CAP 00 HERRAMIENTAS ESTADISTICAS completo

Herramientas estadísticas
Contenido:
Distribución de probabilidad
Esperanza matemática y varianza
Distribución normal
Distribución normal estándar

Las aplicaciones :
Son de carácter no determinístico (Probabilístico)
Muchas decisiones dependen de Probabilidades basadas en información limitada o incierta
Gráficas de desempeño logístico

Objetivo: revisar herramientas estadísticas básicas en la toma de decisiones de los sistemas de producción


Objetivo: evaluar el nivel de disponibilidad del producto que maximiza la utilidad
Análisis: se supone que la demanda es una variable aleatoria no negativa continua con función de densidad f(x) y función de distribución normal acumulada F(x). Cu es el margen unitario y el costo de faltantes por unidad. Co es el costo de excedentes por unidad.


Si se compran Q unidades y surge una necesidad de x unidades, siendo Qx, sólo x unidades se venden y se obtiene una utilidad de xCu-(Q-x)*Co. La utilidad esperada P(Q) está dada por











Nivel óptimo de disponibilidad del producto
Distribuciones de probabilidad continuas
Si recordamos que FS es la función de distribución normal acumulada y fs() es la función de densidad de probabilidad para la distribución normal estándar con una media de 0 y una desviación estándar de 1, y usando la ecuación y la distribución normal estándar, se tiene

Cuando se sustituye en la ecuación para ESC






Costo de Desabastecimiento por ciclo

Objetivo: establecer una formula alternativa para el costo del desabasto esperado(ESC, por sus siglas en inglés) para que se evalúe usando excel
Análisis: Dado un punto de reorden de ROP = DL + SS, el ESC está dado por


Dado de que la demanda durante el tiempo de espera está distribuida normalmente con una media DL y una desviación estándar σL se tiene:






Costo de Desabastecimiento por ciclo
Distribuciones de probabilidad continuas
El punto medio (y más elevado) es el valor de la media µ de la distribución normal

En el eje de abscisas se mide en términos del número de desviaciones σ estándar, a partir de la media


8
4



















































2
Valores de medición





68,27 %
95,45 %
99,73 %
99,994 %
Punto de inflexión


Frecuencia
4
6


2
3
2
3
4
Tabla normal estándar
Herramientas estadísticas
Nivel óptimo de disponibilidad del producto
Utilidad esperada a partir de una orden
Distribuciones de Poisson para tiempos de llegada







0,00




0,05




0,10




0,15




0,20




0,25



0,30



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11
12
x




















0,00




0,05




0,10




0.15




0,20




0,25



0,30



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11
12
x













Probabilidad
Probabilidad
=2
=4
= promedio de clientes por unidad de tiempo




Distribución de Poisson: ejemplo




Distribución de Poisson: ejemplo
Una evaluación intermedia
Límites de control del gráfico c
Número de registros defectuosos en la unidad i
Número de unidades de la muestra
Utiliza 3 para límites del 99,7%




La distribución normal en excel
Las siguientes funciones de excel se pueden utilizar para calcular las diversas funciones de distribución normal:


Las funciones para calcular las diversas funciones de distribución normal estándar son








Tabla normal estándar
Dada la probabilidad P, la función normal inversa es el valor de x tal que P es la probabilidad de que la variable aleatoria normal tome un valor de x o menos.

El inverso de la distribución normal estándar se denota con


La función normal inversa





Gráfica de desempeño
Un ejemplo: rotación de inventarios


Es un gráfico de control de atributos.
Datos categóricos en escala.
Por ejemplo, bueno-malo.
Muestra el tanto por ciento de los artículos defectuosos.
Ejemplo:
Una silla puede ser defectuosa o no defectuosa.

Gráfico p
Ejemplo
Un servicio de paquetería express ofrece que todos los paquetes serán entregados dentro de las 24 horas siguientes a su recolección. En la práctica, la compañía desea que al menos 90% de las entregas se realicen dentro de este período. Se han recopilado muestras de 100 entregas por cada uno de los 10 días operativos representativos. Los resultados fueron los siguientes:




Muestra
Entregas
1
94
2
93
3
94
4
95
5
94
6
93
Muestra
Entregas
7
92
8
93
9
96
10
95
Total
939
Límites de control del gráfico p
Número de artículos defectuosos en la muestra i
Tamaño de la muestra i
z = 2 para límites del 95,5%; z = 3 para límites del 99,7%






















i
k
1
i
i
k
1
i
i
k
i
p
p
n
x
p

y

k
n
n
n
)
p
(
p
z
p
LCL
n
)
p
(
p
z
p
UCL
=
=
1
=
å
å
=
å
=
-
1
-
=
-
1
+
=


Es un gráfico de control de atributos.
Datos cuantitativos escasos.
Muestra el número de registros defectuosos que hay en una unidad.
Una unidad puede ser una silla, una lámina de acero, un automóvil, etc.
El tamaño de la unidad tiene que ser constante.
Ejemplo: Contar el número de registros defectuosos (rasguños, astillas, etc.) en cada silla de una muestra de 100 sillas y representarlo en un gráfico.

Gráfico c
Gráfica de desempeño
Proporcionan una descripción gráfica del desempeño y una comparación del desempeño entre varios períodos
Para proporcionar un seguimiento en el tiempo:
De los costos en la SC
Del servicio al cliente
De los índices de productividad
Para dar una señal de alerta cuando ocurre una tendencia adversa

Ejemplo
Solución:
Se utiliza una gráfica p
Promedio del proceso




Desviación estándar del proceso para un tamaño de muestra n = 100

Los límites de control, para una z =1,96 (con una confianza del 95%) son:


Ejemplo
Tabla normal estándar
=
A una distribución normal con una media µ = 0 y desviación estándar σ =1 se le conoce como distribución normal estándar.
La función de densidad normal estándar se denota por f s(x) y la función de distribución normal estándar acumulada se denota por Fs(x). Por tanto:


Distribución normal estándar

Tiempo de servicio y tiempo entre llegadas:
Ejemplo: el tiempo de servicio es de 20 minutos.
Tasa de servicio media =
Por ejemplo: clientes/hora.
Tiempo de servicio medio = 1/
Ecuación:
Distribución del tiempo de servicio
La Distribución exponencial negativa describe el tiempo de servicio, y da la probabilidad de que el tiempo de servico del cliente en una instalación no sea mayor que T períodos de tiempo







0




0,1




0,2




0,3



0,4

0




2




4




6




8



10
x








































































































Probabilidad t>x




=1
=2
=3
=4
P(t T) =1-eµT
Distribución exponencial negativa
Tiempo de servicio medio = 1 hora
Tiempo de servicio medio = 20 minutos
Probabilidad
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
Tiempo de servicio (minutos)
Excedentes esperados de un pedido




Distribución de Poisson: ejemplo
Para representar la ley de probabilidad relativa a la distribución de Poisson seleccionaremos su rango de valores (x;p(x)).




Condiciones:
Las mismas de la binomial, además de:
"Muchas oportunidades de ocurrencia, pero con baja probabilidad en cada tentativa con respecto a np":
nq es muy pequeño respecto a n
Aproximaciones a la binomial:
P es pequeño con respecto a n

Distribución de Poisson:
Cualquier fenómeno aleatorio que ocurre por unidad (de área, volumen, de tiempo, etc.)
La Distribución Normal

Una variable aleatoria continua X tiene una Distribución normal con una media µ y una desviación estándar σ>0, si la función de densidad de probabilidad f(x; µ;σ) de la variable aleatoria está dada por







La función de distribución normal acumulada se denota por F(X;µ;σ) y es la probabilidad de que una variable aleatoria distribuida normalmente con una media µ y una desviación estándar σ tome un valor menor o igual a x. La función de distribución normal acumulada y la función de densidad están relacionadas de la manera siguiente





8
4



















































2
Valores de medición





68,27 %
95,45 %
99,73 %
99,994 %
Punto de inflexión


Frecuencia
4
6


2
3
2
3
4

Datos no agrupados
Xi = valores que puede tomar la variable de la calidad
P(xi) = probabilidad de cada valor posible de la variable








El valor esperado de la demanda, o valor promedio, es de 75,6 unidades, lo cual es consistente con la distribución de probabilidades
Esperanza matemática
Distribución de probabilidad discreta
¿Cuál es la probabilidad de que se presente una demanda de hasta 82 unidades diarias?: 84%

¿Cuál es la probabilidad de que se presente una demanda mayor a 82 unidades diarias?: 100-84%= 16%

¿Cuál es la probabilidad con que se presente demanda entre 64 y 82 unidades diarias?:
La probabilidad de que se presente una demanda menor o igual a 64 unidades: 24%
Luego: 84%-24%=60%

NIVEL DE CALIDAD O NIVEL DE SERVICIO: Valor que determina la disponibilidad del producto

Distribución de probabilidad discreta
Distribución de probabilidad discreta
Ejemplo: Las salidas de un almacén ocurridas en los últimos cincuenta días se muestra en la siguiente tabla












Construir la distribución de probabilidad de la variable de la calidad "ventas"
Construir la ojiva
Calcular la esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar de la distribución
Establecer el Nivel de Servicio


Distribuciones de probabilidad discretas
Variables discretas: valores enteros asociados a cada suceso

Distribuciones de variables discretas en las cuales los valores asociados no son continuos

Reglas de las distribuciones de probabilidad:
Los sucesos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos
Las probabilidades están comprendidas entre 0 y 1
La suma de las probabilidades es igual 1

El gráfico de la distribución de probabilidades: da una imagen de su forma, y ayuda a identificar la tendencia central de la distribución (esperanza matemática) y la variabilidad o dispersión de la distribución (varianza). Además, permite calcular el Coeficiente de variación CV.







0,00




0,05




0,10




0,15




0,20




0,25



0,30



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11
12
x
















Distribución Binomial: B(n;p)
Mide la probabilidad de que en n sucesos o ensayos se obtengan k éxitos:
Ejemplo: número de clientes que llegan en 15minutos.
Media = np (por ejemplo: número de éxitos p o de fracasos q)
Varianza: pq/n
Eventos independientes
La probabilidad de observar el evento es constante en cada intento (n50 y p