calculo diferencial

FUNCIONES.

3.4.1 Concepto de función.- Es una regla matemática que asigna a cada valor
de entrada uno y sólo un valor de salida. El dominio de una función es el
conjunto que consiste en todos los valores de entrada posibles. El rango de
una función es el conjunto de todos los valores de salida posibles.
Notación: ; que se lee: "y" es igual a "f" de "x".

Cuando decimos que "y" es una función de "x" queremos decir que el valor de
la variable "y" depende de "x" y se determina únicamente por el valor de la
variable "x". "x" es la variable de entrada y "y" es la variable de salida.
Los papeles respectivos de las dos variables hacen que la variable "x"
reciba el nombre de variable independiente y la variable "y" se denomine
variable dependiente. De forma alternativa, a menudo nos referimos a la
variable "y" como el valor de la función. "f" es el nombre de la función o
regla de mapeo (proceso de asignación de valores de salida a los
correspondientes valores de entrada).

Ejemplo 18 (pág. 145 Budnick).

Imagine que se le ha contratado como vendedor. Su patrón le indicó que su
salario dependerá del número de unidades que venda cada semana. Si
suponemos que:
y = salario semanal en pesos.
x = número de unidades vendidas cada semana

Se puede representar la dependencia definida por su patrón mediante la
función:
y = f(x) donde "f" es el nombre de la función del salario.
Suponga que su patrón le dio la ecuación siguiente para determinar su
salario semanal:
y = f(x) = 3x + 25

Dado cualquier valor para "x", la sustitución de este valor en f dará como
resultado el valor correspondiente de "y". Por ejemplo, si deseamos
calcular su salario semanal cuando vende 100 unidades, sustituir x = 100 en
la función:
y = 3(100) + 25
= $325

Ejemplo 3 (pág. 146).

El departamento de policía de una ciudad pequeña contempla la compra de un
auto patrulla adicional. Los analistas de la policía estiman que el costo
de la compra de un automóvil totalmente equipado es de $100 000. También
estima un costo operativo promedio de $.40 por kilometro.
a) Determine la función matemática que representa el costo total de
la posesión y operación del automóvil en términos de los "x"
kilómetros conducidos.
b) ¿Cuáles son los costos totales proyectados si se conduce el
automóvil
50 000 kilómetros durante su tiempo de vida?
c) ¿Si se conduce 100 000 kilómetros?

Solución:
a) CT = .40x + 100 000
b) CT = .40(50 000) + 100 000
= $120 000
c) CT = .40(100 000) + 100 000
= $140 000
3.4.2 Función lineal.


1. Concepto.- Una función lineal tiene la forma general (pendiente-
intercepcion)


Donde y son constantes
2.- Función lineal que incluye dos variables independientes tiene la forma:


Donde: Donde y son constantes (no cero) y es una
constante.

3.- Funciones lineales de Costo.- Los contadores o economistas definen a
menudo el costo total en términos de dos componentes: costo variable y
costo fijo total. Se deben sumar esos dos componentes para determinar el
costo total. El total de costos variables varía con el nivel de entrada
(insumos) y se calcula como el producto del costo variable por unidad de
salida (producción). En un escenario de producción, el costo variable por
unidad se compone por lo general de los costos de materia prima y trabajo.

Ejemplo (pág. 187 Ejemplo 2).- Una empresa que fabrica un solo producto
se interesa en determinar la función que expresa el costo total anual "y"
como una función del número de unidades fabricadas "x". Los contadores
indican que los gastos fijos cada año son de $50 00. También estiman que
los costos de la materia prima para cada unidad producida son de $5.50 y
los costos del trabajo por unidad son de $1.5, en el departamento de
ensamble, $.75 en el departamento de acabado y $1.25 en el departamento de
empaque y distribución.

La función de costo total tendría la forma:
y = C(x)
= costo variable total + costo fijo total.
Los costos variables totales dependen de dos componentes: costos de la
materia prima y costos del trabajo. Los costos del trabajo se determinan
sumando los costos de trabajo respectivos de los tres departamentos. Se
define el costo total por medio de la función:
y = costo total de la materia prima + costo total del trabajo + costo fijo
total.
= costo total de la materia prima + costo del trabajo (departamento de
ensamble) + costo del trabajo (cuarto de acabado) + costo del trabajo
(departamento de envíos) + costo fijo total.


4.- Funciones lineales del ingreso.

Con frecuencia nos referimos al dinero que fluye hacia una organización ya
sea por la venta de productos o por la prestación de un servicio como
ingreso. El modo más fundamental de calcular el ingreso total de la venta
de un producto o servicio es:
Ingreso total = (precio) (cantidad vendida).
Una suposición en esta relación es que el precio de venta es el mismo para
todas las unidades vendidas.
Suponga que una empresa fabrica n productos. Si es igual al número de
unidades vendidas del producto "i" y es igual al precio del producto
"j", la función que le permite calcular el ingreso total de la venta de "n"
productos es:

5.- Ejemplo de función de ingreso. (pág. 188)
Una agencia local de renta de autos trata de competir con algunas empresas
nacionales más grandes. La gerencia comprende que a muchos viajeros no les
preocupa adornos superficiales como ventanas, tapacubos, radios y
calentadores. El señor "H", propietario de la empresa ha estado reciclando
autos usados para que formen parte de su flotilla. "H" también simplifico
la estructura de tasa de renta al cobrar una tarifa sencilla de $9.95 por
día por el uso de su automóvil. El ingreso total del año es una función
lineal del número de días de renta de autos de la agencia, o si R = ingreso
anual en pesos
"d" = número de días de renta de autos durante el año.
R = f(d) = 9.95d

6.- Funciones lineales de utilidad.

La utilidad de una organización es la diferencia entre el ingreso total y
el costo total. Expresado en forma de ecuación:
Utilidad = Ingreso total – Costo total.
Si Ingreso total es: R(x) y Costo total es: C(x), entonces la Utilidad
Total sería:
P (x) = R (x) – C (x)

7.- Ejemplo de funciones de utilidad. Pág. 189.
Una empresa vende un solo producto en $65 por unidad. Los costos variables
por unidad son de $20 por materiales y $27.50 por trabajo. Los costos fijos
anuales son de $100 000. Elabore la función de la utilidad expresada en
términos de "x", el número de unidades producidas y vendidas. ¿Cuál es la
utilidad si las ventas anuales son de 20 000 unidades?

SOLUCIÓN:
R(x) = 65x
C(x) = 47.50x + 100 000
Por lo tanto:
P(x) = 65x-(47.5x + 100 000)
=65x -47.5x-100000
=17.5x – 100 000
Si la x= 20 000 la utilidad es:
17.5 (20 000) -100 000=$250 000


8.- EJEMPLOS VARIOS.
1. Pág. 190 ejemplo 5

PLANEACIÓN DE LA AGRICULTURA.- Una organización agricultora tiene tres
granjas diferentes que se utilizaran el año próximo. Cada granja tiene
características únicas que la hacen ideal sólo para una cosecha. La tabla
"A" indica la cosecha seleccionada para cada granja, el costo anual de la
plantación de 1 acre de cosecha, el ingreso esperado derivado de cada acre
y los costos fijos asociaos con la operación de cada granja. Además de los
costos fijos relacionados con l operación de cada granja, la corporación
como un todo tiene costos fijos anuales de $75 000. Determine la función de
la Utilidad para la operación de las tres granjas si = número de acres
plantados en la granja j,= ingreso por acre en la granja j,
= costo por acre en la granja j y =Costo fijo en la granja j.
TABLA A
"Granja "Cosecha "Costo/acre "Ingreso/acre "Costo Fijo "
" " " " " "
"1 "Frijol de "$900 "$1300 "$150 000 "
" "soya " " " "
"2 "Maíz " 1100 " 1650 " 175 000 "
"3 "Papa " 750 " 1200 " 125 000 "


SOLUCIÓN:

El ingreso total es:

Los costos totales son la suma de las tres granjas más los costos fijos
corporativos:


La utilidad total es una función lineal que se calcula como:




Granja Cosecha Costo/acre Ingreso/acre
Costo fijo
"1 "$ 900 "$1300 "$150000 "
"Frijol de soya " " " "
"2 "1100 "1650 "175000 "
"Maíz " " " "
"3 "750 "1200 "125000 "
"Papa " " " "


1.- Escriba la forma general de una función lineal con cinco variables
independientes.

3.- Suponga en el ejemplo 1 (pág. 185) que el vendedor recibe un bono
cuando la venta combinada de los os productos es de más de 80 unidades. El
bono es de $2.50 por unidad para cada unidad en exceso de las 80. Con este
programa de incentivo, la función del salario se debe describir por medio
de dos funciones lineales. ¿Cuáles son?
(Ejemplo 1: Suponga que el salario de un vendedor depende del número de
unidades vendidas cada semana de cada uno de dos productos. Más
específicamente suponga que la función del salario:

Donde: y = Salario semanal, = número de unidades vendidas del producto
1 y = número de unidades vendidas del producto 2. Esta función del
salario, sugiere un salario semanal base de $25 y comisiones por unidad
vendida de $5 y $3 respectivamente, para los productos 1 y 2.)

5.- Un fabricante de microcomputadoras, produce tres modelos distintos. La
tabla siguiente resume los precios de venta al mayoreo, el costo del
material por unidad y el costo del trabajo por unidad. Los cosos fijos
anuales son de $25 millones:

" "Microcomputadora "
" "modelo "modelo "modelo "
" "1 "2 "3 "
"precio de venta al "$500 "$1000 "$1500 "
"mayoreo/unidad " " " "
"costo del material/unidad "175 "400 "750 "
"costo el trabajo/unidad "100 "150 "225 "

a) Determine la función del ingreso total conjunto de las ventas de los
tres modelos diferentes de microcomputadoras.
b) Determine la función del costo total anual de la fabricación de los tres
modelos.
c) Determine la función de la utilidad de la venta de los tres modelos.
d) ¿Cuál es la utilidad anual si la empresa vende 20 000, 40 000 y 10 000
unidades, respectivamente, de los tres modelos.

7.- Renta de Automóviles.- Una agencia de renta d automóviles compra autos
nuevos cada año para usarlos en la agencia. Los autos nuevos cuestan $15
000. Se usan por 3 años, después de los cuales se venden en $4500. El
propietario de la agencia estima que los costos variables de la operación
de los autos, aparte de la gasolina, son de .18 por kilómetro. Se rentan
los autos a una tarifa sencilla de $.33 por kilómetro (sin incluir la
gasolina).

a) Formule la función del ingreso total asociada con la renta de uno de los
autos por un total de "x" kilómetros en un periodo de tres años.
b) Formule la función de costo total asociada con la renta de un auto por
un total de "x" kilómetros en tres años.
c) Formule la función de utilidad.
d) ¿Cuál es la ganancia si se renta un automóvil por 60 000 kilometros en
un periodo de tres años?
e) ¿Qué kilometraje se requiere para tener una utilidad de cero en 3 años?


9.- Una gasolinera vende gasolina regular sin plomo y Premium sin plomo. El
precio por galón que la gasolinera cobra es de $1.2999 en el caso de la
regular sin plomo y de $1.379 por la Premium sin plomo. El costo por galón
del proveedor es de $1.219 por la regular sin plomo y de $1.289 por la
Premium. Si equivale al número de galones vendidos de gasolina
regular y el número de galones vendidos de gasolina Premium:
a) Formule la función del ingreso de la venta de y galones,
respectivamente, de los dos tiepos de gasolina.
b) Formule la función del costo total de la compra de y
galones, respectivamente, de los dos tipos.
c) Formule la función de la utilidad total.
d) ¿A cuánto se espera que ascienda la utilidad total si la gasolinera
vende 100 000 galones de gasolina regular sin plomo y 40 000 de gasolina
Premium sin plomo.






Ejemplo 6: (Depreciación en línea recta) Cuando las organizaciones compran
equipo, vehículos, construcciones y otros tipos de "activos de capital",
los contadores por lo regular asignan el costo del artículo al periodo en
que se usa el artículo. Para un camión que cuesta $20000 y que tiene una
vida útil de 5 años, los contadores podrían asignar $4000 por año como un
costo de posesión de camión, til costo asignado a cualquier periodo dado
recibe el nombre de depreciación.
Los contadores también llevan registros de cada activo mayor y su valor
actual de alguna forma o como antes lo hacían en "libros". Por ejemplo, el
valor del camión puede aparecer en cualquier estado contable como $20000 en
el momento de la compra, $20000 - $4000 = $16000 un año después de la fecha
de compra y así sucesivamente. También se puede considerar la depreciación
como la cantidad que disminuyó el valor en libros de un activo.
Aunque hay una variedad de métodos de depreciación, uno de los más
sencillos es la depreciación en línea recta. En este método la tasa de
depreciación es consuuite. Usto implico que el por en libros disminuye como
una función lineal con el paso del tiempo, Si V es igual al valor cu ¡¡ s
(en dólares) de un activo y t equivale al tiempo (en años) medido a punir
de la ;< . /iíi de compra para el camión antes mencionado,

V = f(t)
= costo de compra — depreciación = 20000 -
4000í
Ejemplo 7 (Funciones lineales de la demanda) Como se estudió en el ejemplo
13 del capítulo 4, una función la demanda es una relación matemática que
expresa la manera en que varía la cantidad demandada de un artículo con el
precio que se cobra por el mismo.

Por lo regular, la relación entre estas dos variables (cantidad demandada y
precio por unidad) es inversa', es decir, un decremento en el precio da
como resultado un incremento en la demanda. El propósito de las ventas
especiales casi siempre es estimular la demanda. Si los supermercados
bajaran el precio de! filete mignon a $0.75 por libra, tal vez habría un
aumento considerable en la demanda de ese artículo. Por otro lado. los
incrementos en el precio del producto normalmente dan como resultado un
decremento en la demanda. La frase subir los precios para que la gente no
compre se refiere a la pérdida de clientes como consecuencia de los
aumentos del precio. Si de pronto el precio del filete mignon fuera el
triple, con todos los demás factores como los niveles de ingreso
manteniéndose constantes, mucha gente ;: * en la actualidad es capaz de
comprarlo quedaría fuera del mercado.

Por supuesto, hay excepciones para este comportamiento. Es probable . .
demanda de productos o servicios que se consideran como necesidades fluctúe
menos con cambios moderados en e! precio. Los artículos como medicamentos
prescritos, servicios médicos y ciertos artículos alimenticios son ejemplos
de esta clase de productos.

A pesar de que la mayoría de las funciones de la demanda no son lineales,
hay situaciones en que la relación de la demanda es una función lineal o se
puede aproximar razonablemente bien p