Centro de Gravedad

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA ESPAÑA DE DURANGO


INGENIERÍA MECÁNICA

SEGUNDO CUATRIMESTRE

ESTÁTICA

CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD

CATEDRÁTICO: MTRO. EMETERIO BÁÑALES CAUDILLO

ALUMNO: BRYAN MANUEL ALARCÓN LÓPEZ
Victoria de Durango, Dgo., Febrero 2015
CONTENIDO

Introducción

Centroides y centro de gravedad

Centro de gravedad

Centroides

Conclusión

Bibliografía


INTRODUCCIÓN
En Matemáticas, los centroides de una figura bidimensional se refieren al punto en el cual todas las líneas de la figura correspondiente se intersectan unas con otras de tal manera que dividen la figura en dos partes iguales en los momentos equivalentes.
Por lo tanto, al calcular el centroide de una figura en particular, sólo el área de la figura geométrica se toma en cuenta. Por este motivo, el centroide también se denomina como centro geométrico.
El cálculo del centroide es una de las aplicaciones principales de las integrales. Fuerza de gravedad o peso de un cuerpo, debía aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo. De hecho, La Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen al cuerpo. En este sentido, la acción de la Tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran número de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W.
Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendo que el CG cae dentro de la base de apoyo.
Además, si el cuerpo se aleja algo de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y el cuerpo abandona definitivamente la posición de equilibrio inicial mediante una rotación que le llevará a una nueva posición de equilibrio.
CENTROIDES Y CENTRO DE GRAVEDAD

Centro de gravedad
LA fuerza más corriente que actúa sobre un cuerpo es su propio peso. En todo cuerpo por irregular que sea, existe un punto tal en el que puedo considerarse en él concentrado todo su peso, este punto es considerado el centro de gravedad .
El centro de gravedad puede ser un punto exterior o interior del cuerpo que se considere.
El conocimiento de la posición de los centros de gravedad, es de suma importancia en la resolución de problemas de equilibrio, porque son los puntos de aplicación de los vectores representativos de los respectivos pesos.
El centro de gravedad es el punto en el que se encuentran aplicadas las fuerzas gravitatorias de un objeto, o es decir es el punto en el que actúa el peso. Siempre que la aceleración de la gravedad sea constante, el centro de gravedad se encuentra en el mismo punto que el centro de masas.

El equilibrio de una partícula o de un cuerpo rígido también se puede describir como estable o inestable en un campo gravitacional. Para los cuerpos rígidos, las categorías del equilibrio se pueden analizar de manera conveniente en términos del centro de gravedad. El Centro de gravedad es el punto en el cual se puede considerar que todo el peso de un cuerpo está concentrado y representado como una partícula. Cuando la aceleración debida a la gravedad sea constante, el centro de gravedad y el centro de masa coinciden.

En forma análoga, el centro de gravedad de un cuerpo extendido, en equilibrio estable, está prácticamente cuenco de energía potencial. Cualquier desplazamiento ligero elevará su centro de gravedad, y una fuerza restauradora lo regresa a la posición de energía potencial mínima. Esta fuerza es, en realidad, una torca que se debe a un componente de la fuerza peso y que tiende a hacer rotar el objeto alrededor de un punto pivote de regreso a su posición original.

Los cuerpos rígidos con bases amplias y centros de gravedad bajos son, por consiguiente más estables y menos propensos a voltearse. Esta relación es evidente en el diseño de los automóviles de carrera de alta velocidad, que tienen neumáticos y centros de gravedad cercanos al suelo.
También la posición del centro de gravedad del cuerpo humano tiene efectos sobre ciertas capacidades físicas. Por ejemplo, las mujeres suelen doblarse y tocar los dedos de sus pies o el suelo con las palmas de las manos, con más facilidad que los hombres, quienes con frecuencia se caen al tratar de hacerlo. En general, los hombres tienen el centro de gravedad más alto (hombros más anchos) que las mujeres (pelvis grande), y es por eso que es más fácil que el centro de gravedad de un hombre quede fuera de apoyo cuando se flexiona hacia el frente.
El centro de gravedad de una línea está en el punto de aplicación de un sistema de fuerzas paralelas aplicadas a cada uno de los fragmentos elementales en que se puede considerar descompuesta la misma y proporcionales respectivamente a las longitudes de estos elementos de línea. Si se trata de un elemento rectilíneo, el centro de gravedad se haya en su punto medio. El de un arco de circunferencia puede calcularse mediante recursos de cálculo referencial, y se encuentra situado sobre el radio medio, a una distancia del centro.
Centroides
De áreas y líneas
En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud
ΔW del peso de un elemento de la placa puede expresarse como
ΔW = yt ΔA



donde :
y= peso específico (peso por unidad de volumen) del material
t = espesor de la placa
ΔA : área del elemento
En forma similar, se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como
W =ytA
donde A es el área total de la placa. Si se emplean las unidades de uso común en Estados Unidos, se debe expresar el peso específico en y lb/ft3, el espesor t en pies y las áreas ΔA y A en pies cuadrados. Entonces, se observa que ΔW y W estarán expresados en libras. Si se usan las unidades del SI, se debe expresar a y en N/m3, a t en metros y a las áreas ΔA y A en metros cuadrados; entonces, los pesos ΔW y W estarán expresados en newtons. Si se sustituye a ΔW y a W en las ecuaciones de momento (5.1) y se divide a todos los términos entre yt, se obtiene

Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene en el límite

Estas ecuaciones definen las coordenadas X y Y del centro de gravedad de una placa homogénea. El punto cuyas coordenadas son X y Y también se conoce como el centroide C del área A de la laca. Si la placa no es homogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar para determinar el centro de gravedad de la placa; sin embargo, éstas aún definen al centroide del área. En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme, la magnitud ΔW del peso de un elemento de alambre puede expresarse como
ΔW= aΔL
Donde
y= peso específico del material.
a = área de la sección transversal del alambre
ΔL = longitud del elemento

El centro de gravedad de un alambre coincide con el centroide C de la línea L que define la forma del alambre. Las coordenadas X y Y del centroide de la línea L se obtienen a partir de las ecuaciones


CENTROIDE

Siempre que la densidad de un cuerpo tenga el mismo valor en todos lo s puntos, la misma figurará como factor constante, de los numeradores y denominadores de las ecuaciones, y por tanto desparecerá .

Las expresiones definen entonces una propiedad del cuerpo puramente geométrico, sin referencia alguna a sus propiedades físicas, cuando el cálculo se refiera únicamente a una figura geométrica, se utilizará el término centroide.

Si una figura geométrica posee un centro de simetría, este punto es el centroide de la figura. Cuando se hable de un cuerpo físico real, hablaremos de centro de masa. Si la densidad de la misma en todos los puntos, las posiciones del centroide y el centro de masa coinciden, mientras que si la densidad varía de unos puntos a otros, aquellos no coincidirán, en general.

Los cálculos relacionados con los centroides caen dentro de 3 categorías claramente definidas según que la forma del cuerpo en cuestión pueda ser representada por una línea, una superficie o un volumen

Aplicación del centroide.-
El centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente.
Para líneas.-
En x = (Distancia del eje X x (derivada de la línea))/masa
En y = (Distancia del eje Y x (derivada de la línea))/masa
En z = (Distancia del eje Z x (derivada de la línea))/masa

Para superficies.-
En x = (Distancia del eje X x (derivada del área))/masa
En y = (Distancia del eje Y x (derivada del área))/masa
En z = (Distancia del eje Z x (derivada del área))/masa

Para volúmenes.-
En x = (Distancia del eje X x (derivada del volumen))/masa
En y = (Distancia del eje Y x (derivada del volumen))/masa
En z = (Distancia del eje Z x (derivada del volumen))/masa

Si una figura geométrica posee un eje de simetría, el centroide de la figura coincide con este eje.
FIGURA GEOMÉTRICA LOCALIZACIÓN DEL CENTROIDE

Perímetro del triángulo Centro del círculo inscrito del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo dado.

Arco del semicírculo de radio R Distancia desde el diámetro = 2R
Arco de 2 radianes de un círculo de Dist. desde el centro del círculo = R sin radio R
Área del triángulo Intersección de las medianas
Área del cuadrilátero Intersección de las diagonales de un paralelogramo cuyos lados pasan a través de los puntos de trisección adyacentes a los pares de lados consecutivos del cuadrilátero.
Área del semicírculo de radio R Dist. desde el diámetro = 4R
Área del sector circular del radio R Distancia desde el centro del círculo y del ángulo central 2 radianes. = 2 R sin
Área de la semielipse de altura h Dist. desde la base = 4h
Área del cuadrante de una elipse Dist. desde el eje menor = 4a , dist. de semiejes mayor y menor (a y b). desde el eje mayor = 4b
Área del segmento parabólico Dist. desde la base = 2/5 h derecho de altura h.

Ejemplos
Centroides por integración
El centroide de un área limitada por curvas analíticas (curvas definidas por ecuaciones algebraicas) por lo general se determina evaluando las integrales.

Ejemplo: Determinar el centroide de la figura mostrada.

Determinando el valor de la constante k sustituimos x = a e y = b en la ecuación dada


al seleccionar el elemento diferencial mostrado para determinar el área total de la figura, tenemos


Xel dA es el primer momento del elemento diferencial con respecto al eje y . Por lo tanto el primer momento de toda el área con respecto al eje y



Del mismo modo, e primer momento del elemento diferencial con respecto al eje X es Yel dAy el primer momento de toda el área es



CONCLUSIÓN

Los centroides son una de las principales aplicaciones de las integrales, como la mayoría de los estudiantes pensamos, "para que nos sirven las integrales" es aquí donde esta nuestra respuesta, el usar el método de integración para definir el centroide de una figura nos facilita muchísimo la vida, si queremos ser ingenieros.

Ahí varios métodos de integración, como e de la palmada, o la descomposición de la figura, pero como ya lo vimos en clase, son procedimientos bastante tediosos,

el centro de gravedad es el punto en el que se encuentran aplicadas las fuerzas gravitatorias de un objeto, o es decir es el pto. en el que actúa el peso. Siempre que la aceleración de la gravedad sea constante, el centro de gravedad se encuentra en el mismo punto que el centro de masas. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos que forman el cuerpo producen un momento resultante nulo (dicho punto no necesariamente corresponde a un punto del cuerpo, ya que puede estar situado fuera de él. En el caso de una esfera hueca, el CG está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo).

BIBLIOGRAFÍA

SELBY, Samuel M, "STANDARD MATHEMATIC TABLES", The chemical Rubber Co. Ohio, USA. 1964, 1965, 1967, 1969, diez y sieteava edición.

WILSON, Jerry D, FISICA, Prentice Hall, Segunda Edición, Tomo 1, México, 194-198. 260-261.

BLATT, Frank J. "FUNDAMENTOS DE FISICA", 3ra edición, Prentice Hall, México, 129-136.

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