CARNAP Y GÖDEL: CONVERSACIONES EN UN CAFÉ VIENÉS (1993)

CARNAP  Y  GÖDEL:  CONVERSACIONES  EN  UN  CAFÉ  VIENÉS                                                    

Javier  Legris     Versión  ligeramente  corregida  del  trabajo  presentado  en  las  IV  Jornadas  de  Epistemología  e  Historia  de   la  Ciencia,  Córdoba  (Argentina),  24  y  25  de  septiembre  de  1993.  Apareció  al  año  siguiente  en  una   compilación  de  los  trabajos  de  las  jornadas  hecha  por  Norma  Horenstein  y  Víctor  Rodriguez.   Nota:  desde  entonces  hasta  la  fecha  (2016),  mucho  se  ha  publicado  sobre  el  tema.  El  manuscrito  de   Carnap  sobre  su  proyecto  de  una  “axiomática  general”  fue  publicado  como:  Untersuchungen  zur   allgemeinen  Axiomatik.  Darmstadt,  Wissenschaftliche  Buchgesellschaft,  2000  (ISBN  978-­‐3534142989).   Una  aproximación  al  proyecto  puede  leers  en  el  trabajo  “Carnap  and  Modern  Logic”  de  Erich  H.  Reck     publicado  en  The Cambridge Companion to Carnap comp. por Michael Friedman & Richard Creath, Cambridge et al., Cambridge University Press, 2007, pp. 176-199.

    Este trabajo es predominantemente histórico. En él me referiré a las conversaciones que sostuvieron Rudolf Carnap y Kurt Gödel a fines de la década de 1920 y comienzos de la de 1930, período en el que Gödel demostró sus famosos teoremas de incompletitud de la aritmética y Carnap gestó su sintaxis lógica como método de análisis filosófico. El examen de estas conversaciones pondrá de relieve las influencias mutuas entre ambos pensadores y echará tal vez alguna luz sobre los orígenes de sus respectivas aportaciones. En el otoño (boreal) de 1926, Carnap, de 35 años de edad, fue nombrado Privatdozent en la universidad de Viena. La designación se debía al interés que Moritz Schlick y Hans Hahn, profesores de la universidad, tenían por sus trabajos sobre la fundamentación del conocimiento empírico, y se puede decir que compartían con él un mismo punto de vista acerca de la filosofía. Con su incorporación a la universidad, Carnap inició lo que más tarde consideraría como "uno de los períodos más estimulantes, agradables y fructíferos" de su vida (CARNAP [1963] p. 20). En ese momento, los miembros del entonces llamado "Círculo de Schlick" (formado por jóvenes colegas suyos y estudiantes, y que pasaría a la historia como "Círculo de Viena") estaban inmersos en la discusión de las principales tesis del Tractatus de Ludwig Wittgenstein y Schlick estaba intentando tomar contacto personal con su autor (v. MENGER [1988] y CARNAP [1963] p. 24). Carnap fue inmediatamente invitado a unirse al grupo, al cual podía aportar su familiaridad con los Principia Mathematica, de Whitehead y Russell, y con la obra específicamente filosófica de Russell. En ese mismo año, K. Gödel, joven estudiante de matemática y física de 20 años, también fue invitado por Hahn a las reuniones del círculo. Presumiblemente, el año anterior había asistido al curso de lógica dado por Schlick (v. KÖHLER [1991] p. 130), y al ingresar al  

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grupo, tuvo una primera oportunidad de tomar contacto con las más recientes ideas en fundamentos de la lógica y la matemática. Seguramente motivado por sus nuevos colegas, Carnap comenzó a dedicarse de lleno al problema de una fundamentación de las matemáticas consecuente con su filosofía empirista (v. CARNAP [1963] p. 29). Este problema implicaba una precisa caracterización de los enunciados analíticos. En un principio, el logicismo de los Principia le pareció un buen punto de partida. Sin embargo, Carnap comenzaba a mostrarse interesado por el programa metamatemático de David Hilbert, según el cual la tarea fundamental consistía en demostrar la consistencia de la aritmética mediante métodos finitistas (o "constructivos" en un sentido especial de la palabra). Por estas razones, Carnap ofreció en el semestre de verano de 1928 un curso sobre "Axiomática" (empleando este término para designar la metamatemática), y en el invierno de 1928-1929 otro curso sobre "Fundamentos filosóficos de la aritmética". Gödel asistió a alguno de estos cursos (si bien no es claro a cuál de ellos, v. KÖHLER [1991] p. 140). Según consta en el diario personal de Carnap*, él y Gödel comenzaron a reunirse para discutir problemas técnicos. A estas reuniones solían asistir otros miembros del círculo, como Herbert Feigl y Friedrich Waissmann. El 13 de noviembre de 1928, Carnap registró en su diario la charla sostenida en un café cercano a la universidad, en la que Gödel le habría planteado la imposibilidad de derivar la aritmética de la lógica, siendo por ello necesario formular algún otro tipo de fundamentación. Es entonces que Carnap le propone dedicarse a la búsqueda de una tal fundamentación. El camino que de hecho ambos siguieron se rastrea ya en un encuentro dos semanas más tarde, en el que discutieron la posibilidad de enunciados que se refieran al lenguaje (diario de Carnap, 30/11/1928). El tema surgió a partir del problema de "lo indecible" en el Tractatus. Para Wittgenstein no era posible salirse del lenguaje para hablar de él, de modo que enunciados que pretendieran referirse al lenguaje carecían de sentido. Carnap, sin embargo, advertía que una auténtica fundamentación de lógica y matemáticas iba a conllevar una referencia a entidades en último término lingüísticas (v. CARNAP [1963] p. 29). Ese mismo año, Carnap escribió sus Investigaciones sobre axiomática general (RC 080-34-03, ASP, en la universidad de Pittsburgh), que permanecen aún inéditas y en las que aparecen temas que se continuarán en la Sintaxis (CARNAP [1934]). Allí, Carnap se proponía desarrollar una "axiomática general" (en el sentido de una metamatemática), pero sin distinción entre lenguaje objeto y metalenguaje. Se presenta un único lenguaje de tipos, entendido como un lenguaje universal, y son fragmentos del mismo los que serán objetos de análisis. Por este motivo, A. Coffa llamó a esta axiomática general "proyecto monolingüístico" (v. COFFA [1991] pp. 273 ss.). En el verano de 1928, Carnap dio a leer a Gödel una versión mecanografiada del trabajo (mencionada por Gödel en su tesis doctoral del año siguiente, v. KÖHLER [1991] p. 140 n. 27), y a la que Gödel le hizo críticas a causa del empleo de un único lenguaje. Por ejemplo, una consecuencia de ello era que no se distinguía claramente entre las conceptos de demostración y de implicación verdadera.

 

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De todos modos, fue la visita de Alfred Tarski a Viena, en febrero de 1930, la que marcó el rumbo definitivo. De las conferencias que él dio en el círculo de Schlick y de las conversaciones privadas que sostuvo con Carnap y Gödel quedaba bien claro que conceptos como consistencia o demostrabilidad en un sistema debían expresarse en el lenguaje metamatemático, diferente del lenguaje en el que se formulaban los axiomas del sistema. Estas ideas constituían un marco conceptual apropiado para que Gödel pudiera desarrollar sus investigaciones, las que lo llevaron en la primavera de 1930 a demostrar la incompletitud de la aritmética y la consecuente imposibilidad de demostraciones absolutas de consistencia. Según el diario de Carnap, Gödel comunicó por primera vez sus resultados el 26 de agosto de 1930, al encontrarse en el café Reichstag con Carnap, Feigl y Waissmann. Esa cita tenía por finalidad planear el viaje al simposio de Königsberg sobre fundamentos de la matemática, que estaba siendo organizado por Carnap y que tendría lugar en septiembre de ese mismo año en el contexto de las jornadas anuales de la Asociación de Matemáticos Alemanes (DMV). Es sabido que, en este simposio, Gödel despertó el interés de toda la comunidad matemática al hacer público su descubrimiento, que apareció como artículo al año siguiente (GÖDEL [1931]), y que provocó fuertes reacciones entre algunos colegas (v. KÖHLER [1991] pp. 151 ss.). Entretanto, Carnap se decidió a abandonar el "proyecto monolingüístico" y a adoptar la distinción de niveles de lenguaje. Carnap cuenta en su "Autobiografía intelectual" que la idea de la Sintaxis le sobrevino una noche de insomnio de enero de 1931, durante una enfermedad, y que al día siguiente redactó una primera versión titulada "Esbozo de una metalógica" (CARNAP [1963] pp. 53 s.). En una carta a H. Scholz del 28 de junio de 1931 (MS 102-72-15), Carnap caracteriza a esta metalógica como referida a todas las fórmulas del lenguaje, "empíricas, tautológicas y aritméticas", siendo la metamatemática una parte de ésta. El objetivo de Carnap era obtener un criterio completo para las verdades lógicas y matemáticas, lo que se lograría mediante reglas "metalógicas". En este contexto, el concepto de analiticidad se definiría en términos del de derivación o demostración: Los enunciados analíticos son, dicho rápidamente, los enunciados derivables (o teoremas) del sistema. Ahora bien, el hecho de que la aritmética fuera incompleta traía como consecuencia la existencia de enunciados matemáticos verdaderos y, por tanto, analíticos, pero cuya analiticidad no podía determinarse. La solución a este problema consistía en extender el criterio de analiticidad, de modo que todo enunciado que contuviera únicamente términos lógicos y matemáticos resultara ser o bien analítico o bien contradictorio. Este criterio, que debía fundarse en un concepto de analiticidad mucho más fuerte que el de derivabilidad, requería, sin embargo, importantes modificaciones en el pensamiento de Carnap. En efecto, en concordancia con el proyecto empirista lógico, sobre todo en su vertiente verificacionista, Carnap tendía a emplear métodos finitistas, que son siempre decidibles. Es por esto que Carnap comenzó desarrollando su sintaxis lógica en relación con un lenguaje

 

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decidible de predicados, i.e. con predicados y functores decidibles y que, al parecer de Carnap, podía servir como metalenguaje de sí mismo. Este lenguaje terminaría siendo el Lenguaje I de la Sintaxis Lógica (v. CARNAP [1963] pp. 55 y s. y [1934] p. 42). Carnap expuso la metalógica relativa a este lenguaje en las reuniones del círculo de julio de 1931, ocasión en la que Gödel le planteó la seria objeción de que un lenguaje semejante no serviría para formalizar la matemática clásica en su totalidad, sino tan sólo su parte finitista (según el diario de Carnap, en las anotaciones del 2 y 12 de julio de 1931). Obviamente, Carnap quería formalizar sobre todo la matemática clásica, pues él daba por supuesto que era la base apropiada para construir teorías fácticas. El primer paso a tomar debía consistir en admitir reglas no finitistas de derivación. Al reunirse en un café en agosto de ese mismo año, Carnap y Gödel discutieron la regla omega, recientemente formulada por Hilbert con el fin aparente de responder a los resultados de Gödel. Esta regla permitía obtener una generalización universal a partir de un conjunto infinito de premisas (v. HILBERT [1931]). Según se infiere de las anotaciones de Carnap, Gödel veía en la postulación de esta regla una conversión de Hilbert al realismo matemático. Respecto de Carnap, podría decirse algo parecido. La situación puede esquematizarse del siguiente modo. Influido por Wittgenstein y el verificacionismo empirista, Carnap consideraba en forma implícita que la verdad de un enunciado era dependiente de los medios para reconocer la verdad de ese enunciado. Esto lo hacía proclive a buscar métodos de decisión para determinar cuáles enunciados eran analíticos. Al mismo tiempo, adhería explícitamente al principio clásico de bivalencia, lo que, en el caso de verdades formales, lo llevaba a postular la necesidad de un criterio completo de analiticidad. La conjunción de ambos presupuestos tenía como consecuencia una limitación a lenguajes decidibles, como el lenguaje I. Para fundamentar la matemática clásica de acuerdo con su proyecto "metalógico" debía abandonar alguno de estos dos presupuestos. Sus firmes creencias empiristas y los argumentos de Gödel lo llevaron a conservar a toda costa el principio de bivalencia. Desde el punto de vista semántico, Carnap era un realista convencido. Así es como Carnap desarrolló el Lenguaje II de la Sintaxis, para el cual determinó un criterio no constructivo de analiticidad, basado en reglas de consecuencia, más fuertes que las reglas de derivación y equiparables con las reglas tarskianas de verdad (v. CARNAP [1934] §§ 45 a 48). De paso, la presentación de dos lenguajes diferentes era un caso de aplicación del "principio de tolerancia lingüística" sostenido originariamente por K. Menger y que Gödel transmitió a Carnap en una conversación el 10 de junio de 1931: La elección de reglas y principios que se consideran significativos para construir un sistema, se basa en una decisión totalmente libre (v. KÖHLER [1993] p. 147). Queda claro entonces que Gödel y sus resultados determinaron en gran medida la estructura y la metodología que se encuentran en la Sintaxis. Coffa ha señalado el error de considerar que los descubrimientos de Gödel refutaban la "filosofía sintactista" de

 

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Carnap (v. COFFA [1991] p. 286). Por el contrario, éstos están en su base. En el otoño de 1931, Carnap se había trasladado a Praga para ocupar un cargo de profesor en la universidad, y la comunicación con Gödel pasó a ser desde ese momento casi exclusivamente epistolar (v. CARNAP [1963] p. 33). Gödel manifestaba ya abiertamente su platonismo matemático y en una de sus cartas a Carnap (del 11 de noviembre de 1932) bosqueja una caracterización semántica de la verdad en términos conjuntísticos. También durante este período, Gödel colaboró con Carnap en las cuestiones técnicas de la Sintaxis. Por lo demás, problemas puramente matemáticos fueron absorbiendo cada vez más las energías de Gödel y las discusiones en el círculo de Schlick dejaron de tener interés para él. Es así que, para la época de la publicación de la Sintaxis, el intercambio de ideas con Carnap prácticamente había cesado. No obstante, cabe observar que a muchos de sus resultados de ese entonces, como los concernientes a la lógica intuicionista y sus relaciones con la lógica clásica de predicados y la lógica modal (v. GÖDEL [1932a] y [1932b]), subyace el espíritu de la sintaxis lógica y del convencionalismo lingüístico. Haciendo un resumen del intercambio de ideas entre Carnap y Gödel, puede decirse que, de un lado, Carnap fue quien impulsó a su joven colega a ocuparse de la fundamentación de la lógica y la matemática, ofreciéndole un conjunto de problemas a resolver y un marco conceptual para emprender su resolución. De otro lado, Gödel le señaló a Carnap las dificultades técnicas que presentaba su programa sintactista y le ofreció las soluciones a esas dificultades. Finalmente, ambos adoptaron de común acuerdo las ideas metalógicas de Tarski y la escuela polaca. Así es como la colaboración de Gödel con Carnap influyó poderosamente en la Sintaxis lógica, aquel libro que más tarde sería considerado una "guía para la vida" por Evert Willem Beth (v. BETH [1963] pp. 469 y ss.).

NOTA * El diario de Carnap se encuentra depositado junto con su Nachlaß en la biblioteca de la Universidad de Pittsburgh y su lectura está restringida. Las referencias al mismo están tomadas de COFFA [1991] y KÖHLER [1991].

REFERENCIAS BETH, E. W. [1963]: "Carnap's Views on the Advantages of Constructed Systems Over Natural Languages in the Philosophy of Sciences". En SCHILPP [1963], pp. 469-502. CARNAP, R. [1934]: Logische Syntax der Sprache. Viena, Springer.

 

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[1963]:"Intellectual Autobiography". En SCHILPP [1963], pp. 3-84. COFFA, J. A. [1991]: The Semantic Tradition from Kant to Carnap. To the Vienna Station. Cambridge, et al., Cambridge University Press. GÖDEL, K. [1931]: "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica un verwandter Systeme I", Monatsh. f. Phys. u. Math. 38, pp. 173-198. [1932a]: "Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalküls". En Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums 4 (1931-1932), pp. 39-40. [1932b]: "Zur intuitionistischen Arithmetik und Zahlentheorie". Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums 4 (1931-1932), pp. 34-38. HILBERT, D. [1931]: "Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre". Math. Annalen 106, 485-494. KÖHLER, E. [1991]: "Gödel und der Wiener Kreis". En Paul Kruntorad (comp.): Jour Fixe der Vernunft. Der Wiener Kreis und die Folgen. Viena, Hölder-Pichler-Tempsky, pp. 127-158. SCHILPP, P. A. (comp.) [1963]: The Philosophy of Rudolf Carnap. La Salle (Illinois), Open Court.

 

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