Cálculo Diferencial e Integral I (ITAM)

C´alculo diferencial e integral I Bernardo Mondrag´on Brozon Enero de 2015 Estas notas est´ an contruidas con base en el libro J.Rogawski, Calculo, una variable, Ed. Revert´e, Segunda Edici´ on, 2012 (disponible en la libreria del ITAM y sugerido como libro de texto). Se recomienda ampliamente resolver todos los ejercicios de la p´agina del curso: http://departamentodematematicas.itam.mx/es/41/paginas/ejercicios-de-calculo-diferencial-e-integral.

1

Repaso de conceptos previos

1.1

N´ umeros reales funciones y gr´ aficas

• Valor absoluto: |x| =

  x

if x ≥ 0

−x



if x < 0

• Desigualdad traingular: |a + b| ≤ |a| + |b| • Cuatro intervalos de extremos a y b: (a, b)

[a, b]

[a, b)

(a, b]

• Descripc´ıon de intervalos mediante desigualdades: (a, b) = {x : |x − c| < r}, donde c =

[a, b] = {x : |x − c| ≤ r}

1 1 (a + b) es el punto medio y r = (b − a) es el radio. 2 2

• Distancia d entre (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ): d=

p

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

• Ecuaci´ on de la circunferencia de radio r y centro en (h, k): (x − h)2 + (y − k)2 = r2 • Un cero o una raiz de una funci´on f (x) es un n´ umero c tal que f (c) = 0. • Prueba de la linea vertical: una curva en un plano es la gr´afica de una funci´on si y s´olo si cada linea vertical x = a corta la curva en un s´olo punto. Esto es, una curva en un plano es funci´ on si y s´ olo si para cada elemento del dominio le correspondo uno y s´olo un elemento del contra-dominio.

•

Estrictamente creciente: Creciente: Estrictamente decreciente: Decreciente:

f (x1 ) < f (x2 ) f (x1 ) ≤ f (x2 ) f (x1 ) > f (x2 ) f (x1 ) ≥ f (x2 ) 1

Si Si Si Si

x1 x1 x1 x1

< x2 < x2 < x2 < x2

• Funci´ on par: f (−x) = f (x) (su gr´afica es sim´etrica con respecto al eje y). • Funci´ on impar: f (−x) = −f (x) (su gr´afica es simetrica respecto al origen). • Cuatro maneras de transformar la gr´afica de f (x): 1. f (x) + c Desplazamiento vertical de la gr´afica en |c| unidades (hacia arriba si c > 0, hacia abajo si c < 0) 2. f (x + c) Desplazamiento horizontal de la gr´afica en |c| unidades (hacia la derecha si c < 0 hacia la izquierda si c > 0) 3. kf (x) Reescalado vertical de la gr´afica en un factor k: si k > 1, la gr´afica se expande verticalmente; si 0 < k < 1, la gr´afica se comprime verticalmente. Si k < 0, la gr´afica presenta adem´ as una reflexi´on respecto al eje x 4. f (kx) Reescalado horizontal de la gr´afica en un factor k: si k > 1, la gr´afica se comprime en la direcci´ on horizontal. Si 0 < k < 1, la gr´afica se expande. Si k < 0, la gr´ afica presenta adem´ as una reflexi´on respecto al eje y

1.2

Funciones lineales y cuadr´ aticas

• Una funci´ on lineal es de la forma f (x) = mx + b. • La ecuaci´ on general de una funci´ on lineal es ax + by = c. La linea y = c es una linea horizontal y x = c es una linea vertical. • Tres formas convenientes de escribir la ecuaci´on de una linea no vertical: 1. Pendiente-intersecci´ on: y = mx + b (pendiente m e intersecci´on con el eje y en b) 2. Punto-pendiente: y − b = m(x − a) (pendiente m y pasa por (a, b)) 3. Punto-punto: La linea pasa por dos puntos P = (a1 , b1 ) y Q = (a2 , b2 ) tiene pendiente b2 − b1 y ecuaci´ on y − b1 = m(x − a1 ). m= a2 − a1 • Dos lineas con pendientes m1 y m2 son paralelas si y s´olo si m1 = m2 y son perpendiculares 1 si m1 = − . m2 √ −b ± D 2 , donde • Funci´ on cuadr´ atica: f (x) = ax + bx + c. Las ra´ıces o ceros son x = 2a 2 D = b − 4ac es el discriminante. Las ra´ıces son reales y distintas D > 0, hay ra´ıces dobles si D = 0, no hay ra´ıces reales si D < 0. • Completar el cuadrado consiste en escribir una funci´on cuadr´atica como un m´ ultiplo de un cuadrado mas una constante.

1.3

Tipos b´ asicos de funciones

• Sean m un n´ umero real; la funci´ on, f (x) = xm se llama funci´on potencial de exponente m. Un polinomio P (x) es una suma de m´ ultiplos de funciones xm , donde m es un numero natural: P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 Este polinomio tiene grado n (si suponemos que an 6= 0), y an se llama coeficiente principal. • Una funci´ on racional es un cociente P (x)/Q(x) de dos polinomios. • Una funci´ on algebraica se construye mediante sumas, productos y ra´ıces en´esimas de polinomios y funciones racionales. 2

• Funci´ on exponencial: f (x) = bx , donde b > 0 (el n´ umero b se denomina base). • La funci´ on compuesta f ◦ g se define como (f ◦ g)(x) = f (g(x)). El dominio de la composici´on es el conjunto Dom(f ◦ g) = {x ∈ Dom(g) | g(x) ∈ Dom(f )}

1.4

Funciones trigonom´ etricas

• Un ´ angulo de θ radianes subtiende un arco de longitud θr en un c´ırculo de radio r. • Para convertir de radianes a grados, multiplicar por

180 . π

• Al menos que se indique lo contrario, los ´angulos estar´an medidos en radianes. • Considerar las siguientes figuras:

• Las funciones cos(θ) y sin(θ) est´ an definidas en t´erminos de tri´angulos rectos como coordenadas de un punto en la circunferencia unitaria para ´angulos generales: sin(θ) =

opuesto , hipotenusa

cos(θ) =

adyacente hipotenusa

• Propiedades b´ asicas del seno y el coseno: Periodicidad sin(θ + 2π) = sin(θ), cos(θ + 2π) = cos(θ) Paridad sin(−θ) = − sin(θ), cos(−θ) = cos(θ) Identidad fundamental sin2 (θ) + cos2 (θ) = 1 • Las otras cuatro funciones trigonom´etricas: tan(θ) =

2

sin(θ) cos(θ)

cot(θ) =

cos(θ) sin(θ)

sec(θ) =

1 cos(θ)

csc(θ) =

1 sin(θ)

L´ımites

2.1

L´ımites, tasas de cambio y rectas tangentes

• La tasa de variacion media de y = f (x) sobre un intervalo [x0 , x1 ] es: Tasa de variaci´ on media =

∆f f (x1 ) − f (x0 ) = ∆x x1 − x0

(x1 6= x0 )

• La tasa de variacion instantanea es el l´ımite de las tasa de variaci´on media cuando x1 tiende a x0 .

3

• Interpretaci´ on gr´ afica: 1. La tasa de variaci´ on media de f en [x0 , x1 ] es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (x0 , f (x0 )) y (x1 , f (x1 )) de la gr´afica de f (x). 2. La tasa de variaci´ on instant´anea es x0 es la pendiente de la recta tangente en x0 . • Para estimar la tasa de variaci´ on instant´anea en x = x0 calcule la tasa de variaci´on media sobre diferentes intervalos [x0 , x1 ] (o bien [x1 , x0 ]) donde x1 est´e pr´oximo a x0 . • La velocidad de un objeto que se desplaza en una trayectoria rectil´ınea es la tasa de variaci´on de la posici´ on s(t). • Funci´ on lineal f (x) = mx + b: la tasa de variaci´on media sobre cualquier intervalo y la instant´ anea en cualquier punto son la misma e igual a la pendiente m.

2.2

Interpretaci´ on gr´ afica y num´ erica de l´ımites

• Por definici´ on, lim f (x) = L si | f (x) − L | se hace arbitrariamente peque˜ no cuando x es x→c cualquier n´ umero suficientemente cercano, pero no igual a c. Entonces decimos que: • El l´ımite de f (x) cuando x tiende a c es L, o f (x) se acerca o converge a L cuando x se acerca a c. • Si f (x) se acerca a un l´ımite cuando x → c, entonces el valor del limite es u ´nico e igual a L. • Si f (x) no se acerca a un l´ımite cuando x → c, decimos que lim f (x) no existe. x→c

• El l´ımite puede existir incluso cuando f (c) no este definido. • L´ımites laterales: 1. lim f (x) = L si f (x) converge a L cuando x se acerca a c con valores menores a c. x→c−

2. lim+ f (x) = L si f (x) converge a L cuando x se acerca a c con valores mayores a c. x→c

• El l´ımite existe si y s´ olo si los l´ımites laterales coinciden. • L´ımites infinitos: 1. lim f (x) = ∞ si f (x) crece por encima de cualquier valor cuando x se acerca a c. x→c

2. lim f (x) = −∞ si f (x) decrece por encima de cualquier valor cuando x se acerca a c. x→c

• Cuando lim f (x) = ±∞ la recta x = c se llama as´ıntota vertical. x→c±

2.3

Propiedades b´ asicas de los l´ımites

• Propiedades b´ asicas de los l´ımites: Si lim f (x) y lim g(x) existen, entonces: x→c

x→c

1. Propiedad de la suma: lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x)

x→c

x→c

2. Propiedad del m´ ultiplo constante: Para k ∈ R lim kf (x) = k lim f (x)

x→c

x→c

4

x→c

3. Propiedad del producto: lim f (x)g(x) = ( lim f (x))( lim g(x))

x→c

x→c

x→c

4. Propiedad del cociente: lim

x→c

limx→c f (x) f (x) = ⇔ lim g(x) 6= 0 x→c g(x) limx→c g(x)

5. Potencias y raices:p, q ∈ Z | q 6= 0 p

p

lim [f (x)] q = ( lim f (x)) q

x→c

x→c

Si n es un entero positivo, lim [f (x)]n = ( lim f (x))n ,

x→c

x→c

lim

p n

x→c

f (x) =

q n

lim f (x)

x→c

• Si lim f (x) o lim g(x) no existen, entonces las propiedades de los l´ımites no se pueden aplicar. x→c

2.4

x→c

L´ımites y continuidad

• Definici´ on: f (x) es continua en x = c si lim f (x) = f (c). x→c

• Si lim f (x) no existe, o si existe pero no es igual a f (c), entonces f es discontinua en x = c. x→c

• Si f (x) es continua en todos los puntos de su dominio, se dice simplemente que f es continua. • Continua por la derecha en x = c: lim+ f (x) = f (c). x→c

• Continua por la izquierda en x = c: lim f (x) = f (c). x→c−

• Existen tres tipos de discontinuidades: 1. Discontinuidad evitable o removible [ lim f (x) existe pero no coincide con f (c)]. x→c

2. Discontinuidad de salto (los l´ımites laterales existen pero son distintos). 3. Discontinuidad inf inita (el l´ımite es infinito cuando x tiende a c por un lado o por ambos lados). • Propiedades de la continuidad: sumas, productos, m´ ultiplos, divisiones y composiciones de funciones continuas son funciones continuas. • Funciones b´ asicas: polinomios, funciones racionales, ra´ıces n-´esimas y funciones algebraicas, funciones trigonom´etricas y sus inversas, funciones exponenciales y logar´ıtmicas. • M´etodo de sustituci´ on: si f (x) es continua en x = c, entonces el valor del l´ımite lim f (x) es x→c

f (c).

2.5

C´ alculo algebraico de l´ımites

• Si f (x) es continua en x = c, se puede calcular el l´ımite por sustituci´on: lim f (x) = f (c). x→c

• Se dice que f (x) es indeterminada (o que presenta una indeterminacion) en x = c, si al calcular f (c) se obtiene una expresi´on del tipo: 0 , 0

∞ , ∞

∞ · 0,

∞−∞

• Si f (x) es indeterminada en x = c, intente realizar una manipulaci´on algebraica para transformar f (x) en una nueva expresi´ on que est´e definida y sea continua en x = c. A continuaci´on, calcule el por el m´etodo de sustituci´on. 5

2.6

L´ımites trigonom´ etricos

• Se dice que f (x) est´ a comprimida en x = c, si existen funciones l(x) y u(x) tales que l(x) ≤ f (x) ≤ u(x) para todo x 6= c en un intervalo abierto I que contenga a c, y lim l(x) = lim u(x) = L

x→c

x→c

El teorema de compresi´ on o del sandwich establece que, en tal caso, lim f (x) = L. x→c

• Dos l´ımites trigonom´etricos importantes: lim

θ→0

• Las funciones y =

2.7

sin θ = 1, θ

lim

θ→0

1 − cos θ =0 θ

1 − cos x sin x yy= tienen el siguiente aspecto: x x

L´ımites en el infinito

• Limitesenelinf inito: 1.

lim f (x) = L si | f (x) − L | resulta arbitrariamente peque˜ no cuando x crece sin

x→+∞

limitaci´ on. 2.

lim f (x) = L si | f (x) − L | resulta arbitrariamente peque˜ no cuando x decrece sin

x→−∞

limitaci´ on. • Una recta horizontal y = L es una asintota horizontal si: lim f (x) = L

y/o

x→+∞

lim f (x) = L

x→−∞

• Si n > 0, entonces lim xn = +∞ y lim x−n = 0. Si n > 0 es un n´ umero natural, entonces: x→+∞

lim xn =

x→−∞

• Si f (x) =

x→±∞

  +∞ si n es par 

−∞ si n es impar

y

lim x−n = 0

x→−∞

an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 con an ,bm 6= 0, entonces: bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + a0 lim f (x) =

x→±∞

6

an · lim xn−m bm x→±∞

2.8

Teorema de los valores intermedios

• El teorema de los valores intermedios (TVI) establece que una funci´on continua no puede saltarse valores. • De forma m´ as precisa, si f (x) es continua en [a, b] con f (a) 6= f (b) y si M es un n´ umero entre f (a) y f (b), entonces f (c) = M para alg´ un c ∈ (a, b). • Teorema de Bolzano: si f (x) es continua en [a, b] y si f (a) y f (b) tiene signos opuestos, entonces f (c) = 0 para alg´ un c ∈ (a, b). • M´etodo de la bisecci´ on o metodo de Newton Raphson: suponga que f es continua en [a, b] y que f (a) y f (b) tienen signos opuestos, de manera que f tenga un cero en (a, b). Entonces f tiene un cero en (a, m] o en [m, b), donde m = (a + b)/2 es el punto medio de [a, b]. Suponiendo que f (m) 6= 0, habr´ a un cero en (a, m) si f (a) y f (m) tiene signos opuestos, y en (m, b) si f (m) y f (b) tienen signos opuestos. Reiterando el proceso, se puede localizar un cero con la precisi´ on requerida.

2.9

Definici´ on formal de l´ımite

• De manera informal, la afirmaci´ on lim f (x) = L significa que la desviaci´on | f (x) − L | tiende x→c a 0 cuando x se aproxima a c. • La def inicion f ormal (llamada definici´on -δ): lim f (x) = L, si, para todo  > 0, existe un x→c δ > 0 tal que: | f (x) − L |<  si 0 0, ∃δ > 0 | si x ∈ Dom(f ) y 0 0, ∃δ > 0 | si x ∈ Dom(f ) y a < x < a + δ ⇒ | f (x) − l |<  x→a

3. lim− f (x) = l ⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0 | si x ∈ Dom(f ) y a − δ < x < a ⇒ | f (x) − l |<  x→a

4. lim f (x) = ∞ ⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0 | si x ∈ Dom(f ) y 0 M x→a

5. lim f (x) = −∞ ⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0 | si x ∈ Dom(f ) y 0 0, ∃δ > 0 | si x ∈ Dom(f ) y a < x < a + δ ⇒ f (x) > M x→a

7. lim+ f (x) = −∞ ⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0 | si x ∈ Dom(f ) y a < x < a + δ ⇒ f (x) < M x→a

8. lim f (x) = ∞ ⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0 | si x ∈ Dom(f ) y a − δ < x < a ⇒ f (x) > M x→a−

9. lim− f (x) = −∞ ⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0 | si x ∈ Dom(f ) y a − δ < x < a ⇒ f (x) < M x→a

10. lim f (x) = l ⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0 | si x ∈ Dom(f ) y x > M ⇒ | f (x) − l |<  x→∞

11.

lim f (x) = l ⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0 | si x ∈ Dom(f ) y x < M ⇒ | f (x) − l |< 

x→−∞

12. lim f (x) = ∞ ⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0 | si x ∈ Dom(f ) y x > M ⇒ f (x) > C x→∞

13. lim f (x) = −∞ ⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0 | si x ∈ Dom(f ) y x > M ⇒ f (x) < C x→∞

14. 15.

lim f (x) = ∞ ⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0 | si x ∈ Dom(f ) y x < M ⇒ f (x) > C

x→−∞

lim f (x) = −∞ ⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0 | si x ∈ Dom(f ) y x < M ⇒ f (x) < C

x→−∞

En la siguiente direcci´ on encontrar´a muy buenos ejemplos de demostraciones fromales de l´ımites: https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/preciselimdirectory/ PreciseLimit.html 7

3

Derivaci´ on

3.1

Definici´ on de derivada

• El cociente incremental:

f (a + h) − f (a) h es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P = (a, f (a)) y Q = (a+h, f (a+h)) de la gr´ afica de f (x).

• La derivada f 0 (a) se define por medio de los siguientes l´ımites equivalentes: f 0 (a) = lim

h→0

f (a + h) − f (a) f (x) − f (a) = lim x→a h x−a

Si el l´ımite existe, entonces se dice que f es derivable en x = a. • Por definici´ on, la recta tengente en P = (a, f (a)) es la recta que pasa por P de pendeiente f 0 (a) [suponiendo que f 0 (a) exista]. • Ecuaci´ on de la recta tangente en la forma punto-pendiente: y − f (a) = f 0 (a)(x − a) • Para calcular f 0 (a) a partir de la definici´on: P aso 1. Escriba el numerador del conciente incremental. P aso 2. Divida por h y simplifique. P aso 3. Calcule la derivada pasando al l´ımite. • Para valores peque˜ nos de h se tiene la aproximaci´on f 0 (a) ≈

3.2

f (a + h) − f (a) . h

La derivada como funci´ on

• La derivada f 0 (x) es la funci´ on cuyo valor en x = a es la derivada f 0 (a). • Existen diferentes notaciones para la derivada de y = f (x): y0

y 0 (x) f 0 (x)

dy dx

df dx

El valor de la derivada en x = a se denota: 0

dy dx x=a

0

y (a) f (a)

df dx x=a

• La regla de la potencia es v´ alida para todo n: d n x = nxn−1 dx • Las reglas de la linealidad permiten derivar t´ermino a t´ermino: Regla de la suma :

(f + g)0 = f 0 + g 0

Regla del m´ ultiplo constante :

(cf )0 = cf 0

• Derivabilidad implica continuidad: si f (x) es derivable en x = a, entonces f (x) es continua en x = a. Sin embargo, existen funciones continuas que no son derivables. • Si f 0 (a) existe, entonces f es localmente lineal en el seguiente sentido: cuando se ampl´ıa la gr´ afica de f sobre un punto (a, f (a)), ´esta resulta pr´acticamente indistinguible de su recta tangente. 8

3.3

Reglas del producto y del cociente

• Dos reglas b´ asicas de derivaci´ on: Regla del producto: Regla del cociente:

(f g)0 = f 0 g + f g 0  0 f f 0 g − f g0 = g g2

• Recordar que la derivada de f g no es igual a f 0 g 0 . de manera an´aloga, la derivada de f /g no es igual a f 0 /g 0 .

3.4

Tasa de variaci´ on

• La tasa de variaci´ on (instantanea) de y = f (x) respecto a x en x = x0 se define como la derivada f (x1 ) − f (x0 ) 4y f 0 (x0 ) = lim = lim x1 →x0 4x→0 4x x1 − x0 • La tasa dy/dx se mide en unidades de y por unidad de x. • Para el movimiento rectil´ıneo, la velocidad v(t) es la tasa de variaci´on de la posici´on s(t) respecto al tiempo, es decir, v(t) = s0 (t). • En algunas aplicaciones, f 0 (x0 ) proporciona una buna estimaci´on del cambio en f debido a un incremento unitario en x cuando x = x0 : f 0 (x0 ) ≈ f (x0 + 1) − f (x0 ) • El coste marginal es el coste de producci´on de una unidad adicional. Si C(x) es el coste de producci´ on de x unidades, entonces el coste marginal para el nivel de producci´on x0 es C(x0 + 1) − C(x0 ). La derivada C 0 (x0 ) suele ser una buena estimaci´on del coste marginal. • F´ ormulas de Galileo para un cuerpo que asciende o que cae bajo la influencia de la gravedad, cerca de la superficie de la Tierra, (s0 =posici´on inicial, v0 =velocidad inicial): 1 s(t) = s0 + v0 t − gt2 2

v(t) = v0 − gt

donde g ≈ 9.8m/s2 . La altura m´axima se alcanza cuando v(t) = 0.

3.5

Derivadas de orden superior

• Las derivadas de orden superior f 0 , f 00 , f 000 ,... se definen por derivaci´on sucesiva: d 0 d 00 f (x) f 000 (x) = f (x)... dx dx La derivada de orden n se denota como f n (x). f 00 (x) =

• La segunda drivada desempe˜ na un papel importante: es la tasa de variaci´on de f 0 . Gr´aficamente, 00 f mide lo r´ apido que las rectas tangentes cambian de pendeiente y, por tanto, mide la ”flexi´on” de la gr´ afica. • Si s(t) es la posici´ on de un objeto en el instante t, entonces s0 (t) ser´a la velocidad y s00 (t) es la aceleraci´ on.

9

3.6

Funciones trigonom´ etricas

• Derivadas trigon´ ometricas b´ asicas: d cos x = − sin x dx

d sin x = cos x dx • F´ ormulas adicionales:

d tan x = sec2 x dx d cot x = − csc2 x dx

3.7

d sec x = sec x tan x dx d csc x = − csc x cot x dx

La regla de la cadena

• La regla de la cadena expresa (f ◦ g)0 en t´erminos de f 0 y g 0 : (f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g 0 (x) • En la notaci´ on de Leibniz:

dy du dy = , donde y = f (u) y u = g(x) dx du dx

• Regla de la cadena generalizada:

d g(x)n = n(g(x))n−1 g 0 (x) dx

• Regla del desplazamiento y cambio de escala:

3.8

d f (kx + b) = kf 0 (kx + b) dx

Derivaci´ on impl´ıcita

dy • La derivaci´ on impl´ıcita se usa para calcular cuando x e y est´an relacionadas por una dx ecuaci´ on. P aso 1. Derive ambos lados de la ecuaci´on, respecto a x. P aso 2. Despeje dx/dy agrupando todos los t´erminos que involucren dy/dx en un lado y el resto en el otro lado de la ecuaci´ on. • Recuerde incluir el factor dy/dx cuando derive expresiones que involucren y respecto a x. Por ejemplo: d dy sin y = (cos y) dx dx

3.9

Tasas relacionadas

• Los probelmas de tasa relacionadas presentan situaciones en que una o m´as variables est´an relacionadas por una ecuaci´ on, y se pide calcular la tasa de variaci´on de una de las variables en t´erminos de las tasa de variaci´on de la(s) otra(s) variable(s). • Dibuje un driagrama siempre que sea posible. Tambi´en puede ser u ´til estructurar la soluci´on en tres pasos: P aso 1. Asigne variables y reformule el problema. P aso 2. Halle una ecuaci´ on que relacione las variables y derive. Esto proporciona una ecuaci´on que relacionar´a las derivadas conocidas con las desconocidas. Recuerde que no deben sustituirse las variables por valores concretos antes de haber calculado todas las derivadas. P aso 3. Use los datos para hallar la derivada desconocida. 10

• Los dos elementos de geometr´ıa que aparecen con m´as frecuencia en problemas de tasas relacionadas son el teorema de Pit´ agoras y el teorema de los tri´angulos semejantes (las razones de los lados correspondientes son iguales). • Leer el cap´ıtulo.

4

Aplicaciones de la derivada

4.1

Aproximaci´ on lineal y aplicaciones

• Sea ∆f = f (a + ∆x) − f (a). La aproximacion lineal es la estimaci´on: ∆f ≈ f 0 (a)∆

(para valores de ∆x peque˜ nos)

• Notaci´ on diferencial: dx es el cambio en x, dy = f 0 (a)dx y ∆y = f (a + dx) − f (a). Con esta notaci´ on la aproximaci´ on lineal se expresa: ∆y ≈ dy

(para valores de dx peque˜ nos)

• La linealizacion de f (x) en x = a es la funci´on: L(x) = f 0 (a)(x − a) + f (a) • La aproximaci´ on lineal es equivalente a la aproximaci´on, es decir: f (x) ≈ L(x)

(para x cercanos a a)

• El error de la aproximaci´ on lineal viene dado por: Error =| ∆f − f 0 (a)∆x | En muchas situaciones, el porcentaje de error es m´as relevante que el propio error: procentaje de error =

4.2

error × 100% valor exacto

Valores extremos

• Los valores extremos de f (x) en un intervalo I son los valores m´ınimo y m´aximo de f (x) para x ∈ I (tambi´en de denominan extremos absolutos en I). • Teorema de Weierstrass: Si f (x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f (x) tiene tanto max´ımo como m´ınimo dentro del intervalo [a, b]. • f (c) es un minimo local si f (x) ≥ f (c) para todo x en alg´ un intervalo abierto alrededor de c. Los m´ aximos locales se definen de forma an´aloga. • X = c es un punto cr´ıtico de f (x) si, f 0 (c) = 0 o f 0 (c) no existe. • Teorema de Fermat: si f (c) es un m´aximo o m´ınimo local, entonces c es un punto cr´ıtico. • Para hallar los valores extremos de una funci´on continua f (x) en un intervalo cerrado [a, b]: P aso 1. Halle los puntos cr´ıticos de f (x) en [a, b]. P aso 2. Eval´ ue f (x) en los puntos cr´ıticos en [a, b] y en los extremos del intervalo. El m´ aximo y el m´ınimo sobre [a, b] son el mayor y el menor de los valores que se han calculado en el paso 2. • Teorema de Rolle: si f (x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y se cumple que f (a) = f (b), entonces existe alg´ un c entre a y b tal que f 0 (c) = 0. 11

4.3

El teorema del valor medio y monoton´ıa

• El teorema del valor medio (TVM) o teorema de Lagrange: Si f (x) es continua en [a, b] y deiferenciable en (a, b), entonces existe por lo menos un punto c en (a, b) tal que: f 0 (c) =

f (b) − f (a) b−a

Esta conclusi´ on tambi´en se puede expresar como: f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a) • Un corolario importante del TVM: si f 0 (x) = 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f (x) es constante en (a, b). • El signo de f 0 (x) determina si f (x) es estricatamente creciente o estrictamente decreciente: f 0 (x) > 0 para x ∈ (a, b) ⇒ f es estrictamente creciente en (a,b) f 0 (x) < 0 para x ∈ (a, b) ⇒ f es estrictamente decreciente en (a,b) • El signo de f 0 (x) s´ olo puede cambiar en los puntos cr´ıticos, por lo que f (x) es mon´otona (estrictamente creciente o estrictamente decreciente) en los intervaloes comprendidos entre dos puntos cr´ıticos consecutivos. • Para determinar el signo de f 0 (x) en un intervalo comprendido entre dos puntos cr´ıticos consecutivos, calcule el signo de f 0 (x0 ) en un punto cualquiera, de prueba, x0 de ese intervalo. • Criterio de la primera derivada: Si f (x) es derivable y c es un punto cr´ıtico, entonces: Cambio de signo de f 0 en c Tipo de punto cr´ıtico De + a − M´aximo local De − a + M´ınimo local

4.4

La forma de una gr´ afica

• Una funci´ on derivable f (x) es convexa an (a, b) si f 0 (x) es estrictamente creciente y concava 0 si f (x) es estrictamente decreciente en (a, b). • Los signos de las dos primeras derivadas proporcionan la siguiente informaci´on: Primera derivada f 0 > 0 ⇒ f es estrictamente creciente f 0 < 0 ⇒ f es estrictamente decreciente

Segunda derivada f 00 > 0 ⇒ f es convexa f 00 < 0 ⇒ f es c´oncava

• Un punto de inf lexion es un punto en el que f cambia de convexa a c´oncava, o viceversa. • Si f 00 (c) = 0 y f 00 (x) cambia de signo en c, entonces c es un punto de inflexi´on. • Criterio de la segunda derivada: si f 0 (c) = 0 y f 00 (c) existe, entonces: - f (c) es un m´ aximo local si f 00 (c) < 0. - f (c) es un m´ınimo local si f 00 (c) > 0. - El criterio falla si f 00 (c) = 0. Si el criterio falla, use el criterio de la primera derivada.

12

4.5

Dibujo de gr´ aficas y as´ıntotas

• La mayor´ıa de gr´ aficas se componen de arcos que adoptan una de las cuatro formas b´asicas:

++ +− −+ −−

Combinaci´ on de signos f 0 > 0,f 00 > 0 f 0 > 0,f 00 < 0 f 0 < 0,f 00 > 0 f 0 < 0,f 00 < 0

Tipo de curva Estricatamente creciente y convexa Estrictamente creciente y c´oncava Esctrictamente decreciente y convexa Estrictamente decreciente y c´oncava

As´ı lo indica la siguiente figura:

• Un punto de transicion es un punto del dominio de f en el que, o bien f 0 cambia de signo (m´ aximo local o m´ınimo local) o bien f 00 cambia de signo (punto de inflexi´on). • Es conveniente organizar el trazado de gr´aficas en varios pasos: P aso 1. Derterminar el dominio de f . P aso 2. Determinar las intersecciones con los ejes. P aso 3. Determine si f es par o impar. P aso 4. Determinar si la funci´ on es peri´odica. P aso 5. Determinar el comportamiento asint´otico. P aso 6. Determinar los puntos cr´ıticos. P aso 7. Determinar los intervalos donde f crece o decrece. P aso 8. Determinar los extremos locales. P aso 9. Determinar extremos globales. P aso 10. Determinar concavidades y puntos de inflexi´on

4.6

Optimizaci´ on aplicada

• Se suelen seguir tres pasos para resolver un problema pr´actico de optimizaci´on: P aso 1. Elija las variables. Determine qu´e magnitudes son relevantes, dibujando un diagrama si se requiere, y asigne nombres a las variables apropiadas. P aso 2. Encuentre la funci´ on objetivo y el intervalo. Formule el problem en t´erminos de optimizaci´ on de una funci´ on f en un intervalo. Si la funci´on depende de m´as de una variable, use una ecuacion de restriccion para expresar f como una funci´on de una variable. P aso 3. Si el intervalo es abierto, puede ocurrir que f no tenga m´aximo ni m´ınimo. Si los tiene, se hallan necesariamente en puntos cr´ıticos del interior del intervalo. Para determinar si existe un m´ aximo o un m´ınimo, debe estudiarse el comportamiento de f cuando x se aproxima al borde del intervalo. Ver Rogawski.

13

4.7

M´ etodo de Newton

• M´etodo de Newton: para hallar una sucesi´on de aproximaciones num´ericas a una ra´ız de f (x), empiece con una elecci´ on incial x0 Luego construya la sucesi´on x0 , x1 , x2 , .. mediante la f´ ormula: f (xn ) Xn+1 = xn − 0 f (xn ) El valor inicial x0 debe elegirse tan cerca de una ra´ız como sea posible, observando una gr´afica si es necesario. En condiciones favorables, la sucesi´on converge r´apidamente a una soluci´on. • Si xn y xn+1 coinciden en las m primeras cifras decimales, puede suponerse que xn coincide con la ra´ız en las m primeras cifras decimales tambi´en.

14

4.8

Manual del buen graficador

1. Dominio: determinar el dominio de la funci´on f . 2. Intersecciones con los ejes: determinar donde interseca la gr´afica de f los ejes coordenados: • Intersecci´ on con el eje x: {x | f (x) = 0} • Intersecci´ on con el eje y: f (0) si 0 ∈ Dom(f ) 3. Simet´ıas: determinar si la funci´ on es par o impar: • Si f es par, f (x) = f (−x), entonces la gr´afica de f es sim´etrica con respecto al eje y. • Si f es impar, f (−x) = −f (x), entonces la gr´afica de f es dim´etrica con respecto al origen. 4. Periodicidad: determinar si la funcion se repite. Una funci´on es peri´odica si para alg´ un n´ umero p > 0, f (x + p) = f (x) para toda x en el dominio de f (la gr´afica de f ”se repite” en intervalos de longitud p). 5. As´ıtotas: determinarl el comportamiento asint´otico: • Horizontal (recta y = l): cuando lim f (x) = l

x→∞

´o

lim f (x) = l

x→−∞

• Vertical (recta x = a): cuando lim f (x) = ±∞ ´o

x→a

lim f (x) = ±∞

x→a+

´o

lim f (x) = ±∞

x→a−

• Oblicua (recta y = mx + b): cuando lim [mx + b − f (x)] = 0

x→∞

´o

lim [mx + b − f (x)] = 0

x→−∞

6. Puntos cr´ıticos: son los puntos x tales que f 0 (x) = 0 ´o f (x) no existe. 7. Intervalos donde f crece o decrece: • Si f 0 (x) > 0 en un intervalo I entonces f es creciente en I. • Si f 0 (x) < 0 en un intervalo I entonces f es decreciente en I. 8. Extremos locales: determinar m´aximos o m´ınimos locales, que son algunos de los puntos cr´ıticos. Para de determinar si es m´aximo o m´ınimo local se puede: (a) Aplicar el criterio de la primera derivada: si c es un punto cr´ıtico de f y • f 0 (x) > 0 antes de c y f 0 (x) < 0 despu´es de c, entonces f tiene un m´aximo local en c. • f 0 (x) < 0 antes de c y f 0 (x) > 0 despu´es de c, entonces f tienen un m´ınimo local en c. (b) Aplicar el criterio de la segunda derivada: • Si f 0 (c) = 0 y f 00 (c) > 0 se tiene un m´ınimo local en c. • Si f 0 (c) = 0 y f 00 (c) < 0 se tiene un m´aximo local en c. 9. Extremos globales: determinar los extremos globales de f . No simpre existen. Si la funci´on es continua y tiene como dominio un intervalo cerrado y acotado, [a, b], los estremos globales existen y se encuentran entre [f (a), f (b)].

15

10. Concavidades y puntos de inflexi´on: determinar en qu´e intervalos f crece o decrece a una tasa creciente o decreciente: • Si f 00 (x) < 0 en un intervalo I entonces f es c´oncava en I (f crece o decrece a una tasa decreciente). • Si f 00 (x) > 0 en un intervalo I entonces f es convexa en I (f crece o decrece a una tasa creciente). • Un punto de inflexi´ on es un punto del dominio de f donde cambia la concavidad (tasa de crecimiento o decrecimiento) de la funci´on.

16

4.9

La primitiva

• F (x) es una primitiva de f (x) si F 0 (x) = f (x). • Dos primitivas de f (x) es un intervalo (a, b) difieren en una constante. • La primitiva general se denota como una integral indefinida: Z f (x)dx = F (x) + C • F´ ormulas de integraci´ on: Z

Z

xn dx =

xn+1 +C n+1

(n 6= −1)

1 sin(kx + b)dx = − cos(kx + b) + C k

Z cos(kx + b)dx =

1 sin(kx + b) + C k

(k 6= 0) (k 6= 0)

dy = f (x), y(x0 ) = y0 , en primer lugar,halle dx la primitiva general y = F (x) + C. A continuaci´on, determine C usando la condici´on inicial F (x0 ) + C = y0 .

• Para resolver un problema de valores iniciales

• A continuaci´ on se presentan algunas antiderivadas importantes: Funci´ on cf (x) f (x) + g(x) sin x cos x sec2 x sec x tan x ex 1 x

5

Antiderivada cF (x) F (x) + G(x) − cos x sin x tan x sec x ex ln x

La integral

5.1

Aproximaci´ on y c´ alculo de ´ areas 

• Aproximaciones del ´ area por debajo de la gr´afica de f (x) en [a, b]

RN = ∆x

N X

 b−a ∆x = : N

f (a + i∆x) = ∆x(f (a + ∆x)) + f (a + 2∆x) + · · · + f (a + N ∆x)

i=1

LN = ∆x

N −1 X

f (a + i∆x) = ∆x(f (a) + f (a + ∆x) + · · · + f (a + (N − 1)∆x))

i=0

MN = ∆x

           N X 1 1 1 f a+ i− ∆x = ∆x f a + ∆x + · · · + f a + N − ∆x 2 2 2 i=1 17

• Si f (x) es continua en [a, b], entonces las aproximaciones basadas en los extremos y en el punto medio se aproximan entre ellas y tienden al mismo l´ımite L: lim RN = lim LN = lim MN = L

N →∞

N →∞

N →∞

• Si f (x) ≥ 0 en [a, b], se define el ´area por debajo de la gr´afica de y = f (x) en [a, b] como L. • Algunas sumas de potencias: n X

i=

i=1 n X

n(n + 1)(2n + 1) n3 n2 n = + + 6 3 2 6

i2 =

i=1 n X

n2 (n + 1)2 n4 n3 n2 = + + 4 4 2 4

i3 =

i=1

5.2

n2 n n(n + 1) = + n 2 2

Integral definida

• Una suma de Rieman R(f, P, C) para el intervalo [a, b] queda determinada mediante la elecci´on de una particion P : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b y de unos puntos intermedios C = {ci }1≤i≤n , donde ci ∈ [xi−1 , xi ]. Sea ∆xi = xi − xi−1 . Entonces R(f, P, C) =

n X

f (ci )∆xi

i=1

• La norma kP k de la partici´ on es el valor m´aximo de las longitudes de ∆xi . • La integral def inida es el l´ımite de las sumas de Riemann (siempre que ´este exista): b

Z

f (x)dx = lim R(f, P, C) kP k→0

a

• Se dice que f (x) es integrable en [a, b] si el l´ımite existe. • Teorema: si f (x) es continua en [a, b], entonces f (x) es integrable en [a, b]. Z b • f (x)dx = area con signo de la regi´on limitada por la g´afica de f (x) y el eje x entre a y b. a

• Propiedades de las integr´ ales definidas: Z

b

Z

b

(f (x) + g(x))dx = a

Z

Z f (x)dx +

a

b

f (x)dx

para cualquier constante C

a

Z

g(x)dx a

b

Z Cf (x)dx = C

a

b

b

Z f (x)dx = −

a

f (x)dx b

18

a

a

Z

f (x)dx = 0 a b

Z

c

Z

Z

f (x)dx +

f (x)dx =

a

b

c

f (x)dx a

• F´ ormulas: Z

b

C dx = C(b − a)

para cualquier constente C

a b

Z

x dx =

1 2 b 2

x2 dx =

1 3 b 3

a b

Z 0

• Teorema de comparaci´ on: si f (x) ≤ g(x) en [a, b], entonces se verifica: b

Z

Z f (x)dx ≤

a

b

g(x)dx a

Si m ≤ f (x) ≤ M en [a, b], entonces se verifica: b

Z m(b − a) ≤

f (x)dx ≤ M (b − a) a

5.3

El teorema fundamental del c´ alculo (TFC), 1a parte

• El teorema fundamental del c´ alculo, 1a parte, establece que: Z

b

f (x)dx = F (b) − F (a) a

donde F (x) es una primitiva de f (x). El TFC (1a parte) se utiliza para evaluar integrales definidas en situaciones en las que se puede hallar una primitiva del integrando (ver demostraci´ on: p´ ag. 268). • F´ ormulas de primitivas b´ asicas para resolver integrales definidas: Z xn+1 + C para n 6= −1 xn dx = n+1 Z

Z sin x dx = − cos x + C

Z

cos x dx = sin x + C Z

sec2 x dx = tan x + C

Z

csc2 x dx = − cot x + C

Z sec x tan x dx = sec x + C

19

csc x cot x dx = − csc +C

5.4

El teorema funadamental del c´ alculo (TFC), 2a parte Z

• La f uncion area de l´ımite inferior a: A(x) =

x

f (t) dt. Cumple A(a) = 0. a

d • TFC (2 parte): A (x) = f (x) o, equivalentemente, dx P´ ag. 274). a

0

Z

x

f (t) dt = f (x) (ver demostraci´on: a

• El TFC (2a parte) establece que toda funci´on continua tiene primitiva, precisamente su funci´on area (con cualquier l´ımite inferior). ´ Z g(x) Z x • Para derivar la funci´ on G(x) = f (t) dt, exprese G(x) = A(g(x)) siendo A(x) = f (t) dt. a

a

A continuaci´ on aplique la regla de la cadena: G0 (x) = A0 (g(x))g 0 (x) = f (g(x))g 0 (x)

5.5

Variaci´ on neta como la integral de una tasa

• Muchas aplicaciones est´ an basadas en el siguiente principio: La variacion neta en una cantidad s(t) es igual a la integral de su tasa de variacion: Z s(t2 ) − s(t1 ) = | {z } Variaci´on neta en [t1 , t2 ]

t2

s0 (t) dt

t1

• Para un objeto que se mueve en l´ınea recta a velocidad v(t), Z

t2

Desplazamiento a lo largo de [t1 , t2 ] =

v(t) dt t1

Z

t2

| v(t) | dt

Distancia total recorrida a lo largo de [t1 , t2 ] = t1

• Si C(x) es el coste de producir x unidades de un cierto bien, entonces C 0 (x) es el coste marginal y Z b Coste de aumentar la procucci´on de a a b = C 0 (x) dx a

5.6

M´ etodo de sustituci´ on

• Probar con el m´etodo de sustituci´on cuando el integrando sea de la forma f (u(x))u0 (x). Si F es una primitiva de f , entonces: Z f (u(x))u0 (x) dx = F (u(x)) + C • La diferencial de u(x) est´ a relacionada con dx mediante du = u0 (x)dx. • El m´etodo de sustituci´ on se expresa por medio de la f´ormula del cambio de variables: Z Z 0 f (u(x))u (x) dx = f (u) du • F´ ormula del cambio de variables para integrales definidas: Z b Z u(b) f (u(x))u0 (x) dx = f (u) du a

u(a)

20