Interciencia ISSN: 0378-1844
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di Prisco, Carlos Augusto Centenario de Kurt Gödel Interciencia, vol. 31, núm. 3, marzo, 2006, pp. 157-159 Asociación Interciencia Caracas, Venezuela
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EDITORIAL
CENTENARIO DE KURT GÖDEL
Los trabajos publicados por Kurt Gödel durante la década 1929-1939 transformaron la lógica matemática de una manera extraordinaria. Su tesis doctoral Uber die Vollstandigkeit des Logikkalculus, de 1929, muestra que los enunciados demostrables a partir de los axiomas del cálculo de predicados son exactamente aquellos que son verdad en cualquier interpretación, es decir, los lógicamente válidos. Su teorema de incompletitud de 1931 posiblemente compite con el teorema de Pitágoras por ser uno de los resultados matemáticos más conocidos, al menos de nombre, y más comentados, fuera del ámbito de la matemática académica. La demostración de la consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo, otra de sus grandes contribuciones, fue anunciada en 1938 en los Proceedings of the National Academy of Sciencies, EEUU, y luego publicada in extenso en 1939. Gödel publicó algunos otros trabajos durante estos años, pero con estas tres contribuciones al desarrollo de la lógica es suficiente para considerarlo el lógico más destacado del siglo veinte. Gödel publicó poco, pero cada uno de sus artículos es una joya por su precisión y claridad, que pone de manifiesto la profundidad y el alcance del pensamiento de su autor. Es difícil escapar de la tentación de decir que por su número de publicaciones, a Gödel difícilmente se le habría situado mediante los mecanismos de evaluación de la actividad de investigación tan de moda por estos días en una posición destacada, aunque a la larga, claro está, el enorme impacto de sus publicaciones pondría de manifiesto su importancia. No es éste el lugar apropiado para analizar en detalle el trabajo matemático de Gödel. No obstante, es apropiado hacer un breve comentario sobre el teorema de incompletitud. Uno de los aspectos más sorprendentes de las matemáticas, en particular de la lógica matemática, es que permite demostrar la indemostrabilidad de algunos enunciados. El teorema de incompletitud de Gödel establece que en cualquier sistema axiomático que contenga la aritmética hay enunciados tales que ni el enunciado mismo ni su negación se pueden demostrar a partir de los axiomas del sistema. Un enunciado con estas propiedades se dice indecidible en el sistema en cuestión. Para precisar bien el contexto del teorema, conviene señalar que éste se aplica a sistemas axiomáticos que satisfacen además dos otras condiciones; a saber, el sistema debe ser no contradictorio y algorítmico. Un sistema es con-
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tradictorio si a partir de sus axiomas se puede deducir una contradicción. Para las matemáticas, los sistemas contradictorios no son interesantes, ya que por las leyes deductivas de la lógica, de una contradicción se puede deducir cualquier cosa: en un sistema contradictorio todo es demostrable. La segunda de las condiciones adicionales quiere decir que para el sistema en cuestión debe existir un algoritmo para determinar si un enunciado es uno de los axiomas o no lo es. De poco sirve, por ejemplo, un sistema axiomático cuyos axiomas sean todos los enunciados aritméticos verdaderos; ya que, como es bien sabido, hay muchos enunciados aritméticos interesantes cuya veracidad no se ha podido determinar. Más aún, el objetivo de un sistema axiomático para la aritmética es, precisamente, servir de instrumento para determinar la veracidad de enunciados aritméticos. El teorema de incompletitud de Gödel establece, pues, que para cualquier sistema axiomático razonable de la aritmética, hay enunciados aritméticos cuya veracidad no se puede determinar en el sistema. Se ha argumentado con frecuencia que el teorema de incompletitud pone un límite a las posibilidades del razonamiento. Si bien es cierto que el teorema saca a relucir una cierta limitación del método axiomático, es evidente que su demostración constituye una admirable proeza intelectual que muestra los elevados niveles de refinamiento y sofisticación que puede alcanzar el razonamiento matemático. En 1940 Gödel ingresó al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, donde fue colega y amigo de Einstein y von Neumann. Allí trabajó hasta que murió en enero de 1978, por desnutrición e inanición debidas a su neurosis. El próximo 26 de abril se cumplirán cien años del nacimiento de Kurt Gödel, ocurrido en Brünn, ciudad de la antigua provincia astro-húngara de Moravia. Esta ocasión es propicia para resaltar la importancia de su obra para el desarrollo de la lógica y los fundamentos de las matemáticas. Recientemente apareció el quinto y último volumen de la edición hecha por Oxford de las obras completas de Gödel, donde se recoge toda la obra escrita -incluso los escritos hasta ahora no publicados y la correspondencia- de este extraordinario y singular personaje que escribió mucho y publicó poco. CARLOS AUGUSTO DI PRISCO Departamento de Matemáticas Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas
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EDITORIAL
KURT GÖDEL'S CENTENARY
The results published by Kurt Gödel during the decade 1929-1939 transformed completely mathematical logic. His doctoral dissertation Uber die Vollstandigkeit des Logikkalculus, of 1929, shows that the provable statements in predicate calculus are exactly those which are true in any interpretation; that is, the logically valid statements. His incompleteness theorem of 1931 competes with that of Pitagoras as one of the better known mathematical results, at least by name, and one of the most frequently mentioned outside of academic mathematics. The demonstration of the consistency of the axiom of choice and the continuum hypothesis, another of his great contributions, was announced in 1938 in the Proceedings of the National Academy of Sciencies, and published in more complete form in 1939. Gödel published some other papers during those years, but these three contributions to the development of logic are enough to consider him the most outstanding logician of the twentieth century. Gödel did not publish much, but each of his published papers is a jewel of precision and clarity which lets us appreciate the breadth and depth of the author’s thought. It is hard not to fall in the temptation of stating that from the number of his publications and the mechanisms of evaluation of scientific research so much in fashion nowadays, Gödel would hardly have been placed in a very high academic rank, although in the long run the impact of his work would have been recognized. This is not the appropriate place to analyze in detail Gödel’s mathematical work. However, it is adequate to make a comment on his incompleteness theorem. One of the most surprising aspects of mathematics, and in particular of mathematical logic, is that it is possible to prove the unprovability of some statements. Gödel’s incompleteness theorem established that in any axiomatic system for arithmetic there are statements with the property that neither the statement nor its negation are provable from the axioms of the system. Such statements are said to be undecidable in the system in question. In order to establish the context of the theorem it is convenient to point out that it applies to axiomatic systems that satisfy two more properties; namely, the system must be non-contradictory and algorithmic. An axiomatic system is contradictory if from its axioms a contradiction can be deduced. For mathematics, contradictory systems are not interesting,
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since from a contradiction any statement can de deduced using the rules of logical deduction: in a contradictory system anything can be proved. The second of the additional conditions means that there must be an algorithm for determining if a given statement is one of the axioms of the system or not. It is not very useful, for example, a system in which the axioms are all the arithmetical truths, given that, as it is well known, there are many interesting arithmetical statements whose truth status has not been determined. Moreover, the main purpose of an axiomatic system for arithmetic is precisely to serve as a tool to determine the truth of arithmetical statements. Gödel's incompleteness theorem establishes, thus, that in any reasonable axiomatic system for arithmetic, there are arithmetical statements whose truth cannot be determined within the system. It has been frequently argued that the incompleteness theorem sets some limits to the power of reason. Although it is true that the theorem uncovers certain limitations of the axiomatic method, it is evident that its proof constitutes an admirable intellectual feat which shows the high levels of refinement and sophistication that mathematical reasoning can reach. In 1940, Gödel was appointed at the Institute of Advanced Studies in Princeton, where he was a colleague and friend of Einstein and von Neumann. He worked there until his death, in January of 1978, due to malnutrition and inanition, product of his neurosis. This April 26 th marks one hundred years since the birth of Kurt Gödel in Brünn, a city of the former AustroHungarian province of Moravia. This is an appropriate occasion to point out the importance of his contributions to the development of logic and to the foundations of mathematics. Recently, the fifth and last volume of Gödel’s collected works -published by Oxford- appeared. The series contains all the written material -including previously unpublished work and the correspondence- of this remarkable and singular figure who wrote plenty and published scantly.
CARLOS AUGUSTO DI PRISCO Departamento de Matemáticas Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas
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CENTENÁRIO DE KURT GÖDEL
Os trabalhos publicados por Kurt Gödel durante a década de 1929-1939 transformaram a lógica matemática de uma maneira extraordinária. Sua tese doutoral Uber die Vollstandigkeit des Logikkalculus, de 1929, mostra que os enunciados demonstráveis apartir dos axiomas do cálculo de predicados são exactamente aqueles que são verdade em qualquer interpretação, quer dizer, os lógicamente válidos. Seu teorema da incompletitude de 1931 possivelmente compete com o teorema de Pitágoras por ser um dos resultados matemáticos mais conhecidos, pelo menos de nome, e mais comentados, fora do âmbito da matemática acadêmica. A demonstração da consistência do axioma da escolha e da hipótese do contínuo, outra de suas grandes contribuiçðes, foi anunciada em 1938 nos Proceedings of the National Academy of Sciencies, EEUU, e logo publicada in extenso em 1939. Gödel publicou alguns outros trabalhos durante estes anos, mas com estas três contribuiçðes ao desenvolvimento da lógica é suficiente para considerá-lo o lógico mais destacado do século vinte. Gödel publicou pouco, mas cada um de seus artigos é uma jóia pela sua precisão e clareza, que revela a profundidade e o alcance de pensamento de seu autor. É difícil escapar da tentação de dizer que por seu número de publicaçðes e mediante os mecanismos de avaliação da actividade de investigação tão de moda por estes dias, difícilmente Gödel teria sido avaliado em uma posição destacada, ainda que com o tempo, claro está, o enorme impacto de suas publicaçðes destacaria sua importância. Não é este o lugar apropriado para analisar detalhadamente o trabalho matemático de Gödel. No entanto, é apropriado fazer um breve comentário sobre o teorema da incompletitude. Um dos aspectos mais surpreendentes das matemáticas, em particular da lógica matemática, é que permite demonstrar a indemonstrabilidade de alguns enunciados. O teorema da incompletitude de Gödel estabelece que em qualquer sistema axiomático que contenha a aritmética há enunciados tais que nem o enunciado mesmo nem sua negação se podem demonstrar apartir dos axiomas do sistema. Um enunciado com estas propriedades se diz indecidível no sistema em questão. Para precisar bem o contexto do teorema, convém ressaltar que este se aplica a sistemas axiomáticos que satisfazem além disso duas outras condiçðes; a saber, o sistema deve ser não contraditório e algorítmico. Um sistema é contraditório se apartir de seus
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axiomas se pode deduzir uma contradição. Para as matemáticas, os sistemas contraditórios não são interessantes, já que pelas leis dedutivas da lógica, de uma contradição se pode deduzir qualquer coisa: em um sistema contraditório tudo é demonstrável. A segunda das condiçðes adicionais quer dizer que para o sistema em questão deve existir um algoritmo para determinar se um enunciado é um dos axiomas ou não é. De pouco serve, por exemplo, um sistema axiomático cujos axiomas sejam todos os enunciados aritméticos verdadeiros; como se sabe bem, existem muitos enunciados aritméticos interessantes cuja veracidade não se tem podido determinar. Além disso, o objetivo de um sistema axiomático para a aritmética é, precisamente, servir de instrumento para determinar a veracidade de enunciados aritméticos. O teorema da incompletitude de Gödel estabelece, pois, que para qualquer sistema axiomático racionável da aritmética, existem enunciados aritméticos cuja veracidade não se pode determinar no sistema. Tem sido argumentado com frequência que o teorema da incompletitude pðe um limite às possibilidades do raciocínio. Mesmo sendo certo que o teorema pðe em evidência uma certa limitação do método axiomático, é evidente que sua demonstração constitui uma admirável proeza intelectual que mostra os elevados níveis de refinamento e sofisticação que pode alcançar o raciocínio matemático. Em 1940 Gödel ingressou ao Instituto de Estudos Avançados de Princeton, onde foi colega e amigo de Einstein e von Neumann. Aí trabalhou até que morreu em janeiro de 1978, por desnutrição e inanição devidas a sua neurose. No próximo dia 26 de abril se cumprirão cem anos do nascimento de Kurt Gödel, ocorrido em Brünn, cidade da antigua provincia astro-húngara de Moravia. Esta ocasião é propicia para ressaltar a importância de sua obra para o desenvolvimento da lógica e os fundamentos das matemáticas. Recentemente apareceu o quinto e último volume da edição feita por Oxford das obras completas de Gödel, onde é recolhida toda a obra escrita -inclusive os escritos até agora não publicados e a correspondencia- deste extraordinário e singular personagem que escreveu muito e publicou pouco.
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