Cálculo de diámetros de tubería mediante la ecuación de Darcy-Weisbach aplicando el método de Newton- Raphson Jeimi Katterine Terreros Hidalgo, Daniel Alberto Silva Castillo, Jefferson Fabián Merchán Giral Ingeniería Civil, Universidad Distrital Francisco José de Caldas Bogotá, Colombia
[email protected] [email protected] [email protected] Resumen- En una tuberías, para transportar un fluido de un punto a otro en una distancia dada, se pierde una altura determinada debido a factores como la fricción, tipo de material, viscosidad del fluido y depende de diversas condiciones de una forma no lineal, lo que implica que el cálculo de sus variables sea complejo, en una diseño real cuando se desea conocer el diámetro que se debe usar para unas condiciones planteadas se requiere sucesivas iteraciones tediosas por lo cual se planteó una ecuación general de difícil solución para lo cual aplicamos el método de Newton- Raphson para solución de ecuaciones no lineales ya que presenta ventajas al converger rápidamente.
I.
INTRODUCCIÓN
Para el diseño de tuberías, normalmente se establecen parámetros iniciales que se desean cumplir, tales como tipo de material, puntos desde los cuales se va a transportar el fluido, las diferencias de cotas, el tipo de fluido, la cantidad de fluido por unidad de tiempo; pero cuando se requiere saber el diámetro de una tubería que cumpla con dichos requisitos, el cálculo resulta ser extenso debido a la cantidad de iteraciones múltiples y el grado de dificultad de las expresiones; por esto se ha tratado de condensar todas las ecuaciones que relacionan estas variables entre sí, para generar una única ecuación que permite evaluar todos los parámetros requeridos a través de un solo proceso iterativo, utilizando el método de Newton-Raphson para solución de ecuaciones no lineales.
Dónde: h=Pérdida de carga o de energía (m) f=Coeficiente de fricción (adimensional) l=Longitud de la tubería (m) v=Velocidad media (m/s) g=Gravedad (m/s2)
Colebrook-White: En general el cálculo del coeficiente es complejo, para lo cual se han generado diversas ecuaciones que relacionan matemáticamente el comportamiento de cada variable que interactúa en el cálculo del coeficiente. No obstante la ecuación que ha contemplado la máxima cantidad de parámetros y se asemeja mejor al comportamiento real de cualquier tipo de fluido y cualquier tipo de rugosidad sin importar el tipo flujo (laminar o turbulento), es la ecuación desarrollada por Colebrook-White [2], [3], [6]: 1 √𝑓
= −2 ∗ (log (
𝜀 2.51 )+( )) 3.71 ∗ 𝐷 𝑅𝑒 ∗ √𝑓
Ec 2. Ecuación Colebrook-White
Dónde: 𝜀= Rugosidad absoluta de la tubería (m) D= Diámetro de la tubería (m) Re= Numero de Reynolds (Adimensional) f= Coeficiente de fricción (adimensional)
Número de Reynolds: Otro de los parámetros importantes para II.
DESARROLLO DE CONTENIDOS
Darcy-Weisbash: En un sistema de tuberías a presión se generan pérdidas de capacidad de transporte o pérdida hidráulica debido a la fricción de los fluidos con las paredes internas de los ductos que lo transportan, esta energía que se pierde es transformada en calor y se refleja como una pérdida de eficiencia en el sistema, que depende de variables como la rugosidad del conducto, el tipo de material, el tipo de fluido y sus características; para el cálculo de estas pérdidas una de las fórmulas más exactas es la de Darcy-Weisbach, la cual obtiene su nombre en honor a Henry Darcy y Julius Weisbach, ingenieros que proporcionaron los mayores aportes en el desarrollo de esta ecuación; la ecuación desarrollada es la siguiente [1], [2], [3]: 𝑙
𝑣2
𝐷
2𝑔
ℎ=𝑓∗ ∗
Ec 1. Ecuación Darcy-Weisbach
calcular el coeficiente de fricción en la ecuación de Colebrook-White es el Número de Reynolds (Re), número que define el comportamiento del flujo en el recorrido de un fluido en un ducto en relación directa con su velocidad. Este número se determina mediante la siguiente ecuación [2], [3]: 𝑅𝑒 =
4∗𝑄 𝜋∗𝐷∗𝜐
Ec 3. Ecuación Número de Reynolds
Dónde: Q= Caudal (m3/s) D= Diámetro Tubería (m) υ=Viscosidad Fluido (m2/s) Obtenido el número de Reynolds, se procede con la clasificación del mismo bajo las siguientes consideraciones: 𝑅𝑒 > 2000 (𝑇𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜) 𝑅𝑒 < 2000 (𝐿𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟)
Diagrame de Moody: Dado el grado de dificultad para resolver y calcular este coeficiente, Lewis Ferry Moody determino un método para el cálculo del coeficiente de fricción de forma experimental, a través de una tabla que representa curvas que relacionan la rugosidad relativa, lo que lo convierte en uno de los métodos más utilizados para el cálculo del coeficiente de fricción [2], [3]
iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente [5].
III.
DESARROLLO APLICATIVO
Tomando las ecuaciones anteriormente mencionadas, planteamos la solución del sistema mediante el uso del aplicativo de ecuaciones no lineales de Newton-Raphson ya que este nos permite una convergencia rápida hacia el parámetro que deseamos calcular en el sistema. a.
A partir de la ecuación de Darcy-Weisbach (Ec 1.) despejamos el coeficiente de fricción 𝑓=
Fig. 1 Diagrama de Moody
ℎ ∗ 𝑔 ∗ 𝜋 2 ∗ 𝐷5 8 ∗ 𝑙 ∗ 𝑄2
Ec 5. Ecuación Coeficiente de Fricción
Hazen – Williams: Otro de los métodos para la solución de dicha variable es la ecuación de Hazen-Williams la cual simplifica el coeficiente de fricción como un c que depende únicamente del material del conducto que transporta el fluido; esta fórmula es sencilla a razón que el coeficiente de rugosidad no es función de la velocidad ni el diámetro de la tubería; sin embargo esta ecuación se limita al tipo de fluido, ya que solo aplica para cálculos con agua; además, ya que no tiene en cuenta el número de Reynolds se limita a una franja muy estrecha de valores de este coeficiente para los cuales es aceptable este método, esta ecuación se muestra a continuación[4], [6], [7]:
b.
Como segundo paso, se reemplaza la ecuación del Numero de Reynolds en la ecuación de Colebrook-White: 1 √𝑓
= −2 ∗ (log (
𝜀 2.51 )+( )) 4∗𝑄 3.71 ∗ 𝐷 ( ) ∗ √𝑓 𝜋∗𝐷∗𝜐
Ec 6. Número de Reynolds en Colebrook-White
c.
Sustituimos la ecuación del numeral a (Coeficiente de fricción), en la ecuación obtenida en el numeral anterior
𝑄1.852 ℎ = 10.674 ∗ ( 1.852 )∗𝐿 𝐶 ∗ 𝐷4.871 Ec 4. Ecuación Hazen-Williams
Dónde: Q= Caudal (m3/s) C= Coeficiente de rugosidad (adimensional) D= Diámetro interno de la tubería (m) L= Longitud de la tubería (m)
1
= −2 ∗ (log (
ℎ ∗ 𝑔 ∗ 𝜋 2 ∗ 𝐷5 √ 8 ∗ 𝑙 ∗ 𝑄2
𝜀 2.51 )+( )) 4 ∗ 𝑄 3.71 ∗ 𝐷 ( ) ∗ √𝑓 𝜋∗𝐷∗𝜐
Ec 7. Sustitución de ecuaciones
NEETON-RAPHSON: El método de Newton-Raphson es un método iterativo que permite aproximar la solución de una ecuación del tipo f(x)=0.Se parte de una estimación inicial de la solución X0 y se construye una sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula
𝑋𝑗 + 1 = 𝑋𝑗 −
𝑓(𝑋𝑗) 𝑓´𝑋𝑗
Es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que no está garantizada su convergencia global. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la
d.
Igualamos la ecuación del numeral c a cero, para aplicar el método de Newton-Raphson, lo que permite que en la ecuación el término desconocido sea el diámetro, y que garantiza el uso de aplicación. 𝜀 )+ 3.71∗𝐷
−2 ∗ (log (
(
2.51 (
4∗𝑄 )∗√𝑓 𝜋∗𝐷∗𝜐
)) −
1 ℎ∗𝑔∗𝜋2 ∗𝐷5 √ 8∗𝑙∗𝑄2
=0
Ec 3. Ecuación utilizada en desarrollo Método de Newton-Raphson
e.
Luego de esto, se aplica el método de Newton-Raphson para simplificar el proceso y agilizar la obtención del resultado mediante le software Geogebra en donde se encontraba previamente programado el método en mención.
todos los requerimientos suministrados inicialmente, como se muestra en la siguiente gráfica.
Fig. 5 lectura diámetro calculado e intervalo.
IV.
CONCLUSIONES
Fig. 2 Introducción de fórmula en Geogebra
Fig.3. Formulación de tabla Método de Taylor para la solución del problema.
Teniendo en cuenta que lo que se busca, es diámetros de tubería, el resultado no puede ser un valor negativo dentro del cálculo de esta aplicación por lo cual los valores están delimitados a números mayores que cero.
Uno de los principales métodos para el cálculo de pérdida en ingeniería hidráulica, son las fórmulas de HazenWilliams, sin embargo para el desarrollo de proyectos que requieran transportar un fluido diferente al agua no presenta utilidad, además de generar baja precisión en gran cantidad de intervalos de velocidades ya que no tiene en cuenta para su estudio el Número de Reynolds, que representa el comportamiento del fluido, por lo cual es necesario el manejo de una fórmula.
Uno de las dificultades mayores para el cálculo empleando la fórmula de Darcy-Weisbach, es el coeficiente de fricción, dado el grado de complejidad para la solución de una ecuación que no se puede despejar en su totalidad y requiere de soluciones iterativas, por lo cual para el cálculo de este valor el principal método que se ha empleado es el manejo del diagrama de Moody, que representa muy bien los comportamientos en ciertos intervalos, pero al ser una gráfica, no permite despejar de forma sencilla ecuaciones que correlacionen las diferentes variables que interactúan en el sistema por lo cual es más conveniente para generación de nuevas ecuaciones trabajar con la ecuación de ColebrookWhite.
Uno de los principales problemas para el cálculo de diámetros por el método de Colebrook-White es que esta variable aparece en muchas de las ecuaciones utilizadas en el sistema, que a su vez dependen unas de otras; por ejemplo la ecuación del factor de fricción depende del Número de Reynolds, que a su vez depende del diámetro; pero el factor de fricción en la ecuación de Darcy-Weisbach también depende del diámetro lo que genera un ciclo que hace que para cada valor de diámetro se tenga que interactuar en todas las ecuaciones y se presente un método muy extenso y complejo para el cálculo de los diámetros.
Debido a que la ecuación resultante del despeje del diámetro con respecto a todas las demás variables no es una ecuación
Fig. 4. Introducción de variables para el desarrollo.
En el programa el usuario puede probar un valor inicial de diámetro en la casilla de entrada y si este valor asumido se encuentra suficientemente lejos de la solución real de forma tal que el primer error calculado sea mayor a 0.7 el programa indica en un letrero bajo la tabla en que intervalo de diámetros se presenta un error inicial menor a 0.7 y en la parte superior de la tabla muestra la solución que representa el diámetro que se debe usar en la tubería para que cumpla
lineal no puede solucionarse la ecuación con facilidad por métodos algebraicos, es necesario recurrir a un método numérico, en este caso se toma el método de NewtonRaphson que presenta una convergencia rápida a la solución para poder tener una solución de esta ecuación, pero debido a que se genera una ecuación bastante extensa es útil para operarla y hacer las iteraciones necesarias el uso de un software, para el caso se utilizó Geogebra.
REFERENCIAS [1]
[2] [3] [4] [5]
[6] [7]
L. E. Pérez, Breve historia de la ecuación de Darcy- weisbach (fanning) y Consideraciones de interés sobre la misma, Ed. Universidad de Buenos Aires, Argentina: 2013. Ranald V. Giles B.S., Theory and problems of Fluid Mechanics and Hydraulics, 2nd ed., Schaum Publishing, New York, 1962. Streeter, Fluid Mechanics, 3th ed, Mc Graw-Hill Kogakusha, International Student Edition. Chyr Pyng Liou, Limitations and Proper Use of the Hazen-Williams Equation, Vol. 124. Sep. 1998. F. Palacio, Resolución aproximada de ecuaciones: Método de Newton-Raphson, Escuela Politécnica de Catalunya, V. 1.3, España, Abr. 2008. R.L. Mott, Mecánica de fluidos, Ed. 6, Pearson, México, 2006. R.A. Flechas, “Efecto del uso de la ecuación de Darcy-Weisbach vs la ecuación de Hazen Williams en el diseño de redes matrices”, XX seminario Nacional de Hidráulica e Ingeniería Barranquilla, Colombia, 8 al 10 Agosto 2012.
