necesarios y suficientes que identifican los sonidos de la lengua, se suprimieron partes de la grabación de la onda sonora y se reprodujeron otras. 25. El alfabeto El alfabeto o abecedario de una lengua o idioma es el conjunto ordenado de sus letras. Es también la agrupación, la que se lee con un orden determinado, de las grafías utilizadas para representar el lenguaje que sirve de sistema de comunicación. El término alfabeto procede del griego ἀλφάβετον (alfábeton), derivado de las dos primeras letras griegas ἄλφα (alfa, α) y βῆτα (beta, β), derivadas a su vez de las letras fenicias alp y bēt, que significaban "buey" y "casa"

respectivamente. El alfabeto griego es una adaptación del alfabeto fenicio, que también dio lugar entre otros al hebreo y al árabe. Por su parte, el término "abecedario" proviene del latín tardío: abecedārium, también derivado del nombre de las primeras letras, en este caso cuatro: a (a), b (be),c (ce) y d (de). Algunas letras pueden recibir uno o varios diacríticos con el fin de diferenciar los sonidos de la lengua o poder evitar las ambigüedades. De la misma forma, el alfabeto puede ser entendido por el uso de letras suplementarias. Las evoluciones fonéticas de una lengua se crean a un ritmo diferente de la evolución escrita. La escritura alfabética no garantiza una correspondencia unívoca entre los fonemas y los grafemas. En otros ámbitos (matemáticas, y otros sistemas formales, por ejemplo), un alfabeto es un conjunto finito y ordenado de símbolos a partir del cual se construyen palabras y fórmulas bien formadas. 26. Alfabetos Griego y Romano Entre los años 1000 y 900 a.C. los griegos habían adoptado la variante fenicia del alfabeto semítico y a sus 22 consonantes habían añadido 2 signos (en algunos dialectos varios signos más), sin contar unos caracteres con los que representaron las vocales. Después del año 500 a.C. el griego ya se escribía de izquierda a derecha. Su alfabeto se difundió por todo el mundo mediterráneo y de él surgen otras escrituras como la etrusca, osca, umbra y romana. Como consecuencia de las conquistas del pueblo romano y de la difusión del latín, su alfabeto se convirtió en el básico de todas las lenguas europeas occidentales. El alfabeto latino básico consta de 26 letras. 27. Alfabeto Cirílico Hacia el año 860 d.C. unos religiosos griegos que vivían en Constantinopla evangelizaron a los eslavos orientales de religión ortodoxa e idearon un sistema de escritura conocido por el alfabeto cirílico por el nombre de uno de sus creadores, san Cirilo, apóstol de los eslavos, aunque los estudiosos estiman ahora que podría ser uno de sus continuadores quien inventara el alfabeto cirílico. Tiene su origen en la escritura griega uncial del siglo IX y está formado por 43 caracteres que proceden de otras letras griegas y hebreas. No obstante, para reproducir determinados sonidos que existían en el eslavo se crearon algunos caracteres que no existían en griego. Está relacionado con el glagolítico, (también atribuido a San Cirilo) que emplearon hasta el siglo XVII los eslavos católicos de obediencia romana y que pervive hoy únicamente en la liturgia de algunas comunidades católicas de la península de los Balcanes. Las variantes del alfabeto cirílico son las escrituras que corresponden al ruso,

ucraniano, serbio y búlgaro, pero no es al caso polaco, checo, eslovaco o esloveno, que se escriben en caracteres procedentes del alfabeto romano. Peculiar es el caso de una lengua de los Balcanes, que los serbios escriben en caracteres cirílicos y los croatas lo hacen en caracteres latinos. El alfabeto cirílico romano ha perdido algunas letras superfluas: el ruso moderno tiene 32, el búlgaro 30, lo mismo que el serbio, y el ucraniano tiene 33. 28. Alfabeto Árabe También tiene su origen en el semítico y quizá surgiera en torno al siglo IV de nuestra era. Lo emplearon las lenguas persa y urdu, a su vez es la escritura que emplea todo el mundo islámico: el Próximo Oriente, algunos países asiáticos, africanos y del sur de Europa. El árabe se escribe con dos modalidades, la cúfica, de tipos más rígidos, delineados y fijos que se atestigua hacia finales del siglo VII, y la násquica, forma cursiva, antecedente de la escritura árabe moderna. Prácticamente carece de vocales, como el alfabeto hebreo: de las 28 letras que posee, únicamente tres se emplean para las vocales largas, las demás vocales se representan por medio de marcas diacríticas. La cuestión que se plantea consiste en saber si proceden del alfabeto semítico los diversos alfabetos de la India y los del Sureste asiático, o si por el contrario se trata de formas autónomas. Uno de los más interesantes y difundidos, el devanagárico en el que se escribe el sánscrito, y otras lenguas de la India, es una combinación ingeniosa entre el silabario y el alfabeto. Sea cual sea el origen del alfabeto devanagárico, lo que si parece es que ha sido el antecedente de otras escrituras como la del bengalí, tamil, telugu, cingalesa, birmana, y siamesa o taí. 29. Alfabeto Hebreo El hebreo y sus letras no solo muestran una belleza de su forma. También contienen profundos significados en cada una de sus letras, así como en la combinación de las mismas formando palabras. Cada letra tiene un valor numérico, y éste ayuda a kabalistas a realizar valiosas interpretaciones. Consta de 22 letras básicas. 30. Otros alfabetos Dentro de la enorme variedad de idiomas que hay en el mundo hay algunos que destacan por su peculiaridad. Este es el caso del jemer, el idioma oficial de Camboya, cuyo alfabeto es el más largo del mundo con 72 letras de las que 32 son vocales. Por el contrario, su gramática es tremendamente sencilla comparada con el castellano. No existen los tiempos verbales, ni el género, ni el número y tampoco los artículos.

En el otro extremo de la multitud de idiomas que existen, nos encontramos con el rotocas, que se habla en la isla de Bougainville perteneciente a Nueva Guinea. Su abecedario solamente contiene 12 letras del alfabeto latino moderno, es decir, del mismo tipo que las del castellano. Utiliza las mismas cinco vocales de nuestro idioma y sólo siete consonantes. Hay un idioma incluso más sencillo. Se trata del pirahã, una lengua no escrita que por lo tanto no dispone de ningún alfabeto. El pueblo que lo utiliza habita en la ribera del río Maici (Brasil) y al comunicarse sólo emiten 10 tipos diferentes de fonemas. No se sabe con seguridad el número de personas que lo han hablado, pero el último censo que se realizó en 2004 reveló que sólo quedaban unos 150. 31. La gramática y sus partes La gramática es la ciencia que estudia la lengua y la que rige su uso mediante una serie de normas. La gramática está formada por diferentes ciencias que se ocupan de los diversos aspectos más concretos. Partes Fonética

Objeto de estudio Los sonidos que pronunciamos: cómo se emiten, los órganos que intervienen (lengua, labios...

Fonología La función de los sonidos. Ortología

La pronunciación de los sonidos de la palabra, la entonación de la frase, las pausas...

Ortografía

La escritura de las palabras, el uso de la tilde, de los signos de puntuación...

Semántica El significado de las palabras. Morfología

La forma de las palabras (nombres, verbos...), cómo están constituidas, cómo se forman...

Sintaxis

La relación de las palabras en la oración, su combinación y sus funciones.

32. La voz humana El término aparato fonador (o aparato de fonación) humano es una parte del cuerpo. Lo componen tres grupos de órganos diferenciados: Órganos de respiración (cavidades infraglóticas: pulmones, bronquios y tráquea); Órganos de fonación (cavidades glóticas: laringe, cuerdas vocales y resonadores -nasal, bucal y faríngeo-); Órganos de articulación (cavidades supraglóticas: paladar, lengua, dientes, labios y glotis). Además, el correcto funcionamiento del aparato fonador lo controla el sistema nervioso central. Más allá de la mera fonología, está el significante. Específicamente, se sabe que el control del habla se realiza en el Área de Broca, situada en el hemisferio izquierdo de la corteza cerebral. Para convertirse en sonido, el aire procedente de los pulmones debe provocar una vibración, y la laringe es el primer lugar en que se produce. La laringe está formada por un conjunto de cartílagos y una serie de ligamentos y membranas que sostienen unas bandas de tejido muscular llamadas cuerdas vocales. La tensión, elasticidad, altura, anchura, longitud y grosor de las cuerdas vocales pueden variar, lo que da lugar a diferentes frecuencias y timbres sonoros. El efecto más importante de las cuerdas vocales es la producción de una vibración audible en los llamados sonidos sonoros, en contraste con los sonidos sordos, en cuya producción no vibran las cuerdas vocales. En español, todas las vocales y muchas consonantes (m, b, d,...) son sonoras. La voz humana es una función secundaria insertada sobre unos órganos fisiológicos con otras funciones primarias: la respiración y la deglución. En esencia, una corriente de aire proveniente de los pulmones va a transformarse a su paso por el aparato fonador, hasta convertirse en sonidos apropiados para la comunicación humana.

33. Las cavidades infraglóticas En las cavidades situadas debajo de la glotis se encuentran los órganos de la respiración: diafragma, pulmones, bronquios y tráquea. El importante para nuestro propósito es el segundo momento de la respiración: la espiración. Los bronquios y la tráquea son meros tubos de conducción, sin ninguna función lingüística. 34. La cavidad laríngea (fonación) La laringe es una especie de caja cartilaginosa situada al final de la tráquea. Es móvil: puede ascender o descender, aunque su posición habitual es la inferior. La laringe se compone de cuatro cartílagos: – Cricoides: es la base, en forma de anillo. – Tiroides (nuez o bocado de Adán), en forma de escudo. – Los dos aritenoides, de gran movilidad. En la laringe se encuentran las cuerdas vocales, que son propiamente dos músculos, conocidos también en medicina como repliegues vocales. Están unidas al tiroides y a los dos aritenoides, que se encargan de su movimiento. La glotis es el espacio triangular que queda entre las cuerdas vocales cuando éstas están abiertas.

35. La escritura País/Región Afganistán Armenia Austria Bélgica Brasil

Sistema de Dirección escritura Árabe Armenio Latino Latino Latino

RTL LTR LTR LTR LTR

Idioma

Pashto Armenio Alemán Alemán, francés Portugués (de Brasil) Bulgaria Cirílico LTR Búlgaro China, excepto Hong Chino simplificado LTR o TTB Mandarín Kong Croacia Latino LTR Croata República Checa Latino LTR Checo Dinamarca Latino LTR Danés Estonia Latino LTR Estonio Finlandia Latino LTR Finlandés Francia Latino LTR Francés Georgia Georgiano LTR Georgiano Alemán Latino LTR Alemán Grecia Griego LTR Griego Hong Kong Chino tradicional LTR o TTB Cantonés Hungría Latino LTR Húngaro India Devanagari LTR Hindi3 Israel Hebreo RTL Hebreo Italia Latino LTR Italiano Japón Kanji + Hiragana + LTR o TTB Japonés Katakana Corea Hangul, hanja LTR o TTB Coreano América Latina, Latino LTR Español excepto Brasil Letonia Latino LTR Letón Lituania Latino LTR Lituano Oriente Medio Árabe RTL Árabe Países Bajos Latino LTR Holandés América del Norte Latino LTR Inglés, francés, español Noruega Latino LTR Noruego Pakistán Árabe RTL Urdu Polonia Latino LTR Polaco Portugal Latino LTR Portugués (de Portugal) Rumania Latino LTR Rumano

Rusia Serbia y Montenegro Eslovaquia Eslovenia España Suecia Suiza Taiwán Tailandia Turquía Reino Unido

Cirílico Cirílico Latino Latino Latino Latino Latino

LTR LTR LTR LTR LTR LTR LTR

Ruso Serbio Eslovaco Esloveno Catalán, español Sueco Francés, alemán, italiano Chino tradicional LTR o TTB Mandarín Tailandés LTR Tailandés Latino LTR Turco Latino LTR Inglés

"TTB" indica de arriba hacia abajo, "LTR" indica de izquierda a derecha y "RTL", de derecha a izquierda.

Desde la reforma de Mao Tse Tung, en 1958, China tiene como idioma oficial el Chino Mandarín. El idioma chino no tiene alfabeto, al menos no lo que entendemos nosotros por alfabeto. Pero si nos referimos a la fonética, hay unas 400 sílabas que están formadas por 21 sonidos iniciales y 37 sonidos finales. Estas sílabas, por sí solas, no significan nada, son sólo un soporte fonético. El idioma Chino, pues, no está formado por letras sino por caracteres. Hay más de 50.000 caracteres en total, de los cuales unos 10.000 están en uso, y de éstos, unos 3.500 son los habituales, los necesarios, por ejemplo, para leer un periódico chino, y de éstos 3.500, unos 1.000 son esenciales para entenderse mínimamente. 36. Los alfabetos y sus números Alemán: 30 letras Árabe: 29 letras Búlgaro: 33 letras Catalán: 27 letras Chino: 29 letras Coreano: 40 letras Danés: 29 letras Español: 30 letras

Esperanto: 34 letras Euskera: 22 letras Finlandés: 31 letras Francés: 26 letras Gallego: 27 letras Griego: 24 letras Hebreo: 38 letras Hindi: 64 letras Húngaro: 45 letras Indonesio: 31 letras Inglés: 26 letras Irlandés: 36 letras Italiano: 21 letras Japonés: 48 letras Malayo: 31 letras Noruego: 29 letras Persa: 36 Polaco: 35 letras Portugués: 26 letras Rumano: 31 letras Ruso: 33 letras Suajili: 26 letras Sueco: 32 letras Tagalo: 28 letras Tailandés: 96 letras Turco: 29 letras Urdu: 38 letras

37. Cromolengua La Cromolengua de Aschero (código basado en la Cromatemática), revoluciona la escritura de las diversas lenguas, proponiendo un nuevo modelo de representación simbólica, ya que existe una contradicción entre las imágenes que proponen los lenguajes (en este caso el español) y los sonidos que resultan de su fonación. Así como la Cromatemática utiliza números cromáticos, la Cromolengua usa letras cromáticas. Al sonar lo que se lee se producen sucesiones y simultaneidades de letras y sílabas que no se ven reflejadas en la escritura, y esto atenta contra la claridad y efectividad del código, generando dificultades en el aprendizaje y también rechazo por parte de muchas personas con capacidades diferentes. Esto se debe corregir y la Cromolengua lo hace desde un nuevo diseño de la lengua escrita para que lo que se lea y lo que se emita sea equivalente. La idea es la creación de un solo Multialfabeto para todas las lenguas basado en las matemáticas, donde la imagen de cada letra siga un proceso lógico de desarrollo. Los sonidos de cada lengua pueden ser diferentes, pero sus imágenes se unifican cromáticamente. La letra tiene una forma única (un cuadrado con un círculo en su interior), con variaciones cromáticas y acromáticas. No existe diferencia entre minúsculas y mayúsculas. El tamaño de la letra es variable y se adapta a cada aplicación. Entremos ahora en el análisis del lenguaje.

38. Aplicación inicial

39. Análisis de los tipos de escritura

Tipo

Cada símbolo representa

Logográfico

morfema

Escritura china

Silábico

sílaba

Kana japonés

alfabético

fonema (consonante o vocal) Alfabeto Latino

Abugida

fonema (consonante+vocal) Devanāgarī hindú

Abjad

fonema (consonante)

Característico característica fonética

Ejemplo

Alfabeto arábigo hangul coreano

Las formas más antiguas conocidas de escritura son principalmente logogramas en naturaleza, basados en los elementos del pictograma y el ideograma. La mayoría de los sistemas de escritura pueden en general ser divididos en tres categorías: el logográfico, el silábico, y el alfabético (o segmental); sin embargo, los tres pueden estar fundados en cualquier sistema de escritura en varias proporciones, a menudo haciéndolos difíciles de catalogar en un único sistema. El término sistema complejo es a veces usado para describir allí donde el mestizaje hace problemática la clasificación. Un logograma es un simple carácter escrito que representa una palabra gramatical completa. Muchos caracteres chinos son clasificados como logogramas. Como cada carácter representa una simple palabra (o, más precisamente, un morfema), muchos logogramas son requeridos para escribir todas las palabras del idioma. La vasta disposición de logogramas y la memorización de lo que significan representan la mayor desventaja de los sistemas logográficos sobre los sistemas alfabéticos. Como los sistemas de escritura logográficos usan un simple símbolo para una palabra entera, un silabario es un grupo de símbolos escritos que representan (o se aproximan) a sílabas, los cuales crean palabras. Un símbolo en un silabario típicamente representa una consonante seguida de una vocal, o sólo una vocal. El primer tipo de alfabeto que fue desarrollado fue el abjad. Un abjad es un sistema de escritura alfabético donde hay un símbolo por consonante. Los abjads difieren de otros alfabetos en que tienen caracteres sólo para sonidos consonantes. Las vocales no son usuales en abjad.

Un abugida es un sistema de escritura alfabético cuyos signos básicos denotan consonantes con una vocal inherente y donde una modificación coherente del signo básico indica otras vocales siguientes. Una escritura característica representa un detalle fino de un alfabeto. Aquí los símbolos no representan fonemas enteros, pero bastantes elementos (características) que componen los fonemas, tales como las expresiones o sus puntos de articulación. Teóricamente, cada característica puede ser escrita con una letra separada; y los abjads o abugidas, o ciertamente los silabarios, pueden ser característicos, pero el único sistema prominente de este tipo es el hangul coreano. En el hangul, los símbolos característicos son combinados en letras alfabéticas, y esas letras son unidas en bloques silábicos, entonces el sistema combina tres niveles de representación fonológica. Un alfabeto es un pequeño grupo de letras -símbolos básicos de escrituracada uno de los cuales aproximadamente representa o representó históricamente un fonema de un lenguaje hablado. La palabra alfabeto es derivada de alfa y beta, los primeros dos símbolos del alfabeto griego. En un alfabeto perfectamente fonémico, los fonemas y letras pueden corresponder perfectamente en dos direcciones: un escritor puede predecir el deletreo de una palabra mediante su pronunciación, y un hablante puede predecir la pronunciación de una palabra mediante su deletreo. Cada idioma tiene reglas generales para gobernar la asociación entre letras y fonemas, pero, dependiendo del lenguaje, estas reglas pueden o no ser regularmente seguidas. Los alfabetos perfectamente fonémicos son muy fáciles de usar, y los idiomas que los tienen (por ejemplo el serbocroacio o finlandés) tienen muchas menos barreras lingüísticas para alfabetizar. Como los idiomas a menudo evolucionan independientemente de sus sistemas de escritura, y los sistemas de escritura pueden ser tomados prestados por idiomas para los cuales no fueron diseñados, el número de letras de un alfabeto que corresponde a los fonemas de un idioma varía en gran manera de un idioma a otro y siempre dentro de un simple lenguaje. En tiempos modernos, cuando los lingüistas inventan un sistema de escritura para un idioma que previamente no lo tenía, el éxito está usualmente en el desarrollo de un alfabeto fonémico. Cabe señalar que un verdadero alfabeto fonético para el lenguaje hablado natural sería muy engorroso, ya que tendría que tener una gran variedad de variación fonética. Un ejemplo de tal sistema es el Alfabeto Fonético Internacional (IPA).

40. Ejemplos

41. Alfabeto Fonético Internacional El Alfabeto Fonético Internacional (AFI en español, API en francés e IPA en inglés) es un sistema de notación fonética creado por lingüistas. Su propósito es otorgar en forma regularizada, precisa y única la representación de los sonidos de cualquier lenguaje oral, y es usado por lingüistas, logopedas y terapeutas, maestros de lengua extranjera, lexicógrafos y traductores. En su forma básica (en 2005) tiene aproximadamente 107 símbolos básicos y 55 modificadores. Los símbolos del Alfabeto Fonético Internacional están divididos en tres categorías: letras (que indican sonidos "básicos"), diacríticos (que especifican esos sonidos) y suprasegmentales (que indican cualidades tales como velocidad, tono y acentuación). Estas categorías están divididas en secciones menores: las letras están divididas en vocales y consonantes, y los diacríticos y suprasegmentales están divididos según si indican articulación, fonación, tono, entonación o acentuación. Aunque el AFI fue creado para representar solo aquellas cualidades del habla que son relevantes para el idioma en sí (como la posición de la lengua, modo de articulación, y la separación y acentuación de palabras y sílabas), un conjunto extendido de símbolos llamados AFI Extendido (Extended IPA en inglés) ha sido creado por fonólogos para marcar cualidades del habla que no tienen un efecto directo en el significado (como el crujido de dientes, ceceo (sigmatismo), y sonidos efectuados por personas con paladar hendido o labio leporino). 42. Símbolos utilizados en el Alfabeto Fonético Internacional Consonantes pulmonares Consonantes no pulmonares Vocales Otros símbolos Diacríticos Elementos suprasegmentales Tonos y acentos de palabra

La tendencia universal que propone la Cromolengua como sistema de única escritura, se relaciona idealmente con el Alfabeto Fonético Internacional que al estar constituido por 107 símbolos básicos y 55 modificadores, es extremadamente complejo en la lectura de sus imágenes. La Cromolengua necesita solamente la identificación de diez colores vinculados a la cromaticidad de la luz, y con solamente esas diez variables combinadas (cuadrado y círculo) se accede a la mejor representación simbólica del Alfabeto Fonético Internacional.

La letra tiene su imagen y el signo el suyo, siendo coincidentes con la forma de contar de la Cromatemática. Ambos se inician con la cromaticidad del número uno y a partir de allí sucesivamente según la norma.

43. Conclusión Hombre y lenguaje, imposible hablar de uno, sin la presencia del otro. Es el lenguaje la más grande creación concebida por el hombre en todos los tiempos, pues a través de él ha logrado capturar el pensamiento, la acción y sentimiento de seres de distintas épocas. El hombre es el único de los seres vivientes que tiene la suficiente capacidad para representar simbólicamente la realidad. Esta afirmación será el punto de partida de mi conclusión sobre el papel que juega el lenguaje en la conformación del ser humano. El lenguaje es el medio por el cual nos expresamos, es la comunicación que consiste en emitir e interpretar señales. Las señales forman parte de un código o sistema y esto nos permite entenderlas: las señales de los sordomudos son un código: (lenguaje mímico), las señales en calles y carreteras son un código: (lenguaje gráfico), el alfabeto es un código: (lenguaje oral o escrito). Hoy podemos viajar a través de los tiempos: desvestir al pasado, descubrir el presente e inventar el futuro, el uso del lenguaje nos permite eso y más. La lingüística es la ciencia que estudia todos los aspectos de las lenguas, tales como su origen, evolución, características, utilización y relación. El lenguaje es universal ya que permite una gran diversidad de formas o maneras de expresión que conllevan al establecimiento de la comunicación. La estructura del lenguaje en su calidad de modo de comunicación está relacionada con otros elementos de particular relevancia. La lingüística estudia el lenguaje en sus dos ramas principales: el habla y la escritura; no obstante, el lenguaje oral y el escrito son tan sólo uno de los múltiples lenguajes que el hombre utiliza para comunicarse. La expresión verbal es una forma directa de hacer llegar un mensaje, de hacerse comprender, motivar, etc., a pesar de que el sujeto no esté físicamente frente a su interlocutor. El empleo de la voz como medio de comunicación produce importantes efectos, pues las vibraciones de la voz son capaces de conmover y de emocionar a toda una audiencia. La palabra escrita, por su parte, es otro medio de comunicación valioso, cuyo propósito fundamental es dejar huella y registro de mensajes que pueden referirse a un pasado remoto o cercano, a sucesos de actualidad, e inclusive a especular sobre el futuro. Obviamente este medio implica mayores exigencias en términos de redacción y estilo que las de expresión oral, puesto que la escritura permite afinar el mensaje y en consecuencia incrementa las posibilidades de estructurar un contenido, evitando confusiones respecto al significado.

Por lo anterior, el lenguaje es el vehículo de comunicación más eficiente, en cualquiera de sus formas y maneras de expresión; de ahí que el lenguaje y la comunicación vayan de la mano. La comunicación humana es un fenómeno intrínsecamente social. Desde las primeras comunidades humanas (la horda, el clan, la tribu) el hombre ha tenido necesidad de comunicarse para interactuar en su grupo social y así resolver los retos que desde siempre la sobrevivencia le ha planteado. El ser humano es gregario por naturaleza, es decir, se une a otros seres semejantes a él y convive con ellos participando en la evolución y desarrollo de su grupo. De esta convivencia se desprende la necesidad de comunicación, la cual, en un principio, era rudimentaria, con base en gestos y gritos indiscriminados, es decir no seleccionados; después, al evolucionar el hombre y ser capaz de aprender de sus aciertos y errores, se llegó a una forma de comunicación únicamente humana: el lenguaje. La primera actitud del hombre ante el lenguaje fue la confianza: El signo y el objeto representado eran lo mismo, el hombre fue capaz de hablar cuando, a partir del momento iluminado en que discriminó los sonidos, los aplicó, primero, a determinados objetos que formaban parte de su entorno y, posteriormente, a ideas cada vez más subjetivas y abstractas que emanaban de sentimientos y vivencias que formaban el bagaje de experiencias de que era objeto y sujeto. Esto ocurrió dentro del contexto social en el que interactuaba, ya que como ente social no puede vivir aislado. Al cabo de los siglos los hombres advirtieron que entre las cosas y sus nombres se abría un abismo. El argumento que encuentro es que se descubre una de las características inherentes del lenguaje: su arbitrariedad. El lenguaje es arbitrario porque los creadores de una lengua usaron su arbitrio, no la relación lógica para nombrar a un objeto de acuerdo al gusto o a la circunstancia, lo cual es arbitrario, aunque se debe comprender que era imposible que los hablantes primitivos pudieran sentarse a discutir cómo nombrar los objetos, pues carecían de los elementos básicos de la lengua articulada, es decir, las palabras. La Cromolengua de Aschero intenta definir un nuevo modelo de representación simbólica intercultural, de base científica. Es claro entender que las expresiones iniciales y primitivas no las conocemos en la actualidad, pues una lengua es algo vivo, como la comunidad que la utiliza, y varía desarrollando diferentes cambios a través del tiempo y del espacio.

Con la confección de los más sencillos instrumentos de trabajo surgió la necesidad de comunicarse con los demás hombres en el proceso de la actividad laboral y de empleo de los instrumentos; así nació el lenguaje articulado. Puedo afirmar que la creación del lenguaje oral antecedió con mucho al lenguaje escrito y que ambos surgieron tanto del desarrollo del pensamiento humano y sus diferentes estadios evolutivos, así como de la conciencia paulatina desarrollada en el hombre de cubrir sus necesidades de cualquier tipo, incluidas desde luego las de comunicación. Con el lenguaje escrito, el hombre dejó la prehistoria y entró al periodo denominado historia. Desde el momento en que deja piedras labradas, rollos, documentos que relaten sucesos vividos por él y su grupo, se convierte en un sujeto de la historia. La lengua escrita está supeditada a la oral, aunque cada una de ellas cubre diferentes objetivos, pues la lengua hablada es por excelencia el mejor instrumento creado por el hombre para realizar su comunicación y la escrita es la forma mediante la cual el hombre conserva su pensamiento por medio de las letras o grafías, a través del tiempo y del espacio, lo cual nos lleva a considerar un rasgo fundamental de la palabra hablada, ser momentánea. El hombre es un ser de palabras a partir de la realidad que vive, sin embargo, es tan subjetiva esa realidad de un ser a otro, que me atrevo a asegurar que las palabras nacen y mueren, como los hombres. Las palabras son los elementos del lenguaje que nos sirven para expresarnos, y debemos tener especial cuidado en elegirlas, ya que de esto depende, la eficiencia de nuestra comunicación. Durante muchísimo tiempo, al hombre le bastó, para sus necesidades comunicativas, el lenguaje oral; sin embargo, al continuar la evolución humana y al complicarse el pensamiento humano, se necesitó otra forma de expresión que fijara las ideas, y consignara actividades de su vida práctica y económica. Se llevó a cabo un largo y paulatino proceso de desarrollo de la lengua escrita. La lengua escrita surgió mucho tiempo después que la oral, cuando el pensamiento del hombre ya había evolucionado enormemente, y sus necesidades de intercomunicación se fueron complicando también cada vez más, sobre todo en las actividades económicas. Aún cuando la lengua escrita tiene como principal ventaja preservar el pensamiento, es indiscutible que al morir un hombre, mueren con él sus palabras.

Significa, pues que aún cuando la palabra escrita ha logrado traspasar la barrera del tiempo, sin un lector sólo es un objeto más, como los muchos que rodean la realidad del hombre actual. Esta reflexión nos lleva a la idea de que “Si la literatura es expresión, la literatura está hecha de palabras y el lenguaje es un fenómeno estético”[6], y aquí nuevamente cuestionaría la objetividad de cada escritor u orador al hablarnos de su realidad, pues es innegable que al comunicarnos procuramos la belleza de nuestro mensaje, dándole más importancia a ésta, que al contenido. Es apasionante observar como los lingüistas, junto con los psicólogos, los sociólogos y los especialistas en etnografía, han ido interesándose en las dos últimas décadas por el hablar, por el uso del lenguaje humano en situaciones sociales determinadas. El análisis del lenguaje en función de las relaciones interpersonales exige distinguir con infinito cuidado las distintas situaciones en las que se producen los enunciados, los propósitos del hablante y la relación con los distintos hábitos culturales. Toda palabra implica dos: el que habla y el que oye. La eficiencia de un mensaje será medido en tanto se logre la comprensión en nuestro receptor sobre el mensaje que dimos a conocer. En el momento en que somos partícipes en un proceso de comunicación, y asumimos el papel de emisores, debemos pensar en quién será nuestro receptor, y a partir de él, estructurar el contenido de nuestro mensaje. Es así que se logra la eficiencia y pertinencia del lenguaje. Es importante poner de relieve que el hombre es el único de los seres vivientes sobre la Tierra que tiene la suficiente capacidad para representar simbólicamente la realidad. Los hablantes de una lengua han interiorizado un conjunto de reglas que les permiten emitir enunciados que presentan una estructura gramatical y que son semánticamente aceptables para los demás hablantes de la misma lengua, igualmente, pueden distinguir estos enunciados de los que no están bien construidos desde el punto de vista gramatical o que no son aceptados significativamente. Una narración cualquiera o una conversación están formadas por un encadenamiento, no puede producirse de una manera absolutamente libre, sino que tiene que obedecer a un conjunto de reglas y propiedades.

Roland Barthes define la lengua como un "corpus de prescripciones y hábitos, común a todos los escritores de una época, lo que equivale a decir que la lengua es como una naturaleza que se desliza enteramente a través de la palabra del escritor". Partiendo de esta reflexión, podríamos afirmar que el escribir en la misma época histórica supondría similitud en los escritos entre una y otra persona, sin embargo, se involucra el estilo que el mismo Barthes categoriza como "un secreto", dado que lo concibe como "un producto natural de la persona biológica". Si observamos a nuestro alrededor, veremos que aún entre las personas que hablan un mismo idioma, no todas lo hablan, ni lo escriben de la misma manera, encontramos que dentro del mismo idioma, existen diferentes lenguajes: uno es el que hablan las personas cultas, y por eso se le conoce con el nombre de lenguaje culto; otro es el que hablan los profesionistas entre sí, y se conoce con el nombre de lenguaje técnico o científico; otro es el que se usa en poesía, por eso se le llama lenguaje poético; existen también palabras que se usan dentro del hogar y que forman el lenguaje familiar; por último, existe un lenguaje que usan las personas sin educación y sin cultura, que forman lo que se conoce con el nombre de vulgo, y a ese lenguaje se le da el nombre de lenguaje vulgar. Esta diversidad de tipos de lenguaje propicia la proliferación de estilos, maneras muy personales de ver y entender la realidad del ser humano. Algo en lo que coinciden los escritores de una misma época, es que aún con estilos diferentes, narran una misma realidad, desde sus muy particulares apreciaciones. El libro ya no ejerce más el poder que ha sido suyo, ya no es más el amo de nuestros razonamientos o de nuestros sentimientos frente a los nuevos medios de información y comunicación de que a partir de ahora disponemos: la transición del lenguaje que va del códice a la pantalla supone más cambios de los que en apariencia pudiera tener el lenguaje, pues representa la revolución del texto electrónico, que es y será también una revolución de la lectura. Casi todos los expertos en lingüística coinciden en que en un siglo habrán desaparecido tres cuartas partes de las lenguas que hoy se hablan en el mundo. Algunos sostienen, incluso, que la diversidad lingüística no es natural, que se debe al aislamiento en que vivían las distintas comunidades humanas cuando nacieron los distintos idiomas, y que el mundo globalizado de hoy, con potentes medios de comunicación accesibles desde todo el planeta (por ejemplo, vía Internet), nos lleva inevitablemente a que en muy pocas generaciones habrá un idioma universal en el que se entenderán todos, vivan donde vivan.

Hay incluso quien asegura que ése será un gran avance de la humanidad; que si Babel, la fragmentación lingüística, trajo disensiones y frustración humanas, esa koiné, esa futura lengua común de todos los homo sapiens, traerá progreso y evolución. El conocimiento científico es un saber crítico (fundamentado), metódico, verificable, sistemático, unificado, ordenado, universal, objetivo, comunicable (por medio del lenguaje científico), racional, provisorio y que explica y predice hechos por medio de leyes. El conocimiento científico es crítico porque trata de distinguir lo verdadero de lo falso. Se distingue por justificar sus conocimientos, por dar pruebas de sus verdad, por eso es fundamentado, porque demuestra que es cierto. Se fundamenta a través de los métodos de investigación y prueba, el investigador sigue procedimientos, desarrolla su tarea basándose en un plan previo. La investigación científica no es errática sino planeada. Su verificación es posible mediante la aprobación del examen de la experiencia. Las técnicas de la verificación evolucionan en el transcurso del tiempo. Es sistemático porque es una unidad ordenada, lo nuevos conocimientos se integran al sistema, relacionándose con los que ya existían. Es ordenado porque no es un agregado de informaciones aisladas, sino un sistema de ideas conectadas entre sí. Es un saber unificado porque no busca un conocimiento de lo singular y concreto, sino el conocimiento de lo general y abstracto, o sea de lo que las cosas tienen de idéntico y de permanente. Es universal porque es válido para todas las personas sin reconocer fronteras ni determinaciones de ningún tipo, no varía con las diferentes culturas. Es objetivo porque es válido para todos los individuos y no solamente para uno determinado. Es de valor general y no de valor singular o individual. Pretende conocer la realidad tal como es, la garantía de esta objetividad son sus técnicas y sus métodos de investigación y prueba. Es comunicable mediante el lenguaje científico, que es preciso e unívoco, comprensible para cualquier sujeto capacitado, quien podrá obtener los elementos necesarios para comprobar la validez de las teorías en sus aspectos lógicos y verificables. Es racional porque la ciencia conoce las cosas mediante el uso de la inteligencia, de la razón. El conocimiento científico es provisorio porque la tarea de la ciencia no se detiene, prosigue sus investigaciones con el fin de comprender mejor la realidad. La búsqueda de la verdad es una tarea abierta. La ciencia explica la realidad mediante leyes, éstas son las relaciones constantes y necesarias entre los hechos. Son proposiciones universales que establecen en qué condiciones sucede determinado hecho, por medio de ellas se comprenden hechos particulares. También permiten adelantarse a los

sucesos, predecirlos. Las explicaciones de los hechos son racionales, obtenidas por medio de la observación y la experimentación. La Cromolengua de Aschero es un código científico que apunta hacia la universalidad de la escritura. Ese es el desafío que propongo. Uno más de los tantos que constituyen mi existencia en pos de mejorar ciertos códigos para acercarlos de la mejor manera a todas las personas.

Índice 1. Introducción 2. Mutabilidad e inmutabilidad 3. ¿Hay signos motivados? 4. Linealidad y carácter diferencial 5. Dos representaciones del signo lingüístico 6. Valor en un sistema 7. Relaciones sintagmáticas y paradigmáticas 8. La doble articulación de las lenguas 9. Las palabras y las cosas 10. Selección y combinación, metáfora y metonimia 11. Las lenguas como sistema 12. ¿Qué hay de común entre todas las lenguas? 13. Sistemas y subsistemas 14. El plano fónico 15. La correspondencia entre fonema y grafema 16. El estudio del lenguaje 17. La Lingüística 18. Fonética y Fonología; Gramática, Semántica 19. Fonética 20. Fonética experimental 21. Fonética articulatoria 22. Alfabeto Fonético Internacional 23. Fonemática 24. Fonética acústica

25. El alfabeto 26. Alfabetos Griego y Romano 27. Alfabeto Cirílico 28. Alfabeto Árabe 29. Alfabeto Hebreo 30. Otros alfabetos 31. La gramática y sus partes 32. La voz humana 33. Las cavidades infraglóticas 34. La cavidad laríngea (fonación) 35. La escritura 36. Los alfabetos y sus números 37. Cromolengua 38. Aplicación inicial 39. Análisis de los tipos de escritura 40. Ejemplos 41. Alfabeto Fonético Internacional 42. Símbolos utilizados en el Alfabeto Fonético Internacional 43. Conclusión

Cromofonía de Aschero (los sonidos de la luz) 1. Breve introducción a lo que somos El ser humano a diferencia del resto de los animales no vive en una realidad inmediata, natural e instintiva sino en una realidad que él mismo ha construido, es lo que denominamos mundo humano. La psicología cognitiva se encarga de estudiar las diferentes estructuras y procesos psíquicos que hacen posible esa construcción. Su importancia es fundamental pues permiten la recogida de información del medio y su transformación en conocimiento. A través de ellos la realidad física, externa a nuestra propia mente, va siendo representada de diferentes formas en nuestra mente.

Existen tres niveles de representación que son la percepción, la representación y la simbolización. Cada uno de ellos trabaja a partir de los datos que le ofrece el nivel anterior (constructivismo). Son la base sobre la que se constituye nuestro conocimiento del mundo y a partir de la cual se construye el mundo humano. En la explicación seguiremos el siguiente orden: 1. El primer nivel se corresponde con el proceso perceptivo que a su vez es el resultado de la composición de dos procesos cognitivos que se suceden casi simultáneamente: la sensación y la percepción. El ser humano recoge información del medio a través de sus órganos sensoriales (sensación) y así como la va recogiendo la va dotando de significación (percepción). 2. El segundo nivel se corresponde con los procesos representativos, compuesto por dos procesos cognitivos: la memoria y la imaginación. La memoria nos permite conservar la información que recibimos a

través de los sentidos y volver a reproducirla en ausencia del estímulo que la provocó. Mediante la imaginación podemos reelaborar de forma concreta la información almacenada en la memoria. 3. El tercer nivel se corresponde con los procesos simbólicos: el pensamiento y el lenguaje. Estos dos procesos cognitivos permiten dar un salto en nuestra representación de la realidad que ya no es posible para el resto de los animales. El rasgo diferenciador es que a través de ellos podemos reelaborar la información, que hemos obtenido a través de la percepción, conservado a través de la memoria y recreado mediante la imaginación, de forma abstracta y simbólica. ¿Cómo percibimos el mundo?: Intentamos describir cómo recogemos información del medio a través de los sentidos (sensación) y cómo ésta es elaborada e interpretada en el proceso perceptivo (percepción). Ambos procesos se dan de manera conjunta y de hecho no tenemos experiencia directa (simple) de la sensación separada de la percepción. En el orden material lo primero es la sensación pero en el del conocimiento lo primero es la percepción, aquella sólo la podemos conocer analizando ésta.

Nos formulamos una serie de preguntas: 1. ¿Es el mundo (la realidad) tal y como nosotros lo percibimos?, ¿Es nuestra percepción como si fuera una foto fiel e idéntica de lo que es la realidad? Si decimos que sí nuestra postura se conoce con el nombre de realismo cognoscitivo. 2. ¿Cómo condicionan nuestros órganos sensoriales y nuestras estructuras cognoscitivas nuestra percepción del mundo? 3. ¿Cómo lo material se convierte en algo mental? 4. ¿Qué relación existe entre ambos?: ¿Igualdad, semejanza, causalidad,…? La última pregunta vuelve a enlazar con la primera. Los objetivos a comprender son dos:

a) Existe una diferencia entre la realidad física y nuestra representación mental de ella: toma de conciencia de ésta última. b) Puesta en duda del realismo cognoscitivo: ¿la mesa es verde como yo la percibo, verde como la percibes tú (cada uno no percibe exactamente el mismo tono), como la percibe un perro (en tonos pastel), una abeja (que posee visión ultravioleta) o una serpiente (que posee visión infrarroja y percibe la temperatura como color)? ¿De qué color es realmente? De ninguno. Sensibilidad: es nuestra capacidad de ser afectados por la realidad, es decir, de poder recibir información de ella. Nuestra sensibilidad reside en nuestros sentidos, que también denominamos órganos sensoriales o receptores. Los receptores o sentidos son las "ventanas" por donde el organismo recoge la información del mundo que le rodea, esto es, del mundo exterior, y también del interior del propio cuerpo. Se clasifican según de dónde reciban la información: a) Exterior:

exteroceptores.

b) Interior:

propioceptores (movimientos del cuerpo); interoceptores (estado de las vísceras) y nociceptores (sobre el dolor).

Estímulo: es el tipo de realidad que es capaz de afectar a nuestra sensibilidad y ser convertida en información por ella. Los estímulos son formas de materia o energía que desencadenan la actividad de nuestros sentidos al incidir sobre ellos.

Estímulos

Receptores

Sensaciones

Ondas electromagnéticas de longitud inferior o igual a 10 -5 cm.

Carecemos de receptores para detectarlas

Ninguna

Ondas La retina (bastones y electromagnéticas de10 conos) 5 a 10 -4 cm. de longitud

Claridad, oscuridad y colores

Ondas Células cutáneas electromagnéticas de10 4 a 10 -2 cm. de longitud

Calor y frío

Vibraciones mecánicas en el aire u otros cuerpos, entre 20 y 20.000 Hz.

Órgano de Corti

Sonido (tono, intensidad, timbre) y ruidos

Presión

Células cutáneas

Tacto

Posición de la cabeza

Oído interno: laberinto

Equilibrio, vértigos

Sustancias químicas disueltas, en forma líquida

Células gustativas de la lengua

Sabor

Alteraciones químicas en solución gaseosa

Células olfativas

Olor

Movimientos musculares

Terminaciones nerviosas en tendones, músculos y articulaciones

Cinestesias, sensaciones de movimiento

Alteraciones químicas y mecánicas del medio orgánico interior

Células de las vísceras

Presión, tensión, malestar, náuseas, etc.

Acciones enérgicas de todas clases

Terminaciones nerviosas libres

Dolor

Acciones mecánicas suaves

Terminaciones nerviosas de zonas erógenas

Placer

Cómo podemos observar en el cuadro anterior el que se produzca la afectación de uno de nuestros sentidos por una forma de materia o energía dependerá del tipo y la intensidad de esa forma de materia o energía y del órgano sensorial concreto. No todas las formas de energía o materia son capaces de incidir sobre nuestros sentidos, y en ocasiones, sólo inciden en un determinado intervalo de intensidad. Es falso que las cosas emitan "copias" y que nosotros seamos pasivos receptores de las mismas. La percepción es un proceso bipolar, es decir, depende de: Las características de los estímulos que activan los órganos de los sentidos. Es lo que proviene de la realidad y da como resultado la sensación. En ésta somos totalmente pasivos, no podemos cambiar aunque queramos ese resultado. Es la materia prima de toda percepción. Las características del sujeto que percibe: sus experiencias, sus motivaciones, sus expectativas, su personalidad, sus aptitudes, etc. Es lo que pone el sujeto al interpretar activamente los datos sensoriales. En la percepción tenemos un ejemplo claro de la importancia que tiene multitud de factores (lenguaje, experiencia acumulada, intereses personales y culturales, educación, etc.) en orden a poseer una determinada comprensión de la realidad, organizando y configurando todo cuanto nos rodea. Podemos ahora preguntarnos: ¿Cómo se unifican los datos de los sentidos en la percepción dándoles un significado: de forma innata o aprendida? Hay factores comunes a todos los individuos, unas estructuras innatas que determinan cómo percibimos (ordenamos esos datos sensoriales) pero además aprendemos a percibir (aquí la forma cómo aprendemos tiene rasgos comunes pero también individuales como las experiencias pasadas, la educación, etc.) Lo que "sentimos" es realmente diferente de lo que "percibimos". Si bien los procesos neurofisiológicos que provocan las sensaciones son prácticamente los mismos en el recién nacido que en el adulto, otra cosa distinta es el modo cómo el uno y el otro los interpretan al llegar al cerebro. Todos los caracteres del objeto que permanecen constantes aunque varíe el ángulo de presentación, la distancia, etc., no son fruto de los estímulos físicos y la consiguiente reacción neurofisiológica, sino que dependen en gran medida de la propia experiencia pasada del sujeto. Por ejemplo: Se ha demostrado que un bebé en sus primeros meses de vida reconoce el biberón si se le presenta cercano y por el lado de la tetina. Sin embargo si se le ofrece desde otro ángulo (por ejemplo: invertido),

posiblemente quede indiferente, sin provocar las reacciones de costumbre. Por el contrario, el adulto, y el propio niño unos meses más tarde, han aprendido a percibir ese objeto como algo que posee una identidad, una forma, una constancia y estabilidad tales que no tendrán problema para reconocerlo en cualquier forma que se le presente. Adquirir las nociones de identidad y de permanencia (la existencia permanente de las cosas: Aunque ocultemos al niño momentáneamente su juguete preferido sabe que no por ello deja de existir) y, en último extremo, identificar nominalmente los objetos, clasificándolos mediante el uso del lenguaje, son pasos sucesivos que el niño va dando en el desarrollo de su capacidad perceptiva. Las características de identidad, constancia y estabilidad que atribuimos a los objetos que percibimos son fruto de algo más que unos puros mecanismos neurofisiológicos - los que dan como resultado la sensación-. Este algo más es la mediación del sujeto, algo que tiene directamente que ver con su aprendizaje. Aprendemos a percibir, a reconocer objetos y las relaciones entre ellos, y como resultado de este aprendizaje los identificamos aunque nuestros sentidos sólo nos proporcionan una información incompleta de los mismos. 2. Fenómeno de constancia perceptiva Cuando un observador se mueve y cambia de posición en relación con los objetos del medio ambiente, las proyecciones de dichos objetos sobre los receptores sufren cambios considerables. Veamos algunos ejemplos: a) A medida que un observador se aleja de un árbol, la imagen retiniana del árbol disminuye de tamaño progresivamente. b) Cuando cambia el ángulo visual del observador, con respecto a una mesa circular, varía la forma de la proyección retiniana, de modo que podemos pasar de un círculo a elipses con diversas longitudes en sus ejes principales. c) Cuando el cuerpo del observador se inclina lateralmente (a derecha o a izquierda), la orientación de la proyección retiniana de un objeto también varía. Sin embargo, a pesar de que el tamaño, la forma y la orientación de la imagen retiniana, cambien, en función de la distancia del objeto al observador, el ángulo visual y la inclinación lateral, respectivamente, el juicio que emite el observador sobre estos aspectos (tamaño, forma, orientación) varía muy poco, es decir, los juicios permanecen relativamente contantes.

Se denomina constancia perceptiva a la estabilidad de los juicios perceptivos sobre las características del objeto, mientras varían las representaciones sensoriales de tal objeto. 3. Inteligencia El concepto de inteligencia se utiliza con frecuencia con el significado de pensamiento, pero ambos no son términos equivalentes aunque se refieran a un mismo tipo de actividad. Son dos ramas de la psicología las que estudian esta misma actividad pero desde diferentes perspectivas: a) Psicología general: estudia las características comunes a todos los individuos (pensamiento). b) Psicología diferencial: estudia las diferencias entre individuos (inteligencia). La inteligencia es la medida de la agudeza del pensamiento individual en la solución de problemas. Se trata de la mayor o menor capacidad del individuo para aplicar su experiencia a los problemas que se le plantean, es decir, su capacidad para comprender la relación existente entre los distintos factores integrantes de una situación nueva, de adaptarse a la misma y de actuar sin recurrir exclusivamente al método del ensayo y error. Esto supone utilizar: a) Los procesos del pensamiento (razonamiento) b) La memoria y la imaginación. c) El lenguaje habitual del medio social en el que se desenvuelve el individuo. Hay un viejo debate acerca del origen de la inteligencia. Se trata de establecer qué papel juega el medio en el que crece el individuo y la enseñanza que recibe en el desarrollo de su inteligencia. Es decir, determinar si es un conjunto de capacidades o aptitudes innatas o aprendidas. ¿Qué pesa más la herencia biológica (innato) o el ambiente cultural (aprendido)? Lo que dijimos para el pensamiento también vale aquí para la inteligencia. Es necesario un desarrollo biológico pero también al ser un proceso de adaptación al medio tiene una importancia vital la influencia del medio social y cultural en el que se desenvuelve el individuo así como su desarrollo afectivo y su ejercicio continuado.

La inteligencia se entiende como una capacidad integrada por una pluralidad de factores o aptitudes para realizar determinadas operaciones intelectuales. Hay dos escuelas que la han estudiado: el bifactorialismo y el multifactorialismo. 4. Teoría bifactorialista Bifactorialismo Factor general (g) Factores genéricos (agrupados en seis campos: verbal [fv], numérico [fn], espacial [fs], formal [fr], memoria [fm] y perceptivo y psicomotor. Factores específicos (Por ejemplo dentro del genérico Verbal subdividiríamos en fluidez verbal, comprensión verbal, vocabulario, etc.)

Es de origen inglés. Distingue entre: a) Un factor general (factor g de Spearman) que sería la aptitud general para realizar operaciones mentales. b) Unos factores genéricos (como el verbal, numérico, de razonamiento lógico, etc.) que expresarían una mayor aptitud para efectuar determinadas operaciones mentales. Cada factor genérico se subdividiría a su vez en factores específicos, cada uno de los cuales se podrían medir por separado. 5. Teoría multifactorialista Es de origen americano. Niega la existencia de un factor general y llega a establecer más de 200 factores muchos de ellos coincidentes con los genéricos y específicos de la escuela bifactorialista. Esto es así porque han utilizado un método estadístico diferente y sujetos de mayor edad y no ha tenido en cuenta que las aptitudes se diversifican y especializan con la edad (eso les puede hacer negar el factor g). Hay que tener en cuenta que cuando se mide la inteligencia lo que se hace es medir algunos aspectos de la misma. La inteligencia, tal y como la hemos definido, no es fácil de medir ya que se trata de una aptitud psíquica, no directamente observable y no determinada por un factor simple.

Lo que en realidad se mide en los test son algunos resultados de la actividad de la inteligencia: resultados que consisten en respuestas que se dan a las preguntas o actividades que se plantean en los test. La medición de estas respuestas se puede hacer de modo preciso y objetivo pero hay que ser cautos en la aceptación de los resultados de las pruebas. Si los test están bien construidos para medir lo que se pretende son fiables pero nos dan un valor de cierta probabilidad sobre la inteligencia del sujeto, pero nada más. El concepto de inteligencia obtenido a través de los test es un concepto relativo y estadístico: la finalidad de un test es siempre clasificar al sujeto, lo que sólo tiene sentido por comparación con los restantes del grupo. 6. Cociente Intelectual (IQ) Es la unidad de medida de la inteligencia que inventó el psicólogo alemán William Stern (1871-1938) y lo expresó a través de la fórmula siguiente: IQ = (EM / EC) X 100 Donde: Edad Mental (EM): es un concepto inventado por el psicólogo francés Alfred Binet (1857-1911) quien consideraba que a cada edad cronológica (EC) debe corresponder un grado de inteligencia. La medimos en el sujeto a través del test y señalará su capacidad para resolver determinados tipos de problemas. Edad cronológica (EC): es la edad del sujeto. 7. Percepción La percepción incluye la interpretación de esas sensaciones, dándoles significado y organización (Matlin y Foley 1996). La organización, interpretación, análisis e integración de los estímulos, implica la actividad no sólo de nuestros órganos sensoriales, sino también de nuestro cerebro Feldman, 1999). Percepción y cognición Este ejemplo nos remite a considerar el otro límite aún más impreciso que existe entre la percepción y la cognición. Ésta última involucra la adquisición, el almacenamiento, la recuperación y el uso del conocimiento que entrelazado a través de un esquema, influye en el despliegue de una conducta. Es importante conocer la función que realiza la percepción en nuestra vida. Podemos hablar de dos aspectos funcionales fuertemente relacionados: Información. Aprendemos a interpretar los datos de los sentidos lo que nos facilita información sobre el mundo. Esta información nos permite llegar a

reconocer e interpretar el mundo circundante y es la base sobre la cual se han desarrollado las distintas artes y ciencias. Adaptación al medio. Nuestro modo de percibir el mundo está determinado por lo que evolutivamente nos ha sido ventajoso para poder seguir sobreviviendo. Recíprocamente la adaptación al medio está facilitada desde la percepción pues a través de ella aprendemos a reaccionar con eficacia ante una situación determinada. Hay que distinguir aquí dos tipos de situaciones: Aquéllas ante las que reaccionamos de un modo espontáneo e inmediato. Por ejemplo: un pinchazo, el roce con algo muy caliente, una caricia maternal, etc. Aquéllas otras que no se nos presentan de un modo tan definido como peligrosas o ventajosas, es en estos casos cuando debemos aprender a reaccionar eficazmente e identificarlos, reconocerlos o percibirlos como posibles fuentes de peligro. La función adaptativa de la percepción explica su carácter selectivo: un animal percibe únicamente lo que le interesa para su supervivencia. Los umbrales ponen de manifiesto que el ser humano no capta todos los estímulos posibles, pero de todos los que puede captar su percepción se centra en unos dejando de lado otros. Si no fuese así el cerebro no podría procesar toda la información que recibe. Atención es la selección activa de determinados estímulos con la inhibición de todos los demás. Este es un proceso a veces consciente a veces inconsciente. De mirar con atención a ver ociosamente, varía no solo la cantidad de cosas y hechos percibidos, sino también el cómo los percibimos. De modo que hechos y objetos que normalmente podría pasar desapercibidos cobran ahora una especial relevancia. Por ejemplo: dar un paseo por la ciudad o ir a casa de un amigo por primera vez (nos hemos de aprender el camino), mirar una catedral cuando esperamos a un amigo o cuando tenemos que hacer un trabajo de arte, etc. Los datos de los sentidos son los mismos pero no se percibe lo mismo. La atención unida a un determinado grado de concentración y ligada a unos intereses momentáneos del sujeto nos permite identificar con mayor claridad y exactitud determinados aspectos de la multitud de cosas que están junto a nosotros. de este modo facilita la retención de hechos u objetos que posteriormente debamos recordar, imaginar o describir. Otras veces, sin necesidad de una búsqueda premeditada que responda a intereses concretos, la naturaleza de determinados estímulos nos llaman la atención: la no familiaridad, la incongruencia, el tamaño, la intensidad, la duración, etc. son factores determinantes en la llamada y el mantenimiento de la atención. Por ejemplo: alguien con el pelo de color llamativo, etc. Estos

elementos son utilizados frecuentemente en la publicidad, han de llamar la atención sobre el producto. Cuando algo extraordinario se nos hace familiar entonces deja de llamarnos la atención. El mantenimiento de la atención se dificulta en la presencia de dos estímulos diferentes y simultáneos. Por ejemplo: escuchar música y estudiar, oír al profesor y al compañero de al lado, etc. Todos los procesos de atención requieren un esfuerzo, una tensión física y a veces psicológica que tienen un límite en cada sujeto. Factores que determinan la atención Externos: Posición del estímulo respecto del observador, intensidad, tamaño, color, luminosidad, movimientos y cambios, novedad, etc. Internos: Fundamentalmente el interés determinado por el momento, motivaciones personales, impulsos básicos, gustos, etc. Defensa perceptiva Evitamos percibir estímulos que resultarían desagradables. Por ejemplo: si nos insultan (no ostentosamente) y no queremos pelea, el profesor cuando hay aburrimiento en clase, etc. Desde la teoría del conocimiento nos interesa cómo se va construyendo nuestra realidad, observar este proceso paso a paso viendo como interviene el sujeto. "Lo real" ──────┐┌─── "lo sentido" ───┐┌──── "Lo percibido" ESTÍMULO Forma de materia o energía Objetivo

SENSACIÓN

PERCEPCIÓN

Transformación en tres Interpretación: Donación fases de sentido Subjetivo

Subjetivo

Se observa la progresiva transformación de "lo material/real" en lo "mental/subjetivo". Nuestra percepción del mundo es el resultado del modo en cómo en el ser humano los estímulos se transforman en sensaciones que posteriormente serán interpretadas según los factores antes descritos. Este resultado no es una copia fiel e idéntica (realismo) de los que las cosas son: sólo podemos conocer aquello que se nos muestra o aparece (lo que se denomina (fenomenismo).

Hemos visto determinadas características del proceso perceptivo pero nos falta ver que teorías se han dado para explicar cómo, a partir de la materia prima de la sensación, se produce la percepción. 8. Sensación La sensación se refiere a experiencias inmediatas básicas, generadas por estímulos aislados simples (Matlin y Foley 1996). La sensación también se define en términos de la respuesta de los órganos de los sentidos frente a un estímulo (Feldman, 1999). 9. Diferencias entre los dos conceptos Las diferencias entre las categorías de sensación y percepción, no parecen muy claras, máxime si se considera que en ciertos casos un hecho ocurre a la par de otro. Se acepta generalmente que la sensación precede a la percepción y que esta es una diferencia funcional sencilla; en el proceso sensible se percibe un estímulo, como puede ser la alarma de una puerta, luego se analiza y compara –percepción– la información suministrada por ese estímulo y se resuelve si es necesario asumir una actitud alerta frente algún peligro o si simplemente es cuestión de apagar el dispositivo que accidentalmente accionó la alarma. Todo esto, aunque en esencia parece trivial, constituye el resultado de la acumulación de grandes volúmenes de información que se interrelaciona para llegar a una conclusión. 10. Percibir El percepto es la representación mental resultante de la interpretación que hacemos de los datos de los sentidos ante la acción del estímulo. Tiene las siguientes características: Los objetos percibidos están en un tiempo y en un lugar determinados. Por ejemplo: el suéter de un alumno, la mesa del profesor, la ventana, etc. Las cualidades del objeto se me imponen no las puedo modificar a gusto o voluntad. Por ejemplo: no les puedo cambiar el color, el tamaño, el brillo, etc. El objeto se me presenta de una forma directa, nítida y exacta. Lo puedo recorrer en todos sus detalles. Por ejemplo: veo cada detalle del dibujo, los distintos materiales de que está hecho, etc.

11. Representar La imagen es la representación mental resultante de nuestra capacidad para poder volver hacer presente en nuestra mente un objeto percibido con anterioridad en ausencia de los estímulos que lo provocaron. Tiene las siguientes características: Los objetos imaginados no están ni un tiempo ni en un espacio determinados. Por ejemplo: los objetos del ejemplo pueden ser imaginados sin ser situados espacio-temporalmente. Las cualidades del objeto ya no se imponen, puedo modificarlas a capricho. Por ejemplo: puedo cambiarles el color, el tamaño, el brillo, etc. El objeto se me aparece como "no presente", más difuso, menos definido y más manipulable. La imaginación es la capacidad de producir imágenes o reproducir percepciones. 12. Imaginación reproductora Es cuando reproducimos imágenes referidas a percepciones concretas. Fuera de la percepción directa es muy difícil que se produzcan imágenes meramente reproductivas, casi todas poseen ciertos elementos "producidos" por el sujeto que pueden ser arbitrarios. Se caracteriza por una mayor fidelidad respecto al objeto. Está también más condicionada por la sensibilidad y el recuerdo. 13. Imaginación creadora Cuando en base a percepciones previas elaboramos formas nuevas que no se corresponden con modelos de la realidad. Se caracteriza por estar más cercana a procesos organizativos nuevos y de síntesis, ligados en muchas ocasiones a la actividad intelectual. Con ayuda del pensamiento es el motor de la creatividad: comporta habitualmente la ruptura con formas habituales de pensar o al menos la flexibilidad que permite el paso de una forma de pensar a otra nueva. La Cromatemática pertenece a este grupo.

14. Imaginación fantástica o fantasía Conforme a esta capacidad de crear formas nuevas va alejándose progresivamente de la realidad. La realidad queda deformada y el sujeto recrea un mundo diferente en el que refugiarse. La fantasía es necesaria y beneficiosa en algunas etapas y situaciones de nuestra vida: tiene una función gratificante y compensadora, sirve para aliviar la presión física y psicológica que ejerce sobre nosotros el medio. Por ejemplo: las imágenes oníricas en el sueño; la fantasía o la imaginación en los niños que posibilitan el juego o el "soñar despiertos" que todos realizamos de cuando en cuando. Cuando es llevada a la exageración se puede convertir en una conducta patológica. El mitómano es el sujeto inclinado a relatar cosas falsas y que acaba por ser incapaz de distinguir entre las creaciones de su imaginación y la realidad objetiva. 15. La memoria Por lo general, por memoria entendemos la permanencia o retención de la experiencia pasada en el presente. Pero puede tener un doble sentido: De conducta Cuando se trata de poner en práctica un hábito adquirido con anterioridad sin necesidad de ensayar uno por uno todos los movimientos ya aprendidos. Por ejemplo: atarse los zapatos, nadar, andar en bicicleta, etc. De conocimiento Cuando debemos hacer presente el contenido de algún conocimiento pasado. Es lo que tradicionalmente se denomina memoria y es un momento esencial en los procesos de aprendizaje. Por ejemplo: recordar el contenido de un libro, una película, un poema, etc. 16. Análisis del proceso de la memoria Podemos distinguir tres fases en el funcionamiento de la memoria: Fijación de la información

De la multitud de vivencias, conocimientos y conductas aprendidas sólo una parte queda fijada en nuestra memoria, o al menos, la totalidad no queda lo suficientemente bien fijada como para que resista el paso del tiempo.

¿Qué factores determinan el que sólo una parte de la información que atraviesa nuestra conciencia quede grabada?: Podemos destacar tres factores: 1. La intensidad, duración, repetición y novedad de lo aprendido o percibido. Por ejemplo: recordar los ejemplos de la atención en la percepción; a veces aprendemos una canción aunque no nos guste tan sólo de oírla mucho repetición-, etc. 2. Factores de carácter psicológico que confieren determinados valores a la información que se nos ofrece operando selectivamente sobre la misma. Sería los estados emocionales, motivaciones, etc. Por ejemplo: un partido de fútbol importante -Final de una Copa de Europa de nuestro equipo preferido-, una pelea de nuestros padres, una declaración de amor, etc. 3. Los componentes lógicos como el que proporciona la organización lingüística. Es más fácil recordar elementos conexos que elementos inconexos. 17. Conservación y almacenaje de la información Si resulta fácil explicar por qué determinados contenidos se graban con más facilidad que otros, no es total el acuerdo en torno a cómo se conservan tales datos. ¿Qué es lo que se altera a nivel biológico cuando decimos que algo se queda grabado en la memoria?: Hay dos teorías: Codificación eléctrica La codificación de la información recibida se haría a través de señales eléctricas. Es una interpretación cibernética: igual que ordena los datos un ordenador en su memoria. Los impulsos eléctricos circulan continuamente a lo largo de las cadenas de neuronas que enlazarían sinápticamente en el cerebro. De este modo la información adquirida quedaría almacenada en circuitos de neuronas "reverberantes", posteriormente la referencia a determinados circuitos de éstos permite la reproducción de la información contenida en los mismos. La interrupción o bloqueo de tales circuitos explicaría, asimismo, la imposibilidad de reproducir determinadas imágenes o conductas, justificando el hecho del olvido.

18. Codificación molecular La codificación se realizaría mediante procesos químicos produciéndose una alteración en determinadas estructuras moleculares del sistema nervioso. Parece ser que son las moléculas proteínicas las que desempeñan este papel. Localización y reproducción de la información: el recuerdo

Recuerdo se define como la posibilidad de localizar y reproducir una información previamente almacenada. La actualización de la información previamente fijada y conservada puede realizarse de diferentes maneras: Voluntaria o involuntariamente Ligada o no al espacio y al tiempo Como imágenes conectadas a un acontecimiento concreto Hay distintas maneras de actualizar la información adquirida: Mero reconocimiento Algo nos resulta familiar, nos produce la impresión de haberlo percibido antes, pero no podemos precisar ni dónde ni cuándo. 19. Reproducción Consiste en repetir contenidos aprendidos previamente. Es más complicada y precisa que la anterior. (Por ejemplo: no es lo mismo reconocer una canción que reproducirla, responder una pregunta en un examen de memoria). 20. Memoria reintegrativa El recuerdo viene ligado a las circunstancias concretas en las que se efectuó el aprendizaje. 21. Reaprendizaje Cuando volvemos a aprender algo que habíamos aprendido tiempo atrás. Siempre resulta más fácil pues existe una retención (no olvidamos todo por completo). 22. El olvido El olvido se define como la imposibilidad de actualizar algún tipo de información previamente adquirida. Tal fenómeno puede deberse a diversas causas que operan separada o conjuntamente. Éstas son:

Olvido por desuso de la información El transcurso de tiempo y la falta de ulteriores usos o reaprendizajes puede justificar la desaparición de determinados engramas o huellas de la memoria. Hay fenómenos que no se pueden explicar por este tipo de olvido: Por ejemplo: los recuerdos nítidos de la infancia o las conductas aprendidas. Olvido por interferencia Hay quien considera que el olvido puede explicarse, no tanto por el hecho de que pase el tiempo entre la adquisición y el recuerdo, sino por lo que ocurre en ese período. Por ejemplo: memorizar un número de teléfono y que alguien te distraiga antes de marcarlo. Se pueden dar dos casos: Interferencia retroactiva Un aprendizaje posterior provoca el olvido de un aprendizaje anterior. Interferencia activa Un aprendizaje anterior provoca el olvido de un aprendizaje posterior. Olvido motivado Desarrollado por la teoría psicoanalítica: se reprimen aquellos recuerdos cuya actualización puede suscitar conflictos. Lo que una persona desea recordar u olvidar constituye un factor importante a la hora de explicar lo que recordamos. 23. Niveles de memoria Para explicar el hecho de que parte de la información adquirida es rápidamente olvidada, mientras que otra es permanentemente retenida algunos psicólogos han llegado a distinguir y analizar distintos niveles en la memoria. Cada uno de estos niveles funcionan y poseen unas características propias. Memoria inmediata (MI) o memoria sensorial Es la que durante unos instantes sigue a la percepción una vez que los objetos - o estímulos- han desaparecido de nuestro campo perceptivo. Características La información es retenida durante muy pocos segundos. Mediante experimentos se ha constatado que por término medio somos capaces de retener durante 1/2 segundo 9 ítems.

Memoria a corto plazo (MCP) Es la que fija mentalmente la información durante el tiempo justo para poder utilizarla. Si no sufre ningún tipo de elaboración, durante ese tiempo, desaparece para dejar paso a otra información. En este segundo nivel la información es seleccionada y categorizada, codificada por mecanismos de reconocimiento de formas que dependen de la MLP, es decir, recibe su significación de la MLP. La MCP es el nivel donde mantenemos la información que necesitamos en cada momento. Características Su capacidad es muy limitada y sus contenidos están sometidos a la ley del borrado por desuso, siendo extremadamente susceptible a las interferencias. Por término medio somos capaces de retener durante unos 30 segundos unos siete ítems sin ningún tipo de estrategia (más si están bien organizados). Ahora tales datos pueden ser retenidos indefinidamente mediante la repetición de los mismos, esta repetición puramente mecánica se llama repetición de mantenimiento. Sin ella en 20 o 30 segundos se olvida borrado- y si es interrumpida -interferencia- también. Este nivel de la memoria nos capacita para recordar la información pero al ser limitada y susceptible a las interferencias, nos permite estar siempre abiertos a la recepción de nueva información. Memoria a largo plazo (MLP) Es la que fija permanentemente la información recibida y por tanto, en principio, nos permitiría su recuerdo y reproducción en cualquier momento. Paso de la MCP a la MLP: la transferencia Retenemos permanentemente un conocimiento cuando éste es transferido de la MCP a la MLP: esto es lo que se denomina transferencia. Se realiza en función de los intereses del individuo y de sus estados emocionales influyendo también los elementos que determinan la fijación de la información. Características Posee una mayor capacidad de retención y permanencia.

Tipos Memoria semántica: conocimientos en general ordenados de forma estructurada y jerárquica. Permite interpretar la realidad. Memoria episódica: recoge los acontecimientos de nuestro pasado. Permite construir nuestra identidad personal. Conclusiones La MCP permite la atención necesaria a la vida, pero no sobrecarga la MLP con recuerdos inútiles. 24. Formación de conceptos Mediante la formación de conceptos reducimos la complejidad del mundo agrupando los individuos en clases representadas por símbolos. Se realiza a través de tres pasos: 1. La abstracción. Abstraer significa etimológicamente separar (del latín). Observando conjuntos de objetos o acontecimientos se separan las características que se observan comunes a todos ellos. Se dejan así de lado aquellos rasgos que son singulares de estos objetos para construir el concepto. 2. Simbolización. Con ese conjunto de rasgos comunes se forma el concepto y para representarlo se inventa un símbolo que será convencional. 3. La generalización. A partir de ese momento, el conjunto de todas las cosas que posean esas propiedades quedará representado por ese concepto. Por ejemplo, "silla" sería el símbolo que en castellano representaría el siguiente concepto: "Objeto con asiento y respaldo de tres o más patas en el que cabe una sola persona". Este concepto representa a todos los objetos que poseen esas características aunque entre ellos haya otras diferencias. Es relevante destacar que este es un proceso: 1. Convencional. Formamos el concepto seleccionando unos caracteres del objeto y discriminando otros en función de nuestros intereses o puntos de vista. 2. Parcial. Nunca agotamos mediante el concepto la totalidad del objeto. Prescindimos de una parte, de aquello que de cara al concepto construido se convierte en algo singular y concreto del objeto. 3. Social. Los conceptos son un producto social. Se elaboran por parte de las comunidades lingüísticas.

25. Formulación de juicios Habiendo reducido la diversidad de la realidad a conceptos (representados mediante símbolos), y siendo más manejable, empezamos a relacionar unos conceptos con otros a través del lenguaje. Formulamos juicios. Un juicio es al acto por el que afirmamos o negamos un concepto de otro. Por ejemplo, en el juicio "El ser humano es mortal" afirmamos del concepto "humano", el concepto "mortal". Afirmando o negando unos de otros vamos elaborando nuestras afirmaciones sobre el mundo. 26. Elaboración de razonamientos Por último, a partir de los juicios que hayamos establecido, y mediante el mero uso de la razón, llegamos a un nuevo juicio que antes nos era desconocido y que se deriva de los anteriores. Es decir, razonamos. Al relacionar unos juicios con otros podemos establecer nuevas verdades u ordenar y sistematizar las que ya poseemos bajo juicios de carácter más general (principios). Recordemos que los mecanismos de adaptación dependen del grado de complejidad del organismo y de su capacidad para aprender nuevas conductas que puedan dar respuesta eficaz ante los problemas que le plantee el medio. Que en los animales especializados (inferiores en el rango evolutivo a los mamíferos) existen unos patrones específicos de respuesta de carácter instintivo para cada tipo de estímulos vitalmente significativos de forma que cada vez que uno de estos estímulos se presenta ejecutan la conducta apropiada de una manera uniforme. Que, no obstante, parece que casi todos los animales tienen la capacidad de aprender comportamientos nuevos que les permiten mejorar su capacidad de adaptación. Los mecanismos aprendidos tienen su importancia sobre todo en los mamíferos. Cuando un organismo se encuentra en una situación nueva o adversa puede recurrir, en función de sus capacidades, a tres modelos o patrones de aprendizaje o adaptación. 27. Procedimiento de ensayo y error Es la manera más primitiva. Consiste en realizar una respuesta después de otra hasta encontrar la más satisfactoria. Los organismos más simples no tienen otra solución.

Los inconvenientes de este modo de resolución de problemas es que es un procedimiento que requiere tiempo y se corre el riesgo de que alguna respuesta tenga consecuencias negativas. Por ejemplo, una ameba que se encuentra bloqueada en su movimiento hacia delante no tiene otro remedio que retroceder poco a poco y avanzar en otra dirección hasta encontrar el camino libre. 28. Conducta exploratoria Consiste en intensificar la estimulación de algunas zonas del campo perceptivo o buscar contacto con nuevas fuentes de estimulación. Así se buscan datos complementarios que probablemente faciliten la respuesta. Por ejemplo, la conducta que desarrollaban los monos de Köhler en las pausas entre ensayo y ensayo de solución en los experimentos por discernimiento. 29. Conducta epistémica Las formas más simples de aprendizaje no son suficientes para resolver los problemas que se le presentan al organismo, ya que muchas veces la respuesta más favorable al organismo requiere para producirse datos complementarios que no están presentes en la situación de estímulo. La conducta epistémica (conocimiento a través de la experiencia) consiste en respuestas que se dirigen a la adquisición de conocimientos o informaciones que, una vez adquiridos, se retienen en la memoria y tienen forma de procesos simbólicos, es decir, procesos de representación de lo real mediante símbolos que suelen ser palabras. La ventaja de este modelo, sólo presente en el ser humano, es que éste para resolver sus problemas no tiene que tratar con las cosas directamente sino que puede manejarlas a través de símbolos. En vez de vivir el mundo inmediatamente (determinado por la urgencia y el carácter limitado de lo inmediato) puede distanciarse y comprenderlo mediante símbolos (contando para resolver sus problemas con todo el bagaje del conocimiento que ha construido mediante los símbolos). 30. Límites del pensamiento animal Los animales resuelven sus problemas en la mayoría de los casos por el método del ensayo y error. Además, muchos animales también utilizan la conducta exploratoria como estrategia complementaria. Sin embargo, su incapacidad para producir y operar con símbolos no les permite desarrollar una conducta epistémica. Esto es lo que nos permite hablar de una inteligencia animal de carácter:

1. Práctico: los problemas que llegan a resolver son siempre de tipo práctico relacionados con el manejo de instrumentos. 2. Concreto: el fin (lo que quiere o desea) así como los medios (los elementos que debe de utilizar para conseguirlo) se deben encontrar simultáneamente dentro del campo perceptivo del animal. Muy rara vez se resuelve un problema si se tiene que utilizar la memoria para buscar un instrumento que se encuentre, por ejemplo, en otra habitación aunque el animal sepa que está allí. La inteligencia práctica está encaminada a la manipulación de objetos y la fabricación de utensilios (actividad necesaria para adaptarse a nuevas situaciones). Los resultados obtenidos parecen indicar un mayor despliegue de la inteligencia práctica a medida que se asciende en la escala evolutiva. Así tenemos que: 1. Animales como perros o gatos resuelven los problemas de locomoción, pero suelen fallar en los de presión. 2. Los simios inferiores resuelven también los de presión y los de apartamiento de obstáculos, pero fallan en los de utilización de utensilios. 3. Los simios superiores sí resuelven los problemas de uso de utensilios, pero, en general, fracasan en el intento de fabricárselos. Sólo algunos chimpancés consiguen resolver la fabricación de utensilios para, por ejemplo, alcanzar la comida en los experimentos que se han realizado. Podemos concluir que el animal vive inmerso en el presente perceptivo, es decir, está sujeto al dato sensible, al estímulo inmediato. Sin embargo el ser humano posee la capacidad de utilizar su pensamiento conceptual, abstracto, que le permite librarse de la servidumbre del dato sensible, de lo inmediato, de las imágenes incluso, para poder operar con símbolos que le aportan un sinfín de elementos que pueden ayudar a resolver los problemas (en función de su experiencia previa y sus conocimientos). 31. Etapas del desarrollo mental El niño piensa diferente que el adulto, y esa diferencia no es sólo cuantitativa (que posea menos experiencia, conocimientos o información) sino cualitativa: hay problemas que, por su naturaleza, el niño es incapaz de resolver pues su pensamiento todavía no se ha desarrollado lo suficiente. Así pues no sólo hay diferencias en el tipo de problemas que es capaz de resolver sino en la forma en cómo resuelve el mismo tipo de problemas. Solamente por un proceso de adaptación al ambiente llegará al desarrollo total de sus capacidades. El desarrollo del pensamiento es un proceso complejo que presupone: a) La maduración del organismo.

b) La influencia del medio social (proceso de socialización). c) El desarrollo afectivo (de la afectividad). Ha sido Jean Piaget, (1896-1980) psicólogo suizo, quien lo ha estudiado impulsando el desarrollo de lo que se denomina psicología genética. Ésta intenta responder a las preguntas: ¿Cómo se produce la génesis del pensamiento?, ¿En qué consiste? 32. El desarrollo del pensamiento ¿En qué sentido se desarrolla el pensamiento? Se trata en realidad de un desarrollo progresivo de la capacidad de abstracción. Con el desarrollo del pensamiento se efectúa un paso de la capacidad concreta de manipular directamente los objetos a la capacidad abstracta de la manipulación intelectual de los mismos. Es un proceso de independencia progresiva de la realidad concreta, y de la separación de los procesos de pensamiento de las percepciones inmediatas y de las mismas funciones imaginativas. ¿Cómo se produce ese desarrollo? Todas las personas pasan por unos estadios o etapas que se caracterizan por el uso de unas determinadas estructuras mentales, las más importantes de las cuales se denominan esquemas. Los esquemas son las distintas formas que el individuo tiene de relacionarse con el medio. Los estadios tienen las siguientes características: Cada estadio se caracteriza por la presencia de determinados esquemas siempre coordinados entre sí. Tienen un orden fijo pero difieren, a veces, en su duración. El orden no puede ser otro ya que las nuevas estructuras deben apoyarse sobre las anteriores. El proceso puede retardarse o acelerarse pero requiere siempre de un cierto tiempo mínimo de maduración. El avance en el desarrollo del pensamiento se produce a través del cambio progresivo de unas estructuras a otras. ¿Por qué se va produciendo ese cambio?: el pensamiento es una adaptación al ambiente o medio.

Esta adaptación genera su dinamismo a partir de los dos conceptos siguientes: Asimilación: el pensamiento adapta los datos de la experiencia a sus propios esquemas. Acomodación: el pensamiento modifica sus esquemas constantemente para ajustarlos a los nuevos elementos de la realidad. La coordinación de estos dos momentos, el desajuste entre nuestros esquemas y la complejidad de lo real, explica el desarrollo y el progreso intelectual. ASIMILACIÓN De la experiencia a la mente

ACOMODACIÓN De la mente a la nueva experiencia

Estados de equilibrio de ADAPTACIÓN Progresivamente más estables

Pensamiento sensorio – motriz Desarrollado en los dos primeros años de vida, hasta la aparición del lenguaje. Se destacan tres momentos fundamentales: Reflejos El niño al nacer sufre un fuerte cambio, varían todos los puntos de referencia que tenía hasta ese momento (espacio intrauterino). Pero dispone de unos esquemas reactivos innatos (reflejos) que pone en acción en su contacto con el mundo exterior. Por ejemplo, el reflejo de succión del pecho de la madre. Los reflejos se van perfeccionando y generalizando convirtiéndose en los "esquemas" que le permiten situarse en el mundo: "para él, el mundo es, esencialmente, una realidad que puede ser chupada". Hábitos y percepciones organizadas Los reflejos se organizan en hábitos y la percepción se hace discriminativa, por ejemplo distingue la imagen de su madre de otras imágenes de personas distintas.

Acomoda sus esquemas al nuevo medio a través de la conducta exploratoria que caracteriza esta etapa. De un modo práctico va organizando los movimientos de su cuerpo y posteriormente el movimiento y la percepción se coordinan entre sí: ya es capaz de coger los objetos que percibe (prensión). Se va habituando al manejo de objetos. Inteligencia práctica o sensorio-motriz Poco a poco aparece una inteligencia práctica o sensorio-motriz aplicada a la manipulación de objetos. Es sensorio - motriz porque sólo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos, ambos coordinados entre sí (no hay palabras ni conceptos: hay inteligencia pero no pensamiento). El niño es capaz de resolver problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales inteligentes. Por ejemplo, tira del mantel para acercarse un trozo de pan, lo cual es un acto inteligente (medio-fin). Hay un estado inicial de solipsismo (el niño no distingue entre él y la realidad, para él sólo existe una única realidad: el mismo) que comienza a abandonar al fijar la noción de identidad (reconoce un objeto como el mismo aunque se le presente desde diferentes perspectivas) y de permanencia (sabe que los objetos siguen existiendo aunque ya no los percibamos). La adquisición de estas nociones y el abandono del solipsismo (la comprensión de que su cuerpo es un objeto más entre los otros) significarán el paso a la siguiente etapa. Representación preoperativa (Pensamiento preconceptual) Va de los dos a los seis años aproximadamente. Es el momento en que se adquiere el lenguaje: el niño empieza a apoderarse del mundo a través del lenguaje y no únicamente a través de sus actividades motrices. El lenguaje que utiliza no es como el del adulto es más vago e impreciso. Esta etapa se denomina también preconceptual entendiendo por preconceptos las nociones que el niño liga a los primeros signos verbales cuyo uso adquiere. El niño adquiere la capacidad para crear y comprender símbolos por medios de procesos imitativos, mediante el desarrollo del juego simbólico: el niño pasa a la siguiente etapa cuando es capaz de representarse la realidad mediante la imitación y la imitación diferida (escenificar la vida cotidiana y situaciones ausentes respectivamente, en eso consiste este juego simbólico). Imitando los adultos el niño aprende el lenguaje, lo cual le permitirá dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden hacer). El lenguaje le permite "reconstruir sus acciones pasadas bajo la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la representación verbal". Ello supondrá la posibilidad de hacer intercambios verbales con los demás; y además al interiorizarse la palabra, surge el pensamiento como un diálogo consigo mismo (al principio, el niño que ha aprendido a hablar, habla mucho, pero habla

sobre todo consigo mismo). Así surgen dos nuevos mundos: el mundo social y el mundo interior. En esta etapa predomina el egocentrismo: el niño está centrado en sus puntos de vista y lo enfoca todo desde sus propias motivaciones y necesidades, asimila todas sus experiencias del mundo al modelo de su mundo interior. De ahí que el pensamiento infantil sea tan singular y sus porqués tan desconcertantes. Operaciones concretas Va de los 7 a los 11 años. En este momento el niño es capaz de operaciones lógicas pero ligadas a objetos concretos. Se adquiere es la capacidad de hacer ya operaciones propiamente mentales, pero concretas: se opera con objetos que tienen que estar presentes, y deben poder ser percibidos y manipulados. Se podría decir que el niño piensa "con los ojos y las manos". En la siguiente etapa el adolescente hará mentalmente lo que primero hizo de niño con las manos y la vista. Según Piaget la posibilidad de las operaciones concretas viene dada por la conquista del esquema fundamental del pensamiento: la reversibilidad. En esta etapa se abandona el egocentrismo y el esquema perceptivo infantil. El niño aprende a no fiarse de sus representaciones perceptivas. Por ejemplo si llena dos vasos iguales con la misma cantidad de canicas y luego vacía uno de ellos en otro más alto y estrecho, cuando todavía no haya llegado a esta etapa, dirá que tiene más canicas que el anterior. La razón del error es de orden perceptivo ya que se eleva el nivel de canicas en el vaso. También aprende a establecer relaciones. Puede agrupar cosas semejantes (clases), ordenar cosas diferentes (relaciones). Adquiere así las ideas de número y de orden. 33. Operaciones formales A partir de los 12 años en adelante. El pensamiento se desliga ya de lo concreto y por tanto de la percepción inmediata. Puede realizar operaciones formales o abstractas sin manejar los objetos, a nivel puramente verbal o conceptual. Los objetos son sustituidos por las ideas. Adquiere el pensamiento científico o hipotético deductivo: puede plantearse hipótesis e imaginar sus consecuencias y luego comprobar el resultado previsto. Y ahora empezaremos a analizar los sentidos.

34. Los órganos de los sentidos Anatomía y Fisiología A continuación se presenta un esbozo general de los órganos de los sentidos, sus partes y funciones: La Visión Sensación consciente producida por la luz, que permite apreciar los objetos y sus cualidades. Se distinguen dos tipos de visión, de acuerdo a las condiciones de luminosidad: escotópica, la que se percibe cuando el ojo está acostumbrado a la oscuridad; fotópica, la que se percibe cuando el ojo está acostumbrado a la luz. La Vista La función del sistema visual es transformar la energía electromagnética del estímulo visual en impulsos nerviosos, proceso que se conoce como transducción –término y proceso extensible a los demás sentidos–. La forma redonda del globo ocular se mantiene por la presión de líquidos internos sobre la membrana externa blanca, denominada esclerótica. En la parte anterior del globo ocular se encuentra la córnea, membrana transparente que se une con la esclerótica y protuye ligeramente. La luz que proviene del exterior debe enfocare en la superficie posterior del globo ocular, y la córnea inicia este proceso. Las células de la córnea reciben sus nutrientes y el oxígeno del humor acuoso. Este líquido llena la cámara anterior, que se encuentra inmediatamente detrás de la córnea. La entrada de luz al ojo es regulada por un anillo de músculos pigmentados llamado iris. La pupila es una abertura en el centro del iris por la que pasa la información luminosa. El iris tiene dos clases de músculos, unos que lo contraen –cierran– y otros que lo dilatan –abren–. Cuando la luz es brillante, el iris se cierra y viceversa. En los humanos, la pupila es redonda, aunque en algunos otros animales puede ser como una línea vertical en la mayoría de casos. El cristalino es un cuerpo esférico, transparente, localizado exactamente detrás de la pupila. Es ligeramente amarillento y se compone de una capa externa que contiene fibras organizadas como las capas de una cebolla. Luego de que la cornea desvía los rayos luminosos conforme entran al ojo, el cristalino completa esta tarea de enfocar las ondas luminosas sobre los fotorreceptores localizados en la parte posterior del ojo. Dado que el cristalino puede cambiar de forma, enfoca los rayos luminosos tanto de objetos cercanos como alejados por un proceso llamado acomodación. El músculo ciliar rodea al cristalino y se fija a éste gracias a ligamentos delgados denominados zónulas de Zinn. Cuando se observa un objeto alejado (+6 m.), el músculo ciliar se relaja, lo que ocasiona que el músculo se expanda y jale las zónulas. En este estado el cristalino está estirado a su forma más plana, así que su refracción de la luz que entra al globo ocular se desviará menos. Cuando se observa un objeto cercano, el músculo ciliar se contrae, lo

cual permite que el cristalino regrese a su forma natural. Entre el cristalino y la retina se encuentra un compartimento llamado cámara posterior. La retina es la capa de receptores para la luz, o fotorreceptores, y de células nerviosas, que se localiza en la parte posterior del ojo. Los fotorreceptores –llamados conos y bastones– absorben rayos luminosos y los transforman en información que puede ser transmitida por las neuronas. La fóvea es la porción más delgada de la retina que produce la visión más clara. En el disco óptico, el nervio óptico abandona el ojo. El nervio óptico representa el haz de neuronas que lleva la información que se origina en la retina. El disco óptico carece de fotorreceptores y en consecuencia crea un punto ciego que se puede detectar a través de un sencillo experimento. El Oído El oído consta de tres regiones anatómicas: oído externo, oído medio y oído interno. La parte más visible del oído externo es el pabellón auricular; son importantes debido a que incrementan ligeramente la amplitud del sonido e intervienen en cierta medida con la detección de la posición de la fuente sonora. Le sigue el conducto auditivo externo, que se dirige hacia adentro a partir del pabellón auricular y funciona como una caja de resonancia, amplificando sonidos muy débiles. El sonido llega al tímpano, o membrana timpánica, una membrana que vibra en respuesta a las ondas sonoras. El oído medio es el área que se encuentra después del tímpano. Consta de tres huesecillos u osículos, que son los más pequeños del cuerpo humano: martillo, yunque y estribo. Estos huesillos aumentan la eficiencia con la cual el sonido es transmitido al oído interno: La fuerza de las partículas en el aire que golpean la membrana timpánica, es transmitida a una región mucho más pequeña, donde el estribo llega a la ventana oval de la cóclea. Los tres huesecillos funcionan como una palanca, lo que ofrece una pequeña pero importante ventaja mecánica. El tímpano tiene una forma parecida a un cono, la cual hace que responda más eficazmente. Cada oído medio contiene una trompa de Eustaquio, que conecta al oído con la garganta. Las trompas de Eustaquio ayudan a igualar la presión del aire en el sistema auditivo. El oído interno no existe como estructura individual, es sólo el área donde no hay hueso. La cóclea –ó caracol–, llena de líquido, contiene receptores para los estímulos auditivos. El estribo está adosado directamente a la ventana oval, membrana que cubre una abertura de la cóclea. Cuando el estribo vibra, la ventana oval también lo hace, y produce cambios de presión en el líquido que se encuentra dentro de la cóclea. El conducto coclear es el más pequeño de los tres canales de la cóclea, alberga a los receptores auditivos y contiene un líquido llamado endolinfa. Cuando el estribo hace que la ventana oval vibre, la vibración es transmitida a la membrana basilar, sobre la cual descansan los receptores auditivos. Esta vibración, a su vez, estimula los receptores auditivos.

El Olfato En la anatomía de la nariz se observa en primer lugar la cavidad nasal, un espacio vacío que se encuentra por detrás de cada narina. El aire, que contiene los olores, llega a la cavidad nasal a través de dos vías: proveniente de la inhalación o de la garganta –cuando masticamos, bebemos o respiramos por la boca–. En la parte superior de la cavidad nasal se encuentra el epitelio olfatorio, en cuya superficie se encuentran los receptores que captan el olores. En el olfato y el gusto, a diferencia de los otros órganos de los sentidos, los receptores están en contacto directo con el estímulo. Las células receptoras del olfato son sustituibles (lo que no ocurre en los demás) y cada una funciona cerca de ocho semanas y luego se le reemplaza. El estímulo potencial para el sistema olfativo tiene que ser una sustancia volátil –aunque esta no es una condición indispensable– o fácilmente vaporizable. Por tanto, los sólidos y los líquidos deben pasar a un estado gaseoso. Las sustancias potencialmente olorosas tienen que ser potencialmente solubles en el agua y en la grasa (lípidos), a fin de penetrar en la película acuosa y en la capa lipoide que cubre a los receptores olfatorios. Los olores y el comportamiento humano Los investigadores están especialmente interesados en unas sustancias llamadas feromonas, las cuales actúan como señales químicas en la comunicación con otros miembros de la misma especie; son excretadas por la orina y diversas glándulas sudoríparas. Aún no está claro si las feromonas existen en los humanos; se sabe que la sensibilidad a los olores en los hombres es inferior a la de las mujeres y que las feromonas pueden estar relacionadas con los ciclos menstruales de éstas. Los efectos de diversas esencias sobre el comportamiento humano pueden no ser tan directos como los encontrados en animales inferiores, pero algunas investigaciones recientes sugieren que las esencias pueden tener cierto impacto sobre la percepción de la gente en situaciones sociales (Baron, 1988). El Gusto El gusto se refiere sólo a las percepciones que resultan del contacto de sustancias con los receptores especiales en la boca. En psicología, el gusto se refiere a una porción muy, limitada de las percepciones involucradas en el uso cotidiano de la palabra gusto. El receptor primario para los estímulos del gusto recibe el nombre de corpúsculo gustativo. Se localizan por toda la boca –mejillas, paladar y garganta–, principalmente en la lengua. Los corpúsculos gustativos se localizan en forma de pequeñas protuberancias sobre la lengua y son consideradas como papilas. Las puntas de los receptores llegan hasta el orificio de apertura y pueden tocar cualquier molécula de gusto que se encuentre en la saliva que fluye dentro de la fosa. Las puntas de los receptores del gusto son microvellosidades, y la apertura del corpúsculo gustativo es el poro gustativo. El promedio de vida de las células de los corpúsculos gustativos es de sólo unos diez días.

Las investigaciones no han sido contundentes al identificar las diferencias y características quimiosensitivas de las células receptoras porque se ha descubierto que algunas papilas responden a dos, tres e incluso cuatro sabores, sin que pueda argumentarse que existe una especialización marcada. El Tacto Es el equipo sensorial más grande que tiene el ser humano. Los sentidos de la piel informan si un objeto sofocante cubre la cara, protegen del daño cuando se siente dolor; además, defienden de temperaturas extremadamente elevadas o bajas. Otros sentidos relacionados como son el cinestésico y el vestibular, indican si se está de pie erguido o inclinado, en dónde se encuentran las partes del cuerpo y en qué relación. El tipo de piel delgada, es la que cubre gran parte del cuerpo y contiene pelos, notables o invisibles. Otra clase, llamada piel gruesa, se encuentra en las plantas de los pies, las palmas de las manos, y en las superficies lisas de los dedos; carece de folículos pilosos. La piel gruesa es parecida a la delgada, salvo que su superficie es más gruesa y tiene una mezcla de receptores, complejidad que probablemente se relaciona con la destinación exploratoria de las partes donde está presente. La piel se divide en tres partes: la epidermis, o capa externa, que tiene muchas capas de células de la piel que se descaman y mueren; la dermis, que es la capa que reemplaza con células nuevas a las que se descaman. Estas células nuevas se mueven hacia la superficie y toman el lugar de las células epidérmicas conforme estas se eliminan. Bajo la dermis se encuentra el tejido subcutáneo, que contiene tejido conectivo y grasa. La piel también contiene una gran cantidad de venas, arterias, glándulas sudoríparas, folículos pilosos y receptores. Nuestro sentido del tacto surge de la estimulación de diferentes tipos de receptores: Meissner –responsable del tacto como tal, caricias y toques suaves–; Paccini –sensación de presión–; Krausse –sensación de frío–; Ruffini –sensación de calor–; Terminales libres – información de dolor–. 35. La Sensación Transducción La transducción se entiende como cualquier operación que transforma magnitudes de determinado tipo en otras distintas, proporcionales a las anteriores. En el caso de los sistemas sensoriales, la transducción se lleva a cabo a través de una serie de pasos mecánicos, como en el caso del oído, del tacto y de los sistemas musculares y cinestésicos. Por otra parte, en la visión, intervienen procesos fotoquímicos entre el contacto del receptor con el estímulo y la generación de los impulsos. En la visión, el proceso completo de transducción va desde la absorción de la energía lumínica por las sustancias fotoquímicas contenidas en los receptores, hasta la emisión de los impulsos eléctricos. Los procesos de transducción en los receptores sensibles a la energía mecánica que están situados en la piel, en las coyunturas, en los músculos y en los oídos, implican la conversión de la distorsión o del movimiento de los receptores, en energía eléctrica. Las ondas

sonoras turban el fluido endolinfático del oído interno. La onda al atravesar la endolinfa hace que las células pilosas se inclinen o vibren y de ese modo provoquen cargas eléctricas en las fibras que van de la célula al nervio auditivo. El caso de la lengua y el olfato es aún más complejo y aún persisten algunas lagunas sobre la secuencia de su funcionamiento. En el caso del sentido del olfato, recientemente se ha sugerido que el tamaño, forma y carga eléctrica de las moléculas gaseosas que se introducen en la cavidad nasal son de importancia fundamental en la transducción de la energía. En el ejemplo siguiente se presenta un resumen de los principales receptores y el tipo de información que transducen. 36. Leyes de agrupación de estímulos Dan razón de porqué se impone la "buena figura" sobre otras configuraciones. Son: 1. Ley de proximidad ¿Por qué vemos dos grupos y no doce puntos? Objetos próximos entre sí tienden a ser integrados en una misma figura.

2. Ley de semejanza ¿Por qué vemos columnas verticales y no líneas horizontales? Objetos similares o parecidos suelen ser integrados en una misma figura.

3. Ley de contraste ¿Por qué el cuadrado entre círculos se constituye en figura y el resto en fondo? Objetos diferentes en medio de objetos semejantes se suelen destacar como figura quedando los otros como fondo. 4. Ley de clausura, totalidad o cierre ¿Por qué tendemos a agrupar en líneas de (casi) cuadrados y círculos? (Y no las juntamos al revés) Es la tendencia a "cerrar", completar la figura que aparece incompleta y prestarle una organización estable.

5. Ley de continuidad ¿Por qué vemos los puntos formando un arco? Objetos que aparecen en una sucesión de continuidad tienden a ser integrados en una misma figura.

Los ejemplos pertenecen al campo visual pero ocurre igual con el resto de los órganos sensoriales. Tipos de receptores de acuerdo a la clase de estímulo que transducen Tipo de receptor

Estímulos efectivos

Tacto, presión, gravedad, ondas, movimiento y posición del cuerpo, detección de la contracción muscular, alargamiento del Mecanorreceptores tendón, detección de movimiento de ligamentos, ondas de presión – sonido–, aceleración angular. Quimiorreceptores

Receptores táctiles, propiorreceptores, huso muscular, órganos de Golgi de los tendones, receptores articulares, laberinto del oído, canales semicirculares, caracol.

Compuestos químicos específicos.

Papilas gustativas, epitelio olfatorio.

Calor.

Terminales nerviosas y receptores de la piel (corpúsculos de Ruffini y Krausse)

Retina (conos y bastones)

Energía lumínica.

Termorreceptores Fotorreceptores

Ejemplos

37. Umbrales sensoriales Umbrales absolutos Son los valores de magnitud mínima del estímulo, que son necesarios para su detección. Si la magnitud del estímulo es demasiado débil, no produce una respuesta de detección, se dice que la magnitud del estímulo es subumbral o sublimal; al contrario, los que superan el umbral, se denominan supraumbrales o supraliminales.

Valores aproximados de umbral de detección Modalidad sensorial

Umbral de detección

Luz

La llama de una vela vista a 48 kilómetros en una noche oscura y sin nubes.

Sonido

El tictac de un reloj de mesa en condiciones de silencio a siete metros.

Gusto

5 ml. de azúcar en 7.6 litros de agua.

Olfato

Una gota de perfume difundida en todo el volumen de un apartamento de tres habitaciones.

Tacto

El ala de una abeja que cae sobre su mejilla desde una distancia de un centímetro. 38. Umbral diferencial

El umbral diferencial o limen de diferencia, es la medida de la diferencia mínima entre dos estímulos que es posible detectar. A igual que en el umbral absoluto, el umbral diferencial es un concepto estadístico de validez cuestionable en cierto grado. La medida psicológica relacionada con el umbral de diferencial, es la medida de la estimulación de que la magnitud de dos estímulos es perceptualmente igual: se le llama punto de igualdad subjetiva (PIS). Percepción subliminal. Se trata de la percepción de mensajes de los cuales no se es consciente. Muchos estudios demuestran que si se nos expone a estímulos o mensajes de tan corta duración que no los podemos captar conscientemente, estos pueden afectar nuestros pensamientos o emociones. Por ejemplo, dibujos o fotografías de escenas desagradables expuestas a altas velocidades provocan sensación de ansiedad. Los ejemplos de estímulos subliminales que se emplean en publicidad son numerosos. Los anuncios que utilizan en mayor medida estos estímulos son los de bebidas alcohólicas y tabaco. Los estímulos más usuales consisten en palabras o dibujos que aluden a asuntos sexuales o de muerte normalmente escondidos en el anuncio. Los mensajes subliminales de contenido sexual acostumbran a incluir, con frecuencia, órganos sexuales y circunstancias prohibidas como la infidelidad y la promiscuidad. Los estímulos relacionados con la muerte suelen ser máscaras, espectros, fantasmas, cabezas degolladas y miembros amputados. La explicación que los psicoanalistas suelen dar ante la utilización de estos estímulos es que el alcohólico o el fumador bebe o fuma, como efecto de frustraciones o fracasos no superados, buscando acelerar su autodestrucción. Existen hasta ahora, infinidad de aplicaciones de los mensajes subliminales, más allá de la publicidad. El cine los ha utilizado –en películas como "El Exorcista" se comprobó que se usaban para desencadenar agudas respuestas emocionales en los espectadores–, la publicidad política, la evitación de robos en supermercados –a través de música ambiental con mensajes de "no robes", "si robas irás a la cárcel", etc.–, para atrapar criminales a través de mensajes subliminales en prensa y radio –alertando a los ciudadanos–, y una de las aplicaciones más abiertas y comercializadas es a través de los mensajes

subliminales terapéuticos, con invitaciones positivas de autoayuda y superación. 39. Adaptación sensorial Es una acomodación en la capacidad sensorial subsecuente a una exposición prolongada a un estímulo o serie de estímulos. Los términos adaptación perceptiva sensorial y pos–efecto perceptivo se refieren a procedimientos diferentes para poner de manifiesto el proceso. Se dice que hay adaptación, cuando los juicios sobre un estímulo particular cambian en el tiempo; el pos–efecto se refiere a los cambios que sufre el juicio sobre un estímulo, como efecto del contacto del observador con un estímulo inmediatamente antes del juicio. 40. Atención selectiva La atención se entiende como la concentración de la actividad mental. En el ámbito de la percepción, la atención se enfatiza en el enfoque de integración de las características, desarrollado por Anne Treisman y sus colaboradores (1986). La primera etapa de este modelo, del procesamiento previo a la atención, incluye el registro automático de las características, utilizando un procesamiento paralelo –aquel que permite que todos los objetivos sean procesados simultáneamente– por campo visual. La segunda etapa, la atención enfocada, incluye la identificación de objetos por medio del procesamiento seriado –procesamiento de los objetivos, uno por uno–. La teoría de integración de características sugiere que cuando la atención está sobrecargada o distraída, las características pueden combinarse de manera no apropiada en la percepción; a una combinación inapropiada se le denomina conjunción ilusoria. Cuando las circunstancias nos impiden mirar un objeto con atención, mezclamos las características haciendo un intento por percibir el objeto. 41. La Percepción Principios gestálticos de organización Organización perceptual La teoría de la Gestalt postula que percibimos los objetos como un "todo" bien organizado, más que como partes separadas y asiladas. No vemos pequeños fragmentos desarreglados al abrir nuestros ojos para ver el mundo. Vemos grandes regiones con formas y patrones bien definidos. El "todo" que vemos es algo más estructurado y coherente que un grupo de fragmentos aislados; la forma es más que la simple unión de los fragmentos –se asume como el principio de la sinergia en la Teoría General de los Sistemas, que postula que el "todo" es mayor que la suma de sus partes y que las partes individualmente no explican la conducta del "todo" o sistema–. Los tres psicólogos que más se asocian con la teoría de la Gestalt son: Max Wertheimer (1923), Kurt Koffka (1935) y Wolfang Köhler (1947). Éstos

investigaron tres áreas: las leyes de agrupación, la "bondad" de las figuras – Ley de Prägnanz– y las relaciones entre figura y fondo. No obstante ciertas limitaciones en la teoría, sus planteamientos siguen teniendo vigencia en la explicación de la percepción de las formas. Relación figura–fondo Las partes de un diseño se organizan con respecto a una figura y sobre un fondo. Cuando dos áreas comparten un límite común, la figura es la forma distintiva con bordes claramente definidos. El fondo es lo que sobra, lo que está por detrás. Edgar Rubin (1915 – 1958), psicólogo danés, fue uno de los primeros en intentar poner en claro lo que constituye la figura, en oposición al fondo. Llegó a cuatro conclusiones acerca de la figura y el fondo: El fondo parece continuar detrás de la figura. La figura parece que está más cercana a nosotros, con la localización clara en el espacio. Por el contrario, el fondo se encuentra más alejado y no tiene una localización bien definida, simplemente está en algún sitio en la parte posterior. La figura es dominante y nos impresiona más que el fondo; se recuerda mejor y se asocia con un mayor número de formas. Según Rubin, la figura parece dominar el estado de conciencia. Por otro laso, el fondo parece formar parte del espacio general. 42. Leyes de agrupación Dentro de la perspectiva gestáltica, estas leyes constituyen un intento por identificar las claves más relevantes de la visión de objetos en conjuntos: Ley de la similitud: determina que los objetos similares tienden a ser percibidos como una unidad. Ley de la proximidad: establece que los objetos contiguos tienden a ser vistos como una unidad. Ley de las regiones comunes o del destino común: cuando los objetos se mueven en la misma dirección, los vemos como una unidad. Ley de la buena continuación: postula que los objetos que se encuentran arreglados en una línea recta o una curva tienden a ser vistos como una unidad. Ley del cierre: establece que cuando una figura tiene una hendidura, nos inclinamos a verla como una figura completa y cerrada. Ley de la simplicidad: cuando se observa un patrón, se percibe de la forma más básica y directa que nos es posible. Constancias perceptuales Una constancia perceptual ocurre cuando percibimos un estímulo distal como permanente en esencia, a pesar de los cambios en el estímulo proximal – retiniano–.

Constancia de tamaño Esta constancia significa que un objeto parece siempre del mismo tamaño a pesar de los cambios en su tamaño retiniano. El tamaño proximal de un objeto puede encogerse y expandirse, mientras que su tamaño distal parece que sigue siendo el mismo. El tamaño de la imagen de un objeto sobre la retina puede sufrir cambios considerables con la variación de la distancia a que se halla el objeto del observador, pero los cambios en el tamaño pasan inadvertidos en condiciones de observación normal. Un factor importante respecto del tamaño percibido de un objeto, en condiciones de observación normal, es que éste no depende en exclusiva del tamaño de la imagen que proyecta sobre la retina. A lo largo de una significativa variedad de distancias, el tamaño percibido es un tanto independiente del tamaño retinal. El hecho de que el tamaño percibido no varíe con el tamaño retinal se debe a la operación de la constancia de tamaño. Constancia de forma Esta significa que un objeto parece conservar la misma forma a pesar de los cambios en su orientación. En realidad, la forma proximal de un objeto es la misma que la distal, sólo si el objeto está exactamente perpendicular a la línea de visión. En todos los demás casos, la forma proximal está distorsionada. La memoria de la forma de un objeto parece estar implicada en la constancia (Hochberg, 1971). Debido a que sabemos que por ejemplo un disco compacto es redondo, aun cuando se vea con cierta inclinación que podría estar produciendo una elipse sobre la retina. También se admite que la constancia de forma se puede deber a un fenómeno parecido al razonamiento en el que tanto la forma como la profundidad del objeto se combinan, y así, cuando un disco compacto está inclinado y lejos del observador, éste infiere que su forma verdadera no ha cambiado. 43. Ilusiones Ilusiones de tamaño Existen varias ilusiones que involucran longitud o distancias. Entre ellas se cuentan la de Müller–Lyer, en la que dos líneas horizontales tienen la misma longitud, pero en apariencia una se percibe más larga que la otra. Otras ilusiones de la longitud de la línea son el paralelogramo de Sander y la llamada ilusión horizontal–vertical, la ilusión de Ponzo y la ilusión del espacio ocupado y abierto. De acuerdo con la teoría de la constancia mal aplicada, los observadores interpretan ciertos indicios en la ilusión como claves para mantener la constancia de tamaño. Por ende, hacen juicios de longitud basándose en la constancia de tamaño, y en una línea que se ve más alejada será juzgada como más larga. Ésta teoría argumenta que la gente es sensible a los indicios de distancia en las ilusiones, porque ha tenido experiencias como las de líneas que convergen. Entonces, de acuerdo a este punto de vista, la experiencia es un factor crucial, y quienes tienen menos experiencia deberían ser menos engañados por la ilusión.

Ilusiones de área y forma Anteriormente se han considerado las ilusiones que implican la distancia lineal o la distancia entre dos puntos, es decir, una única dimensión. Otro tipo de ilusiones implican el área o dos dimensiones y dependen en gran medida del contexto que las envuelve. Como en el caso de las ilusiones de distancia, la presencia de elementos inductores incide en una mala percepción. Algunos ejemplos de este tipo de ilusiones son la de la habitación de Ames, la ilusión del margen que se puede apreciar en la hoja en la que está escrito este texto; probablemente el lector pensará que la margen representa una pequeña parte del área de la página, pero en realidad constituye algo así como un tercio ésta. Otra ilusión de gran importancia es la de la Luna, que demuestra la necesidad de poseer información de distancia para percibir el tamaño de un objeto y las serias limitaciones que tiene el sistema perceptual para dimensionar la lejanía de un objeto celeste por la dificultad para relacionar esa información de distancia, que en realidad no existe en nuestro esquema perceptivo. 44. Patrón Prototipos y plantillas Antes de comenzar a explicar el funcionamiento de los esquemas de prototipos y plantillas, vale la pena diferenciar estas dos categorías: Prototipos: representaciones almacenadas en la memoria de diversos objetos o estímulos del entorno. Plantilla: patrones específicos almacenados en la memoria para diversos estímulos visuales que encontramos. En primera instancia, de acuerdo a la teoría de la igualación de plantillas, tenemos varias plantillas o patrones específicos, almacenados en la memoria. Por ejemplo, al observar una letra resolvemos si se asemeja a una de nuestras plantillas. Si ocurre, reconocemos la letra; si no, buscamos otra. La idea de que cada patrón encaja en un molde tiene algo de lógico, pero funcionalmente es inflexible y desventajosa porque necesitaríamos memorizar todas las variantes de la misma categoría de un estímulo, lo que haría el proceso más lento y por ende, más ineficiente. En contraposición aparece la teoría de la igualación del prototipo, la cual propone que almacenamos patrones abstractos, en la memoria. Cuando vemos un objeto en particular, lo comparamos con un prototipo, o esquema ideal. Si se asemeja al prototipo, reconocemos el patrón. De no ocurrir, lo comparamos con otros prototipos hasta que encontremos uno con el que concuerde. Este es un punto de vista muy flexible porque el prototipo es un patrón general, inespecífico y en consecuencia, modificable. El empleo de ejemplos previos de variantes de un mismo estímulo facilita la tarea de reconocimiento. De ahí que cuando pequeños se nos enseñe la forma más simple del estímulo y en la medida que avanzamos en nuestro proceso de aprendizaje, logramos distinguir las demás alternativas que se nos presenten, casi sin ser conscientes de ello.

Aproximaciones a la percepción de formas y patrones Se distinguen dos modos de procesamiento de la información: uno de arriba abajo–arriba, dirigido por la información; y de arriba–abajo, dirigido por conceptos. Los procesos de abajo–arriba dependen de la llegada de información de los receptores sensoriales; se reconocen las características de bajo nivel, simples, y la combinación de estas características permite reconocer formas completas, más complejas. En los procesos de arriba–abajo, gracias al conocimiento que tenemos del mundo, reconocemos formas complejas. El contexto, las expectativas, el conocimiento y la memoria orientan el proceso de conocimiento. El reconocimiento del todo permite identificar los elementos más simples que se encuentran presentes. 45. Percepción de la distancia Claves monoculares La mayoría de las fuentes de información de distancia son monoculares. Los factores monoculares requieren de un solo ojo para proporcionar la información de la distancia. Algunas de ellas –no requieren de movimientos del objeto ni del observador– son: Claves de altura: –o de elevación–, se refieren a la observación de que los objetos que se encuentran cerca del horizonte parece que están más alejados de nosotros que los objetos que están lejos. Por ejemplo, si se observa la siguiente figura, se notará que el cuerpo que aparece más cerca del horizonte es el que se percibe como más lejano. Claves de tamaño: se refieren a la influencia del tamaño de un objeto sobre el cálculo de la distancia. Si dos objetos similares se presentan juntos, el objeto que ocupa más espacio sobre la retina es juzgado como más cercano. Gradiente de textura: se refiere al hecho de que la textura de las superficies se hace más densa conforme aumenta la distancia, si los estamos viendo con cierta inclinación. Perspectiva atmosférica: –o aérea– designa la observación de que los objetos distantes suelen aparecer borrosos y azulados, a diferencia de los cercanos. Esto se debe a que el aire entre el observador y el objeto no es del todo claro. Empleamos la perspectiva atmosférica como una escala informal para juzgar la distancia de lugares alejados, además, adquirimos la escala propia de la región donde vivimos. La gente que vive en áreas húmedas y quienes viven en ciudades con atmósferas contaminadas, desarrollan una escala que no funciona en las zonas montañosas y despejadas, por ejemplo. Claves Binoculares Dos factores binoculares contribuyen a la percepción de la profundidad de objetos cercanos: la convergencia y la desigualdad binocular. Convergencia: los ojos convergen o se juntan para ver objetos cercanos. La información de convergencia no es útil para juzgar objetos distantes; por ejemplo, el grado de convergencia no varía notoriamente si se observa un

objeto a ocho kilómetros de distancia y luego se pasa a mirar uno que se encuentra a siete, por el contrario, el grado de convergencia se altera notoriamente si se mira un objeto a ocho kilómetros y luego se mira uno que está a quince centímetros. La convergencia puede, en ocasiones, servir como un indicio de profundidad, siempre que no haya otras claves más precisas para lograrlo. Disparidad binocular o retiniana: es el segundo factor de profundidad que utiliza información de ambos ojos. Los ojos tienen en promedio una separación de siete centímetros que garantiza que tendrán una visión levemente diferente de los objetos cercanos que se encuentran a distancias diferentes. Este es el fenómeno de la disparidad binocular. Su importancia radica en el hecho de que proporciona la información necesaria para juzgar la profundidad binocularmente –esteropsia–. De cualquier modo cabe hacer una salvedad en la disparidad binocular: si las imágenes son muy diferentes, no pueden fusionarse en una sola, lo que se conoce como rivalidad binocular, lo que conduce a que la imagen de un ojo se suprima parcialmente y la otra se perciba por completo. 46. Percepción ¿aprendida o heredada? Diversas investigaciones han demostrado que algunos factores básicos de la percepción son biológicos y en la mayoría de los casos cumplen funciones adaptativas. Otros estudios han demostrado que la percepción es el resultado, en gran medida, de la ampliación y/o readaptación de las capacidades perceptivas innatas. No obstante, son más los estudios que han arrojado datos ambiguos y poco representativos. La percepción presenta una evidente flexibilidad, dado que puede ser modificada por nuestra experiencia. En este sentido juegan un papel muy importante los criterios de aprendizaje discriminativo –condicionamiento clásico y operante–. Por ejemplo, la sensación que tenemos de un perfume es la misma, siempre y cuando, nuestro olfato opere uniformemente, es decir, que no sufra alteraciones funcionales de alguna consideración. Pero si ese perfume se asocia a situaciones o impresiones particulares, con una importante carga emocional o cognitiva, es probable que adquiera otro significado en términos de la percepción que se tenga del mismo. En conclusión, y a esta altura de la discusión, lo único que se puede decir es que tanto la herencia como el ambiente–aprendizaje, juegan papeles determinantes en la forma como percibimos el "todo" que nos rodea. Lo que sigue en adelante es considerar la medida en que dichas influencias operan para jugar con nuestra capacidad de juicio sobre los estímulos que procesamos. 47. Percepción extrasensorial La percepción extrasensorial (ó PES) se entiende como el tipo de percepción que no requiere de los sentidos ordinarios. Consiste en varios tipos de fenómenos de transferencia de energía e información que no es explicable a través de mecanismos físicos o biológicos conocidos. Entre estos fenómenos se cuentan: Telepatía: "lectura" de mente a mente, conocida también como transmisión de pensamiento.

Clarividencia: visión de cosas ocultas o lejanas en el espacio y que no estimulan directamente los órganos sensoriales. Precognición: conocimiento anticipado de la ocurrencia de un hecho en el futuro; si se refiere a pueblos enteros o a conglomerados de personas, se llama profecía. Psicocinesis: capacidad de la mente para influir sobre la materia, esto es, sin valerse de ninguna clase de artilugio físico conocido para llevar a cabo alguna transformación en un objeto –doblar cucharas, levitación, arrastrar objetos con el pensamiento, etc.– Son varias las limitaciones en torno la discusión de si existe o no la PES, y el fenómeno ha aportado conclusiones contundentes como para asegurar que sea verdad. Por un lado, persisten las limitaciones de verificabilidad y replicabilidad en las investigaciones; no siempre las pruebas ofrecen los mismos resultados, y es difícil repetir o verificar los factores en condiciones cambiantes. A esto se suma el hecho de que las explicaciones se limitan a eventualidades bioquímicas que no explican la ocurrencia de estos fenómenos y a las creencias de los investigadores que pueden llegar a sesgar los estudios. No obstante, nuestro conocimiento del mundo es aún limitado y poco a poco se progresa en la formulación de nuevas teorías físicas que amplían nuestra consideración de la realidad. Aunque los psicólogos son escépticos frente este tipo de fenómenos; tal vez, sin saberlo, nuestra habilidad mental que permanece oculta, evoluciona conforme lo hace nuestro cerebro y quién sabe, tal vez alguna vez podamos trascender a las limitaciones del tiempo y el espacio a través de nuestro pensamiento… sentados en una cómoda silla de nuestra casa… Y con esta apacible situación, iniciamos el proceso para llegar a la sonorización que propone la Cromofonía. 48. Tiempo El tiempo es la magnitud física que mide la duración o separación de las cosas sujetas a cambio, de los sistemas sujetos a observación. Al ser una magnitud, para medirla es necesario utilizar una unidad de la misma magnitud. Para medir tiempos se necesitan dos cosas: 

Una unidad de medida.



Un mecanismo que por un movimiento regular reproduzca dicha unidad de medida.

El mecanismo que se utiliza es el reloj y la unidad principal de tiempo es el segundo. Un segundo se escribe 1 s. Segundo

Según la definición del Sistema Internacional de Unidades, un segundo es igual a 9.192.631.770 períodos de radiación correspondiente a la transición entre los

dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio (133Cs). 1 día = 24 horas, es el tiempo que tarda la Tierra en dar la vuelta completa alrededor de su eje.[traslación] La Tierra tarda 365 días y 6 horas aproximadamente en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Por ello, se acordó medir: 1 año = 365 días y cada cuatro años se agrega un día - 1 año bisiesto = 366 días Unidades más usuales 

1 minuto = 60 segundos (1 min = 60 s)  1 hora = 60 minutos (1 h = 60 min)  1 día = 24 horas  1 año normal = 365 días  1 año bisiesto = 366 días  1 lustro = 5 años  1 década = 10 años  1 siglo = 100 años  1 milenio = 1.000 años Unidades menores de un segundo El decisegundo

Es la unidad de tiempo que equivale a la décima de un segundo. Se abrevia ds. 1 ds = 0,1 s = 1x10-1 s Los cronómetros comunes miden los decisegundos. El centisegundo

Es la unidad de tiempo que equivale a una centésima de segundo. Se abrevia cs. (1x10-2 s). Los cronómetros comunes pueden medir los centisegundos transcurridos. El milisegundo

Es la unidad de tiempo que corresponde a la milésima fracción de un segundo (0,001s o 1x10-3). Su simbología, al igual que otras milésimas partes de distintas magnitudes como pudieran ser la masa o la longitud, viene especificada mediante una "m" minúscula antepuesta a la magnitud fundamental, que en el caso del segundo es una letra "s", resultando: 1 ms = 0.001 segundo = 1 milisegundo El microsegundo

Es la unidad de tiempo que equivale a la millonésima parte de un segundo. Un microsegundo = 0.000001 s o 10-6 s

El nanosegundo

Es la unidad de tiempo que equivale a la mil millonésima parte de un segundo, 10-9. Este tiempo tan corto no se usa en la vida diaria, pero es de interés en ciertas áreas de la física, la química y en la electrónica. Así, un nanosegundo es la duración de un ciclo de reloj de un procesador de 1 GHz, y es también el tiempo que tarda la luz en recorrer aproximadamente 30 cm. El picosegundo

Es la unidad de tiempo que equivale a la billonésima parte de un segundo, y se abrevia ps. 1 ps = 1x10-12 s El femtosegundo

Es la unidad de tiempo que equivale a la mil billonésima parte de un segundo. Esta fracción de tiempo fue la más pequeña medida hasta el 2004. Se abrevia fs. 1 fs = 1x10-15 s El attosegundo

De atto, es una unidad de tiempo equivalente a la trillonésima parte de un segundo y se abrevia as. 1 as = 10-18 s 49. Frecuencia Infrasonido Un infrasonido es una onda acústica o sonora cuya frecuencia está por debajo del espectro audible del oído humano (aproximadamente 20 Hz). Este es utilizado por animales para comunicarse entre sí. Un claro ejemplo es el elefante, que utiliza el infrasonido para comunicarse a grandes distancias (sonidos de 100 dB SPL [Nivel de Presión de Sonido] a unos pocos kilómetros a la redonda) sin problema alguno. La clave de que estos animales puedan oír a dichas distancias es la separación de sus oídos, ya que esta es directamente proporcional a la frecuencia de onda que pueden captar (en diferencia con los animales de cabezas pequeñas). Recientemente, se ha demostrado que los elefantes registran el infrasonido no sólo con sus oídos, sino también al sentir las vibraciones producidas por ellos mismos mediante sus patas, ya que sus uñas actúan como sensores conductores de sonidos de baja frecuencia. La principal aplicación de los infrasonidos es la detección de objetos. Esto se hace debido a la escasa absorción de estas ondas en el medio, a diferencia de los ultrasonidos. Por ejemplo una onda plana de 10 Hz se absorbe cuatro veces menos que una onda de 1000 Hz en el agua. El inconveniente es que los objetos a detectar deben ser bastante grandes ya que, a tales frecuencias, la longitud de la onda es muy grande lo cual limita el mínimo diámetro del objeto. Como ejemplo diremos que un infrasonido de 10 Hz tiene una longitud de onda de 34 m en el aire, luego los objetos a detectar deben tener un tamaño del orden de 20 m en el aire y 100 m en el agua. Por su parte depredadores como los tigres utilizarían estas frecuencias presentes en sus rugidos como un complemento de sus tácticas de caza, no

para ubicar a sus posibles presas sino por el efecto paralizante que puede llegar a tener el infrasonido. Curiosos fenómenos ligados a los infrasonidos Los infrasonidos pueden alcanzar largas distancias atravesando obstáculos sólidos. Pueden ser oídos por algunos animales con el oído adaptado a percibir frecuencias distintas a las del humano. Por ejemplo, los elefantes pueden oír 15 Hz a 2 Km. de distancia, también tigres y ballenas usarían infrasonidos para comunicarse. Los infrasonidos también son producidos por el ser humano, como el corazón, que produce infrasonidos en torno a los 20 Hz. El infrasonido es utilizado por animales grandes como el elefante para comunicarse en amplias distancias (sonidos de 100 dB SPL [Nivel de Presión Sonora] a unos pocos kilómetros a la redonda) sin problema alguno. La clave de que estos animales puedan oír a dichas distancias es la separación de sus oídos, ya que ésta es directamente proporcional a la frecuencia de onda que pueden captar (en diferencia con los animales de cabezas pequeñas). Recientemente, se ha demostrado que los elefantes registran el infrasonido no sólo con sus oídos, sino también al sentir las vibraciones producidas por ellos mismos mediante sus patas, ya que sus uñas actúan como sensores conductores de sonidos de baja frecuencia. Los desastres naturales como erupciones volcánicas, terremotos y tornados producen sonidos de una intensidad comparable con el sonido que hace una bomba atómica en su explosión, con la diferencia de que, al estar por debajo de los 20 Hz, no son audibles al oído humano, lo que ha permitido iniciar investigaciones vulcanológicas y meteorológicas para evitar futuros desastres. La principal aplicación de los infrasonidos es la detección de objetos. Esto se hace debido a la escasa absorción de estas ondas en el medio, a diferencia de los ultrasonidos, como veremos. Por ejemplo una onda plana de 10 Hz se absorbe cuatro veces menos que una onda de 1000 Hz en el agua. El inconveniente es que los objetos a detectar deben ser bastante grandes ya que, a tales frecuencias, la longitud de la onda es muy grande lo cual limita el mínimo diámetro del objeto. Como ejemplo diremos que un infrasonido de 10 Hz tiene una longitud de onda de 34 m en el aire, luego los objetos a detectar deben tener un tamaño mínimo del orden de 20 m en el aire y 100 m en el agua. Por su parte depredadores como los tigres utilizarían estas frecuencias presentes en sus rugidos como un complemento de sus tácticas de caza, no para ubicar a sus posibles presas sino por el efecto paralizante que puede llegar a tener el infrasonido. Los infrasonidos pueden alcanzar largas distancias atravesando obstáculos sólidos. Pueden ser oídos por algunos animales con el oído adaptado a percibir frecuencias distintas a las del humano. Por ejemplo, los elefantes pueden oír 15 Hz a 2 km de distancia, también tigres y ballenas usarían infrasonidos para comunicarse. Los infrasonidos son también normalmente producidos por el cuerpo humano, por ejemplo los músculos al resbalar unos sobre otros para permitir movimientos pueden producir infrasonidos de 25 Hz, el corazón produce infrasonidos en torno a los 20 Hz, incluso las orejas provocan infrasonidos (emisión otoacústica espontánea).

Se considera que los infrasonidos aunque no son conscientemente perceptibles pueden provocar estados de ansiedad, tristeza, temblores en ocasiones por imperceptibles desplazamientos de aire.2 Por ejemplo, ondas de elevado volumen pero comprendidas entre los 0,5 y 10 Hz, son suficientes para hacer vibrar al vestíbulo (parte del laberinto auricular, en el oído interno). Los infrasonidos producidos por motores como los de ciertos acondicionadores de aire o aviones de reacción pueden provocar vértigos, náuseas y cefaleas al ser afectado el laberinto auricular. Características de los infrasonidos: Emisión en forma de ondas esféricas. Son difíciles de concentrar. Menor absorción que a altas frecuencias, aunque ésta dependerá de la temperatura del gas en el que viajan, el peso molecular del mismo y la dirección del viento. Los emisores existentes suelen ser de mala calidad. Debido a una menor atenuación, los infrasonidos pueden llegar más lejos que las demás ondas. Esto es utilizado para la detección de grandes objetos a grandes distancias como montañas o el fondo marino. Ultrasonido Los ultrasonidos son aquellas ondas sonoras cuya frecuencia es superior al margen de audición humano, es decir, 20 Khz. aproximadamente. Las frecuencias utilizadas en la práctica pueden llegar, incluso, a los giga hertzios. En cuanto a las longitudes de onda, éstas son del orden de centímetros para frecuencias bajas y del orden de micras para altas frecuencias. Algunos animales como los delfines y los murciélagos lo utilizan de forma parecida al radar en su orientación. A este fenómeno se lo conoce como ecolocalización. Se trata de que las ondas emitidas por estos animales son tan altas que "rebotan" fácilmente en todos los objetos alrededor de ellos, esto hace que creen una "imagen" y se orienten en donde se encuentran. Historia de los ultrasonidos En el año 1883, Galton investigó los límites de la audición humana, fijando la frecuencia máxima a la que podía oír una persona. Llegó a la conclusión de que los sonidos con frecuencias inaudibles por el ser humano, presentaban fenómenos de propagación similares al resto de las ondas sonoras, aunque con una absorción mucho mayor por parte del aire. A partir de entonces, se empezó a investigar en temas relacionados con la generación de ultrasonidos: Los hermanos Curie descubrieron la piezoelectricidad en 1880. Fueron Lippmann y Voigt en la década de los 80 del siglo XIX quienes experimentaron con el llamado efecto piezoeléctrico inverso, aplicable realmente a la generación de ultrasonidos, como veremos. Joule en 1847 y Pierce en 1928 descubrieron el efecto magnetoestrictivo, directo e inverso.

A lo largo del siglo XX, se han producido grandes avances en el estudio de los ultrasonidos, especialmente en lo relacionado con aplicaciones. Concretamente, Langevin lo empleó durante la primera guerra mundial para sondeos subacuáticos, realizando un sencillo procesado de las ondas y sus ecos. Richardson y Fessenden, en la década de los años 10 idearon un método para localizar icebergs, con un procedimiento similar al utilizado hoy en día (método de impulsos, lo veremos). Mulhauser y Firestone, entre 1933 y 1942 aplicaron los ultrasonidos a la industria y a la inspección de materiales. Diagnóstico por imágenes con ultrasonido general en hospitales: La máquina de ultrasonido crea imágenes que permiten examinar varios órganos en el cuerpo. Esta máquina envía ondas sonoras de alta frecuencia que hacen eco en las estructuras corporales y una computadora recibe dichas ondas reflejadas y las utiliza para crear una imagen. A diferencia de los Rayos X, en este examen no se presenta ninguna exposición a la radiación ionizante. Al igual que cualquier onda, el ultrasonido sufre el fenómeno de atenuación dentro de las diferentes estructuras del cuerpo, como regla general a mayor frecuencia se logra menor penetración y a la inversa, a menor frecuencia podemos lograr mayor penetración. Las frecuencias típicas utilizadas para aplicaciones en abdomen pueden ir desde 2,0 MHz a 5,0 MHz mientras que para regiones como mama, músculoesqueléticas, tiroides, etc., las frecuencias pueden oscilar entre 8,0 MHz a 16,0 MHz. En líquidos sometidos a ultrasonidos se forman cavidades que al colapsar producen temperaturas de hasta 30.000 °C. Se ha discutido la posibilidad que en estas cavidades se podría producir la fusión fría. En el colapso también se emite luz, fenómeno conocido como sonoluminiscencia. La fusión fría es el nombre genérico dado a cualquier reacción nuclear de fusión producida a temperaturas muy inferiores a las necesarias para la producción de reacciones termonucleares (millones de grados Celsius).

A continuación una tabla de los múltiplos y submúltiplos del SI (Sistema Internacional de Unidades).

Múltiplos del Sistema Internacional para hercio (Hz)

Submúltiplos Valor

Múltiplos

Símbolo

Nombre

dHz

decihercio

10 Hz

1

daHz

decahercio

10 Hz

cHz

centihercio

10 Hz

2

hHz

hectohercio

10−3 Hz

mHz

milihercio

103 Hz

kHz

kilohercio

µHz

microhercio

10 Hz

6

MHz

megahercio

nHz

nanohercio

10 Hz

9

GHz

gigahercio

Hz

pHz

picohercio

10 Hz

12

THz

terahercio

10−15 Hz

fHz

femtohercio

1015 Hz

PHz

petahercio

10−18 Hz

aHz

attohercio

1018 Hz

EHz

exahercio

10−21 Hz

zHz

zeptohercio

1021 Hz

ZHz

zettahercio

10−24 Hz

yHz

yoctohercio

1024 Hz

YHz

yottahercio

−1

10 Hz −2

−6

10 Hz −9

10 Hz −12

10

Valor Símbolo

Nombre

Los prefijos más comunes están en negrita.

50. Potencia Intensidad es la energía media que atraviesa en la unidad de tiempo la unidad de superficie, normal a la dirección de propagación. P es la potencia mecánica. En el SI la intensidad sonora se expresa en W/m2. Para que nuestro oído perciba sonidos se requiere a una frecuencia de 1000 Hz una intensidad mínima de 10-12 W/m2. Esta intensidad se llama umbral y se toma como intensidad sonora de referencia. La intensidad sonora es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco emisor. La intensidad de referencia es y corresponde a una presión sonora de 2.10-5 Pa. El nivel de intensidad se expresa en decibelios (dB).El oído humano es sensible a un amplio intervalo de frecuencias (audiofrecuencias) e intensidades. Los estudios fisiológicos han puesto de manifiesto una relación logarítmica entre la intensidad de un sonido y la intensidad de nuestra percepción del mismo, por lo que se prefiere medir la intensidad del sonido en una escala logarítmica.

El nivel de intensidad sonora se expresa en decibelios (símbolo, dB), siendo el nivel máximo que el oído humano puede tolerar de 120 dB, que corresponden a una intensidad de 10-4 W/cm2. Decibelio Decibelio es la unidad relativa empleada en acústica y telecomunicaciones para expresar la relación entre dos magnitudes, acústicas o eléctricas, o entre la magnitud que se estudia y una magnitud de referencia. El decibelio, cuyo símbolo es dB, es una unidad logarítmica. Es un submúltiplo del belio, de símbolo B, que es el logaritmo de la relación entre la magnitud de interés y la de referencia, pero no se utiliza por ser demasiado grande en la práctica, y por eso se utiliza el decibelio, la décima parte de un belio. El belio recibió este nombre en honor de Alexander Graham Bell. Un belio equivale a 10 decibelios y representa un aumento de potencia de 10 veces sobre la magnitud de referencia. Cero belios es el valor de la magnitud de referencia. Así, dos belios representan un aumento de cien veces en la potencia, 3 belios equivalen a un aumento de mil veces y así sucesivamente. Se utiliza una escala logarítmica porque la sensibilidad que presenta el oído humano a las variaciones de intensidad sonora sigue una escala aproximadamente logarítmica, no lineal. Por ello el belio (B) y su submúltiplo el decibelio (dB), resultan adecuados para valorar la percepción de los sonidos por un oyente. Se define como la comparación o relación entre dos sonidos porque en los estudios sobre acústica fisiológica se vio que un oyente, al que se le hace escuchar un solo sonido, no puede dar una indicación fiable de su intensidad, mientras que, si se le hace escuchar dos sonidos diferentes, es capaz de distinguir la diferencia de intensidad.

Niveles Sonoros y Audición Nivel Sonoro Sonidos comunes

Efecto (dB)

Zona de despegue de cohete

180

Pérdida irreversible del

(sin protección auditiva) Operación en pista de Jet

oído 140

Sirena de ataque aéreo Trueno Despegue de un Jet (60 m)

Dolorosamente fuerte

130 120

Máximo esfuerzo vocal

110

Extremadamente fuerte

100

Muy fuerte

Bocina de auto (1 m) Martillo neumático (1 m) Concierto de rock Camión recolector Petardos Camión pesado (15 m)

Muy molesto 90

Tránsito urbano Reloj despertador (60 cm)

Daño auditivo (8 Hrs) 80

Molesto

70

Difícil uso del teléfono

60

Intrusivo

Conversación Tránsito liviano (30 m) Living o Sala de Estar

50

Calmo

Dormitorio

40

Secador de cabello Restaurante ruidoso Tránsito por autopista Oficina comercial Aire acondicionado

Oficina calma Biblioteca Susurro a 5 m Estudio radiofónico

30

Muy calmo

20 10 0

Apenas audible Umbral de audición

51. Espectro armónico, inarmónico y envolvente Timbre En una teoría simplificada del timbre musical, cada uno de los sonidos de la serie armónica es un componente del timbre o color del sonido representado

por un sonido cuya frecuencia es la del sonido fundamental. A los sonidos de la serie armónica, componentes del timbre, se les llama sonidos armónicos o simplemente armónicos. También se han denominado a veces sonidos parciales, alícuotas, acompañantes o concomitantes. Con alguna licencia, los sonidos de la serie armónica representan los elementos de la serie de Fourier que resulta al aplicar el análisis de Fourier a una forma de onda periódica. Puesto que las formas de onda de los sonidos del mundo real nunca son estrictamente periódicas, el timbre que se analiza por este método se corresponde con el concepto de timbre estático. A la lista de los armónicos (y sus intensidades relativas) que constituyen un sonido y que determinan el timbre estático de éste, se le llama "receta" del timbre. Podemos asimilar la "receta" de armónicos de un timbre musical con la lista de ingredientes de un plato de comida. Cualquier modificación en esta lista o en las proporciones de cada ingrediente, altera el "sabor", "color" o timbre del sonido. El timbre de un sonido musical representado esquemáticamente por su receta de armónicos, es una versión muy simplificada del espectro de dicho sonido. Desde el punto de vista energético, los armónicos con un índice mayor transportan más energía a igual amplitud de la vibración. El espectro del conjunto de armónicos está limitado en su frecuencia, en función de la energía total. Lo más común, pues, es que los primeros armónicos tengan mayor amplitud y que ésta vaya disminuyendo progresivamente a lo largo de la serie, hasta extinguirse. Sin embargo, al excitar un cuerpo sonoro con una energía mayor, el sonido será más rico en armónicos agudos, sobre todo en el momento del ataque y durante poco tiempo. Esto se cumple en las cuerdas frotadas, pulsadas o percutidas, y en los tubos, tanto de bisel como de lengüeta o boquilla: cuando aumenta la intensidad del ataque, el timbre es más claro y brillante. La contribución de cada armónico al timbre del sonido, en su lugar correspondiente dentro de la "mezcla", es el que sigue: El sonido fundamental proporciona por sí solo la misma sensación de altura que el fundamental con todos sus armónicos; decimos que la frecuencia del sonido que se oye es igual a la del sonido fundamental. Debido al fenómeno de la "fundamental fantasma" que tiene su explicación en el carácter no lineal del oído humano, el sonido fundamental no es imprescindible para percibir el conjunto como un sonido con la misma altura, siempre y cuando existan o suenen el resto de los sonidos de la serie. El oído "reconstruye" el sonido que falta como si dedujese este resultado de una ecuación cuya única solución posible es esta fundamental.

Los sonidos números 2, 4, 8 y todos los que forman una relación igual a una potencia de 2 con la fundamental, refuerzan el carácter inequívoco de la sensación de altura del conjunto. Los sonidos 3, 6, 12 y todos aquellos que forman con el 3 una relación que es una potencia de 2, aportan un timbre nasal al conjunto. Los sonidos 5 y 10 producen un timbre o color "redondo", "profundo", "cálido" y otros adjetivos semejantes. Los sonidos 7, 11, 13 y 15 son disonantes y dan un carácter "áspero" al sonido. Al crecer el número de orden de un armónico, su aportación es de más brillo o claridad; más brillo que claridad si es un número múltiplo de los 16 primeros excepto los que hemos denominado como disonantes. La forma de onda resultante de la superposición de ondas se obtiene sumando algebraicamente cada una de las ondas sinusoidales que componen ese movimiento complejo. De particular interés resulta el caso de superposición de ondas sinusoidales de distinta frecuencia y eventual distinta amplitud y fase (por constituir el caso descrito por Fourier para la descomposición de los movimientos complejos). Si bien la descomposición de todo movimiento complejo en una superposición de distintas proporciones de movimientos armónicos simples es estrictamente cierta para el caso de movimientos complejos periódicos, determinadas aproximaciones matemáticas nos permiten descomponer también todo movimiento no periódico en un conjunto de movimientos simples. En el caso de las ondas sinusoidales, que son las más interesantes y las más estudiadas, su superposición puede generar ondas de los tipos más variados. Por ejemplo, si en el mismo medio se superponen las tres ondas que se ven en colores en el panel de arriba, el resultado, aquello que resulta visible, es la onda periódica (aunque no sinusoidal) que figura en el segundo ejemplo.

Joseph Fourier, matemático que vivió entre 1768 y 1830 demostró que superponiendo ondas sinusoidales se podía lograr cualquier onda periódica por caprichosa que pareciera su forma. Y viceversa: cualquier onda periódica, tuviese la forma que tuviese se podía descomponer en una suma (una superposición) de ondas sinusoidales. Esas sumas -a menudo infinitas (Fourier era matemático)- podían tener numerosos términos, pero en la práctica uno podía detener la suma cuando la diferencia le pareciera insignificante. Las sumas de Fourier tienen siempre esta demostración: yt = A1 sen ωt + A2 sen 2ωt + A3 sen 3ωt + ... ... + B1 cos ωt + B2 cos 2ωt + B3 cos 3ωt + ... Expresión típica que recibe el nombre de serie de Fourier.

Vibración fraccionaria de una cuerda (origen de la serie armónica) (Pitágoras) La inarmonía surge de ciertas superposiciones de ondas no periódicas al igual que el ruido. La síntesis aditiva consiste básicamente en la superposición o mezcla de ondas sinusoidales con el objetivo de generar ondas más complejas. El concepto tras la síntesis aditiva es simplemente la aplicación directa de la serie de Fourier con un número finito de componentes. Un sonido generado mediante síntesis aditiva está formado entonces por una cantidad variable de armónicos o parciales que evolucionan a lo largo del tiempo con respecto a un tono o frecuencia fundamental. El número de parciales y su amplitud, frecuencia y fase relativa es lo que permite crear un sonido con un timbre determinado. Sin embargo, por lo general el timbre no es estático y cada parcial sigue una curva particular de evolución temporal.

Si la luz se puede representar en una gráfica espectral, ¿por qué los sonidos no? Pues efectivamente, también las características de los sonidos se pueden apreciar en una densidad espectral y así como la luz blanca es la combinación de todos los colores del espectro, de todas las frecuencias, se dice que un ruido es ruido blanco si están presentes todas las frecuencias de los agentes individuales posibles. Este ruido no tiene ninguna periodicidad ni patrón reconocible, ninguna regularidad; también se le llama "ruido gausiano" o "ruido de Johnson". Cualquier onda tiene asociada una energía, en el caso de la luz, la energía es proporcional a la frecuencia. Si pensamos en un espectro que contenga todas las frecuencias (ruido blanco, una vez más), entonces las componentes de frecuencia mayor tendrán mayor energía que sus contrapartes de menor frecuencia. Si forzamos cada componente o color a tener la misma energía, entonces la curva de amplitud como función de la frecuencia deberá ser decreciente; a un ruido con estas características se le llama ruido gris. Hay un par de definiciones para el ruido negro. La de Manfred Schroeder que, desde el punto de vista estrictamente técnico, es un poco árida: Ruido negro es aquel cuyo espectro es una hipérbola con exponente tres (1/f ^3). Un espectro que descienda con la rapidez de una hipérbola cúbica refleja un gran dominio de las frecuencias bajas sobre las altas; esto es, muchas fluctuaciones de tamaño grande y pocas pequeñas. Schroeder nos dice que este espectro es característico de los desastres tanto naturales como artificiales, tales como inundaciones y apagones. Por otra parte, también se le llama ruido negro a los sonidos que no podemos escuchar (los ruidos "ultravioleta"), como los de los silbatos para perros. Los ruidos blanco, gris y negro tienen espectros que disminuyen como hipérbolas: 1/f^a distinguiéndose por el valor del exponente a, que es para los tres casos, respectivamente, igual a cero, dos y tres. Envolvente acústico El envolvente acústico es un término utilizado en música, acústica y psicoacústica. Constituye una manera de definir, en términos de cuatro parámetros globales, la evolución temporal en amplitud de cualquier sonido. Está determinado por cuatro principales parámetros:

Ataque: Es el tiempo de entrada. Lo que tarda en escucharse el sonido después de haber sido ejecutado el instrumento. Decaimiento: Es el tiempo que tarda la amplitud en reducirse a la de sostenimiento, después de haber alcanzado la amplitud máxima, sin despegar la tecla o punto de inducción vibratoria. Sostenimiento: Después del decaimiento, es la amplitud que se mantiene constante hasta que se dejar de inducir vibración (en el caso de los sintetizadores, hasta cuando se suelta una tecla o cable que controla este fin, por ejemplo). Relajación: El tiempo que tarda el sonido en perder toda su amplitud después de despegar la tecla o punto de inducción vibratoria.

52. Naturaleza armónica A través de los peldaños móviles de una escalera y el plano inclinado de un tobogán, podemos situar todos los procesos culturales de la música en cuanto a la organización modal y tonal de sus sonidos, (aquí cabe reseñar la cuota de sacrificio histórico necesario en busca del mejor sistema). La heptafonía es un ordenamiento escalar selectivo (Bach), y el cromatismo, una cierta aproximación al tobogán totalizador (Wagner). Entre los cantos de recolección monofónicos de los alacalufes del sur de Chile y los de fecundación tetrafónicos de los bosquimanos; así como entre los

cuartetos de Beethoven y los de Bartók, existe algo en común: el respeto a una unidad generadora de lo sonoro, (la matriz universal de toda serie), que permite el desarrollo natural de cualquier modelo de afinación que, aunque en lo musical no está presente, siempre se ha deseado encontrar o justificar en los diversos modelos establecidos: la Edad Media fue la del armónico 3, el Renacimiento llegó hasta el armónico 5, el Barroco y el Clasicismo hasta el 7 y el 9, y el Romanticismo con Wagner a la cabeza hasta el 12. Eso es todo y eso es poco. Supone una aproximación muy lenta hacia la verdadera naturaleza del sonido, que se frena en gran medida por las propias contradicciones del propio lenguaje musical que posee en sus genes la base de su propia inoperancia. No se puede actuar con seriedad en una investigación de este tipo teniendo en cuenta los modelos admitidos por una cultura decadente por más bellos que nos parezcan. Nosotros también estamos condicionados por un modelo que nos ha privado de la riqueza de lo verdaderamente armónico. Nuestros gustos son poco confiables. Se debe iniciar la aventura partiendo de un profundo conocimiento de la realidad sonora y de sus leyes inmutables, que determinan sin excepciones, las reglas objetivas del lenguaje. La pérdida de ese supuesto implica la desintegración de los sistemas: la tonalidad surge de un cierto respeto a sus normas, el atonalismo de su ignorancia. Cada vez que se ha intentado suplantar la tonalidad, la sensibilidad colectiva ha rechazado la opción, (el fracaso del dodecafonismo lo testimonia); pero lo curioso es que Arnold Schönberg intentó crear una falsa naturaleza a través de su concepto serial - y si bien la naturaleza del sonido es serial, no es menos cierto que es también supratonal - (un estado de máxima tonalidad) - y eso Schönberg no lo tuvo en cuenta a la hora de diseñar su propuesta, quedándose sólo en el terreno de lo combinatorio. Confiesa su incapacidad para hacer de lo natural un lenguaje, (aunque intuye que es el futuro de la música: "Armonía"), pero su discurso sigue siendo un híbrido descentrado entre la tradición y el futuro. Música y naturaleza no comparten los mismos principios. Numerofonía y naturaleza, sí. Tolomeo y Galileo tampoco compartieron el mismo concepto del universo. Vivimos de aproximaciones tratando de identificarnos con la totalidad.

"Un auténtico sistema debe ante todo, poseer unas bases que abarquen todos los resultados que existen realmente, ni uno mas ni uno menos. Tales bases son las leyes naturales. Y sólo esas bases, que no tienen excepciones, podrían tener la exigencia de ser válidas para siempre". Arnold Schönberg

(Salzburgo, 1921)

La naturaleza unitaria (y desafinada) de la música, no puede describir la realidad compleja de un sonido armónico por más que se intente representarlo en un espacio equivocado y por medios que no lo definen. Los músicos leen las hojas de los libros, los numerofonistas, el libro entero. El todo es un concepto original que no se resuelve por la suma de alguna de sus partes. El número es una noción matemática de fundamental importancia, introducida de manera más o menos consciente desde la antigüedad, con el fin de poder operar sobre cantidades de elementos que constituyen conjuntos o sobre cantidades que expresan medidas de entidades materiales. La armonía puede entenderse como el equilibrio y la proporción entre las partes de un todo. En la física, se entiende como armónica una componente sinusoidal de una onda periódica cuya frecuencia es múltiplo de la otra componente de onda denominada fundamental. Un número inmanente es un tipo de número racional que siempre en su esencia (y no en su apariencia) es igual a sí mismo. Un número trascendente es un tipo de número irracional que no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). Lo inmanente es esencial y permanente en un ser o en una cosa y no se puede

separar de él por formar parte de su naturaleza y no depender de algo externo. La inmanencia es el ente intrínseco de un cuerpo; en filosofía se califica a toda aquella actividad como inmanente a un ser cuando la acción perdura en su interior, cuando tiene su fin en ese mismo ser. Se opone por lo tanto a trascendencia. Se llama serie armónica o escala de resonancia superior de un sonido puro de frecuencia "n", a la sucesión de sonidos puros cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia de "n" (2 n, 3n, 4n...). El sonido de frecuencia "n" se llama fundamental o primer armónico de la serie y los demás sonidos de la sucesión se llamarán armónicos, designándose por orden: segundo armónico, tercer armónico, etc.

Conociendo la frecuencia de "n", bastará conocer el número de orden de un armónico para deducir su frecuencia. La serie armónica es teóricamente infinita. Los armónicos se oyen en razón inversa al cuadrado de su distancia o sea el número que los representa. La intensidad del sonido de los armónicos disminuye a medida que se alejan del sonido fundamental, de tal modo que el armónico 2 se oirá 4 veces menos que el armónico 1; el armónico 3 se oirá 9 veces menos que el armónico 1; el armónico 8, 64 veces menos que el 1, etc. Los ocho primeros armónicos (sin contar el séptimo) dan origen a los teoremas de Tyndall y Helmholtz. Veamos algunas de las contradicciones del lenguaje musical con respecto a su relación con los armónicos naturales: 1.- La música se basa en un comportamiento artificioso del sonido. La escala mayor las notas fa y la no están contenidas en la serie armónica. Como la notación musical no posee signos propios para representar todos los sonidos naturales, por su propia configuración histórica y no científica, ni una teoría coherente para explicarlos; ha ido buscando aproximaciones artificiosas para poder justificar su escala mayor. Los sonidos 7, 11, 13 y 14 son de escritura aproximada. 2.- Comete errores físicos y matemáticos. El armónico 7, (evitado por el piano con la anulación de su sistema vibratorio), impone su realidad con más fuerza que los teoremas de Tyndall y Helmohltz, y existe a pesar de ellos. Tampoco Pitágoras con sus quintas encadenadas pudo cerrar lo que la naturaleza no cierra. El mi sostenido de la sexta octava no es igual que el fa de la séptima octava (ese intervalo de diferencia se denomina: comma pitagórica). 3.- Prohíbe o defiende fuera de toda lógica. La cuarta aumentada denominada por los teóricos "diabolus in musica" es un intervalo natural repudiado. Lo mismo ocurre con las octavas y quintas paralelas, definidas entre los grados 1, 2 y 3 de cada serie.

La teoría defiende la existencia del modo menor como fruto de esa naturaleza antes marginada, y eso es falso. El modo mayor se forma naturalmente entre los armónicos 4, 5 y 6. Sin embargo el modo menor es artificial ya que el mi bemol no aparece en la serie armónica. 4.- Se escuda en la sinrazón de un temperamento inarmónico. Do = 261,625 Hz. Do# (Reb) = 277,182 Hz. Re = 293,664 Hz. Re# (Mib) = 311,126 Hz. Mi = 329,627 Hz. Fa = 349,228 Hz. Fa# (Solb) = 369,994 Hz. Sol = 391,995 Hz. Sol# (Lab) = 415,304 Hz. La = 440,000 Hz. (diapasón) La# (Sib) = 466,163 Hz. Si = 493,883 Hz. Do’ = 523,250 Hz.

La armonía sólo admite frecuencias de números enteros, siendo los decimales el origen de la inarmonía. La única y curiosa excepción la constituye la naturalidad del diapasón (440Hz.) Una base matemáticamente incorrecta (12) y una escritura anacrónica no pueden contener la naturaleza expansiva de los armónicos. Tal como se ha visto, para obtener un resultado armónico, hay que partir de la propia naturaleza del sonido. Todas las bases musicales 7, 12, 24, 36, 48... (temperadas o no), pueden ser útiles instrumentalmente pero resultan absolutamente inarmónicas en mayor o menor grado. Sólo las bases en cuyas frecuencias no existen decimales y que responden a 2 n como eje de su

desarrollo serial (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,...), pertenecen a la naturaleza y no son discrepantes. También en el desarrollo de un embrión, el óvulo fecundado comienza a dividirse y el número de células empieza a crecer: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. Éste es un crecimiento exponencial. Pero el feto sólo puede crecer hasta un tamaño que el útero pueda soportar; así, otros factores comienzan a disminuir el incremento del número de células, y la tasa de crecimiento disminuye. Después de un tiempo, el niño nace y continúa creciendo. Finalmente, el número de células se estabiliza y la estatura del individuo se hace constante. Se ha alcanzado la madurez, en la que el crecimiento se detiene. En el caso de los gemelos monocigóticos, en cambio, los dos tienen el mismo origen: un solo óvulo fecundado por un solo espermatozoide. Lo que sucede es que después de haberse fusionado el material genético de la madre con el del padre, la célula resultante (conocida como cigoto) se divide muy tempranamente en dos. Los dos cigotos resultantes quedan con la misma carga genética y por eso que los bebés terminan siendo idénticos. Mediante cualquiera de dichas bases y partiendo de la serie armónica, se demuestra que primero (1º) es el único grado que en todas sus frecuencias produce la "Ley de Aschero" que señala que el único grado que multiplicado por sí mismo es igual a sí mismo es primero (1º) con lo que se fundamenta su preponderancia frente a todos los demás grados de cualquier serie.

(2 + 2 = 4), (2 x 4 = 8) Los armónicos negativos se "crean" en La Ilustración (siglo XVIII), con la intención de justificar el acorde menor. Se trataba de una abstracción matemática de este acorde mediante la inversión en espejo de los armónicos postivos (mientras que los positivos son ascendentes los negativos descienden). Gracias a este tipo de armónicos se consigue explicar el IV grado. Su creador fue Zarlino que consideraba que la tercera menor era el intervalo fundador de la armonía. Anteriormente, Aristoxeno (siglo IV a.C.) instauró la escala de 8 notas basándose en las proporciones físicas y no matemáticas de los sonidos. También el francés Rameau, inventó la armonía, es decir, nombró los acordes según los grados y los situó con un orden dentro de la tonalidad, estableciendo la serie armónica (positiva).

Las frecuencias subarmónicas son frecuencias que están por debajo de la frecuencia fundamental., existen en la naturaleza y son un problema en el diseño de circuitos eléctricos. Por ejemplo, si la frecuencia fundamental de un oscilador son 440 Hz, los subarmónicos corresponden a 220 Hz. (1/2) y 110 Hz. (1/4) y 55 Hz. (1/8). La nota sol de la cuarta cuerda es la nota más grave que sale de un violín afinado. O eso pensaría cualquiera antes de escuchar a la concertista Kimura. Todos los instrumentos de cuerda tienen en teoría (insisto, en teoría) la posibilidad de tocar notas todo lo agudas que se quiera. Para subir una octava completa basta con presionar de forma que la cuerda que vibra reduzca a la mitad su longitud. Una octava más es volver a reducir a la mitad, y así sucesivamente hasta la paradoja de Zenón. En la práctica llega un momento que simplemente la cuerda no vibra por razones de composición y grosor. Luego hay un límite superior por razones físicas. El límite inferior, sin embargo tiene un fundamento físico-matemático. Por ejemplo, decíamos que la nota más grave que da un violín es un sol en su cuerda más gruesa. Para obtener esta nota basta con hacer vibrar la cuerda sin pulsar sobre el mástil. Cuanto más larga sea la cuerda, más grave será la nota. Pero evidentemente, si bien podemos pulsar para acortar una cuerda, no existe forma de alargarla. Esa es la limitación física de los graves. La limitación matemática es universal: no se podrá emitir una onda que tenga una longitud de onda más grande que el objeto que la emite. Recordemos que la longitud de una onda sonora está asociada con lo aguda o grave que es (cuanto más larga, más grave). Por eso los violines emiten ondas de 30 o 40 centímetros, y el contrabajo las emite de más de 1 metro. Por eso un bebé nunca podrá cantar como un bajo o barítono en un coro. Lo mismo ocurre, por ejemplo, con el campo electromagnético: una antena solo emite ondas electromagnéticas que son como mucho del tamaño de la propia antena. Si en lugar de pulsar la cuerda a la mitad, la cuarta parte, etc. (octavas superiores, agudas) se apoya suavemente el dedo sobre la mitad, la cuarta parte, etc., lo que se obtiene es un armónico. Podemos decir que lo que Kimura obtiene para sacar del violín las octavas inferiores son subarmónicos. Cualquiera que no estuviera avisado diría que su pieza "Capricho para el segundo subarmónico" la tocan dos instrumentos (violín y violoncello). ¿Pero cómo lo hace? Su respuesta nos deja, si cabe, más sorprendidos: "En realidad no sé qué es lo que hago" dice la violinista, que afirma que obtuvo el sonido a base de "prueba y error". Varios científicos de instituciones americanas y japonesas han intentado abordar el fenómeno, pero han abandonado tras varias pruebas. Sin embargo, el equipo de Alfred Hanssen de la Universidad de Tromsø en Noruega ha

adquirido un compromiso más a largo plazo. La apuesta va por el camino de que Kimura desliza su arco sobre las cuerdas según un comportamiento que en física llamamos no-lineal, dirigido y amortiguado. Pertenece a esa parte de la ciencia tan joven (los sistemas no lineales) en la que la respuesta no siempre es proporcional al estímulo, sino que tiene un comportamiento más bien complejo que requiere de métodos que todavía se están descubriendo. 53. Modelo cromofónico La Cromofonía se basa en la Cromatemática al igual que la Cromolengua. Su principio está regido por la norma de que cada número representado cromáticamente posee, en el caso de este código, todos los atributos del sonido: tiempo (duración), frecuencia (altura), potencia (intensidad) y timbre (espectro armónico e inarmónico).

Duración del sonido Es la propiedad del sonido de poder perdurar a lo largo del tiempo. A tal efecto, cabe señalar que para que un sonido sea percibido por el oído humano ha de tener una duración mínima de una centésima de segundo. Altura del sonido La altura del sonido se mide en ciclos por segundo (Hz.) La medida se puede iniciar en cualquier parte de la onda, siempre y cuando termine donde empezó. El número de veces que esto pasa en un segundo es la frecuencia de la onda. Cuando mayor sea la cantidad de ciclos por segundo más agudo será el sonido. Intensidad del sonido La intensidad del sonido se define como la potencia acústica por unidad de área. El contexto habitual es la medición de intensidad de sonido en el aire en el lugar del oyente. El enfoque más común para la medición de la intensidad del sonido es el uso de la escala de decibelios (dB).

Timbre del sonido Al igual que el arco iris, las ondas sonoras forman un espectro de longitudes de onda. De la misma forma que nuestras sensaciones de color son las etiquetas que el cerebro asigna a las distintas longitudes de onda de la luz, las etiquetas internas equivalentes para los sonidos son los distintos tonos. Pero en los sonidos hay más que el simple tono. La mayoría de los sonidos son ondas complejas, pero existen unas ondas en particular, las ondas armónicas sinusoidales, que son las más simples, y e ideales para el modelo cromofónico. Lógicamente si las ondas sinusoidales se superponen, el timbre del sonido empezará a ser más complejo. Silencio (interferencia destructiva) La interferencia destructiva, generadora del silencio en la Cromofonía, se produce cuando dos ondas de la misma frecuencia están completamente desfasadas una respecto a la otra; es decir, cuando la cresta de una onda coincide con el valle de otra. En este caso, las dos ondas se cancelan mutuamente. 54. Operatividad cromofónica La Cromofonía tiene base ocho en absoluta concordancia con la naturaleza armónica del sonido: (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,...) Su capacidad operativa está limitada por setenta y dos sonidos y setenta y dos silencios. Cada sonido tiene en sí todos los atributos acústicos que lo definen. La disposición de la escritura determinará todas las variables fónicas y áfonas del lenguaje. Sonidos y silencios comparten la cromaticidad pero su forma los diferencia. La Cromofonía permite "vampirizar" todas las imágenes que tengan huella cromática y que originariamente no han sido creadas teniendo en cuenta la posibilidad de ser sonorizadas. Estos tres Códigos de Aschero: Cromatemática, Cromolengua y Cromofonía forman un triángulo lingüístico poderoso en el entorno de la semiótica de este siglo.

Índice

1. Breve introducción a lo que somos 2. Fenómeno de constancia perceptiva 3. Inteligencia 4. Teoría bifactorialista 5. Teoría multifactorialista 6. Cociente Intelectual (IQ) 7. Percepción 8. Sensación 9. Diferencias entre los dos conceptos 10. Percibir 11. Representar 12. Imaginación reproductora 13. Imaginación creadora

14. Imaginación fantástica o fantasía 15. La memoria 16. Análisis del proceso de la memoria 17. Conservación y almacenaje de la información

18. Codificación molecular 19. Reproducción 20. Memoria reintegrativa 21. Reaprendizaje 22. El olvido 23. Niveles de memoria

24. Formación de conceptos 25. Formulación de juicios 26. Elaboración de razonamient0 27. Procedimiento de ensayo y error 28. Conducta exploratoria 29. Conducta epistémica 30. Límites del pensamiento animal 31. Etapas del desarrollo mental 32. El desarrollo del pensamiento

33. Operaciones formales 34. Los órganos de los sentidos 35. La Sensación 36. Leyes de agrupación de estímulos 37. Umbrales sensoriales 38. Umbral diferencial 39. Adaptación sensorial 40. Atención selectiva 41. La Percepción 42. Leyes de agrupación 43. Ilusiones 44. Patrón 45. Percepción de la distancia

46. Percepción ¿aprendida o heredada? 47. Percepción extrasensorial 48. Tiempo 49. Frecuencia 50. Potencia 51. Espectro armónico, inarmónico y envolvente 52. Naturaleza armónica 53. Modelo cromofónico 54. Operatividad cromofónica

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