clave examen parcial 1 Matematica Basica 01 FIUSAC Anthonio Jose Toledo Caceres

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE DE EXAMEN

CURSO:

Matemática Básica 1

SEMESTRE:

Primero

CÓDIGO DEL CURSO:

101

TIPO DE EXAMEN:

Primer Parcial

FECHA DE EXAMEN:

03-03-2008

NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIÓ EL EXAMEN:

Aux. Wendy García

NOMBRE DE LA PERSONA QUE DIGITALIZÓ EL EXAMEN:

Antonio José Toledo Cáceres 2008-15262

TEMA 1 (30 PUNTOS)

TEMARIO K

Resuelva las ecuaciones y la desigualdad siguientes: 1 2

a) x  3x

1 2

 10 x

3 2

b)

4 x 2

x  8 x  32



3 5

c)

1 3  1 x x

TEMA 2 (20 PUNTOS) Un depósito contiene 20 litros de una mezcla de alcohol al 40% de alcohol en volumen. Hallar el número de litros de mezcla que se deben sustituir por un volumen igual de agua para que la solución que resulte sea del 25% de alcohol en volumen. TEMA 3 (20 PUNTOS) Determine la ecuación general de la circunferencia en la cual los puntos  1,3 y 7,5 están diametralmente opuestos. TEMA 4 (20 PUNTOS) Dada la función f  x   3  x  2 graficarla a partir de f  x   a a partir de transformación de funciones. TEMA 5 (10 PUNTOS) El costo mensual de conducir un automóvil depende del número de kilómetros recorridos. Joaquín observo que durante el mes de Enero gastó Q. 380.00 por 480 kilómetros y en Febrero gastó Q. 460.00 por 800 kilómetros. a) Exprese el costo mensual C en función de la distancia recorrida d , suponiendo que la relación lineal proporciona un modelo adecuado. b) Utilice el inciso a) para predecir el costo de conducir 1,500 kilómetros por mes.

SOLUCIONES TEMA 1: 1

1

3

(a) x 2  3 x 2  10 x 2 , se iguala a cero 3

3

x 2 ( x 2  3x  10)  0 , se saca factor común de x 2 x

3 2

x  5x  2  0 , se factorizan las sumas de la forma

x 2  bx  c

Cada multiplicador se iguala a 0 por separado y se despeja la variable.

x

3 2

1

0

x

3 2

0

x5 0

x  5

x20

x2

 32  1  0 x   

Comprobando x=2 2

3  2

10 2*2*2

X=2 si es solución Comprobando x=5

5 

3 5

Indefinido



10  52

5 10  2 2 2

5 5  2 2

4 x

(b)

2

x  8 x  32



3 , se pasa a multiplicar los denominadores 5

54  x   3 x 2  8 x  32 , se el primer producto

20  5 x  3 x 2  8 x  32 , se elevan al cuadrado ambos lados

20  5 x 2  3

x 2  8 x  32



2





400  200 x  25 x 2  9 x 2  8 x  32 , se efectúa el segundo producto

400  200 x  25 x 2  9 x 2  72 x  288 , se agrupan los términos de un solo lado 16 x 2  128 x  112  0 , se divide dentro de 16 16

x 2  8 x  7  0 , se factoriza por la forma x 2  bx  c

x  7x  1  0 , cada multiplicador se iguala a 0 por separado Se despeja " x" x7  0

x7

x 1  0

x 1

Comprobación x  7

47

7 

2

 87   32



3 5

3 3  5 5

x  7 No es solución

Comprobando x  1 47

12  81  32



3 5

3 3  5 5

Solución x  1

(c)

1 3  0 1 x x

Igualamos a 0

x  31  x  0 x1  x 

1 3  0 1 x x

4x  3 0 x1  x 

Igualamos a cero los multiplicadores para encontrar los puntos críticos x0 1 x  0

x 1

4x  3  0

4x  3

x

 3 3  Los intervalos son  00,0,  0, ,  ,1, 1,00  4 4 

3 4

Probamos los intervalos introduciendo un valor contenido en estos, excepto los puntos críticos -2

½

7/8

 ,0

 3  0,   4 + + -

3   ,1 4  + + + +

x

+ -

1  x  4x  3

Signo resultante

+

2

puntos aleatorios dentro de los intervalos

1,  + + -

Como la expresión es  (menor o igual que) entonces escogemos los intervalos en los cuales el signo resultante es menor Solución:

0 x 

3 4

1x  

 3 x   0,   1,   4 Para determinar si es un intervalo cerrado o abierto se valúa el crítico en la función

TEMA 2: 20 lts.

20 lts.

60% agua 40% alcohol

20 lts. 75% agua

100% agua +

=

25% alcohol Solución final

Solución inicial x=cantidad en litros que debe ser drenada

(20 litros – x litros drenados)+x litros reemplazados=20 litros (Ec. 1) Como los 20 litros y los x litros iniciales, ambos contienen 60% de agua, se reescribe como:

0.620  x  Como los x litros que van a reemplazar la solución extraída está 100% pura, se reescribe como:

1x  Como se necesita que la solución final tenga el 25% de alcohol, quiere decir que el agua va a estar al 75%, lo cual se reescribe como:

0.7520 La ecuación (I) se reescribe como:

0.620  x   1x   0.7520 12  0.6 x  x  15

Se despeja x 0 .4 x  3

x  7.5 litros

R//La cantidad que debe ser drenada y reemplazada por agua es de 7.5 litros

TEMA 3: 6 4 2 -4

-2

2

4

6

8

10

-2 -4 -6 -8

Como  1,5 y 7,5 son opuestos el punto medio entre estos es el centro  1 7 3  5  PM  C   ,  2   2

C  3,1 La ecuación del círculo r 2   x  h   Y  K  2

donde h, K  es el centro

2

Para encontrar el radio del círculo introducimos en la ecuación el centro y cualquiera de los dos puntos

r

 1  32  3  12

 32 

2

r

 42  42

 x  3   y  1 2

x  32   y  12

2

 32

Ecuación estándar

Al desarrollarla x 2  6 x  y 2  2 y  22  0

Ecuación general

r  32

TEMA 4:

Para hallar f  x   3  x  2 a través de f  x   x hay que modificar f  x   x hasta llevarla a la otra función f  x   x , es

2 1.5 1 0.5 1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

Como es negativa, se invierte f x    x -0.5 -1 -1.5 -2

Como tiene un +2 dentro del radical, se desplaza 2 unidades en el eje “x” hacia la izquierda f x    x  2

-2

-1

1 -0.5 -1 -1.5 -2

2

3

Como tiene un +3 fuera del radical, se desplaza 3 unidades en el eje “y” hacia arriba f x   3  x  2 3 2.5 2 1.5 -2

-1

1

2

3

TEMA 5: (a) En la relación costo/Km. recorridos, se toman los datos como puntos en una recta 480,380, 800,460 Se toma el número de Km. como variable independiente porque el número de km recorridos depende lo que paga Joaquín Por medio de Y  Y1  m X  X 1  encontramos la pendiente

460  380  m800  480 m

80 320

m

1 4

Ingresamos la pendiente y cualquiera de los dos puntos anteriores en la ecuación

Y  380  Y

1 x  480 4

Y

1 X  120  380 4

1 X  260 4

Como Y  Costo  C ,

X  distancia recorrida  d

C (d ) 

1 d  260 4

1 1500  260 4 C 1500  375  260

(b) C 1500  

R//A Joaquín le cuesta Q. 635.00 viajar 1500 Km.

C 1500   635